DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI"

Transkript

1 DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Dengeleme Hesabı Adımları, En Küçük Kareler İlkesine Giriş, Korelasyon Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2016

2 DENGELEME HESABI Ölçüler kaba ve düzenli hatalardan ayıklanmış olsa bile düzensiz hatalar içermektedirler. Düzensiz hataların etkisi dengeleme hesabı sonucu belirlenir. Bu nedenle yalnızca gereği kadar ölçü ile yetinilmez, gereğinden fazla ölçü yapılarak Dengeleme Hesabı ile Kesin Değer ve Duyarlıkları hesaplanır.

3 DENGELEME HESABININ ADIMLARI 1- Bilinmeyenlerin seçimi 2- Dengeleme hesabı kararı 3- Dengelemenin Matematik (Fonksiyonel ve Stokastik) Modelinin kurulması 4- Gauss un En Küçük Kareler İlkesi ile çözüm

4 1- BİLİNMEYENLERİN SEÇİMİ Problemin çözümü için öncelikle bilinmeyenlerin seçilmesi ve bilinmeyenlerin sayısının belirlenmesi gerekir. Jeodezide bilinmeyenlere göre ölçü türleri; Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dolaylı (Endirekt) Ölçüler

5 1- BİLİNMEYENLERİN SEÇİMİ Dolaysız (Direkt) ölçüler, bir büyüklüğün doğrudan ölçülmesi ile elde edilen değerlerdir. Örneğin bir uzunluğun ya da bir açının ölçüldüğünde elde edildiği değerler direkt ölçülerdir. Direk ölçülerde ölçülmek istenen büyüklük bilinmeyendir ve bilinmeyen sayısı 1 dir Problem Bilinmeyen Bilinmeyen Sayısı Uzunluk ölçüsü Uzunluk 1 Açı ölçüsü Açı 1 Bir noktanın yüksekliğinin birden fazla belirlenmesi Yükseklik 1 v.d.

6 1- BİLİNMEYENLERİN SEÇİMİ Dolaylı (Endirekt) ölçüler, aranan bilinmeyenin değil de başka büyüklüklerin ölçülüp, bu değerlerin fonksiyonlarıyla istenen bilinmeyenlerin hesaplandığı durumdur. Problem Ölçü Bilinmeyen Bilinmeyen sayısı Doğrultu Ağı Doğrultu Nokta koordinatları P*Boyut (2 ya da 3) Kenar Ağı Kenar Nokta koordinatları P*Boyut (2 ya da 3) Doğrultu- Doğrultu, kenar Nokta koordinatları P*Boyut (2 ya da 3) Kenar Ağı Nivelman Ağı Yükseklik farkı Nokta yükseklikleri P Trigonometrik Düşey açı, uzunluk Nokta yükseklikleri P Nivelman Ağı GPS Ağı Koordinat farkı Nokta koordinatları P*3 Geometrik Şekil Uzunluk, Açı Şeklin çizilmesi için gerekli en az sayıdaki ölçüler Yeteri kadar ölçü sayısı P: Ağdaki nokta sayısı

7 2- DENGELEME HESABI KARARI n : ölçü sayısı, u : bilinmeyen sayısı, f = n u fazla ölçü sayısı (serbestlik derecesi) n > u ise dengeleme hesabı yapılır. n = u ise tek anlamlı cebrik çözüm yapılır. n < u ise varsayımlara dayalı çözüm yapılır. ya da f > 0 ise dengeleme hesabı yapılır. f = 0 ise tek anlamlı cebrik çözüm yapılır. f < 0 ise varsayımlara dayalı çözüm yapılır.

8 3- DENGELEME HESABININ MATEMATİK MODELİ MATEMATİK MODEL FONKSİYONEL MODEL STOKASTİK MODEL Stokastik Model: Ölçülerin duyarlıkları (ortalama hataları ve ağırlıkları) ve aralarındaki korelasyonlar konusunda, dengelemeden önce (öncül, a priori) elde bulunan bilgiler stokastik model (ağırlık matrisi (P)) oluşturulur. Fonksiyonel Model: Ölçülerle bilinmeyenler arasındaki sabit geometrik ve fiziksel ilişkileri gösteren fonksiyonlar fonksiyonel modeli oluşturur. Fonksiyonel model Deterministik Model olarak da adlandırılmaktadır.

9 3- DENGELEME HESABININ MATEMATİK MODELİ Direkt ölçüler için Fonksiyonel Model: Ölçü + Düzeltmesi = Kesin değer L i + v i = x i= 1, 2,, n (n, ölçü sayısı) Endirekt ölçüler için Fonksiyonel Model: Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu L i + v i = F i (x, y, z,, u)

10 3- DENGELEME HESABININ MATEMATİK MODELİ Ağ Türü Ölçü Bilinmeyen Fonksiyonel Model Kenar Ağı Endirekt Ölçülerde Fonksiyonel Model Örnekleri Nivelman Ağı GPS Ağı i ve j noktaları arasındaki uzunluk (S ij ) i ve j noktaları arasındaki yükseklik farkı ( h ij ) i ve j noktaları arasındaki koordinat farkı ( x ij, y ij, z ij ) i ve j noktalarının koordinatları (x i, y i ); (x j, y j ) i ve j noktalarının yükseklikleri (H i, H j ) i ve j noktalarının koordinatları (X i, Y i, Z i ) (X j, Y j, Z j ) S ij + v ij = (x j x i ) 2 + (y j y i ) 2 h ij + v hij = H j H i x ij + v xij = X j X i y ij + v yij = Y j Y i z ij + v zij = Z j Z i

11 4- En Küçük Kareler İlkesi Tarihçe 1794 de C. F. Gauss, Almanya da daha henüz 17 yaşında iken En Küçük Kareler (EKK) yönteminin temel ilkelerini yazmış ve ilk kez Gauss un toplu eserlerinin yayınlandığı ciltlerden ikincisinde 1809 yılında yayınlanmıştır. Fransız A. Legendre (1805) ve Amerikalı matematikçi R. Adrain de (1808) yıllarında EKK yöntemini Gauss dan habersiz ve bağımsız olarak keşfetmişlerdir. Gauss yılları arasında bir jeodezik ağın dengelenmesi için EKK ilkesini kullanan ilk kişidir. Helmert ise 1800 li yılların sonlarına doğru ölçmede EKK nın kullanımına çok ciddi katkılar sağlamıştır.

