Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Transkript

1 Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A ). s ( A )... s ( A ) dir n 1 2 n 1 2 Ör: 60 dershanelik bir okulda her sınıfta 15 kişi varsa bu okulun mevcudu nedir? n = a olmak üzere n 60x 15 = 900 Ör: A,B,C sınıflarında sıra ile 18,24 ve 10 öğrenci vardır. Her sınıftan birer öğrenci alınarak kaç tane 3 kişilik gruplar oluşturulur? 10x18x 24 = 4320 Ör: 10 kişilik bir yönetim kurulu aralarında 1 başkan, 1 başkan yardımcısı ve 1 sekreter seçecektir. Seçim kaç değişik şekilde yapılır? 10x9x 8 = 720 Ör: 2,3,6,8 rakamlarını kullanarak, rakamları farklı kaç tane üç basamaklı çift sayı yazabiliriz? Bu dört rakamdan sadece 3 tanesi çift sayıdır. O halde birler basamağı için kullanılabilecek rakam sayısı 3 tanedir. Bunlardan birisi kullanıldıktan sonra kalan rakamların üçü de onlar basamağı için kullanılabilir. Sonrada kalan iki rakamın ikisi de yüzler basamağı için kullanılabilir = = 18 Ör: 5 ceket, 4 pantolon, 3 gömleği olan bir kişi = 60 değişik şekilde giyinebilir. Ör: Birbirinden farklı 10 mavi, 5 kırmızı ve 7 beyaz top arasından 1 mavi, 1 kırmızı ve 1 beyaz top seçimi kaç değişik şekilde yapılabilir? Ör: birbirinden farklı 12 roman, 5 dergi ve 8 gazete arasından 1 roman, 1 dergi ve bir gazete kaç değişik biçimde seçilebilir? 1

2 Ör: A kentinden B kentine 4 değişik yol, B den C ye 5 değişik yol vardır. A dan hareket eden bir yolcu B kentine uğramak kaydı ile; a. A dan C ye kaç farklı yoldan gidebilir? b. A dan C ye kaç farklı yoldan gidip gelebilir? c. Gittiği yoldan geri dönmemek kaydı ile kaç farklı yoldan gidip gelebilir? a. b. c. 4x 5 = 20 ( ) 2 4x5 x 5x 4 = 20 = 400 Gidiş Dönüş ( 4x5) x ( 4x 3 ) Gidiş Dönüş( Aynı Yolu Kullanmıyor.) Ör: A = { 0,1, 2,3, 4} kümesinin elemanları ile rakamları tekrarsız, üç basamaklı; a. Kaç sayı yazılabilir? b. Kaç çift sayı yazılabilir? c. 300 den büyük kaç çift sayı yazılabilir? Ör: { 1,2,3, 4,5 } kümesindeki rakamları kullanılarak; a. Üç basamaklı kaç tane sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç tane sayı yazılabilir? c. Rakamları farklı üç basamaklı kaç tane tek sayı yazılabilir? d. Basamaklarında farklı rakam bulunacak biçimde, basamaklarından birisi 5 olan üç basamaklı kaç tane sayı yazılabilir? Ör: { 0,1,2,3, 4,5 } kümesindeki rakamları kullanarak; a. 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç tane sayı yazılabilir? b. Basamaklarında farklı rakam olacak şekilde üç basamaklı kaç tane tek sayı yazılabilir? Ör: Bir sürücü kartı iki belirgin harf ve birincisi sıfır olmayan üç rakamdan oluşsun. Bu durumda kaç tane ayırımlı yeterlilik belgesi basılabilir? 2

3 Tanım: n + N olmak üzere n n ( n ) 0! = 1 1! = 1 2! = 1.2 = 2 3! = = 6 ve ayrıca; Faktöriyel! = çarpımına n faktöriyel denir. Burada; = n( n ), n! 1! n + 1! = n + 1. n! şeklide de tanımlanır. 0!=1 Sıfır faktöriyel neden 1 dir. Bir pozitif tamsayının faktöriyeli kendisi ve kendisinden küçük bütün pozitif tamsayıların çarpımı olarak tanımlanır. Bu tanım 0! in tanımını içermez. Çünkü kendinden küçük bir pozitif tamsayı bulunmamakla beraber kendisi de pozitif değildir. 0! faktöriyel tanımının amaçlarına uygunluk olması açısından 1 olarak ayrıca tanımlanmıştır. Ayrıca, Faktöriyelin fiziksel olarak yorumu şöyledir; n!: n tane elemanın permütasyonlarının sayısıdır. Yani daha somut olarak: n tane kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralarız sorusunun cevabıdır. İşte bu nedenle 0! = 1 olarak tanımlanmıştır. Çünkü 0 tane kitabı 1 rafa sıralamaya kalkarsanız elde edeceğiniz 1 yol vardır: boş raf. Sıralayacak bir şey yoktur. Ama ortaokul öğrencisine bunu sıralamadan bahsederek ya da tanımı öyledir diyerek kabul ettirmeye çalışmak pek uygun olmayabilir. Ama şunu denerseniz belki biraz daha başarılı bir sonuç elde edebilirsiniz. n! = n n 1. n Bunu şöyle yazabilirdik; n! = n. n 1! ( n ) ( n ) 1! i çekersek; 1! = n! ( n) Bu formülün n = 1 için nasıl çalıştığına bir bakın: 1! 1 1! = yani; 0! = 1 olarak bulunur. 1 Bu bir ispat değil. Ama 0! in neden 0, 9, 2000 ya da başka herhangi bir sayı olarak tanımlanmadığına ve bu tanım için matematikçilerin 1 rakamını uygun görmesine diğer bir ikna yoludur. 3

4 Ör: ( ) ! 9! 11! + 10! =? gerekir. Ör: 10! + 11! + 12! toplamının 33 ile bölünemediğini gösteriniz. 33 = 11.3 olduğundan bir sayının 33 ile bölünebilmesi için hem 3 hem de 11 ile bölünebilmesi 10! + 11! + 12! = 10!. ( ) = 10!.144 sayısının içerisinde 11 çarpanı yoktur. O halde bu sayı 11 ile bölünemez. Ör: 26! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? (17! sayısındaki 2 ve 5 çarpanlarına bakmak yeterli olacaktır.) Ör: ( n + ) ( n ) 1! + = 1! 2 3n n 28 ise, n =? Ör: ( n ) ! 3 +. = 3 ( n 1 )! ( n + 1 )! n 1 2 ise, n =? Permütasyon n elemanlı bir A kümesi verilsin. r n olmak üzere A kümesinin birbirinden farklı r tane elemanlarından oluşan sıralı r lilerden her birine A kümesinin r li permütasyonu denir. r = n ise, A kümesinin permütasyonlarının sayısı n! dir. (, ) P n r = n! ( n r)! dir. Uyarı:,0 n! = = 1 n! P n, n n! = = n! 0! P n, r = n! n. ( n 1 ).( n 2 )...( n r 1) n r! + i. P ( n ) ii. iii. r tan eterim iv. Birbirinden farklı dizilişler ya da sıralama kavramı taşıyan ifadeler permütasyon ile çözülebilir. Permütasyonla çözülebilen her problem saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir. P n, P n,1 = n + 49 ise, n =? Ör: + 1, + 1 = 10, =? Ör: P ( n r ) P ( n r) 4

5 + ise, n Z değerlerinin toplamını bulunuz. Ör: 2. P ( n,2) 3. P( n 1, 2) P ( 6, 2) 2. P 2n 1,1 = P n + 1, 2 n =? Ör: Ör: ( n + 2 )! ( n 1 )!( n + 1) = 48 P n,2 =? n > olmak üzere P ( n n ) Ör: 6 + 3, 6 = 110 ise, n =? Ör: x N ve x > 2 olmak üzere, f ( x) = P ( x,0 ) + P ( x,1 ) + P ( x, 2) fonksiyonu veriliyor. f ( 2x ) fonksiyonunun f ( x ) cinsinden değerini bulunuz. Ör: 4 kişi 4 koltuğa kaç değişik şekilde oturabilir? P ( 4, 4) = = 24 Ör: 3 kişi 7 sandalyeye kaç değişik şekilde oturabilir? oturabildiğine dikkat ediniz. P ( 7,3) = = 210 (Burada 7 kişinin 3 sandalye yede P 7,3 = 210 değişik şekilde Ör: a, b, c, d, e isimli 5 kişi bir sırada; i. Kaç farklı biçimde dizilebilir? ii. a ile b daima yan yana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde dizilebilir? i. P ( 5,5) = 5! = 120 ii. a ile b yi tek kişi olarak düşünürsek, toplamda 4 kişi yapar. 4!. 2! 2kişininkendi arasında yer değiştirmesi Ör: 5 kişi bir taksiye 2 si öne 3 ü arkaya olmak üzere kaç değişik şekilde oturabilir? 1. Yol: 2. Yol: P 5,3. P 2,2 = 120 Arkaya Kalanlar öne P 5,2. P 3,3 = 120 Öne Kalanlar arkaya veya; 5 kişi 5 koltuğa kaç değişik şekilde oturur ile aynı P ( 5,5) = 120 5

6 Ör: 3 Matematik, 4 Fizik ve 5 Kimyacı arasından 1 Matematik, 1 Fizik ve 1 Kimyacıdan oluşan 3 kişilik komisyonlar oluşturulacaktır. i. Kaç farklı komisyon olur? ii. Matematikten x isimli kişi ile Fizikten y isimli kişi birlikte bulunmazlar? i. Toplam komisyon sayısı = 60 olur. ii. Mat. x ile Fizikten y isimli kişinin birlikte olduğu komisyon sayısı 5 tanedir = 55 tanedir. = kümesinin 3 lü permütasyonlarının sayısının kaç tanesinde a bulunur? Ör: A { a, b, c, d, e} P ( 5,3) = 60 tüm 3 lü permütasyonlar. İçinde a olmayan 3 lü permütasyonlar; { b, c, d, e } Ör: A { a, b, c, d, e, f } P ( 4,3) = 24 tanedir. a olanlar; P P 5,3 4,3 = = 36 olur. = kümesinin 4 lü permütasyonlarından kaç tanesinde a veya b vardır? s( A B) = s ( A) + s ( B) s ( A B) P ( 6, 4) = = 360 tanedir. a ve b nin olmadığı 4 lü permütasyonlarının sayısı; P 4,4 = 24 dür. a veya b nin olduğu olur. = kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a veya b den birisi bulunur? Ör: A { a, b, c, d, e, f } a veya b den birisi demek, a varken b yok veya b varken a yok demektir. Buna göre; 2x 96 = 192 olur. b nin olmadığı 4 lü permütasyonlar; { a, c, d, e, f } de seçim yapılır. P P 5,4 4,4 = 96 a' nındaolmadığı 4lü permütasyonlar Aynı işlem a nın da olmadığı için yapılırsa o da 96 tane bulunur. 6

7 Ör: 4 öğretmen ve 3 öğrenci bir sırada oturacaklardır. Sağ ve sol tarafa oturanların öğretmen olması ve öğrencilerin hep yan yana olması koşulu ile bu 7 kişi kaç farklı şekilde dizilebilir? I. ara II. ara III. ara Öğretmen Öğretmen Öğretmen Öğretmen Öğretmen Öğretmen Öğretmen Öğretmen 4 öğretmen 4! şekilde sıralanır. 3 öğrenci kendi aralarında 3! şekilde sıralanır. Öğrenciler 3 araya da yerleşeceğine göre 4!.3!.3 = 432 olur. 4! öğretmenlerin dizilişi 3! öğrenciler kendi aralarında 3! 2 öğretmen ve öğrenciler Bu olmaz Çünkü öğretmenler zaten kendi aralarında yer değiştirmişti. Öğrenciler ile ikinci kez olmaz. Ör: 3 Fizik, 3 Kimya ve 4 matematik kitabı, aynı türden kitaplar bir arada ve matematik kitapları ortada olmak koşulu ile kaç değişik şekilde sıralanır? Matematik kitapları ortada ise toplam 2 kitap gibi düşünülür. Buna göre; Fizik Matematik 2!. 3!. 3!. 4! = 1728 olur. Mat. ortada İki tan ekalır Kimya Ör: 3 Fizik, 3 Kimya ve 4 matematik kitabı, matematik kitapları bir arada ve ortada (arada) olmak kaydı ile kaç değişik şekilde sıralanır? =3 3 Fizik 3 Mat. 3 Kimya Ortada 4 matematik kitabı bir kitap olarak düşünülür. Toplam 7 kitap vardır. 7!.4! tamamı olur. Matematik kitapları sağ ve sol başta olursa; 2 4!.6! ! 6tane 6tane 4! Mat Mat x olur. Buradan da 7!.4! ( 4!.6! x2) 6!.4!. ( 7 2) = olur. 7

8 Ör: 2 Fizik, 5 matematik kitabı bir rafa fizik kitapları yan yana gelmemek kaydı ile kaç değişik şekilde sıralanır? 7! 6!.2! = 6!.5 Tüm Dizilişler Fizikler yanyana olmak koşuluile Ör: {, L, K, M, A, N, T } kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde bulunur? P P 7,3 6,3 = 90 Tüm3lü Permütasyonlar ninolmadığı 3lü permütasyonlar Ör: Bir grup arkadaş, iki koltuğa 42 farklı şekilde oturabiliyorlar. Bu grup, 3 koltuğa kaç değişik şekilde oturabilir? (,2) = 42 x = 7 ise, P x P 7,3 = 210 olur. Ör: 4 seçenekli 10 sorudan oluşan bir sınavda, ardışık iki sorunun cevapları aynı olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanır? olur. Ör: Her matematik kitabının iki yanında birer fizik kitabı olması koşulu ile 3 matematik, 4 fizik kitabı kaç farklı şekilde dizilebilir? F M F M F M F şeklinde dizilirler. 4!. 3! = 144 olur. Fizikler Matematikler Dönel Permütasyon Tanım: n elemanlı bir kümenin elamanlarının basit kapalı bir eğri üzerindeki farklı sıralanışlarının her birine, bu kümenin dönel permütasyonu (sıralaması) denir. n elemanlı bir kümenin dönel permütasyonlarının sayısı; P n 1, n 1 = n 1! olur. 8

9 Ör: 7 kişi bir yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde sıralanır? n = 7 n 1! = 6! olur. Ör: 3 kız, 6 erkek yuvarlak masa etrafında 1 kız, 2 erkek biçiminde kaç farklı şekilde oturabilir? K Bir kızı sabit alalım rkekler kendi aralarında 6! kızlar ise, 2! (1 i sabit ) 2!.6! = 1440 olur. K K Ör: 4 evli çift yuvarlak masa etrafında eşler daima yan yana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturur? Çiftleri 1 er kişi sayarsak, 3! olur. Her çift kendi arasında 2! dir. Buna göre; 3!.2!.2!.2!.2! = 96 dır. 4çift Ör: 4 erkek, 3 bayan ve 3 çocuk yuvarlak masa etrafında erkekler, bayanlar ve çocuklar yan yana, olmak koşulu ile kaç değişik şekilde otururlar? 4 rkek 3 Bayan 3 Çocuk Toplam 3 Kişi 3 1!. 4!. 3!. 3! Bu durumda rkekler Bayanlar Çocuklar Kendi Aralarında olur. Ör: 6 anahtar yuvarlak ve maskotsuz bir anahtarlığa kaç farklı şekilde dizilir? Anahtarlık ters çevrilmese idi ( 6 1 )! = 5! olurdu. Fakat ters çevrileceği göz önüne alınırsa, 5! 60 2 = olur. 9

10 Ör: 5 erkek 3 kız yuvarlak masa etrafına i. Kaç değişik şekilde sıralanır? ii. rkekler bir arada olmak kaydı ile kaç değişik şekilde sıralanır? i = kişi, 8 1! = 7! olur. ii. rkekler 1 eleman gibi düşünülürse; 4 1!. 5! = 3!.5! olur. 4 kişi olur. rkekler Kendi Aralarında Ör: 4 erkek 4 kadın yuvarlak masa etrafında i. Hiçbir koşula bağlı olmadan ii. Belli iki kadın yan yana olmak kaydı ile iii. Kadınlar bir arada olmak kaydı ile iv. Bir kadın bir erkek olmak üzere kaç değişik şekilde sıralanırlar? i. ( 8 1 )! = 7! ii. 2 kadın bir kişi gibi düşünülürse, 7 1!. 2! = 6!.2! olur. iii. ( 5 1 )!.4! iv. Kadınlar Kendi Aralarında Kadınları yuvarlak masa etrafına aralarında birer boşluk olacak şekilde ( 4 1 )! şekilde sıralarız. Geriye kalan 4 boş yere 4 erkek 4! şekilde dizilir. (artık yuvarlak masa olayı ortadan kalkmıştır.) Buna göre; 3!.4! olur. 10

11 Ör: 4 kız 8 erkek yuvarlak masa etrafına, iki kız arasına iki erkek olmak koşulu ile kaç değişik şekilde otururlar? K K K 4 Kız 4 1!. 8! = 3!.8! olur. rkekler K Ör: 3 kız x erkekten oluşan bir grup yuvarlak masa etrafına, kızlar hep yan yana olmak koşulu ile 36 farklı şekilde oturabiliyorlar. Buna göre x =? x!.3! = 36 x = 3 olur. Ör: x kişi bir sıraya değişik biçimde, yuvarlak masa etrafına ise, 5040 değişik biçimde oturabiliyorsa x =? x! = x = 8 1! 5040 ( x ) olur. Tekrarlı Permütasyon Tanım: Genel olarak sıralanmış n elemandan n 1 tanesi bir türden, n 2 tanesi başka bir türden,, n r tanesi diğer bir türden olsun. Bu n elemanın yerlerinin değiştirilmesi ile oluşan farklı sıralamanın sayısı S ise, n n! S = = dir. n1, n2,..., nr n1!. n2!... nr! Ör: 3 mavi, 4 sarı, 5 yeşil kalem bir sırada yan yana kaç değişik şekilde sıralanır? Toplam Kalem sayısı 12 dir. Fakat mavi, sarı ve yeşil kalemlerin (aynı cins olduğu için) kendi aralarında sıralaması farklı bir sıralama olmayacağı için; 12! 3!.4!.5! olur. 11

12 Ör: MATMATİK kelimesinin harfleri yer değiştirdiğinde anlamlı ya da anlamsız 9 harfli kaç kelime yazılabilir? 9! 2!. 2!. 2! M harfi T harfi Aharfi olur. Ör: sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek, 7 basamaklı kaç sayı yazılır? 7! 2!. 2!. 3! 2' ler 0' lar 4ler için = 210 olur. Fakat 0 la başlayan sayılar tüm sayıların 2 sini oluşturduğu için = olur. Ör: sayısındaki rakamların yerlerini değiştirerek birbirinden farklı, 7 basamaklı kaç sayı yazılır? 300 Ör: PRSONL sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek, anlamlı ya da anlamsız R ile başlayıp, N ile biten 8 harfli kaç sözcük yazılabilir? R Geriye P,,S,O,,L kalıyor. 6! 2! ler için N = 360 olur. Ör: A dan B ye kaç farklı yoldan gidilebilir? B A 14! 8!.6! tane farklı yol vardır. 12

13 Genel Alıştırmalar 1. Her biri 5 cevap şıklı, 10 soruluk test hazırlanacaktır. Peş peşe aynı cevap şıkkı olmamak üzere, bu 18 testin kaç farklı cevap anahtarı olabilir? ( 5.2 ) 2. Büyükbaba ve 3 çocuklu bir aile yuvarlak masadaki 6 sandalyeye oturacaktır. Büyükbabanın, anne ve baba arasına oturması koşulu ile kaç türlü oturur? (12) 3. a ve b isimli iki kişinin de içinde bulunduğu 5 kişilik bir grup, bir sıradaki 5 koltuğa oturacaklarıdır. a ve b arasında en çok bir kişi oturacak şekilde bu koltuklara kaç farklı şekilde oturabilir? (84 ) 4. 3 kız, 3 erkek yuvarlak masa etrafına 2 kız arasına daima bir erkek olma koşulu ile kaç değişik şekilde sıralanır? (12) sayısının rakamları ile 6 basamaklı sayılar yazılıyor. Bu sayıların kaç tanesi 5 ile başlayıp 4 ile biter? ( 6 ) 6. LMNT kelimesindeki harflerin yer değiştirmesi ile elde edilen 7 harfli kelimelerin kaç tanesinde harflerinden iki tanesi yan yana bulunmaz? Çözüm: 7! = 840 tane yazılır. 3!... 5! = 120 ' ler 4tane tanesinde 3 ü bir arada olur. ' ler 5tan e... = 6! de 2 si ve 3 ü bir arada olur. Buna göre; ikisi yan yana olmayan 840 ( 6! 5! ) = 240 olur. 7. Bir daktilocu 1 den 999 a kadar olan sayıları yazarken 5 tuşuna toplam kaç kez basmıştır? (300 ) (96 ) 8. 4 kişi bir sıradaki 7 koltuğa aralarında boş yer kalmamak koşulu ile kaç değişik şekilde otururlar? 9. 6 kişi iki ayrı dalda yarışacaktır. Bu iki yarışın ilk üç derecesi kaç değişik şekilde oluşur? ( ) Çözüm: P 6,3. P 6, 3 = yarış 2. yarış profesör ile 3 asistan bir yuvarlak masa etrafına dizilecektir. Üç asistan yan yana gelmeyecek şekilde kaç türlü oturabilirler? (576 ) 13

14 Dosya adı: PRMUTASYON KONU ANLATIMI Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTRNT\PRMUTASYON KOMBINASYON BINOM OLASILIK Şablon: C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Konu: Yazar: PRFCT PC1 Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :38:00 Düzeltme Sayısı: 2 Son Kayıt: :38:00 Son Kaydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 2 Dakika Son Yazdırma Tarihi: :38:00 n Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 13 Sözcük Sayısı: 2.924(yaklaşık) Karakter Sayısı: (yaklaşık)