ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SİNGÜLER POTANSİYELLİ STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLERİ Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi S INGÜLER POTANS IYELL I STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLER I Aylin AYKUT Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN Bu tez üç bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, Schrödinger dalga denkleminin Jost çözümleri elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, Jost çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi araşt r lm şt r. Ekim, 47 sayfa Anahtar Kelimeler : Singüler, Strum-Liouville operatörü, Jost çözümü, Bessel fonksiyonu, Hankel fonksiyonu. i

3 ABSTRACT Master Thesis STRUM-LIOUVILLE OPERATORS WITH SINGULAR POTENTIAL Aylin AYKUT Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN This thesis consists of three chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, the Jost solution of Schrödinger wave equation is obtained. In the third chapter, eistence and uniqeness of the Jost solution is investigated. October, 47 pages Key Words: Singular, Strum-Liouville operator, Jost solution, Bessel function, Hankel function. ii

4 TEŞEKKÜR Yüksek lisans tezimi yönetmeyi kabul ederek karş laşt ¼g m güçlüklerde yard mlar n benden esirgemeyen, büyük bir sab r ve titizlikle beni yönlendiren sayg de¼ger hocam, Say n Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dal ) na, yüksek lisans yapt ¼g m süre boyunca ve hayat m n her aşamas nda bana yard mc olan babama, anneme, kardeşime ve başta Fahriye Zehra Babacan ve Ferda¼g Kahraman olmak üzere sevgili dostlar ma en içten sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Aylin AYKUT Ankara, Ekim iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR S IMGELER D IZ IN I i ii iii v. G IR IŞ JOST ÇÖZÜMÜ k V() = Durumu lim! (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu.3 4 V () = Durumu lim! e ik f (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu ve f ÇÖZÜMLER IN IN VARLI ¼GI (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi f (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I C J H () Y () Kompleks say lar cümlesi basamaktan birinci tür Bessel fonksiyonu bamaktan ikinci tür Hankel fonksiyonu basamaktan ikinci tür Bessel fonksiyonu Gama fonksiyonu v

7 . G IR IŞ Matematik ve zik alan nda pek çok uygulamaya sahip olan spektral teori; fonksiyonel analizin ana dallar ndan biri olup, belirli ters operatörler ve bunlar n genel özelliklerine ilişkindir. Kuantum mekani¼ginin pek çok probleminin çözümünde diferensiyel operatörlerin Jost çözümleri temel oluşturdu¼gundan Kuantum mekani¼ginin gelişmesi ile diferensiyel operatörlerin Jost çözümlerine ilgi artm şt r. Bu alanda Strum-Liouville operatörü yard m yla elde edilen ikinci mertebeden diferensiyel denklemlerin Jost çözümleri ve bu çözümlerin analitik incelemesi önemlidir. q kompleks de¼gerli bir fonksiyon ve h C olmak üzere l (y) := y q () y < diferensiyel ifadesinin ve y () hy () = s n r koşulunun yard m ile L (; ) uzay nda tan ml non-selfadjoint Strum-Liouville operatörü L olmak üzere bu operatörün spektral teorisi ilk olarak 954 y l nda Naimark taraf ndan incelenmeye başlanm şt r. Ayr ca L (; ) uzay nda p; q kompleks de¼gerli fonksiyonlar ve p fonksiyonu (; ) da sürekli diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere y q () hp () h y; < denklemi ve Z K () y () d y () () = s n r koşulu yard m yla üretilen KuadratikSchrödinger operatörler demetini L (h) ile gösterelim. Burada ; C; jj jj 6= olmak üzere K L (; ) olsun. Bairamov vd. (997) ve Bairamov vd. (999a,b,c) çal şmalar nda analitik fonk-

8 siyonlar n birebirlik teoremlerini kullanarak L (h) operatörünün spektral analizini incelmiştir. Bu tezde ise V reel de¼gişkenli ve reel de¼gerli bir fonksiyon, k, l C ve = noktas nda ve! için singülerli¼ge sahip q () = k l (l ) V () potansiyelli () k l (l ) V () () = şeklindeki Strum-Lioville diferensiyel denkleminin Jost çözümlerinin bulunmas, bu çözümlerin analitik özelliklerinin ve asimtotiklerinin incelenmesi amaçlanm şt r.

9 . JOST ÇÖZÜMÜ V reel de¼gişkenli ve reel de¼gerli bir fonksiyon, k, l C ve q () = l (l ) V () potansiyeli = noktas nda ve! da singülerli¼ge sahip olmak üzere; a) V () hemen hemen her yerde sürekli Z b) j V () j d = M (c) < (c > ) c Z c c) j V () j d = N c < (c > ) (.) (:) koşullar n sa¼glayan () k l (l ) V () () = (.) (:) Schrödinger dalga denklemi incelenecektir.. k V() = Durumu (:) diferensiyel denkleminde [k V ()] ifadesi ihmal edilirse (:) denklemi () l (l ) () = (..) ikinci basamaktan de¼gişken katsay l bir denklem halini al r. l (l ) =! olmak üzere, 3

10 ()! () = olarak yaz l rsa, = e t de¼gişken de¼giştirmesi yap l r ve = D denilirse = D D olarak bulunur. O halde D D! () = r r! = karakteristik deklemi elde edilir. Buradan (::) denkleminin temel çözümleri l ve l olarak bulunur. Bu durumda () = l l ifadesi de (:) denkleminin bir çözümüdür. (:) denklemi! için ' () = l ( ()) (..) ' () = l ( ()) koşullar n sa¼glayan iki çözüme sahiptir. = l eşitli¼gini kullanarak (:) denklemini () " k 4 V () # () = (..3) şeklinde ele almak daha uygun olacakt r. yerine al n rsa, ' () çözümü ' () çözümüne, benzer biçimde ' () çözümü de ' () çözümüne dönüşür. 4

11 Şimdi ' (; k; ) = () () (..4) yaz larak ve katsay lar n elde etmek için Lagrange yöntemi kullan lacakt r. Buna göre (::4) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa ' (; k; ) = p () () p () = () () () bulunur. Burada p () p () = (..5) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al ns n. Bu durumda ' (; k; ) = = = = () () h i () 3 () () () () () () 4 () () ' (; k; ) () 4 () 3 () elde edilir. 5

12 Bu ifadeler (:) denkleminde yerine yaz l rsa, () () = V () k ' (; k; ) (..6) denklemi bulunur. Şimdi (::5) ve (::6) denklem sistemi ele al ns n. sistemin katsay lar determinant olmak üzere = = = olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa p () = [V () k ] ' (; k; ) = V () k ' (; k; ) ve () = [V () k ] ' (; k; ) = k V () ' (; k; ) denklemleri bulunur. 6

13 (::) koşulundan lim () =! lim () =! oldu¼gu görülebilir. Buradan ve Z ifadeleri elde edilir. () d = Z ) () () = [V () k Z ) () = Z () d = Z ) () () = ) () = ] ' (; k; ) d [V () k ] ' (; k; ) d Z [k Z Z [V () k ] ' (; k; ) d V ()] ' (; k; ) d [k V ()] ' (; k; ) d [k V ()] ' (; k; ) d 7

14 Bu ifadeler (::4) denkleminde yerine yaz l rsa, ' (; k; ) = 3 4 Z V () k ' (; k; ) d Z k V () ' (; k; ) d 5 = Z k = = Z Z Z V () k ' (; k; ) d V () ' (; k; ) d V () ' (; k; ) k ' (; k; ) d " Voltera tipi integral denklemi elde edilir. # p k V () ' (; k; ) d Teorem... (::) koşulu alt nda ' (; k; ) çözümü vard r ve tektir. Ispat. durumda Bunun için = i ile gösterilmek üzere ve 6= olsun. Bu = i = i = e ilog = = olup < olmak üzere yaz labilir. Gerçekten; = < < ) < (..7) 8

15 < ) < (..8) ) < dolay s yla (::7) ve (::8) ifadelerinden < ) < (..9) bulunur. (::9) ifadesi de göz önüne al nararak = (..) eşitsizli¼gi elde edilir. Şimdi X ' (; k; ) = ' (n) (; k; ) (..) n= olsun. ' () (; k; ) = olmak üzere, n için al n rsa ' (n) (; k; ) = Z " # p k V () ' (n) (; k; ) d Z ' () (; k; ) = Z = p [k V ()] ' () (; k; ) d p [k V ()] d 9

16 oldu¼gu görülür. Buradan ' () (; k; ) = sa¼glan r ve dolay s yla jj jj jj jj Z Z Z Z Z " " # p k # p k p k k V () d p k V () d V () d V () d V () d ' () (; k; ) jj Z k V () d eşitsizli¼gi elde edilir. P reel de¼gerli ve azalmayan bir fonksiyon olmak üzere P () = Z k V () d olarak tan mlayal m. (:) koşullar alt nda P () = Z k V () d Z Z k jv ()j d = k N () eşitsizli¼gi gerçeklenir.

17 Şimdi n için ' (n ) (; k; ) (n )! jj n [P ()]n (..) oldu¼gu kabul edilirse ve dp () = k V () olaca¼g ndan (::) eşitsizli¼gi de kullan larak, ' (n) (; k; ) = jj jj Z Z Z = jj n " # p k p k Z = n! jj n [P ()] n p k V () P () n d (P ()) (n )! V () ' (n V () ' (n bulunur. Böylece tümevar m yöntemi gere¼gince her n için elde edilmiş olur. ' (n) (; k; ) jj n ) (; k; ) d ) (; k; ) d (n )! jj n [P ()]n d [P ()] n X n= jj n X [P ()]n serisi yak nsak oldu¼gundan karş laşt rma testi gere¼gince ' (n) (; k; ) n= serisi yak nsak olup,

18 X ' (n) (; k; ) n= X ' (n) (; k; ) n= X n= = n! jj n [P ()] n X n= = P () e [P ()] n n! jj n eşitsizli¼gi gerçeklenir.. lim! (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu (::3) diferensiyel denkleminde V () ifadesi ihmal edilsin. Bu durumda (::3) denklemi () " k 4 halini al r. (::) diferensiyel denkleminin # () = (..) lim (; k; ) = (..)! (::) koşulu alt ndaki çözümü, J (k; ) = X n= ( ) n k n n! (n ) (..3) basamaktan birinci çeşit Bessel Fonksiyonu olmak üzere (; k; ) = [ (; k; )] V ()= = k ( ) J (k; ) şeklindedir (Bateman 953).

19 (::) denkleminde () = u (..4) de¼gişken de¼giştirmesi yap ls n. Gerekli işlemler yap larak d u d du d k u = denklemi elde edilir. Tekrar t = k de¼gişken de¼giştirmesi ile denklem t d u dt tdu dt t u = (..5) halini al r. (::5) denklemi basamaktan bir Bessel diferensiyel denklemdir. (::5) denklemi u u t u biçiminde yaz ls n. (::6) denkleminde çözümü arans n. u (t) = u t = (..6) X c n t nr (..7) n= Buna göre (::7) ifadesinin t de¼gişkenine göre birinci ve ikinci mertebeden türevleri al n p (::5) denkleminde yerine yaz l rsa c (r ) t r r c (r ) t r r c t r r c (r ) t r X c t r c t r c n (n r) (n r ) t nr oldu¼gu görülür. X c n (n r) t nr n= X X c n t nr c n t nr = n= n= n= 3

20 Bu ifade düzenlenirse olur ve buradan c r t r c (r ) t r X c X n (n r) (n r ) (n r) c n t nr = n= n= c r t r c (r ) t r X cn (n r) c n t nr = n= (..8) elde edilir. c s f rdan farkl seçilebildi¼ginden t r ifadesinin katsay s s f ra eşitlenerek r = indisel denklemine ulaş l r. Bu denklemin kökleri ise r = ve r = d r. r = (::8) denkleminde yerine yaz l rsa c ( ) X t (n ) n= c n t nr = ve X c ( ) t [n (n ) c n c n ] t n = n= bulunur. Di¼ger terimlerin katsay lar n n s f ra eşitlenmesi ile c = olur ve indirgeme formülü elde edilir. Buradan n (n ) c n c n = ; (n ) c n = ( ) n c n n! ( ) ( ) ::: ( n) olup c 3; c 5 ; ::: katsay lar c e ba¼gl oldu¼gu için c 3 = c 5 = ::: = c n halde = bulunur. O u (t) = X c n t n = c t n= X n= ( ) n c n n! ( ) ( ) ::: ( n) (..) elde edilir. 4

21 Burada >, = i ve > olmak üzere (n ) = (n ) (n ) = (n ) (n ) (n ) = (n ) (n ) ::: [(n ) (n )] [(n ) (n )] = ( ) ( ) ::: (n ) ( ) ) (n ) (n ) = ( ) ( ) ::: (n ) sa¼glan r ve bu sonuç (::) ifadesinde yerine yaz l rsa u (t) = c t X n= ( ) n t n ( ) n n! (n ) oldu¼gu görülür. t = k ve () = u de¼gişken de¼giştirmeleri göz önüne al n rsa (; k; ) = c k X n= ( ) n k n ( ) n! (n ) elde edilir. c key oldu¼gundan c = k al narak (; k; ) = k ( ) çözümü bulunur ve (::3) ifadesi kullan l rsa X n= ( ) n k n n! (n ) (..) (; k; ) = k ( ) J (k) (..) olarak elde edilmiş olur. 5

22 r = çözümü içinse c = k al narak ( ; k; ) = k ( ) J (k) (..3) elde edilir. Lemma... (::) ve (::3) çözümleri lineer ba¼g ms zd r. Ispat. ( ) ( ) = sin (Bateman 953)ve W [J (k) ; J (k)] = sin k (Watson 948). eşitliklerinden yararlan larak W [ (; k; ) ; ( ; k; )] = (; k; ) ( ; k; ) (; k; ) ( ; k; ) = k ( ) k ( ) J (k) J (k) J (k) kj (k) i J (k) J (k) J (k) kj (k) = k J (k) J (k) J (k) J (k) = ( ) ( ) W [J (k) ; J (k)] = sin (k) sin k = elde edilir. W [ (; k; ) ; ( ; k; )] 6= oldu¼gundan ispat tamamlanm ş olur. Şimdi (; k; ) = () (; k; ) () ( ; k; ) (..4) yaz larak ve katsay lar n elde etmek için Lagrange yöntemi kullan ls n. 6

23 Buna göre (::4) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa (; k; ) = () (; k; ) () (; k; ) (..5) () ( ; k; ) () ( ; k; ) bulunur. Burada () (; k; ) () ( ; k; ) = (..6) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al ns n. Bu durumda (; k; ) = () (; k; ) () (; k; ) () ( ; k; ) () ( ; k; ) elde edilir. Bu ifadeler (::4) denkleminde yerine yaz l rsa () (; k; ) () (; k; ) () ( ; k; ) () ( ; k; )!! k 4 = V () (; k; ) () (; k; ) k 4 () ( ; k; ) denklemi bulunur. (; k; ) ve ( ; k; ) çözümleri (::) denklemini sa¼glad ¼g ndan () (; k; ) () ( ; k; ) () ( ; k; ) (..7) = V () (; k; ) oldu¼gu görülür. Şimdi (::6) ve (::7) denklem sistemi ele al ns n. sistemin katsay lar determinant olmak üzere 7

24 = (; k; ) ( ; k; ) (; k; ) ( ; k; ) = olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa () = ( ; k; ) V () (; k; ) ( ; k; ) = ( ; k; ) V () (; k; ) ve () = (; k; ) (; k; ) V () (; k; ) = (; k; ) V () (; k; ) eşitlikleri bulunur. (::) koşulundan oldu¼gu görülebilir. Bu koşullar alt nda lim () =! lim () =! Z (y) dy = ) () () = Z Z ) () = ( ( Z ( ; k; y) V () (; k; y) dy ; k; y) V () (; k; y) dy ; k; y) V () (; k; y) dy 8

25 ve Z (y) dy = ) () () = ) () = Z Z Z (; k; y) V (y) (; k; y) dy (; k; y) V (y) (; k; y) dy (; k; y) V (y) (; k; y) dy ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (::4).denkleminde yerine yaz l rsa (; k; ) = (; k; ) bulunur ve Z ( Z (; k; ) ( ; k; y) V (y) (; k; y) dy ; k; ) (; k; y) V (y) (; k; y) dy G (; k; ; y) = [ (; k; ) ( ; k; y) ( ; k; ) (; k; y)] (..8) tan mlanmak üzere, (; k; ) = (; k; ) Z G (; k; ; y) V (y) (; k; y) dy elde edilmiş olur. 9

26 .3 4 V () = Durumu (:) diferensiyel denkleminde h 4 i V () ifadesi ihmal edilirse bu denklem () k () = (.3.) ikinci basamaktan diferensiyel denklem halini al r. Burada D k D = karakteristik denklemi elde edilir. (:3:) denkleminin temel çözümleri e ik ve e ik olarak bulunur. Buradan f (; k; ) = e ik e ik ifadesi de (:) denkleminin bir çözümüdür. Bu durumda (:) denklemi! için f (; k; ) = e ik ( o ()) (.3.) f (; k; ) = e ik ( o ()) koşullar n sa¼glayan iki çözüme sahiptir. f (; k; ) = () e ik () e ik (.3.3) yaz larak ve katsay lar n bulmak için bu Lagrange yöntemi kullan ls n. (:3:3) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa f (; k; ) = () e ik () ( ik) e ik () e ik () (ik) e ik (.3.4) bulunur.

27 Burada () e ik () e ik = (.3.5) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al n rsa f (; k; ) = () ( ik) e ik () k e ik () (ik) e ik () k e ik elde edilir. Bu ifadeler (:) denkleminde yerine yaz l rsa = () ( ik) e ik () k e ik () (ik) e ik () k e ik k # () e ik () e "V ik () 4 () e ik () e ik denklemi bulunur. Burada e ik ve e ik çözümleri (:3:).denklemini sa¼glad ¼g ndan () ( ik) e ik () (ik) e ik = " V () 4 # f (; k; ) (.3.6) elde edilir. Şimdi (:3:5)ve (:3:6) denklem sistemi ele al ns n. sistemin katsay lar determinant olmak üzere e = ik e ik ( ik) e ik (ik) e ik = ik olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa () = = h V () 4 e ik i f (; k; ) (ik) e ik " ik # ik eik V () 4 f (; k; )

28 ve () = e ik ( ik) e ik hv () 4 i f (; k; ) = ik e ik " ik V () 4 # f (; k; ) eşitlikleri elde edilir. (:3:) koşulundan olup lim () =! lim () =! ve Z (y) dy = ) () lim t! (t) Z Z ) () = Z ifadeleri elde edilir. (y) dy = ) () lim t! (t) = ) () = Z Z Z Z h i ik eiky V (y) 4 f (; k; y) dy y h i ik eiky V (y) 4 f (; k; y) dy y h i ik eiky V (y) 4 f (; k; y) dy y h i e iky V (y) 4 f (; k; y) dy ik y h i e iky V (y) 4 f (; k; y) dy ik y h i e iky V (y) 4 f (; k; y) dy ik y

29 Bu ifadeler (:3:3) denkleminde yerine yaz l rsa Z f (; k; ) = e ik e ik ik eiky V (y) 4 y Z e ik ik e iky V (y) 4 y!! f (; k; y) dy f (; k; y) dy bulunur ve sin (y ) = eik(y ) e i ik(y ) (Alfaro 965 s.5) eşitli¼gi kullan larak f (; k; ) = e ik k Z biçiminde bir denklem elde edilmiş olur. sin (y ) V (y) 4 y Teorem.3. f (; k; ) çözümü vard r ve tektir. Ispat. olmak üzere n için g (; k; ) = e ik! f (; k; y) dy (.3.7) g n (; k; ) = k Z sin k (y ) " V (y) 4 y # g n (; k; y) dy al n rsa n = için olur. g (; k; ) = k Z sin k (y ) " V (y) 4 y # g (; k; y) dy 3

30 Burada jkj jsin k (y )j < y jkj y ejbjyb (.3.8) gerçeklenir (Alfaro 965). (:3:8) eşitsizli¼gi kullan larak jg (; k; )j = jkj < Z Z e jbjyb jsin k (y )j V (y) 4 e iky dy y y jkj y V (y) 4 e by dy y elde edilir. Q reel de¼gerli bir fonksiyon ve b < olmak üzere Q () = Z " V (y) 4 y olarak tan mlans n. (:) koşullar alt nda # y jkj y e(jbjb)y dy jq ()j = Z Z Z Z " # V (y) 4 y y jkj y e(jbjb)y dy V (y) 4 y y jkj y e(jbjb)y dy e (jbjb)y jv (y)j ydy jv (y)j ydy < gerçeklenir. 4

31 E¼ger oldu¼gu kabul edilirse ve g n (; k; ) < e b [CQ ()] n (n )! (.3.9) dq () dy = " V (y) 4 y # y jkj y e(jbjb)y olmak üzere ve (:3:9) eşitsizli¼ginden jg n (; k; )j jkj Z jsin k (y e b [CQ ()] n (n)! )j V (y) 4 jg n y (; k; y)j dy bulunur. Böylece tümevar m yöntemi gere¼gince 8 n için ) jg n (; k; )j e b [CQ ()] n P elde edilmiş olur. Buna göre e b [CQ ()] n serisi yak nsak oldu¼gundan karş laşt rma (n)! n= P testinden g n (; k; ) serisi yak nsak olup n= (n)! jf (; k; )j X jg n (; k; )j < n= n= X n= e b [CQ ()] n (n)! X = e b [CQ ()] n = e b e Q () (n)! eşitsizli¼gi gerçeklenir. 5

32 .4 lim! e ik f (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu H () ; basamaktan ikinci tür Hankel fonksiyonu olmak üzere (::5) Bessel diferensiyel denkleminin koşulu alt nda çözümü, biçimindedir. Gerçekten, f (; k; ) = lim! eik f (; k; ) = (.4.) k i( ) () e H (k) (.4.) J (k) ve J (k) çözümleri lineer ba¼g ms z oldu¼gundan bu çözümlerin lineer kombinasyonlar da (::4) denkleminin bir çözümü olur. Buna göre; Y (k) = cos kj (k) J (k) sin k (.4.3) olarak tan mlan rsa (:4:3) fonksiyonu da (::5) denkleminin bir di¼ger çözümüdür. Burada Y ile tan mlanan fonksiyon basamaktan ikinci tür Bessel Fonksiyonu ad n al r (Pala 6). J ve Y foksiyonlar n n lineer ba¼g ms zl ¼g ndan (::5) denkleminin bir di¼ger çözümü de biçimde elde edilir. Buradan f (; k; ) = AJ (k) BY (k) A = k i ( ) e ve seçimleri yap l p, B = i k i( ) e 6

33 k! için ve J (k) Y (k) cos k k sin k k ifadeleri dikkate al n rsa ve (:4:) koşulundan dolay f (; k; ) = k i ( ) e [J (k) iy (k)] elde edilir (Olver 974). H () fonksiyonu basamaktan ikinci tür Hankel Fonksiyonu olmak üzere H () (k) = J (k) iy (k) (Bateman 953). şeklinde tan mlan r. Böylece (:4:3) çözümüne ulaş l r. Ayn şekilde f (; k; ) = k i( ) () e H (k) bir di¼ger çözümdür. Lemma.4..f (; k; ) ve f (; Ispat. k; ) çözümleri lineer ba¼g ms zd r. W [f (; k; ) ; f (; k; )] = f (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) ( k = i e i( ) k k H ( k) ( k e i( ) k k H (k) k i e i( ) H ( k) k = ( i) e i i ( k) H (k) H (k) H (k) H (k) = ( i) e i k olur. iw [H (k) ; H (k)] ) H (k) e i( ) ) e i( ) (k) H (k) 7

34 Burada W [H (k) ; H (k)] = şeklindedir. Gerçekten, n h (sin ) e i k ( ) ( ) i o W [J ; J ] (.4.4) H ( k) == ei ( ) J (k) ( ) J (k) i sin (.4.5) olmak üzere W [H (k) ; H (k)] = H (k) H (k) H (k) H (k) = e i (sin ) J (k) J (k) h i e i ( ) kj (k) ( ) kj (k) e i kj (k) kj (k) h io olup = e i ( ) J (k) ( ) J (k) n (sin ) e i k k W [f (; k; ) ; f (; k; )] = ( i) e i n (sin ) e i k k = (sin ) = ik h ( ) ( ) i W [J (k) ; J (k)] i h ( ) ( ) i o W [J ; J ] sin k e i k e i o elde edilir. Böylece W [f (; k; ) ; f (; k; )] 6= oldu¼gundan ispat tamamlanm ş olur. Şimdi f (; k; ) = () f (; k; ) () f (; k; ) (.4.6) al narak ve katsay lar n bulmak için Lagrange yöntemini kullanal m. 8

35 Bu durumda (3::4) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa f (; k; ) = () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) olur. Burada () f (; k; ) () f (; k; ) = (.4.7) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al n rsa f (; k; ) = () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) elde edilir. Bu ifadeler (::4) denkleminde yerine yaz l rsa (.4.8) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) " # " # = k 4 () f (; k; ) k 4 () f (; k; ) V () f (; k; ) denklemi bulunur. f (; k; ) ve f (; k; ) çözümleri (::) denklemini sa¼glad ¼g ndan () f (; k; ) () f (; k; ) = V () f (; k; ) (.4.9) oldu¼gu görülür. Şimdi (:4:7).ve (:4:9) denklem sistemi ele al ns n. denklem sisteminin katsay lar determinant olmak üzere f = (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) = ik 9

36 olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa () = f (; k; ) V () f (; k; ) ik = V () f (; k; ) ik ve () = f (; k; ) f (; k; ) V () ik = V () f (; k; ) ik eşitlikleri elde edilir. (:4:) koşullar ndan lim () =! lim () =! olup Z (y) dy = ) () lim t! (t) = Z Z ) () = Z V (y) f (; ik V (y) f (; ik V (y) f (; ik k; y) dy k; y) dy k; y) dy 3

37 ve Z (y) dy = ) () lim t! (t) = Z Z ) () = Z V (y) f (; k; y) dy ik V (y) f (; k; y) dy ik V (y) f (; k; y) dy ik ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (:4:4) denkleminde yerine yaz l rsa f (; k; ) = f (; k; ) bulunur ve Z ik f (; Z ik f (; k; y) V (y) f (; k; y) f (; k; y) V (y) f (; k; y) f (; k; ) dy k; ) dy B (; k; ; y) = ik [f (; k; y) f (; k; ) f (; k; y) f (; k; )] (.4.) tan mlanmak üzere f (; k; ) = f (; k; ) Z B (; k; ; y) V (y) f (; k; y) dy (.4.) denklemi elde edilir. 3

38 3. ve f ÇÖZÜMLER IN IN VARLI ¼GI Bu bölümde f ve çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi incelenecektir. Bunun için öncelikle bize yard mc olacak baz lemmalar verelim. Lemma 3.. (::4) denkleminin (::) ve (3::) çözümlerinin s ras yla aşa¼g daki biçimde yaz labilir. (; k; ) = k (; ; k) f (; k; ) = f (; ; k) Bu durumda k = z olarak tan mlan rsa 8 < j (; ; z)j e jim zj < C jzj jzj < : (C jzj) jzj > (3.) olacak biçimde ya ba¼gl pozitif bir C say s bulmak mümkündür (Alfaro 965). Buna göre jzj > için jzj jzj > jzj olup gerekli düzenlemeler yap l r ve daha sonra her iki taraf n C pozitif kat al n p, kuvveti al n rsa C < C jzj jzj elde edilir. jzj < için de jzj < olup gerekli düzenlemeler yap l r ve her iki taraf n jzj kat al n p, tekrar ayn işlemler uygulan rsa bulunur. C jzj < C jzj jzj 3

39 (3:) ifadesi göz önünde bulundurulursa j (; ; z)j e jim zj < C jzj jzj olup j (; k; )j e jbj < C jkj (3.) elde edilir. Ayn şekilde 8 < (C jf (; ; z)j e Im z jzj) jj ; jzj < < : (C ) jj ; jzj > (3.3) için de bir pozitif C say s bulmak mümkün olup, yukar daki işlemlere benzer işlemler uygulan rsa jf (; ; z)j e Im z < jj C jzj jzj olup jj jf (; k; )j e b C jkj jkj (3.4) elde edilir. Lemma.3.. > y, b = Im k, = Re olmak üzere G (; k; ; y) çekirde¼gi için jg (; k; ; y)j < C () e j yjjbj jj y jj jkj y jkj (3.5) eşitsizli¼gi gerçeklenir. Ispat. v (; k) = ( ) k ep i olarak tan mlans n. 33

40 Ilk olarak ( ; k; ) = oldu¼gunu gösterelim. Buna göre v (; k) ff (; k; ) v ( ; k) (; k; )g (3.6) f (; k; ) = (k) epf i( )g H (k) (3.7) ve v ( ; k) (; k; ) (3.8) = ( ) k ep i k ( ) J (k) olup, (3:7) ve (3:8) ifadeleri toplan p v (;k) kat al n rsa, v (; k) [f (; k; ) f ( ; k) (; k; )] = k ep i [ ( )] H (k) k ( ) J (k) ep fig = k ( i) [ ( )] H (k) ( ) J (k) ep fig elde edilir. Burada (Watson 948) ve H (k) = ei J (k) J (k) i sin ( ) = sin ( ) (Franklin 955) eşitlikleri kullan l rsa; 34

41 ( ; k; ) = k i [ ( )] e i H (k) ( ) J (k) e i ( = k i [ ( )] e i J (k) i sin i [ ( )] J (k) i sin = k ( ) J (k) ( ) J (k) e i ) olarak bulunur. (3:7) eşitli¼gi (::8) ifadesinde yerine yaz l rsa G (; k; ; y) = elde edilir. f (; k) [ (; k; ) f (; k; y) (; k; y) f (; k; )] (3.9) Şimdi (3:) ve (3:3) eşitsizlikleri (3:9) ifadesinde kullan l rsa jg (; k; ; y)j = jf (; k)j j (; k; ) f (; k; y) (; k; y) f (; k; )j jf (; k)j j (; k; ) f (; k; y)j j (; k; y) f (; k; )j A jkj C jj e jbj C jkj y e by jkj jkj y A jkj C y jj e jbjy C jkj e b jkj y jkj = e jbj y C C y jkj jkj y ( e jbj(y ) C y jkj y C jkj ) bulunur. 35

42 f (t) = t t elde edilir. ile tan mlanan f fonksiyonu artan oldu¼gundan, jg (; k; ; y)j Ce jbj y C C y jkj jkj y Lemma 3.3. < y; > ve b < için B (; k; ; y) için jj jb (; k; ; y)j < C () e jbjby y jj jkj y jkj (3.) eşitsizli¼gi gerçeklenir. Ispat. v (; k) = ( ) k ep i olarak tan mlans n. Ilk olarak f (; k; ) = oldu¼gunu gösterelim. Gerekli işlemlerle v (; k) fik (; k; ) v ( ; k) f (; k; )g (3.) ik (; k; ) = = ik k ( ) k ep k ( ) J (k) i J (k) ep i ) ik (; k; ) = k ep i J (k) (3.3) ve v (; k) f (; k; ) = ( ) ( k) ep k i( ) e H (k) = ( ) k ep i i H (k) 36

43 ) v (; k) f (; k; ) = ( ) k ep i H (k) (3.4) ifadeleri elde edilir. (3:3) ve (3:4) ifadeleri toplan p v (;k) kat al n rsa = f (; k) [ik (; k; ) f (; k) f (; k; )] k ep i n o e i J (k) ( ) H (k) bulunur. Ayr ca H (k) = ei J (k) J (k) i sin eşitli¼gi kullan l rsa e i J (k) ( ) e i J (k) J (k) i sin = i sin J (k) ( ) e i J (k) J (k) i sin = ei ( ) J (k) ( ) J (k) = H ( k) i sin olup ) e i J (k) ( ) H (k) = H ( k) sa¼glan r. Buna göre = v (; k) [ik (; k; ) f (; k) f (; k; )] k ep i H ( k) (3:) ifadesi elde edilir. 37

44 (3:) ifadesi (:4:) de yerine yaz l rsa B (; k; ; y) = i f (; k; y) k f (; k) [ik (; k; ) f ( ; k) f (; k; )] f (; k) [ik (; k; y) f ( ; k) f (; k; y) f (; k; )] = f (; k) [f (; k; ) (; k; y) f (; k; y) (; k; )] ) B (; k; ; y) = bulunur. f (; k) [f (; k; ) (; k; y) f (; k; y) (; k; )] (3.5) Şimdi (:3:) ve (:3:3) eşitsizlikleri ve f (; k) = A jkj (Alfaro 965) kullan l rsa jb (; k; ; y)j A jkj fjf (; k; ) (; k; y)j jf (; k; y) (; k; )jg ( jj A jkj C jkj e b C y e jbjy jkj jkj y jj ) C jkj y e by C e jbj jkj y jkj = Ae bjbjy C y jkj y ( e (jbjby) C y jkj y C jkj jkj jj C jkj ) bulunur. f (t) = elde edilir. t t ile tan mlanan f fonksiyonu artan oldu¼gundan jb (; k; ; y)j C () e bjbjy C y jkj y jj C jkj jkj 38

45 3. (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi Şimdi (; k; ) çözümü > için (; k; ) = olsun. n için X n (; k; ) n= n (; k; ) = (; k; ) G (; k; ; y) V (y) n Z (; k; y) dy al n rsa (; k; ) = Z G (; k; ; y) V (y) (; k; y) dy elde edilir. Buradan n = için (3:5) eşitsizli¼gi kullan larak j (; k; )j = Z Z G (; k; ; y) V (y) (; k; y) dy jg (; k; ; y)j jv (y)j j (; k; y)j dy < Z ce jbj e jbjy jkj = ce jbj jkj < ce jbj jkj = Ce jbj jkj Z Z Z y jv (y)j j (; k; y)j dy jkj y e jbjy y jkj y e jbjy y jkj y y jkj y jv (y)j dy jv (y)j j (; k; y)j dy jv (y)j e jbjy c y dy jkj y ve ) j (; k; )j Ce jbj jkj Z y jkj y jv (y)j dy 39

46 eşitsizlikleri elde edilir. P sonlu ve azalmayan bir fonksiyon olmak üzere P () = olarak tan mlans n. (:) koşulundan Z y jv (y)j jkj y dy P (y) = Z y Z y t V (t) dt jkj t t jv (t)j dt < Z y t jv (t)j dt jkj t gerçeklenir. E¼ger j n oldu¼gu kabul edilip (; k; )j < Ce jbj [P ()] n jkj (n )! d dy P (y) = d Z y t V (t) dt dy jkj t = y jkj y V (y) (3..) olmak üzere (3::) eşitsizli¼ginden j n (; k; )j = < Z Z Z G (; k; ; y) V (y) n jg (; k; ; y)j jv (y)j j n ce jbj e jbjy jkj (; k; y) dy (; k; y)j dy y jkj y jv (y)j e jbjy y P n (y) jkj y (n )! dy 4

47 = Ce jbj jkj = Ce jbj jkj = Ce jbj jkj = Ce jbj jkj Z y jv (y)j jkj y Z P n P n (y) (n )! dy (y) d (P (y)) (n )! P n (y) j ; P () = (n)! P n () (n)! bulunur. Böylece tümevar m prensibi gere¼gince 8 n için ) j n (; k; )j Ce jbj P n () jkj (n)! elde edilir. Buna göre X n (; k; ) serisi yak nsak olup n= j (; k; )j X j n (; k; )j < n= = Ae jbj jkj = Ae jbj jkj X A n= (CP ())n (n)! X (CP ()) n n= e Cp () (n)! e jbj jkj gerçeklenir. Teorem 3... jkj! için j (; k; ) (; k; )j = o e jbj sa¼glan r. 4

48 Ispat. X j (; k; ) (; k; )j = (; k; ) n (; k; ) (; k; ) n= < Ae jbj e Cp () jkj olup j (; k; ) (; k; )j < Ae jbj jkj e Cp () elde edilir. Burada jkj! için P () = < Z Z a y jv (y)j jkj y dy < Z a y jv (y)j dy jkj y jv (y)j jkj y dy Z a Z a y jv (y)j dy < y y jv (y)j jkj y dy sa¼glan r ve gerçeklenir. P () < Z a y jv (y)j dy O jkj 4

49 3. f (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi Teorem 3.. (3:8) koşulu alt nda f (; k; ) çözümü vard r ve tektir. Ispat: f (; k; ) = olsun. n için X f n (; k; ) n= Z f n (; k; ) = f (; k; ) B (; k; ; y) V (y) f n (; k; y) dy al n rsa f (; k; ) = Z B (; k; ; y) V (y) f (; k; y) dy elde edilir. Buradan n = için (3:) eşitsizli¼gi kullan larak, jf (; k; )j = Z Z B (; k; ; y) V (y) f (; k; y) dy jb (; k; ; y)j jv (y)j jf (; k; y)j dy < Z ce b e jbjy y jkj y jj C jkj y jv (y)j e by dy jkj y = c e jkj jj jj Z A jkj jj jj jkj e jbjyby y jv (y)j dy jkj y ve jf (; k; )j c e jkj jj A jkj eşitsizlikleri elde edilir. jj Z e jbjyby y jv (y)j dy jkj y 43

50 Q sonlu bir fonksiyon ve b < olmak üzere Q () = Z olarak tan mlans n. (:) koşulu alt nda e (jbjb)y yv (y) jkj y dy jq ()j = = Z Z e (jbjb)y yv (y) jkj y dy e (jbjb)y jv (y)j ydy = Z Z e (jbjb)y jv (y)j jv (y)j ydy < y jkj y dy gerçeklenir. E¼ger jj jkj jf t (; k; )j < Ce b (Q ()) t jkj (t )! (3..) oldu¼gu kabul edilirse ve d dy Q (y) = d dy Z y e (jbjb)s olmak üzere (3::) eşitsizli¼ginden, sv (s) yv (y) ds = e(jbjb)y jkj s jkj y jf t (; k; )j = < Z Z Z B (; k; ; y) V (y) f t jb (; k; ; y)j jv (y)j jf t ce b e jbjy y jkj y (; k; y) dy (; k; y)j dy jj jj jkj jj jkj y jv (y)j Ce by (Q (y)) t jkj y (t )! 44

51 jj jkj = Ce b jkj jj jkj = Ce b jkj jkj = Ce b jkj = Ce b jkj jkj Z Z jj CQ (y) t t! jj CQ () t jbjyby y jv (y)j e jkj y (Q (y)) t dy (t )! jbjyby y jv (y)j e f d [Q (y)]g jkj y elde edilir. Böylece tümevar m yöntemi gere¼gince 8 t için t! j ; lim y! Q (y) = jj jkj ) jf t (; k; )j < Ce b CQ () t jkj t! P elde edilir. Buna göre jj Ce b jkj CQ() t serisi mutlak yak nsak oldu¼gundan Weierstrass M-testinden f n (; k; ) serisi düzgün yak nsakt r. jkj t! n= P Ayr ca n= jf (; k; )j X jf n (; k; )j < n= X jkj Ce b jkj X CQ () t n= jj jkj < Ce b jkj n= jj jkj = Ce b e CQ() jkj t! jj CQ () t t! eşitsizli¼gi sa¼glan r. 45

52 KAYNAKLAR Alfaro, V.D. and Regge, T Potential Scattering. North-Holland Publishing Company, Amsderdam. Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M Spectrum and spectral singularities quadratic pencil of a Schrödinger operators with a general boundary condition, J. Di erential Equations 5, Bateman, H Higher Transcendental Functions Volume II. Mcgraw-Hill Book Company, New York. Pala, Y. 6. Modern Uygulamal Diferensiyel Denklemler. Nobel Yay n Da¼g t m, Ankara. Watson, G.N A Treatise on the Theory of Bessel Functions. The Macmillan Company, New York. 46

53 ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Aylin AYKUT Do¼gum Yeri : Konya Do¼gum Tarihi :..983 Medeni Hali : Bekar Yabanc Dili : Ingilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Selçuklu Anadolu Lisesi () Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (7) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal (Eylül 7-Ekim ) 47

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I 8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRLERİNİN

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRLERİNİN ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRLERİNİN SPEKTRAL ANALİZİ Turhan KÖPRÜBAŞI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARÇALI SÜREKLİ ARGÜMENTLİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Gizem SEYHAN

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARÇALI SÜREKLİ ARGÜMENTLİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Gizem SEYHAN ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARÇALI SÜREKLİ ARGÜMENTLİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER Gizem SEYHAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 28 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav

SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav Dersin Kodu: MAT0 Dönemi: 00-0 Bahar Tarihi: 0.0.0 Saat:. 00 Yer: Am III-IV Süre: 90 Dakika Dersin Sorumlusu Gözetmenler SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav : Prof. Dr. Seril PEHL IVAN : Araş. Gör.

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN. Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN. Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN DÜGÜN YAKINSAKLIĞI Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖET Yüksek Lisans Tezi ÜSTEL

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi

Detaylı

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 20. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 3 May s 2015 - Pazar

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 1 Denklemlerin Köklerini Bulma Giriş Denklemlerin Köklerini Bulma

Detaylı

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİNDE BAZI GENİŞLETMELER.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİNDE BAZI GENİŞLETMELER. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÖZELLİKLERİNDE BAZI GENİŞLETMELER Rabia AKTAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır TEZ ONAYI

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

ANAL IZ III Aras nav Sorular

ANAL IZ III Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR. Recep ŞAHİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR. Recep ŞAHİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR Recep ŞAHİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2 Her hakkı saklıdır TEZ ONAYI Recep ŞAH IN taraf ndan haz

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ

İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ Yüksek Lisans Tezi Tezi Hazırlaуan Kalima MOLDOKULOVA Matematik Anabilim Dalı 2014 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM. Sezgin SUCU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM. Sezgin SUCU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ SOBOLEV UAYLARINDA YAKLAŞIM Sezgin SUCU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 29 Her hakkı saklıdır ÖET Yüksek Lisans Tezi SOBOLEV UAYLARINDA YAKLAŞIM

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL MAT-5501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-5601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL MAT-5502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR Telefon : (0386) 280 4565 Mail : aakbulut@ahievran.edu.tr 2. Doğum

Detaylı

MATEMAT IK-I (SORULAR)

MATEMAT IK-I (SORULAR) Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) 3. + 3 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan

Detaylı

17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A

17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TAR IH I VE SAAT I : 24 MART 2012 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu s nav 25 sorudan oluşmaktad

Detaylı

Erkan TAŞDEMĐR. Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır

Erkan TAŞDEMĐR. Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır POZĐTĐF ĐNTEGRAL OPERATÖRLER Erkan TAŞDEMĐR Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır ZONGULDAK Haziran 0 i ÖZET Yüksek

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ. Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ. Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Hakkı Saklıdır Anne ve Babam a ÖZET Yüksek Lisans

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

Prof. Dr. Hüseyin Şirin Hüseyin 17 Temmuz 1951 tarihinde Azerbaycan da dünyaya geldi yılında Bakü Devlet Üniversitesi, Matematik Bölümü nde Lisa

Prof. Dr. Hüseyin Şirin Hüseyin 17 Temmuz 1951 tarihinde Azerbaycan da dünyaya geldi yılında Bakü Devlet Üniversitesi, Matematik Bölümü nde Lisa Prof. Dr. Prof. Dr. Hüseyin Şirin Hüseyin 17 Temmuz 1951 tarihinde Azerbaycan da dünyaya geldi. 1973 yılında Bakü Devlet Üniversitesi, Matematik Bölümü nde Lisans eğitimini tamamladı. 1977 yılında Moskova

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL

ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL TC Kimlik No / Pasaport No: Doğum Yılı: 1978 Yazışma Adresi : Telefon : 346-2191010/1531 e-posta : Fen Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas/ ntopsakal@cumhuriyet.edu.tr

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE Zafer ŞANLI Danışman: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA-2009 Fen Bilimleri

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR. Sevda SAĞIROĞLU PEKER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR. Sevda SAĞIROĞLU PEKER ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR Sevda SAĞIROĞLU PEKER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini

Detaylı

Uygulamalı Matematik (MATH587) Ders Detayları

Uygulamalı Matematik (MATH587) Ders Detayları Uygulamalı Matematik (MATH587) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Uygulamalı Matematik MATH587 Güz 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i Math 262 Adi

Detaylı

A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg

A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg Genel Topolojiye Giriş I Ara S nav Sorular 30 Kas m 2010 1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. 2 (a) Ikinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. A; e A; A ve @A kümelerini tan mlay

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ Prof. Dr. RAUF AMİROV

ÖZGEÇMİŞ Prof. Dr. RAUF AMİROV TC Kimlik No / Pasaport No: Doğum Yılı: 1956 Yazışma Adresi : ÖZGEÇMİŞ Prof. Dr. RAUF AMİROV CUMHURİYET ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ - 58140 Sivas/Türkiye Telefon : 346-21910101522

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

e e ex α := e α α +1,

e e ex α := e α α +1, s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN SAYISAL ÖZDEĞERLERİ NUMERICAL EIGENVALUES OF STURM-LIOUVILLE OPERATORS

STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN SAYISAL ÖZDEĞERLERİ NUMERICAL EIGENVALUES OF STURM-LIOUVILLE OPERATORS Niğde Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 2, Sayı 2, (2013), 43-49 STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN SAYISAL ÖZDEĞERLERİ Güldem YILDIZ 1*, Bülent YILMAZ 2 Matematik Bölümü, Fen Edebiyat Fakültesi,

Detaylı

yaz labilir. Bu yaz l m da x reel say s na z nin reel k sm ; y reel say s na da z nin sanal k sm denir ve

yaz labilir. Bu yaz l m da x reel say s na z nin reel k sm ; y reel say s na da z nin sanal k sm denir ve Komplex say lar reel say lar n (x; y) s ral ikilileri şeklinde düşünülebilirler. x reel say s s n reel eksen üerindeki (x; 0) noktas şeklinde düşünürsek kompleks say lar kümesinin reel say lar kümesini

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Prof. Dr. Abdullah YILDIZ KİŞİSEL BİLGİLER: Adı Soyadı : Abdullah Yıldız Doğum Yeri : Kayseri/Yahyalı Doğum Tarihi:8.1.1951 ÖĞRENİM DURUMU :

Prof. Dr. Abdullah YILDIZ KİŞİSEL BİLGİLER: Adı Soyadı : Abdullah Yıldız Doğum Yeri : Kayseri/Yahyalı Doğum Tarihi:8.1.1951 ÖĞRENİM DURUMU : Prof. Dr. Abdullah YILDIZ KİŞİSEL BİLGİLER: Adı Soyadı : Abdullah Yıldız Doğum Yeri : Kayseri/Yahyalı Doğum Tarihi:8.1.1951 ÖĞRENİM DURUMU : 1972 Lisans, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi 1982 Yüksek Lisans,

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

DENEY 2. Şekil 1. Çalışma bölümünün şematik olarak görünümü

DENEY 2. Şekil 1. Çalışma bölümünün şematik olarak görünümü Deney-2 /5 DENEY 2 SĐLĐNDĐR ÜZERĐNE ETKĐ EDEN SÜRÜKLEME KUVVETĐNĐN BELĐRLENMESĐ AMAÇ Bu deneyin amacı, silindir üzerindeki statik basınç dağılımını, akışkan tarafından silindir üzerine uygulanan kuvveti

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

INTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS

INTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS Cumhuriyet Ünivertsitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 35, No. (4) ISS: 3-949 Cumhuriyet University Faculty of Sciences Science Journal (CSJ), Vol. 35, No. (4) ISS: 3-949 FRENET DİFERANSİYEL

Detaylı

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL

SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL Uçakların ne kadar paralı yükü, hangi mesafeye taşıyabildikleri ve bu esnada ne kadar yakıt harcadıkları en önemli performans göstergelerinden biridir. Bir uçağın kalkış noktasından,

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

M IKRO IKT ISAT 2. V IZE SINAVI 19 ARALIK 2009

M IKRO IKT ISAT 2. V IZE SINAVI 19 ARALIK 2009 M IKRO IKT ISAT 2. V IZE SINAVI 19 ARALIK 2009 Soru 1: Aşa¼g daki gibi bir üretim fonksiyonu verilsin: = L 1=3 K 2=3 Eme¼gin yat w = ve sermayenin yat r = 1 olsun. a- Firma kadar ç kt üretmek istemektedir.

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

BÜLENT ECEVİT ÜNivERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTE st YÖNETİM KURULU KARARLAR!

BÜLENT ECEVİT ÜNivERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTE st YÖNETİM KURULU KARARLAR! BÜLENT ECEVİT ÜNivERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTE st YÖNETİM KURULU KARARLAR! Tarih: 03.03.2014 Sayı : 2014-11 Toplantıva Katılanlar Toplantıya Katılmayanlar Prof.Dr. Kemal BÜYÜKGÜZEL Prof.Dr. Baki HAZER

Detaylı

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS KOMPLEKS ANALİZ FM-311 3 / 1.YY 2 2+0+0 3 Dersin Dili : TÜRKÇE Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS erdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

Detaylı

Hazine Müsteşarlığıdan (Sigortacılık Genel Müdürlüğü): 29/05/2014

Hazine Müsteşarlığıdan (Sigortacılık Genel Müdürlüğü): 29/05/2014 Hazine Müsteşarlığıdan (Sigortacılık Genel Müdürlüğü): 29/05/2014 DERNEK, VAKIF, SANDIK VE DİĞER KURULUŞLARDAN BİREYSEL EMEKLİLİK SİSTEMİNE AKTARIMLARA İLİŞKİN GENELGE (2014/7) Bu Genelge, 19/7/2008 tarih

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı