Fikret ÇELENK & Merve ÇELENK

Transkript

1 İLK SÖZ Herşeyin çok hızlı tüketildiği bir zamanda hayatımıza giren YENİ liklerin birçoğu daha anlaşılmadan tekno çöplüklere dönüşüyor. BİLGİ ise artık eskisi gibi değil, heryerde; zamandan ve mekandan bağımsız ulaşabiliyoruz. Oyunun yeni kuralı bilmekten çok, bilgiyi yorumlamaya dayanıyor. Bu süreçte siz öğrenci arkadaşlarımıza düşen, bilmekten çok YORUM lamak olacaktır. Bu kitapla amaçladığımız davranış biçimi soruları tek başınıza yorumlayarak çözmenizdir. Artık öğretmen de öğrenci de sizler olacaksınız. Bu kitapla bizim size sağlamak istediğimiz fayda evde tek başınıza yorumladığınız sorulara farklı bir bakış açısı kazandırmaktır. Herşey gönlünüzce... Fikret ÇELENK & Merve ÇELENK I

2 Copyright Akıl Fikir Mektebi - Fikret Çelenk ISBN : Bu kitabın ve sistemin her hakkı saklıdır. Tüm hakları Eğitim Atölyem Fikret Çelenk e aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve sorular yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz, yayımlanamaz. Görsel Tasarım, Grafik ve Dizgi Bahtım KIRBAŞ BASKI NEŞE MATBAASI Esenyurt / İstanbul Tlf : 0(1) Genel Dağıtım Akıl Fikir Mektebi Nailbey Sokak No : 4-6 Daire : 5 Kadıköy / İstanbul GSM : Birinci Basım, Eylül 01 II

3 MATEMATİK PERMÜTASYON

4 SAYMA Birbirinden farklı n tane (a 1, a,..., a n ) olayın verilen sıraya göre elde edilmesi durumu, bu olayların çarpılması ile bulunur. a 1.a.a..... a n Veli'nin farklı tişörtü, 5 farklı gömleği vardır. a) Bunlardan birini giyecek olan Veli kaç farklı seçim yapabilir? b) Tişörtün üstüne gömlek giyecek olan Veli kaç farklı seçim yapabilir? a) Veli, ya tişört giyecek ya da gömlek. Bu işlemleri aynı anda yapmayacağına göre çarpma işlemi kullanmak yanlış olur. tişörtten birini + 5 = 8 5 gömlekten birini farklı seçim yapabilir. b) Tişört ve gömleği aynı anda kullanacağı için çarpma yoluyla çözebiliriz. tişörtten birini.5 = 15 5 gömlekten birini farklı seçim yapabilir. 4 A B C A kentinden C kentine gidebilecek güzergahlar yukarıdaki şekilde verilmiştir. Buna göre, A kentinden C kentine a) Kaç farklı şekilde gidilir? b) Kaç farklı şekilde gidilir ve dönülür? c) Giderken kullanılan yol dönüşte kullanılmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidilir ve dönülür? Bu gidiş ve dönüşlerde yollar ard arda ve aynı anda kullanılacağı için çarpma kullanmalıyız. a) A B C 4 yol yol A'dan C'ye 4. = 1 farklı şekilde gidilir. 4 yol yol b) A B C 4 yol yol A'dan C'ye = 144 farklı şekilde gidilir ve dönülür. yol yol c) A B C 4 yol yol A'dan C'ye 4... = 7 farklı şekilde gidilir ve dönülür.

5 1 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanır? A = {1,, } B = {a, b, c, d, e} kümeleri veriliyor. Bir kişi için başarılı veya başarısız olmak üzere durum vardır. 1. kişi için.. kişi için kişi için 1 farklı şekilde sonuçlanabilir. 4 farklı mektup 6 posta kutusuna; a) Kaç farklı şekilde atılır? b) Her kutuya en çok bir tane atmak şartıyla kaç farklı şekilde atılır? a) 1. mektup için 6 p. k. mektup için 6 p. k farklı. mektup için 6 p. k şekilde 4. mektup için 6 p. k atılabilir. b) 1. mektup için 6 p. k. mektup için 5 p. k farklı. mektup için 4 p. k şekilde 4. mektup için p. k atılabilir. 5 a) A kümesinden B kümesine kaç tane fonksiyon tanımlanabilir? b) A kümesinden B kümesine kaç tane bire bir fonksiyon tanımlanabilir? a) Fonksiyon belirtmesi için A kümesindeki her elemanın, B kümesindeki bir eleman ile eşleşmesi yeterlidir. 1'in gidebileceği 5 farklı; nin gidebileceği 5 farklı ve 'ün gidebileceği 5 farklı eleman olduğundan; A'dan B'ye; = 15 tane fonksiyon tanımlanabilir. b) Bire bir fonksiyon olması için A kümesindeki her eleman, B kümesindeki farklı bir eleman ile eşleşmelidir. 1'in gidebileceği 5 farklı eleman varken, 'nin gidebileceği 4 ve 'ün gidebileceği farklı eleman vardır. A'dan B'ye; 5.4. = 60 tane bire bir fonksiyon vardır. PERMÜTASYON

6 A = {0,,, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı; a) Kaç farklı sayı yazılabilir? b) Rakamları farklı kaç farklı sayı yazılabilir? c) Kaç farklı tek sayı yazılabilir? d) Rakamları farklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? Bu tarz soruların çözümünde kısıtlama hangi basamakta ise, o basamaktan başlayın!!! a) = 100 farklı sayı Yüzler Onlar Birler Yüzler basamağına "0" gelemeyeceğinden yüzler basamağına 4 rakam, diğer basamaklara ise 5 er rakam yazılabilir. b) = 48 farklı sayı Yüzler Onlar Birler Rakamları farklı olabilmesi için, onlar basamağına 4 ve birler basamağına rakam yazılabilir c) 4 5 Yüzler Onlar { 5} Birler 4.5. = 40 farklı sayı Tek sayı olabilmesi için birler basamağına, yüzler basamağına 4 ve onlar basamağına 5 farklı rakam yazabiliriz. d) Çift sayı olabilmesi için birler basamağından başlamalıyız ve "0" ı ayrıca düşünmeliyiz. Yüzler Onlar Birler Yüzler Onlar Birler { } 0 { } = = 0 farklı sayı

7 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarını kullanarak rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den küçük kaç değişik sayı yazılabilir? ( ÖSS) Yüzler basamağı 5 ve 6 olan sayıların tamamı, 7 olan sayıların ise bir kısmı 780 den küçük olacaktır. 5 5 { 6} { 6} 4 Yüzler Onlar Birler + 1 Yüzler Onlar Birler = = 0 farklı sayı A = {1,,, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? (006 - ÖSS) Sorunun anlatmak istediği şey yazılan üç basamaklı sayıların rakamlarının farklı olmamasıdır. A kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek tüm üç basamaklı sayılardan, rakamları farklı üç basamaklı sayıları çıkarırsak cevabı bulmuş olacağız. TÜM BASAMAKLI SAYILAR Yüzler Onlar Birler RAKAMLARI FARKLI BASAMAKLI SAYILAR 4 Yüzler Onlar Birler = 64 4 = 40 farklı sayı 7 A = {1,, 5, 7, 9} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan rakamları birbirinden farklı beş basamaklı doğal sayılar yazılıp büyükten küçüğe doğru sıralanıyor. a) 5971 sayısı baştan kaçıncı sıradadır? b) Baştan 7. sayı kaçtır? { 9} { 7} a) 5971 sayısı 5 ile başlayan en büyük sayıdır. 9 ile başla yan 4! = 4 tane sayı yazılabilir. 7 ile başlayan 4! = 4 tane sayı yazılabilir. Dolayısıyla 5 ile başlayan en büyük sayı = 49. sayı olur. b) 9 ile başlayan 4! = 4 tane sayı vardır. 7 ile başlayan 4! = 4 tane sayı vardır. 5 ile başlayan 4! = 4 tane sayı vardır. 7. sayı 5 ile başlayan en küçük sayı olmalıdır. Cevap : 5179 dur. PERMÜTASYON

8 Dört basamaklı sayıların kaç tanesinde 5 rakamı bulunur? Bir testte 8 soru ve her sorunun 4 tane cevap seçeneği vardır. Yazılabilecek tüm 4 basamaklı sayılardan, 5 rakamının hiç kullanılmadığı 4 basamaklı sayıları çıkarmalıyız. Tüm 4 Basamaklı Sayılar 5 Rakamının kullanılmadığı 4 basamaklı sayılar Bu testin cevap anahtarı; a) Kaç farklı şekilde oluşturulabilir? b) Ard arda gelen herhangi iki sorunun cevabı aynı olmayacak şekilde kaç farklı oluşturulabilir? Binler Yüzler Onlar Birler Binler Yüzler Onlar Birler = = 168 farklı sayı a) 1. soru için 4 seçenek. soru için 4 seçenek. soru için 4 seçenek 8. soru için 4 seçenek b) 1. soru için 4 seçenek. soru için seçenek. soru için seçenek tane 4 8 farklı tane 4. 7 farklı 8. soru için seçenek 8

9 PERMÜTASYON n, r birer doğal sayı ve n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li sıralanışına n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. n! P( n, r) = dir. ( n r)! = n.( n 1).( n )...( n r + 1) P(n, 0) = 1 ; P(n, n) = n! P(n, 1) = n ; P(0, 0) = 1 A = {a, b, c, d, e,f} kümesinin lü permütasyonlarının kaçında a) a bulunur? b) a veya b bulunur? c) a ve b bulunur? a) Tüm lü permütasyonlarından a nın bulunmadığı lü permütasyonlar çıkarılırsa cevap bulunur. P(6, ) P(5, ) Tüm lü permütasyonları a nın bulunmadığı lü permütasyonları = = 60 tane b) P(6, ) P(4, ) Tüm lü permütasyonları a ve b nin bulunmadığı lü permütasyonları PERMÜTASYON P(n 1, ) + 1 = P(n, ) olduğuna göre, n kaçtır? (n 1).(n ) + 1 = n.(n 1) n n = n n 14 = n ve n = 7 bulunur = 10 4 = 96 tane c) {a, b, _ } a ve b nin yanına bir eleman daha seçmeliyiz ve daha sonra bunları sıralamalıyız. 4 1.! 4. 6 = 4 tane elemanı sıraladık

10 4 farklı tarih, 4 farklı edebiyat ve farklı felsefe kitabı bir kitaplığın rafına; a) Kaç farklı şekilde dizilebilir? b) Aynı türden kitaplar bir arada olacak şekilde kaç farklı şekilde dizilebilir? c) Edebiyat kitapları bir arada olacak şekilde kaç farklı şekilde dizilebilir? a) 4 tarih + 4 edebiyat + felsefe toplam 10 kitap bir rafa; P(10, 10) = 10! şekilde dizilebilir. b) Bir arada olacak kitapları tek bir kitap gibi düşünüp, en son kendi içindeki sıralamalar ile çarpmalıyız. T 1 T T T 4 + E 1 E E E 4 + F 1 F toplam kitap varmış gibi davranırız. Tarihlerin kendi arasındaki sıralaması!. 4!. 4!.! = 456 farklı şekilde Edebiyatların kendi arasındaki sıralaması Felsefelerin kendi arasındaki sıralaması 1 kitap c) E 1 E E E Tarih + Felsefe 4 erkek, 4 kız arkadaş sinemaya gidip aynı sıradan yan yana 8 bilet alıyorlar. a) Kaç farklı şekilde oturabilirler? b) Kızlar bir arada olmak istediklerine göre, kaç farklı şekilde oturabilirler? c) Belli iki erkek başlarda oturmak şartıyla, kaç farklı şekilde oturabilirler? a) Toplam 8 kişi yan yana; P(8, 8) = 8! şekilde dizilebilir. b) K 1 K K K erkek 1 kişi Toplam 5 kişi yanyana 5!.4! şekilde oturabilirler. Kızların kendi aralarındaki sıralaması B 6 kişi A c) A B Toplam 7 kitap; 7!.4! şekilde aradaki 6 kişi, 6 koltuğa; 6!.! farklı şekilde Edebiyatların kendi arasındaki sıralaması 10 A ve B nin kendi aralarındaki yer değişimi

11 DAİRESEL PERMÜTASYON; n kişi yuvarlak bir masa etrafında (n 1)! şekilde sıralanır. n tane farklı nesne bir halka ya da bileziğe (n 1)! şekilde sıralanır. Anne, baba ve çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masada; a) Kaç farklı şekilde oturabilirler? b) Anne ve baba daima yanyana olacak biçimde kaç farklı şekilde otururlar? c) Anne ile baba arasında en küçük çocuk oturmak üzere, kaç farklı şekilde otururlar? a) 5 kişi yuvarlak bir masa etrafında; (5 1)! = 4 farklı şekilde oturabilir. 1 kişi b) A, B + çocuk toplam 4 kişi yuvarlak masada; (4 1)!.! 6. = 1 farklı şekilde. 4 evli çift, eşler yan yana olacak biçimde yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilirler? Ç 1 + Ç + Ç + Ç 4 4 kişi (4 1)!.!.!.!.! 1. çiftin yer değiştirmesi. çiftin yer değiştirmesi. çiftin yer değiştirmesi 4. çiftin yer değiştirmesi!.(!) 4 = 6.16 = 96 farklı şekilde Farklı boylardaki 5 anahtar halka şeklindeki maskotsuz bir anahtarlığa kaç farklı şekilde dizilebilir? PERMÜTASYON Yuvarlak masa Anne ile Babanın kendi arasında yer değiştirmesi 1 kişi c) A, K.Ç, B + çocuk toplam kişi... ( 1)!. = 4 farklı şekilde. Yuvarlak masa Anne ile Babanın kendi arasında yer değiştirmesi (Çocuk daima arada kalacak) 11 Anahtarlık sorularında çift yönlü bakabildiğimiz için sıralamaların yarısı yalan olur. Dolayısıyla 5 anahtar; Yuvarlak (5 1)! = 1 farklı şekilde Anahtarlık

12 TEKRARLI PERMÜTASYON; n tane farklı nesnenin; n 1 tanesi birbiri ile özdeş, n tanesi birbiri ile özdeş, n k tanesi birbiri ile özdeş ve n 1 + n n k = n olmak üzere, bu n nesne; n! şekilde sıralanırlar. n 1!.n!.... n k! MARMARA kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek; a) 7 harfli kaç kelime? b) M ile başlayan 7 harfli kaç kelime? c) M ile başlayıp A ile bitmeyen 7 harfli kaç kelime? a) MM AAA RR 7 harf 7! farklı kelime yazılabilir.!.!.! 7 b)! si A ile 7.!.!.! M ile başlar. 7 si R ile 7 c) 7!..!.!.! 7 6 Özdeş 4 mavi, kırmızı ve beyaz boncuk halka şeklindeki bir demire dizilerek bilezik yapılacaktır. Buna göre, bu bilezik kaç farklı desen içerebilir? 4 mavi + kırmızı + beyaz = 9 boncuk Dairesel ( 9 1)! farklı desen içerebilir.. 4!.!.! Tekrarlı Birbirinden farklı 6 madeni para atıldığında sinin yazı, 4 ünün tura geldiği kaç farklı durum vardır? M ile başlayanlar A ile bitmeyenler 1 T T T T Y Y 6! 4!.! = 15 durum

13 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek birbirinden farklı 7 basamaklı; a) Kaç tane doğal sayı yazılır? b) Kaç tane tek doğal sayı yazılır? c) 1 ile başlayıp 4 ile biten kaç tane sayı yazılır? a) ! 5.!.!.! 7 sayısının rakamları ile, sayı yazılabilir. A B C Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket eden bir kişi en kısa yoldan C ye gitmek istiyor. a) Kaç farklı şekilde gidebilir? b) B noktasından geçmek şartıyla kaç farklı şekilde gidebilir? b) Tekrarlı 0'ın başa gelmediği durumlar ( ) 1 6! 4.!.!.! 6 sayı yazılabilir. a) A a a a a A dan C ye gidilebilecek B b yollar; b b C aaaabbb ababbaa aabbbaa 7! = 5 farklı yol 4!.! PERMÜTASYON c) Tekrarlı 0'ın başa gelmediği durumlar 1 ( ) 4 5! sayı yazılabilir.!.! Dikkat edersek 0 ın başta olması 7 basamaklı durumunu bozmuyor. 1 b) A dan B ye ; aaab B den C ye ; abb 4!! A! B! C 4 yol yol 4. = 1 farklı yol vardır.

14 K A A B B B A A A A K K K K K U U U U L L L A A K Yukarıdan aşağıya KABAKULAK kelimesi kaç farklı şekilde okunur? K 1 1 A A 1 1 B B B 1 1 A A A A K K K K K U U U U L L L 5 5 A A 70 K 70 farklı şekilde okunabilir. 14

15 1. Ali nin 5 farklý þortu, 4 farklý pantolonu vardýr. Bunlardan birini giyecek olan Ali kaç farklý seçim yapabilir? A) 4 B) 5 C) 9 D) 0 E) 5. Farklý renklerde 4 þapkasý, gömleði ve 5 eteði olan Natasha kaç farklý þekilde giyinebilir? A) 10 B) 80 C) 60 D) 0 E) 1 TEST KODU : 101. Farklý renklerde 7 gömlek, 6 kravatý olan bir kiþi, bir gömlek ve bir kravatý kaç farklý þekilde giyebilir? 4. 8 kiþilik bir komisyondan, bir baþkan ve bir baþkan yardýmcýsý kaç farklý þekilde seçilebilir? PERMÜTASYON A) 40 B) 4 C) 48 D) 56 E) 6 A) 8 B) 15 C) 8 D) 56 E) 64 15

16 5. 4 Rus, 7 Hollandalý arasýndan 1 Rus ve 1 Hollandalý kaç farklý þekilde seçilebilir? A) 4 B) 7 C) 11 D) E) 8 7. Kilitli bir kasanýn þifresi 4 hanelidir. Ýlk iki hanesinin sesli harflerden ve son iki hanesinin çift rakamlardan oluþtuðu biliniyorsa, kaç farklý þifre oluþturulabilir? A) 110 B) 100 C) 1600 D) 00 E) kiþilik bir futbolcu kafilesinden 1 kaleci, 1 stoper ve 1 forvet kaç farklý þekilde seçilebilir? A) 70 B) 800 C) 880 D) 900 E) A kentinden B kentine 5 farklý yol, B kentinden C kentine 6 farklý yol vardýr. Buna göre, A kentinden C kentine B den geçmek koþulu ile kaç farklý þekilde gidilebilir? A) 11 B) 0 C) 10 D) 56 E) 65 16

17 9. A kentinden B kentine, B kentinden C kentine 4 farklý yol vardýr. Buna göre, A kentinden C kentine hem giderken hem de dönerken B ye uðramak koþuluyla kaç farklý þekilde gidip gelinebilir? A) 1 B) 4 C) 48 D) 7 E) A B C D A kentinden D kentine gidilebilecek güzergahlar yukarýdaki þekilde verilmiþtir. Buna göre, A kentinden D kentine kaç farklý þekilde gidilebilir? A) 4 B) 0 C) 6 D) 4 E) 48 TEST KODU : A B C D A kentinden D kentine gidip dönmek isteyen bir araç yukarýdaki þekilde verilen güzergahý kullanacaktýr. Buna göre, giderken kullandýðý yolu dönüþte kullanmamak koþuluyla kaç farklý þekilde gidip dönebilir? 1. A = { a, b, c } B = { 1,,, 4} olduðuna göre, A kümesinden B kümesine kaç farklý fonksiyon tanýmlanabilir? PERMÜTASYON A) 900 B) 70 C) 40 D) 10 E) 0 A) 4 B) 64 C) 81 D) 10 E)

18 1. 6 kiþinin katýldýðý bir sýnav baþarý yönünden kaç farklý biçimde sonuçlanabilir? A) 6 B) 1 C) 6 D) 48 E) farklý mektup, 4 posta kutusuna kaç farklý þekilde atýlabilir? A) 51 B) 56 C) 18 D) 4 E) Yan yana 5 binadan oluþan bir sitenin dýþ cepheleri beyaz, kýrmýzý, kum beji ve lila renkleriyle boyanacaktýr. Yan yana gelen iki bina ayný renkte boyanmayacaðýna göre, kaç farklý þekilde boyanabilir? farklý mektup, 6 posta kutusuna her kutuya en fazla 1 tane atýlmak þartýyla kaç farklý þekilde atýlabilir? A) 4 B) 1 C) 10 D) 7 E) 4 A) 4 B) 10 C) 60 D) 70 E)

19 1. A = {,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarý ile üç basamaklý kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60 B) 7 C) 108 D) 10 E) 15. Üç basamaklý rakamlarý tekrarsýz kaç farklý doðal sayý vardýr? A) 900 B) 648 C) 61 D) 504 E) 47 TEST KODU : 10. A = {,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarý ile rakamlarý farklý üç basamaklý kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60 B) 7 C) 108 D) 10 E) Beþlik sayma düzeninde, üç basamaklı rakamlarý tekrarsýz kaç farklı sayý yazılabilir? A) 0 B) 48 C) 60 D) 7 E) 96 PERMÜTASYON 19

20 5. Üç basamaklý doðal sayýlarýn kaç tanesinde rakamý bulunur? A) B) 1 C) 98 D) 5 E) A = {0, 1,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarý ile üç basamaklı 00 den küçük kaç farklý sayý yazılabilir? A) 60 B) 84 C) 98 D) 11 E) A = {,, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarý ile rakamlarý farklý üç basamaklý kaç farklı tek sayý yazılabilir? A) 60 B) 90 C) 10 D) 196 E) A = {0, 1,,, 4, 5} kümesinin elemanlarý ile 400 den küçük kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60 B) 9 C) 108 D) 10 E) 144 0

21 9. A = {0, 1,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarý ile üç basamaklı, rakamlarý tekrarsýz 50 den büyük kaç farklı sayý yazýlabilir? A) 101 B) 100 C) 99 D) 98 E) Dört basamaklý rakamlarý tekrarsýz 5 ile bölünebilen kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 9000 B) 456 C) 68 D) 1008 E) 95 TEST KODU : A = {1,,, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarý ile üç basamaklı, rakamlarý tekrarsýz 400 den büyük kaç farklı çift sayý yazýlabilir? A) 65 B) 7 C) 8 D) 9 E) A = {1,,, 4, 5} kümesinin elemanlarý ile en az iki basamaðýndaki rakamý ayný olan üç basamaklý kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60 B) 65 C) 75 D) 10 E) 15 PERMÜTASYON 1

22 1. A = {1,, 4, 6} kümesinin elemanlarý kullanýlarak üç basamaklý, ile tam bölünebilen kaç farklý sayý yazýlabilir? A) 1 B) 16 C) 18 D) E) 4 I. şekil II. şekil 5 özdeþ kareden oluþan I. şeklin her satýr ve her sütundan sadece bir özdeþ kare karalanarak II. şekildeki desenler elde ediliyor. Buna göre, en çok kaç farklý desen elde edilebilir? A) 64 B) 7 C) 80 D) 10 E) A = {a, b, c} ve B = {1,,, 4} olduðuna göre, A dan B ye kaç farklý bire bir fonksiyon yazýlabilir? A) 4 B) 48 C) 64 D) 7 E) 81

23 1. 5 kişilik arkadaş grubu 5 kişilik bir arabaya bineceklerdir ve arabayı ehliyeti olanlardan biri kullanacaktır. Bu arabaya 7 farklı şekilde binebildiklerine göre, kaç kişinin ehliyeti vardır?. mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? A) 7 B) 64 C) 48 D) 4 E) 1 A) 1 B) C) D) 4 E) 5 TEST KODU : farklı pantolonu, 5 farklı gömleği ve farklı yeleği olan Efe, pantolon üzerine gömlek ya da pantolon üzerine gömlek ve yelek giyecektir. Buna göre, Efe bu kıyafetleri ile kaç farklı şekilde giyinebilir? 4. mektup 4 posta kutusuna, her kutuya en çok bir mektup atılmak koşuluyla kaç farklı şekilde atılabilir? A) 7 B) 64 C) 48 D) 4 E) 1 PERMÜTASYON A) 0 B) 0 C) 40 D) 50 E) 60

24 5. Herkesin birbirine fotoğraf verdiği bir grupta toplam 1 fotoğraf el değiştirdiğine göre, bu grupta kaç kişi vardır? A) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir? A) 1 B) 64 C) 69 D) 18 E) Herkesin birbiri ile tokalaştığı bir grupta toplam 78 tokalaşma olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır? A) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) kişi, 6 tane boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 10 B) 100 C) 90 D) 80 E) 18 4

25 9. 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den küçük kaç değişik sayı yazılabilir? A) 46 B) 4 C) 6 D) 0 E) 4 (ÖSS ) 11. A = {0, 1,, 4, 6} kümesinin elemanları ile beş basamaklı, rakamları tekrarsız 4 ile bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir? A) 0 B) 6 C) 40 D) 48 E) 5 TEST KODU : A = {0, 1,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamlarından sadece biri 6 olan kaç farklı tek sayı yazılabilir? 1. A = {1,,, 6, 7, 9} kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları tekrarsız 9 ile bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir? PERMÜTASYON A) 18 B) 1 C) 4 D) 7 E) A) 1 B) 18 C) 4 D) 0 E) 6 5

26 1. A = {1,,, 4} kümesinin elemanları ile yazılabilecek iki basamaklı sayıların toplamı kaçtır? A) 60 B) 80 C) 400 D) 40 E) Bir testte 10 soru ve her sorunun 5 tane cevap seçeneği vardır. Buna göre, bu testin cevap anahtarı kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 5. 9 B) C) 0 D) 5 10 E) 10! A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin elemanları yalnız bir kez kullanılarak 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Bu kelimelerin kaç tanesi sesli harf ile başlayıp sessiz harf ile biter? A) 840 B) 600 C) 490 D) 00 E) Bir testte 15 soru ve her sorunun 5 tane cevap seçeneği vardır. Ard arda gelen herhangi iki sorunun cevabı aynı olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir? A) B) 5. 8 C) 1 D) E) 15! 6

27 1. P(5, ) P(5, ) işleminin sonucu kaçtır? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60. P(6, n) = P(5, n) olduğuna göre, n kaçtır? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 TEST KODU : 104. P(n, 1) = P(n, ) olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. P(n + 1, n 1) + P(n, n ) P(n, n) olduğuna göre, n kaçtır? = 4 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 PERMÜTASYON 7

28 5. Aralarında Edi ile Büdü nünde bulunduğu 5 kişi bir sıraya Edi ve Büdü hiç yanyana gelmeyecek şekilde kaç değişik biçimde oturabilir? A) 0 B) 48 C) 60 D) 7 E) Birbirinden farklı matematik, fizik, kimya kitabı bir rafa, aynı türden kitaplar yan yana gelmek koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 70 B) 4 C) 6 D) 88 E) Birbirinden farklı, matematik, fizik, kimya kitabı bir kitaplık rafına yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 4! B) 5! C) 6! D) 7! E) 8! 8. 4 farklı matematik, farklı kimya ve farklı fizik kitabı bir rafa dizilecektir. Her iki matematik kitabı arasında bir fizik kitabı olması şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir? A)!.4!.! B) 4!.!.4! C).!.7! D) 5!.4! E) 4!.!.! 8

29 9. 5 doktor ile 4 hemşire düz bir sırada oturacaklardır. İki doktorun arasına bir hemşire gelmek şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 88 B) 576 C) kız ve erkek arkadaş, başta ve sonda kızlar olmak üzere ve erkeklerden herhangi ikisi yan yana olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde dizilirler? A) 7 B) 144 C) 180 D) 16 E) 88 D) 1440 E) 880 TEST KODU : kız ve erkek arkadaş düz bir sırada yan yana oturacaklardır. Erkeklerden herhangi ikisi yan yana oturmayacak şekilde kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 88 B) 70 C) 1440 D) 160 E) erkek ve 4 kız arkadaş sinemaya gidiyorlar ve aynı sıradan bilet alıyorlar. Kızlar daima yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 8! B) 4!.4! C) 4!.5! D) 7! E) 5! PERMÜTASYON 9

30 1. Öğretmenler yan yana olmak şartıyla öğretmen ile 5 öğrenci fotoğraf çektirecektir. 4 kişi arka sırada, kişi de ön sırada durmak koşulu ile kaç değişik poz verebilirler? 15. kişi, yan yana dizilmiş olan 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 4 B) 6 C) 60 D) 7 E) 10 A) 100 B) 960 C) 70 D) 600 E) A = {1,,, 4, 5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı ve rakamları tekrarsız sayılar yazılıp küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, baştan 6. sayı kaçtır? 16. kişi aralarında boş sandalye kalmayacak şekilde, yan yana dizilmiş 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 4 B) 48 C) 60 D) 7 E) 10 A) 45 B) 5 C) 1 D) 14 E) 15 0

31 1. MARMARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? A) 840 B) 40 C) 10 D) 105 E) 0. ANTALYA kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız N ile başlayan T ile biten kaç sözcük yazılabilir? A) 10 B) 15 C) 0 D) 5 E) 0 TEST KODU : madeni para havaya atılıyor. Buna göre, sadece ikisinin üst yüzüne yazı geleceği kaç farklı durum vardır? A) 1 B) 15 C) 18 D) 1 E) 4 4. ATÖLYEM kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız yazılabilecek 7 harfli kelimelerin kaç tanesinde sesli harfler alfabetik sırada bulunur? A) 1680 B) 840 C) 40 PERMÜTASYON D) 10 E) 105 1

32 5. ATÖLYEM kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaçında L harfi T ve M harflerinin arasında bulunur? A) 1440 B) 1480 C) sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek sekiz basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 160 B) 00 C) 40 D) 80 E) 0 D) 1700 E) MATEMATİK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 9 harfli kelimelerin kaçında M harfinden hemen sonra A harfi (MA, MA, ) gelir? A) 160 B) 100 C) sayısının rakamları her defasında birer kez kullanılarak yazılabilen 7 basamaklı sayıların kaç tanesinde 1 rakamları yan yanadır? A) 00 B) 40 C) 60 D) 480 E) 70 D) 1080 E) 100

33 9. Özdeş 4 kırmızı, mavi ve beyaz boncuk düz bir ip üzerine kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 70 B) 840 C) 960 D) 1080 E) sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 90 TEST KODU : Tersten okunuşu kendisine eşit olan doğal sayılara palindrom sayı denir. Buna göre, beş basamaklı ve tek olan kaç tane palindrom sayı vardır? A) 400 B) 40 C) 440 D) 500 E) sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılabilen altı basamaklı doğal sayıların kaç tanesi çifttir? A) 7 B) 76 C) 80 D) 84 E) 90 PERMÜTASYON

34 1. A Ş e k i l d e k i çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. B A dan B ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 15 B) 16 C) 1 D) 4 E) A C B Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip C ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? A) 4 B) 18 C) 16 D) 1 E) Rakamları çarpımı 90 olan dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 48 D) 60 E) sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek sekiz basamaklı, ile başlayıp 8 ile biten kaç farklı sayı yazılabilir? A) 45 B) 60 C) 75 D) 90 E) 105 4

35 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? A) 7 B) 60 C) 56 D) 48 E) 4. A = {1,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları yalnız bir kez kullanılarak altı basamaklı sayılar yazılıyor. Bu sayıların kaç tanesinde tek ve çift sayılar büyükten küçüğe doğru sıralanmışlardır? A) 40 B) 180 C) 10 D) 60 E) 0 TEST KODU : sayısının rakamları ile 7 basamaklı 4 ile başlayıp ile bitmeyen kaç farklı sayı yazılabilir? A) 60 B) 7 C) 108 D) 10 E) kız ve 4 erkek öğrenci, kız öğrencilerden herhangi ikisi yan yana gelmemek şartıyla düz bir sırada kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 48 B) 10 C) 60 D) 480 E) 70 PERMÜTASYON 5

36 5. ELMAS kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek elde edilen kelimeler alfabetik sıraya uygun olacak şekilde dizilirse baştan 79. kelimenin ilk harfi ne olur? 7. A) E B) L C) M D) A E) S 6. On bir rakamdan oluşan TC. kimlik numarasını unutan bir kişi, numarasının içinde 7 tane, tane 5 ve tane 0 olduğunu hatırlıyor. Buna göre, bu kişi en çok kaç denemede TC. kimlik numarasını bulabilir? Şekildeki balonlara alttan başlayacak şekilde atış yapmaya başlayan Kerim alttaki balonu patlatmadan bir üsttekini patlatamıyor. Buna göre, Kerim balonları kaç değişik şekilde patlatabilir? (Her atış tam isabettir ve atış yapılan balon patlar.) A) 80 B) 560 C) 110 D) 7! E) 8! A) 1600 B) 1740 C) 180 D) 1900 E)

37 8. 6 farklı oyuncak, 4 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 4 B) 84 C) 504 D) 6 4 E) tane madeni 1, kumbaralara istenen sayıda atılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5 farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir? A) 10 B) 1 C) 4 D) 5 E) 45 (ÖSS - 004) TEST KODU : özdeş oyuncak, 4 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 4 B) 84 C) 504 D) 6 4 E) A B C D A noktasından D noktasına en kısa yoldan gitmek isteyen bir kişi BC yolundan geçmek şartıyla kaç farklı yol izleyebilir? PERMÜTASYON A) 6 B) 1 C) 18 D) 4 E) 0 7

38 A T T Ö Ö Ö L L L L Y Y Y E E M Yukarıdan aşağıya ATÖLYEM kelimesi kaç farklı şekilde okunur? A) 1 B) 16 C) 0 D) 0 E) 5 A Havuz Ş e k i l d e k i çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. B A dan B ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? 14. T T U T T U M U T U M R M U T T U M R A R M U T U M R M U T T U M U T U T T Yukarıdaki şekilde ortadaki A harfinden başlayarak ardışık harfler takip ediliyor. Kaç farklı şekilde ARMUT kelimesi okunur? A) 15 B) 0 C) 60 D) 10 E) 40 T T T A) 7 B) 1 C) 5 D) 9 E) 4 8

39 1. Beş kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 70 B) 10 C) 60 D) 48 E) 4. 6 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafında, anne ile baba arasında en büyük çocuk oturmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 1 B) 18 C) 4 D) 6 E) 48 TEST KODU : 107. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masa etrafında, anne ve babanın daima yan yana olması koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 6! B).5! C) 5! D).4! E) 4! 4. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan aile, anne ile baba arasına en az bir çocuk oturma koşuluyla, yuvarlak bir masa etrafında, kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 10 B) 96 C) 7 D) 48 E) 6 PERMÜTASYON 9

40 5. Dört erkek, dört kız arkadaş yuvarlak bir masada yemek yiyeceklerdir. Kızlar bir arada oturmak istediğine göre, kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 4! B) 5! C) 7! 7. evli çift, eşler yan yana olacak şekilde yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 16 B) 18 C) 0 D) 4 E) 6 D) 4!.4! E) 4!.5! 6. Bir aile yuvarlak masa etrafında çocuklardan herhangi birisi anne ile babanın arasında olacak şekilde 48 değişik biçimde oturabilyor. Buna göre, bu ailede kaç birey vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8. Bir grupta, 4 baba ve her babanın şer çocuğu olmak üzere toplam 1 kişi vardır. Her baba kendi çocuklarının arasında kalmak şartıyla, bu grup yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 96 B) 108 C) 144 D) 19 E) 88 40

41 9. öğretmen ve 5 öğrenci yuvarlak bir masa etrafında, öğretmenler daima bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 00 B) 10 C) 0 D) 0 E) erkek, 4 kız arkadaş yuvarlak bir masa etrafında kızlardan herhangi ikisi yan yana olmayacak şekilde kaç farklı biçimde oturabilirler? A) 60.6! B) 8! C) 8.6! D) 4!.9! E) 5!.9! TEST KODU : doktor ve 5 hemşire yuvarlak masa etrafında, herhangi iki doktor yan yana oturmamak koşuluyla kaç farklı şeklide oturabilirler? A) 100 B) 140 C) 1400 D) 1440 E) Dört erkek, dört kız arkadaş yuvarlak bir masada akşam yemeği yiyeceklerdir. İki erkek arasında bir kız oturmak koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 6 B) 7 C) 96 D) 144 E) 88 PERMÜTASYON 41

42 Ý Ý 1. Aralarında evli çiftin bulunduğu 8 kişilik bir grup, her karı - koca yan yana olmak şartıyla, yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? farklı anahtar bir halkaya kaç farklı şekilde takılabilir? A) 70 B) 60 C) 10 D) 60 E) 0 A) 6! B) 4.5! C).5! D).5! E) 5! FİYASKO kelimesinin harfleri tahtaya çizili bir çember etrafında sıralanacaktır. Y F O K A 16. Özdeş 4 mavi, 5 kırmızı boncuk ile bir bilezik yapılacaktır. Bu bilezik kaç farklı şekilde oluşturulabilir? S A S O K F Y A) 7 B) 14 C) 8 D) 56 E) 7 Bu sıralamaların kaç tanesinde saat yönünde FİKO okunabilir? A) 6 B) 4 C) 48 D) 7 E) 144 4

43 1. A : {1,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı, dört basamaklı sayılar yazılacaktır. Bu sayıların kaç tanesinde rakamı 1 rakamının sol tarafında yer alır? A) 5 B) 60 C) 7 D) 80 E) 84. evli çift ile bekardan oluşan 9 kişilik arkadaş grubu bir kanapeye aşağıdaki koşullara uygun olarak oturacaktır. Çiftlerin her biri eşleriyle yan yana olacaktır. Bekarlar yan yana olmayacaktır. Buna göre, bu kişiler kanapeye kaç farklı şekilde oturabilir? A) 144 B) 88 C) 576 D) 768 E) 115 TEST KODU : soruluk bir testte her sorunun 5 seçeneği vardır. Ardışık soruların cevapları farklı olmak şartıyla kaç değişik cevap anahtarı oluşturabilir? A) 51 B) 1! C) 11! D) 5. E) P(n, ) n = 49 n olduğuna göre, n kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 PERMÜTASYON 4

44 5. A = {1,,, 4, 5, 6} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde eleman olarak bulunur? A) 40 B) 60 C) 80 D) 100 E) ,, 5, 7 rakamlarını kullanarak içerisinde rakamı bulunan, rakamları birbirinden farklı kaç tane doğal sayı yazılabilir? A) 8 B) 0 C) 46 D) 49 E) Bir madeni para arka arkaya 5 kez atılınca kaç farklı durum oluşur? A) 16 B) 0 C) 4 D) 8 E) 8. Bir marketteki sütlü, fındıklı ve bitter çikolatalardan toplam 6 tane alacak bir kişinin kaç farklı seçeneği vardır? A) 8 B) 84 C) 8! D) 6 E) 6 44

45 9. MERVE kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? A) 6 B) 48 C) 60 D) 66 E) kız ve erkek yuvarlak bir masa etrafına her bir erkeğin sağında ve solunda ikişer kız bulunacak şekilde kaç farklı biçimde oturabilirler? A) 6! B).6! C).6! D) 6.6! E) 9! TEST KODU : A = {1,,, 4, 5} kümesinin elemanları ile oluşturulabilecek rakamları farklı beş basamaklı sayıların kaçında rakamı rakamından önce kullanılır? 1. KAÇAMAK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılan yedi harfli kelimelerin kaç tanesinde M harfi tam ortada bulunur? PERMÜTASYON A) 40 B) 60 C) 80 D) 10 E) 40 A) 40 B) 60 C) 80 D) 100 E) 10 45

46 1. Aslı ile Ozan ın da aralarında bulunduğu 6 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Ozan ın solundaki ilk kişinin Aslı olması şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler? 15. a,b ve c pozitif tam sayılardır. a + b + c = 8 olduğuna göre, bu denklemi sağlayan kaç farklı (a, b, c) sıralı üçlüsü vardır? A) 165 B) 15 C) 90 D) 45 E) 1 A) 18 B) 4 C) 0 D) 6 E) a,b ve c doğal sayılardır. a + b + c = 8 olduğuna göre, bu denklemi sağlayan kaç farklı (a, b, c) sıralı üçlüsü vardır? 16. Bir fabrikada üretilen ambalajların üzerine aşağıdaki özdeş 4 uzun 8 kısa çizgilerle oluşturulan barkodlar yerleştirilecektir. A) 165 B) 15 C) 90 D) 45 E) 1 Buna göre, ambalajların üzerine kaç farklı şekilde barkod yerleştirilebilir? A) 990 B) 85 C) 495 D) 45 E) 0 46

47 MATEMATİK KOMBİNASYON

48 4 hemşire, doktor arasından kişilik bir sağlık ekibi a) Kaç farklı şekilde oluşturulabilir? b) 1 i doktor olacak şekilde kaç farklı ekip oluşturulabilir? c) En az 1 i doktor olacak şekilde kaç farklı ekip oluşturulur? d) En çok 1 i hemşire olacak şekilde kaç farklı ekip oluşturulur? a) 4H + D = 7 personel =! 4!.! = farklı şekilde b) KOMBİNASYON n, r birer doğal sayı ve n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n nin r li kombinasyonu denir ve C(n, r) veya n ile gösterilir. r n n P n r dir r! (, ) = =. ( n 1)!. r! r! 1D H =. = farklı şekilde c) 1D H + D 1H + D = 1 farklı şekilde d) 1H D + D = 1 farklı şekilde Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci kaç farklı gruplama ile gönderilebilir? A B 1 öğrenci = 4 öğrenci 4 öğrenci 5 10 öğrenci. = öğrenci 5 öğrenci 1. = 0 4 öğrenci öğrenci = + 0 farklı gruplama 48

49 8 kişilik bir sporcu grubu arasından 5 kişilik bir takım ve bu takımın içinden de bir kaptan kaç farklı şekilde seçilebilir? = farklı şekilde Takım Kaptan K = {, 1, 0, 1,, } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? (008 - ÖSS) Poz. + 1 Neg. ya da Neg. sayı seçilmelidir.. 1 YOK 6 tanesidir. Devam zorunluluğu olan, 9 dersin üçü aynı saattedir. 4 ders seçecek bir öğrencinin kaç farklı seçeneği vardır? ü aynı 6 sı farklı 1 ders ders = 0 ders 4 ders = farklı seçim Aynı saatte olan derslerden en fazla 1 tanesi seçilebilir farklı bilyenin tamamı, yaşları farklı kardeş arasında paylaştırılacaktır. Bu kardeşlerden en büyüğü 1, diğer ikisi ise en az birer bilye alacak biçimde bu paylaşım kaç farklı şekilde yapılabilir? (01 - YGS) Küçüğe Küçüğe Küçüğe 1 bilye bilye bilye Büyük kardeşin aldığı bilye Ortancaya bilye Ortancaya bilye Ortancaya 1 bilye 5.[ ] = 70 farklı biçimde dağıtılır. KOMBİNASYON

50 n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C(0, 0) + C(6, ) =.C(m, m 1) eşitliğinde m kaç olmalıdır? ( ÖYS) 0! C( 0, 0) = = 1 dir. 0! 6! C( 6, ) = = 0 dir.!.! m! C( m, m 1) = = m dir. ( m 1)!. 1! = m ve m = 7 dir. ÖZELLIKLER n n n dir 1 = =. n 1 n n ise i r p dir r =, ) =. p ii) r + p = n dir. n n n n n dir n =. n n n n n n =... n n n n + dir r r + 1 =. 1 r n = 8 bulunur = n + 1 n 4 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? i) n + 1 = n 4 n = 5 bulunur. ii) ( n + 1) + ( n 4) = 18 n = 7 bulunur. + 1 cevabımız olur toplamının eşitini bulunuz = dir = dır. 6 6 n n n n = olduğuna göre, n kaçtır? n n n n n n = n dir n + 47 = n n n = 48

51 Geometrik Kombinasyon Problemleri; Herhangi üçü doğrusal olmayan n tane nokta ile; n kadar doğru n kadar üçgen n kadar çember çizilebilir. Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta ile; a) Kaç farklı doğru çizilebilir? b) Kaç farklı üçgen çizilebilir? a) İki noktadan bir doğru geçer. 8 8 = farklı doğru çizilebilir. 4 tanesi aynı doğru üzerinde olan 7 noktadan a) Kaç farklı doğru çizilebilir? b) Kaç farklı üçgen çizilebilir? a) b) Doğrusal olan noktalar aynı doğruyu belirtir. 7 4 Doğrusal olan nokta üçgen belirtmez d doğrusunu da eklemeliyiz. KOMBİNASYON b) Üçgen için doğrusal olmayan noktaya ihtiyaç vardır = farklı üçgen çizilebilir. 51

52 A B C D d 1 Aşağıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir. A E F G H K d d 1 // d olmak üzere, köşeleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen çizilebilir? I. yol : B C d 1 den d den d 1 den d den nokta 1 nokta 1 nokta nokta = 70 farklı üçgen çizilebilir. II. yol : noktadan d 1 den d den ü nokta nokta köşeleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen oluşturulabilir? (004 - ÖSS) [AC] kenarındaki doğrusal üçlüler 9 4 [AB] kenarındaki doğrusal lüler = 79 farklı üçgen çizilebilir = 70 farklı üçgen çizilebilir. 5

53 9 farklı doğrunun ü birbirine paralel ve 5 tanesi de sabit bir A noktasından geçmektedir. Buna göre, bu 9 doğru en fazla kaç noktada kesişir? doğrunun 1 kesim noktası vardır. 9 6 = farklı kesim noktası oluşur. Fakat paralel doğrular kesişmeyeceğinden; = kesim noktası azalır. 5 doğruda sabit bir A noktasından geçtiğine göre, 5 10 = kesim noktası daha azalır A noktasını eklemeyi unutma! 4 farklı kesim noktası oluşur. 6 farklı çemberin en çok kaç kesim noktası vardır? İki farklı çemberin en çok kesim noktası vardır. Dolayısıyla; 6 0. = farklı kesim noktası oluşur. 5 farklı elipsin en çok kaç kesim noktası vardır? İki farklı elipsin en çok 4 kesim noktası vardır. KOMBİNASYON Dolayısıyla; = farklı kesim noktası oluşur. 5

54 Aşağıdaki şekil 15 birim kareden oluşmuştur. BİNOM AÇILIMI: a ve b reel sayılar, n pozitif bir tam sayı olmak üzere; n n n n n a b a b 0 n a 1 n + b 1 + a b n 0 a. n b n ( ) = + a) Kaç tane dikdörtgen var? b) Kaç tane kare var? açılımına binom açılımı denir. (a + b) n ifadesinin açılımında (n + 1) a) d 1 d d d 4 d 5 d 6 y 1 y y y 4 tane terim vardır. (a + b) n açılımında baştan (r + 1). terim; n n r r a b dir r =. = tane dikdörtgen Düşeyden doğru Yataydan doğru (a + b) n açılımında ortadaki terim; n n n. a. b n b) 1-1 lik - lik - lük = 6 tane kare Katsayılar toplamı için bilinmeyen değerlerin yerine 1 yaz!!! Sabit terim için x in üssünü 0 yap!!! 54

55 (x y) 6 ifadesinin açılımında; a) Kaç terim vardır? b) Kat sayılar toplamı kaçtır? a) n = 6 olduğundan; = 7 terim vardır. b) x = 1 ve y = 1 yazarsak kat sayılar toplamını buluruz: (.1 1) 6 = 6 = 64 bulunur. (x + ) 6 = x k.x olduğuna göre, k kaçtır? x 8 li terimi elde etmek için x nin 4. kuvvetini almalıyız. 6 4.( x ).( ) 15.x x 8 dir. k = 60 bulunur. (x y) 5 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 4. terimin katsayısı kaç olur? (x y) 5 ifadesinin açılımında x y li terimin kat sayısı kaçtır? KOMBİNASYON 5.( x).( y) Baştan (r + 1). terim n n r r a b dir r x.( 8y ) = 80. x. y katsayısı ( 80) dir ( x).( y) x y li terimi verir. 10.(8x ).(9y ) 70.x.y bulunur.

56 (x y ) n açılımında x 4 y 4 teriminin kat sayısı kaçtır? 4.( x ).( y ) x 4.y 4 lü terimi oluşturur. 6.x 4.(4y 4 ) 4.x 4.y 4 bulunur. 6 1 x x ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. 9 1 x x açılımında sabit terim kaçtır? Sabit terim için x in üssünü 0 yapmalıyız. 9 9 r 1 = 0. x. k. x r x ( ) r 9 9 r ( ) ( 1) r 0.. r. x r = k. x 0 r = 6 bulunur ( ) = bulunur. (x + y 4 ) 6 = x k.x 1.y a +... olduğuna göre, a + k toplamı kaçtır? (a + b) n n.a n.b n ortanca terimi verir. n 6 1.( x ). x x. bulunur. 9 x x 56 x 1 li terim için x ün 4. kuvvetini almalıyız x. y x. y bulunur. k = 15 ve a = 8 dir. a + k = = bulunur. ( ) ( )

57 8 1 x x ifadesinin açılımında x 7 li terimin katsayısı kaçtır? 7 x x ifadesinin açılımında x 8 katsayısı kaçtır? li terimin r 8 8 r = k. x r x 8 8 r n.( ).( 1). x 8 r 1 7. = k. x r r x r r r.( ).( ). x = k. x r r = 5 bulunur. ( x)... x 8 ( ) x bulunur. ( ) = 7 r 7 r 8 x k x r. x r r 1 1 r 7 r 8.( ).( ).. x = k. x r x r r r x k. x r ( ) ( ) = r = 5 bulunur ( ) = bulunur. KOMBİNASYON (a + b + c) n ifadesinin açılımında; (n + 1).(n + ) tane terim vardır. 57

58 (a + b c) n ifadesinin açılımında 78 tane terim olduğuna göre, n kaçtır? ( n + 1).( n + ) = 78 ( n + 1).( n + ) = n = 11 bulunur. (a + b c) 1 ifadesinin açılımında a lü kaç tane terim vardır? a yı 1. terim, (b c) yi de. terim gibi düşünürsek; 1 9 ( a).( b c) bulunur. 9 (b c) 9 açılımında ise; = 10 terim vardır. Bu terimlerin her birinde a çarpan olarak bulunur. 58

59 1. C(0, 0) + C(7, 4) = 4C(a, a 1) olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 1 C) 15 D) 18 E) 0. C(n + 1, n 1) < 6 eşitsizliğini gerçekleyen kaç farklı n doğal sayısı vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 TEST KODU : = x 7 x + olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 4. n n n = n n + 5 n olduğuna göre, değeri kaçtır? n 1 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 KOMBİNASYON - BİNOM 59

60 5. 6.C(n, n ) = P(n, 4) olduğuna göre, n kaçtır? 7. n n n n = A) 1 B) 10 C) 9 D) 7 E) 6 olduğuna göre, n kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 6. P(x 1, ) = C(x, ) olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) toplamının değeri kaçtır? A) (11!) B) 9 C) 10 D) 11 E) (11!) 60

61 toplamının sonucu aşağıdakilerden hangsiidir? A) B) C) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 8 B) C) 5 D) 6 E) D) E) 6 6 TEST KODU : elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 1. 8 elemanlı bir kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? KOMBİNASYON - BİNOM A) B) 0 C) 8 D) 4 E) 0 A) 8 B) 7 C) 69 D) 47 E) 55 61

62 1. A = {ç, ı, n, a, r} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya r harfi bulunur? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) A = {a, t, ö, l, y, e, m} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en çok sesli harf bulunur? A) 1 B) 16 C) 0 D) 4 E) A = {f, i, k, o, 1, } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir rakam bulunur? A) 11 B) 1 C) 1 D) 14 E) A = {0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı tek sayıdır? A) 7 B) 60 C) 50 D) 45 E) 40 6

63 1. 5 rus ve 4 almandan oluşan bir gruptan, 4 kişilik bir ekip kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 84 B) 105 C) 16 D) 169 E) rus ve 4 almandan oluşan bir arkadaş grubundan, en az si rus olan 4 kişi kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 40 B) 60 C) 75 D) 90 E) 105 TEST KODU : rus ve 4 almandan oluşan bir gruptan, si rus ve si zenci olmak üzere, 4 kişi kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 5 B) 56 C) 60 D) 64 E) Bir öğrenci 9 sorudan 5 ini yanıtlamak zorundadır. İlk 4 sorudan en çok ikisini yanıtlamak koşulu ile kaç farklı seçim yapabilir? KOMBİNASYON - BİNOM A) 81 B) 7 C) 64 D) 48 E) 4 6

64 5. Behlül ve Bihter in de aralarında bulunduğu 9 kişiden 4 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Bihter ve Behlül bir arada bulunmak istemediklerine göre, bu grup kaç değişik şekilde oluşturulur? A) 5 B) 4 C) 56 D) 70 E) Behlül ve Bihter in de aralarında bulunduğu 9 kişi, 4 ve 5 kişilik iki gruba ayrılacaktır. Behlül ve Bihter aynı grupta olmak üzere kaç farklı seçim yapılabilir? A) 1 B) 5 C) 4 D) 56 E) Behlül ve Bihter in de aralarında bulunduğu 9 kişiden 4 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Bihter ve Behlül den en az birinin aralarında bulunduğu bu grup kaç değişik şekilde oluşturulabilir? 8. Türk ile 5 Rus öğrenci arasından en az biri Türk olmak üzere, kişilik bir grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 5 B) 41 C) 4 D) 46 E) 50 A) 98 B) 91 C) 80 D) 71 E) 6 64

65 9. 8 kişi arasından 5 kişilik bir ekip seçilecektir. Ekibe girecek kişi belli olduğuna göre, kaç farklı ekip oluşturulabilir? A) 4 B) 0 C) 15 D) 1 E) penguen, 6 ayı, 4 geyik arasından ikisi penguen olacak şekilde, 4 hayvan kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 15 B) 10 C) 105 D) 90 E) 7 TEST KODU : sporcudan 11 kişilik bir takım oluşturulacaktır. Bu 16 sporcudan takıma girecek 8 kişi belli olduğuna göre, bu takım kaç değişik şekilde oluşturulabilir? 1. Bir kutuda 6 kırmızı, 4 siyah, 5 beyaz bileklik vardır. Bu kutudan dördü kırmızı, biri siyah, ikisi beyaz kaç farklı bileklik seçilebilir? KOMBİNASYON - BİNOM A) B) 154 C) 84 D) 56 E) 4 A) 480 B) 50 C) 560 D) 600 E)

66 1. 8 farklı arabadan ünü alacak olan Ali aldıklarından birinide kızına verecektir. Ali, kızına vereceği hediyeyi kaç farklı şekilde seçebilir? A) 05 B) 194 C) 180 D) 17 E) kişiden 7 si A şehrine, ü de B şehrine gidecektir. Bu ekipler kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 40 B) 10 C) 80 D) 60 E) öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip, bu ekip içinden de bir başkan seçilecektir. Bir başkan ve üç üyeden oluşan ekip kaç değişik biçimde oluşturulabilir? kişilik bir kafileden 5 kişi İzmir e, 6 kişi Ankara ya gidecektir. Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturulabilir? A) 10 B) 504 C) 840 ( ÖYS) D) 100 E) 5040 A) 458 B) 46 C) 480 D) 490 E) 848 ( ÖYS) 66

67 1. Matematik olimpiyatları için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 6 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en az iki öğrenci gönderilmek şartıyla, kaç farklı seçim yapılabilir? A) 5 B) 4 C) 50 D) 56 E) 7. Bir kutuda 1 beyaz, siyah, 4 kırmızı kalem vardır. Her renkten en az bir tane olmak üzere, 4 kalem kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 60 B) 7 C) 84 D) 96 E) 108 TEST KODU : 10. Yükseköğretim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci kaç farklı gruplama ile gönderilebilir? A) 10 B) 0 C) 5 D) 0 E) 40 (00 - ÖSS) 4. Bir atölyede 6 usta, 5 çırak vardır. Bir usta günde 4 sandalye, bir çırak günde sandalye yapabildiğine göre, günde 6 sandalye yapabilecek bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 60 B) 50 C) 40 D) 0 E) 0 KOMBİNASYON - BİNOM 67

68 5. 9 seçmeli dersten üç tanesi aynı saatte verilmektedir. ders seçmek isteyen bir öğrenci kaç farklı şeçim yapabilir? A) 60 B) 65 C) 70 D) 7 E) ü ehliyetli olan 8 kişi 5 kişilik bir arabayla tatile gidecektir. Kaç farklı şekilde seçim yapılabilir? A) 15 B) 45 C) 70 D) 90 E) dersten ü aynı saattedir. 5 ders seçmek isteyen bir öğrenci kaç farklı seçim yapabilir? A) 70 B) 105 C) 11 D) 16 E) Bir açık büfede 9 farklı yemek, 5 farklı tatlı ve farklı salata çeşidi bulunuyor. Bir konuk farklı yemek, farklı tatlı ve 1 salatayı kaç farklı şekilde seçebilir? A) 190 B) 1880 C) 1680 D) 1660 E)

69 9. 10 asker arasından 6 asker ve seçilen 6 asker arasından 1 onbaşı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 40 B) 60 C) 840 D) 1050 E) a > b > c olmak üzere, abc şeklinde üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? A) 84 B) 10 C) 40 D) 40 E) 900 TEST KODU : sporcudan 5 kişilik bir takım oluşturulacaktır. Bu 10 sporcudan takıma girecek kişi belli olduğuna göre, takım kaç değişik biçimde kurulabilir? A) 6 B) 48 C) 56 D) 11 E) 6 1. a < b < c olmak üzere, abc şeklinde üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? A) 84 B) 10 C) 40 D) 40 E) 900 KOMBİNASYON - BİNOM ( ÖYS) 69

70 1. Bir lokantada biri 4, diğeri 5 kişilik olan iki yuvarlak masa vardır. Kuzey ve Güney in de arasında bulunduğu 9 kişi, bu masalara Kuzey ve Güney aynı masada oturmamak şartıyla kaç farklı şekilde otururlar? (Masada kimin nerede oturduğu önemsizdir.) evli çiftin bulunduğu 1 kişi arasından sadece 1 evli çiftin bulunduğu 4 kişi kaç farklı yolla seçilebilir? A) 16 B) 08 C) 19 D) 176 E) 168 A) 4 B) 70 C) 84 D) 91 E) er ve 5 er kişilik iki yuvarlak masaya 8 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? A) 688 B) 144 C) 67 D) 448 D) evli çift arasından kişi seçilecektir. Bu kişi arasında hiç evli çift bulunmamak şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir? A) 40 B) 60 C) 400 D) 480 E)

71 1. n = 1 n olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10. n elemanlı bir kümeminin r li bütün kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterilmektedir. C(n, ) + C(n, ) = 4C(n, 1) eşitliğinde n kaç olmalıdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ( ÖYS) TEST KODU : = x x + 6 olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. Bir A kümesinin en çok elemanlı alt küme sayısı 9 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 KOMBİNASYON - BİNOM 71

72 5. A = {f, i, k, r, e, t} kümesinin elmanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f bulunur, e bulunmaz? A) 6 B) 10 C) 18 D) 1 E) kişilik bir kafilede erkeklerden oluşturulabilecek ikişerli grupların sayısı bu kafiledeki kızların sayısına eşittir. Buna göre, bu kafilede kaç kız vardır? A) 1 B) 10 C) 8 D) 6 E) A = {a, t, ö} B = {a, t, ö, l, y, e, m} A N B olacak şekilde 5 elemanlı kaç farklı N kümesi yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 1 D) 18 E) kişilik bir kafilede kızlardan oluşturulabilecek ikişerli gurupların sayısı, erkeklerden oluşan ikişerli gruplardan 57 fazladır. Buna göre, kaç kız vardır? A) 15 B) 1 C) 11 D) 9 E) 7 7

73 9. A = {m, e, r, v, ü} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde m harfi bulunur? A) 54 B) 68 C) 7 D) 80 E) soruluk bir sınavda en az soru cevaplamak zorunda olan bir öğrenci soruları kaç farklı şekilde cevaplayabilir? A) 9 B) 5 C) 105 D) 10 E) 18 TEST KODU : A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunup, e harfi bulunmaz? 1. Birbirinden farklı 7 negatif, 5 pozitif sayı arasından çarpımları pozitif olan 4 sayı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 70 B) 50 C) 00 D) 170 E) 110 KOMBİNASYON - BİNOM A) 1 B) 4 C) 6 D) 4 E) 48 7

74 1. 17 kişinin katıldığı bir toplantıda herkes birbirleriyle tokalaşacaktır. Buna göre, kaç tokalaşma gerçekleşir? A) 16 B) 14 C) 148 D) 154 E) hemşire 6 doktor arasından 4 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. İçinde en az 1 hemşire bulunan ekiplerin sayısı kaçtır? A) 75 B) 5 C) 195 D) 15 E) farklı ayakkabı çifti arasından ayakkabılar çift olmamak şartıyla sol, sağ ayakkabı kaç değişik şekilde seçilir? 16. Bir pansiyonda biri, diğerleri kişilik üç tane oda bulunuyor. 8 kişi bu pansiyonda kaç farklı şekilde konaklayabilir? A) 10 B) 15 C) 441 D) 60 E) 75 A) 510 B) 50 C) 540 D) 560 E)

75 1. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta ile kaç farklı doğru çizilebilir? A) B) 8 C) 4 D) 0 E) 16. Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan kaç farklı düzlem geçer? A) 15 B) 1 C) 8 D) 1 E) 5 TEST KODU : 105. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta ile kaç farklı üçgen oluşturulabilir? A) 56 B) 4 C) 0 D) 8 E) 4 4. Düzlemde herhangi ikisi paralel olmayan 9 farklı doğru en çok kaç noktada kesişebilir? A) 48 B) 4 C) 40 D) 6 E) KOMBİNASYON - BİNOM 75

76 5. Bir düzlemde 4 ü paralel olan 9 farklı doğru en çok kaç noktada kesişir? A) 6 B) C) 1 D) 0 E) 8 7. Aynı düzlemde bulunan ve birbirine paralel olmayan 8 doğrunun 5 i bir A noktasından geçmektedir. Buna göre, bu doğrular en fazla kaç noktada kesişirler? A) 19 B)18 C) 17 D) 16 E) Sadece 4 ü paralel 9 farklı doğru en az kaç noktada kesişir? A) 1 B) 16 C) 1 D) 1 E) farklı doğrudan 4 ü birbirine paralel, ü sabit bir A noktasından geçmektedir. Bu doğruların kesişiminden en fazla kaç tane nokta elde edilebilir? A) 47 B) 49 C) 51 D) 5 E) 55 76

77 9. 5 farklı çemberin en çok kaç kesim noktası vardır? 11. A B C D E d 1 A) 10 B) 16 C) 0 D) 5 E) 6 F G H K d Yukarıdaki şekilde, d 1 üzerinde 5 ve d üzerinde 4 nokta vardır. 10. d d 1 // d olduğuna göre, bu 9 nokta ile kaç farklı yamuk çizilebilir? A) 0 B) 45 C) 60 D) 90 E) 10 TEST KODU : 105 C B A D E F G H Yukarıdaki 8 nokta kullanılarak kaç farklı üçgen çizilebilir? d 1 1. Yukarıdaki şekilde kaç farklı üçgen vardır? KOMBİNASYON - BİNOM A) 56 B) 50 C) 48 D) 45 E) 4 A) 6 B) 45 C) 55 D) 66 E) 78 77

78 1. Birbirine paralel iki doğrudan birinde, diğerinde k tane nokta alınıyor. Köşeleri bu (k + ) noktadan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir? A) k B) 4k C) k D) k E) 4k 15. A B C Yandaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen oluşturulabilir? A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84 (004 - ÖSS) H K B A G C D E 16. F Yukarıdaki şekilde 9 nokta vardır. Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 84 B) 80 C) 76 D) 74 E) 7 Yukarıdaki şekilde kaç farklı üçgen vardır? A) 10 B) 105 C) 90 D) 75 E) 60 78

79 1. (x y) 4 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 1 B) 4 C) 5 D) 4 E) a 4 a ifadesinin açılımında a 9 lu terimin katsayısı kaçtır? A) 0 B) 15 C) 10 D) 15 E) 0 TEST KODU : x x ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 4. terimin katsayısı kaçtır? A) 0 B) 60 C) 10 D) 0 E) x x ifadesinin açılımında x 11 li terimin kat sayısı kaçtır? A) 4 B) 11 C) 7 D) 11 E) 4 KOMBİNASYON - BİNOM 79

80 5. (x y ) n açılımında x 4 y 4 lü terimin kat sayısı kaçtır? A) 48 B) 4 C) 1 D) 4 E) 48 ( ÖYS) x ifadesinin açılımında x 11 li terimin katsayısı kaçtır? 7. x A) 11 B) 56 C) 8 D) 11 E) (x + y) 8 = x ax y eşitliğinde a hangi sayıyı göstermektedir? A) 48 B) 00 C) 148 D) 11 E) 96 ( ÖYS) 8. 7 x x ifadesinin açılımında x 8 li terimin katsayısı kaçtır? A) 84 B) 48 C) 8 D) 48 E) 84 ( ÖYS) 80

81 9. (x 5y 4 ) n =... + A.x 6.y eşitliğini sağlayan A ve n değerleri için, A oranı kaçtır? n A) 600 B) 150 C) 75 D) 150 E) x + x ifadesinin açılımında ortanca terim aşağıdakilerden hangisdir? A) 70 B) 70x C) 70x 4 D) 84x E) 84x 4 TEST KODU : (x y ) 10 =... + A.x n.y n +... eşitliğini sağlayan A ve n değerleri için, A + n toplamı kaçtır? A) B) 19 C) 18 D) 17 E) x + x ifadesinin açılımında ortadaki terimin kat sayısı kaçtır? A) 180 B) 140 C) 100 KOMBİNASYON - BİNOM D) 110 E)

82 1 1. x + x 6 ifadesinin sabit terimi kaçtır? A) 60 B) 80 C) 10 D) 180 E) x + x ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 15 B) 16 C) 18 D) 0 E) ( ÖYS) x + x ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 15 B) 17 C) 1 D) 5 E) (x y ) 6 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 16 B) 4 C) D) 48 E) 64 8

83 1. x 10 1 x ifadesinin açılımında baştan. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 45x 15 B) 54x 15 C) 45x 16 D) 54x 16 E) 45x x x ifadesinin açılımında x e bağlı olmayan terim kaçtır? A) 0 B) 180 C) 10 D) 180 E) 0 TEST KODU : x x ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 7 B) 84 C) 90 D) 96 E) x + x ifadesinin terimlerinden biri k.x 4 olduğuna göre, k kaçtır? A) 8 B) 56 C) 70 D) 78 E) 84 KOMBİNASYON - BİNOM 8

84 5. (x + y) 8 = x A.x m.y n +... eşitliğinde m + n = 0 olduğuna göre, A kaçtır? A) 8 B) 56 C) 11 D) 4 E) (x + y) ifadesinin açılımında baştan 11. terimin katsayısı kaçtır? A) C(,10) B) C(,11) C) C(,1) D) C(,1) E) C(, 11) ( ÖYS) 6. (4x + y) 4 =... + a.x b.y +... olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 1 8. x x ifadesinin açılımında x 4 katsayısı kaçtır? 8 lü terimin A) 40 B) 51 C) 59 D) 64 E) 70 A) 11 B) 56 C) 8 D) 8 E) 56 84

85 9. x = 4 ve y = olduğuna göre, x 5 5x 4 y + 10x y 10x y + 5xy 4 y 5 ifadesinin değeri kaçtır? A) 16 B) C) 64 D) 18 E) (a + b c) 9 ifadesinin açılımında a 5 çarpanının bulunduğu kaç terim vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 ( ÖSS) TEST KODU : (ñ ñ) 6 ifadesinin açlımındaki rasyonel terimlerin toplamı kaçtır? A) 0 B) 4 C) 1 D) 5 E) (x y + 4z) 15 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 14 B) 16 C) 1 D) 18 E) 10 KOMBİNASYON - BİNOM 85

86 1. (a + b + c) n ifadesinin açılımında 91 terim bulunduğuna göre, n kaçtır? A) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) (x + y ) 4 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 16 B) 18 C) 0 D) 4 E) (a b + c) 5 =... + m.a 4.b.c +... eşitliğini sağlayan m değeri kaçtır? A) 480 B) 60 C) 10 D) 10 E) (x ay + 7z) 8 ifadesinin açılımındaki katsayıların toplamı 56 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64 86

87 1. d 5 d 6 d 7 d 8 d 9. d 1 d d d 4 Yukarıdaki şekilde kaç farklı kare vardır? Yukarıdaki şekilde; A) 60 B) 45 C) 6 D) 0 E) 0 d 1 // d // d // d 4 d 5 // d 6 // d 7 // d 8 // d 9 olduğuna göre, şekilde kaç farklı paralelkenar vardır? A) 1 B) 18 C) 0 D) 4 E) 60 TEST KODU : 108. Yukarıdaki şekilde kaç farklı dikdörtgen vardır? 4. 8 tane özdeş kalem, çocuğa ve her çocuğun en az 1 kalem alması koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? KOMBİNASYON - BİNOM A) 60 B) 45 C) 6 D) 0 E) 0 A) 18 B) 1 C) 4 D) 0 E) 5 87

88 5. H d 1 7. Bir sinemada 8 salon bulunmaktadır. salonda aynı film, diğerlerinde ise farklı filmler gösterilmektedir. G A B C D E F Yukarıdaki şekilde, ard arda gelen noktalar eşit uzaklıktadır. d Buna göre, aynı günde farklı filme gitmek isteyen Fenasi kaç farklı seçim yapabilir? A) 5 B) 8 C) 1 D) 5 E) 4 d 1 d olduğuna göre, köşeleri bu 8 nokta olan kaç farklı dik üçgen çizilebilir? 6. A) 11 B) 1 C) 1 D) 14 E) xyz üç basamaklı bir sayıdır. x + y + z = 9 şartını sağlayan kaç farklı xyz yazılır? A) 6 B) 45 C) 5 D) 56 E) 6 Yukarıdaki şekilde kaç farklı üçgen vardır? A) 70 B) 65 C) 60 D) 54 E) 48 88

89 9. 5 kız, 7 erkekten oluşan bir gruptan seçilen kız, 4 erkek, erkekler yanyana gelmek şartıyla kaç farklı sıralanırlar? 5 7 A)..! B)..! C). 1.!. 4! D).! E)..! U kümesi, 1,,, 4 rakamları kullanılarak oluşturulan ve rakamları birbirinden farklı olan 4 basamaklı bütün doğal sayıların kümesidir. U nun elemanlarından 4 rakamı 1 rakamının solunda olanlar A kümesini, 4 rakamı rakamının sağında olanlar B kümesini oluşturuyor. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 16 C) 18 D) 0 E) 4 (004 - ÖSS) 11. ( ñ5 + ñ) 7 ifadesinin açılımındaki rasyonel terimlerin toplamı kaçtır? A) 480 B) 550 C) 60 D) 700 E) (ñ5 + ñ) 1 ifadesinin açılımında rasyonel olmayan kaç terim vardır? A) 1 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 TEST KODU : 108 KOMBİNASYON - BİNOM 89

90 1. 6 farklı çember, en çok kaç noktada kesişir? A) 15 B) 0 C) 0 D) 45 E) farklı bilyenin tamamı, yaşları farklı kardeş arasında paylaştırılacaktır. Bu kardeşlerden en büyüğü 1, diğer ikisi ise en az birer bilye alacak biçimde bu paylaşım kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 45 B) 50 C) 60 D) 70 E) 75 (YGS - 01) farklı elips, en çok kaç noktada kesişir? A) 15 B) 0 C) 0 D) 45 E) farklı dikdörtgen, en çok kaç noktada kesişir? A) 80 B) 60 C) 40 D) 0 E) 10 90

91 MATEMATİK OLASILIK

92 OLASILIK Bir zar atılma deneyinde; Bir olayın olmasının ya da olmamasının matematiksel değerine OLA- SILIK denir. Örneğin, bir madeni para düz bir zemine atıldığında tura gelmesi, bir zar atıldığında üst yüzüne çift sayı gelmesi gibi. Örnek uzay, E = {1,,, 4, 5, 6} kümesidir ve s(e) = 6 elemanlıdır. Zarın tek gelme olayı A kümesi olsun, ÖRNEK UZAY A = {1,, 5} kümesidir ve s(a) = elemanlıdır. Matematiksel bir deneyde oluşabilecek tüm durumlara Örnek Uzay adı verilir. Örnek uzay "E" ile, örnek uzaydaki durumların sayısı ise "s(e)" ile gösterilir. Bir madeni para düzgün bir zeminde ard arda n kez atıldığında toplam n durum oluşur. Bir madeni paranın ard arda iki kere atılması deneyinde. Örnek uzay; E = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} kümesidir ve s(e) = 4 elemanlıdır. Paralardan en az birinin yazı gelmesi olayı A kümesi olsun. A = {(Y, T), (T, Y), (Y, Y)} kümesidir ve s(a) = elemanlıdır. Bir zar ard arda n kez atıldığında oluşan tüm durumların sayısı 6 n dir. OLAY Matematiksel bir deneyin örnek uzayının her alt kümesine OLAY denir. 9 AYRIK OLAY Aynı örnek uzaya ait farklı iki olayın kesişimleri boş küme ise, bu olaylara AYRIK OLAYlar denir. A ile B ayrık olaylar ise, A B = dir.

93 OLASILIK FONKSİYONU; BAĞIMSIZ OLAYLAR; E örnek uzayının tüm alt kümelerinden oluşan kümeden, [0, 1] aralığına tanımlanan ve aşağıdaki şartları sağlayan fonksiyona OLASILIK FONKSİYONU denir. Olasılık fonksiyonu genelde "P" ile gösterilir. A olayı, E örnek uzayının bir alt kümesi olmak üzere, 0 P(A) 1 dir. P(E) = 1 dir. (KESİN OLAY) A = ise, P(A) = 0 dır. (İMKANSIZ OLAY) A ı ifadesi A olayının değilini göstermek üzere, P(A ı ) + P(A) = 1 dir. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. i) A ve B ayrık olaylarsa; P(A B) = 0 dır. ii) A ve B bağımsız olaylarsa; P(A B) = P(A).P(B) dir. 9 E örnek uzayında, boş kümeden ve birbirinden farklı iki olay A ve B olsun. A olayının olasılığı, B olayını etkilemiyorsa A ve B BAĞIMSIZ iki olaydır. Örneğin; Bir para ile bir zarın birlikte atılması deneyinde, paranın tura ve zarın asal sayı gelme olayları birbirinden bağımsız olaylardır. P(A B) = P(A).P(B) dir. ve EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY; Sonlu bir örnek uzayın tüm 1 elemanlı alt kümelerinin olasılıkları eşit ise, bu örnek uzaya EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY denir. Eş olumlu bir E örnek uzayında A E ise, P(A) = s(a) s(b) İstenilen Durum Sayısı = Tüm Durumların Sayısı ile A olayının olasılığı bulunur. OLASILIK

94 Bir torbada eşit boylarda beyaz, 4 siyah, 5 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin; a) Siyah renkli olma olasılığı kaçtır? b) Beyaz veya kırmızı renkli olma olasılığı kaçtır? c) Beyaz renkli olmama olasılığı kaçtır? Bu torbada B + 4S + 5K = 1 bilye vardır. Beyaz bilye sayısı s(b) = Siyah bilye sayısı s(s) = 4 Kırmızı bilye sayısı s(k) = 5 Tüm bilyelerin sayısı s(e) = 1 dir. a) Siyah renkli bilye çekme olasılığı P(S) ile gösterilirse P(S) = s(s) s(e) = 4 1 = 1 bulunur. b) Beyaz veya kırmızı renkli bilye çekme olasılığı P(B K) ile gösterilirse; s(b) + s(k) s(e) = = bu- P(B K) = lunur. c) Beyaz renkli bilye çekme olasılığı P(B) ile gösterilirse, çekmeme olasılığı P(B ı ) ile gösterilir. P(B) = s(b) s(e) = 1 = 1 4 bulunur. P(B ı ) + P(B) = 1 P(B ı ) = 1 P(B) = = 4 bulunur. 94 kız ve 4 erkekten oluşan bir gruptan rastgele kişi seçilecektir. Seçilen bu grupta a) 1 kız erkek bulunma olasılığını bulunuz. b) En az 1 kız bulunma olasılığını bulunuz. c) En çok 1 kız bulunma olasılığını bulunuz. K + 4E = 7 kişi arasından kişi seçmek bize tüm durumların sayısını verecektir... s( E) = 7 = dir.! = 5 a) 1 kız, erkek seçmek için; =.. = dir. 18 bu seçeneğin cevabı olur. 5 b) En az 1 kız bulunması için; 1 K E + K 1 E + K = 1 dir. 1 bu seçeneğin cevabı olur. 5

95 c) En çok 1 kız bulunması için; 1 K E + E = dir. bu seçeneğin cevabı olur. 5 a) Üçünün de aynı renkli olması durumu; K S Y = 15 dir. 15 bu seçeneğin cevabı olur. 0 Bir torbada bulunan özdeş kırmızı, 4 siyah, 5 yeşil bilye arasından rastgele üçü çekiliyor. Buna göre; a) Üçününde aynı renkte olma olasılığı kaçtır? b) Üçünün de farklı renkte olma olasılığı kaçtır? c) Birincinin kırmızı, ikincinin siyah ve üçüncünün de yeşil olma olasılığı kaçtır? d) Birinin yeşil olma olasılığı kaçtır? e) En az birinin yeşil olma olasılığı kaçtır? Bu torbada K + 4S + 5Y = 1 bilye vardır. Tüm durumların sayısı; s( E) = 1 = 0 dir. 95 b) Üçünün de farklı renkte olması durumu; 1 S 1 K 1 Y = 60 dır. 60 bu seçeneğin cevabı olur. 0 c) Sıra belli ise KOMBİNASYON kullanma! K ve S ve Y sırası için; P( K). P( S). P( Y) = bulunur OLASILIK

96 d) 1 Yeşil ve diğer renklerden seçilmeli; 5 Yeşil renkte 7 diğer renklerden = = bulunur Bir çift zar atıldığında üst yüze gelen sayıların; a) Toplamlarının 10 olma olasılığı kaçtır? b) Toplamlarının en az 10 olma olasılığı kaçtır? c) Toplamlarının en çok 10 olma olasılığı kaçtır? e) Bu şıkta değilinden de gidebiliriz; En az birinin yeşil olabilmesi için tüm durumlardan, yeşilsiz durumları çıkarmak yeterli olacaktır. 7 Yeşilsiz Durumlar; = 5 dir. 1 Tüm durumlar; = 0 dir = 0 0 bulunur. d) Çarpımlarının çift sayı olma olasılığı kaçtır? e) Çarpımlarının çift sayı olma olasılığı kaçtır? f) Zarların aynı gelme olasılığı kaçtır? g) Zarların farklı gelme olasılığı kaçtır? h) En az birinin 6 gelme olasılığı kaçtır? zar atıldığında oluşabilecek tüm durumların sayısı; s(e) = 6 = 6 dır. a) Toplamlarının 10 olduğu durumlar; A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} ve s(a) = dür. bu şıkkın cevabı olur. 6 96

97 b) Toplamlarının en az 10 olduğu durumlar ise, 10 ve 10 dan büyük olduğu durumlardır. A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} s(a) = 6 dır. 6 bu şıkkın cevabı olur. 6 e) Çarpımlarının çift sayı olabilmesi için; tüm durumlardan çarpımlarının tek olduğu durumları çıkarabiliriz. 6 9 = 7 Tüm Tek Çift Durumlar olduğu Durumlar olduğu Durumlar 7 bu şıkkın cevabı olur. 6 c) Bu şıkta değilinden gitmek daha kolaydır. En çok 10 olabilmesi için, toplamlarının 11 ve 1 olmaması gerekir. 11 ve 1 olduğu durumlar; A = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)} ve s(a) = dür. 1 6 = bu şıkkın cevabı olur. 6 d) Çarpımlarının tek sayı olabilmesi için; A = {(1,1), (1,), (1,5), (,1), (, ), (, 5), (5, 1), (5, ), (5, 5)} ve s(a) = 9 durum vardır. 9 bu şıkkın cevabı olur. 6 f) Zarların aynı geldiği durumlar; A = {(1,1), (, ), (, ), (4, 4), (5, 5), (6,6)} ve s(a) = 6 durum vardır. 6 bu şıkkın cevabı olur. 6 g) Zarların farklı gelme olasılığı; 1 (Aynı gelme olasılığı) ile bulunabilir = 0 bu şıkkın cevabı olur. 6 h) Zarlardan en az birinin 6 geldiği durumlar; A = {(1, 6), (, 6), (, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5)} ve s(a) = 11 dir. 11 bu şıkkın cevabı olur. 6 OLASILIK 97

98 Bir madeni para ard arda 5 kez atılıyor. Buna göre; a) Sırasıyla Y, T, Y, T, Y biçiminde gelme olasılığı kaçtır? b) ünün yazı, sinin tura gelme olasılığı kaçtır? c) En az ünün yazı gelme olasılığı kaçtır? d) En çok birinin tura gelme olasılığı kaçtır? Bir madeni paranın ard arda 5 kez atılması deneyinin örnek uzayı; s(e) = 5 = elemanlıdır. a) Sıra önemli ise; 1. nin Y, nin T,. nün Y, 4.nün T ve 5.nin Y bu şıkkın cevabı olur.. 1 b) ünün Y, sinin T geldiği durumlar sıra önemli olmadığından; Y Y Y T T 10 farklı durum oluşur. 10 bu şıkkın cevabı olur. 5! (Tekrarlı Permütasyon)!.! 98 c) En az ünün yazı geldiği durumlar; YYYTT + YYYYT + YYYYYY 5! 5! 5! + +!.! 4! 5! = 16 durumdur. 16 bu şıkkın cevabı olur. d) En çok birinin tura geldiği durumlar; 1 Tura ya da 0 Tura dır. TYYYY + YYYYY 5! 5! + 4! 5! = 6 durum vardır. 6 bu şıkkın cevabı olur. 4 evli çift arasından rastgele iki kişi seçiliyor. Seçilen bu iki kişinin birbiri ile evli olma olasılığı kaçtır? 4 evli çift aslında toplam 8 kişi demektir. 4 İstenilen Durum 1 çift seç 4 1 = 8 Tüm Durumlar kişi seç 8 = 4 bu sorunun doğru cevabı olur. 8

99 A = {1,,, 4} ve B = {, 1, 0} olmak üzere, AxB kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır? (010 - YGS) s(axb) = s(a).s(b) dir. = 4. = 1 Tüm durumların sayısını verir. İstenilen durumların kümesi A olsun; A = {(1, 1), (, )} Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru üzerinde ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir. A B C D E Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? TÜM DURUMLAR 5 noktadan sini rastgele seçmemizi istiyor. 5 = 10 Tüm durumların sayısıdır. OLASILIK kümesinin elemanlar toplamı 0 dır. s(a) = olduğundan bu sorunun cevabı olur. 1 İSTENİLEN DURUM 1 noktayı çemberin üzerinden (C ve D den) diğer 1 noktayı ise çemberin üzerinde olmayanlardan (A, B, E den) seçmemizi istiyor = istenilen durumların sayısıdır bu sorunun cevabı olur. 10

100 Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır. A ve B aynı örnek uzaya ait iki olaydır. 1 1 P( A) =, P( B) = ve P( A B) = 4 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? (Aynı doğru üzerindeki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.) (008 - ÖSS) TÜM DURUMLAR 7 noktadan ünü rastgele seçmemizi istiyor. 7 5 = Tüm durumların sayısıdır. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olduğundan, 1 1 = + P( A B) 4 1 P( A B) = = bulunur. 4 1 A ve B bağımsız iki olaydır. 1 P( A) = ve P( B) = 5 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? İSTENİLEN DURUM Üçgen oluşturabilmesi için seçilen tüm lülerden doğrusal olan lüleri çıkarmalıyız = dir. bu sorunun cevabı olur. 5 A ve B bağımsız iki olay olduğundan; P(A B) = P(A). P(B) dir. 1 =. = bulunur P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) bu sorunun cevabı olur

101 A ve B ayrık iki olaydır P( A) = ve P( A B) = 1 olduğuna göre, P(B ı ) kaçtır? A ve B ayrık iki olaysa, A B = dir. P(A B) = 0 olur. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 11 1 = + P( B) 0 1 P(B) = 4 1 bulunur. P(B ı ) + P(B) = 1 olduğundan; 17 bu sorunun cevabı olur. 1 Yalnızca A, B ve C atlarının koştuğu bir yarışta, yarışı A veya B atlarının kazanma olasılığı 1 dir. B veya C atlarının yarışı kazanma olasılığı olduğuna göre, B atının yarışı kazanma olasılığı kaçtır? E = {A, B, C} olduğuna göre, ve bu atların yarışı aynı anda kazanmaları mümkün olmadığına göre, A, B ve C ayrık olaylardır. P(E) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir. P(A) + P(B) = 1 + P(B) + P(C) = P(B) + P(A) + P(B) + P(C) = P(B) = 1 6 bulunur. (A veya B nin kazanma olasılığı) (B veya C nin kazanma olasılığı) OLASILIK 101

102 Ali ve Veli bir hedefe birer kez atış yapıyorlar. Hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 4 9 ve 8 dir. Buna göre; a) Yalnız Ali'nin hedefi vurma olasılığı kaçtır? b) İkisinin birden hedefi vurma olasılığı kaçtır? c) Hedefin vurulma olasılığı kaçtır? Ali'nin ve Veli'nin hedefi vurma olasılıkları sırasıyla P(A) = 4 ve P(V) = 9 8 dir. a) Veli'nin hedefi ıskalama olasılığı; P(V ı ) = 1 P(V) = 5 8 dir. P(A).P(V ı ) = = 0 7 bulunur. b) Ali ve Veli'nin hedefi vurma olasılıkları, P(A).P(V) = = 1 7 bulunur. c) İkisinin de hedefi ıskalama olasılığı; P(A ı ).P(V ı ) = = 5 7 dir. Hedefin vurulma olasılığı; 1 (Vurulmama olasılığıdır) = 47 7 dir. 10 A B A torbasında beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, kırmızı bilye vardır. a) A torbasından rastgele bir bilye çekiliyor ve rengine bakılmadan B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından bir bilye çekiliyor. Buna göre, B torbasından çekilen bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır? b) Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B torbasından alınan A ya) atılıyor. Bu işlemlerin sonucunda torbalardaki kırmızı ve beyaz bilye sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? c) Torbalardan biri rastgele seçiliyor ve seçilen torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz renkte olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin A torbasından çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

103 a) Kırmızı Kırmızı = 49 bulunur. c) Beyaz top ya A torbasından ya da B torbasından çekilebileceğine göre; b) A Beyaz B Kırmızı A torbasından çekilen top Kırmızı veya Beyaz renkli olabilir. Buna göre; A dan Kırmızı, B den Kırmızı veya A dan Beyaz, B den Kırmızı Kırmızı = bulunur. Kırmızı İstenilen Durum A dan beyaz 1. 7 = 14 tür. Tüm Durum A dan beyaz veya B den Beyaz = 8 14 bulunur. İstenilen A dan beyaz A dan beyaz + B den beyaz Tüm = 14 = 8 8 dir. 14 OLASILIK Beyaz Beyaz A B A dan Kırmızı, B den Kırmızı veya A dan Beyaz, B den Beyaz

104 Bir torbada 1 den 9 a kadar numaralanmış dokuz top bulunmaktadır. Ayşe, 1 den 9 a kadar bir sayı belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir top çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile belirlediği sayının toplamı en fazla 9 ve çarpımı en az 9 olursa Ayşe oyunu kazanacaktır. Ayşe hangi sayıyı belirlerse oyunu kazanma olasılığı en yüksek olur? (01 - LYS) Ayşe'nin belirleyeceği sayı ve torbadan çektiği sayı hem 1. şartı hem de. şartı aynı anda sağlamalıdır. 1. Şart : Toplamları en fazla 9 olmalı. Şart : Çarpımları en az 9 olmalı Belirlediği Sayı Çekebileceği toplar 1 olursa Oyunu kazanamaz. olursa 5, 6 ve 7 nolu topları çekerse kazanır. olursa, 4, 5 ve 6 nolu topları çekerse kazanır. 4 olursa, 4 ve 5 nolu topları çekerse oyunu kazanır. 5 olursa, ve 4 nolu topları çekerse oyunu kazanır. 6 olursa ve nolu topları çekerse oyunu kazanır. 7 olursa nolu topu çekerse oyunu kazanır 8 olursa Oyunu kazanamaz. 9 olursa Oyunu kazanamaz. Buna göre, Ayşe'nin belirleyeceği sayı olursa oyunu kazanma olasılığı en yüksek olur. 104

105 KOŞULLU OLASILIK; E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmesi halinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığına A NIN B YE BAĞLI KOŞULLU OLASILIĞI denir ve P(A \ B) biçiminde gösterilir. P(A \ B) = P(A B) P(B) dir. İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamı 6 olduğu biliniyor. Buna göre, zarların üst yüzüne aynı sayıların gelmiş olasılığı kaçtır? OLASILIK Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamı 6 olduğuna göre; Örnek uzay; {(1, 5), (, 4), (, ), (4, ), (5, 1)} 5 elemanlı olacaktır. İstenilen durum ise; {(, )} 1 elemanlıdır. İstenilen durum Tüm durumlar = 1 5 dir. 105

106

107 1. Bir madeni para arka arkaya 4 kez atılıyor. Bu deneyin örnek uzayı kaç elemanlıdır? A) 4 B) 8 C) 1 D) 16 E). Bir zar arka arkaya kez atılıyor. Bu deneyin örnek uzayı kaç elemanlıdır? A) 18 B) 6 C) 7 D) 144 E) 16 TEST KODU : para havaya atılıyor. Buna göre, oluşabilecek tüm durumların sayısı kaçtır? A) 5 B) 10 C) 16 D) 4 E) 4. İki zar ve üç madeni paranın birlikte atılması deneyinin örnek uzayı kaç elemanlıdır? A) 88 B) 16 C) 144 D) 7 E) 6 OLASILIK 107

108 5. İki madeni para ve bir zar atılıyor. Paraların farklı ve zarın tek gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) B) 6 C) 1 D) 18 E) 4 7. Okuma yazma bilmeyen Bestami arkadaşını ziyarete gidiyor. Bestami nin 1 tane kapı zili olan panodan doğru zile basma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 1 8 E) İçinde 4 kırmızı, beyaz top bulunan bir torbadan rastgele top seçme deneyinde örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 0 C) 1 D) 1 E) 6 8. Bir kutudaki 69 bardaktan 1 i kırılmıştır. Kutudan rastgele seçilen bir bardağın sağlam olma olasılığı kaçtır? A) 1 69 B) 1 8 C) 8 69 D) E)

109 9. Bir torbada 5 kırmızı, sarı ve mavi top vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır? 11. Aynı büyüklükteki 40 nohut ile 10 leblebi tanesi karıştırılıyor. Bu karışımdan alınan bir tanenin leblebi tanesi olma olasılığı yüzde kaçtır? A) 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 E) 1 A) 10 B) 0 C) 40 D) 60 E) 80 TEST KODU : matematik, fizik kitabı arasından rastgele alınan bir kitabın fizik kitabı olma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 8 C) 5 8 D) 1 E) 1 1. Bir torbada 1 den 15 e (1 ve 15 dahil) kadar numaralandırılmış 15 kart vardır. Torbadan rastgele çekilen bir kartın 5 ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 5 C) 1 D) 1 5 E) 1 15 OLASILIK 109

110 1. A = {x x 50, x Z + } A kümesinden rastgele seçilen bir sayının, 4 ile kalansız bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) 6 5 B) 1 5 C) 4 5 D) 5 E) İki madeni para aynı anda atılıyor. Birinin yazı, diğerinin tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 1 6 E) Bir çift zar atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır? A) 1 1 B) 1 9 C) 5 6 D) 1 6 E) Hilesiz iki zar atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 6 D) 1 18 E)

111 1. Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 5 beyaz, 7 yeşil kalem vardır. Rastgele alınan bir kalemin kırmızı veya beyaz olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) C) 1 4 (ÖSS ) D) 7 16 E) Bir grupta erkek ve kız öğrenci vardır. Bu gruptan seçilecek iki kişinin ikisinin de erkek olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 5 10 C) (ÖYS ) D) 1 E) 5 TEST KODU : 140. Bir torbada 5 beyaz, 4 kırmızı top vardır. Bu torbadan rastgele top çekiliyor. Çekilen topun da beyaz olma olasılığı kaçtır? A) 5 B) C) 1 (ÖYS ) D) 11 E) kız, 6 erkek öğrenci bulunan bir okul kafilesinden rastgele öğrenci seçilirse, öğrencilerden birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? A) 8 B) C) 7 (ÖYS ) D) 1 5 E) 1 OLASILIK 111

112 5. A B C D E Şekildeki A, B, C, D ve E noktaları bir doğru üzerinde ve ayrıca C ve D noktaları bir çember üzerindedir. Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birisinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? 7. Bir torbada tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan geriye atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? A) 7 B) (ÖYS ) C) D) 10 1 E) A) B) 5 (ÖYS ) C) 5 D) 5 6 E) Bir torbada beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen iki bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma ihtimali nedir? A) 6 B) C) 11 (ÖYS - 199) D) 4 E) 5 8. Bir torbaya eşit sayıda kırmızı ve beyaz bilyeler konuyor. Bu torbadan geri konulmamak üzere çekilen iki bilyenin ikisininde kırmızı renkte olma olasılığı 8 tür. İlk durumda torbada kaç bilye vardır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 (ÖYS ) 11

113 9. Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan rastgele çekilen üç bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 4 15 (ÖYS ) D) 5 14 E) İçinde 4 kırmızı, 4 sarı ve 4 mavi bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen üç bilyeden her birinin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? A) 16 B) C) 1 (ÖYS ) D) 11 E) TEST KODU : Bir kutudaki 1 ampulden, 4 ü bozuktur. Bu ampüllerden rastgele seçilen ampülden üçünün de bozuk olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) C) 1 48 (ÖYS ) D) 1 55 E) İçinde 4 kırmızı, 4 mavi ve 4 sarı bilye bulunan bir torbadan ard arda üç bilye alınıyor. Birincisinin mavi, ikincisinin kırmızı ve üçüncüsünün sarı olma olasılığı kaçtır? A) B) 4 15 C) 1 4 D) E) 1 64 OLASILIK 11

114 1. 5 negatif, 6 pozitif tamsayıdan rastgele üçü seçiliyor. Bu sayıların çarpımlarının pozitif olma olasılığı kaçtır? A) 16 B) 17 C) 7 55 D) 8 55 E) Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların çarpımlarının çift sayı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 C) 1 D) E) Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların çarpımlarının 6 olma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 1 18 C) 1 9 D) 1 6 E) Bir torbada 6 siyah, 5 beyaz top vardır. Torbadan rastgele çekilen üç toptan en az ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A) 4 B) 19 C) 14 D) 11 E) 1 114

115 1. A ve B bağımsız iki olaydır. P(A) = ve P(B) = 10 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) 1 10 B) 1 5 C) 5 D) 0 E) 9 0. A ve B ayrık olaylardır. P(A) = 1, P(B) = 5 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) B) 4 5 C) D) E) 5 TEST KODU : 140. A ve B bağımsız iki olaydır. P(A) = 1 ve P(B) = 5 4 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) 8 0 B) 1 C) 11 0 D) 5 E) A ve B bağımsız iki olaydır. P(A) = 5 ve P(A B) = 1 4 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) 1 B) 1 7 C) 4 1 D) 5 1 E) 4 OLASILIK 115

116 5. A ve B olayları E örnek uzayına ait iki olaydır. P(A) = 7, P(B) = 5 ve P(A B) = 14 8 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) 1 B) 1 8 C) 7 D) 11 8 E) A ve B olayları E örnek uzayının alt kümeleridir. P(A B) = 1, P( B) = 9 10 olduğuna göre, P(A) P(A B) farkı kaçtır? A) 1 10 B) 1 5 C) 10 D) 5 E) Aynı örnek uzaydaki A ve B olayları için, P(A ı ) =, P(B) = 1 4 ve P(A B) = 1 6 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) 11 1 B) 7 1 C) 1 D) 5 1 E) 1 8. A ve B, E örnek uzayının iki olayı olsun. P(A ı ) = 5 5, P(A B) = 8 4 olduğuna göre, P(A B ı ) kaçtır? A) 1 6 B) 5 4 C) 1 4 D) 7 4 E) 1 116

117 9. A ve B, E örnek uzayında iki olaydır. P(A B) = 5 1 ve P(A) = 6 olduğuna göre, P(B A ı ) kaçtır? A) 1 B) 1 4 C) 5 1 D) 1 E) 11. E örnek uzayını oluşturan A, B ve C üç ayrık olaydır. P(A ı B ı ) = 5 olduğuna göre, P(C) kaçtır? A) 1 5 B) 5 C) 5 D) 4 5 E) 1 TEST KODU : A ve B, E örnek uzayında iki olaydır. P(A) =, P(B) = 1 1 ve P(A B) = 4 6 olduğuna göre, P(A ı B ı ) kaçtır? A) 1 4 B) 1 C) 5 1 D) 1 E) 4 1. E örnek uzayını oluşturan A, B ve C üç ayrık olaydır. Sonucun A veya B olma olasılığı 4, A veya C olma olasılığı 7 olduğuna göre, B veya C nin olma olasılığı 8 kaçtır? A) 7 8 B) 5 8 C) 1 D) 8 E) 1 8 OLASILIK 117

118 1. Yalnız A, B ve C atlarının koştuğu bir yarışta A nın yarışı kazanma olasılığı, B nin katı ve C ninkinin yarısıdır. Buna göre, bu yarışı A nın kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 10 B) 1 5 C) 10 D) 1 E) Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın 5 ten küçük veya paranın tura gelmesi olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 C) 1 D) E) Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın 5 ten küçük ve paranın tura gelmesi olasılığı kaçtır? 16. Bir zar ile iki madeni para birlikte atılıyor. Zarın asal sayı ve paraların farklı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 C) 1 D) E) 5 6 A) 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 E) 1 118

119 1. Bir para arka arkaya kez atılıyor. Paranın kez yazı, 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 8 B) 1 4 C) 8 D) 1 E) madeni para birlikte atılıyor. Hepsinin tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 16 C) 5 D) 1 5 E) 1 TEST KODU : Bir madeni para arka arkaya 7 kez atılıyor. Paranın kez yazı, 5 kez tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 18 D) 1 18 B) 1 64 C) E) madeni para birlikte atılıyor. Paraların yarısının tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 64 B) 1 4 C) 5 16 D) 1 64 E) 15 OLASILIK 119

120 5. 6 madeni para birlikte atılıyor. Paraların sırasıyla yazı, tura biçiminde gelme olasılığı kaçtır? A) 1 64 B) 1 4 C) 5 16 D) 1 4 E) madeni para birlikte atılıyor. Paralardan en çok ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 8 C) 5 8 D) E) Düzgün bir para defa atıldığında en az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır? A) 7 8 B) 1 (ÖYS ) C) 1 8 D) 5 6 E) Hileli bir paranın tura gelme olasılığı tür. Bu para arka arkaya üç kez atılıyor. İki tura, bir yazı gelme olasılığı kaçtır? A) 5 B) 1 C) D) 4 7 E)

121 9. Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numaralarının toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır? 11. İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 4 C) 1 6 D) 5 18 E) 1 9 A) B) 5 (YGS - 01) C) 7 D) 1 E) 1 TEST KODU : Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eş kenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfi vardır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme olasılığı kaçtır? 1. İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının en az 9 olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 4 C) 1 6 D) 5 18 E) 1 9 OLASILIK A) 1 B) 1 (ÖSS ) C) D) 1 4 E) 4 11

122 1. Bir zarın iki yüzü kırmızı, iki yüzü sarı, diğer yüzleri de mavi renktedir. Bu zar iki kez atılıyor. İki atış sonunda zarın bir kez kırmızı, bir kez mavi yüzü üzerine düşmesi olasılığı nedir? 15. Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın den küçük veya paranın tura gelmesi olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 C) 1 D) E) 5 6 A) 1 9 B) 9 C) 1 D) 4 9 E) Bir zarın yüzü mor, 1 yüzü lila ve yüzü de pembedir. Bu zar ard arda kez atılıyor. Bu atışların ikisinde mor, birinde pembe gelmesi olasılığı kaçtır? A) 5 6 B) C) 1 D) 1 E) Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın 4 veya 4 ten küçük ve paranın tura gelmesi olasılığı nedir? A) 1 B) 1 4 (ÖYS - 198) C) 1 5 D) 1 6 E) 5 1

123 1. A = {1,,, 4,5, 6} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen alt kümede 4 elemanının bulunma olasılığı kaçtır?. A = {, 1, 0, 1} B = { 1, 0, 1,,, 4} kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) D) 1 4 E) 1 5 A) 1 B) (ÖSS - 007) C) 1 8 D) 1 1 E) 5 4 TEST KODU : A = {,, 1, 0, 1, } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor. Seçilen kümenin elemanları toplamı tek sayı olan bir küme olma olasılığı kaçtır? 4. Birbirinden farklı 5 pozitif ve 4 negatif tam sayı arasından sayı seçiliyor. Bu sayıların çarpımının pozitif tam sayı olma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 4 5 C) 1 0 D) 10 1 E) 11 1 OLASILIK A) 1 B) C) 4 D) 4 5 E) 1 1

124 5. 5 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin birbirinin eşi olma olasılığı kaçtır? A) 1 9 B) 1 8 C) 1 6 D) 1 E) 1 7. A B C A dan hareket edip, C noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kişinin B noktasından geçme olasılığı kaçtır? 6. Birbirinden farklı üç çift çorap arasından rastgele iki çorap seçiliyor. Seçilen çorapların birbirinin eşi olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 1 5 E) 1 6 A) 1 B) 1 5 C) 7 D) 7 10 E) Bir kitaplıkta yanyana sırasıyla dizilmiş 10 kitap vardır. Bu kitaplıktan rastgele iki kitap seçildiğinde, bu kitapların. ve 4. kitaplar olma olasılığı kaçtır? A) 1 90 B) 1 50 C) 1 45 D) 1 40 E)

125 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafında rastgele oturuyorlar. Anne ile Baba nın yanyana oturma olasılığı kaçtır? Yukarıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır. A) 5 B) 5 C) 1 6 D) 1 4 E) 1 Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 7 5 (ÖSS - 008/I) C) 4 5 D) 5 7 E) 7 TEST KODU : Aralarında Behlül ve Bihter in de bulunduğu 5 kişilik bir grup sinemaya gidiyor. Aynı sıradan bilet aldıkları bilindiğine göre, Behlül ve Bihter in yanyana oturmama olasılığı kaçtır? A) 1 5 B) 5 C) 5 D) 4 5 E) erkek ve kız düz bir sırada yanyana rastgele oturuyorlar. Buna göre, kızın yan yana oturma olasılığı kaçtır? A) 1 14 B) 9 14 C) 5 14 D) 7 E) 1 7 OLASILIK 15

126 1. Bir doğal sayının karesi alındığında birler basamağındaki rakamın 6 olma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 1 5 C) 1 6 D) 1 8 E) den 1 ye kadar (1 dahil) olan sayılar birer karta yazılarak bir kutuya atılıyor ve bu kutudan kart seçiliyor. Buna göre, seçilen kartların üzerindeki sayıların ardışık olma olasılığı kaçtır? A) 11 B) 8 C) 1 66 D) 1 6 E) Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı tek sayılar bir karta yazılıyor. Rastgele çekilen bir kartın üzerinde 6 rakamının bulunma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 1 5 E) A = {1,,,..., 100} kümesinin elemanlarından rastgele tanesi seçiliyor. Buna göre, büyük sayı küçük sayı ile bölündüğünde bölümlerinin üç olma olasılığı kaçtır? A) 1 00 B) C) 00 D) E)

127 1. A = {1,,, 4} kümesinden rastgele seçilen iki farklı elemanın toplamının 5 ten büyük olmama olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) C) 1 D) 1 E) 5 6. mavi, 4 yeşil ve 6 sarı bilye arasından rastgele seçilen bilyeden en az ikisinin aynı renkte olma olasılığı kaçtır? A) 8 11 B) 17 C) 1 55 D) 4 55 E) 4. B C G D TEST KODU : 1406 A E. İki madeni para ile iki zar birlikte atılıyor. Paraların farklı ve zarların aynı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 B) C) 1 4 D) 1 6 E) 1 1 F Yukarıdaki 7 noktadan herhangi üçünün birleştirilmesiyle üçgenler oluşturuluyor. Bu üçgenler arasından rastgele seçilen bir üçgenin bir köşesinin B, diğer köşesinin D olma olasılığı kaçtır? A) 1 17 B) 15 C) 5 4 D) 1 7 E) 1 8 OLASILIK 17

128 5. 1,,, 4, 5 rakamları kullanılarak beş basamaklı rakamları farklı doğal sayılar yazılıyor. Bu beş basamaklı sayılardan biri seçiliyor. Seçilen bu sayıda 5 rakamının, 1 rakamının solunda bulunma olasılığı kaçtır? 7. (1 + x) 6 açılımından rastgele seçilen iki terimin katsayılar toplamının 5 ten küçük olma olasılığı kaçtır? A) B) 1 1 (ÖYS ) C) 14 1 D) 1 1 E) 9 1 A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 7 4 E) A = {0, 1,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarından aynı anda farklı iki tanesi seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çarpımı çift sayı olduğuna göre, ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 4 C) 1 D) E) 1 8. f : N + {Z 1, Z, Z, Z 4 } ve i = 1 olmak üzere, f( x) = x i n n = 1 fonksiyonunun görüntü kümesinden rastgele seçilen bir elemanın 0 olma olasılığı kaçtır? A) 1 5 B) 1 4 C) 1 D) 1 E) 1 18

129 9. Bir madeni para ard arda dört kez havaya atılıyor. Üst yüze her seferinde bir öncekinden farklı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 4 C) 4 D) 1 8 E) Bir sınıfta 0 yaşında kız erkek, 1 yaşında kız erkek, yaşında 1 kız erkek vardır. Sınıftan rastgele seçilen iki çocuğun yaş ortalaması 1 olduğuna göre, ikisinin de kız olma olasılığı kaçtır? A) 1 7 B) 7 C) 1 6 D) 1 5 E) 5 TEST KODU : Bir anahtarlıktaki 5 farklı anahtardan sadece biri kapıyı açmaktadır. Kapıyı açmayan anahtar tekrar denenmediğine göre, kapının üçüncü denemede açılma olasılığı kaçtır? A) B) C) 1 5 D) 8 5 E) İki evli çiftin bulunduğu 8 kişi arasından 5 kişi seçilecektir. Seçilenler arasında sadece 1 evli çiftin bulunma olasılığı kaçtır? A) 1 7 B) 7 C) 7 D) 4 7 E) 5 7 OLASILIK 19

130 1. 16 kişinin bulunduğu bir sınıftaki tüm öğrenciler fizik veya kimya dersinden geçmiştir. Bu sınıfta sadece fizik dersinden geçen 6 öğrenci, sadece kimya dersinden geçen 8 öğrenci vardır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin fizik dersinden geçtiği bilindiğine göre, bu öğrencinin kimya dersinden de geçmiş olma olasılığı kaçtır? A) 1 9 B) 9 C) 1 D) 1 4 E) Nazlı nın matematik sınavında başarılı olma olasılığı, Can ın aynı sınavda başarılı olma olasılığı 5 tir. Buna göre, Nazlı ve Can dan en az birisinin bu sınavda başarılı olma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 5 C) 4 5 D) 7 10 E) Ali, Can ve Efe nin sınıflarını geçme olasılıkları sırasıyla 1, 4 ve 5 tir. Buna göre, bu üç öğrenciden en az birinin sınıfı geçme olasılığı kaçtır? A) 1 10 B) 7 10 C) 9 10 D) 8 9 E) ASALAK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılan 6 harfli kelimelerden bir tanesi rastgele seçiliyor. Seçilen bu kelimenin A ile başlayan bir kelime olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 1 5 E)

131 1. A kutusunda 4 kırmızı, sarı bilye; B kutusunda 5 kırmızı, 4 sarı bilye vardır. Aynı anda her iki kutudan birer bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? A) 15 6 B) 16 6 C) 1 6 D) 6 E) 5 6. A torbasında 4 mavi, kırmızı ve B torbasında mavi, 6 kırmızı bilye vardır. Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve A dan alınan B ye, B den alınan A ya atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbadaki bilyelerin renk bakımından başlangıçtaki ile aynı olma olasılığı kaçtır? A) 7 B) 4 1 C) 10 1 D) 1 6 E) 5 6 TEST KODU : İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde 4 beyaz, 6 siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor. Bundan sonra ikinci torbadan rastgele bir top çekildiğinde bunun beyaz olma olasılığı kaçtır? A) 1 10 B) 10 C) 0 (ÖYS ) D) 7 10 E) 5 4. A torbasında beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbadaki kırmızı ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? A) B) (ÖYS ) C) 0 48 D) 49 E) 49 OLASILIK 11

132 5. İki basamaklı doğal sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 5 ile bölündüğü bilindiğine göre, 4 ile bölünebilme olasılığı kaçtır? A) 1 9 B) 9 C) 1 4 D) 1 E) A ve B, E örnek uzayının iki olayıdır. P(A B) = 4, P(B) = 1 1 ve P(A B) = 1 olduğuna göre, P(B A) kaçtır? A) 1 6 B) 1 4 C) 1 D) 1 E) 6. İçinde 4 pembe, beyaz bilye bulunan bir torbadan bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerden birinin pembe olduğu bilindiğine göre, diğerinin beyaz olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) C) 1 9 D) 4 9 E) 5 8. A ve B, E örnek uzayının iki olayıdır. P(A B) = 1 4 ve P(B) = 4 5 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? A) 1 5 B) 1 4 C) 5 D) 5 16 E) 1 1

133 9. İçinde pembe, 5 mor top bulunan bir torbadan bir top rastgele çekilip alındıktan sonra, yine rastgele bir top çekiliyor. Çekilen ikinci topun mor olma olasılığı kaçtır? A) 1 8 B) 8 C) 5 8 D) 1 4 E) Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır. 1 4 Çamaþýr Makinesi Ütü Ütü Kahve Makinesi Tost Makinesi Ütü Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 14 B) 1 16 C) 5 4 (ÖSS - 009) D) 8 E) Hileli bir zar atıldığında üst yüze herhangi bir sayının gelme olasılığı bu sayı ile doğru orantılıdır. Üst yüze çift sayı gelirse içinde 4 sarı, yeşil top bulunan A torbasından; tek sayı gelirse içinde sarı, yeşil top bulunan B torbasından bir top çekilecektir. Buna göre, zar atıldıktan sonra A ya da B torbasından rastgele çekilen bir topun yeşil renkte olma olasılığı kaçtır? A) 5 4 B) 1 C) 17 4 D) 5 1 E) 7 1. Bir zarın bir yüzü mavi, üç yüzü kırmızı ve diğer yüzleri de beyazdır. Bu zar kez atılıyor. Üç atışta da farklı renk gelme olasılığı kaçtır? A) 1 7 B) 1 6 C) 1 18 D) 1 1 E) 1 6 TEST KODU : 1407 OLASILIK 1

134 den küçük iki basamaklı doğal sayılardan biri rastgele seçildiğinde, seçilen bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısının tane olma olasılığı kaçtır? Şekildeki hedef tahtasında bulunan dairelerin yarıçapları içten dışa doğru sırasıyla 1, ve rakamları ile orantılıdır. Berksan ın attığı oku hedef tahtasına isabet ettirdiği bilindiğine göre, taralı bölgeye isabet ettirmiş olma olasılığı kaçtır? A) 1 9 B) 9 C) 1 D) 4 9 E) 14. Bir sınıfta 4 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Kızların si, erkeklerin 4 ü gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele seçilen öğrencinin gözlüklü veya aynı cinsiyetten olma olasılığı kaçtır? A) 5 1 B) 7 11 C) 4 5 D) 5 6 E) 1 A) 1 10 B) 1 0 C) 40 D) 7 40 E) den 1 ye kadar numaralandırılmış 1 kartın bulunduğu bir torbadan çekilen kart torbaya geri atılmamak şartıyla ard arda iki kart rastgele çekiliyor. Birinci karttaki sayının, ikinci karttaki sayıdan küçük bir çift sayı olduğu bilindiğine göre, ikinci karttaki sayının ün katı olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 5 D) 5 E) 10 14

135 1. (x + y z) 9 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri rastgele seçiliyor. Buna göre, seçilen terimin içinde x ün bulunma olasılığı kaçtır? A) 1 11 B) 7 55 C) 9 55 D) 1 5 E) Bir kenarı 6 birim olan kare biçimindeki bir parkın içinden seçilen bir noktaya elektrik direği dikilecektir. Buna göre, direğin parkın herhangi bir köşesine en fazla birim uzaklıkta olma olasılığı kaçtır? A) p 9 B) p 6 C) p D) p 4 E) p TEST KODU : A = {x: x 1 <, x Z}. 5 tane 1 üç çocuğa rastgele dağıtılıyor. Buna göre, her çocuğun en az 1 almış olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 7 C) 4 1 D) 5 1 E) 7 B = {y: y + 1 < 4, y Z} kümeleri veriliyor. B kümesi içerisinden rastgele seçilen bir elemanın A kümesinin de elemanı olma olasılığı kaçtır? A) 4 B) 1 C) 1 4 D) 5 E) 5 OLASILIK 15

136 5. (ñ5 + ñ5) 1 7. açılımındaki her bir terim birer karta yazılıp torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele bir kart çekildiğinde kartın üzerindeki terimin tam sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 1 C) 1 D) 1 E) 1 1 Yukarıdaki şekil 15 adet birim kareden oluşmuştur. Şekildeki dikdörtgenlerden rastgele biri seçildiğinde bunun kare olma olasılığı kaçtır? 6. A = {x: < x 118, x N} kümesi veriliyor. A kümesinin elemanlarından rastgele biri seçiliyor. Seçilen elemanın 4 veya 6 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) D) B) C) E) A) 1 5 B) C) 1 45 D) 1 E) Yazarları farklı geometri, 4 matematik kitabı yanyana diziliyor. Herhangi iki geometri kitabının yan yana olmama olasılığı kaçtır? A) 7 B) 7 C) 4 7 D) 5 7 E)

137 9. A B madeni para birlikte atılıyor. Paralardan ikisinin tura geldiği bilindiğine göre, üçünün tura birinin yazı gelme olasılığı kaçtır? A) 5 6 B) 1 C) 4 11 D) 1 E) 1 4 D Şekildeki kavşağa A noktasından giren araç bu pistte tek tur atıyor. Buna göre, B noktasından çıkma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 5 16 C) 8 D) 1 C E) 5 8 TEST KODU : Ayrıtları 6 cm olan bir küpün tüm yüzeyleri boyanıyor. Daha sonra bu küp ayrıtları 1 cm olan küçük küplere bölünüp içlerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen küpün en az bir yüzeyinin boyalı olma olasılığı kaçtır? OLASILIK A) 19 7 B) C) D) 1 7 E)

138 1. İki arkadaş bir zar atma oyunu oynuyorlar. Çift atan bu oyunu kazanacaktır. Buna göre, oyuna 1. başlayan arkadaşın kazanma olasılığı kaçtır? 14. Şekildeki kürsüye çıkmak isteyen Ceylin eşit olasılıklarla ya bir basamak ya da iki basamak çıkarak ilerliyor. A) 1 8 B) 1 4 C) 1 D) 1 E) Kürsü 4. basamak. basamak. basamak Ceylin 1. basamak Buna göre, Ceylin in. basamağa basmadan kürsüye çıkma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 4 D) 5 E) 1. İki arkadaş bir zar atma oyunu oynuyorlar. Çift atan bu oyunu kazanacaktır. Buna göre, oyuna. başlayan arkadaşın kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 8 B) 1 4 C) 1 D) 1 E) 18

139 MATEMATİK İSTATİSTİK