DERS 10. Kapalı Türev, Değişim Oranları

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 10. Kapalı Türev, Değişim Oranları"

Transkript

1 DERS 0 Kapalı Türev, Değişim Oranları 0.. Kapalı Türev. Fonksiyon kavramının ele alınığı ikinci erste kapalı enklemlerin e fonksiyon tanımlayabileceğini görmüştük. F (, enklemi ile tanımlanan f fonksiyonu ( y f () ) için y ' f '( ) türevi F (, enklemiben ele eilebilir y mi? Daha genel olarak, y f () enklemi ile tanımlanan f fonksiyonu için F (, y enklemi sağlanıyorsa, y ' f '( ) türevi F (, enkleminen ele eilebilir mi? Aşağıa, örnekler üzerine e göreceğimiz gibi, bu sorunun yanıtı olumluur ve istenilen türev zincir kuralınan yararlanılarak bulunabilir. y ' yü bulmak için F (, enkleminin her iki yanının a türevi alınır:. ( F(, ) ( 0) Buraa, ( F(, ) türevi hesaplanırken y bağımlı eğişkenini içeren ifaelerin türevini bulmak için zincir kuralı kullanılır. Örneğin, y nin türevi, olarak hesaplanır. y ( y ) y yy' Bu şekile türev hesabına kapalı türev hesabı enir. Örnek. Eğer y f (), F(, + y enklemini sağlıyorsa, y y i bulalım. F (, enkleminin her iki yanının e göre türevini alalım. Verilen enklemin heriki yanının e göre türevi alınarak + y oluğunu görüyoruz. ( + y ) ( 0) + y y' y' y

2 Ders Örnek. y ve arasına y y bağıntısı bulunuğuna göre y y ' i bulalım. y y y ( y y ) + y y' ( y + y') ( y ) y' y y y y y y '. t Örnek. ve t, t e enklemini sağlaığına göre yi bulalım. t e t t ( t e ) (t (t + ) e + t ) e + t( e t t + t( e t ( ) ( t + )) t t t ( te + t e ) e t t e t t t te + t e t e + t t te t e t. Bazı maksimum minimum problemlerinin çözümüne kapalı türevleren yararlanılabilir. Örnek 4. Bir firmanın ürettiği ürüne olan talep piyasaya sürülmesinin t inci gününe ( 500 t birim olarak belirleniyor. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bu firmanın ürün üretmesi urumuna günlük gieri Gi( ) ve günlük geliri Ge( ) maksimum oluğunu ve o gün kaç ürün üretiliğini belirleyiniz. 0 (0.00) YTL olarak tespit eilmiştir. Bu firmanın kârının hangi gün Çözüm. Kâr fonksiyonu K( ) Ge( ) Gi( ) (0.00)

3 Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 65 olup karın maksimum oluğu gün olmalıır. Kapalı türev ya a zincir kuralı ile ( K( )) ( K( )) 8 (0.00). Diğer yanan, ( 500t oluğunan, yukarıaki enklemen (0.00)(500t + 500) 500 ve buraan t 7 ele eilir. O hale, maksimum kâr, ürünün piyasaya sürülmesinin 7 inci gününe gerçekleşir ve o gün ürün üretilir. 0.. Kapalı Denklemle Verilmiş Bir Eğrinin Teğetleri. F(, enkleminin grafiği üzleme bir eğriir. Bu eğri üzerine bir ( 0, y 0 ) noktası ( yani, F ( 0, y 0 ) olan bir ( 0, y 0 ) noktası) için o noktaaki teğetin eğimi, y nün ( 0, y 0 ) için eğeriir ve teğetin enklemi, y nün ( 0, y 0 ) için eğeri m olmak üzere ır. y m( + y 0 ) 0 y nün ( 0, y 0 ) için eğeri ile gösterilir. m y' ( y ) 0, 0 Örnek. y - y + + eğrisinin (, -) noktasınaki teğetinin enklemini bulalım. Önce, (, -) noktasının y - y + + enklemini sağlaığına ikkat einiz:

4 Ders ( ) + +. Teğet oğrusunun eğimini belirlemek için kapalı türevle y y ' i bulmalıyız. Böylece y y + + y' y yy' + y y ( y' ( y ) y'. m (, ) + y' (, -) noktasınaki teğet oğrusunun enklemi y ( ) + ( ) y olarak ele eilir. 4 Örnek. 5y 8 + enklemi ile verilen eğrinin (,) noktasınaki teğetinin eğimini bulalım. Söz konusu teğetin eğimi m y' (,) ir. Kapalı türevle Böylece, 5y yy' y'. 0y 5y 6 m y' (,) 5. Örnek. y + y + enklemi ile verilen eğrinin 4 teki teğet(ler)inin enklem(ler)ini yazalım. Önce bu eğri üzerine apsisi 4 olan nokta var ise o noktanın orinatı ne olacak ona bakalım. Verilen enkleme yerine 4 yerleştirilince y + 4y + ( y + )( y + ) y vya y.

5 Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 67 ele eilir. Demek ki verilen eğri üzerine apsisi 4 olan iki nokta bulunmaktaır: (4,-) ve (4,-). Teğetlerin eğimlerini belirlemek için kapalı türevle y ' yü bullalım. y + y + yy' + y + y' ( + y' y y' + y. y (4,-) noktasına eğim m y' ( 4, ), teğet enklemi y ( 4) y. 4 6 (4,-) noktasına eğim m y' ( 4, ), teğet enklemi y ( 4) y Değişim Oranları. Günlük yaşama en çok karşılaşılan problemleren biri, her ikisi e zamana göre eğişen iki niceliğin birbirlerine göre eğişim oranlarını (artış veya azalış oranlarını) belirlemektir. Örnek olarak, Bir işletme, gierineki artışın kârını ne orana etkileyeceğini bilmek ister. Bir yatırımcı, borsaaki artış oranı ile fert başına milli gelir arasınaki ilişkiyi bilmek isteyebilir. Bir otomobil satıcısı, faiz oranları arttıkça sattığı otomobil sayısının ne orana üşeceğini bilmek ister. Yukarıaki örneklere benzer soruları içeren problemlere eğişim oranı problemleri enir. Değişik bir örnekle başlayalım. Örnek. Yanaki şekile görülüğü gibi, ik bir uvara ayalı 60 cm uzunluğuna bir merivenin yukarı ucu 0 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merivenin üst ucu yeren 40 cm yükseklikte iken aşağı ucu uvaran hangi hızla uzaklaşmaktaır? 60

6 Ders Bir eğişim oranı problemini çözmek için aşağıaki aımlar izlenebilir:. Yarımcı olacaksa bir şekil çizilir.. Bütün eğişkenler, bunlaran eğişim oranları verilenler ve eğişim oranları bulunacak olanlar belirlenir.. Verilen ve bulunacak olan tüm eğişim oranları türev olarak ifae eilir. 4. İkinci aıma belirlenen eğişkenlerin sağlaığı bir enklem yazılır. 5. Dörüncü aıma bulunan enkleme kapalı türev uygulanır ve türeve verilen eğerler yerleştirilir. 6. Ele eilen enklem çözülerek bilinmeyen eğişim oranı bulunur. Meriven probleminin çözümü. Merivenin üst ucunun yeren yüksekliği y, alt ucunun uvara uzaklığı ile gösterilsin. Merivenin üst ucu aşağıya oğru kayığınan, y azaklmaktaır. Dolayısıyla y 0 cm / sn 60 y ir. in eğişim oranı olan yi bulmak için, merivenin uzunluğunun 60 cm olması ve şekileki ik üçgen kullanılarak Pisagor Teoremi ile + y (60) enklemi ele eilir. Bu enklem yarımıyla, y 40 cm olunca 00 cm oluğu görülür. Diğer yanan, zamanı t ile gösterip yukarıaki enkleme t ye göre kapalı türev uygulanınca y + y y ele eilir. Bu enkleme 00, y 40, 0 yerleştirilince ( 00) + ( 40)( 0) 48 cm / sn ele eilir. Merivenin alt ucu uvaran 48 cm/sn hızla uzaklaşmaktaır.

7 Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 69 Ekonomien örnekler verelim. Örnek. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için tespit eiliyor. Fiyatın talebe göre eğişim oranını bulalım p kg talep olacağı Fiyat ve talep arasınaki bağıntıyı p ( p 6 ) biçimine yazalım ve kapalı türev uygulayalım: Buraan, 6 ( p ) ( 60 p ) 5 p. p ( p ) 5 60 p p 0 p 5 6 ele eilir. Örnek. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın güne urumuna sağlaığı gelir birim ürün üretmesi Ge( ) YTL oluyor. Bu firma güne 75 birim ürün üretirken üretimini güne 5 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirineki günlük artış oranı ne olur? Çözüm. Zamanı t ile göstererek gelireki eğişim oranı ( Ge( )) 50 (50 50 ) 5 olur. Bu ifaee 75 ve 5 yerleştirilirse Ge 75 ( 50 ) YTL/gün bulunur. Böylece görülür ki 75 iken gelir güne 75 YTL artmaktaır.

8 Ders Örnek 4. Haftaa rayo üreten bir firmanın toplam gieri ve toplam geliri Gi() Ge() 0 (0.00) YTL olarak veriliyor. Bu firma 000 rayo üretmekte iken, üretimini her hafta 500 rayo artırmağa karar veriyor. Bu uruma firmanın gier, gelir ve kârına meyana gelecek eğişiklikleri bulunuz. Çözüm. 00 iken 500 olacaktır. Gierin zamana göre eğişimi ( Gi( )) Gi'( ), gelirin zamana göre eğişimi ve kâr fonksiyonu ( Ge( )) Ge'( ) 0 ( 0.00) K( ) Ge( ) Gi( ) (0.00) oluğunan kârın zamana göre eğişimi K '( ) 8 00 ( 0. ) olur. 00 iken ( 500 eğişim oranları, sırsıyla olacağını a anımsayarak), gier, gelir ve kâraki haftalık Gi '(000) , ( 0.00) Ge '(000) 0 500, K ( 0.00) '(000) YTL olur. Diğer bir ifae ile, 000 rayo üretilmekte iken gier haftaa 000 YTL, gelir haftaa 000 YTL ve kâr haftaa 000 YTL artar.

9 Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 7 Örnek 5. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için talep eilen miktar ile gösterilirse, + 5p + 50 p enkleminin sağlanığı tespit eiliyor. a) Fiyat 0 YTL iken her ay YTL artırılırsa, talepteki eğişim oranı ne olur? b) Talep 50 kilogram iken aya 6 kilogram azalırsa fiyattaki eğişim oranı ne olur? Çözüm. Değişim zamana göre olmaktaır. t ye göre kapalı türev uygulayalım. + 5p + 50 p p + 5 p + 00 p p. a) p YTL olunca + 5(0) + 50(0) p ve buraan 00 ele eilir. Ayrıca alınarak p p 4 + 5p p bulunur. Talepteki eğişim oranı 700 kg/ay ır. Talep aya kg azalmaktaır. 55 b) 50 kilogram olunca (50) p + 50 p p + 5 p 700 ve buraan p ele eilir. Ayrıca, talep azalığınan, 6 alınarak p p p p p p 4 50 ( 6) ( 6) p p bulunur. Fiyattaki eğişim oranı YTL/ay ır. Fiyat aya YTL artmaktaır

10 Ders 0. 7 Örnek 6. Bir ürün üzerine yeni üretime başlayan bir firma ilk ört ay, t-inci haftaa ( t + 400t + 75 ürün üretmeyi planlıyor. Üretilen ürün sayısıyla bağlantılı olarak, bir ürünün satış fiyatı a p 0 (0.00)( YTL olarak belirlenecektir. Bu firmanın haftalık sabit gieri YTL ve bir ürün için gieri YTL oluğuna göre, 5-inci hafta itibariyle, gier, gelir ve kâraki haftalık eğişim oranlarını bulunuz. Çözüm. Firma, haftaa ürün üretmesi urumuna haftalık gieri YTL ve haftalık geliri Gi() YTL olacaktır ve böylece haftalık kâr Ge()(0- (0.00) )) 0 - (0.00) K() Ge() - Gi() 0 (0.00) -( ) 8 (0.00) YTL ir. Değişim oranlarına gelince ( t + 400t + 75 '( t '(5) Gi Gi Gi ( ( ' ( Ge Ge 0 '( 0.00 ( '( Ge( 0( (0.00) ( K( 8( (0.00) K 5000 K 8 ' ( 0.00 ( ' ( inci hafta itibariyle '(5) 40 birim/hafta, Gi Ge 80, 96 K ve 476 YTL/hafta ır. Başka bir eyimle, gier 80 YTL/hafta, gelir 96 YTL/hafta ve kâr 476 YTL/hafta artmaktaır.

11 Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 7 Problemler 0 y t. a) + ln y ye,? b) t ln e +,? p 4 c) p p + 500,? ç) ( 8,?. Her bir enklemen y yü ve verilen noktaaki teğetin eğimini bulunuz, sonra a teğet enklemini yazınız. a) - y + 4y, (-,) b) y e y, (,0) c) y y, (0,-) ç) y 5, (-,). İki tane motorlu kayık, biri kuzey iğeri e oğu yönüne olmak üzere aynı yeren, aynı ana hareket eiyorlar. Kuzeye gienin hızı, saatte 5 mil, oğuya gienin hızı ise saatte 0 mil oluğuna göre, hareketlerinen saat sonra kayıklar arasınaki uzaklığın (zamana göre) eğişim oranını bulunuz. 4. Durgun bir havuza atılan bir taş airesel algacıklar meyana getiriyor. Bu şekile oluşan bir algacığın yarıçapı saniyee 0.5 metre arttığına göre, algacığın yarıçapı 0 metre iken içine alığı alanın hangi hızla eğiştiğini bulunuz. 5. Dik bir uvara ayanmış olan 0 ft. uzunluğunaki bir merivenin alt ucu kayarak uvaran saniyee ft. hızla uzaklaşmağa başlıyor. Kayma evam eerken, merivenin alt ucu uvar ibine 6 ft. uzaklıkta oluğu ana, üst ucunun (aşağıya oğru) hangi hızla kayığını bulunuz m. lik bir ireğin tepesine bulunan bir sokak lambası ile ayınlanan bir sokakta, 80 cm boyuna bir öğrenci saniyee 5 m. hızla lambanın bulunuğu irekten uzaklaşmaktaır. Öğrenci irekten 0 m. uzaktayken, gölgesinin ucunun ireğe olan uzaklığı hangi hızla eğişmekteir? 7. Bir nokta, y 4 eğrisinin üzerine hareket eiyor. Nokta (, 4) e iken - koorinatı (apsisi) saniyee birim azalıyor. y-koorinatının (orinatının) eğişim oranını bulunuz. 8. Bir su ısıtıcısınan yer halısına su sızmağa başlıyor ve halı üzerine airesel bir alan ıslanıyor. Islanan alan saniyee 50 cm arttığına göre, ıslanan alanın yarıçapı 0 cm. oluğu ana bu yarıçapın hangi orana eğiştiğini bulunuz.

12 Ders Bir firmanın ürettiği ürüne olan talep piyasaya sürülmesinin t inci gününe ( t + 00t + 76 birim olarak belirleniyor. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bu firmanın ürün üretmesi urumuna günlük gieri ve günlük geliri Gi( ) Ge( ) 0 (0.00) YTL olarak tespit eilmiştir. Bu firmanın kârının hangi gün maksimum oluğunu ve o gün kaç ürün üretiliğini belirleyiniz. 0. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için eiliyor. Fiyatın talebe göre eğişim oranını bulunuz p kg talep olacağı tespit. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın güne birim ürün üretmesi urumuna sağlaığı gelir Ge( ) YTL oluyor. Bu firma güne 00 birim ürün üretirken üretimini güne 8 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirineki günlük artış oranı ne olur?. Haftaa aet hesap makinesi üretip satan bir firmanın gier fonksiyonu ve fiyat fonksiyonu Gi() , p() 4 ( / 4000), YTL olarak veriliyor. Bu firma 000 hesap makinesi üretmekte iken, üretimini her hafta 50 hesap makinesi artırmağa karar veriyor. Bu uruma firmanın gier, gelir ve kârına meyana gelecek eğişiklikleri bulunuz.. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için talep eilen miktar ile gösterilirse, + p + 5 p enkleminin sağlanığı tespit eiliyor. a) Fiyat 0 YTL iken her ay YTL artırılırsa, talepteki eğişim oranı ne olur? b) Talep 50 kilogram iken aya 6 kilogram azalırsa, fiyattaki eğişim oranı ne olur?

f (a+h) f (a) h + f(a)

f (a+h) f (a) h + f(a) DERS 7 Marjinal Analiz 7.. Marjinal Değerler. f fonksiyonunun (a, f(a noktasınaki teğetinin eğiminin f (a ve teğetin enkleminin e y f (a ( a + f(a oluğunu biliyoruz. a ya yakın bir a+h eğeri için f (a+h

Detaylı

Ünite. Optik. 1. Gölgeler 2. Düzlem Ayna 3. Küresel Ayna 4. Işığın Kırılması 5. Mercekler 6. Renkler

Ünite. Optik. 1. Gölgeler 2. Düzlem Ayna 3. Küresel Ayna 4. Işığın Kırılması 5. Mercekler 6. Renkler 6 Ünite Optik 1. Gölgeler. Düzlem Ayna 3. üresel Ayna 4. şığın ırılması 5. Mercekler 6. Renkler 1 Gölgeler ve Ayınlanma Test Çözümleri 3 Test 1'in Çözümleri 3. Güneş (3) 1. Paralel ışık emeti be- beyaz

Detaylı

Ünite. Optik. 1. Gölgeler 2. Düzlem Ayna 3. Küresel Ayna 4. Işığın Kırılması 5. Mercekler 6. Renkler

Ünite. Optik. 1. Gölgeler 2. Düzlem Ayna 3. Küresel Ayna 4. Işığın Kırılması 5. Mercekler 6. Renkler 6 Ünite Optik 1. Gölgeler. Düzlem Ayna 3. üresel Ayna 4. şığın ırılması 5. Mercekler 6. Renkler 1 Gölgeler ve Ayınlanma Test Çözümleri 3 Test 1'in Çözümleri 3. Güneş (3) 1. Paralel ışık emeti be- beyaz

Detaylı

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri 9 ork ve Denge est in Çözümleri M. Sistemlerin engee olması için toplam momentin (torkun) sıfır olması gerekir. Verilen üç şekil için enge koşulunu yazalım. F. br =. br F = Şekil II G =. +. +. =. 6 = 6

Detaylı

Türev Kuralları. Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d dx [cf(x)] = c d. dx f(x) dir. Kural 2.

Türev Kuralları. Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d dx [cf(x)] = c d. dx f(x) dir. Kural 2. Bölüm 3 Türev Kuralları Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, ir. x [cf(x)] = c x f(x) Kural 2. Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. [f(x) ± g(x)]

Detaylı

Teknik Not / Technical Note KONUT SEKTÖRÜ İÇİN LİNYİT KÖMÜRÜ TÜKETİCİ FAZLASI

Teknik Not / Technical Note KONUT SEKTÖRÜ İÇİN LİNYİT KÖMÜRÜ TÜKETİCİ FAZLASI MADENCİLİK, Cilt 45, Sayı 4, Sayfa 29-4, Aralık 26 Vol.45, No. 4, pp 29-4, December 26 Teknik Not / Technical Note KONUT SEKTÖRÜ İÇİN LİNYİT KÖMÜRÜ TÜKETİCİ FAZLASI Consumer Surplus of Lignite Coal Consumption

Detaylı

İnşaat Mühendisliği Bölümü UYGULAMA 1- BOYUT ANALİZİ

İnşaat Mühendisliği Bölümü UYGULAMA 1- BOYUT ANALİZİ UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ (Buckingham) teoremini tanımlayınız. Temel (esas) büyüklük ve temel (esas) boyut ne emektir? Açıklayınız. Bir akışkanlar mekaniği problemine teoremi uygulanığına

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİKSEL ALAN VE SIĞA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİKSEL ALAN VE SIĞA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ . SINI ONU ANATIMI. ÜNİTE: EETRİ E MANYETİZMA. onu DÜZGÜN EETRİSE AAN E SIĞA ETİNİ E TEST ÇÖZÜMERİ Düzgün Elektriksel Alan ve Sığa. Ünite. onu A nın Çözümleri 4. E e mg. Birbirine paralel yerleştirilen

Detaylı

İ. T. Ü İ N Ş A A T F A K Ü L T E S İ - H İ D R O L İ K D E R S İ BOYUT ANALİZİ

İ. T. Ü İ N Ş A A T F A K Ü L T E S İ - H İ D R O L İ K D E R S İ BOYUT ANALİZİ İ. T. Ü İ N Ş A A T F A K Ü L T E S İ - H İ D R O L İ K D E R S İ BOYUT ANALİZİ (Buckingham) teoremini tanımlayınız. Temel (esas) büyüklük ve temel (esas) boyut ne emektir? Açıklayınız. Bir akışkanlar

Detaylı

Önceki bölümde bir f fonksiyonunun bir a noktasındaki tanım değeri kadar x

Önceki bölümde bir f fonksiyonunun bir a noktasındaki tanım değeri kadar x 3 TÜREV Önceki bölüme bir f fonksiyonunun bir a noktasınaki tanım eğeri kaar x bağımsız eğişkeni a noktasına yaklaşırken f nin avranışınına önemi vurgulanmış ve it kavramı tanıtılmıştı. Daha sonra it kavramınan

Detaylı

A noktasında ki cisim uzaklaşırken de elektriksel kuvvetler iş yapacaktır.

A noktasında ki cisim uzaklaşırken de elektriksel kuvvetler iş yapacaktır. C) ELEKTRİKSEL POTNSİYEL ENERJİ: Şekil 1 eki +Q yükü, + yükünü Q. F k kuvveti ile iter. Bu neenle + yükünü sonsuzan ya a topraktan noktasına getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılır. Bu iş,

Detaylı

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme BÖLÜM I Tam sayılara Bölünebilme Teorem 1.1 (Bölme algoritması) b > 0 olmak üzere, verilen a ve b tam sayıları için a = qb + r, 0 r < b (1) olacak şekile bir ve bir tek q, r Z çifti varır. İspat: 1. İlk

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI

11. SINIF SORU BANKASI . SINIF SORU BANKASI. ÜNİTE: ELEKTRİK E MANYETİZMA. Konu TEST ÇÖZÜMLERİ Düzgün Elektrik Alan e Sığa TEST in Çözümleri. L Şekil II e, tan b E mg mg...( ) () e () bağıntılarının sağ taraflarını eşitlersek;

Detaylı

Elektriksel Alan ve Potansiyel. Test 1 in Çözümleri. Şekle göre E bileşke elektriksel alan açıortay doğrultusunda hareket ettiğine göre E 1. dir.

Elektriksel Alan ve Potansiyel. Test 1 in Çözümleri. Şekle göre E bileşke elektriksel alan açıortay doğrultusunda hareket ettiğine göre E 1. dir. 3 lektriksel lan ve Potansiyel 1 Test 1 in Çözümleri 1. 3. 1 30 30 1 3 Şekil inceleniğine noktasınaki elektriksel alanı oluşturan yük tek başına 3 ür. 1 ve yüklerinin noktasına oluşturukları elektriksel

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALANI ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALANI ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ SINI KONU NLTIMLI ÜNİTE: ELEKTRİK VE MNYETİZM Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK LNI ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ Elektriksel Kuvvet ve Elektrik lanı Ünite Konu nın Çözümleri kuvvetinin yatay ve üşey bileşenleri

Detaylı

Pegem Pegem. Pegem Pegem. Pegem. Pegem. Pegem

Pegem Pegem. Pegem Pegem. Pegem. Pegem. Pegem İ itörler: Kerem KÖKR - Kenan SMNĞLU Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem Pegem KPSS Geometri itörler: Kerem Köker / Kenan smanoğlu KPSS Geometri ISN 978-605-364-197-1

Detaylı

Adnan GÖRÜR Duran dalga 1 / 21 DURAN DALGA

Adnan GÖRÜR Duran dalga 1 / 21 DURAN DALGA Anan GÖRÜR Duran alga 1 / 21 DURAN DAGA Uygulamalara, iletim hattı boyunca fazör voltaj veya akımının genliğini çizmek çok kolayır. Bunlara kısaca uran alga (DD) enir ve Kayıpsız Hat Kayıplı Hat V ( )

Detaylı

FİZİK MOMENT - DENGE MO MEN T. M o m e n t = K u v v e t x D i k U z a k l ı k

FİZİK MOMENT - DENGE MO MEN T. M o m e n t = K u v v e t x D i k U z a k l ı k İZİ E - DEGE Günlük hayatta karşılaştığımız anahtarla kapının açılması bir vianın sıkıştırılması pencerenin açılıp kapanması gibi olaylar kuvtin önürme etkisiyle oluşan olaylarır. E uvtin önürücü etkisine

Detaylı

Bağıl Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Gözlemcinin K, M ve N araçlarında olduğu düşünülerek. Bunun için gözlemci vektörü ters çevrilir.

Bağıl Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Gözlemcinin K, M ve N araçlarında olduğu düşünülerek. Bunun için gözlemci vektörü ters çevrilir. 12 Bağıl Hareket 1 est 1 in Çözümleri 1. my α m m noktasınan harekete geçen motor hızının my ik bileşeni ile karşı ya arır. Akıntı olmasayı motor noktasına çıkacaktı. uzaklığını belirleyen, akıntı hızı

Detaylı

Küresel Aynalar. Test 1 in Çözümleri

Küresel Aynalar. Test 1 in Çözümleri 0 üresel Aynalar Test in Çözümleri 4.. L T T 4 Cismin L noktası merkeze e birim yükseklikte oluğu için görüntüsü yine merkeze, ters e birim yükseklikte olur. Cismin noktası an uzaklıkta e birim yükseklikte

Detaylı

Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi. MAXWELL DENKLEMLERİ VE ELEKTROMANYETİK DALGALAR Giriş

Elektromanyetik Teori Bahar 2005-2006 Dönemi. MAXWELL DENKLEMLERİ VE ELEKTROMANYETİK DALGALAR Giriş MAXWELL DENKLEMLERİ VE ELEKTROMANYETİK DALGALAR Giriş Teori alanınaki katkılarıyla 19. yüzyıl fiziğinin en büyük alarınan biri olan Maxwell in en önemli çalışması elektromanyetizma hakkınaır. Maxwell,

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II DERS 7 Türv Hsabı v Bazı Uygulamalar II Bu rst bilşk fonksiyonlarının türvi il ilgili zincir kuralını, üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini, ortalama v marjinal ortalama ğrlri; rsin sonuna oğru,

Detaylı

1. BÖLÜM ELEKTROSTATİK. Yazar: Dr. Tayfun Demirtürk E-posta: tdemirturk@pau.edu.tr

1. BÖLÜM ELEKTROSTATİK. Yazar: Dr. Tayfun Demirtürk E-posta: tdemirturk@pau.edu.tr 1. BÖLÜM ELEKTROSTATİK Yazar: Dr. Tayfun Demirtürk Eposta: temirturk@pau.eu.tr 1 ELEKTROSTATİK: Durgun yüklerin etkilerini ve aralarınaki etkileşmeleri inceler. Doğaa iki çeşit elektrik yükü bulunur: ()

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

STOK KONTROL YÖNETİMİ

STOK KONTROL YÖNETİMİ STOK KONTRO YÖNETİMİ 1) Stok Yönetiminin Unsurları (Stok yönetiminin önemi, talep ve stok maliyetleri) ) Stok Kontrol Sistemleri (Sürekli ve Periyoik Sistemler) 3) Ekonomik Sipariş Miktarı (EO) Moelleri

Detaylı

Kapasitans (Sığa) Paralel-Plaka Kondansatör, Örnek. Paralel-Plaka Kondansatör. Kondansatör uygulamaları Kamera flaşı BÖLÜM 26 SIĞA VE DİELEKTRİKLER

Kapasitans (Sığa) Paralel-Plaka Kondansatör, Örnek. Paralel-Plaka Kondansatör. Kondansatör uygulamaları Kamera flaşı BÖLÜM 26 SIĞA VE DİELEKTRİKLER BÖLÜM 6 SIĞ VE DİELEKTRİKLER Sığa nın tanımı Sığa nın hesaplanması Konansatörlerin bağlanması Yüklü konansatörlere epolanan enerji Dielektrikli konansatörler Problemler Kapasitans (Sığa) Konansatör çitli

Detaylı

ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME HEDEF PROGRAMLAMA

ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME HEDEF PROGRAMLAMA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME HEDEF PROGRAMLAMA KONU 10 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Genel Bilgiler Lineer programlama kapsamına tek bir amaç fonksiyonu uruma göre maksimize veya minimize eilmekteir. Ancak, gerçek

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİK ALAN VE SIĞA TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİK ALAN VE SIĞA TEST ÇÖZÜMLERİ . SINIF SORU BANASI. ÜNİTE: EETRİ E MANYETİZMA. onu DÜZGÜN EETRİ AAN E SIĞA TEST ÇÖZÜMERİ Düzgün Elektrik Alan ve Sığa TEST in Çözümleri. Şekil II e, E tan b mg mg... ( ) () ve () bağıntılarının sağ taraflarını

Detaylı

BRİNELL SERTLİK YÖNTEMİ

BRİNELL SERTLİK YÖNTEMİ www.muhenisiz.net 1 BRİNELL SERTLİK YÖNTEMİ Belli çaptaki sert bir bilya malzeme yüzeyine belli bir yükü uygulanarak 30 saniye süre ile bastırılır. Deneye uygulanan yükün meyana gelen izin alana bölünmesiyle

Detaylı

MKM 308 Makina Dinamiği

MKM 308 Makina Dinamiği MKM 308 Lagrange Denklemleri Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü E k E k = Q k n: Serbestlik Derecesi Lagrange Denklemleri Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü k = 1,, 3,.., n E k

Detaylı

. KENDİNE BENZERLİK VE FRAKTAL BOYUT

. KENDİNE BENZERLİK VE FRAKTAL BOYUT . KEİE BEZERLİK VE FRAKAL BOYU Bu bölüme fraktal geometrinin temel ve birbiriyle ilişkili iki temel kavramı olan Kenine Benzerlik ve Fraktal Boyut incelenecektir. 3. Kenine Benzerlik (Self similarity)

Detaylı

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar: 100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min

Detaylı

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek. Polinomların ve. Üstel Fonksiyonların Türevleri. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise,

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek. Polinomların ve. Üstel Fonksiyonların Türevleri. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise, Bilinen Türevleren Yeni Türevler Ele Etmek Bilinen Türevleren Yeni Türevler Ele Etmek Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, x [cf(x)] = c x f(x) ir. Toplam-Fark Kuralı

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ FİZİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ FİZİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ FİZİK SORU 1: Sıcaklığı 20 C olan 100 g su soğutulmaktaır. Suyun sıcaklığının, veriği ısıya bağlı eğişimini veren grafik şekileki gibiir. ( csu = 1cal/g C ) Suyun sıcaklığı(

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALAN TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALAN TEST ÇÖZÜMLERİ . SINI SORU BANKASI. ÜNİT: LKTRİK V MANYTİZMA. Konu LKTRİKSL KUVVT V LKTRİK ALAN TST ÇÖZÜMLRİ Test in Çözümleri. lektriksel Kuvvet ve lektrik Alan I k. A K() k. ve yüklerinin K noktasınaki yükü üzerine

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 4 Sayı: 1 sh. 19-35 Ocak 2002 LED İN DARBELİ AŞIRI AKIMDA BAZI DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 4 Sayı: 1 sh. 19-35 Ocak 2002 LED İN DARBELİ AŞIRI AKIMDA BAZI DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 4 Sayı: 1 sh. 19-35 Ocak 00 LED İN DARBELİ AŞIRI AKIMDA BAZI DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ ÖZET/ABSTRACT (AN INVESTIGATION OF SOME BEHAVIORS OF

Detaylı

NOKTANIN İZ DÜŞÜMÜ VE İŞARETLEME

NOKTANIN İZ DÜŞÜMÜ VE İŞARETLEME r. oç. r. Musa Galip ÖZK NOKTNIN İZ ÜŞÜMÜ VE İŞRETLEME Herhangi ir cismin tasarlanması veya çizilmiş resminin okunması, ununla ilişkili noktalara ait görünüşlerin analiz eilmesi ile sağlanır. İki noktaan

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji

Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji Kavrama Soruları - iziksel iş ile günlük hayatta alışık oluğumuz iş kavramları aynımıır? - Kuvvet ve yer eğiştirmenin sıfıran farklı oluğu urumlara iş sıfır olabilir mi? 3-

Detaylı

hızlarıyla va > vb olacak biçimde hareket ettiklerinde, aşağıda sıralanan süreç yaşanır.

hızlarıyla va > vb olacak biçimde hareket ettiklerinde, aşağıda sıralanan süreç yaşanır. 7.1 KONUY KIŞ uraya kaar parçacığın parçacıklar topluluğunun kinematiği ile kinetiği (hareket enklemi, iş ve enerji, impulsmomentum) anlatılı. Şimi birikimlerimizi kullanarak, inamik içeriği aha yoğun

Detaylı

Örnek...17 : 1) EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DOĞRUNUN DENKLEMİ

Örnek...17 : 1) EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DOĞRUNUN DENKLEMİ C) ÖZEL DOĞRU DENKLEMLERİ Örnek...17 : A ( 3, 6 ) n ok t a s ı n a n v e o r i j i n e n g e ç e n o ğ r u n u n e n k l em i n e i r? 1) EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DOĞRUNUN DENKLEMİ eksenini A(a,0)

Detaylı

Elektrostatik ve Elektriksel Kuvvetler. Test 1 in Çözümleri

Elektrostatik ve Elektriksel Kuvvetler. Test 1 in Çözümleri 0 lektrostatik ve lektriksel uvvetler 1 Test 1 in Çözümleri 1. cismi küresini itmiş, Z küresini çekmiştir. ani ile aynı cins, ile Z zıt cins elektrikle yüklüür. Z Cevap B ir.. Her üç küre aynı ana birbirine

Detaylı

Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm:

Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm: 42 Bölüm 6 Ders 06 147 /6 y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman sn, uzaklık cm cinsinden olsun) bulunduğu noktanın ordinatı f (x) = 2x 4 8x 3 7 olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu

Detaylı

M Ry. Vücut Kütle Merkezi Konumu Hesabı. Nm 2. y 2. Dersin Kapsamı. Kütle Çekim Kuvveti. Kütle. Ağırlık. Moment. Denge. 4 Mart 2010 Arif Mithat Amca

M Ry. Vücut Kütle Merkezi Konumu Hesabı. Nm 2. y 2. Dersin Kapsamı. Kütle Çekim Kuvveti. Kütle. Ağırlık. Moment. Denge. 4 Mart 2010 Arif Mithat Amca Dersin Kapsamı Vücut Kütle erkezi Konumu Hesabı Kütle Ağırlık oment 4 art 0 Arif ithat Amca Denge Ağırlık/Kütle erkezi İnsana Vücut Kütle/Ağırlık erkezinin Konumunu Hesaplama Yöntemleri Newton un Evrensel

Detaylı

ATÖLYE BİLGİSİ SIVI BASINCI

ATÖLYE BİLGİSİ SIVI BASINCI ATÖYE BİGİSİ SIVI BASINCI Sıvılar ağırlıklarınan olayı bulunukları kabın saece tabanına eğil, kabın yüzeyinin er yerine ve içineki cisimlerin er yerine bir kuvvet uygular. Uygulaığı bu kuvvet etkisi ile

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

ÖKLİDYEN OLMAYAN BİR UZAYDA WEITZENBÖCK EŞİTSİZLİĞİ

ÖKLİDYEN OLMAYAN BİR UZAYDA WEITZENBÖCK EŞİTSİZLİĞİ ÖZEL EGE LİSESİ ÖKLİDYEN OLMAYAN BİR UZAYDA WEIZENBÖCK EŞİSİZLİĞİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Eren ÜRER DANIŞMAN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ İZMİR 014 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 3. GİRİŞ.... 3 3. YÖNEM...

Detaylı

Deney 21 PID Denetleyici (I)

Deney 21 PID Denetleyici (I) Deney 21 PID Denetleyici (I) DENEYİN AMACI 1. Ziegler ve Nichols ayarlama kuralı I i kullanarak PID enetleyici parametrelerini belirlemek. 2. PID enetleyici parametrelerinin ince ayarını yapmak. GENEL

Detaylı

( ) ( ) m = DERS 10. Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları Kapalı Türev(İmplicit Differentiation).

( ) ( ) m = DERS 10. Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları Kapalı Türev(İmplicit Differentiation). DERS Türevin Ugulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları.. Kapalı Türev(İmplici Differeniaion). Eğer f (), denkleminde olduğu gibi kapalı(implici olarak verilmişse, ü bulmak için zincir kuralı kullanılabilir:

Detaylı

VİDA DİŞİNİN VERİMİ. M. Belevi ve C. Koçhan

VİDA DİŞİNİN VERİMİ. M. Belevi ve C. Koçhan VİDA DİŞİNİN VERİMİ M. Belevi ve C. Koçan 1. DENEYİN AMACI: Deneyin amacı kare ve üçgen profilli viaların verimlerini belirlemektir. Biliniği gibi Metrik veya Witwort vialar bağlama amacı için uygun iken

Detaylı

ÖRNEKTİR. Uyarı! ertansinansahin.com A) 1 2 B) 2 3. İletkenlik

ÖRNEKTİR. Uyarı! ertansinansahin.com A) 1 2 B) 2 3. İletkenlik Elektrik kımı ve Devreleri Elektrik akımı Potansiyel fark (gerilim) Yüklü küreler arasınaki yük alışverişini, sıvı seviyelerinin farklı oluğu kaplaraki sıvı akışıyla kıyaslayalım. Yüksek potansiyel ve

Detaylı

SIVI BASINCI BÖLÜM 14

SIVI BASINCI BÖLÜM 14 IVI BINCI BÖÜ 1 ODE ORU 1 DE ORURIN ÇÖÜER. 1...g..g..g ir. Buna göre, > CEV E. Bir elikten akan suyun ızı eliğin kesitine ve o noktaaki basıncına yani eliğin nın açık olan yüzeyine olan uzaklığına bağlıır.

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

Sabit Bağlama Gövde Hesabı

Sabit Bağlama Gövde Hesabı Sabit Bağlama Göve Hesabı Statik Profil Etki Een Kuvvetler Esas Kuvvetler : hirostatik kuvvet (en yüksek kabarma seviyesine), bağlamanın keni ağırlığı, taban su basıncı Tali Kuvvetler : eprem kuvveti,

Detaylı

DERS 6. Türev. 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını

DERS 6. Türev. 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki değişim oranını DERS 6 ürev 6 ürev y enklemi ile verilen onksiyon ve ir a sayısı üşüne nin a civarınaki eğişim oranını a a olarak tanımlaığımızı anımsayalımaşağıaki şekle akarak oranı yormlamağa çalışalım a y a a Eğim:

Detaylı

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11 98 ÖSS. >0 olmak koşulu ile 2+, 3+, 4+ sayıları bir dik üçgenin kenar uzunluklarını göstermektedir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? A) 2 B) 2 9 C) 0 D) 5 E) 2a c 6. 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden

Detaylı

Bir boyutta sabit ivmeli hareket..

Bir boyutta sabit ivmeli hareket.. Bir boyutta sabit ivmeli hareket.. İvme sabit olduğunda, ortalama ivme ani ivmeye eşit olur. Hız hareketin başından sonuna kadar aynı oranda artar veya azalır. a x = v xf v xi t ; t i = 0 ve t f = t alınmıştır

Detaylı

Elektrostatik ve Elektriksel Kuvvetler. Test 1 in Çözümleri

Elektrostatik ve Elektriksel Kuvvetler. Test 1 in Çözümleri lektrostatik ve lektriksel uvvetler 1 Test 1 in Çözümleri 1. Y cismi X küresini itmiş, Z küresini çekmiştir. Yani X ile Y aynı cins, Y ile Z zıt cins elektrikle yüklüür. 5. X Y Z. () yüklü küreciği elektroskobun

Detaylı

GEMİ STABİLİTESİ. Başlangıç Stabilitesi (GM) Statik Stabilite (GZ-ø eğrisi) Dinamik Stabilite (GZ-ø eğrisi altında kalan alan )

GEMİ STABİLİTESİ. Başlangıç Stabilitesi (GM) Statik Stabilite (GZ-ø eğrisi) Dinamik Stabilite (GZ-ø eğrisi altında kalan alan ) Eİ STAİLİTESİ Hasarsız emi Stabilitesi aşlangıç Stabilitesi () Statik Stabilite (Z-ø eğrisi) Dinamik Stabilite (Z-ø eğrisi altına kalan alan ) Yüzen Cisimlerin Dengesi ve aşlangıç Stabilitesi emiye herhangi

Detaylı

MATEMATİK-II dersi. Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret. Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları

MATEMATİK-II dersi. Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret. Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları MATEMATİK-II dersi Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları ] e d =? = u d= du du d= udu u u e d= e d= e = edu= e + c= e + c ] e d =? = + = e + c e d e

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 6 20502- Ortak Akıl Aem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder.

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder. EĞİK ATIŞ Bir merminin serbest uçuş hareketi iki dik bileşen şeklinde, yatay ve dikey hareket olarak incelenir. Bu harekette hava direnci ihmal edilerek çözüm yapılır. Hava direnci ihmal edilince yatay

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Temel Matematik Testi - 3

Temel Matematik Testi - 3 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 003. u testte 0 soru vardır. 2. Tavsiye edilen süre 0 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

TEST. Düzlemsel Şekillerin Eşliği. 2. Yandaki şekil, 3. Aşağıdakilerden hangisi diğerleri ile eş değildir?

TEST. Düzlemsel Şekillerin Eşliği. 2. Yandaki şekil, 3. Aşağıdakilerden hangisi diğerleri ile eş değildir? üzlesel Şekillerin Eşliği 7. Sınıf Mateatik Soru ankası TEST 70 1. 4. Yukarıaki kareli kağıtta verilen a, b, c, ve şekillerine göre, hangi ikisi eşittir? ) a ile b ) a ile c ) b ile ) c ile Yukarıaki kareli

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

TRANSMİSYON CIVATALARI

TRANSMİSYON CIVATALARI TRANSMİSYON CIVATALARI Kuvvet veya hareket iletimine kullanılan via mekanizmalarına transmisyon cıvataları enir. Yük altına sıkılan cıvatalar, çektirme cıvata mekanizmaları veya sık sık çözülüp bağlanan

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

MEV KOLEJİ ÖZEL ANKARA OKULLARI 10. SINIF FİZİK DERSİ YAZ TATİLİ EV ÇALIŞMASI

MEV KOLEJİ ÖZEL ANKARA OKULLARI 10. SINIF FİZİK DERSİ YAZ TATİLİ EV ÇALIŞMASI 2014 2015 MEV OEJİ ÖZE ANARA OUARI 10. SINIF FİZİ DERSİ AZ TATİİ EV ÇAIŞMASI Öevin Veriliş Tarii: 12.06.2015 Öevin Teslim Tarii:21.09.2015 1. Baş kısmının kesit alanı 0,4cm² olan bir çivi, tataya 16N luk

Detaylı

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

MAKROİKTİSAT (İKT209)

MAKROİKTİSAT (İKT209) MKROİKTİST (İKT29) Ders 5: Basit Keynesyen Moel Prof. Dr. Fera HLICIOĞLU İktisat Bölümü Siyasal Bilgiler Fakültesi İstanbul Meeniyet Üniversitesi Derste İnelenen Konular Basit Keynesyen moel Toplam planlanan

Detaylı

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır.

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır. . KÜMELERİN YAPILARI. Açık Kümeler-Kapalı Kümeler vereceğiz. Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç ylla labilir. Biz bu ylların birkaçını.. Tanım: (X, ) metrik uzay x0 (i) B(x, r) { x X : (x, x)

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DĞHN MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu Kuvvet

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için

Detaylı

Küresel Aynalar. Test 1 in Çözümleri

Küresel Aynalar. Test 1 in Çözümleri 8 üresel Aynalar est in Çözümleri 4.. L 4 Cismin L noktası merkeze e birim yükseklikte oluğu için görüntüsü yine merkeze, ters e birim yükseklikte olur. Cismin noktası an uzaklıkta e birim yükseklikte

Detaylı

Harita 1: Esenyurt un Đstanbuldaki Yeri..2 Harita 2: Esenyurt Mahalli Yapısı...3 Harita 3: Su Kaynakları Bakımından Esenyurt...4 A.

Harita 1: Esenyurt un Đstanbuldaki Yeri..2 Harita 2: Esenyurt Mahalli Yapısı...3 Harita 3: Su Kaynakları Bakımından Esenyurt...4 A. ĐÇĐNEKĐLER Sayfa No Harita : Esenyurt un Đstanbulaki Yeri..2 Harita 2: Esenyurt Maalli Yapısı...3 Harita 3: Su Kaynakları Bakımınan Esenyurt...4 A. Kaynaktan Alınan Suyun Yerleşim Merkezine Getirilmesi

Detaylı

Bölüm 2 YAPI BİLEŞENLERİNDE ISI VE BUHAR GEÇİŞİ

Bölüm 2 YAPI BİLEŞENLERİNDE ISI VE BUHAR GEÇİŞİ ME40- Isıtma ve Havalanırma Bahar, 07 Bölüm YAPI BİLEŞENLERİNDE ISI VE BUHAR GEÇİŞİ Ceyhun Yılmaz Afyon Kocatepe Üniversitesi eknoloji Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü YAPI Yapıyı oluşturan uvar, pencere,

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

S7 300 İLE PROFIBUS ÜZERİNDEN SİSTEMİN GERÇEK ZAMANLI PID KATSAYILARININ BULUNARAK PID İLE KONTROLÜ

S7 300 İLE PROFIBUS ÜZERİNDEN SİSTEMİN GERÇEK ZAMANLI PID KATSAYILARININ BULUNARAK PID İLE KONTROLÜ S7 3 İLE PROFIBUS ÜZERİNDEN SİSEMİN GERÇEK ZAMANLI PID KASAYILARININ BULUNARAK PID İLE KONROLÜ Ali Uğur Ağlar, Sıtkı Öztürk, Melih Kunan 3, Elektronik ve Haberleşme Mühenisliği Bölümü Koaeli Üniversitesi,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

STAD. Balans vanası ENGINEERING ADVANTAGE

STAD. Balans vanası ENGINEERING ADVANTAGE Balans vanaları STAD Balans vanası Basınçlanırma & Su kalitesi Balanslama & Kontrol Termostatik kontrol ENGINEERING ADVANTAGE STAD balans vanaları geniş bir uygulama alanına hassas hironik performans sağlar.

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Soru 1. Oak mesafesi F = 15cm olan ince kenarlı bir (Λ) mercekten l uzaklığa bir tümsek ayna yerleştiriliyor. Bu sistem cismin konumunan bağımsız olarak cismin görüntüsünü üz ve cisimle aynı boya oluşturuğuna

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı