Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Transkript

1 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler olarak ayrılmaktadırlar. Diferensiyel denklemler ilk defa 1676 yılında Leibniz tarafından kullanılmıştır. Diferensiyel denklemler problemlerin modellenmesi ve problemlerin çözülebilmesi için kullanılmaktadır. 1 Diferensiyel Denklem Kavramı x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y = f ( x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun ( n),,, y türevleri arasındaki bir bağıntıya diferensiyel y y denklem denir. Böyle bir denklem sembolik olarak n ( n) d y F( x, y, y,..., y ) = 0 veya F( x, y,,..., ) = 0 şeklinde gösterilir. n Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 1

2 F = ma denklemi bir diferensiyel denklemdir. Bu diferensiyel denklem F = m. dv veya dt 2. d x 2 F = m şeklinde de yazılabilinir. dt y + y = 0 denklemi de bir diferensiyel denklemdir. Tanım 1.1.1: Bir veya daha fazla bağımlı değişkenin tek bir değişkene göre adi türevlerini içeren diferensiyel denklemlere Adi (Sıradan) Diferensiyel denklem denir. Adi diferensiyel denklemlere kısaca diferensiyel denklem de denmektedir. Örnek y + y = 0 veya y cos x = sıradan diferensiyel denklemlerdir. Tanım 1.1.2: İçinde bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin, belirli bir mertebeye kadar birden fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevleri bulunan Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 2

3 denkleme ise kısmi diferensiyel denklem veya kısmi türevli denklem denir. dz dz + = 0 veya denklemlerdir. 2 z z + P( x, y) = Q( x, y) x y x kısmi diferensiyel Tanım Diferensiyel Denklem Mertebesi: Bir diferensiyel denklemin mertebesi, denklemde mevcut olan en yüksek mertebeli türevin mertebesidir. Bir diferensiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin üssüne, bu diferensiyel denklemin derecesi denir. Örnek y 3y 5y x 2 + = diferensiyel denklemin mertebesi.. ve derecesi ise... dir Örnek xy = 2x diferensiyel denklemin mertebesi... ve derecesi ise... dir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 3

4 Örnek d y x y = x diferensiyel denklemin mertebesi... ve derecesi ise...dir. 1.2 Diferensiyel Denklemin Çözümleri: x 2 4x + 4 = 0 gibi cebirsel bir denklem çözerken amacımız denklemi sağlayan kökleri bulmaktır. Bu cebirsel denklemi sağlayan değer elbette 2 dir. Diferensiyel denklem çözerken ise amacımız belli bir aralıkta diferensiyel denklemi sağlayan fonksiyonlar bulmaktır. y 0 = diferensiyel denklemini herhangi bir x değeri için x y = e sağlamaktadır. Bir diferensiyel denklemi özdeş olarak sağlayan her y = f ( x) fonksiyonuna diferensiyel denklemin çözümü veya integrali denir. Bir Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 4

5 diferensiyel denklemi çözmek demek, türevleri ile birlikte, diferensiyel denklemde yerine konulduğu zaman, denklemi özdeş olarak sağlayan bütün fonksiyonları bulmak demektir. Diferensiyel denklemlerin çözümleri, genel, özel ve tekil olmak üzere üç türlüdür. n. mertebenden bir diferensiyel denklemin genel çözümü tane keyfi sabit içerir. Özel çözümler genel çözümlerden özel değerler vermek suretiyle elde edilir. Diferensiyel denklemin herhangi bir çözümü, genel çözümdeki sabitlere değerler verilerek elde edilemiyorsa böyle çözümlere tekil çözüm denmektedir. Örnek 1.2.1: y 2x = e ifadesinin (, ) aralığında y 2y = 0 diferensiyel denkleminin bir çözümü olduğunu gösteriniz. Örnek 1.2.2: = ifadesinin y 4y + 4y = 8x 20 2 x y Cxe x diferensiyel denkleminin, C sabitinin herhangi bir değeri için, genel çözümü olduğunu gösteriniz. 1.3 Başlangıç Değer Problemi Örneğin Genelde bir diferensiyel denklemin çözümleri sonsuz sayıdadır. y = sin x + c bir diferensiyel denklemin çözümü olsun, c değerine bağlı olarak benzer yapıda sonsuz sayıda çözüm bulabiliriz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 5

6 = f ( x, y) şeklinde olan bir denklem için bu problem başlangıç değerleri denilen iki değeri gözönüne almakla çözülür. Tanım 1.3.1: f ( x, y) = Denklemin koşulunu sağlayan y(x) çözümünün bulunmasına başlangıç-değer problemi veya Cauchy problemi denir. x 0 ve y 0 değerlerine başlangıç değerleri veya Cauchy verileri adı verilir. Geometrik olarak başlangıç değer problemini çözmek f ( x, y) = şeklinde olan denklemin ( x0, y0) noktasından geçen çözümünü bulmak anlamına gelmektedir. Diferensiyel denklemin şartları bağımsız değişkenin aynı değeri için verilmişse bu şartlara başlangıç şartları, bağımsız değişkenin birden fazla değeri için belirlenmişse bu şartlara sınır şartları denir. Örnek 1.3.1: 4x y 3y + y = 2xe y(2) = 5, y (2) = 3 başlangıç değer problemi. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 6

7 Örnek 1.3.2: 4x y 3y + y = 2xe y(2) = 5, y (8) = 2 sınır değer problemi. 2 Birinci Mertebeden Diferensiyel Denklemler: Birinci mertebeden bir Diferensiyel Denklem F( x, y, y ) = 0 veya M ( x, y) + N ( x, y) = 0 şeklindedir. Bu denklem bazen y = f ( x, y) veya = f ( x, y) şekline de dönüştürülebilir. Örneğin, x + y = 0 diferensiyel denklemi = x olarak da ifade y edilebilinir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 7

8 2.1 Değişkenlere Ayrılabilen Tipte Diferensiyel Denklem: M ( x, y) + N ( x, y) = 0 şeklindeki bir diferensiyel denklem f ( x) + g( y) = 0 olarak ifade edilebiliyorsa Değişkenlere ayrılabilen tipte Diferensiyel Denklem adını alır. Değişkenlere ayrılabilen tipte Diferensiyel Denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: 1. Verilen herhangi bir diferensiyel denklem f ( x) + g( y) = 0 olarak ifade edilir adımdaki diferensiyel denklemin her iki tarafının integrali denklem şeklinde ifade edilir. alınır ve f ( x) + g( y) = c 3. Diferensiyel denklemin çözümü 2. adımdaki integralin sonucudur, yani F( x) + G( y) = c dir. Örnek 2.1.1: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz y 5y + 3 = 0 Örnek 2.1.2: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz y = 2 6x 0 Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 8

9 Örnek 2.1.3: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz 2yy 4 = 0 Örnek 2.1.4: Verilen diferensiyel denklemi y cos x 0 + = çözünüz. Örnek 2.1.5: çözümünü bulun. Verilen diferensiyel denklemin 2 x 1 e sec y + sin y = 0 x 2.2 Homojen Tip Diferensiyel Denklemler: n Tanım 2.2.1: Her x için f ( λx, λ y) = λ f ( x, y) ise, f ( x, y ) fonksiyonu x ve y değişkenlerine göre n. dereceden homojen bir fonksiyondur denir. Tanım 2.2.2: f ( x, y ) fonksiyonu x ve y ye göre sıfırıncı dereceden homojen ise denklem adını alır. = f ( x, y) diferensiyel denklemi homojen tip diferensyel Sıfırıncı dereceden homojen tip diferensiyel denklem için Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 9

10 0 f ( λx, λ y) = λ f ( x, y) = f ( x, y) dir. 1 y λ = olarak seçelim, bu şeçim sonucunda f ( x, y) = f (1, ) olarak x x yazılabilinir. Bu gösterim bize sıfırıncı dereceden homojen bir fonksiyonun y x e bağlı olduğunu gösterir. Ve = f ( x, y) denklemi sıfırıncı dereceden y homojen tip diferensiyel denklem ise = f (1, ) olarak ifade x edilebilir. Homojen Diferensiyel denklemi çözmek için aşağıdaki işlemler yapılır: 1) Diferensiyel denklemin homojen olup olmadığı araştırılır. y 2) = f ( x, y) homojen diferensiyel denklem = f (1, ) şeklinde x yazılır. 3) Bu denklemde y = u yani y = ux dönüşümü kullanılır, bu x dönüşüm türevi alınarak = u + x du elde edilir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 10

11 4) 1. adım ve 2. adımlar birbirlerine eşit olduğundan eşitlenirler ve du y u + x f (1, ) = x denklemi elde edilir. Bu elde edilen yeni denklem değişkenlerine ayrılabilen bir diferensiyel denklemdir. 5) Elde edilen değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklemin çözümü bulunur ve bu çözümde u yerine y x konularak verilen homojen diferensiyel denklemin genel çözümü bulunur. Uyarı: M ( x, y) + N( x, y) = 0 denklemindeki M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonları aynı dereceden homojen fonksiyonlar iseler denklem homojen tipte diferensiyel denklemdir. Örnek 2.2.1: ( x y ) 3xy 0 + = diferensiyel denklemini çözün x x y y x Örnek 2.2.2: (1 + 2 e ) + 2 e (1 ) = 0 diferensiyel denklemini y çözün Hatırlatma M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonlari x cinsinden elde edilmiş y olduklarından denklem homojen tipdir. Örnek 2.2.3: Diferensiyel denklemi 2 2 ( x 3 y ) 2xy 0 + = çözün Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 11

12 Örnek 2.2.4: Diferensiyel denklemini 2 2 (2xy 3 y ) (2 xy x ) = çözün. y Örnek 2.2.5: Diferensiyel denklemini x tan + y x = 0 x çözün. Örnek 2.2.6: ( ) denklemi çözün x y x y xy x y = 0 verilen diferensiyel 2.3 Homojen Olmayan Diferensiyel Denklemlerin Çözümü a x + b y + c = a x + b y + c tipi Diferensiyel Denklem Çözümü: a1 x + b1 y + c1 Bu bölümde = a x + b y + c tipi diferensiyel denklemlerin çözümünü inceleyeceğiz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 12

13 a1 x + b1 y + c1 Diferensiyel denklemimiz = a x + b y + c (1) olsun. Denklem (1 ) in homojen diferensiyel denklem olmaması için sabitlerden (yani c 1 ile c 2 ) en az birinin sıfırdan farklı olduğunu düşüneceğiz. Durum 1: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 doğrularının keşişme durumu a x + b y + c = a x + b y + c diferensiyel denkleminde verilen doğruların keşişme noktası ( h, k ) noktası olsun. Diferensiyel denklem 1 e x = X + h ve y = Y + k Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 13

14 dönüşümleri yerleştirilirse denklem 1 a1 X + b1y + ( a1h + b1k + c1 ) = a X + b Y + ( a h + b k + c ) şekline dönüşür. Doğruların kesim noktası olan ( h, k ) noktası doğru denklemlerinde yerine yerleştirildiğinde de a 1 h + b 1 k + c 1 = 0 ve a2h + b2k + c2 = 0 denklemleri elde edileceğinden yukarıdaki denklemin yeni şekli = 0 a1 X + by 1 + ( a1h + b1k + c1 ) = a2 X + b2y + ( a2h + b2k + c2 ) = 0 olur, ve bu son denklem homojen diferensiyel denklem haline a1 X + by 1 dönüşür, yani = a X + b Y 2 2 denklemi olur. En son elde edilen homojen diferensiyel denklemin çözümü ise, denklem 1 in çözümünü verir. Örnek 2.3.1: 2x + 3y 1 = diferensiyel denklemi çözünüz. x 2y 4 Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 14

15 Örnek : Diferensiyel denklemi ( x 2y + 1) + (4x 3y 6) = 0 çözünüz a1 x + b1 y + c1 Durum 2 : = a x + b y + c diferensiyel denkleminde d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 doğrularının paralel olma durumu: a x + b y + c = a x + b y + c diferensiyel denkleminde doğrular paralel ise a a b = = λ oranı elde edilir ve çözüm için aşağıdaki adımlar b uygulanır: a1x + b1 y + c1 = λ( a x + b y) + c (1) Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 15

16 olsun. dz z = a1x + b1 y dönüşümünden ise = a1 + b1 (2) elde edilir. dz z + c1 Denklem 2, denklem 1 de yerine yerleştirilir ve = b ( ) + a λz + c diferensiyel denklemi bulunur. Bulduğumuz bu son denklem, değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklemdir, çözümü homojen olmayan diferensiyel denklemin çözümünü verir. Örnek : Diferensiyel denklemi x 2y 1 = çözünüz x 2y 4 Örnek : Diferensiyel denklemi x + 2y 1 = 2x + 4y + 3 çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 16

17 2.4 Tam Diferensiyel Denklemler M ( x, y) + N( x, y) = 0 diferensiyel denkleminde M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonları M ( x, y) N( x, y) = y x bağlantısını sağlıyorsa bu denkleme tam diferensiyel denklem denmektedir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 17

18 Tam diferensiyel denklemini çözmek için: M ( x, y) + N( x, y) = 0 denkleminin sol tarafının, bir F( x, y) fonksiyonunun toplam diferensiyeli olduğunu farz edelim. Bu takdirde F( x, y) F( x, y) M ( x, y) + N( x, y) = df( x, y) = + x y yazıp buradan da F M ( x, y) = (1) x ve F N( x, y) = (2) y denklemleri yazılır. Denklem 1 veya denklem 2 yi kullanarak F( x, y) fonksiyonu bulunur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 18

19 Denklem 1 i kullandığımızı düşünelim: F = M ( x, y + c ( y ) x Her iki tarafın x e göre integrali alınır; ( ) F = M ( x, y + c ( y ) x elde edilince (, ) ( ) F x y fonksiyonunun y değişkenine göre türevi alınır ve bu türev denklem (2) ile eşitlenir. Eşitlikten c ( y) bulunur, c ( y) nin y değişkenine göre integrali bize c( y ) yi verir. Son olarak F( x, y ) fonksiyonu yazılır ve diferensiyel denklemin genel çözümüne ulaşılır. Aynı işlemler denklem 2 seçilerek de yapılabilinir. Örnek : Diferensiyel denklemi cos y + (2y xsin y) = 0 çözünüz Örnek Diferensiyel denklemi 2 2 2x y 3x + = 0 çözünüz 3 4 y y Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 19

20 Örnek Diferensiyel denklemi 2 2 ( x y x) y = çözünüz Örnek Diferensiyel denklemi ( x y 2) + (4y x 1) = 0 çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 20

21 2.5 İntegrasyon Çarpanı M ( x, y) + N( x, y) = 0. (1) gibi bir diferensiyel denklem düşünelim. M ( x, y) N ( x, y) y x durumunda denklem (1) tam diferensiyel denklem olamaz. Bu diferensiyel denklemi µ ( x, y) (integrasyon çarpanı) gibi bir fonksiyonla çarparsak tam diferensiyel denklem halinde dönüşür. µ ( x, y) M ( x, y) + µ ( x, y) N( x, y) = 0 (2) Denklem 1 çarpımdan sonra denklem 2 olarak isimlendirilir. İntegrasyon çarpanı ile denklemimizi çarptıktan sonra tam diferensiyel denklem olup olmadığı kontrol edilir. Denklem 2 çözülüp, denklem 1 in genel çözümünü bulunur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 21

22 Örnek : Diferensiyel denklemini ( Ax y + 2 y ) + ( x + 4 xy) = 0 düşünelim. Verilen diferensiyel denklemin tam diferensiyel denklem olabilmesi için A nın değeri ne olmalıdır Örnek : Verilen diferensiyel denklemin, 3 2 ( x xy ) N( x, y) = tam diferensiyel denklem olabilmesi icin N( x, y ) fonksiyonu ne olmalı. Örnek 2.5.3: 2 (4x + 3 y ) + 2xy = 0 a) verilen diferensiyel denklem tam diferensiyel denklem mi? b) n x, n pozitif tam sayı, formunda olan integrasyon çarpanını bulun. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 22

23 2.6 Tam diferensiyel denkleme dönüşebilen denklemler: Tam Olmayan Diferensiyel Denklem Çözümü: Diferensiyel denklemimiz M ( x, y) + N( x, y) = 0 (1) tam diferensiyel denklem olmasın. Yani M ( x, y) N( x, y) y x olsun. i. Eğer 1 M ( x, y) N ( x, y) [ ] N( x, y) y x Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 23

24 y değişkenine bağlı değil ise denklem 1 in integrasyon çarpanı e 1 M ( x, y) N ( x, y) [ ] N ( x, y) y x olur. ii. Eğer 1 N( x, y) M ( x, y) [ ] M ( x, y) x y x değişkenine bağlı değil ise denklem 1 in integrasyon çarpanı e 1 N ( x, y) M ( x, y) [ ] M ( x, y) x y olur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 24

25 Örnek 2.6.1: çözünüz. Diferensiyel denklemini 2 2 ( x + y + x) + y = 0 Örnek : Diferensiyel denklemini 2 2 (5xy 4y 1) ( x 2 xy) = çözünüz Örnek : Diferensiyel denklemini 2 (2x tan y) ( x x tan y) = çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 25

26 2.7 Birinci Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemler Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler P( x) y Q( x) + = (1) şeklinde yazılır. P( x) ve Q( x ) fonksiyonlarının herhangi bir aralığında x [ a, b] sürekli oldukları var sayılmaktadır. Denklem 1 de bağımlı değişken y, bağımsıız değişken ise x olarak kabul edilmiştir. Hatırlatma: Bağımlı ve bağımsız değişkenleri istediğimiz gibi tanımlayabiliriz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 26

27 x Örneğin, ( x + 1) + xy = e diferensiyel denklemi birinci mertebeden adi lineer diferensiyel denklemdir. Eğer Q( x) 0 ise denklem 1, P( x) y 0 + = (2) şeklinde yazılır ve birinci mertebeden homojen lineer denklem adını alır. Denklem 2 değişkenlerine ayrılabildiğinden çözümünü yapabiliyoruz. Örneğin xy = 0 homojen lineer diferensiyel denklemini çözelim. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 27

28 Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: P( x) y Q( x) + = (1) Denklem 1 de Q( x) 0 olarak kabul edilmiştir. 1) Verilen diferensiyel denklem, denklem 1 gibi yazılmalı. 2) P( x) e den diferensiyel denklemin integrasyon çarpanı bulunur. 3) genel formdaki diferensiyel denklem integrasyon çarpanı ile çarpılır. 4) Ve çarpımdan sonra P( x) P( x) d( e. y) = e. Q( x) gibi bir denklem elde edilince, her iki tarafın x değişkenine bağlı integrali hesaplanır ve böylelikle diferensiyel denklemin çözümüne ulaşılır. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 28

29 Örnek 2.7.1: Örnek 2.7.2: Örnek 2.7.3: Diferensiyel denklemi Diferensiyel denklemi Diferensiyel denklemi 2x + 1 x 2 x + ( ) y = e çözünüz ( x + 1) + 6x y = 6x çözünüz. x y x = çözünüz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 29

30 2.8 Bernoulli Diferensiyel Denklemi Genel formu P( x) y Q( x) y n + = (1) şeklinde olan denkleme Bernoulli diferensiyel denklemi denmektedir. Denklem 1 de, eğer n=0 ise diferensiyel denklem lineer diferensiyel denkleme dönüşür. Eğer n=1 ise diferensiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denkleme dönüşür. Bu nedenle denklem 1 için, n 0,1 olduğu varsayılır. u 1 n = y dönüşümü, Bernoulli diferensiyel denklemini lineer diferensiyel denkleme dönüştürür. Böylece dönüşümü kullanarak elde Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 30

31 ettiğimiz yeni lineer diferensiyel denklemi çözüp Bernoulli diferensiyel denklemin genel çözümünü buluruz. Bernoulli diferensiyel denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: P( x) y Q( x) y n + = (1) n y 1. denklem 1 ile çarpılır ve n ( ). 1 n y + P x y = Q( x) (2) elde edilir. u 1 n du 2. u = y n dönüşümün türevi alınır = (1 n) y 1 du = y 1 n n bu türev denklem 2 ye yerleştirilir. 3. Adım 2 den elde edilen diferensiyel denklem, Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 31

32 1 du P( x) v Q( x) 1 n + = gibi lineer diferensiyel denklem dir. 4. Adım 3 den elde ettiğimiz du (1 n) P( x) u (1 n) Q( x) + = P ( x) Q ( x) 1 1 lineer diferensiyel denklemini çözmekle Bernoulli diferensiyel denkleminin genel çözümünü buluruz. Örnek 2.8.1: Diferensiyel denklemi çözünüz y x = x y. Örnek 2.8.2: Diferensiyel denklemi çözünüz 2 y y =. x x Örnek 2.8.3: Diferensiyel denklemi çözünüz 2 x 4 y = y. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 32