12 4- En Küçük Kareler İlkesi Tarihçe 1850 li yıllarda matrisler kullanılmış, 1960 lı yıllarda bilgisayarların kullanımı olmuştur, 1960 lı yıllardan önce ölçmeciler ve öğrenciler logaritmaların sayısal tabloları, trigonometrik fonksiyonlar, mekanik hesap makineleri kullanmışlardır, 1970 li yıllarda ise trigonometrik fonksiyonların da yapılandırıldığı ve küçük oranda hafızaya kayıt yeteneği olan ve hatta programlanabilir elektronik hesap makineleri kullanılmaya başlanmıştır, 1980 li yıllarda bilgisayarlar EKK dengelemeleri için kullanılır hale gelmiştir.

13 4- En Küçük Kareler İlkesi Tarihçe Artık günümüzde kişisel bilgisayarlardaki hızlı gelişme EKK yöntemlerinin kolay uygulamalarına izin vermektedir. Gelecekde yeni ölçme yöntemleri ve artan miktarda gözlem verisi ile bir çok yeni teknolojiyi beraberinde getirecektir. Böylece, EKK nın anlaşılması yeni teknolojileri içeren ve verileri analiz edebilen mevcut bir yazılımın kullanılabilmesinde daha çok gerekli olacaktır.

14 4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ Gereğinden fazla sayıdaki ölçüler arasındaki çelişkileri giderebilmek ve ölçülerle bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel ilişkileri kesin olarak sağlayabilmek için dengeleme hesabı yapılır. Dengeleme hesabı yapabilmek için: Ölçülerin sayısının gereğinden fazla olması gerekir. Ölçülerin öncül (a priori) duyarlıkları aşağı yukarı kestirilebilmelidir.

15 4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ Normal Dağılım Olasılık Fonksiyonu f ε = 1 ε 2 2π e 2σ2 0 σ 0 σ 0 : Birim ölçünün kuramsal ortalama hatası e= ε = L μ : Gerçek hata Normal Dağılım Olasılık Fonksiyonu φ v = m 0 1 2π e v 2 2m 0 2 m 0 : Birim ölçünün deneysel ortalama hatası e= v = x - L : Düzeltme

16 4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ P v 1 = v 1 = P v 2 = v 2 =. m 0 m π e 2π e v 1 2 2m 0 2 v 2 2 2m 0 2 Dengeleme hesabının amacı, olasılığı maksimum olan değeri elde etmek olduğundan; P v n = v n = m 0 1 2π e vn 2 2m 0 2 P(D)=Max olması gerekir. Bu olayın olasılığı P(D), olasılık hesabının çarpım kuralına göre; P(D) = P(v 1 ) P(v 2 ) P(v n ) (olasılık çarpımı) P D = v = m 0 1 2π e v 1 2 +v v n 2 2m 0 2 olarak bulunur.

17 4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ 2 P(D) = max için e v 1 +v v n 2 2m 2 0 P(D) = max için v 1 2 +v v n 2 = max. olmalı 2m 0 2 = min. olmalı P(D) = max için v v v n 2 = vv = V T V = min. olmalı Duyarlıkları Eşit Ölçüler için En Küçük Kareler İlkesi Ω = vv = V T V = min. AMAÇ FONKSİYONU

18 4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ Duyarlıkları farklı ölçülerin dengelenmesi sonucunda duyarlığı ±m i olan bir l i ölçüsüne v i düzeltmesi getirme olasılığı; P v i = v i = m i 1 2π e v i 2 2 m i 2 i=1,2,,n Ağırlık, P i = Sabit m2 = 1 i m2 i ise m 2 i = 1 P i değeri P(v i ) de yerine konursa P(D) = P(v 1 ) P(v 2 ). P(v n ) (olasılık çarpımı) P D = v i = 1 2π n e P 1 v 2 1+ P2 v P nvn 2 2 m 2 1m 2 m n

19 4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ P D = v i = 1 2π n e P 1 v 2 1+ P2 v P nvn 2 2 m 2 1m 2 m n P(D) = max olması için P 1 v P 2 v P n v n 2 = min. olmalı Duyarlıkları Farklı Ölçüler için En Küçük Kareler İlkesi Ω = Pvv = min. AMAÇ FONKSİYONU Korelasyonlu Ölçüler için En Küçük Kareler İlkesi Ω = V T P V = min. AMAÇ FONKSİYONU

20 Uygulama 1) İki nokta arasındaki mesafenin ortalama, medyan ve değerleri için v 2 düzeltmelerin kareleri değerleri hesaplanmıştır. Ölçü no Ölçü (m) v =Ortalama-Ölçü (mm) v 2 v = Ölçü (mm) v 2 v =Medyan-Ölçü (mm) Toplam v 2 Medyan: Sıralanan sayıların ortasındaki değer Ortalama Tabloda görüldüğü üzere v 2 düzeltmelerin kareleri değerleri için en küçük değer 494, mesafe için en uygun değerin ortalamadan (kesin değer) hesaplandığı durumda elde edilmiştir. EKK Yöntemi daha uygundur.

21 İki nokta arasındaki mesafenin bir çok kestirimi için hesabının sonucunu göstermektedir. v 2 eğrisinin en küçük değeri (1. Derece türevi veya eğimi sıfır) EKK kestirimidir ve bu da ortalama mesafeye ( ) eşittir. v 2

22 KORELASYON (Bağlılık, İlişki)

23 KORELASYON Dengelemenin fonksiyonel modeli ölçülerle bilinmeyenler arasındaki ilişkinin matematik denklemlerle tanımıdır. Stokastik model ise ölçülerin duyarlıklarını, ölçülerin birbirleriyle olan korelasyonlarını gösterir. En küçük kareler yöntemi ile hiçbir zaman gerçek değerlerin elde edilemeyeceğini, ancak gerçek değere çok yakın kesin değerlerin elde edileceğini biliyoruz. Gerçek değere mümkün olduğu kadar yaklaşma, gerek fonksiyonel modelin gerekse stokastik modelin doğru kurulmasına bağlıdır.

24 KORELASYON Örneğin, yer elipsoidi üstünde ölçülmüş bir ağın dengelemesi söz konusu olduğunda bu ağı küre veya düzlem üzerinde gibi düşünülmesi, ekseslerin dikkate alınmaması ile fonksiyonel modelde bir yaklaşıklık yapılmasına neden olur. Ölçülerin duyarlıklarının veya ölçüler arasındaki korelasyonun dikkate alınmaması stokastik modelde yaklaşıklık yapılmasına neden olur. Örneğin doğrultu yöntemine göre ölçülmüş bir ağın açı yöntemine göre dengeleme arzusunda yine korelasyonun dikkate alınmaması Bir ön dengelemeden çıkacak sonuçların ikinci dengelemeye sokulduğunda birinci dengelemeden çıkan sonuçların birbirleriyle olan korelasyonunun dikkate alınmaması stokastik modelin bütünlüğünü zedeleyici dolayısı ile sonuçların kesin olmamasına etki eden faktördür.

25 KORELASYON Korelasyon: Ölçüler ya da bilinmeyenler arasındaki ilişkidir. Bir ölçü değiştiğinde diğer ölçülerde değişiklik oluyorsa veya bir bilinmeyen değiştiğinde diğer bilinmeyenlerde değişiyorsa bu ölçüler veya bu bilinmeyenler birbirleriyle korelasyonlu (ilişkilidir). Korelasyon Türleri: Fiziksel korelasyon Cebirsel korelasyon

26 KORELASYON Fiziksel Korelasyon; Fiziksel çevre koşullarından kaynaklanan dış parametrelerin etkisiyle oluşan korelasyonlara Fiziksel Korelasyon adı verilir. Bir ölçünün gerçek hatası (ε), fiziksel çevre koşullarından kaynaklanan çok sayıda elemanter hatanın toplamı olarak düşünülür. Sınırlı sayıdaki bir ölçü kümesinde, bu elemanter hataların hepsi bulunmaz. Elemanter hatalar çok yavaş değişirler ve ard arda yapılan bir çok ölçüde yaklaşık aynı büyüklükte etkili olurlar. Elemanter hatalardan bazılarının çok büyük olmadığı durumlarda, bunlardan biri yada bir kaçının gerçek hata (ε) daki payı aynı kalır. Böyle durumlarda elde edilen ölçüler bir birine bağımlı olurlar. Ölçüler arasındaki bu karşılıklı bağımlılığa fiziksel korelasyon denir.

27 KORELASYON Cebirsel Korelasyon; Bağımsız ilk ölçülerin dengelenmesi sonucu bulunan büyüklükler arasındaki ilişkiye Cebirsel Korelasyon denir. Ölçülerin dengelemeye girmeden önce tabi tutulacakları bir işlem sonucunda ortaya çıkan korelasyonlardır. Bazen ilk bağımsız ölçülerin (L) fonksiyonu olan x = f(l) ve y = g(l) büyüklüklerinin dengelenmesi gerekebilir. İlk ölçüler (L) bağımsız (korelasyonsuz) olsalar bile bunların fonksiyonları olan x ve y cebirsel olarak karşılıklı bağımlıdırlar. Bu durumda x ve y arasındaki ilişkiye Cebirsel Korelasyon denir.

28 KORELASYON EKK yönteminde ölçülerin bağımsızlığı öngörüldüğünden korelasyonun dikkate alınmaması halinde model hatası olur ve dengelemeden beklenen sonuç elde edilemez. Bu model hatasından kurtulmak için korelasyonlar dikkate alınmalıdır. Örneğin, doğrultu yöntemine göre ölçülmüş bir jeodezik ağın açı yöntemine göre dengelenmesinde; Açılar doğrultuların bir fonksiyonu olduğundan aynı doğrultulardan hesaplanan açılar arasında cebirsel korelasyon olur. Bu durumda dengeleme ya doğrultu yöntemine göre yapılmalı ya da açı yöntemi göre dengelemede korelasyonlar dikkate alınmalıdır.

29 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Dikdörtgen şeklindeki parselin kenarlarının gerçek uzunlukları (x ve y) biliniyorsa parselin kenarları gereğinden fazla ölçüldüğünde y x x kenarı ölçüleri L x = L x1 L x2 ; y kenarı ölçüleri L y = L xn L y1 L y2 L yn

30 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Ölçülerin gerçek hataları ε xi = L xi x ε yi = L yi y ε x1 = L x1 x ε x2 = L x2 x... ε xn = L xn x ε y1 = L y1 y ε y2 = L y2 y... ε yn = L yn y matris gösterimi ε x1 ε x2 ε xn = L x1 L x2 L xn x x x ε y1 ε y2 ε yn = L y1 L y2 L yn y y y

31 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) matris gösterimi ε x1 ε x2 ε xn = L x1 L x2 L xn x x x ε y1 ε y2 ε yn = L y1 L y2 L yn y y y ε x = ε x1 ε x2 ε xn ε y = ε y1 ε y2 ε yn x x x = e x y y y = e y e = : Bir vektörü matris gösterimi ε x = L x e x ε y = L y e y

32 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Kuramsal varyansları σ x 2 = ε x T ε x n σ y 2 = ε y T ε y n Kuramsal kovaryansları σ xy = ε x T ε y n Kuramsal korelasyon Katsayısı ρ xy = σ xy σ x σ y = ε x T ε x ε x T ε y ε y T ε y Korelasyon katsayısı ölçüler arasındaki raslantısal (stokastik) bağımlılığın ölçütüdür. 1 ρ +1 ρ = 0 ise ölçüler arasında korelasyon yoktur. ρ = ±1 ise ölçüler arasında fonksiyonel bağımlılık vardır. ±1 e yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında çok fazla bağımlılık (korelasyon) olduğunu gösterir. 0 a yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında zayıf korelasyon olduğunu gösterir.

33 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Dikdörtgen şeklindeki parselin kenarlarının gerçek uzunlukları (x ve y) bilinmiyorsa parselin kenarları gereğinden fazla ölçüldüğünde y x x kenarı ölçüleri L x = L x1 L x2 ; y kenarı ölçüleri L y = L xn L y1 L y2 L yn Parselin kenarlarının kesin değerleri, x = L x n = et L x n y = L y n = et L y n

34 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Ölçülerin düzeltmeleri v xi = x L xi v yi = y L yi v x1 = x L x1 v x2 = x L x2... v xn = x L xn v y1 = y L y1 v y2 = y L y2... v yn = y L yn Matris gösterimi v x1 v x2 v xn = x x x L x1 L x2 L xn v y1 v y2 v yn = y y y L y1 L y2 L n

35 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Matris gösterimi v x1 v x2 v xn = x x x L x1 L x2 L xn v y1 v y2 v yn = y y y L y1 L y2 L n V x = v x1 v x2 v xn V y = v y1 v y2 v yn, x x x = e x y y y = e y e = : Bir vektörü matris gösterimi V x = e x L x V y = e y L y

36 KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Deneysel varyansları m x 2 = V x T V x n 1 m y 2 = V y T V y n 1 Deneysel kovaryansları m xy = V x T V y n 1 Deneysel korelasyon Katsayısı r xy = m xy m x m y = V x T V x V x T V y V y T V y 1 r +1 r = 0 ise ölçüler arasında korelasyon yoktur. r = ±1 ise ölçüler arasında fonksiyonel bağımlılık vardır. ±1 e yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında çok fazla bağımlılık (korelasyon) olduğunu gösterir. 0 a yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında zayıf korelasyon olduğunu gösterir.

37 KORELASYON Bu bağıntılar L x ve L y ölçülerin bağımsız yani kendi aralarında korelasyonlu olmadıkları durumlarda geçerlidir. L x ve L y ölçüleri korelasyonlu ise hesaplama «Dolaysız (Direkt) Ölçüler Yöntemi Dengelemesi» yolu ile yapılır.

38 x ölçülerin bir eksende ve y ölçüleri de diğer eksende çizilirse; Eğer iki değişken arasındaki korelasyon +1 veya -1 e eşit ise mükemmel bir ilişki/korelasyon vardır ve ölçüler düz bir çizgi üzerinde olurlar. Eğer çizdirilen noktalar bir düz çizgi etrafında dar bir bant boyunca dağılıyor ise, ortalama bir korelasyon var demektir. Ölçüler ya geniş bir şekilde dağılmış ise veya bir eğri boyunca dağılmış ise korelasyon sıfıra yaklaşıyor demektir. (Durum 1): doğru etrafında yoğun bir dağılım (Durum 2): doğru etrafında dağınık bir dağılım (Durum 1) deki korelasyon (Durum 2) ye göre daha büyüktür.

39 Korelasyon pozitif olduğunda, bir değişkendeki artışın diğer bir değişkendeki artış ile ilişkili olduğu anlamına gelir. Korelasyon negatif olduğunda ise, bir değişkendeki artışın diğer değişkendeki azalma ile ilgili olduğu anlamına gelir.

40

41

42

43

44 Korelasyonlu Ölçü Ölçü±ort. Kovaryans hata L 1 ± m 1 m 12 L 2 ± m 2 m 13. m 23 L n ± m n. m 1n KORELASYON K ll = Varyas-Kovaryans Matrisi m 1 2 m 12 m 13 m 1n 2 m 12 m 2 m 23 m 2n m 13 m 2 23 m 3 m 3n m 1n m 2n m 3n m2 n Korelasyonlu Ölçü Ölçü±ort. hata L 1 ± m 1 L 2 ± m 2. L n ± m n Korelasyon Katsayısı r 12 r 13 r 23. r 1n K ll = Kovaryans : m ij = r ij m i m j Varyas-Kovaryans Matrisi m 1 2 r 12 m 1 m 2 r 1n m 1 m n r 12 m 1 m 2 2 m 2 r 2n m 2 m n r 3n m 3 m n r 1n m 1 m n r 2n m 2 m n 2 m n

45 KORELASYON K ll = s 0 2 Q ll Q ll = 1 s 0 2 K ll Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi s 0 : Birim ölçünün öncül ortalama hatası Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi Biliniyorsa Q ll = q 11 q 12 q 13 q 1n q 12 q 22 q 23 q 2n q 13 q 23 q 33 q 3n q 1n q 2n q 3n q nn Korelasyon Katsayısı r 23 = q 23 q 22 q 33 r ij = q ij q ii q jj = m ij m ii m jj r 12 = q 12 q 11 q 22

46 KORELASYON X parametresi için yapılan ölçü dizisi L xi y parametresi için yapılan ölçü dizisi L yi m xy r xy : Çapraz korelasyon r xy = m x m y Jeodezik uygulamalarda fazla ölçü yapılır. Bu nedenle aynı ölçü dizisinin elemanları arasında da korelasyon hesaplanır. Bu korelasyonlara «otokorelasyon» denir. Örneğin herhangi bir uzunluk, öğleden önce (gidiş (L x1 ), dönüş (L x2 )) öğleden sonra (gidiş (L y1 ), dönüş (L y2 )) r xx = r yy = m x 1 x 2 m x1 x 1 m x2 x 2 öğleden önceki ölçüler arasındaki otokorelasyon m y 1 y 2 m y1 y 1 m y2 y 2 öğleden sonraki ölçüler arasındaki otokorelasyon

47 Uygulama 1) EUÖ aletinin kalibrasyonu ve bu aletle yapılan uzunluk ölçüleri arasındaki korelasyonun belirlenmesi amacıyla gerçek uzunluğu m olan bazda öğleden önce 30 ve öğleden sonra 30 olan ölçüler yapılmıştır. Ölçüler arasındaki otokorelasyon ve çapraz korelasyonları hesaplayınız. Saat ÖĞLEDEN ÖNCE Gidiş Geliş L x1 (m) L x2 (m) ÖĞLEDEN SONRA Saat Gidiş L y1 (m) Geliş L y2 (m)

48 Uygulama 1) Saat L x1 (m) ÖĞLEDEN ÖNCE ε x1 (mm) L x2 (m) ε x2 (mm) Saat L y1 ÖĞLEDEN SONRA ε y1 L y2 ε y1 (mm) (m) (mm) (m)

49 Uygulama 1) Otokorelasyon (Öğleden önceki ölçüler için): Kuramsal varyanslar: σ 2 x1 = ε x1 T ε x1 n = = σ 2 x2 = ε x2 T ε x2 n = = Öğleden önceki ölçülerin ortalama hatası σ x1 = ±13. 93mm σ x2 = ±14. 15mm Öğleden önceki ölçülerin kuramsal kovaryansları σ xx = ε x1 T ε x2 n = = Öğleden önceki ölçülerin Otokorelasyon katsayısı ρ xx = σ xx σ x1 σ x2 = ε T x1 ε x1 ε T x1 ε x2 ε T x2 ε x2 =

50 Uygulama 1) Otokorelasyon (Öğleden sonraki ölçüler için): Kuramsal varyanslar: σ 2 y1 = ε y1 T ε y1 n = = σ 2 y2 = ε y2 T ε y = = n 15 Öğleden sonraki ölçülerin ortalama hatası σ y1 = ±14. 75mm σ y2 = ±15. 01mm Öğleden sonraki ölçülerin kuramsal kovaryansları σ yy = ε y1 T ε y2 n = = Öğleden sonraki ölçülerin Otokorelasyon katsayısı ρ yy = σ yy σ y1 σ y2 = ε T y1 ε y2 ε T y1 ε y1 ε T y2 ε y2 = 0. 97

51 Uygulama 1) Çapraz Korelasyon: Kuramsal varyanslar: σ x 2 = ε x T ε x n = = σ y 2 = ε y T ε y n = = σ x = ±14. 04mm Öğleden önceki ölçülerin ortalama hatası σ y = ±14. 88mm Öğleden sonraki ölçülerin ortalama hatası Öğleden önce ve sonraki ölçülerin kuramsal kovaryansları σ xy = ε x T ε y n = = Çapraz Korelasyon katsayısı ρ xy = σ xy σ x σ y = ε x T ε x ε x T ε y ε y T ε y = 0.89

52 Uygulama 2) Eğim ve buna bağlı sıcaklık bilgileri verilmiştir. Acaba bu iki değişken (sıcaklık, eğim) arasında bir fiziksel korelasyon var mıdır? m x 2 = V x T V x n 1 m xy = V x T V y n 1 m y 2 = V y T V y n 1 r xy = m xy m x m y m x = ±4. 33 m y = ±1. 71 m xy = r xy = İki değişken arasında fiziksel korelasyon vardır.

53 Uygulama 3) Bir parselin 4 kez ölçülen iki kenarı (x, y) arasındaki korelasyonunun hesabı. Ölçü No Ölçü (L x ) (m) Kesin Değerler: m xy = V x T V y n 1 = 28 3 Ölçü Ölçü (L y ) No (m) = 9. 3 r xy = m x 2 = V x T V x n 1 = 30 3 = 10 m y 2 = V y T V y = 44 n 1 3 m y = ±3.83mm m xy m x m y = = Ölçü No x = L 1 = m 4 Ölçü y = L 1 = m m x = ±3.16mm 4 No V x = ex L x (mm) İki kenar uzunlukları arasında 0.7 cebrik korelasyon vardır. V x T V x Toplam 0 30 Topla m = 0. 7 V y T V y V y = ey L y (mm)

54 Uygulama 4) Varyans-Kovaryans Matrisi K ll = K ll = m 1 2 m 12 m 13 m 1n 2 m 12 m 2 m 23 m 2n m 13 m 2 23 m 3 m 3n m 1n m 2n m 3n m2 n r 34 =? r 23 =? r ij = m ij m i m j r 34 = r 43 = = r 23 = r 32 = = 0.56

55 Uygulama 5) Ters Ağırlık Matrisi Q ll = Q ll = q 11 q 12 q 13 q 1n q 12 q 22 q 23 q 2n q 13 q 23 q 33 q 3n q 1n q 2n q 3n q nn r 34 =? r 12 =? r ij = q ij q ii q jj = m ij m ii m jj r 34 = r 43 = r 12 = r 21 = = = 0. 22

56 ÖDEV 1) Bir parselin iki kenarının (x, y) uzunluk ölçüleri arasındaki korelasyonu hesaplayınız. NO L x (m) L y (m) ÖDEV 2) EUÖ aletinin kalibrasyonu için gerçek uzunluğu m olan bir kalibrasyon bazında ölçüler yapılmıştır. Bu ölçülerin korelasyon katsayısını hesaplayınız m, m, m, m, m, m, m, m, m, m,

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlıkları Eşit Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dengelemesi Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü

Detaylı

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Ağırlık ve Ters Ağırlık (Kofaktör) Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 016 AĞIRLIK

Detaylı

JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ. Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA

JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ. Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2018 DOĞRULUK ve DUYARLIK (Hassasiyet) DOĞRULUK ve DUYARLIK Doğruluk,

Detaylı

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI

DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Giriş, Hata ve Düzeltme Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2016 HAFTALIK DERS

Detaylı

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon

Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ

DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ Ölçme Bilgisi DERS 3 ÖLÇÜ HATALARI Kaynak: İ.ASRİ Çizim Hassasiyeti Haritaların çiziminde veya haritadan bilgi almada ne kadar itina gösterilirse gösterilsin kaçınılmayacak bir hata vardır. Buna çizim

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ

Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ Giriş ve Amaç Hata Teorisi, Hata Türleri Ölçü ve Hata Hata Türleri Doğruluk Ölçütleri Kovaryans ve Korelasyon Hata Yayılma Kuralı Ölçülerin Dengelenmesi Dolaysız Ölçüler

Detaylı

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ölçme Tekniği Anabilim Dalı MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl D U L K Kredi 2 0 2 3 ECTS 2 0 2 3 UYGULAMA-1 ELEKTRONİK ALETLERİN KALİBRASYONU

Detaylı

OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1-2

OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1-2 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1- Doç.Dr.Erol YAVUZ İstanbul 01 HATA KURAMI Jeodezik Amaçlı Ölçüler ve Hataları Dengeleme

Detaylı

GPS ağlarının dengelenmesinden önce ağın iç güvenirliğini artırmak ve hataları elimine etmek için aşağıda sıralanan analizler yapılır.

GPS ağlarının dengelenmesinden önce ağın iç güvenirliğini artırmak ve hataları elimine etmek için aşağıda sıralanan analizler yapılır. 13. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ 13.1 GPS ÖLÇMELERİ GPS ( Global Positioning System ) alıcıları kullanılarak yer istasyonu ile uydu arasındaki uzunluklar ölçülür ve noktaların konumları belirlenir. GPS ile

Detaylı

JEODEZİK GPS AĞLARINDA DUYARLIK ve

JEODEZİK GPS AĞLARINDA DUYARLIK ve I. ULUSAL MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ SEMPOZYUMU JEODEZİK GPS AĞLARINDA DUYARLIK ve GÜVEN ANALİZİ Mualla YALÇINKAYA Kamil TEKE Temel BAYRAK mualla@ktu.edu.tr k_teke@ktu.edu.tr temelbayrak@hotmail.com ÇALIŞMANIN

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ölçme Hataları Ölçme Hatası Herhangi bir ölçme aleti ile yapılan ölçüm sonucu bulunan değer yaklaşık değerdir. Bir büyüklük aynı ölçme

Detaylı

JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU

JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU Jeodezik Ağların Tasarımı 10.HAFTA Dr.Emine Tanır Kayıkçı,2017 OPTİMİZASYON Herhangi bir yatırımın gerçekleştirilmesi sırasında elde bulunan, araç, hammadde, para, işgücü

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.

Detaylı

ARAZİ ÇALIŞMASI -1 DERSİ ELEKTRONİK ALETLERİN KONTROL VE KALİBRASYONU UYGULAMALARI

ARAZİ ÇALIŞMASI -1 DERSİ ELEKTRONİK ALETLERİN KONTROL VE KALİBRASYONU UYGULAMALARI ARAZİ ÇALIŞMASI -1 DERSİ ELEKTRONİK ALETLERİN KONTROL VE KALİBRASYONU UYGULAMALARI HARİTA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖLÇME TEKNİĞİ ANABİLİM DALI JEODEZİK METROLOJİ LABORATUVARI İstanbul, 2018 1.ELEKTRONİK TAKEOMETRELERİN

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3350)

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3350) Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ders Adı Kodu Yerel Kredi ECTS Ders (saat/hafta) Uygulama (saat/hafta) Laboratuvar (saat/hafta) Topografya HRT3350 3 4 3 0 0 DERSİN

Detaylı

Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü

Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. H. Ebru ÇOLAK ecolak@ktu.edu.tr Karadeniz Teknik Üniversitesi, GISLab Trabzon www.gislab.ktu.edu.tr/kadro/ecolak DÜŞEY MESAFELERİN YÜKSEKLİKLERİN

Detaylı

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ölçme Tekniği Anabilim alı MÜHENİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT436) 8. Yarıyıl U L K Kredi 3 ECTS 3 UYGULAMA-5 ELEKTRONİK ALETLERİN KALİBRASYONU Prof.r.Engin

Detaylı

B = 2 f ρ. a 2. x A' σ =

B = 2 f ρ. a 2. x A' σ = TÜRKİYE ULUSAL JEODEZİ KOMİSYONU (TUJK) 004 YILI BİLİMSEL TOPLANTISI MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİNDE JEODEZİK AĞLAR ÇALIŞTAYI JEODEZİK GPS AĞLARININ TASARIMINDA BİLGİSAYAR DESTEKLİ SİMÜLASYON YÖNTEMİNİN KULLANIMI

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

İKİ BOYUTLU AĞLARDA AĞIRLIK SEÇİMİNİN DENGELEME SONUÇLARINA ETKİSİ VE GPS KOORDİNATLARI İLE KARŞILAŞTIRILMASI

İKİ BOYUTLU AĞLARDA AĞIRLIK SEÇİMİNİN DENGELEME SONUÇLARINA ETKİSİ VE GPS KOORDİNATLARI İLE KARŞILAŞTIRILMASI SELÇUK TEKNİK ONLİNE DERGİSİ / ISSN 1302 6178 Volume 1, Number: 3 2001 İKİ BOYUTLU AĞLARDA AĞIRLIK SEÇİMİNİN DENGELEME SONUÇLARINA ETKİSİ VE GPS KOORDİNATLARI İLE KARŞILAŞTIRILMASI Doç Dr. Cevat İNAL S.Ü.

Detaylı

ARAZİ ÇALIŞMASI -1 DERSİ ELEKTRONİK ALETLERİN KONTROL VE KALİBRASYONU UYGULAMALARI

ARAZİ ÇALIŞMASI -1 DERSİ ELEKTRONİK ALETLERİN KONTROL VE KALİBRASYONU UYGULAMALARI ARAZİ ÇALIŞMASI -1 DERSİ ELEKTRONİK ALETLERİN KONTROL VE KALİBRASYONU UYGULAMALARI HARİTA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖLÇME TEKNİĞİ ANABİLİM DALI JEODEZİK METROLOJİ LABORATUVARI İstanbul, 016 1.ELEKTRONİK TAKEOMETRELERİN

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ

KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ KADASTRO HARİTALARININ SAYISALLAŞTIRILMASINDA KALİTE KONTROL ANALİZİ Yasemin ŞİŞMAN, Ülkü KIRICI Sunum Akış Şeması 1. GİRİŞ 2. MATERYAL VE METHOD 3. AFİN KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ 4. KALİTE KONTROL 5. İRDELEME

Detaylı

Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Kitle ve Örneklem Örneklem Dağılımı Nokta Tahmini Tahmin Edicilerin Özellikleri Kitle ortalaması için Aralık Tahmini Kitle Standart Sapması için Aralık

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

BAĞLI POLİGON BAĞLI POLİGON

BAĞLI POLİGON BAĞLI POLİGON BAĞLI POLİGON BAĞLI POLİGON 1 BAĞLI POLİGON BAĞLI POLİGON 2 BAĞLI POLİGON BAĞLI POLİGON 6 3 TRİGONOMETRİK NİVELMAN 7 H B - H A = Δh AB = S AB * cotz AB + a t H B = H A + S AB * cotz AB + a - t TRİGONOMETRİK

Detaylı

YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ. Ölçme Bilgisi Ders Notları

YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ. Ölçme Bilgisi Ders Notları YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yeryüzündeki herhangi bir noktanın sakin deniz yüzeyi üzerinde (geoitten itibaren) çekül doğrultusundaki en kısa mesafesine yükseklik denir. Yükseklik ölçümü; belirli noktalar arasındaki

Detaylı

JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ. Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA

JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ. Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2018 VERİLERİN İRDELENMESİ Örnek: İki nokta arasındaki uzunluk 80 kere

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri EME 3117 1 2 Girdi Analizi SİSTEM SIMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et. Veri toplamak için bir plan geliştir. Veri topla. Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap. Girdi Analizi-I

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA

Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3351) Yrd. Doç. Dr. Ercenk ATA Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü 4. HAFTA KOORDİNAT SİSTEMLERİ VE HARİTA PROJEKSİYONLARI Coğrafi Koordinat Sistemi Yeryüzü üzerindeki bir noktanın konumunun enlem

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

TOPOĞRAFYA Yüksekliklerin Ölçülmesi Nivelman Yöntemleri

TOPOĞRAFYA Yüksekliklerin Ölçülmesi Nivelman Yöntemleri TOPOĞRAFYA Yüksekliklerin Ölçülmesi Nivelman Yöntemleri Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi

Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

TOPOĞRAFYA Yüksekliklerin Ölçülmesi Nivelman Yöntemleri

TOPOĞRAFYA Yüksekliklerin Ölçülmesi Nivelman Yöntemleri TOPOĞRAFYA Yüksekliklerin Ölçülmesi Nivelman Yöntemleri Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Parametrik doğru denklemleri 1

Parametrik doğru denklemleri 1 Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

ÖLÇME BİLGİSİ DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ NİVELMAN ALETLERİ. Doç. Dr. Alper Serdar ANLI. 8. Hafta

ÖLÇME BİLGİSİ DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ NİVELMAN ALETLERİ. Doç. Dr. Alper Serdar ANLI. 8. Hafta ÖLÇME BİLGİSİ DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ NİVELMAN ALETLERİ Doç. Dr. Alper Serdar ANLI 8. Hafta DÜŞEY MESAFELERİN (YÜKSEKLİKLERİN) ÖLÇÜLMESİ Noktaların yükseklikleri düşey ölçmelerle belirlenir.

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

YERSEL YÖNTEMLERLE ÖLÇÜLEN JEODEZİK AĞLARIN ÜÇ BOYUTLU DENGELENMESİ

YERSEL YÖNTEMLERLE ÖLÇÜLEN JEODEZİK AĞLARIN ÜÇ BOYUTLU DENGELENMESİ 23 YERSEL YÖNTEMLERLE ÖLÇÜLEN JEODEZİK AĞLARIN ÜÇ BOYUTLU DENGELENMESİ Veysel ATASOY İ, GİRİŞ Jeodezinin günümüzdeki tanımı, üç boyutlu ve zaman değişkenli bir uzayda yerin çekim alanını da kapsamak koşuluyla

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

Âna nirengi doğrultuları için p = 1 m 2 o Ara nirengi doğrultuları için p a =------------ m\

Âna nirengi doğrultuları için p = 1 m 2 o Ara nirengi doğrultuları için p a =------------ m\ 4. ÖLÇÜLERİN AĞIRLIKLARININ SAPTANMASI Ana, ara ve tamamlayıcı nirengi doğrultularının herbiri gruplar halinde ele alınarak bunların ortalama hatalarının öncül (a priori) değerleri, üçgen kapanmalarından

Detaylı

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Detaylı

Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi

Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi ve Parametre Kestirimi Lisans Ders Notları Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi e-posta: austun@selcuk.edu.tr 24.09.2012 İçerik Giriş 1 Giriş Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe 2 3 Hata türleri

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

ÖLÇME BİLGİSİ. Sunu 1- Yatay Ölçme. Yrd. Doç. Dr. Muhittin İNAN & Arş. Gör. Hüseyin YURTSEVEN

ÖLÇME BİLGİSİ. Sunu 1- Yatay Ölçme. Yrd. Doç. Dr. Muhittin İNAN & Arş. Gör. Hüseyin YURTSEVEN ÖÇME BİGİİ unu - atay Ölçme rd. Doç. Dr. Muhittin İNAN & Arş. Gör. Hüseyin URTEVEN COĞRAFİ BİGİ İTEMİNİ OUŞTURABİMEK İÇİN BİGİ TOPAMA ÖNTEMERİ ATA ÖÇMEER (,) ATA AÇIAR VE MEAFEERİN ÖÇÜMEİ ERE ÖÇMEER DÜŞE

Detaylı

Korelasyon, Korelasyon Türleri ve Regresyon

Korelasyon, Korelasyon Türleri ve Regresyon Korelasyon, Korelasyon Türleri ve Regresyon İçerik Korelasyon Korelasyon Türleri Korelasyon Katsayısı Regresyon KORELASYON Korelasyon iki ya da daha fazla değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi gösterir.

Detaylı

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

Uzay Geriden Kestirme

Uzay Geriden Kestirme Uzay Geriden Kestirme (Eğik Uzunluklarla veya Düşey Açılarla Üçboyutlu Konum Belirleme ) Sebahattin BEKTAŞ* GİRİŞ Konum belirleme problemi günümüzde de jeodezinin en önemli problemi olmaya devam etmektedir.

Detaylı

KİMYASAL ANALİZ KALİTATİF ANALİZ (NİTEL) (NİCEL) KANTİTATİF ANALİZ

KİMYASAL ANALİZ KALİTATİF ANALİZ (NİTEL) (NİCEL) KANTİTATİF ANALİZ KİMYASAL ANALİZ KALİTATİF ANALİZ (NİTEL) KANTİTATİF ANALİZ (NİCEL) KANTİTATİF ANALİZ Bir numunedeki element veya bileşiğin bağıl miktarını belirlemek için yapılan analizlere denir. 1 ANALİTİK ANALİTİK

Detaylı

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü

Detaylı

KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ

KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ Doç. Dr. İsmail Hakkı GÜNEŞ İstanbul Teknik Üniversitesi ÖZET Küresel ve Elipsoidal koordinatların.karşılaştırılması amacı ile bir noktasında astronomik

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal

Detaylı

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM 1 BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM Normal dağılım; 'normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve)' ile kavramlaştırılan hipotetik bir evren dağılımıdır. 'Gauss dağılımı' ya da 'Gauss eğrisi' olarak da bilinen

Detaylı

GPS/INS Destekli Havai Nirengi

GPS/INS Destekli Havai Nirengi GPS/INS Destekli Havai Nirengi GPS/INS (IMU) destekli hava nirengide izdüşüm merkezi koordinatları (WGS84) ve dönüklükler direk ölçülür. İzdüşüm merkezi koordinatları kinematik GPS ile ölçülür. GPS ile

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

Alan Hesapları. Şekil 14. Üç kenarı belli üçgen alanı

Alan Hesapları. Şekil 14. Üç kenarı belli üçgen alanı lan Hesapları lan hesabının doğruluğu alım şekline ve istenile hassasiyet derecesine göre değişir. lan hesapları üç kısma ayrılmıştır. Ölçü değerlerine göre alan hesabı Ölçü ve plan değerlerine göre alan

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 7 İç Kuvvetler Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 7. İç Kuvvetler Bu bölümde, bir

Detaylı

Başarı Notunu Değerlendirme Sistemi ( ) Doğrudan Dönüşüm Sistemi (x) Bağıl Değerlendirme Yarıyıl içi çalışmaları Sayısı Katkı Payı %

Başarı Notunu Değerlendirme Sistemi ( ) Doğrudan Dönüşüm Sistemi (x) Bağıl Değerlendirme Yarıyıl içi çalışmaları Sayısı Katkı Payı % Ders Tanıtım Formu Dersin Adı Öğretim Dili Ölçme Bilgisi Türkçe Dersin Verildiği Düzey Ön Lisans ( ) Lisans (x) Yüksek Lisans( ) Doktora( ) Eğitim Öğretim Sistemi Örgün Öğretim (x) Uzaktan Öğretim( ) Diğer

Detaylı

Bölüm 2. Bir boyutta hareket

Bölüm 2. Bir boyutta hareket Bölüm 2 Bir boyutta hareket Kinematik Dış etkenlere maruz kalması durumunda bir cismin hareketindeki değişimleri tanımlar Bir boyutta hareketten kasıt, cismin bir doğru boyunca hareket ettiği durumların

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

Elipsoid Yüzünde Jeodezik Dik Koordinatlar (Soldner Koordinatları) ve Temel Ödev Hesapları

Elipsoid Yüzünde Jeodezik Dik Koordinatlar (Soldner Koordinatları) ve Temel Ödev Hesapları JEODEZİ8 1 Elipsoid Yüzünde Jeodezik Dik Koordinatlar (Soldner Koordinatları) ve Temel Ödev Hesapları Jeodezik dik koordinatları tanımlamak için önce bir meridyen x ekseni olarak alınır. Bunun üzerinde

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK NİRENGİ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/ İÇERİK Giriş Yer Kontrol Noktaları

Detaylı

Örneklemden elde edilen parametreler üzerinden kitle parametreleri tahmin edilmek istenmektedir.

Örneklemden elde edilen parametreler üzerinden kitle parametreleri tahmin edilmek istenmektedir. ÇIKARSAMALI İSTATİSTİKLER Çıkarsamalı istatistikler, örneklemden elde edilen değerler üzerinde kitleyi tanımlamak için uygulanan istatistiksel yöntemlerdir. Çıkarsamalı istatistikler; Tahmin Hipotez Testleri

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Kümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx

Kümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X (x ) dx Sürekli

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

BİLİNMEYENLİ ŞART DENKLEMLERİ VE EKSİK ÖLÇÜLÜ NİRENÇİ AÖLARI

BİLİNMEYENLİ ŞART DENKLEMLERİ VE EKSİK ÖLÇÜLÜ NİRENÇİ AÖLARI BİLİNMEYENLİ ŞART DENKLEMLERİ VE EKSİK ÖLÇÜLÜ NİRENÇİ AÖLARI Prof. Ekrem ULSOY».----İçlerinde bilinmeyenlerin bulunduğu şart denklemleri, dengeleme li- ^: terâtüründe dengelemenin.en genel şeklî olarak

Detaylı

GPS AĞLARININ DUYARLIK ve GÜVENĐRLĐĞĐNĐN BAZ OPTĐMĐZASYONU ĐLE ĐRDELENMESĐ

GPS AĞLARININ DUYARLIK ve GÜVENĐRLĐĞĐNĐN BAZ OPTĐMĐZASYONU ĐLE ĐRDELENMESĐ GPS AĞLARININ DUYARLIK ve GÜVENĐRLĐĞĐNĐN BAZ OPTĐMĐZASYONU ĐLE ĐRDELENMESĐ Orhan KURT okurt@kocaeli.edu.tr 30 Nisan 2009 KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü Bölüm Đçi Seminer

Detaylı

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

TRABZON İLİ İÇİN JEOİD ONDÜLASYONLARI BELİRLEME AMACIYLA ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN UYGULANMASI

TRABZON İLİ İÇİN JEOİD ONDÜLASYONLARI BELİRLEME AMACIYLA ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN UYGULANMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 15. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 25 28 Mart 2015, Ankara. TRABZON İLİ İÇİN JEOİD ONDÜLASYONLARI BELİRLEME AMACIYLA ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN

Detaylı

BKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 )

BKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 ) 4. SUNUM 1 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı

Detaylı

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar 11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

Geometrik nivelmanda önemli hata kaynakları Nivelmanda oluşabilecek model hataları iki bölümde incelenebilir. Bunlar: Aletsel (Nivo ve Mira) Hatalar Çevresel Koşullardan Kaynaklanan Hatalar 1. Aletsel

Detaylı

Ölçü Hataları Hatasız ölçü olmaz

Ölçü Hataları Hatasız ölçü olmaz Ölçü Hataları Yeryüzünde ister bir kenar, ister bir açı birkaç kez ölçüldüğünde her ölçü değeri arasında az çok farkların olduğu görülür. Aynı büyüklüğe ait yapılan her geometrik veya fiziksel ölçünün

Detaylı

TOPOĞRAFYA Kesitlerin Çıkarılması, Alan Hesapları, Hacim Hesapları

TOPOĞRAFYA Kesitlerin Çıkarılması, Alan Hesapları, Hacim Hesapları TOPOĞRAFYA Kesitlerin Çıkarılması, Alan Hesapları, Hacim Hesapları Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder.

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Yayılma Ölçütleri Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Bir başka ifade ile, bir veri setinin,

Detaylı

KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ. Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN

KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ. Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN Günlük hayattan birkaç örnek Gelişim dönemindeki bir çocuğun boyu ile kilosu arasındaki ilişki Bir ailenin tükettiği günlük ekmek sayısı ile ailenin

Detaylı

(AYIRIM) DENLİ. Emre KUZUGÜDENL. Doç.Dr.Serdar CARUS

(AYIRIM) DENLİ. Emre KUZUGÜDENL. Doç.Dr.Serdar CARUS DİSKRİMİNANT ANALİZİ (AYIRIM) Emre KUZUGÜDENL DENLİ Doç.Dr.Serdar CARUS Bu analiz ile; Bir bireyin hangi gruptan geldiği (p değişkeni kullanarak, bireyi uygun bir gruba atar ) Her bir değişkenin atama

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı