Aritmetik Fonksiyonlar

Transkript

1 BÖÜM V Aiteti osiyola Taı 5. Taı üesi oğal sayıla ola, : N C, şeliei osiyolaa aiteti osiyola ei., içi.. oşuluu sağlaya aiteti osiyolaa ise çaısal osiyola ei. Öe He N içi, ve 3 0 şelie taılaa osiyola bie çaısal osiyou. ea 5. Eğe, e az bi i. N içi 0 ola bi çaısal osiyo ise İsat: Öev. Eğe hehagi bi çaısal osiyo ve i i asal çaalaa ayılışıı aoi şeli ise i i i i i i i. Böylee eğe çaısal osiyou asal sayı uvvetleie alığı eğele biliiyosa osiyo taaıyle belilii. ea 5.3 Eğe, ise i bütü oziti bölelei üesi, ve, ola üzee, gibi bütü çaılaa oluşu. Bua başa bu çaıla bibiie alıı. İsat: >, > alabiliiz; ve q q q s s bu sayılaı asal çaalaa ayılışı aoi şeli olsu., oluğua,, K,, q, q, K, q s asallaıı hesi bibiie alıı ve böylee asal çaalaa ayılışı j j j s q q qs şeliei. Bu uua i hehagi bi oziti bölei a a a b b b q q q s, a, 0 b j s i i j j 0 i i i i a a a b b b s q q qs şelie te tülü olaa göteilebili. Böylee yi,, alaa şelie yazabiliiz, buaa, ve i le oluğua, i. Teoe 5.4 Eğe hehagi bi çaısal osiyo ve, j q lee alı j 38

2 şelie ise e çaısalı. Buaa tola i bütü oziti bölelei üzeie alııştı. İsat: ve aalaıa asal oziti ta sayıla olsu. Bu uua i. Çüü i he bölei, i, i bi bölei ve, ola üzee şelie te tülü olaa yazılabili. çaısal ve, oluğua i. Buaa ele eili. Öe. 4 ve 5 olsu Taı 5.5 bi ta sayı ola üzee i bütü oziti bölelei sayısı τ ve bu bölelei tolaı σ ile gösteili. Öe 3. 0 olsu. 0 i bütü oziti bölelei,, 4, 5, 0, 0 i. Bua göe τ 0 6, σ i. Aşia olaa sayısı asal ise τ, σ + i. Teoe 5.6 Eğe, > sayısıı asal çaalaa ayılışıı aoi şeli ise i τ + +, ve ii σ i. a a a İsat: i i oziti bölelei, i,, K, içi a, 0 i i şeliei. Buaa a, + ; a, +;..., a, + alı şeile olabili. Böylee i oziti bölelei sayısı + taei ii çaııı gözöüe alalı. i he bi oziti bölei bu çaıı açılııa bi ve yalız bi ee göüü. Bu eele σ

3 i. Öte yaa i,, K, içi i i i i i oluğua ele eili. σ + + i i Öe olsu. τ , σ Teoe 5.7 τ ve σ osiyolaıı he iisi e çaısalı. İsat: He içi ve g şelie taılaa ve g osiyolaı çaısal osiyolaı. Ayıa τ ve σ olaa yazılabili, yai τ ve σ g i. ve g osiyolaı çaısal oluğua Teoe 5.3 e göe τ ve σ osiyolaıı he iisi e çaısalı. ea 5.8 τ i bi te sayı olası aa ve yalız i bi tasayıı aesi olası ile üüü. İsat: Teoe 5.5 e göe, eğe, sayısıı asal > çaalaa ayılışıı aoi şeli ise τ oluğuu göüştü.. τ i bi te sayı olası uuua i,, K, içi te, yai i,, K, içi i çit, t, t Z şeliei. Bua göe i i i t t t t t t yai bi ta aei.., bi ta sayıı aesi ise i,, K, içi i çit, t, t Z şeliei. Buu souu olaa i i i τ t + t + t + te sayıı. Teoe 5.9 > ola bi ta sayıı bütü oziti böleleii çaıı Bi başa eyile τ + i + τ i. İsat:, i bi oziti bölei olsu. Bu uua., + Z şelie yazılabili. i he oziti bölei içi i bu şeilei gösteileii gözöüe alısa, bulaı sayısı τ taei. Öte yaa, i bütü oziti böleleii olaşıe, e i bütü oziti böleleii olaşı. Bulaı taa taaa çaasa i. 40

4 ele eili. Diğe taata ve bua göe τ τ τ i. Böylee olaa buluu. Teoe 5.0 > ola bi oziti ta sayı olsu. Bu uua τ ola sosuz sayıa oziti ta sayısı vaı; aat σ olaa şeile aa solu sayıa oziti ta sayısı vaı. İsat: He asal sayısı içi τ oluğua, τ olaa şeile sosuz sayıa oziti ta sayısı vaı. Öte yaa < σ oluğua, σ olaa şeile aa solu sayıa oziti ta sayısı vaı. Taı 5. Poziti has böleleii tolaıa eşit ola bi oğal sayıya üeel sayı ei. Aşia olaa sayısı üeel bi sayı olası aa ve yalız σ olası ile üüü. Öe 4 6 bi e üçü üeel sayıı. Geçete , σ 6 σ.3 3 i. Teoe 5. Eğe asal ise sayısı üeel bi sayıı. İsat: σ σ σ + oluğua göe sayısı üeel bi sayıı. Öe sayısı asal oluğua göe Teoe 5. ue göe sayısı üeel bi sayıı. 4 5 MÖBİUS TERS ÇEVİRME ORMÜÜ Taı 5.3 oziti bi tasayı ola üzee,, ise, 0,, asal ise,, K ise, buaa i osiyoua Möbius μ -osiyou ei. j içi i j. 4

5 3 Öe , ı. Aşia olaa eğe bi asal sayı ise ; içi aia 0 ı. Teoe 5.4 osiyou çaısal bi osiyou. İsat:, ise oluğuu gösteeliyiz.. ve sayılaıa e az bii bi asal sayıı aesi taaıa bölüüyosa, yai bi asal sayı ola üzee eğe veya ise olaağıa 0 i.. ve sayılaıı he iisii e bi asal sayıı aesi taaıa bölüeiğii abul eeli., oluğua i ve q j le bibiie alı asal sayıla ola üzee, K, q q Kqs şeliei. Bu uua i aoi gösteilişi q q K şeliei. O hale buluu. i. K q s + s s K qqkqs Teoe 5.5 ola he sayısı içi, 0, İsat:. içi. ise > ise > olsu. iyeli. osiyou çaısal oluğua Teoe 5.3 e göe e çaısalı.., bi asal sayı ola üzee, şelie olsu. bölelei,, K, gibi + tae ta sayıı. Böylee ı. ı bütü oziti Eğe şelie ise osiyou çaısal oluğua, e göe i,k, içi i 0 souç olaa 0 buluu. Öe olsu i 4

6 43 Teoe 5.6 Möbius Tes Çevie oülü ve ii aiteti osiyo olsu. Eğe ise i. İsat: Öte yaa ve ise + Z t t,, böylee + Z t t,, yai ve ele eili. Buu tesie oğuu. Souç olaa ve ve i. Bu uua eşitliğii şelie yazabiliiz. Teoe 5. ye göe tolaı, olası ışıa sıı,, yai olası halie ise e eşitti. Böylee buluu. Diğe taata ise şelie yazılabili., i bütü oziti böleleii olaşıe e i bütü oziti böleleii olaşı. Böylee i. Souç 5.7 He içi i τ τ. ii σ σ i. İsat: Öev

7 44 Teoe 5.8 bi çaısal osiyo ve ise çaısalı. İsat: ve,, ola oziti tasayıla olsu. i gibi hehagi bi oziti bölei,,, ola üzee, şelie te tülü olaa yazılabiliğii göüştü. Möbius Tes Çevie oülüe göe ele eili. Yai çaısalı. Teoe 5.9, bi > ta sayısıı asal çaalaa ayılışıı aoi şeli olsu. Eğe, e az bi N içi 0 ola, bi çaısal osiyo ise i. İsat: Teoe 5.3 e göe şelie taılaa osiyou çaısalı. O hale ele eili. Çüü ea 5. ye göe i. Teoe 5.0 ve oşuluu sağlaya ii aiteti osiyo ise hehagi bi oğal sayısı içi ı.

8 İsat: * Eşitliği sağ taaıai tolaa, i eşit eğele alığı teilei bi aaya getieli: ola bi oğal sayısı içi teiii içie ye alası aa ve yalız ı, sayısıı bölei olası ile üüü. He ta sayı ei eisii bi bölei oluğua * eşitliğii sağ taaı ola bi oğal sayısı içi teiii e az bi ee içei. Şii içie teiii içee tolalaıı sayısıı hesalayalı. Buu içi,, K, tasayılaı içie ile bölüelei sayısıı bula yetelii, i bula,, K, ola üzee taei. Böylee, e üçü veya ye eşit, tae alı oziti tasayı içi tolalaıı bi teiii. Böylee olu. EUER İN ONKSİYONU Taı 5. > olsu., ve < oşuluu sağlaya ta sayılaıı sayısı φ ile gösteili. φ olaa taılaı. φ ye Eule i -osiyou ei. Öeği φ, φ3, φ5 4, φ6, K Eğe bi asal sayı ise e üçü he tasayı ile aalaıa asal olaağıa φ olu. Diğe taata eğe > ola bi bileşi tasayı ise i < < ola gibi bi bölei va oluğua, ile aalaıa asal olaya ve e büyü olaya e az ii tasayı ve vaı. O hale φ i. Bua göe > ola bi tasayıı asal olası aa ve yalız φ olası ile üüü. Taı 5. > ola üzee, ile aalaıa asal ve o ye göe ogü olaya φ tae tasayıı oluştuuğu sistee bi o iigeiş ala sistei ei. Böylee e üçü ile aalaıa asal ola bütü oziti ta sayıla o ye göe bi iigeiş ala sistei oluştuula ea 5.3 Eğe a, a, K, aφ o bi iigeiş ala sistei ise bu sayıla belili bi sıaa, o ye göe, e üçü ve ile aalaıa asal ola oziti ta sayılaa ogüüle. İsat: He bi a i içi, ai bi o ve 0 < b i < olaa şeile, b i gibi bi tasayı vaı. Öte yaa a i, oluğua b i, ola zouaı ve 45

9 a, a, K, aφ le o ye göe ogü olaığıa b, b, K, bφ le, e üçü ve ile aalaıa asal ola bütü oziti ta sayılaa ibaetti. Teoe 5.4 > ola üzee, eğe a, a, K, aφ o bi iigeiş ala sisitei ve a, ise aa, aa, K, aaφ e o bi iigeiş ala sisteii. İsat: aa, aa, K, aaφ tasayılaıa hehagi iisi o ye göe ogü eğilile. Geçete eğe i < j φ içi aai aa j o ise a, oluğua ai a j o buluu bu ise a, a, K, aφ o bi iigeiş ala sisitei olası ile çelişi. Ayıa i φ içi a i, ve a, oluğua aa i, i. Veile sayı taıı, ile aalaıa asal ve o ye göe ogü olaya φ tae ta sayıa oluştuğua göe o bi iigeiş ala sisteii. φ Teoe 5.5 Eule Teoei Eğe ve a, ise a o i. İsat: > alabiliiz. a, a, K, aφ, ile e üçü ve ile aalaıa asal ola bütü oziti ta sayılaı gösteeli. Bula o ye göe bi iigeiş ala sistei oluştuula. Teoe 5.4 e göe a, oluğua aa, aa, K, aaφ e o bi iigeiş ala sisteii ve bu sayıla belili bi sıaa alıılaıa, o ye göe, a a, K a sayılaıa ogüüle. Böylee,, φ aa. aakaaφ a. akaφ o ele eili, yai φ a a. akaφ a. akaφ o * ve i < j φ içi a i, oluğua a a K a, i. Böylee * a ele eili. Souç: i. φ a o a. φ, a ola bi asal sayı ise o Teoe 5.6 Eğe bi asal sayı ve > 0 ise φ i. İsat:,, oluğu gözöüe alıısa ola tasayılaı aasıa ile bölüebile gibi,, 3, K, tae tasayı vaı. Böylee ola ve sayılaı sayısı -, yai φ i. ile aalaıa asal ola ta Öeği, φ ı. Geçete e 9 a üçü ve 9 ile aalaıa asal ola sayıla,, 4, 5, 7, 8 e ibaetti. 46

10 Teoe 5.7 φ osiyou çaısalı. İsat:, içi φ φ φ oluğuu gösteeli: φ oluğua ve e e az biii olası halie teoe oğuu. >, > oluğuu abul eeli. Aşağıai şeile tae aışı ta sayıa oluşa tabloyu gözöüe alalı: 0 M + M + + M + + M + Bu tabloai sayıla o bi ta ala sistei oluştuula ve bulaı içie φ taesi ile aalaıa asalı. İl sıaai sayıla o bi ta ala sistei oluştuu. Hehagi bi sütüai sayıla ise, o ye göe bibiie ogüüle. q +,, oluğua hehagi bi +. sütüai sayılaı ile aalaıa asal olabilesi içi, olası geei. Bu eele ile aalaıa asal ola sayılaı buluua sütülaı sayısı φ taei ve bu sütüa ye ala sayılaı taaı ile aalaıa asalı. Öte yaa, ola bi +. sütüai sayıla, +, +, K, +, oluğua Teoe 3. ye göe bu sayıla o bi ta ala sistei oluştuula. Bu eele bu sütüa ile aalaıa asal ola ta φ tae sayı vaı. O hale yuaıai tabloa he he e ile aalaıa asal ola sayılaı sayısı φ φ i. Öte yaa a, olası aa ve yalız a, ve a, olası ile üü ü. Bu eele ile aalaıa asal ola sayılaı sayısı φ φ φ i. Teoe 5.8 Eğe > ta sayısıı asal çaalaa ayılışıı aoi şeli ise i. İsat: Öev Öe 6 φ 475 φ φ i i i i i i EUER İN ONKSİYONUN BAZI ÖZEİKERİ i. Teoe 5.9 Gauss Hehagi bi ta sayısı içi φ 47

11 İsat: {,,K} üesi üzeie,, şelie taılaa bağıtı bi eşeğeli bağıtısıı ve bu bağıtı {,,K} üesii aşağıai şeile taılaa sıılaa ayıı:, i oziti bi bölei ve ola üzee,, ise S, yai S, ;. { },, oluğua he bi S sıııa ait tasayılaı sayısı, e üçü ve ile aalaıa asal ola oziti tasayılaı sayısıa, yai φ ye eşitti. Öte üesie ait he tasayı ta bi S sıııa buluuğua yaa {,,K} ele eili. Öte yaa S φ, i bütü oziti böleleii olaşıe, oziti böleleii olaşı. Souç olaa φ e i bütü φ buluu. Öe 7 5 olsu. 5 ise,3,5, 5 olabili. Böylee {,5 ; 5} {,,4,7,8,,3,4 }, 8 {,5 3; 5} { 3,6,9, }, 3 4 {,5 5; 5} { 5,0}, 5 {,5 5; 5} { 5}, 5, S S S 3 S, S 5 S, S 5 S buluu. 5 φ φ5 + φ5 + φ3 + φ Teoe 5.30 > ta sayısı içi e üçü ve ile aalaıa asal ola bütü oziti ta sayılaı tolaı φ sayısıa eşitti. İsat: a, a, K, aφ, e üçü ve ile aalaıa asal ola bütü oziti tasayıla olsula. a, a, oluğua, a, a, K, aφ sayılaı bi başa sıaa alıılaı tatie a a, K a sayılaıa eşittile. Böylee,, φ a + a + + aφ a + a + + aφ φ a + a + + aφ ve böylee a + a + + a ve buaa a buluu. φ φ, < φ, 48

12 Öev Poblele - 6 alaa τ τ + τ + olabileeğii gösteiiz. - Eğe sayısı bi tasayıı aesi ile bölüeeye bi tasayı ise τ oluğuu gösteiiz. Buaa, i bibiie alı asal bölelei sayısıı. 3- τ 6 ola bütü oziti tasayılaı asal çaalaa ayılışıı aoi şelii belileyiiz. 5 Ceva. veya şeliei. 4- özelliğie sahi ola bütü oziti tasayılaı asal çaalaa ayılışıı aoi şelii belileyiiz. 3 Ceva. veya şeliei. 5- σ te sayı ise sayısıı, bi ta ae veya bi ta aei ii atı şelie oluğuu gösteiiz. 6- ve g, he asal sayısı ve he içi g ola ve özeş olaa sıı olaya ii çaısal osiyo ise g oluğuu gösteiiz. 7- σ τ oluğuu gösteiiz. Yol göst. Öe σ, G τ osiyolaıı çaısal olulaıı, aha soa iiaı 8-3 τ τ içi oğu oluğuu gösteiiz. oluğuu gösteiiz. 9- asal sayısı, o 4 oşuluu sağlasa oluğuu gösteiiz σ + o 4 0- asal sayısı, o 4 oşuluu sağlasa oluğuu gösteiiz. çit o 4, σ 0o 4, te ise ise 49

13 - Eğe, bi > ta sayısıı asal çaalaa ayılışıı aoi şeli ise Teoe 5.9 yi ullaaa i τ ii σ iii iv oluğuu gösteiiz.. - τ oluğuu gösteiiiz. 3- Teoe 5.0 e yaalaaa i τ ii oluğuu gösteiiz. σ 4- φ 50, φ 4000 ve φ yi hesalayıız. Ceva: 500, 6400 ve He üeel sayı içi oluğuu gösteiiz. 6- Eğe asal ise φ σ + i bi ta sayı oluğuu gösteiiz. 7- i Eğe bi te tasayı ise φ φ, ii Eğe bi çit tasayı ise φ φ oluğuu gösteiiz. 8- Eğe tasayısıı bibiie alı tae te asal çaaı vasa φ oluğuu gösteiiz. 9- Eğe ve + ii iiz asal sayı çitlei ise φ + φ + i. 0- Eule Teoei yaıı ile basaağı buluuz. Ceva: sayısıı o tabaıa göe gösteilişiei soa ii 50

14 - a, a, ise φ + a + a + + a 0o oluğuu gösteiiz. - Hehagibi oziti tasayısı içi φ oluğuu gösteiiz. Yol göst: φ osiyoua Mobiüs Tes Çevie oülüü uygulayıız. 3- Eğe bi oğal sayısı içi φ ise a, b N ola üzee oluğuu gösteiiz. a b 3 şelie 5

15 Kayala Sayıla Kuaıa Giiş,Mateati Vaı Yayı No:4, ODTÜ Mateati Bölüü- Aaa, 000, ISBN Davi M Buto, Eleetay Nube Theoy, 5th e. M Gaw- Hill, 00, ISBN W.J. eveque, Tois i Nube Theoy, Dove e.,00, ISBN G.H. Hay &E.M. Wight, A itoutio to the Theoy o Nubes, 5th e. Oxo Siee Publiatios, 005,, ISBN Jaes J.Tattesall, Eleetay Nube Theoy i Nie Chate, e., CabigeUivesity Pess 005. WW Che, Eleetay ube theoy, 003, htt:uthegle.siee.q.eu.auwheletolelet.htl 5