ÇEVR. Creativity and Mathematics Education ** Yaratıcılık ve Matematik Eitimi

Transkript

1 !"#$"%%&& ÇEVR Creativity and Mathematics Education ** Hartwig Meissner ABSTRACT. This study starts with the examples and elaborates only a few aspects of which are the mental processes to further creative thinking in mathematics education? We must further individual and social abilities, we need challenging problems, and the nature of activities in the classroom must integrate more spontaneous ideas and more (unconscious and intuitive) commonsense knowledge. Key Words: Creativity, Challenges, Vorstellungen, Subjective Domain Of Experiences, Cognitive Aspects, Polarity in Thinking, Common Sense Yaratıcılık ve Matematik Eitimi Çevirenler: Dr. Hülya Gür 1, Mehmet Ali Kandemir 1 1 Balıkesir Üniversitesi ÖZ. Çalımada teorik analiz ve birkaç örnee yer verilecektir. Matematik eitimindeki yaratıcı düünceyi gelitirmek için hangi zihinsel süreçlere gerek vardır? sorusuna ayrıntılı bir ekilde cevap aranmaktadır. Sınıfta etkinlikler yaparken bireysel ve sosyal yetenekler irdelenmeli, meydan okuyan problemlere yer verilmeli, farklı fikirlere açık olunmalıdır. Anahtar Sözcükler: Yaratıcılık, Meydan Okuyucular, Kavram Yapıları, Öznel Deneyim Alanları, Bilisel Durumlar, Düüncede Kutupluluk, Saduyu 1. PROBLEM ÇÖZME VE YARATICILIK Matematiksel problem çözme, Kienel (1977) tarafından be kategoride incelenmitir. 1. tip problemler bir kural, algoritma veya bir ilem uygulanarak çözülebilir. 1.tip problemlerde kural, algoritma veya ilem açıkça ifade edilir. 2.tip problemlerde kural, algoritma veya ilem, problemi çözen tarafından bilinir ama açıkça ifade edilmez. 3.tip problemler; kurallar, algoritmalar veya ilemler, problemi çözen tarafından bilinen kuralların, algoritmaların veya ilemlerin birletirilmesi yoluyla oluur. 1. ve 3. tip problemler bir kural, algoritma veya bir ilem uygulanarak çözülebilir. 4.tip problemlere sözel olarak günlük hayatta karılaılan problemler adı verilir. 4. tip problemlerde öncelikle matematiksel içerik çözümlenmelidir ve daha sonra 4. tip problemler 1. veya 3. tip bir problemi elde etmek için matematiksel bir probleme dönütürülmelidir. 5. tip problemler tüm problemleri birlikte içerir. 5. tip problemlerin çözümünü elde etmek için sadece kurallar, algoritmalar ve ilemlerin bilgisi yeterli deildir. Aynı zamanda olgular bilgisi ile verilenlerin özelliklerine de ihtiyaç vardır. Açık uçlu ** Wilhems Westf, University of. Muenster, Germany, Creativity and Mathematics Education Summary of the International Conference July 15-19, 1999, in Muenster, Germany de sunulmu bildiri.

2 problemler veya meydan okuyucu problemler 5. tip problemlere örnektir. Bu tür problemleri çözmek için, yeni bir fikre ve bilisel atlayıa (cognitive jump) ihtiyaç vardır. Ayrıca Kienel (1977, s.122) bu tür problemlerin çözümünde ıraksal veya yaratıcı düüncenin olumasının gerekliliini vurgulamıtır. 2. YARATICILIK NE ANLAMA GELR? Yaratıcı düünceyi nasıl tanımlayabiliriz? sorusuna farklı bilim dallarından birçok uzman çeitli tanımlamalar vermi olmalarına ramen yaratıcı düüncenin kesin bir tanımı yoktur. Yaratıcılık, son derecede karmaık bir olaydır. Bazı uzmanlar tarafından yaratıcılık kavramı, matematik öretimiyle badamaz kabul edilir. Bunun nedeni ise matematik sınıflarındaki geleneksel öretimin yaratıcılıı kullanmaya uygun olmayııdır. Yaratıcılık bir çok aratırmacı tarafından farklı ekillerde tanımlanmıtır. Ren Zizhao (1999) ya göre yaratıcılık, baımsızlıı ve göreli özgünlüü (relative originality) içermektedir. Kiesswetter (1983) e göre yaratıcılık esnek düünme yeteneinin gelitirilmesidir. Bishop (1981) e göre yaratıcılık, biri mantıksal; (tek boyutlu, dil aırlıklı konuya) dieri de görsel (çok-boyutlu ve sezgisel) görüe sahip olan iki düüncenin birbirini tamamlayan bir modelidir. Yaratıcılıın ne birbirinden ayrı tutulmu maddelerden oluan bir listesiyle tanımlanabildiini, ne de bunun gibi bir listenin yaratıcı fikirleri tanımlamaya veya gelitirmeye yardımcı olabildiine dair kesin bir veri yoktur. Zimmermann (1999), yaratıcı problem çözmeyi, e olarak birbirini tamamlayan benzerlikleri bulma, çift tasarım (görsel-algısal/ biçimsel-mantıksal), çok yönlü sınıflandırma ve karmaıklıı azaltma olmak üzere dört aamalı olarak tanımladı. Dier yandan, Gray ve Tall (1991) yaratıcı olmak için gerekli yeteneklerin neler olduunu tanımlamılardır. Sonuç olarak çeitli tanımlar olmasına ramen yaratıcılıın standardize edilmi bir tanımı yoktur. Yaratıcı düüncenin geliimini öngören matematik öretimi için özel çevrelere ihtiyaç vardır. Çalımada aratırma grubu üç sonuca ulamıtır: Örencilerin bireysel ve sosyal özellikleri belirlenmeli ve gelitirilmelidir. Bunun için güdülenme, merak, kendine güven, esneklik, mizaç, hayal gücü, mutluluk, doyum, baarı gibi kiilik özellikleri gelitirilmelidir. çgüdü eylemlere ve tepkilere izin veren bir yarıma ortamı oluturulmalı ve sorumluluklar paylaılmalıdır. Bireyler kendi görülerini ifade etmeli ve hogörülü olmalıdır. Sezgisel, içgüdüsel girdilere ve tepkilere yer verilmelidir. Açık uçlu ve Meydan okuyan problemler kullanılmalıdır. Bu problemler hayran bırakıcı, ilgi çekici, heyecanlandırıcı, önemli, öreneni çözmek için motive eder. Açık uçlu ve meydan okuyan problemler, örencilerin günlük hayatlarındaki bireysel deneyimleriyle de birletirilmeli, ilgi alanlarını ve deneyim alanlarını da içermelidir. Örenciler, problemleri kendileri tanımlayabilmeli ve problemin mümkün olan çözüm veya çözümlerini hem sözlü hem de yazılı ifade edebilmelidir. Örenciler, aratırmayı, bir problemi bir bütün olarak düünmeyi, kendi tekniklerini üretmeyi veya kendilerine verilen teknikleri deitirmeyi, dinlemeyi ve tartımayı, hedefleri tanımlamayı, takımlar halinde ibirlii yapmayı örenmelidir. Aktif olan, kefeden ve deneyen, tahmin eden ve çözümleyen, kendi yanlılarını görebilen örenciler olmalıdır. Yani, yaratıcı düünceyi gelitirmenin dier bir adımı da bu yeteneklerin geliimini salamaktır. 3. BLSEL DURUMLAR Matematik eitiminin hedefi, geni ve etkili, aynı zamanda zengin ve esnek olan matematiksel kavram yapılarını gelitirmektir. Kavram yapıları nı, ikiye ayırırız içten doan kavram yapıları ve yansıtıcı kavram yapıları. Geleneksel bir matematik eitimi, bilinçsizce üretilen duyguların veya tepkilerin üzerinde durmaz. Matematik eitiminde yaygın olan ön düüncelere, sadece genel, küresel veya da kapsayıcı birer görüe, yahut da kontrol edilemeyerek içten doan etkinliklere yer yoktur. Tahmin, deneme ve hata deerli bir matematiksel davranı olarak göz önüne alınmaz. Ama tüm bu unsurlar çten doan kavram yapıları nı gelitirmek için gereklidir. çten doan kavram yapıları sezgi ile geliir. Yansıtıcı kavram yapıları bilginin, yeteneklerin ve becerilerin, olguların, ilikilerin, özelliklerin arasında olan bir aın içsel ve zihinsel bir örnei olarak ilikilendirilebilir. Yansıtıcı 66

3 67 düünce, genellikle bir öretimin sonucudur. Yansıtıcı düünce nin geliimi matematik eitiminin merkezini oluturur. Burada biçimsel, mantıksal ve analitiksel bir düünce hedeftir. Yansıtmak ve bilinçlice yapmak önemlidir. Baarılı bir problem çözme, problemi çözenin bilisel yapısına balıdır. Uygun bir içsel süreç gerektirir. Problemi çözen, uygun kavram yapısına sahip olmalıdır. (Meissner 2002) Bu kavram yapıları, yazılı anlatım, örenme çerçeveleri ve küçük dünyalardır. Tüm bunlar Öznel Deneyim Alanları olarak adlandırılır (Bauersfeld, 1983). Kavram Yapıları nın her iki tipi birlikte bireyin Öznel Deneyim Alanlarını biçimlendirir. Çok iyi gelitirilmi Öznel Deneyim Alanlarının ve baskın Öznel Deneyim Alanlarının her ikisi için de temel, bir anlam ve esasen bilinçli saduyu, kuralların ve olguların uurlu bir bilgisidir. Her iki durum bir madeni paranın iki yüzü gibi birliktelie sahiptir. çten doan Kavram Yapıları ve Yansıtıcı Kavram Yapıları genellikle olumlu veya olumsuz olarak içsel süreçlere müdahale eder. Olgular, ilikiler veya özelikler hakkındaki görüleri aniden deitirebilirler. Yeni bir problem sunulduunda farklı Öznel Deneyim Alanları arasında birbirine baskın olmak için bir yarı vardır. Birey, çatımayı görmezlikten gelmeden daha çok Öznel Deneyim Alanını deitirmeyi veya dier bir Öznel Deneyim Alanını tercih etmeyi yeler. Matematik eitiminde analitiksel-mantıksal bir davranıın baskın kalması, çatıan deneyimlerin veya kendiliinden gelen fikirlerin göz ardı edilmesi tamamen doaldır. Yansıtıcı Kavram Yapıları problemi çözmek için açıkça yeterli olmadıında bile, seçilen Öznel Deneyim Alanı olduu gibi kalır. Ardından ilgili kural ve ilemler azaltılır, basitletirilir da daha kolay mekanizmalarla yer deitirilir. Özetlenecek olursa, yansıtıcı kavram yapılarından sezgiyle kendiliinden gelen kavram yapılarını elde ederiz. Duruma ilikin olarak her iki tür birlikte ele alındıında bireysel Öznel Deneyim Alanını oluturulur. Öyleyse bu balamda yaratıcılık ne anlama gelmektedir? 4. YARATICILIK NE ANLAMA GELR? Yaratıcılıın nasıl tanımlanacaına ilikin farklı tanımlardan bir sonuca ulaabilir. Bunun için, yansıtıcı kavram yapılarından daha fazlasına ihtiyacımız vardır. Bishop (1981) ve (Kiesswetter, 1983) in yaratıcılık tanımları incelendiinde esnek düünceye yer verdikleri görülmektedir. O halde, yukarıdaki tanımlara yansıtıcı kavram yapıları ve kendiliinden gelen kavram yapıları ilave edilmelidir. Ayrıca, iki kavram yapısı türünü birletirerek gelitiren esnek düünceye ihtiyaç vardır. Esnek düünce, baımsız düünceyi de içine alır. Birçok farklı Öznel Deneyim Alanını denemek, oluturmak ve yansıtmak için fırsatlara ihtiyaç vardır. Örenciler, benzerlikleri, farklı ve çok yönlü sınıflandırmaları bulabilmeli ve tartıabilmelidir. Tüm bu ifadeler etkinliklere yansıtıldıında, örencilerin daha çok kavrama sahip olması ve karmaıklıkların azalması salanabilir. Matematik eitiminde yaratıcı düüncenin ilerlemesini salamak için güçlü yansıtıcı kavram yapılarından çok daha fazlasına ihtiyaç vardır. Bunun için sezgisel ve kendiliinden ortaya çıkan unsurlar gereklidir. Her bir öznel Deneyim Alanı bu unsurlara farklı açılardan bakmaya izin veren bir bütündür. Sınıf ortamında yansıtıcı bir tartıma ile saduyu (ortak düünce) arasında bir denge olmalıdır: Matematik eitimindeki bilimsel kavramlar ın geliiminden ve günlük hayattaki bilgi ve deneyimlerden yararlanılmalıdır. Yukarıdaki tanımlardan yola çıkılarak yaratıcı bir matematik öretimi için gerekli adımlar aaıdadır: Bireysel ve sosyal yetenekler belirlenmeli, Meydan okuyan problemler oluturulmalı, Kendiliinden oluan fikirlere yer verilmeli, Saduyulu olunmalı, Her bir Öznel Deneyim Alanına yer verilmeli, Benzerlikleri, farklılıkları, çok yönlü sınıflandırmaları bulabilmeli, Esnek düünceye yer verilmeli, tartıabilmeli, Yansıtıcı kavram yapıları ve kendiliinden gelen kavram yapıları oluturulmalıdır. Ayrıca, yansıtıcı ve kendiliinden olan kavram yapılarının birbirini etkilediklerinde yaratıcı düüncenin gelitirilmesi salanabilir.

4 68 5. MEYDAN OKUYUCULAR Matematik eitiminde özellikle kitaplarda meydana okuyucu olmayan birçok problem vardır (Kienel (1977) e göre 1. ve 4. tür problemler). Matematik eitiminde yaratıcı düünceyi gelitirmekten baka meydan okuyucu problemlere de ihtiyaç vardır. Bu meydan okuyucu problemler, sadece yansıtıcı kavram yapılarını deil aynı zamanda ilgili saduyu kavram yapılarını da harekete geçirmelidir. Bu kavram yapılarının iki türü arasında güçlü bir etkileim vardır ve bu kavram yapılarının ortaya çıkarılması için yaratıcılık gerekmektedir. Örencinin kendiliinden oluan kavram yapılarının gelitirebilmesi için bazı örneklere ihtiyacı vardır. Yaratıcı problem çözmeyi gelitirmek için çözümleri bulma sürecinde yardımcı olan örneklere ihtiyaç vardır. Aaıda daha önce açıklanmı olan kuramsal düüncelerin bir örnek de nasıl uygulandıını ve birbirleriyle nasıl ilikili olduu verilmitir Ondalık Sayı Uzunluuna Sahip Grafikler Meissner (1999), ekil1 deki örnei ele almıtır: ekil1 deki A noktasından B noktasına bir yol seçiniz. Her bir geçite dorultunuzu deitirin. Attıınız her bir adımın sayı deerini dier attıınız adımların sayı deerleriyle hesap makinesini kullanarak çarpınız. Sonuçta en küçük çarpım sonucuna sahip yolu bulunuz. Dört kez deneme hakkınız var. ekil 1 lemlerin sonunda, örencilerin kaç farklı sonuç elde ettikleri ve onların dört deneme sonunda bulduu sonuçların neden farklı olduunu sorgulamaları istenir. lk aamada, örencilerin her zaman en küçük sayıyı alarak ileme balamalarını ve sonucunu not etmelerini istenir. Daha sonra örencilere, Buldukları yolun en iyi yol olduunu düünüyor musunuz? Baka en iyi yollar var mı? Dier en iyi yolu nasıl bulabilirsiniz? En iyi yolu bulmak için kurallar var mıdır? soruları yöneltilebilir. Örencilerin Öznel Deneyim Alanları deitiinde yani bilisel atlayı aamasına ulatıında aaıdaki sonuçlara ulamaları beklenir: º Her çarpma ilemi sonunda her zaman büyük bir sonuç elde edilemez. º Daha fazla çarpan olması daha küçük bir çarpım deeri verebilir. º Dörde dört bir çevre içinde hareket edilince farklı sonuca ulaılır mı? º Sınırsız yol (sezgisel olarak sınır kavramı) var mıdır? Neden?

5 Yüzdeliklerin Öretimi Velikova (2003) ya göre yüzde konusunun öretiminde hesap makineleri kullanılabilir. Fakat her makinenin çalıma prensibi farklıdır. Örenciler öncelikle derste kullanılacakları makinelerin özelliklerini tanımalı ve makinenin çalıma prensipleri hakkında deneyim kazanmaları gerektiini vurgulamıtır. Ayrıca çalımasında günlük hayatımızda konutuumuz gibi ilem yapabilen hesap makinelerini kullanmıtır. Örnein: Altı yüz otuz bein yüzde on üçü nedir? sorusunu matematiksel olarak aaıdaki gibi ifade edebilir. 635+%13= ilemi için sadece sırayla tulara basmak yeterlidir % = Altı yüz otuz bein yüzde on üçü nedir? denildiinde çou hesap makinesi yukarıdaki mantıkla çalımaz. Bu nedenle hesap makinesinin çalıma prensibi bilinmelidir. Velikova (2003) çalıması sonucunda örencilerin hesap makinesinin tularını kullanarak yüzdelikleri, formülleri, ters fonksiyonları hesaplamaları kolayca örendiklerini vurgulamıtır. Eer örenciler problem yaıyorsa daima aynı tu sırasına basarak tahminlerde bulundurulabileceini ve tahmin deeri ile bulduu deeri kontrol etmesinin gerektiinin önemli olduunu ifade etmitir. Ayrıca, çalımasının sonucunda örencilerin, her bir istenilen deeri tahmin etmede baarılı olduklarını da vurgulamıtır Tek-Yönlülük lkesi Meissner (2003) çalımasında, Tek Yönlülük Prensibi nin kullanılmasının örencilerin örenmesini kolaylatırdıını vurgulamıtır. Tek Yönlülük Prensibi, kolay örnekler, cebirsel genellemeler, ters fonksiyonlar ve cebirsel dönüümler arasında kalan bir adımdır. Tek Yönlülük Prensibi, sezgisel ve bireysel kavram yapıları arasındaki ilikileri ve çou deikenin büyüklük sırasıyla ilgili ifadeleri gelitirmek için bir yöntemdir. Örenciler hesaplamalara balamadan önce sonucu tahmin edebilirler. Tahminde bulunmak örencinin sezgisel olarak yüzdelik kavramını gelitirmesini salamaktadır. Benzer bir yaklaım faiz, bileik faiz, artma ve azalma ve dier konuları öretmek için de uygundur. Meissner (2003) çalımasında, fonksiyon konusunu öretmek için Tek Yönlülük lkesi yöntemi ile tahmin ve kontrol stratejisi kullanılarak öretim yapıldıını ifade etti. Çalımada aratırmacı tarafından örencilerin ödev kayıtları tutuldu. Bu tutulan kayıtlar ve ödevler örencilerin kavram yapılarının en güzel göstergesi olduunu ifade edildi. Çalımada, ayrıca örenciler tartıarak bulgularını kontrol ettiler. Uygulama sonunda örencilerin bilgisayarlar yardımıyla, tahmin ve kontrol etme adımları kullanılarak birinci ve ikinci dereceden fonksiyonlar için eksik balantıları kefetmeleri, grafik çizebilmeleri ve grafii adlandırabilmeleri salandı Kendi Üç Boyutlu Katı Cisimlerinizi Yaratın Meissner (1999) çalımasında, metrekaresi 250 gram olan bir mukavvadan düzgün çokgenler kesme, katlama ve yapıtırma yardımıyla farklı çok yüzlüler oluturulmasını ele aldı. Çalımada kullanılan örnekler aaıda verilmitir: ekil 2 1) (4 3 )-çok köelisi: ekil 2 deki kareden, tabanı üçgen olan bir dört yüzlü elde edilmitir.

6 70 ekil 3 2) (6 3) - Çok Köelisi: ekil3 te iki düzgün altıgende katlama ve yapıtırma yardımı ile tabanı ekenar üçgen ve yanal yüzleri üçgen olan çok köeli elde edilir. ekil 4 3) (6 5)- Çok Köelisi: ekil4 te düzgün altıgenin a kenarından kesilmesi ile tabanı begen yanal yüzleri ekenar üçgen olan çok köeli elde edilir. ekil 5 4) (6 4) -Çok köelisi: ekil5 te düzgün altıgenden iki üçgenin kesilip çıkarılarak, yeniden birletirilmesi ile tabanı paralel kenar yanal yüzleri ekenar üçgen olan çok köeli elde edilir. ekil 6

7 71 5) ( 8 7)- Çok köelisi: ekil6 da düzgün sekizgenin köegenlerinin oluturduu ikizkenar üçgenlerden birinin kesilip çıkarılması ile tabanı yedigen yanal yüzleri ikizkenar üçgen olan çok köeli elde edilir. ekil 7 6) (8 6)- Çok köelisi: ekil7 de düzgün sekizgendeki iki adet ikizkenar üçgenin kesilip çıkarılması ve yeniden katlanması yardımı ile tabanı altıgen yanal yüzleri ikizkenar üçgen olan çok köelisi elde edilir. 7) Yukarıdaki her bir ekilde yaptıımız ilemler sırasıyla unlardır: kesme katlama - üst üste getirerek yapıtırma. Bu ekillerin içinde en ilginç olanlar ekenar üçgenlerden oluan (6 n) çok köelilerdir (n=5, 4, 3 için) 5.5. Katı Cisimleri Oluturmada Öneriler: Sınıfta çou öznel deneyim alanı ve bu deneyimlerle olan ilikilerin neler olduu konusunda tartımalar yapılmalıdır. Örencilerden yukarıdaki örneklerdeki gibi kendi katı cisimlerini oluturmaları, tanımlama yapmaları istenilebilir. Dier yandan, verilen eklin, tabandaki ve üstteki yüzlerini dikkate aldıınızda nasıl bir çokgen olduuna nasıl karar verirsiniz? Oluturulan katı cismin tüm yüzleri ekenar üçgenlerden oluuyorsa tanımınızı nasıl yaparsınız? Tabanı bir düzgün üçgen olduunda katı cisme ne ad verirsiniz? gibi sorular sorularak da örencilerin tartımaları, düünmeleri ve tanımlama yapmaları salanabilir. 6. SONUÇ Sonuç olarak, örencilerin bireysel, sosyal yetenekleri irdelenmeli ve gelitirilmelidir. Bunun için de meydan okuyan problemlere, kendiliinden gelen fikirlere ve yine saduyu bilgisinin tamamlaması gereken sınıftaki etkinliklerinin kullanılmasına ihtiyaç vardır. KAYNAKLAR Andzans, A., Meissner, H. (Eds.): Creativity in Mathematics Education and the Education of Gifted Students: Proceedings of the International Conference. Riga, Latvia Bauersfeld, H.: Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens. In: Lernen und Lehren von Mathematik, Bd. 6, pp. 1-56, Aulis Verlag, Koeln, Germany Bishop, A.: Visuelle Mathematik. In: Steiner, H.-G., Winkelmann, B. (Eds.): Fragen des Geometrieunterrichts (Untersuchungen zum Mathematikunterricht, IDM, 1), pp , Aulis Verlag, Koeln, Germany Gray, E. M., Tall, D. O.: Duality, Ambiguity and Flexibility in Successful Mathematical Thinking. In: Proceedings of PME-XV, vol. II, pp , Assisi, Italy Kienel, E.: Datenverarbeitung und die algorithmische Methode im Mathematikunterricht. Dissertation Muenster,Germany Kiesswetter, K.: Modellierung von Problemloeseprozessen. In: Mathematikunterricht 29, Vol. 3, pp ,Friedrich Verlag, Seelze, Germany Meissner, H.: Cognitive Conflicts in Mathematics Learning. In: "European Journal of Psychology of Education", Vol. 1, No. 2/1986, p. 7-15, I.S.P.A. Lisboa, Portugal.

8 Meissner, H.: Einstellung, Vorstellung, and Darstellung. In: Proceedings of the 26th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, vol. I, pp , Norwich, UK Meissner, H.: Constructing mathematical concepts with calculators or computers. In: Proceedings of CERME 3:Third Conference of the European Society for Research in Mathematics Education, Bellaria Italy Meissner, H., Grassmann, M., Mueller- Philipp, S. (Eds.): Proceedings of the International Conference "Creativity and Mathematics Education". Westfaelische Wilhelms-Universitaet Muenster, Germany Pehkonen, E.: Fostering of Mathematical Creativity. In: Zentralblatt fuer Didaktik der Mathematik, Vol. 3, pp , Karlsruhe, Germany Sheffield, L. J.: Extending the Challenge in Mathematics. Sage Publications Company. Thousand Oaks, California USA Strauss, S. (Ed.): U-shaped Behavioral Growth. Academic Press, New York Upitis, R., Phillips, E., Higginson, W.: Creative Mathematics. Routledge, New York, USA Velikova, E. (Ed.): Proceedings of the 3rd International Conference "Creativity in Mathematics Education and the Education of Gifted Students", Rousse Bulgaria Zimmermann, B. et al. (Eds.): Kreatives Denken und Innovationen in mathematischen Wissenschaften. Tagungsband zum interdisziplinaeren Symposium an der Friedrich-Schiller- Universitaet Jena, Germany Zizhao, Ren: Thoughts on Examination of Creativity in China s College Entrance Examination. Beijing, China (1999, unpublished). see also 72