Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012"

Transkript

1 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler olarak ayrılmaktadırlar. Diferensiyel denklemler ilk defa 1676 yılında Leibniz tarafından kullanılmıştır. Diferensiyel denklemler problemlerin modellenmesi ve problemlerin çözülebilmesi için kullanılmaktadır. 1 Diferensiyel Denklem Kavramı x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y = f ( x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun ( n),,, y türevleri arasındaki bir bağıntıya diferensiyel y y denklem denir. Böyle bir denklem sembolik olarak n ( n) d y F( x, y, y,..., y ) = 0 veya F( x, y,,..., ) = 0 şeklinde gösterilir. n Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 1

2 F = ma denklemi bir diferensiyel denklemdir. Bu diferensiyel denklem F = m. dv veya dt 2. d x 2 F = m şeklinde de yazılabilinir. dt y + y = 0 denklemi de bir diferensiyel denklemdir. Tanım 1.1.1: Bir veya daha fazla bağımlı değişkenin tek bir değişkene göre adi türevlerini içeren diferensiyel denklemlere Adi (Sıradan) Diferensiyel denklem denir. Adi diferensiyel denklemlere kısaca diferensiyel denklem de denmektedir. Örnek y + y = 0 veya y cos x = sıradan diferensiyel denklemlerdir. Tanım 1.1.2: İçinde bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin, belirli bir mertebeye kadar birden fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevleri bulunan Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 2

3 denkleme ise kısmi diferensiyel denklem veya kısmi türevli denklem denir. dz dz + = 0 veya denklemlerdir. 2 z z + P( x, y) = Q( x, y) x y x kısmi diferensiyel Tanım Diferensiyel Denklem Mertebesi: Bir diferensiyel denklemin mertebesi, denklemde mevcut olan en yüksek mertebeli türevin mertebesidir. Bir diferensiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin üssüne, bu diferensiyel denklemin derecesi denir. Örnek y 3y 5y x 2 + = diferensiyel denklemin mertebesi.. ve derecesi ise... dir Örnek xy = 2x diferensiyel denklemin mertebesi... ve derecesi ise... dir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 3

4 Örnek d y x y = x diferensiyel denklemin mertebesi... ve derecesi ise...dir. 1.2 Diferensiyel Denklemin Çözümleri: x 2 4x + 4 = 0 gibi cebirsel bir denklem çözerken amacımız denklemi sağlayan kökleri bulmaktır. Bu cebirsel denklemi sağlayan değer elbette 2 dir. Diferensiyel denklem çözerken ise amacımız belli bir aralıkta diferensiyel denklemi sağlayan fonksiyonlar bulmaktır. y 0 = diferensiyel denklemini herhangi bir x değeri için x y = e sağlamaktadır. Bir diferensiyel denklemi özdeş olarak sağlayan her y = f ( x) fonksiyonuna diferensiyel denklemin çözümü veya integrali denir. Bir Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 4

5 diferensiyel denklemi çözmek demek, türevleri ile birlikte, diferensiyel denklemde yerine konulduğu zaman, denklemi özdeş olarak sağlayan bütün fonksiyonları bulmak demektir. Diferensiyel denklemlerin çözümleri, genel, özel ve tekil olmak üzere üç türlüdür. n. mertebenden bir diferensiyel denklemin genel çözümü tane keyfi sabit içerir. Özel çözümler genel çözümlerden özel değerler vermek suretiyle elde edilir. Diferensiyel denklemin herhangi bir çözümü, genel çözümdeki sabitlere değerler verilerek elde edilemiyorsa böyle çözümlere tekil çözüm denmektedir. Örnek 1.2.1: y 2x = e ifadesinin (, ) aralığında y 2y = 0 diferensiyel denkleminin bir çözümü olduğunu gösteriniz. Örnek 1.2.2: = ifadesinin y 4y + 4y = 8x 20 2 x y Cxe x diferensiyel denkleminin, C sabitinin herhangi bir değeri için, genel çözümü olduğunu gösteriniz. 1.3 Başlangıç Değer Problemi Örneğin Genelde bir diferensiyel denklemin çözümleri sonsuz sayıdadır. y = sin x + c bir diferensiyel denklemin çözümü olsun, c değerine bağlı olarak benzer yapıda sonsuz sayıda çözüm bulabiliriz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 5

6 = f ( x, y) şeklinde olan bir denklem için bu problem başlangıç değerleri denilen iki değeri gözönüne almakla çözülür. Tanım 1.3.1: f ( x, y) = Denklemin koşulunu sağlayan y(x) çözümünün bulunmasına başlangıç-değer problemi veya Cauchy problemi denir. x 0 ve y 0 değerlerine başlangıç değerleri veya Cauchy verileri adı verilir. Geometrik olarak başlangıç değer problemini çözmek f ( x, y) = şeklinde olan denklemin ( x0, y0) noktasından geçen çözümünü bulmak anlamına gelmektedir. Diferensiyel denklemin şartları bağımsız değişkenin aynı değeri için verilmişse bu şartlara başlangıç şartları, bağımsız değişkenin birden fazla değeri için belirlenmişse bu şartlara sınır şartları denir. Örnek 1.3.1: 4x y 3y + y = 2xe y(2) = 5, y (2) = 3 başlangıç değer problemi. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 6

7 Örnek 1.3.2: 4x y 3y + y = 2xe y(2) = 5, y (8) = 2 sınır değer problemi. 2 Birinci Mertebeden Diferensiyel Denklemler: Birinci mertebeden bir Diferensiyel Denklem F( x, y, y ) = 0 veya M ( x, y) + N ( x, y) = 0 şeklindedir. Bu denklem bazen y = f ( x, y) veya = f ( x, y) şekline de dönüştürülebilir. Örneğin, x + y = 0 diferensiyel denklemi = x olarak da ifade y edilebilinir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 7

8 2.1 Değişkenlere Ayrılabilen Tipte Diferensiyel Denklem: M ( x, y) + N ( x, y) = 0 şeklindeki bir diferensiyel denklem f ( x) + g( y) = 0 olarak ifade edilebiliyorsa Değişkenlere ayrılabilen tipte Diferensiyel Denklem adını alır. Değişkenlere ayrılabilen tipte Diferensiyel Denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: 1. Verilen herhangi bir diferensiyel denklem f ( x) + g( y) = 0 olarak ifade edilir adımdaki diferensiyel denklemin her iki tarafının integrali denklem şeklinde ifade edilir. alınır ve f ( x) + g( y) = c 3. Diferensiyel denklemin çözümü 2. adımdaki integralin sonucudur, yani F( x) + G( y) = c dir. Örnek 2.1.1: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz y 5y + 3 = 0 Örnek 2.1.2: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz y = 2 6x 0 Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 8

9 Örnek 2.1.3: Verilen diferensiyel denklemi çözünüz 2yy 4 = 0 Örnek 2.1.4: Verilen diferensiyel denklemi y cos x 0 + = çözünüz. Örnek 2.1.5: çözümünü bulun. Verilen diferensiyel denklemin 2 x 1 e sec y + sin y = 0 x 2.2 Homojen Tip Diferensiyel Denklemler: n Tanım 2.2.1: Her x için f ( λx, λ y) = λ f ( x, y) ise, f ( x, y ) fonksiyonu x ve y değişkenlerine göre n. dereceden homojen bir fonksiyondur denir. Tanım 2.2.2: f ( x, y ) fonksiyonu x ve y ye göre sıfırıncı dereceden homojen ise denklem adını alır. = f ( x, y) diferensiyel denklemi homojen tip diferensyel Sıfırıncı dereceden homojen tip diferensiyel denklem için Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 9

10 0 f ( λx, λ y) = λ f ( x, y) = f ( x, y) dir. 1 y λ = olarak seçelim, bu şeçim sonucunda f ( x, y) = f (1, ) olarak x x yazılabilinir. Bu gösterim bize sıfırıncı dereceden homojen bir fonksiyonun y x e bağlı olduğunu gösterir. Ve = f ( x, y) denklemi sıfırıncı dereceden y homojen tip diferensiyel denklem ise = f (1, ) olarak ifade x edilebilir. Homojen Diferensiyel denklemi çözmek için aşağıdaki işlemler yapılır: 1) Diferensiyel denklemin homojen olup olmadığı araştırılır. y 2) = f ( x, y) homojen diferensiyel denklem = f (1, ) şeklinde x yazılır. 3) Bu denklemde y = u yani y = ux dönüşümü kullanılır, bu x dönüşüm türevi alınarak = u + x du elde edilir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 10

11 4) 1. adım ve 2. adımlar birbirlerine eşit olduğundan eşitlenirler ve du y u + x f (1, ) = x denklemi elde edilir. Bu elde edilen yeni denklem değişkenlerine ayrılabilen bir diferensiyel denklemdir. 5) Elde edilen değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklemin çözümü bulunur ve bu çözümde u yerine y x konularak verilen homojen diferensiyel denklemin genel çözümü bulunur. Uyarı: M ( x, y) + N( x, y) = 0 denklemindeki M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonları aynı dereceden homojen fonksiyonlar iseler denklem homojen tipte diferensiyel denklemdir. Örnek 2.2.1: ( x y ) 3xy 0 + = diferensiyel denklemini çözün x x y y x Örnek 2.2.2: (1 + 2 e ) + 2 e (1 ) = 0 diferensiyel denklemini y çözün Hatırlatma M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonlari x cinsinden elde edilmiş y olduklarından denklem homojen tipdir. Örnek 2.2.3: Diferensiyel denklemi 2 2 ( x 3 y ) 2xy 0 + = çözün Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 11

12 Örnek 2.2.4: Diferensiyel denklemini 2 2 (2xy 3 y ) (2 xy x ) = çözün. y Örnek 2.2.5: Diferensiyel denklemini x tan + y x = 0 x çözün. Örnek 2.2.6: ( ) denklemi çözün x y x y xy x y = 0 verilen diferensiyel 2.3 Homojen Olmayan Diferensiyel Denklemlerin Çözümü a x + b y + c = a x + b y + c tipi Diferensiyel Denklem Çözümü: a1 x + b1 y + c1 Bu bölümde = a x + b y + c tipi diferensiyel denklemlerin çözümünü inceleyeceğiz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 12

13 a1 x + b1 y + c1 Diferensiyel denklemimiz = a x + b y + c (1) olsun. Denklem (1 ) in homojen diferensiyel denklem olmaması için sabitlerden (yani c 1 ile c 2 ) en az birinin sıfırdan farklı olduğunu düşüneceğiz. Durum 1: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 doğrularının keşişme durumu a x + b y + c = a x + b y + c diferensiyel denkleminde verilen doğruların keşişme noktası ( h, k ) noktası olsun. Diferensiyel denklem 1 e x = X + h ve y = Y + k Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 13

14 dönüşümleri yerleştirilirse denklem 1 a1 X + b1y + ( a1h + b1k + c1 ) = a X + b Y + ( a h + b k + c ) şekline dönüşür. Doğruların kesim noktası olan ( h, k ) noktası doğru denklemlerinde yerine yerleştirildiğinde de a 1 h + b 1 k + c 1 = 0 ve a2h + b2k + c2 = 0 denklemleri elde edileceğinden yukarıdaki denklemin yeni şekli = 0 a1 X + by 1 + ( a1h + b1k + c1 ) = a2 X + b2y + ( a2h + b2k + c2 ) = 0 olur, ve bu son denklem homojen diferensiyel denklem haline a1 X + by 1 dönüşür, yani = a X + b Y 2 2 denklemi olur. En son elde edilen homojen diferensiyel denklemin çözümü ise, denklem 1 in çözümünü verir. Örnek 2.3.1: 2x + 3y 1 = diferensiyel denklemi çözünüz. x 2y 4 Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 14

15 Örnek : Diferensiyel denklemi ( x 2y + 1) + (4x 3y 6) = 0 çözünüz a1 x + b1 y + c1 Durum 2 : = a x + b y + c diferensiyel denkleminde d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 doğrularının paralel olma durumu: a x + b y + c = a x + b y + c diferensiyel denkleminde doğrular paralel ise a a b = = λ oranı elde edilir ve çözüm için aşağıdaki adımlar b uygulanır: a1x + b1 y + c1 = λ( a x + b y) + c (1) Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 15

16 olsun. dz z = a1x + b1 y dönüşümünden ise = a1 + b1 (2) elde edilir. dz z + c1 Denklem 2, denklem 1 de yerine yerleştirilir ve = b ( ) + a λz + c diferensiyel denklemi bulunur. Bulduğumuz bu son denklem, değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklemdir, çözümü homojen olmayan diferensiyel denklemin çözümünü verir. Örnek : Diferensiyel denklemi x 2y 1 = çözünüz x 2y 4 Örnek : Diferensiyel denklemi x + 2y 1 = 2x + 4y + 3 çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 16

17 2.4 Tam Diferensiyel Denklemler M ( x, y) + N( x, y) = 0 diferensiyel denkleminde M ( x, y ) ve N( x, y ) fonksiyonları M ( x, y) N( x, y) = y x bağlantısını sağlıyorsa bu denkleme tam diferensiyel denklem denmektedir. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 17

18 Tam diferensiyel denklemini çözmek için: M ( x, y) + N( x, y) = 0 denkleminin sol tarafının, bir F( x, y) fonksiyonunun toplam diferensiyeli olduğunu farz edelim. Bu takdirde F( x, y) F( x, y) M ( x, y) + N( x, y) = df( x, y) = + x y yazıp buradan da F M ( x, y) = (1) x ve F N( x, y) = (2) y denklemleri yazılır. Denklem 1 veya denklem 2 yi kullanarak F( x, y) fonksiyonu bulunur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 18

19 Denklem 1 i kullandığımızı düşünelim: F = M ( x, y + c ( y ) x Her iki tarafın x e göre integrali alınır; ( ) F = M ( x, y + c ( y ) x elde edilince (, ) ( ) F x y fonksiyonunun y değişkenine göre türevi alınır ve bu türev denklem (2) ile eşitlenir. Eşitlikten c ( y) bulunur, c ( y) nin y değişkenine göre integrali bize c( y ) yi verir. Son olarak F( x, y ) fonksiyonu yazılır ve diferensiyel denklemin genel çözümüne ulaşılır. Aynı işlemler denklem 2 seçilerek de yapılabilinir. Örnek : Diferensiyel denklemi cos y + (2y xsin y) = 0 çözünüz Örnek Diferensiyel denklemi 2 2 2x y 3x + = 0 çözünüz 3 4 y y Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 19

20 Örnek Diferensiyel denklemi 2 2 ( x y x) y = çözünüz Örnek Diferensiyel denklemi ( x y 2) + (4y x 1) = 0 çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 20

21 2.5 İntegrasyon Çarpanı M ( x, y) + N( x, y) = 0. (1) gibi bir diferensiyel denklem düşünelim. M ( x, y) N ( x, y) y x durumunda denklem (1) tam diferensiyel denklem olamaz. Bu diferensiyel denklemi µ ( x, y) (integrasyon çarpanı) gibi bir fonksiyonla çarparsak tam diferensiyel denklem halinde dönüşür. µ ( x, y) M ( x, y) + µ ( x, y) N( x, y) = 0 (2) Denklem 1 çarpımdan sonra denklem 2 olarak isimlendirilir. İntegrasyon çarpanı ile denklemimizi çarptıktan sonra tam diferensiyel denklem olup olmadığı kontrol edilir. Denklem 2 çözülüp, denklem 1 in genel çözümünü bulunur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 21

22 Örnek : Diferensiyel denklemini ( Ax y + 2 y ) + ( x + 4 xy) = 0 düşünelim. Verilen diferensiyel denklemin tam diferensiyel denklem olabilmesi için A nın değeri ne olmalıdır Örnek : Verilen diferensiyel denklemin, 3 2 ( x xy ) N( x, y) = tam diferensiyel denklem olabilmesi icin N( x, y ) fonksiyonu ne olmalı. Örnek 2.5.3: 2 (4x + 3 y ) + 2xy = 0 a) verilen diferensiyel denklem tam diferensiyel denklem mi? b) n x, n pozitif tam sayı, formunda olan integrasyon çarpanını bulun. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 22

23 2.6 Tam diferensiyel denkleme dönüşebilen denklemler: Tam Olmayan Diferensiyel Denklem Çözümü: Diferensiyel denklemimiz M ( x, y) + N( x, y) = 0 (1) tam diferensiyel denklem olmasın. Yani M ( x, y) N( x, y) y x olsun. i. Eğer 1 M ( x, y) N ( x, y) [ ] N( x, y) y x Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 23

24 y değişkenine bağlı değil ise denklem 1 in integrasyon çarpanı e 1 M ( x, y) N ( x, y) [ ] N ( x, y) y x olur. ii. Eğer 1 N( x, y) M ( x, y) [ ] M ( x, y) x y x değişkenine bağlı değil ise denklem 1 in integrasyon çarpanı e 1 N ( x, y) M ( x, y) [ ] M ( x, y) x y olur. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 24

25 Örnek 2.6.1: çözünüz. Diferensiyel denklemini 2 2 ( x + y + x) + y = 0 Örnek : Diferensiyel denklemini 2 2 (5xy 4y 1) ( x 2 xy) = çözünüz Örnek : Diferensiyel denklemini 2 (2x tan y) ( x x tan y) = çözünüz Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 25

26 2.7 Birinci Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemler Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler P( x) y Q( x) + = (1) şeklinde yazılır. P( x) ve Q( x ) fonksiyonlarının herhangi bir aralığında x [ a, b] sürekli oldukları var sayılmaktadır. Denklem 1 de bağımlı değişken y, bağımsıız değişken ise x olarak kabul edilmiştir. Hatırlatma: Bağımlı ve bağımsız değişkenleri istediğimiz gibi tanımlayabiliriz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 26

27 x Örneğin, ( x + 1) + xy = e diferensiyel denklemi birinci mertebeden adi lineer diferensiyel denklemdir. Eğer Q( x) 0 ise denklem 1, P( x) y 0 + = (2) şeklinde yazılır ve birinci mertebeden homojen lineer denklem adını alır. Denklem 2 değişkenlerine ayrılabildiğinden çözümünü yapabiliyoruz. Örneğin xy = 0 homojen lineer diferensiyel denklemini çözelim. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 27

28 Birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: P( x) y Q( x) + = (1) Denklem 1 de Q( x) 0 olarak kabul edilmiştir. 1) Verilen diferensiyel denklem, denklem 1 gibi yazılmalı. 2) P( x) e den diferensiyel denklemin integrasyon çarpanı bulunur. 3) genel formdaki diferensiyel denklem integrasyon çarpanı ile çarpılır. 4) Ve çarpımdan sonra P( x) P( x) d( e. y) = e. Q( x) gibi bir denklem elde edilince, her iki tarafın x değişkenine bağlı integrali hesaplanır ve böylelikle diferensiyel denklemin çözümüne ulaşılır. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 28

29 Örnek 2.7.1: Örnek 2.7.2: Örnek 2.7.3: Diferensiyel denklemi Diferensiyel denklemi Diferensiyel denklemi 2x + 1 x 2 x + ( ) y = e çözünüz ( x + 1) + 6x y = 6x çözünüz. x y x = çözünüz. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 29

30 2.8 Bernoulli Diferensiyel Denklemi Genel formu P( x) y Q( x) y n + = (1) şeklinde olan denkleme Bernoulli diferensiyel denklemi denmektedir. Denklem 1 de, eğer n=0 ise diferensiyel denklem lineer diferensiyel denkleme dönüşür. Eğer n=1 ise diferensiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denkleme dönüşür. Bu nedenle denklem 1 için, n 0,1 olduğu varsayılır. u 1 n = y dönüşümü, Bernoulli diferensiyel denklemini lineer diferensiyel denkleme dönüştürür. Böylece dönüşümü kullanarak elde Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 30

31 ettiğimiz yeni lineer diferensiyel denklemi çözüp Bernoulli diferensiyel denklemin genel çözümünü buluruz. Bernoulli diferensiyel denklemi çözebilmek için aşağıdaki işlemler yapılır: P( x) y Q( x) y n + = (1) n y 1. denklem 1 ile çarpılır ve n ( ). 1 n y + P x y = Q( x) (2) elde edilir. u 1 n du 2. u = y n dönüşümün türevi alınır = (1 n) y 1 du = y 1 n n bu türev denklem 2 ye yerleştirilir. 3. Adım 2 den elde edilen diferensiyel denklem, Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 31

32 1 du P( x) v Q( x) 1 n + = gibi lineer diferensiyel denklem dir. 4. Adım 3 den elde ettiğimiz du (1 n) P( x) u (1 n) Q( x) + = P ( x) Q ( x) 1 1 lineer diferensiyel denklemini çözmekle Bernoulli diferensiyel denkleminin genel çözümünü buluruz. Örnek 2.8.1: Diferensiyel denklemi çözünüz y x = x y. Örnek 2.8.2: Diferensiyel denklemi çözünüz 2 y y =. x x Örnek 2.8.3: Diferensiyel denklemi çözünüz 2 x 4 y = y. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Sayfa 32

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

MAT 2011 MATEMATİK III

MAT 2011 MATEMATİK III } MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK

PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156

Detaylı

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU

DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU Dersin Adı Kodu Normal Kredisi ECTS Ders 4 Yarıyılı Kredisi uygulama 0 Diferansiyel Denklemler 0252311 3 4 6 Laboratuvar 0 (Saat/Hafta) Dersin Dili Türkçe Dersin Türü Zorunlu

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

e e ex α := e α α +1,

e e ex α := e α α +1, s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8 LİNEER KONGRÜANSLAR Muazzez Sofuoğlu 067787 Nebil Tamcoşar 8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar a,b ve m/a olmak üzere; Z ax b(modm) şeklindeki bir kongrüansa, birinci

Detaylı

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır. DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİNAMİK (3.hafta) EĞRİSEL HAREKET-2: Kutupsal /Polar Koordinatlar (r,θ) A-Polar Koordinatlarda (r,θ) Hareket Denkemleri

DİNAMİK (3.hafta) EĞRİSEL HAREKET-2: Kutupsal /Polar Koordinatlar (r,θ) A-Polar Koordinatlarda (r,θ) Hareket Denkemleri DİNAMİK (3.hafta) EĞRİSEL HAREKET-2: Kutupsal /Polar Koordinatlar (r,θ) Şekildeki gibi dönen bir çubuk üzerinde ilerleyen bilezik hem dönme hareketi hemde merkezden uzaklaşma hareketi yapar. Bu durumda

Detaylı

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Mehmet ÖZCEYLAN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI 006 EDİRNE Tez Yöneticisi: Yard. Doç.

Detaylı

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15. HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı