Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
|
|
- Eser Babacan
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler olarak ayrılmaktadırlar. Diferensiyel denklemler ilk defa 1676 yılında Leibniz tarafından kullanılmıştır. Diferensiyel denklemler problemlerin modellenmesi ve problemlerin çözülebilmesi için kullanılmaktadır. 1 Diferensiyel Denklem Kavramı x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y = f ( x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun ( n),,, y türevleri arasındaki bir bağıntıya diferensiyel y y denklem denir. Böyle bir denklem sembolik olarak n ( n) d y F( x, y, y,..., y ) = 0 veya F( x, y,,..., ) = 0 şeklinde gösterilir. n Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 1
2 F = ma denklemi bir diferensiyel denklemdir. Bu diferensiyel denklem F = m. dv veya dt 2. d x 2 F = m şeklinde de yazılabilinir. dt y + y = 0 denklemi de bir diferensiyel denklemdir. Tanım 1.1.1: Bir veya daha fazla bağımlı değişkenin tek bir değişkene göre adi türevlerini içeren diferensiyel denklemlere Adi (Sıradan) Diferensiyel denklem denir. Adi diferensiyel denklemlere kısaca diferensiyel denklem de denmektedir. Örnek y + y = 0 veya y cos x = sıradan diferensiyel denklemlerdir. Tanım 1.1.2: İçinde bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin, belirli bir mertebeye kadar birden fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevleri bulunan Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 2
3 denkleme ise kısmi diferensiyel denklem veya kısmi türevli denklem denir. dz dz + = 0 veya denklemlerdir. 2 z z + P( x, y) = Q( x, y) x y x kısmi diferensiyel Tanım Diferensiyel Denklem Mertebesi: Bir diferensiyel denklemin mertebesi, denklemde mevcut olan en yüksek mertebeli türevin mertebesidir. Bir diferensiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin üssüne, bu diferensiyel denklemin derecesi denir. Örnek y 3y 5y x 2 + = diferensiyel denklemin mertebesi.. ve derecesi ise... dir Örnek xy = 2x diferensiyel denklemin mertebesi... ve derecesi ise... dir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 3
4 Örnek d y x y = x diferensiyel denklemin mertebesi... ve derecesi ise...dir. 1.2 Diferensiyel Denklemin Çözümleri: x 2 4x + 4 = 0 gibi cebirsel bir denklem çözerken amacımız denklemi sağlayan kökleri bulmaktır. Bu cebirsel denklemi sağlayan değer elbette 2 dir. Diferensiyel denklem çözerken ise amacımız belli bir aralıkta diferensiyel denklemi sağlayan fonksiyonlar bulmaktır. y 0 = diferensiyel denklemini herhangi bir x değeri için x y = e sağlamaktadır. Bir diferensiyel denklemi özdeş olarak sağlayan her y = f ( x) fonksiyonuna diferensiyel denklemin çözümü veya integrali denir. Bir Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 4
5 diferensiyel denklemi çözmek demek, türevleri ile birlikte, diferensiyel denklemde yerine konulduğu zaman, denklemi özdeş olarak sağlayan bütün fonksiyonları bulmak demektir. Diferensiyel denklemlerin çözümleri, genel, özel ve tekil olmak üzere üç türlüdür. n. mertebenden bir diferensiyel denklemin genel çözümü tane keyfi sabit içerir. Özel çözümler genel çözümlerden özel değerler vermek suretiyle elde edilir. Diferensiyel denklemin herhangi bir çözümü, genel çözümdeki sabitlere değerler verilerek elde edilemiyorsa böyle çözümlere tekil çözüm denmektedir. Örnek 1.2.1: y 2x = e ifadesinin (, ) aralığında y 2y = 0 diferensiyel denkleminin bir çözümü olduğunu gösteriniz. Örnek 1.2.2: = ifadesinin y 4y + 4y = 8x 20 2 x y Cxe x diferensiyel denkleminin, C sabitinin herhangi bir değeri için, genel çözümü olduğunu gösteriniz. 1.3 Başlangıç Değer Problemi Örneğin Genelde bir diferensiyel denklemin çözümleri sonsuz sayıdadır. y = sin x + c bir diferensiyel denklemin çözümü olsun, c değerine bağlı olarak benzer yapıda sonsuz sayıda çözüm bulabiliriz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 5
6 = f ( x, y) şeklinde olan bir denklem için bu problem başlangıç değerleri denilen iki değeri gözönüne almakla çözülür. Tanım 1.3.1: f ( x, y) = Denklemin koşulunu sağlayan y(x) çözümünün bulunmasına başlangıç-değer problemi veya Cauchy problemi denir. x 0 ve y 0 değerlerine başlangıç değerleri veya Cauchy verileri adı verilir. Geometrik olarak başlangıç değer problemini çözmek f ( x, y) = şeklinde olan denklemin ( x0, y0) noktasından geçen çözümünü bulmak anlamına gelmektedir. Diferensiyel denklemin şartları bağımsız değişkenin aynı değeri için verilmişse bu şartlara başlangıç şartları, bağımsız değişkenin birden fazla değeri için belirlenmişse bu şartlara sınır şartları denir. Örnek 1.3.1: 4x y 3y + y = 2xe y(2) = 5, y (2) = 3 başlangıç değer problemi. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 6
7 Örnek 1.3.2: 4x y 3y + y = 2xe y(2) = 5, y (8) = 2 sınır değer problemi. 2 Birinci Mertebeden Diferensiyel Denklemler: Birinci mertebeden bir Diferensiyel Denklem F( x, y, y ) = 0 veya M ( x, y) + N ( x, y) = 0 şeklindedir. Bu denklem bazen y = f ( x, y) veya = f ( x, y) şekline de dönüştürülebilir. Örneğin, x + y = 0 diferensiyel denklemi = x olarak da ifade y edilebilinir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 7
8 2.1 Değişkenlere Ayrılabilen Tipte Diferensiyel Denklem: M ( x, y) + N ( x, y) = 0 şeklindeki bir diferensiyel denklem f ( x) + g( y) = 0 olarak ifade edilebiliyorsa Değişkenlere ayrılabilen tipte Diferensiyel Denklem adını alır. Değişkenlere ayrılabilen tipte Diferensiyel Denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: 1. Verilen herhangi bir diferensiyel denklem f ( x) + g( y) = 0 olarak ifade edilir adımdaki diferensiyel denklemin her iki tarafının integrali denklem şeklinde ifade edilir. alınır ve f ( x) + g( y) = c 3. Diferensiyel denklemin çözümü 2. adımdaki integralin sonucudur, yani F( x) + G( y) = c dir. Örnek 2.1.1: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz y 5y + 3 = 0 Örnek 2.1.2: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz y = 2 6x 0 Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 8
9 Örnek 2.1.3: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz 2yy 4 = 0 Örnek 2.1.4: Verilen diferensiyel denklemi y cos x 0 + = çözünüz. Örnek 2.1.5: çözümünü bulun. Verilen diferensiyel denklemin 2 x 1 e sec y + sin y = 0 x 2.2 Homojen Tip Diferensiyel Denklemler: n Tanım 2.2.1: Her x için f ( λx, λ y) = λ f ( x, y) ise, f ( x, y ) fonksiyonu x ve y değişkenlerine göre n. dereceden homojen bir fonksiyondur denir. Tanım 2.2.2: f ( x, y ) fonksiyonu x ve y ye göre sıfırıncı dereceden homojen ise denklem adını alır. = f ( x, y) diferensiyel denklemi homojen tip diferensyel Sıfırıncı dereceden homojen tip diferensiyel denklem için Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 9
10 0 f ( λx, λ y) = λ f ( x, y) = f ( x, y) dir. 1 y λ = olarak seçelim, bu şeçim sonucunda f ( x, y) = f (1, ) olarak x x yazılabilinir. Bu gösterim bize sıfırıncı dereceden homojen bir fonksiyonun y x e bağlı olduğunu gösterir. Ve = f ( x, y) denklemi sıfırıncı dereceden y homojen tip diferensiyel denklem ise = f (1, ) olarak ifade x edilebilir. Homojen Diferensiyel denklemi çözmek için aşağıdaki işlemler yapılır: 1) Diferensiyel denklemin homojen olup olmadığı araştırılır. y 2) = f ( x, y) homojen diferensiyel denklem = f (1, ) şeklinde x yazılır. 3) Bu denklemde y = u yani y = ux dönüşümü kullanılır, bu x dönüşüm türevi alınarak = u + x du elde edilir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 10
11 4) 1. adım ve 2. adımlar birbirlerine eşit olduğundan eşitlenirler ve du y u + x f (1, ) = x denklemi elde edilir. Bu elde edilen yeni denklem değişkenlerine ayrılabilen bir diferensiyel denklemdir. 5) Elde edilen değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklemin çözümü bulunur ve bu çözümde u yerine y x konularak verilen homojen diferensiyel denklemin genel çözümü bulunur. Uyarı: M ( x, y) + N( x, y) = 0 denklemindeki M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonları aynı dereceden homojen fonksiyonlar iseler denklem homojen tipte diferensiyel denklemdir. Örnek 2.2.1: ( x y ) 3xy 0 + = diferensiyel denklemini çözün x x y y x Örnek 2.2.2: (1 + 2 e ) + 2 e (1 ) = 0 diferensiyel denklemini y çözün Hatırlatma M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonlari x cinsinden elde edilmiş y olduklarından denklem homojen tipdir. Örnek 2.2.3: Diferensiyel denklemi 2 2 ( x 3 y ) 2xy 0 + = çözün Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 11
12 Örnek 2.2.4: Diferensiyel denklemini 2 2 (2xy 3 y ) (2 xy x ) = çözün. y Örnek 2.2.5: Diferensiyel denklemini x tan + y x = 0 x çözün. Örnek 2.2.6: ( ) denklemi çözün x y x y xy x y = 0 verilen diferensiyel 2.3 Homojen Olmayan Diferensiyel Denklemlerin Çözümü a x + b y + c = a x + b y + c tipi Diferensiyel Denklem Çözümü: a1 x + b1 y + c1 Bu bölümde = a x + b y + c tipi diferensiyel denklemlerin çözümünü inceleyeceğiz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 12
13 a1 x + b1 y + c1 Diferensiyel denklemimiz = a x + b y + c (1) olsun. Denklem (1 ) in homojen diferensiyel denklem olmaması için sabitlerden (yani c 1 ile c 2 ) en az birinin sıfırdan farklı olduğunu düşüneceğiz. Durum 1: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 doğrularının keşişme durumu a x + b y + c = a x + b y + c diferensiyel denkleminde verilen doğruların keşişme noktası ( h, k ) noktası olsun. Diferensiyel denklem 1 e x = X + h ve y = Y + k Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 13
14 dönüşümleri yerleştirilirse denklem 1 a1 X + b1y + ( a1h + b1k + c1 ) = a X + b Y + ( a h + b k + c ) şekline dönüşür. Doğruların kesim noktası olan ( h, k ) noktası doğru denklemlerinde yerine yerleştirildiğinde de a 1 h + b 1 k + c 1 = 0 ve a2h + b2k + c2 = 0 denklemleri elde edileceğinden yukarıdaki denklemin yeni şekli = 0 a1 X + by 1 + ( a1h + b1k + c1 ) = a2 X + b2y + ( a2h + b2k + c2 ) = 0 olur, ve bu son denklem homojen diferensiyel denklem haline a1 X + by 1 dönüşür, yani = a X + b Y 2 2 denklemi olur. En son elde edilen homojen diferensiyel denklemin çözümü ise, denklem 1 in çözümünü verir. Örnek 2.3.1: 2x + 3y 1 = diferensiyel denklemi çözünüz. x 2y 4 Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 14
15 Örnek : Diferensiyel denklemi ( x 2y + 1) + (4x 3y 6) = 0 çözünüz a1 x + b1 y + c1 Durum 2 : = a x + b y + c diferensiyel denkleminde d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 doğrularının paralel olma durumu: a x + b y + c = a x + b y + c diferensiyel denkleminde doğrular paralel ise a a b = = λ oranı elde edilir ve çözüm için aşağıdaki adımlar b uygulanır: a1x + b1 y + c1 = λ( a x + b y) + c (1) Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 15
16 olsun. dz z = a1x + b1 y dönüşümünden ise = a1 + b1 (2) elde edilir. dz z + c1 Denklem 2, denklem 1 de yerine yerleştirilir ve = b ( ) + a λz + c diferensiyel denklemi bulunur. Bulduğumuz bu son denklem, değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklemdir, çözümü homojen olmayan diferensiyel denklemin çözümünü verir. Örnek : Diferensiyel denklemi x 2y 1 = çözünüz x 2y 4 Örnek : Diferensiyel denklemi x + 2y 1 = 2x + 4y + 3 çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 16
17 2.4 Tam Diferensiyel Denklemler M ( x, y) + N( x, y) = 0 diferensiyel denkleminde M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonları M ( x, y) N( x, y) = y x bağlantısını sağlıyorsa bu denkleme tam diferensiyel denklem denmektedir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 17
18 Tam diferensiyel denklemini çözmek için: M ( x, y) + N( x, y) = 0 denkleminin sol tarafının, bir F( x, y) fonksiyonunun toplam diferensiyeli olduğunu farz edelim. Bu takdirde F( x, y) F( x, y) M ( x, y) + N( x, y) = df( x, y) = + x y yazıp buradan da F M ( x, y) = (1) x ve F N( x, y) = (2) y denklemleri yazılır. Denklem 1 veya denklem 2 yi kullanarak F( x, y) fonksiyonu bulunur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 18
19 Denklem 1 i kullandığımızı düşünelim: F = M ( x, y + c ( y ) x Her iki tarafın x e göre integrali alınır; ( ) F = M ( x, y + c ( y ) x elde edilince (, ) ( ) F x y fonksiyonunun y değişkenine göre türevi alınır ve bu türev denklem (2) ile eşitlenir. Eşitlikten c ( y) bulunur, c ( y) nin y değişkenine göre integrali bize c( y ) yi verir. Son olarak F( x, y ) fonksiyonu yazılır ve diferensiyel denklemin genel çözümüne ulaşılır. Aynı işlemler denklem 2 seçilerek de yapılabilinir. Örnek : Diferensiyel denklemi cos y + (2y xsin y) = 0 çözünüz Örnek Diferensiyel denklemi 2 2 2x y 3x + = 0 çözünüz 3 4 y y Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 19
20 Örnek Diferensiyel denklemi 2 2 ( x y x) y = çözünüz Örnek Diferensiyel denklemi ( x y 2) + (4y x 1) = 0 çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 20
21 2.5 İntegrasyon Çarpanı M ( x, y) + N( x, y) = 0. (1) gibi bir diferensiyel denklem düşünelim. M ( x, y) N ( x, y) y x durumunda denklem (1) tam diferensiyel denklem olamaz. Bu diferensiyel denklemi µ ( x, y) (integrasyon çarpanı) gibi bir fonksiyonla çarparsak tam diferensiyel denklem halinde dönüşür. µ ( x, y) M ( x, y) + µ ( x, y) N( x, y) = 0 (2) Denklem 1 çarpımdan sonra denklem 2 olarak isimlendirilir. İntegrasyon çarpanı ile denklemimizi çarptıktan sonra tam diferensiyel denklem olup olmadığı kontrol edilir. Denklem 2 çözülüp, denklem 1 in genel çözümünü bulunur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 21
22 Örnek : Diferensiyel denklemini ( Ax y + 2 y ) + ( x + 4 xy) = 0 düşünelim. Verilen diferensiyel denklemin tam diferensiyel denklem olabilmesi için A nın değeri ne olmalıdır Örnek : Verilen diferensiyel denklemin, 3 2 ( x xy ) N( x, y) = tam diferensiyel denklem olabilmesi icin N( x, y ) fonksiyonu ne olmalı. Örnek 2.5.3: 2 (4x + 3 y ) + 2xy = 0 a) verilen diferensiyel denklem tam diferensiyel denklem mi? b) n x, n pozitif tam sayı, formunda olan integrasyon çarpanını bulun. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 22
23 2.6 Tam diferensiyel denkleme dönüşebilen denklemler: Tam Olmayan Diferensiyel Denklem Çözümü: Diferensiyel denklemimiz M ( x, y) + N( x, y) = 0 (1) tam diferensiyel denklem olmasın. Yani M ( x, y) N( x, y) y x olsun. i. Eğer 1 M ( x, y) N ( x, y) [ ] N( x, y) y x Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 23
24 y değişkenine bağlı değil ise denklem 1 in integrasyon çarpanı e 1 M ( x, y) N ( x, y) [ ] N ( x, y) y x olur. ii. Eğer 1 N( x, y) M ( x, y) [ ] M ( x, y) x y x değişkenine bağlı değil ise denklem 1 in integrasyon çarpanı e 1 N ( x, y) M ( x, y) [ ] M ( x, y) x y olur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 24
25 Örnek 2.6.1: çözünüz. Diferensiyel denklemini 2 2 ( x + y + x) + y = 0 Örnek : Diferensiyel denklemini 2 2 (5xy 4y 1) ( x 2 xy) = çözünüz Örnek : Diferensiyel denklemini 2 (2x tan y) ( x x tan y) = çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 25
26 2.7 Birinci Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemler Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler P( x) y Q( x) + = (1) şeklinde yazılır. P( x) ve Q( x ) fonksiyonlarının herhangi bir aralığında x [ a, b] sürekli oldukları var sayılmaktadır. Denklem 1 de bağımlı değişken y, bağımsıız değişken ise x olarak kabul edilmiştir. Hatırlatma: Bağımlı ve bağımsız değişkenleri istediğimiz gibi tanımlayabiliriz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 26
27 x Örneğin, ( x + 1) + xy = e diferensiyel denklemi birinci mertebeden adi lineer diferensiyel denklemdir. Eğer Q( x) 0 ise denklem 1, P( x) y 0 + = (2) şeklinde yazılır ve birinci mertebeden homojen lineer denklem adını alır. Denklem 2 değişkenlerine ayrılabildiğinden çözümünü yapabiliyoruz. Örneğin xy = 0 homojen lineer diferensiyel denklemini çözelim. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 27
28 Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: P( x) y Q( x) + = (1) Denklem 1 de Q( x) 0 olarak kabul edilmiştir. 1) Verilen diferensiyel denklem, denklem 1 gibi yazılmalı. 2) P( x) e den diferensiyel denklemin integrasyon çarpanı bulunur. 3) genel formdaki diferensiyel denklem integrasyon çarpanı ile çarpılır. 4) Ve çarpımdan sonra P( x) P( x) d( e. y) = e. Q( x) gibi bir denklem elde edilince, her iki tarafın x değişkenine bağlı integrali hesaplanır ve böylelikle diferensiyel denklemin çözümüne ulaşılır. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 28
29 Örnek 2.7.1: Örnek 2.7.2: Örnek 2.7.3: Diferensiyel denklemi Diferensiyel denklemi Diferensiyel denklemi 2x + 1 x 2 x + ( ) y = e çözünüz ( x + 1) + 6x y = 6x çözünüz. x y x = çözünüz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 29
30 2.8 Bernoulli Diferensiyel Denklemi Genel formu P( x) y Q( x) y n + = (1) şeklinde olan denkleme Bernoulli diferensiyel denklemi denmektedir. Denklem 1 de, eğer n=0 ise diferensiyel denklem lineer diferensiyel denkleme dönüşür. Eğer n=1 ise diferensiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denkleme dönüşür. Bu nedenle denklem 1 için, n 0,1 olduğu varsayılır. u 1 n = y dönüşümü, Bernoulli diferensiyel denklemini lineer diferensiyel denkleme dönüştürür. Böylece dönüşümü kullanarak elde Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 30
31 ettiğimiz yeni lineer diferensiyel denklemi çözüp Bernoulli diferensiyel denklemin genel çözümünü buluruz. Bernoulli diferensiyel denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: P( x) y Q( x) y n + = (1) n y 1. denklem 1 ile çarpılır ve n ( ). 1 n y + P x y = Q( x) (2) elde edilir. u 1 n du 2. u = y n dönüşümün türevi alınır = (1 n) y 1 du = y 1 n n bu türev denklem 2 ye yerleştirilir. 3. Adım 2 den elde edilen diferensiyel denklem, Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 31
32 1 du P( x) v Q( x) 1 n + = gibi lineer diferensiyel denklem dir. 4. Adım 3 den elde ettiğimiz du (1 n) P( x) u (1 n) Q( x) + = P ( x) Q ( x) 1 1 lineer diferensiyel denklemini çözmekle Bernoulli diferensiyel denkleminin genel çözümünü buluruz. Örnek 2.8.1: Diferensiyel denklemi çözünüz y x = x y. Örnek 2.8.2: Diferensiyel denklemi çözünüz 2 y y =. x x Örnek 2.8.3: Diferensiyel denklemi çözünüz 2 x 4 y = y. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 32
Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıMühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3. Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA
Mühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3 Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA İÇİNDEKİLER BÖLÜM 2 2.1. GİRİŞ 2.2. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ 2.3. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıUYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER
UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıŞeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır.
5. Diferansiyel Denklem Sistemleri ve Çözüm Yöntemleri X=bağımsız, Y, Z, W = bağımlı değişkenler olmak üzere; Y= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) Z= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) W= (X, Y, Y, Y,,
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıİSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL
DetaylıDeğişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıSınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası
March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS DİFERANSİYEL DENKLEMLER FEB-211 2/ 1.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
Detaylıa) x +3 = 8 b) x -4 = -2 c) x -7 = 4 d) x +5 = 6 e) x +8 = 2 f) x -1= -8 x +3 = 5 denkleminin çözümünü bulunuz.
Denklemler bilinmeyen - cebirsel ifade - 7 denklem Bir cebirsel ifade bir sonuca eşit oluyorsa buna denklem denir. Bazı denklemlerin çözümü yoktur, bazı denklemlerin sonsuz, bazı denklemlerin bir, iki,
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıMAT 2011 MATEMATİK III
} MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
Detaylımatematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı
matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Ünite 10: Regresyon Analizi Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT 10.Ünite Regresyon Analizi 2 Ünitede Ele Alınan Konular 10. Regresyon Analizi 10.1. Basit Doğrusal regresyon 10.2. Regresyon denklemi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıOLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)
OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
DetaylıŞekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi
6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen
DetaylıPROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK
KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıElektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri
Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri Elektronik Mühendisliği Devreler ve Sistemler Haberleşme Sistemleri Elektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
DetaylıÖzdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler
Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini
DetaylıBekleme Hattı Teorisi
Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıDERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU
DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU Dersin Adı Kodu Normal Kredisi ECTS Ders 4 Yarıyılı Kredisi uygulama 0 Diferansiyel Denklemler 0252311 3 4 6 Laboratuvar 0 (Saat/Hafta) Dersin Dili Türkçe Dersin Türü Zorunlu
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
DetaylıDoğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira
2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte
Detaylıe e ex α := e α α +1,
s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
DetaylıİÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...
İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...
DetaylıBÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
DetaylıBAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ
BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ www.sbelian.wordpress.com Gerek lise müfredatında gerekse Tübitak İlköğretim ve Lise sınavlarında, sıkça karşılaşılan soru tiplerinde biri de irrasyonel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ
BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıTRİGONOMETRİK DENKLEMLER
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
DetaylıÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama
AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
Detaylı2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. g) ( ) 3) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 4) Aşağıda verilen işlemleri yazınız.
8.2. ÜSLÜ SAYILARDA İŞLEM 8.2..A ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ 2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 2 ( + 2) + ( ) 3 ( 2) + ( 2) Üslü sayılarda toplama veya çıkarma işleminde her üslü niceliğin
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
DetaylıDoğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk
Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı