2014/2015 Bahar Yarıyılı

Transkript

1 0216 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 2014/2015 Bahar Yarıyılı BÖLÜM-I Yrd. Doç. Dr. Adil KOÇ 1

2 1. GİRİŞ 1.1. Tanımlar ve Akışkanların Bazı Özellikleri Akışkanlar Mekaniği, akışkanların durgun haldeki (akışkan statiği) ve hareket halindeki (akışkan dinamiği) davranışları ve yine akışkanların diğer akışkanlar ve katılar ile oluşturdukları sınırlardaki etkileşimleri ile ilgilenen bilim dalı olarak tanımlanır. Aynı zamanda, akışkanlar mekaniği, akışkan hareketlerini ve bu hareketleri ortaya çıkaran ya da bu hareketler sonucunda ortaya çıkan hız, basınç, kuvvet, enerji gibi fiziksel etkileri içeren momentum iletimi ve mekanik enerji denkliklerini inceler. 1. Sıvıların Mekaniği veya Hidrodinamik (hidrolik, sıvıların boru ve kanallarda akışı), 2. Gazların Mekaniği veya Aerodinamik (Gaz dinamiği, gazların yüksek hızla lüleden akışı) olmak üzere, akışkanlar mekaniğinin iki ana kolu vardır. Akışkan, günlük hayatta sıvı ya da gaz adı altında bildiğimiz bütün maddeler akışkandır. Katı ve sıvı arasındaki fark, maddelerin şeklini değiştirmek için uygulanan kayma gerilmesine karşı gösterdikleri direnç ile anlaşılır. Katı madde, uygulanan kayma gerilimine karşı bir miktar dayanım gösterirken (şekil değişimine uğrayarak direnç gösterir), sıvı madde ise çok az bir kayma gerilmesinde bile şekil değiştirir. Gerilme birim zamandaki şekil değişimi ile doğru orantılıdır (Şekil 1.1) F A Katı F V A h Akışkan Şekil 1.1. Akışkan ve katının uygulanan kuvvetle davranışının farklılığı. Statikte, birim alana etkiyen kuvvet gerilme olarak tanımlanır. Herhangi bir A yüzeyine etkiyen bir F kuvvetini, Fn normal ve Ft teğetsel bileşenlerine ayırdığımızda bu kuvvetlerin oluşturduğu gerilmeler aşağıdaki gibi tanımlanır, (Şekil 1.2). Şekil 1.2. Bir akışkanın herhangi bir noktasında etki eden kuvvetler. 2

3 Bir yüzeyin birim alanına etki eden kuvvetin dik bileşeni normal gerilme (normal bileşen), teğetsel bileşeni ise kayma gerilmesi olarak tanımlanır (Şekil.1.2). Durgun akışkanlarda normal gerilme basınç olarak tanımlanır. Akışkanın hareketsiz olduğu hallerde kayma gerilmesinden söz edilemez ve değeri sıfırdır. Katılarda moleküller arası etkileşimler en güçlü olduğu halde gazlarda en düşüktür. Katılarda moleküller arasındaki mesafeler kısa olduğundan, birbirlerine uyguladıkları çekim kuvvetleri büyüktür ve moleküller konumlarını muhafaza ederler. Sıvılarda, moleküllerin birbirlerine göre konumları sabit değildir ve moleküller serbestçe dönebilir ve yer değiştirebilirler. Gaz molekülleri düzensiz hareket ederek birbirlerine ve içinde bulundukları kabın çeperlerine sürekli olarak çarparlar. Gaz molekülleri aynı koşullarda sıvı ve katı haldeki moleküllere göre çok daha yüksek enerjiye sahiptirler. Gaz ve buhar kavramları birbirilerine karıştırılmakla birlikte farklı fiziksel özellikteki yapıları ifade ederler. Bir maddenin buhar fazının sıcaklığı, kritik sıaklığının üzerinde ise gaz olarak tanımlandığı halde, sıcaklığı yoğunlaşma koşullarına yakın olan hali ise buhar olarak bilinir. Akışkanlar mekaniği, uçaklar, gemiler, denizaltılar, roketler, jet motorları, rüzgar türbinleri ve biyomedikal cihazların yanında, elektronik ekipmanların soğutulması, su, ham petrol ve doğal gazın taşınması gibi pekçok uygulamanın tasarım ve incelenmesinde önemli bir yere sahiptir. Akışkanlar mekaniği uygulamalarında çok farklı akış problemleri ile karşılaşılır. Bu problemleri gruplandırarak inceleyebilmek için bazı ortak özelliklerini dikkate almak uygun bir yaklaşımdır. İki akışkan tabakanın birbirlerine göre bağıl hareketleri sırasında aralarında iç dirençten kaynaklanan sürtünme kuvveti oluşur. Akışa karşı oluşan bu iç direnç viskozite olarak bilinir ve viskozite, sıvılarda moleküller arasındaki çekim kuvvetlerinden, gazlarda ise moleküllerin çarpışmalarından kaynaklanır. Sürtünme etkilerinin önemli olduğu akışlar viskoz akışlar olarak tanımlanır. Bütün deneysel çalışmalar, akışkanın üzerinden aktığı katı yüzeyinde (levha, boru, kanal, kanat, vs.) akışkan hızının sıfır olduğunu göstermiştir. Katıya doğrudan temas eden akışkan viskoz etkiler nedeniyle yüzeye yapışır ve kayma söz konusu olmadığından kaymama koşulu hali gerçekleşir. Akışkanın akımı sırasında, kaymama koşulu nedeniyle akışa daldırılan plakanın her iki tarafına yapışır ve viskoz etkilerin önemli olduğu plaka yüzeyine yakın ince sınır tabaka viskoz akış bölgesini oluşturur. Plakanın her iki tarafında, plakanın varlığından etkilenmeyen mesafede bulunan akış bölgesi ise viskoz olmayan akış bölgesi olarak tanımlanır. Bir akış sırasında akışkanın yoğunluğunda değişiklik meydana gelmiyorsa sıkıştırılamayan akış olarak tanımlanır ve sıkıştırılamayan akışta, akışkanın hacmi hareket süresince değişmez. Sıvıların yoğunluğu genel olarak sabit olduğundan, sıvı akışları genellikle sıkıştırılamayan akış olarak kabul edilir. Gaz akışlarında görülen yoğunluk farkının miktarı ve akışın sıkıştırılamaz oluşu, Mach sayısına göre belirlenir. Ma < 0.3 olması durumunda akış sıkıştırılamaz olarak kabul edilebilir. 3

