1. Mekanizma tekniğinde temel kavramlar, 2. Mekanizmaların serbestlik derecesi 3. Mekanizmaların konum analizi

Transkript

1 1. Mekanizma tekniğinde temel kavramlar, 2. Mekanizmaların serbestlik derecesi 3. Mekanizmaların konum analizi Öğretim Üyesi: Yrd. Doç. Dr. Nurdan Bilgin Ders Kitabı: Mekanizma Tekniği, Prof. Dr. Eres Söylemez Sunum Prof. Dr. Eres Söylemez in izniyle yukarıda linki verilen notlardan derlenmiştir. Daha geniş bilgi ve animasyonlar için ilgili sayfayı ziyaret etmeniz önerilmektedir.

2 Mekanizma Tekniği Eğitiminde Amaç Makinalarda bulunan cisimlerin hareketlerinin incelenmesinde kullanılabilecek gerekli temel kuralları göstermek ve bu kurallardan faydalanarak makinaların gerek hareket analizi ve gerek hareket sentezinin yapılabilmesi için gereken bilgileri ortaya koymaktır. Mekanizma Çalışmaları Tipin Belirlenmesi Analiz, (Mekanizma Biliniyor) Sentez, (Mekanizma Bilinmiyor) Kinematik Analiz Kuvvet Analizi İşlevsel Sentez, (hangisini tercih etmeliyiz) Konum İvme Hız Statik Dinamik Kinematik Sentez, (Boyutlarla oynarız)

3 Mekanizma tekniğinde temel kavramlar Mekanizma, kuvvet ve hareket iletimi için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla birleştirildiği sistem olarak tanımlanabilir. Kinematik Eleman, Kinematik Çift Mekanizmaların en önemli özelliğinin sistemde bulunan rijit cisimler olmayıp, bu cisimleri birleştiren mafsal veya kinematik çift olarak tanımlanan bağlantılardır. Mafsallarda oluşan hareket serbestlikleri ve bu hareket serbestliklerinden kaynaklanan cisimlerin birbirlerine göre bağıl hareketleri, bir mekanizmayı diğerinden ayıran özelliklerdir. Kinematik eleman, bir rijit cismi diğer bir rijit cisme, birbirlerine göre bağıl hareket yapabilecek şekilde bağlamak için kullanılan rijit cisim kısmına denir. Bağlanan cisimler arasında mutlaka bağıl hareket olması şarttır; ve iki cisim arasında olası bağıl hareket, belirli yönlerde sınırlanacaktır. Kinematik çift veya mafsal, iki rijit cisim üzerinde bulunan kinematik elemanların yan yana getirilmesinden oluşan bağlantıdır. Bir mekanizmada kullanılan kinematik çift çeşitleri ve bu kinematik çiftlerin mekanizma içinde dağılımı, mekanizmanın temel özelliklerini tanımlar. Uzuv-Kinematik Zincir Bir rijit cisim üzerinde kinematik çift oluşturan en az iki kinematik eleman var ise, bu cisme uzuv denir. Uzuv ikiden fazla kinematik eleman ihtiva edebilir (fakat iki kinematik elemandan az olamaz). Uzuvlar iki, üç, dört kinematik elemanlı olarak kinematik eleman sayısına göre sınıflandırılabilir.

4 Mekanizma Tekniği Dersi Kapsamı ve Yapılan kabuller Mekanizmalarda Parametreler 1.) Sabit Parametreler (boyutlar) 2.) Değişken Parametreler (konum değişkenleri, mafsal değişkenleri) Bu ders kapsamında tüm uzuv ve mafsallar rijit kabul edilecektir. Mekanizmanın Tipinin Belirlenmesi: Bilinen bir mekanizmanın topolojik karakterinin belirlenmesidir. Topolojik karakter mekanizmanın boyutlarına bağlı değildir, sadece uzuv ve mafsal sayısı gibi mekanizmayı belirleyen özellikleri içerir. Kinematik Sentez: Verilen hareketin gerçekleştirilmesi için boyutların belirlenmesidir.

5 Mekanizma Tekniği Dersinin İçeriği Boyutlar: a 1,a 2,a 3,a 4 Değişken Parametreler: θ 12, θ 13, θ 14 etc Konum Analizi: Boyutlar ve değişken parametrelerden gerekli olan kadarı verilir diğerleri bulunur. Hız Analiz: Boyutlar ve değişken parametrelerden gerekli olan kadarı ve hızları verilir diğerleri bulunur. İvme Analizi: Boyutlar ve değişken parametrelerden gerekli olan kadarı, hızları ve ivmeleri verilir diğerleri bulunur. θ 13 θ 12 θ 14

6 Kinematik çiftlerin sınıflandırılması: Kinematik çiftler çok çeşitli şekilde sınıflandırılabilir. Burada temel ve en çok kullanılan sınıflandırmalar kullanılacaktır. Kapalı kinematik çiftlerde, iki kinematik eleman arasında temas, mekanizmanın tüm hareketi süresince mevcuttur. Yandaki şekilde bir kapalı kinematik çift görülmektedir. Açık kinematik çiftlerde, kinematik elemanlar hareketin tümü boyunca temas etmeyebilirler ve bu temas kontrol edilebilir. Aşağıda Genova Mekanizması olarak adlandırılan bir kesikli hareket mekanizması görülmektedir.

7 Kinematik çiftlerin sınıflandırılması: Kapalı kinematik çiftlerde eğer temas bir kuvvetten dolayı ise, bu tür kinematik çiftler kuvvet kapalı olarak adlandırılacaktır. Kinematik çiftlerin geometrik şekillerinden dolayı aralarında devamlı temas sağlanıyor ise, bu tür kinematik çiftler şekil kapalıdır. Şekil kapalı kinematik çiftlerde bir kinematik eleman diğerini sarar. Kapalı kinematik çiftler ayrıca temas şekline göre basit veya yüksek kinematik çift olarak sınıflandırılabilir. Basit kinematik çiftlerde kinematik elemanlar bir yüzey boyunca temas ederler. Bu durumda temas gerilimleri daha düşük olacaktır. Şekilde bir basit kinematik çift görülmektedir. Yüksek kinematik çiftlerde ise temas, geometrik olarak bir nokta veya bir çizgi üzerindedir. Yukarıda kuvvet ve şekil kapalı kinematik çiftlere verilen iki örnek de birer yüksek kinematik çifttir. Şekil kapalı kinematik çiftde çizgisel bir temas sağlanmaktadır.

8 Serbestlik Derecesi Uzay serbestlik derecesi, o uzayda bulunan bir cismin konumunu belirlemek için gerekli olan bağımsız parametre sayısıdır. Üç boyutlu Uzay Serbestlik Derecesi λ =6 dır: Şu şekilde belirlenir: cismin üzerinde aynı doğru üzerinde bulunmayan her hangi üç noktanın (P 1, P 2, P 3 ) konumu belirlendiğinde, rijidite kavramından diğer noktaların konumu belirlenmiş olacaktır. Bu üç noktanın her birinin konumu üç parametre ile belirlenir (P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P 2 (x 2, y 2, z 2 ) ve P 3 (x 3, y 3, z 3 )). Bu durumda üç noktanın ve dolayısı ile cismin konumunu belirlemek için dokuz parametre gerekli görülür ise de, cismi rijit kabul ettiğimizden bu üç nokta arasında uzaklıklar sabit olacaktır. Bu sabit uzaklık şartı dokuz parametre arasındaki şu üç ilişkiyi tanımlayacaktır: Dokuz parametre (x i, y i, z i : i =1,2,3) ve bu parametreler arasında üç denklem bulunmaktadır. Bu durumda bu parametreler arasından sadece altısını tanımladığımızda üç noktanın ve dolayısı ile cismin konumu belirlenmiş olacaktır. Bağımsız parametre sayısı altı olduğundan genel uzayda serbestlik derecesi altıdır. Düzlemde Uzay Serbestlik Derecesi λ =3 dür:

9 Bir kinematik çiftin (mafsalın) serbestlik derecesi Bir kinematik çiftin (mafsalın) serbestlik derecesi, o mafsalla birleştirilen cisimlerin birbirlerine göre bağıl konumlarını belirlemek için kullanılması gerekli bağımsız parametre sayısıdır. Kinematik çiftlerin serbestlik dereceleri ve bu serbestliklerin müsaade ettiği hareketin yönü ve tipi (dönme veya öteleme), kinematik çiftleri birbirinden ayıran en önemli özelliktir ve bu özellikler kinematik çiftlerin tiplerini belirlemekte kullanılır.

10

11 Uzuv-Kinematik Zincir Bir rijit cisim üzerinde kinematik çift oluşturan en az iki kinematik eleman var ise, bu cisme uzuv denir. Uzuv ikiden fazla kinematik eleman ihtiva edebilir (fakat iki kinematik elemandan az olamaz). Uzuvlar iki, üç, dört kinematik elemanlı olarak kinematik eleman sayısına göre sınıflandırılabilir. Birbirlerine kinematik çiftlerle bağlanmış uzuvlar bir zincir oluşturacaktır. Bu zincire Kinematik Zincir denir. Eğer kullanılan kinematik çiftlerin hepsi kapalı kinematik çift ise, bu zincir "Kapalı kinematik zincir" dir, kinematik çiftlerden birisi açık ise "Açık kinematik zincir" söz konusudur.

12 Kinematik Boyut Bir mekanizmada bulunan uzuvların kinematik boyutu o uzvun üzerinde bulunan kinematik elemanların birbirlerine göre konumlarını belirleyen boyutlardır ve bu boyutlar verildiğinde kinematik açıdan uzuv boyutları tanımlanmıştır. Bu boyutlar genellikle uzunluk ise de iki doğru arasında kalan bir açı da olabilir.

13 Uzuv-Kinematik Zincir Kinematik zincir gerçek mekanizma yapısının bir modelidir. Bu modelde uzuv boyutları, yapısı ve şekli, mafsal yapısı ve şekli önemli değildir (tabiki mafsalın serbestlik derecesi önemlidir). Genellikle bu zincir modelinde uzuvlar bir doğru, bir üçgen veya dörtgen gibi basit şekillerle gösterilirler. Bu üçgen veya dörtgenin her bir köşesinde bir kinematik eleman bir başka uzuvda bulunan bir kinematik elemana bağlıdır. Bazı mafsal noktalarında ikiden fazla uzuv birbirine bağlı olabilir. Bu durumda o mafsal ile birleştirilen uzuv sayısından bir eksik sayı, mafsal derecesi olarak alınır ve o noktada mafsal derecesi kadar mafsal olduğu kabul edilir. Mafsal derecesi ile mafsal serbestlik derecesi iki farklı kavramdır.

14 Uzuv-Kinematik Zincir Kinematik zinciri oluşturan tüm uzuvların hareketi aynı düzlemde veya birbirlerine paralel düzlemlerde ise, bu kinematik zincirler "Düzlemsel kinematik zincir" dir. Uzuvların üzerinde bulunan noktaların tümü aynı merkezli küreler üzerinde hareket ediyor ise, "Küresel kinematik zincir" dir. En genel zincir ise "Uzaysal kinematik zincir" dir. Kinematik zincirde bulunan bir uzvun sabitleştirilmesi ile elde edilen sistem mekanizmadır. Bu tanım mekanizma için önceden vermiş olduğumuz (mekanizma, kuvvet ve hareket için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla birleştirildiği sistem) tanımından farklı gibi görünür ise de, iki tanım da aynıdır.

15 Mekanizmaların Serbestlik Derecesi Bir mekanizmanın serbestlik derecesi, bir mekanizmada bulunan tüm uzuvların konumunu belirlemek için gerekli olan parametre sayısıdır. Örnek olarak dört döner mafsalla bağlı dört uzuvdan oluşan ve genellikle dört-çubuk mekanizması olarak adlandırılan mekanizmayı ele alalım. açısı değeri verildiğinde her bir uzuv üzerinde iki noktanın konumu (A 0 B 0 (1 uzvu), A 0 A (2 uzvu), AB (3 uzvu) ve BB 0 (4 uzvu)) bulunabildiğine göre, bu mekanizmada bulunan tüm uzuvların konumunu belirlemek için sadece bir parametre gerekmektedir. Öyle ise, dört-çubuk mekanizmasının serbestlik derecesi 1' dir. İkinci bir örnek olarak yanda gösterilen beş döner mafsallı beş uzuvlu mekanizmayı ele alalım. tanımladığımızda A 0 AC 0 üçgeni ile ilgili gerekli bilgi elde edilmiş olur ise de, kalan kısım ABCC 0 bir dörtgen olup bu kısmın belirlenebilmesi için bir yeni parametre ( açısı) gerekecektir. Bu durumda beş çubuk mekanizmasının tüm uzuvlarının konumunu belirlemek için gereken parametre sayısı 2 olduğundan, serbestlik derecesi 2' dir.

16 Mekanizmaların Serbestlik Derecesi Mekanizmaların serbestlik derecesi uzuv sayısına, mafsal sayısına ve mafsal serbestlik derecesine bağlıdır, uzuv boyutuna bağlı değildir. Öyle ise, mekanizma serbestlik derecesi ile mekanizmada bulunan mafsallların serbestlik derecesi, mafsal sayısı, uzuv sayısı arasında bir bağıntı bulmayı hedefleyebiliriz. Matematiksel olarak olaya bakmak için aşağıda verilmiş olan parametreleri tanımlayalım: =Uzay Serbestlik Derecesi = 3 düzlemsel uzaylar için = 6 genel uzay için l= Mekanizmada uzuv sayısı (sabit uzuv dahil) j = Mekanizmada mafsal sayısı f i = i mafsalının serbestlik derecesi F = Mekanizma serbestlik derecesi

17 Mekanizmaların Serbestlik Derecesi Mekanizmaların serbestlik derecesi uzuv sayısına, mafsal sayısına ve mafsal serbestlik derecesine bağlıdır, uzuv boyutuna bağlı değildir. Öyle ise, mekanizma serbestlik derecesi ile mekanizmada bulunan mafsallların serbestlik derecesi, mafsal sayısı, uzuv sayısı arasında bir bağıntı bulmayı hedefleyebiliriz. Matematiksel olarak olaya bakmak için aşağıda verilmiş olan parametreleri tanımlayalım: =Uzay Serbestlik Derecesi = 3 düzlemsel uzaylar için = 6 genel uzay için l= Mekanizmada uzuv sayısı (sabit uzuv dahil) j = Mekanizmada mafsal sayısı f i = i mafsalının serbestlik derecesi F = Mekanizma serbestlik derecesi Mekanizma serbestlik derecesi denklemi: F = λ l j 1 + j i=1 f i

18

19

20

21 Serbestlik Derecesi Denklemi Mekanizma Örnekleri Beko Yükleyici Fotoğraf günümüzde her inşaat alanında gördüğümüz beko- yükleyiciyi göstermektedir. Ön kaldırıcı ve arka kepçe kanal açma işlerinde, ön yükleyici ise toprak kazmada, kaldırıp bir kamyona koymada kullanılabilir. Ayrıca kırıcı ve tomruk kepçesi gibi farklı ekipmanlar da bu makinaya takılabilir.

22 Serbestlik Derecesi Denklemi Mekanizma Örnekleri Beko Yükleyici Ön yükleyicinin montaj resmi aşağıda görüldüğü gibidir. Ön yükleyici mekanizmasının şematik diyagramı.

23 Serbestlik Derecesi Denklemi Mekanizma Örnekleri Beko Yükleyici Mekanizmada: Uzuv sayısı= l= 9 Mafsal sayısı= j= 11 (9 döner mafsal 2 kayar mafsal) Mafsal serbestlik dereceleri= f i = 1 (tüm mafsallar için) Uzay serbestlik derecesi =λ =3 (düzlemsel hareket) Mekanizma serbestlik derecesi: F= 3 (9-11-1) + 11=2 F = 2 İki serbestlik, iki piston-silindir arasında bulunan öteleme hareketleridir. Mafsal olarak her bir piston-silindir arasinda öteleme hareketi ile birlikte dönme hareketi de mümkün ise de düzlemsel bir mekanizmada silindirlerde bu dönme hareketi gerçeklesemediginden piston silindir arasinda kayar mafsal oldugu kabul edilmelidir.

24 Kinematik Açıdan Hareketi Belirli Mekanizmalar "Kinematik açıdan hareketi belirli mekanizma" iki değişik şekilde olabilir: 1.Serbestlik derecesi bir olan (F = 1) mekanizmalar. 2.Serbestlik derecesi birden fazla olan, ancak kontrol veya tahrik edilen parameter sayısının mekanizma serbestlik derecesine eşit olan mekanizmalar. Her iki tanımdada belirlenmiş olan parametre sayısı serbestlik derecesine eşit olduğundan, bağımsız parametre değerleri belirlendiği takdirde, mekanizmada bulunan uzuvların konumu bulunabilir. Kinematik açıdan hareketi belirsiz mekanizmalar" ise, belirlenmiş olan parametre sayısının mekanizma serbestlik derecesinden az olduğu durumdur. Bu durumda mekanizmada bulunan uzuvların hareketi sadece kinematik olarak değil, etki eden dış kuvvetler ve sistem dinamiği ile belirlenecektir. Bu tür mekanizmalar uygun tasarlandığı takdirde kinematik belirli bir mekanizma gibi hareketi incelenebilir. Buna en tipik örnek taşıtlarda kullanılan diferansiyel sistemidir. Virajlarda iki tahrik tekerinin farklı hızlarda dönmesi için sistem iki serbestlik derecelidir. İki tekere etki eden moment değerine göre mekanizmanın hareketi belirlenecektir.

25 Yukarıda, Kinematik açıdan hareketi belirsiz mekanizmalar için iki örnek görülmektedir. Genellikle bu mekanizmalarda serbestliklerden birisi mekanizmanın motor ile tahrik edilmesidir. Diğer serbestlik ise bir yay ve mandal mekanizması ile kontrol edilir ve mekanizmaya etki eden kuvvet ve momentler belirli bir değerin üstünde olduğunda mekanizma çıkış uzvu sabit kalacak şekilde hareket eder. Paketleme makinalarında ve preslerde bu tür mekanizmalar çoğunlukla kullanılır.

26 Kinematik Yer Değişim Kinematik yer değişim (kinematik mübadele, kinematik inversiyon), mekanizmayı oluşturan kinematik zincir içinde farklı uzuvların sabit olmasını sağlamak veya sabit olduğunu varsayarak diğer uzuvların bu sabit olduğu varsayılan uzva göre bağıl hareketlerini incelemek için yapılan işlemdir. Bu yöntem bağıl hareket incelemede çok yararlı olduğu gibi (bu yöntem uygulanarak mekanizmaların analizi ve sentezi yapılabilmektedir), aynı zincirden farklı mekanizmaların türetilmesi içinde kullanılan yararlı bir yöntemdir.

27 Şekiller, üç döner ve bir kayar mafsala sahip düzlemsel dört uzuvlu bir zincirden kinematik yer değişim ile elde edilebilecek dört farklı mekanizmayı göstermektedir.

28 Mekanizmaların Sınıflandırılması Mekanizma tekniği konularını bir bilim dalı olarak ele alan Reuleaux'ya göre mekanizmalar 6 temel gurupta sınıflandırılabilirler Vida Mekanizmaları Çark mekanizmaları (dişli çarklar, sürtünme çarkları) Kam mekanizmaları Kol mekanizmaları Kayış-kasnak mekanizmaları Cırcır veya mandal mekanizmaları (Malta Haçı mekanizması dahil) Günümüzde ise mekanizmalar topolojik özelliklerine göre sınıflandırılırlar: Mekanizmanın çalıştığı uzay serbestlik derecesi (düzlemsel, küresel, genel uzay) Mekanizma serbestlik derecesi (genel serbestlik derecesine göre veya kritik boyutlara göre) Mekanizma uzuv sayısı Mekanizmada mafsal sayısı Mekanizmada bulunan mafsal tipleri Bir mekanizmanın tanımı için yukarıda verilen tüm parametreler geçerlidir ve mekanizmaları sınıflandırmak için kullanılabilir.

29 Yrd. Doç. Dr. Nurdan Bilgin Mekanizmaların Kinematik Analizi

30 Giriş Mekanizma dersinin önemli bir bölümü, mekanizmaların kinematik özelliklerinin bulunmasına ayrılmıştır. Kinematik özellikler olarak cisimlerin ve noktaların yer değişimi, noktaların hız ve ivmeleri, cisimlerin açısal hız ve ivmeleri ele alınmaktadır. Bugün ki dersimiz, mekanizmaların konum analizinin yapılmasıdır.

31 Tanımlar Hareketi incelemeden önce belirli terimleri tanımlamamız gerekmektedir: Konum: Bir rijit cismin (uzvun) veya cisim üzerinde bir noktanın verilmiş olan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir. Yörünge: Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların referans düzleminde iz düşümüdür. Yer Değişim: Referans eksenlerine göre, bir rijit cismin veya üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur (metre veya milimetre olarak ölçülür)

32 Mekanizmalarda Konum Analizi Mekanizmalarda konum analizi mekanizma serbestlik derecesine eşit sayıda parametre değeri tanımlandığında: a) uzuvların veya uzuv üzerinde bir noktanın sabit veya bir hareketli uzuv üzerinde bulunan referans eksene göre bağıl konumunun bulunmasını, b) bir uzuv üzerindeki bir noktanın başka bir uzuv üzerinde bulunduğu konumun bulunmasını, c) bağımsız parametre değerlerinin değişimine göre bir uzvun açısının değişimi veya bir noktanın diğer uzuv üzerinde çizdiği yörüngenin bulunmasını içerir. Serbestlik derecesi tanımında belirtilmiş olduğu gibi, uzuvların konumlarını belirlemek için serbestlik derecesi kadar parametrenin değeri önceden bilinmelidir. Genellikle bu parametreler bir uzvun konumunu belirlemek için kullanılan mafsal serbestlik dereceleridir. Bu mafsallara tahrik mafsalları diyeceğiz. Genellikle bu tahrik mafsalları bir hareketli uzvu sabit uzva bağladıkları için bu durumda tahrik uzvu terimi de kullanılabilir.

33 Parçacık Kinematiği x = rcosθ, y = rsinθ r = xi + yj r = x 2 + y 2 θ = tan 1 r = r θ y x Bir noktanın konumunu belirlemek için kompleks sayılarda kullanılabilir. Kompleks sayılar vektör olmamalarına rağmen (örneğin vektörler için tanımlanmış olan vektörel çarpım veya skaler çarpım kavramları kompleks sayılar kullanıldığında bir anlam taşımaz), bir noktanın konumunu belirlemek için rahatlıkla kullanılabilir. Bunun için dik koordinat eksenlerinden x eksenini gerçek, y eksenini ise sanal eksen olarak tanımlamamız gerekir. Bu şekilde elde edilen diyagrama Gauss-Argand diagramı denir. Bu tanımla P noktasının konumu z kompleks sayısı ile:

34 Kompleks Sayılar Bir noktanın konumunu belirlemek için kompleks sayılarda kullanılabilir. Kompleks sayılar vektör olmamalarına rağmen (örneğin vektörler için tanımlanmış olan vektörel çarpım veya skaler çarpım kavramları kompleks sayılar kullanıldığında bir anlam taşımaz), bir noktanın konumunu belirlemek için rahatlıkla kullanılabilir. Bunun için dik koordinat eksenlerinden x eksenini gerçek, y eksenini ise sanal eksen olarak tanımlamamız gerekir. Bu şekilde elde edilen diyagrama Gauss- Argand diagramı denir. Bu tanımla P noktasının konumu z kompleks sayısı ile: z = x + yi Im(z) y z P Gerçek sayılar, niceliğin büyüklüğünü ifade etmek için kullanılır. θ x Re(z)

35 Gerçek bir sayı (-1) ile çarpıldığında 180 derece döner.

36 a ve b gibi iki reel sayı düşünelim.. Eğer b üzerine 90 o (SYT) dönme işlemi için i operatörü etki eder ise, ib elde edilir ib sanal sayıdır, a + i b toplamı kompleks sayıdır, ve P noktasının uzaydaki konumunu ifade etmektedir. Oluşan düzleme Gauss-Argand, Cauchy düzlemi veya kompleks sayı düzlemi denir. r = a 2 + b 2 kompleks sayının modülüdür ve büyüklüğünü gösterir. OP ile reel eksen arasında kalan ve daima saat yelkovanı yönüne ters ölçülen açı ise θ kompleks sayının argümanıdır.

37 Kompleks Sayıların Özellikleri a. İki kompleks sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı eşit ise veya modül ve argümanları aynı ise birbirlerine eşittir. b. Kompleks sayılar vektörel toplama kuralına uyarlar. İki kompleks sayının toplamı reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı toplamı ile elde edilir. Eğer c 1 = a 1 + ib 1 ve c 2 = a 2 + ib 2 iki kompleks sayı ise, toplam z: z = c 1 + c 2 = (a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 ) dir. c. Kompleks sayıların çarpımı ve bölümü temel cebir kurallarına göre yapılır. Burada tek fark i 2 =-1 olmasıdır.

38 Komplek sayıların şekildeki gibi gösterimi, ortogonal gösterimdir. Şekilden: a = rcosθ, b = rsinθ olduğu görüldüğünden: c = r(cosθ + isinθ) veya Euler denklemi: e iθ = cosθ + isinθ kullanıldığında, c kompleks sayısı: c = re iθ olarak yazılabilir. Bu yazılım kompleks sayının üstel gösterimi veya polar gösterimidir.

39 Bir kompleks sayının kompleks eşleniğinde reel ve sanal kısımlarının şiddeti kompleks sayı ile aynıdır, ancak kompleks eşleniğin sanal kısmı kompleks sayı ile ters işaretlidir. Yani c = a + ib ise, bu kompleks sayının kompleks eşleniği c = a ib dir. Polar gösterimde ise c = re iθ ise kompleks eşleniği c = re iθ Bir kompleks sayının kompleks eşleniği reel eksene göre kompleks sayının ayna görüntüsüdür. Kompleks eşlenik kullanılarak: r 2 = a + ib a ib = a 2 + b 2

40 Bir Rijit Cismin Kinematiği Rijit cisim bir varsayımdır. Bu varsayım bir cismin hareketini incelememiz sırasında bize önemli kolaylıklar sağlayacaktır. Bunlar: 1. Bir rijit cismin düzlemsel hareketi o cisim üzerinde bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde belirlenmiştir 2. Rijit cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların doğru yönünde hız bileşenleri eşit olmalıdır. 3. Rijit cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin fiziksel boyutları önemli değildir.

41 Çakışan Noktalar Şimdi B noktasını göz önüne alalım. Dört nokta (B 1, B 2, B 3 ve B 4 ), o an için çakışmaktadır. B noktası 3 ve 4 uzuvları arasında bulunan döner mafsalın eksen doğrusu üzerinde olduğundan B 3 ve B 4 noktaları her konum için çakışacaktır. Buna daima çakışan noktalar diyeceğiz. Buna karşın B 2 ve B 1 noktaları sadece inceleme anında diğer iki nokta ile çakışacak, mekanizmanın başka bir konumunda B 3 ve B 4 hala çakışık iken B 2 ve B 1 in konumları farklı olacaklardır. Bu özellikte olan noktalara anlık çakışan noktalar diyeceğiz.

42 Mekanizmalarda Vektör Devreleri Mekanizmalarda bulunan uzuvlar ile herhangi bir düzlemsel hareket yapan cisimler arasında en önemli fark, mekanizma uzuvları hareketlerini sınırlayan ve onları diğer uzuvlara bağlayan mafsallardan dolayı, girdi parametreleri değerlerine göre sınırlandırılmış bir hareket halindedirler. Birbirlerine mafsallar ile bağlı uzuvlar kapalı çokgenler oluşturacaklardır. Bu çokgenlerin her birine devre diyeceğiz. Hareket analizinde temel yaklaşımımızın başlangıç noktası bu devreleri matematiksel olarak ifade etmek olacaktır. Şekilden görüleceği gibi, dört-çubuk mekanizmasında bir kapalı devre vardır ve bu kapalı devreyi gösteren bir vektör denklemi elde edilmiştir. Bu denklem bize oluşan zincirin kapalı bir zincir olduğunu gösterir (daima çakışan noktalar). A 0 A + AB = A 0 B 0 + B 0 Bu denkleme devre kapalılık denklemi veya vektör devre denklemi diyeceğiz. Bu denklem bir vektör denklemi olup denklemdeki değişkenler mutlaka mekanizmadaki mafsalların serbestlik dereceleri ile ilişkilidir. Bir vektör denkleminden iki skaler denklem elde edileceğinden, iki parametre değeri bu denklemler kullanılarak çözülebilir. Devre kapalılık denklemimizde üç parametre (θ 12, θ 13 veθ 14 ) olduğuna göre, eğer bu parametrelerden birisi tanımlanmış ise (θ 12 ) diğer iki parametre (θ 13 ve θ 14 ) bu vektör devre denkleminden çözülebilmelidir. Tanımlanması gereken parametre sayısı mekanizmanın serbestlik derecesine eşittir. Dikkat edilecek husus, bu parametreler arasında ilişki basit lineer bir ilişki olmayıp trigonemetrik fonksiyonları içeren karmaşık bir ilişkidir. Bu parametrelere konum değişkenleri diyeceğiz.

43

44

45

46 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi Kompleks sayılar, devre kapalılık denklemlerinin yazılmasında oldukça kullanılışlıdır. Bu nedenle, aynı kolaylıkla mekanizmalarda konum parametrelerinin çözümü için kullanılabilmektedirler. Bu yöntemi, dört-çubuk mekanizması üzerinde ele alacağız. Yukarıdaki şekilde görülen mekanizmanın devre kapalılık denklemi vektör formunda aşağıdaki gibi yazılabilir: A 0 A + AB = A 0 B 0 + B 0 Her bir uzva bağlı konum vektörünün uzunluğu a j, pozitif x ekseni ile yaptığı açı θ ij dersek, kompleks sayı olarak bu konum vektörü a j e iθ ij olarak gösterilebilir. Bu durumda devre kapalılık denklemi kompleks sayılar ile: a 2 e iθ 12 + a 3 e iθ 13 = a 1 + a 4 e iθ 14 (1)

47 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi Gerçek devre ile görüntüde oluşan devrede vektörlerin boyutları aynı görülecek ancak gerçek mekanizmada saat yelkovanına ters yönde alınan açılar, ayna görüntüde saat yelkovanı yönünde olacaklardır. Bu görüntüde oluşan devre için, devre kapalılık denklemini yazdığımızda: a 2 e iθ 12 + a 3 e iθ 13 = a 1 + a 4 e iθ 14 (2) Kompleks sayı literatüründe elde edilen bu ikinci denkleme devre kapalılık denkleminin sanal eşleniği denmektedir. Bu denklemin (1 denklemi) geçerli olduğu her durumda bu sanal eşlenikde (2 denklemi) geçerlidir.

48 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi Amacımız, bilinmeyen konum parametrelerini bilinenler cinsinden ifade etmek, Örneğimizde θ 12 nin verildiğini θ 13 ve θ 14 ün bulunması gerektiğini hatırlatalım. Önce θ 14 ü bulalım. İlk yapılacak iş θ 13 ü yok etmek. Bunun için bu değişkeni denklemin sol tarafında yalnız bırakalım. a 3 e iθ 13 = a 1 + a 4 e iθ 14 a 2 e iθ 12 (3) a 3 e iθ 13 = a 1 + a 4 e iθ 14 a 2 e iθ 12(4) (3) ve (4) denklemlerini taraf tarafa çarparsak a 3 2 e i θ 13 θ 13 = a 1 + a 4 e iθ 14 a 2 e iθ 12 a 1 + a 4 e iθ 14 a 2 e iθ 12 (5) e i θ 13 θ 13 = e i θ ij θ ij = e 0 = 1 Olduğu bilindiğine göre, çarpım sonucu aşağıdaki gibi elde edilir. a 3 2 = a a a a 1 a 4 e iθ 14 + e iθ 14 a 1 a 2 e iθ 12 + e iθ 12 a 2 a 4 e i θ 14 θ 12 + e i θ 14 θ 12 (6) Euler denklemine göre cos θ = e iθ 14 + e iθ 14 2 olacağından, (6) numaralı denklem: a 2 3 = a a a a 1 a 4 cos θ 14 2a 1 a 2 cos θ 12 2a 2 a 4 cos θ 14 θ 12 Olur, gerekli düzenlemeler ile K 1 cos θ 14 K 2 cos θ 12 + K 3 = cos θ 14 θ 12 (7)

49 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi Bu denklemde: K 1 = a 1, K a 2 = a 1 ve K 2 a 3 = a a 2 2 a a 4 4 2a 2 a 4 dir. (7) numaralı denkleme, bunu ilk tanımlayan kişiye atfen "Freudenstein denklemi" denmektedir. Bu denklem dört-çubuk mekanizmalarının sentezinde önemli rol oynar. θ 14 ve θ 12 değişkenleri arasında ilişki bu denklem ile belirlidir. Ancak verilen bir θ 12 değerine karşı gelen θ 14 açısını (7) numaralı denklemden kolayca belirlemek mevcut durumu ile mümkün değildir. Freudenstein denklemini K 1 cos θ 14 K 2 cos θ 12 + K 3 = cos θ 14 cos θ 12 + sin θ 14 sin θ 12 (8) Şeklinde yazabiliriz.

50 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi Trigonometrik eşitliklerinden yararlanarak cos θ 14 ve sin θ 14 terimlerini t = tan isek θ 14 2 fonksiyonu ile gösterir sin θ 14 = 2 tan θ 14 2 = 2t 1 + tan 2 θ t 2 2 cos θ 14 = 1 θ tan = 1 t2 1 + tan 2 θ t 2 2 Freudenstein denklemi: At 2 + Bt + C = 0 (9) olarak yazılabilir. Bu denklemde: A = cos θ 12 1 K 2 + K 3 K 1 B = 2 sin θ 12 C = cos θ K 2 + K 3 + K 1 Not: bir açının yarısını kullanarak açının tüm trigonemetrik fonksiyonlarını sadece yarım açının tanjant fonksiyonu ile ifade edilmesi yarım tanjant yöntemi olarak bilinir

51 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi Dikkat edilir ise, θ 12 bağımsız parametre değeri ve uzuv boyutları biliniyor ise A,B ve C parametre değerlerini hesaplayabiliriz. (9) numaralı denklem t = θ tan 14 2 e göre ikinci dereceden bir denklemdir ve çözümü: θ t = tan 14 2 = B ± B2 4AC 2A olacaktır. Bilinmeyen θ 14 açısı bu durumda θ 14 = 2 tan 1 B ± B2 4AC (10) 2A olur. (10) denklemi diskriminantın artı veya eksi işaret almasına göre iki değişik θ 14 değeri verecektir. Bu mekanizmanın iki farklı şekilde monte edilmesi ile ilgilidir. Son olarak, bulunan θ 14 değeri ve başlangıçta bilinen θ 12 değeri kullanılarak θ 13 de bulunur.