4 Burada, c, deniz seviyesinde veya oda sıcaklığındaki havada 346 m/s değerini alan sıs hızıdır. Bazı akışlar düzenli ve çalkantısız, bazı akışlar da oldukça düzensiz bir şekilde gerçekleşir. Çalkantısız akışkan tabakaları, komşu akışkan taneciklerinin bir arada ince tabakalar halinde hareketlerden ileri gelir ve laminer akış olarak tanımlanır. Genellikle yüksek akış hızlarında gerçekleşen ve hız çalkantıları ile nitelenedirilen akış türü ise türbülanslı akış olarak tanımlanır. Bir akışın türünü belirlemek için Reynolds Sayısı denen boyutsuz bir parametrenin belirlenmesi gerekir. Bazı akış sistemleri, pompa ya da fan gibi dış bir etki uygulanarak yapılabildiği için bu tür akışlar zorlanmış akış, akış hareketi, daha ılık akışkanın yükselmesi veya soğuk akışkanın alçalması şeklinde kendiliğinden gerçekleşiyorsa doğal akış olarak tanımlanır. Bir akışkan akımında, akışın özellikleri bir noktada zamanla herhangi bir değişime uğramıyorsa daimi akış olarak tanımlanır. Üniform akış ise, belli bir bölgede konuma bağlı hiçbir değişim olmadan meydana gelen akış olarak tanımlanır. Türbin, kompresör, kazanlar, yoğuşturucu ve ısı değiştiriler gibi birçok mühendislik uygulamasında kullanılan ekipman daimi-akışlı makeneler olarak kabul edilir. Bir akış hızı, temel boyutlardan yalnızca birine, her ikisine veya her üçüne göre değişiyorsa, akışın sırasıyla, bir-, iki- ve üç- boyutlu olduğu söylenebilir. Bir borudaki daimi akışta, kaymama koşulu nedeniyle, boru yüzeyindeki bütün noktalarda akışkanın hızı sıfırdır ve borunun giriş bölgesinde hız, hem yarıçap (r) ve hemde uzunlukla (x) değiştiğinden akış iki boyutludur. Hız profili girişten belli bir mesafe sonunda tamamen gelişir ve bu bölgenin sonundaki akış tam gelişmiş akış olarak tanımlanır ve tam gelişmiş akış bir-boyutlu akış olarak bilinir (V = V(r)). Tam gelişmiş akışta, hız profili herhangi bir eksenel x-konumunda aynıdır ve boru eksenine göre simetridir (Şekil.1.3). Gelişen hız profili, V = V(r, x) Tam gelişmiş hız profili, V = V(r) Şekil.1.3. Dairesel kesitli bir boruda hız profilinin gelişimi. 4

5 Akışkan viskozitesinin neden olduğu viskoz kayma kuvvetlerinin etkisinin hissedildiği akış bölgesine hız sınır tabakası veya sadece sınır tabaka denir. Üzerinde çalışılmak üzere seçilen bir madde, uzayda bir bölge veya bir reaksiyon ortamı sistem olarak tanımlanır. Sistemin dışında kalan kütle ya da bölge çevre, sistemi çevresinden ayıran sabit veya hareketli yüzey ise sınır olarak adlandırılır. Kapalı sistem (kontrol kütlesi), sabit kütlelidir ve sınırlarından kütle geçişi yoktur ancak enerji geçişi iş veya ısı şeklinde gerçekleşebilir. Sistem hem kapalı ve hemde enerji geçişi olmuyorsa, yalıtılmış (izole) sistem olarak bilinir. İçinde gaz sıkıştırılmış bir piston-silindir düzeneğinde kütle geçişi olmadığı için kapalı bir sistem, piston hareket edebildiği için yüzeyi hareketli sınır şeklinde değerlendirilir. Açık sistem (kontrol hacmi, KH), uzayda uygun bir şekilde seçilmiş bir bölgedir. Kütle akışının olduğu, kompresör, türbin yada lüle gibi cihazlar buna örnek olarak verilebilir. Kontrol hacimlerinin çoğunda sınırlar sabittir ve hareketli sınırları yoktur. Akışkanlar Mekaniği, temelde Mekanik (Newton) ve Termodinamik yasaları olmak üzere iki bilim dalının ana kuralları üzerine inşa edilmiştir. Akışkanlar mekaniğinde karşılaşılan problem(ler)i çözmek amacıyla basit mekanik ve termodinamik kanunları birlikte uygulanarak çözüm yapılabilir. Ayrıca hareketi incelenen akışkanın fiziksel özellikleri ve hareket bölgesinin çevresinden gelen şartların da etkisi büyük önem taşımaktadır. Akışkanlar mekaniği bu bilgileri bir bütün oluşturacak şekilde birleştirirken ileri düzeyde matematik kullanmayı zorunlu kılar. Akışkanlar mekaniği, kütlenin korunumu, enerjinin korunumu yasası (Termodinamiğin 1. yasası), evrenin entropisinde azalmaya neden olan akışın mümkün olmadığı termodinamiğin II. Yasası, ( S 0) ve Newton un hareket yasası (F = ma) olmak üzere dört temel prensibe dayanır. Son yıllarda ısı enerjisi, mekanik enerji veya diğer enerji türlerinin transfer problemlerinin incelenmesinde konunun akışkanlar mekaniği problemleri ile büyük benzerlik gösterdiği ve yakın ilişki içinde olduğu görülmektedir. Akışkanlar mekaniği'nin kullanım alanları gerek mühendislik uygulamalarında ve gerekse diğer bilimsel ve teknolojik araştırmalarda gün geçtikçe yaygınlaşmaktadır. İçten Yanmalı motorlar: Bilindiği gibi petroldeki kimyasal enerjiyi mekanik enerjiye dönüştüren içten yanmalı motorlar termodinamikteki Açık Sistem lere önemli bir örnek oluştururlar. Atmosferden emilen havanın silindire dolması, burada piston tarafından sıkıştırılması, tutuşan yakıtın yanması ve dolayısıyla yükselen sıcaklık ve basınçlar ve nihayet yanma sonunda egzos gazlarının sistemi terk etmesi tipik bir akışkanlar mekaniği problemidir. Yine içten yanmalı motorların su ile soğutulması halinde motor gövdesindeki fazla ısıyı alarak radyatörde havaya bırakan soğutma sistemi de Kapalı Sistem lere bir örnek oluşturur ve bu sistemdeki suyun hareketi de bır Akışkanlar Mekaniği problemidir. Su, Gaz ve Rüzgâr Türbinleri: Gerek akarsu enerjisini, gerek rüzgâr enerjisini ve gerekse kimyasal enerjiyi mekanik enerjiye çeviren türbin sistemlerinde, sistemden akan akışkanın hareketi çok önemli bir akışkanlar mekaniği problemidir. Pompalar-Kompresörler: Günlük hayatta kullandığımız basit su pompaları, petrol kuyularında kullanılan dev pompalar, kimyasal ürün (ilaç, petrol türevleri...) işlem hatlarında kullanılan 5

6 hassas derecelendirme pompaları, taşıtların fren sistemlerinde kullanılan servo-pompalar ve bunların dâhil olduğu sistemlerin içindeki sıvı akışları, ısıtma-havalandırma sistemlerinde kullanılan kompresör, vantilatör ve aspiratörler ve bu ekipmanların oluşturduğu gaz hareketleri tipik akışkanlar mekaniği problemleridir. Hava (ve deniz) taşıtlarını havada (deniz üstünde/altında) tutan, aero (hidro) dinamik kuvvettir; ayrıca bu taşıtların her türlü seyir ve manevra hareketi de bu kuvvetin etkisi altında gerçekleşir. Benzer şekilde son yılların yüksek hızlı kara taşıtlarında da bu kuvvetler, özellikle sürükleme adını verdiğimiz aerodinamik direnç büyük önem kazanmıştır Boyutlar, Birimler ve Birim Sistemleri Akışkanlar mekaniği ve diğer birçok mühendislik derslerinde karşılaşılan problemlerde, bazı akışkanlar (özellikle su, hava,...) için, sabitler (yoğunluk, viskozite, vs.) çeşitli birim sistemlerinde verilir. Herhangi bir fiziksel büyüklüğün anlamlı yorumlanabilmesi için boyutları ile birlikte verilmesi gerekir, boyutları gösteren büyüklükler ise birim olarak tanımlanır. Ana boyutlar: kütle, m, uzunluk L, zaman t ve sıcaklık T, vs., ikincil boyutlar (türetilmiş boyutlar) ana boyutlar cinsinden ifade edilebilir: hız v, enerji E ve hacim V, vs. Uygulamada son yıllarda SI Birim Sistemi gittikçe önem kazanmakta ise de gerek MKS ve gerekse FPS (İngiliz/Amerikan) Sistemleri hala bazı ülkelerde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Mühendislik uygulamalarında, bütün denklemler boyutsal olarak homojen olmak zorundadır. Boyutsal olarak homojen olmayan bir formülün kesinlikle yanlış olduğu ve boyutsal olarak homojen olsa bile bir formülün de doğru olmasının gerekmediği bilinmelidir. Boyutsal homojenlik, bir denklemde toplam halinde bulunan her bir terimin aynı birimde olduğundan emin olunması gerekir. Birim dönüştürme oranları birimleri dönüştürmede oldukça kolaylık sağlar. Günlük yaşamda çok sık kullandığımız uzunluk (L), zaman (t), hız (uzunluk/zaman, L/t) gibi nicelikler boyutlarla ifade edilirler. Bir niceliğin sayısal değerini başka bir birimle ifade etmek için çevirme faktörleri kullanılır. Çizelge 1.1. Bazı temel birimler ve boyutları. Temel Büyüklük Adı Sembolü Boyutu Uzunluk Metre m L Kütle Kilogram kg M Zaman Saniye s T Elektrik Akamı Amper A I Termodinamik Sıcaklık Kelvin K K Madde Miktarı Mol n N Işık Şiddeti Kandela Cd I v 6

7 Çizelge.1.2. Bazı SI birimleri ve sembolleri. Birim Türetilmiş SI birimi Temel ve diğer türetilmiş birimler ve sembolü cinsinden ifadesi Kuvvet Newton, N 1 N = 1 kg m/s 2 Basınç Pascal, Pa 1 Pa = 1 N/m2 Enerji, iş, ısı Joule, J 1 J = 1 N m Güç Watt, W 1 W = 1 J/s Elektrik yükü Coulomb, C 1 C = 1 Amp-s Elektriksel potansiyel Volt, V 1 V = 1 J/C Elektrik kapasitesi Farad, F 1 F = 1 C/V Elektriksel direnç Ohm, W 1 W = 1 V/Amp Çizelge 1.3. Çeşitli birim sistemleri. İngiliz birim sistemi Metrik sistem Büyüklük CGS CGS MKS MKS Mutlak Gravitasyonel Mühendislik mutlak gravitasyonel mutlak gravitasyonel SI Uzunluk ft ft ft cm cm m m m Zaman s s s s s s s s Kütle lbm lm g kg kg Kuvvet lbf lbf gf kgf Kuvvet, türetilmiş poundal dyne Newton Newton g C lb m ft/lbs 2 sl-ft/lb f s 2 lb m ft/lb f s 2 gcm/dyns 2 gcm/g F s 2 kgm/ns 2 kgm/kg f s 2 kgm/ns 2 Çizelge 1.3 de verilen g C temel ve türetilmiş kuvvet ve buna bağlı olarak enerji ve güç birimleri ile birim sisteminin (İngiliz Birim Sistemi, FPS) diğer birimleri arasındaki uyumu sağlamak için kullanılan bir çevirme faktörüdür. Ancak bu kullanım diğer birimlere dönüştürmede bazı karışıklıkları beraberinde getirmektedir. Bu karışıklığı (g c kullanımı) kaldırmak için SI birim sisteminde, kuvvet birimi Newton un ikinci yasasından türetilen ikincil bir boyut olarak değerlendirilir ve SI birim sisteminde kuvvet birimi Newton (N) dur. Newton; 1 kg büyüklüğündeki bir kütleyi 1 m/s 2 ivmelendirmek için gerekli olan kuvvet olarak tanımlanır ve İngiliz birim sisteminde kuvvet birimi, pound-kuvvet (lb f ) dur. Ağırlık terimi, kütle ile karıştırılmakla birlikte bu iki büyüklük birbirinden farklı fiziksel özelliklerdir. Ağırlık kütleyi de içine alan bir kuvvet olarak tanımlanır ve cisme etki eden yerçekimi kuvveti (W) şeklinde ifade edilir. 7

8 Burada, m cismin kütlesi, g yerel yerçekimi ivmesidir (örneğin, m/s 2 ). Çizelge 1.4. Temel birimlerle türetilen SI birimlerinden bazı örnekler. Fiziksel SI türetilen birimler, Boyutlar Büyüklük Sembol Alan m 2 L 2 Hacim m 3 L 3 Hız m/s L T -1 İvme m/s 2 L T -2 Basınç N/m 2 M L -1 T -2 Dalga Sayısı m -1 L -1 Yoğunluk kg/m 3 M L -3 Özgül hacim m 3 /kg L 3 M -1 Akım Yoğunluğu Amp/m 2 AL -2 Açısal hız s -1 T -1 Özgül Ağırlık N/m 3 M L -2 T -2 Kinematik viskozite m 2 /s L 2 T -1 Dinamik viskozite kg/m s M L -1 T -1 Hacimsel debi m 3 /s L 3 T -1 Açısal hız s -1 T -1 Kuvvet N M L T -2 Momentum Ns M L T -1 Kayma gerilmesi N/m 2 M L -1 T -2 Enerji Joule M L 2 T -2 Güç Watt M L 2 T -3 Enerjinin bir türü olan iş, kuvvet ile uygulanan mesafenin çarpımı kadardır ve birimi enerji birimi olan Joule (J) dür, 1 J = 1 Nm, bir diğer enerji birim de kaloridir (cal), 1 cal = J. İngiliz birim sisteminde (FPS) enerji birimi Btu dur ve 1 Btu 68 o F sıcaklığındaki 1 lb m kütleye sahip suyun sıcalığını 1 o F artırmak için gerekli olan enerji olarak tanımlanır, 1 Btu = kj. Çizelge.1.5. Birimlerin as ve üst katları. Birim Birim adı Birim adı Birim çarpanı çarpanı ve sembolü ve sembolü Tera, T 10-2 Centi, c 10 9 Giga, G 10-3 Mili, m 10 6 Mega, M 10-6 Mikro, 10 3 Kilo, k 10-9 Nano, n 10 2 Hekto, h Piko, p 10 Deka, da Femto, f 10-1 Deci, d Atto, a 8

9 1.3. Problem Çözme Tekniği Mühendislik uygulamarında, özellikle zor ve karmaşık görünen problemlerin çözümünde sistemli bir yaklaşım büyük kolaylıklar sağlar. Bir mühendislik öğrencisi veya mühendis, karmaşık ve zor görünen bir problemi, bir dizi basit problemin çözümüne indirgeyerek problemin çözümünü gerçekleştirebilir. Bu amaçla aşağıdaki sıralama büyük kolaylıklar sağlar. 1. Problemin ifade edilmesi; problem, verilen bilgiler ve istenen büyüklükler şeklinde özetlenir. 2. Şematik çizim; incelenen fiziksel sistem gerçekçi bir şekilde hayali olarak tasarlanır ve şematik olarak gösterilebilir. 3. Kabuller ve yaklaştırmalar; çözüme ulaşmak için uygun kabuller ve yaklaştırmalar yapılır ve gerekli olduğu halde verilmeyen büyüklükler için uygun değerler alınır. 4. Fiziksel yasalar; problem ile ilgili tüm fiziksel yasa ve ilkeler uygulanıp yapılan kabuller ile problem mümkün olan en basit şekle indirgenir. 5. Özellikler; problem çözümünde gerekli olduğu halde bilinmeyen özellikler, bilinen haller için özellik bağıntıları ve/veya tablolardan bulunmalıdır. 6. Hesaplamalar; bilinmeyen niceliklerin belirlenmesi amacıyla bilinen büyüklükler, basitleştirilmiş bağıntılarda yerine yazılarak ve uygun birim dönüşümleri uygulanarak hesaplamalar yapılır. 7. Sorgulama, doğrulama ve irdeleme; elde edilen sonuçların doğru olduğu ve mantıklı değer olarak alınabileceği muhakeme edilmelidir. Bulunan sonuçların sayısal olarak anlamlı olup olmadığı ve gerçek fiziksel sistemlere uygulnabilirliği de gözden geçirilmelidir Doğruluk, Hassasiyet ve Anlamlı Rakamlar Mühendislik uygulamalarında, sonuçlar verilirken, çok fazla basamak sayısının verilmesi, olduğundan daha fazla bir hassasiyet anlamına geleceğinden istenmez. Mühendisler kullandıkları birim sisteminden bağımsız olarak, sayıları yerinde kullanabilmek için doğruluk, hassasiyet ve anlamlı basamaklar şeklinde olmasına dikkat etmelidirler. Mühendisler sayıların yerinde ve doğru kullanımı konusunda aşağıdaki üç ilkeden kesinlikle haberdar olmalıdırlar; 1. Doğruluk hatası: Herhangi bir ölçümde okunan değerin gerçek değerden farkıdır. Okunan değerlerin ortalamasının gerçek değere yakınlığıdır. Genellikle tekrarlayabilir sabit hatalarla ilgilidir. 2. Hassasiyet hatası: Okunan bir değerin tüm okunan değerlerin ortalamasından farkıdır. Ölçme aletinin çözünürlüğünün ve ölçümün tekrarlanabilirliğinin bir ölçüsüdür. Genellikle rastgele hatalarla ilgilidir. 3. Anlamlı basamaklar: Önemli ve anlam taşıyan basamaklardır. Hesaplama yaparken, nihai sonuç problemdeki en az hassasiyetli parametre kadar hassastır. Anlamlı basamakların sayıları bilinmiyorsa, kabul edilen standart 3 tür. Tüm ödevlerde ve sınavlarda 3 anlamlı basamağa göre işlem yapın. 9

10 1.5. Akışkanların Özellikleri Bir sistemin herhangi bir karakteristiğine özellik denir. Bilinen bazı özellikler, Basınç, P, sıcaklık, T, hacim, V ve kütle m, daha az biliniyor olmakla birlikte, viskozite, ısıl iletkenlik, elastiklik modülü, ısıl genleşme katsayısı, buhar basıncı, yüzey gerilimi de sistemin özelikleri olarak bilinir. Sistemin özellikleri yoğun özellikler ve yaygın özellikler olmak üzere iki gruba ayrılabilir. Yoğun özellikler, sistemin kütlesinden bağımsızdırlar, sıcaklık, basınç ve yoğunluk. Yaygın özellikler, değerleri sistemin büyüklüğüne bağlı olan özelliklerdir. Toplam kütle, toplam hacim ve toplam momentum, vs. Birim kütle başına verilen özellikler özgül özellikler olarak adlandırılır. Özgül hacim, v = V/m ve özgül toplam enerji e = E/m, vs. A-Basınç Katı cisimlerden farklı olarak akışkanlar bulundukları ortamı katı cidara kadar veya diğer bir akışkan kütlesine kadar doldururlar. Temas yüzeylerinde "akışkanların molekül hareketleri yolu ile ilettikleri kinetik enerjinin zamana göre ortalamasının birim alana düşen miktarı" akışkan basıncını oluşturur. Sakin (durağan) akışkan kütleleri halinde bu basınç statik basınç adını alır ve kaynağı yerçekimidir. Bu büyüklük deniz seviyesi referans alınarak ölçülür. Basınç, bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal kuvvet olarak tanımlanır. Akışkanlardaki basıncın katılardaki karşılığı, normal gerilmedir. Deniz seviyesinde serbest yüzeyli bütün akışkanların basıncı hava basıncına (atmosferik basınca, P o ) eşittir ve 25 o C sıcaklıkta P o = 760 mmhg dir. Atmosferik basınca göre ifade edilen basınca gösterge basıncı (geyç pressure, etkin basınç, efektif basınç) denir ve basınç biriminin sonuna "g" harfi konularak belirtilir (1 atmg, 14.7 psig). Sıfır sıkıştırma gerilimi haline göre ifade edilen basınç (verilen bir konumdaki gerçek basınç) ise mutlak basınç (absolut pressure) (P m ) olarak bilinir ve birimin sonuna "a" harfi konularak belirtilir (1 atma, 14.7 psia). Gösterge basıncına (P g ) atmosferik basınç (P atm ) eklenmek suretiyle mutlak basınç (P m ), elde edilir (Şekil 1.4). gösterge basıncı pozitif veya negatif olabilir, ancak atmosferik basıncın altındaki basınçlar vakum basıncı olarak bilinir ve atmosferik basınç ile mutlak basınç arasındaki farktan ölçülür. Birim yüzeye uygulanan kuvvet olarak bilinen basınç farklı birimlerle ifade edilebilir, örneğin, N/m 2, Pascal (Pa) olarak bilinir. Ancak Pascal birimi çok küçük bir değer olduğundan çoğunlukla bunun 10 3 katı kpa ve 10 6 katı MPa birimleri kullanılır. Değişik birim sistemlerinde 1 atmosfer (P o ) için aşağıdaki eşleştirmeler yapılır; 1 Pa = 1N/m 2, 1 kpa = 10 3 Pa, 1 MPa = 10 6 Pa 1 atm = Pa = kpa = bar 1 Atm = kg f /m 2 (mmh 2 O) = 1.013x10 5 N/m 2 (Pa) = lbf/in 2 (psi) = bar 10

11 Şekil 1.4. Mutlak basınç, gösterge basıncı ve vakum basıncı arasındaki ilişki. Atmosfere açık yüzeyi bulunan bir su kütlesinin serbest yüzeyi üzerindeki basınç o yükseklikteki atmosfer basıncına eşittir. Ancak su yüzeyinin altında, su kütlesinin içinde, derinlik arttıkça basıncın arttığı bilinmektedir. Suyun yoğunluğundaki değişimi hemen her zaman ihmal edilecek kadar küçük kabul ettiğimizde bu basıncın derinlikle değişimi aşağıdaki gibi ifade edilir. Basınç, durgun bir akışkan içinde yatay yönde değişmediği halde, akışkanın ağırlığından dolayı derinlikle önemli ölçüde artar. Bu değişimi matematiksel olarak ifade etmek için, Şekil.1.5 deki z yüksekliğinde, x uzunluğunda ve birim derinlikteki dikdörtgen akışkan elemanı serbest cisim diyagramında kuvvet denkliği yazmak gerekir. Akışkanın yoğunluğunu ( ) sabit kabul ederek z- yönünde kuvvet denkliği, Şekil 1.5. Dengede bulunan dikdörtgen bir akışkan elemanının serbest cisim diyagramı. Burada, akışkan elemanının ağırlığıdır. (1.8) eşitliği ile bölünür ve yeniden düzenlenirse aşağıdaki özgül ağırlık ( ) basınç ilişkisi elde edilir; Açık Hava (Atmosfer) Basıncı; bilindiği gibi açık hava basıncı yer küresinin etrafını saran hava kütlelerinin ağırlığından kaynaklanır ve doğal olarak sıcaklık değişimleri ya da ölçüm noktasının deniz seviyesinden yüksekliği ile değişmektedir. Sıcaklık değişimlerinin yoğunluk ( ) değerini sabit kabul edilebilecek kadar az etkilediği, dolayısıyla yüksekliklerin fazla değişmediği hallerde bu basıncın yükseklikle değişimi aşağıdaki gibi (1.10 denklemi) kolayca hesaplanabilir. Burada, h, serbest sıvı yüzeyinden itibaren olan sıvı derinliğidir. 11

12 Duran bir akışkan kütlesinin içinde bir noktadaki statik basınç bütün doğrultularda aynı değere sahiptir. Duran akışkanlar için basıncın her nokta da eşit olma özelliğinden dolayı, = P o ve = 0 olacağı için herhangi bir kap içinde bulunan bir akışkanın kap yüzeyine uygulayacağı basınç her doğrultuda aynıdır. Serbest yüzeyli bir akışkan halinde bu basıncın değeri ancak akışkanın ağırlığı ile değişir. B-Sıcaklık Moleküler enerji düzeyinin bir ölçüsü olarak düşünülen sıcaklık, farklı birimlerde yazılabilir. SI birim sisteminde sıcaklık ölçeği Kelvin ölçeğidir ve K ile simgelenir. MKS ve SI sistemlerinde; FPS sisteminde; Deniz seviyesinde, normal şartlarda, hava sıcaklığı, T o = o C = 298 K olarak bilinir. Yoğunluk ve Özgül Ağırlık Yoğunluk birim hacmin kütlesi, özgül hacim ise birim kütlenin hacmi olarak tanımlanır ve aşağıdaki gibi matematiksel olarak ifade edilir. Bir maddenin yoğunluğu, maddeyi oluşturan moleküllerin kütlesine ve yerleşim düzenine göre aralarında kalan r o mesafesine bağlıdır. Basit moleküler katılarda bu mesafe sabit olduğundan katıların yoğunluğu basınç ve sıcaklıkla değişmez. Sıvıların yoğunluğu, moleküllerin ağırlığına değil, yapılarına ve molekülleri arasındaki van der Waals kuvvetlerinin ve özellikle de hidrojen bağlarının varlığına bağlıdır. Katıların aksine sıvıların yoğunluğu sıcaklıkla değişir. Gazların yoğunluğu, moleküler düzeyde basınçlarına ve basınçları ise iç enerjilerine bağlıdır. Katıların aksine gazların yoğunluğu sıcaklık ve basınçla değişir. Yoğunluk, MKS: [kg k s 2 /m 4 ], SI: [kg/m 3, Ns 2 /m 4 ]ve FPS: [lb f s 2 /ft 4 ] gibi farklı birimlerle ifade edilir. 1 kg/m 3 = kg f s 2 /m 4 = 1.94x10-3 lb f s 2 /ft 4 12

13 Bir maddenin birim hacminin ağırlığı özgül ağırlık ( ) olarak tanımlanır ve yoğunlukla doğru orantılı olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir. Burada, g yerçekimi ivmesi ve s nin birimi N/m 3 tür. Bazen bir maddenin yoğunluğu, çok bilinen bir maddenin yoğunluğu ile kıyaslanarak verilir ve bu büyüklük özgül yoğunluk, bağıl yoğunluk, spesifik gravite SG gibi adlarla ifade edilir ve bir maddenin yoğunluğunun standart bir maddenin belirli bir sıcaklıktaki (+4 o C) yoğunluğuna oranı şeklinde tanımlanır. Yağ ve petrol ürünleri için Amerikan Petrol Endüstrisi (API) tarafından geliştirilen o API yoğunluğu, şeker endüstrisinde kullanılan o Brix, tuzlu su (salamura) ve sülfürik asit çözeltilerinde kullanılan o Baume yoğunlukları, Archimedes yasasını esas alan yöntemlerle ölçülür ve ampirik ifadelerle birbirlerine dönüştürülebilirler. API ile SG arasında; Brix ile SG arasında; Baume ile SG arasında; Gazların özgül ağırlığı (SG g ) gazın yoğunluğunun ( g ) standart koşullar (0 o C, 1 atm) veya 15.5 o C sıcaklıktaki havanın yoğunluğuna ( h ) oranı şeklinde verilir. En önemli akışkanlar olan hava ve su için yoğunluk değerleri aşağıdaki gibi olmakla birlikte havanın yoğunluğu sıcaklık ve basınç değerlerine göre değişiklik gösterir. "Normal şartlar" dediğimiz P o = 1 atmosfer ve T o = 298 K koşullarında aşağıdaki değere eşittir. o, HAVA = 1.23 kg/m 3 = 1/8 kgf s 2 /m 4 = 2.4x10-3 lb f s 2 /ft 4 o, SU = 1000 kg/m 3 = 102 kg f s 2 /m 4 = 1.94 lb f s 2 /ft 4 İdeal gazların yoğunluğu, ideal gaz hal denkleminden faydalanılarak bulunur. 13

14 Bu eşitlikte, P mutlak basıncı, özgül hacmi, mutlak sıcaklığı, yoğunluğu ve R gaz sabitini göstermektedir. R gaz sabiti her haz için farklıdır ve aşağıdaki gibi belirlenir. Bu eşitlikte, R ü evrensel gaz sabitidir ve bütün gazlar için aynı değerdedir (8.314 J/molK) Enerji ve Özgül Isılar Toplam enerji, E, ısıl, mekanik, kinetik, potansiyel, elektrik, manyetik, kimyasal, ve nükleer enerji gibi farklı şekillerde bulunur ve birimi çoğunlukla joule (J) veya kilo joule (kj) dür. Mikroskobik enerji; İç enerji u, durgun (akmayan) akışkanlar için tanımlanır ve moleküler aktivitenin bir sonucu olarak gösterilir. Entalpi, akan bir akışkan için tanımlanır ve akış enerjisini (Pv =P/ ) yi içerir. Makroskobik enerji; Kinetik enerji Ke=V 2 /2; Potansiyel enerji Pe = gz Elektrik, manyetik, kimyasal ve nükleer enerjinin olmadığı durumlar için toplam enerji: e akan = h + V 2 /2 + gz Bir gazın iç enerjisinde ve entalpisinde meydana gelen diferansiyel ve sonlu değişimler, özgül ısılar cinsinden (c v ve c p ) aşağıdaki gibi ifade edilir. Sıkıştırılabilirlik Akışkanlar, sıcaklık artışı veya basınç azalması ile genleşirler, sıcaklık azalması veya basınç artması ile sıkışırlar. Basınç ve sıcaklık değişimlerini, hacimdeki değişimle ilişkilendiren akışkan özelliklerine ihtiyaç vardır. Hacim değişiminin miktarı, akışkana göre farklılık gösterdiğinden hacim değişimlerini sıcaklık ve basınç değişimleri ile ilişkilendirmek gerekir. Bu ilişkiler hacimsel elastiklik modülü ( sıkıştırılabilirlik katsayısı, Pa) ve hacimsel genleşme katsayılarıdır. Büyük değeri, hacimde küçük bir değişime neden olmak için basınçta büyük bir değişim olması gerektiğini gösterir, dolayısıyla büyük değerine sahip akışkanlar sıkıştırılamaz akışkan olarak tanımlanır. İdeal bir gaz için, 14

15 Sıkıştırılabilirlik katsayısının tersine, izotermal sıkıştırılabilitlik,, denir. Bir akışkanın izotermal sıkıştırılabilirliği, basınçtaki bir birimlik değişime karşılık hacim veya yoğunlukta meydana gelen oransal değişime karşılık gelir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. T sıcaklığında bir ideal gazın, Sıcaklık ve basıncın bir akışkan üzerindeki ortak etkileri, özgül hacmi, T ve P nin bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi yazılabilir: Viskozite (Kıvamlılık) Kaymama koşulu, katı bir yüzey ile doğrudan temas halinde olan akışkanlar viskoz etkilerden dolayı yüzeye yapışırlar. Çeperde kayma gerilmesi, t w yüzey sürükleme kuvveti olmak üzere, aşağıdaki gibi ifade edilir ve yüzeyde sınır tabaka gelişiminin nedenidir. Kaymama koşuluna neden olan akışkan özelliği viskozitedir. Akışkanlar mekaniği problemlerinin analitik ve sayısal olarak modellenmesinde önemli bir sınır koşulu olarak kullanılmaktadır. Şekil 1.6. Bir plaka üzerinde akan akışkanın hız dağılımı. Akışkanın, sıkıştırılamaz ( = st., T = st.), yada sıkıştırılabilir fakat izentropik (s = st) hal değişiminin her iki halinde de akışkan hareketinin çevreye enerji kaybetmeyeceği, yani hareket bir defa başladığında ancak dış etkilerle değiştirilebileceği ya da durdurulabileceği bilinmektedir. 15

16 Viskozite bir akışkanın harekete karşı gösterdiği iç direnci temsil eder. Akan bir akışkanın bir cisim üzerine akış yönünde uyguladığı kuvvete sürükleme kuvveti denir ve bu kuvvetin büyüklüğü bir oranda viskoziteye bağlıdır. Gerçekte ise bir akışkanın herhangi bir hareketi durmaksızın sürdüremediğini ve hareketi süresince çevreye enerji kaybederek sonunda durgun hale geldiğini bilmeliyiz. İşte akışkanın çevreye enerji kaybetmesine yani sürtünme yolu ile kendisini frenlemesine (dolayısıyla entropi artışına) neden olan akım mekanizmasına akışkanın viskozluk özelliği adı verilir. Aslında viskozluk veya viskozite, her hangi bir akışkanın bütün zerreleri için aynı derecede etkilidir. Ancak, akışkanlar mekaniği açısından, etkilerinin özellikle önemli olduğu bölge akımın katı cisim cidarına çok yakın olduğu yerdir. Viskozluk ayrıca farklı hızlara sahip akışkan kütlelerinin değme yüzeylerinde de önem kazanır. Viskozite için bir bağıntı elde etmek üzere, aralarında l mesafe bulunan iki çok geniş plaka arasındaki akışkan tabakasını göz önüne alalım (Şekil.1.7). Alttaki plaka sabit, üstteki plakaya bir F kuvveti uygulanarak çekildiğinde, büyüklüğünde bir hızla hareket eder. Bu durumda, plaka ile akışkan arasındaki yüzey alanı A olmak üzere, akışkan tabakasına etki eden kayma gerilmesi, = F/A şeklinde yazılır. Şekil 1.7 Bir akışkan tabakada uygulanan kuvvet. Kaymama koşulundan faydalanarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir; u(0) =0 ve u(l) = üzere, hız profili ve hız gradienti aşağıdaki gibi yazılır. olmak Su, hava, benzin ve yağlar gibi Newton tipi akışkanlar için kayma gerilmesi ilişkisi aşağıdaki gibi tanımlanır; ile viskozite Bu eşitlikte, dinamik viskozite olarak tanımlanır ve birimi, kg/ms = Ns/m 2, Pas şeklinde verilir. 0.1 Ns/m 2 = 1 Poise, P = 0.1 Pas, 1 P = 100 cp (centipoise) Newton tipi bir akışkan (Newtonian akışkan, kayma gerilmesi hız gradienti ile doğru orantılı) tabakasına etki eden kayma kuvveti aşağıdaki gibi viskozite ile ilişkilendirilir; 16

17 Bu durumda alttaki plaka sabit tutulurken üstteki plakaya uygulanan kuvvet aşağıdaki gibi yazılabilir; Bir akışkanın dinamik viskozitesinin akışkanın o koşullardaki yoğunluğuna oranı Kinematik viskozite olarak tanımlanır ve birimi Stoke (St = cm 2 /s) tur. Bir akışkanın viskozitesi genel olarak sıcaklık ve basınçla değişir. Viskozite, sıvılarda moleküller arasındaki çekim kuvvetleri, gazlarda ise moleküllerin çarpışması sonucu ortaya çıkar ve sıcaklıkla büyük oranda değişir. Viskozite hesaplamalarında Hagen-Poiseuille eşitliği çok sık kullanılır ve aşağıdaki gibi yazılır. Bu eşitlikte, D, kapiler tüpün çapı, L, uzunluğu, ve sıvının yoğunluk ve viskozitesi, V haznenin hacmi, t ise ölçüm süresini ifade eder. Sıvıların viskozitesini ölçmek için, dönen viskozimetre çok sık kullanılır. Aralarında l mesafe bulunan iki eş merkezli silindir göz önüne alınır, içteki silindir döndürülürken dıştaki silindir sabit tutuluyor. Kayma gerilmesinin tanımından faydalanarak, l/r << 1 olması durumunda silindirler iki düz plaka olarak düşünülebilir. Tork T ve teğetsel hız v = w R, ıslak yüzey alanı, A = 2 R L ve T ve w ölçülerek, hesaplanır. Şekil 1.8. Döner bir viskozimetre. Bu eşitlikte, L silindirin uzunluğu, dev/dak olarak bilinen birim zamandaki dönme sayısıdır. Bir tam dönme sırasında radyan açısal yol alınır ve rad/dak ile dev/dak arasında eşitlik yazılır. 17

18 Yüzey Gerilimi Sıvı damlaları içleri sıvıyla dolu küresel balonlar gibidir ve sıvının yüzeyi ise gerilme altında esnemiş zara benzer bir davranış sergiler. Buna neden olan çekme kuvveti moleküller arası çekim kuvvetinden kaynaklanan yüzey gerilimidir ve s (N/m, J/m 2 ) ile gösterilir. Yüzey molekülüne etkiyen çekim kuvveti simetrik değildir. İçteki moleküller tarafından uygulanan çekim kuvveti sıvıyı yüzey alanını minimuma indirmeye ve küresel bir şekil almaya zorlar. Çizelge 1.6. Bazı maddelerin yüzey gerilimleri. Şekil.1.9. Bir sıvının yüzey gerilimi. Kılcallık Etkisi Kılcallık etkisi, küçük çaplı bir boruda sıvının yükselmesi veya alçalmasıdır. Borudaki eğri yüzey menisküs olarak adlandırılır. Suyun menüsküsü yukarı doğrudur çünkü su ıslatan bir akışkandır. Civanın menüsküsü aşağı doğrudur çünkü civa ıslatmayan bir akışkandır. Kılcal yükselme miktarını veren bağıntı şekildeki kuvvet dengesi ile elde edilebilir. Şekil Kılcal bir borudaki yükselme ve yüzey gerilimi. Kılcal yükselmede, yükselen akışkanın ağırlığı (W), yüzey gerilimi kuvveti (F t ) ile dengelenir, Kuvvet denkliği yazılarak kılcal yükselme (h) aşağıdaki gibi belirlenir. 18

19 Sıvı ortama enjekte edilen gazın oluşturduğu kabarcığa etkiyen yüzey gerilimi kuvveti de benzer bir yaklaşımla belirlenebilir. Yarıçapı r olan bir gaz kabarcığının iki yarım küreden oluştuğu ve bu iki yarım kürenin birleştiği çevre boyunca da yüzey gerilimi kuvvetinin uygulandığı düşünüldüğünde, 19

20 UYGULAMA-1 Problem.1. Özgül yoğunluğu (bağıl yoğunluğu, SG) olan petrolün yoğunluğunu kg/m 3, g/cm 3, lb m /ft 3 ve lb m /gal (1 ft 3 = 7.48 galon) birimlerinde ifade ederek eşdeğer API derecesini hesaplayınız. Çözüm-1. SG = , su = 1000 kg/m 3,.. Problem.2. Karbondioksit gazını ideal gaz kabul ederek 0 o C sıcaklık ve 1 atm basınç koşullarında MKS (m-kg-s) ve İngiliz birim sisteminde (FPS, ft-lb m -s), yoğunluğunu hesaplayınız ve spesifik gravitenin (SG) birim sisteminden bağımsız olduğunu gösteriniz, ( hava = kg/m 3 (0 o C, 1 atm) CO 2 : 44 g/mol) Çözüm-2. MKS de, Standart koşullar; T = 273 K, P = 1 atm = 1.013*10 5 N/m 2 İdeal gaz yasasından, FPS de, Standart koşullar; P = 1 atm (14.7 psi/1 atm)= 14.7 psi, R = psia ft 3 /lbmol o R, M = 44 lb m /lbmol, hava = lb m /ft 3 Görüldüğü gibi, SG her iki birim sistemi için de aynı çıkmış ve birim sisteminden bağımsız olduğu belirlenmiştir. 20

21 Problem.3. Yandaki şekilde bazı akışkanlar için kayma gerilmesi-hız gradienti değişimleri verilmiştir. Her bir değişime sahip akışkanları yorumlayınız. Çözüm.3. a) Newtonian akışkanlar, Newton un sürtünme yasasına göre hareket ederler. Kayma gerilmesi hız gradientiyle doğru orantılıdır. Bu akışkanlar için kayma gerilmesi ile hız gradientini bir eksen takımında gösterdiğimizde orjinden geçenbir doğru elde ederiz. Doğrunun eğimi dinamik viskoziteyi verir. b) İdeal akışkanlarda kayma gerilmesine gösterilen direnç, sıfır olduğundan viskozite sıfırdır. Buna göre, yatay eksen ideal akışkanlara denk gelir. c) İdeal katı cisimlerde, herhangi bir kuvvet uygulanmasında şekil değiştirme oluşmayacağı için düşey eksen elde edilir. Gerçek katı cisimlerde Hooke yasasına uyan bir miktar şekil değiştirme meydana gelir ve bunun doğrusu düşey eksene yakındır. d) Newtonian olmayan akışkanlarda oluşan şekil değiştirmede, kayma gerilmesi ile hız gradienti orantılı değildir. Bu akışkanların şekil değiştirmesi, plastik şekil değiştirmesi olarak tanımlanır. e) İdeal plastikler, şekil değiştirmeden kayma gerilmesine bir miktar mukavemet gösterecek ve daha sonra kayma gerilmesiyle orantılı olarak şekil değiştirecektir... Problem.4. Sabit yatay bir yüzey üzerindeki viskoz bir akışkanın akımındaki hız dağılımı, u (m/s), y, yüzeyden itibaren düşey uzaklık (m); şeklinde tanımlanmaktadır. Sıvının dinamik viskozitesi, = 8*10-5 kg/ms olduğuna göre, yüzeydeki ve y = 0.34 m mesafedeki kayma gerilmesini hesaplayınız. Çözüm.4. Kayma gerilimi tanımından aşağıdaki eşitlik yazılır; 21

22 Problem.5. Bir akışkanın hız dağılımı, u (m/s), y, yüzeyden itibaren düşey uzaklık (m), olmak üzere, şeklinde tanımlandığına göre, cidarda, cidardan 0.25 m ve 0.50 m mesafedeki hız gradientlerini hesaplayınız. (Cevaplar:, /s, /s)... Problem.6. Bir sıvının dinamik viskozitesi = 2*10-4 kg s/m 2 ve özgül ağırlığı = ton/m 3 olarak veriliyor. Bu sıvının serbest yüzeyine; u = 1.5 m/s büyüklüğünde bir hız verildiğinde aşağıdaki koşullar için, 3, 6 ve 9 cm yüksekliklerdeki hız gradyenlerini ve kayma gerilimlerini hesaplayınız. a) Hız değişimi lineer, b) Hız değişimi şekilde görüldüğü gibi tepe noktası A ve orjini B olan parabolik bir değişim gösterdiği zaman. Çözüm.6. b) 22

23 .. Problem.7. Deniz suyunun yoğunluğu, basıncın 98 kpa olduğu serbest yüzeyinde 1030 kg/m 3 olarak bilinmektedir. Deniz suyunun hacimsel elastiklik modülü (hacimsel sıkıştırılabilirlik katsayısı, ) 2.34*10 9 N/m 2 ve basıncın z derinliği ile şeklinde değiştiğini kabul ederek 2500 m derinlikteki yoğunluk ve basıncı belirleyiniz (sıcaklık etkisini ihmal ediniz). Çözüm.7. Hacimsel elastiklik modülü ( sıkıştırılabilirlik katsayısı, Pa) aşağıdaki gibi tanımlanır (1. 21). Bu yoğunluk değeri basınç eşitliğinde yazılır ve uygun sınır değerlerinde integre edilirse aşağıdaki ilişki elde edilir. 23

24 Bu integraller bulunduktan sonra, z = 2500 m derinlikteki basınç ve yoğunluk değerleri hesaplanabilir. Buna göre, Eğer yoğunluğu başlangıç değeri gibi değerler elde edilirdi; kabul ederek çözüm yapılmış olsaydı aşağıdaki % 0.55 mühendislik uygulamaları için kabul edilebilir hata değerleri arasındadır ve basınç değerinin bu ifade ile hesaplanması büyük yanılgıya sebep olmayacaktır... 24

25 Problem.8. Yarıçapı R olan dairesel kesitli bir boruda viskozitesi olan bir akışkanın akışında borudaki hız dağılımı aşağıda verildiği gibidir. Bu ifadede, u maks, boru ekseninde ulaşılan maksimum hızı, r- eksen çizgisinden olan radyal mesafeyi, u(r) ise herhangi bir r- mesafesindeki akış hızını göstermektedir. Bu sistemde birim boru uzunluğu başına akışkanın boru çeperine akış yönünde uyguladığı direnç kuvveti için bir eşitlik türetiniz ve bulduğunuz ifadeden kuvvetin yarıçaptan bağımsız olduğunu gösteriniz. Bu ifadeyi kullanarak, n = 2, R = 8 cm, u maks = 3 m/s, L = 20 m, ve = 1*10-3 kg/ms olması durumunda bu direnç kuvvetinin sayısal değerini (N) hesaplayınız. Çözüm.8. Önce kayma gerilmesi ifadesi oluşturulur. Bunun için aşağıdaki işlem serisi uygulanır;.. Faydalanılan Kaynaklar 1. Çengel Yunus, Cimbala, Akışkanlar Mekaniği, Temelleri ve Uygulamaları, Güven, Engin Tahsin, Sakarya Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, 3. Uysal Bekir Zühtü, Gazi Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Bölümü 4. Berber Rıdvan, Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Bölümü, 5. Ilgaz Cemil vd.,. Akışkanlar Mekaniği ve Hidrolik Problemleri, Çağlayan Kitapevi, 25