Bağımlı Kukla Değişkenler

Transkript

1 Bağımlı Kukla Değişkenler Bağımlı değişken özünde iki değer alabiliyorsa yani bir özelliğin varlığı ya da yokluğu söz konusu ise bu durumda bağımlı kukla değişkenler söz konusudur. Bu durumdaki modelleri tahmin etmek için dört yaklaşım vardır: -Doğrusal Olasılık Modeli -Logit Modeli -Probit Modeli -Tobit Modeli 1

2 Doğrusal Olasılık Modeli Y i = b 1 + b 2 X i +u i Y i = 1 Eğer i. Birey istenen özelliğe sahipse 0 Diğer Durumlarda X i = Bağımsız değişken Bu modele olasılıklı model denmesinin nedeni, Y nin X için şartlı beklenen değerinin, Y nin X için şartlı olasılığına eşit olmasıdır. E(Y i X i )=Pr(Y i =1 X i ) 2

3 Doğrusal Olasılık Modeli E(u i ) = 0 E(Y i X i )= b 1 + b 2 X i Y i değişkeninin olasılık dağılımı: Y i Olasılık 0 1-P i 1 P i Toplam 1 E(Y i X i ) = SY i P i =0.(1-P i ) + 1.(P i ) = P i E(Y i X i )= b 1 + b 2 X i = P i 0 E(Y i X i ) 1 3

4 DOM Tahminindeki Sorunlar u i hata teriminin normal dağılmayışı: Normallik varsayımının sağlanmaması durumunda tahmin ediciler sapmasızlıklarını korurlar. Nokta tahminde normallik varsayımı gözardı edilir. Örnek hacmi sonsuza giderken EKK tahmincileri çoğunlukla normal dağılıma uyarlar DOM ile yapılan istatistiksel çıkarsamalar normallik varsayımı altındaki EKK sürecine uyarlar 4

5 u ların Binom Dağılımlı Olması EKKY varsayımlarından biri u değerlerinin dağılımının normal olmasıdır. Bu varsayım sayesinde katsayı tahminlerinin güven aralıkları hesaplanıp, test yapılabilmektedir. DOM de u lar normal dağılmaz, binom dağılımı gösterir: Y b b X u u Y b b X Y i i i ve 0 değerini aldığında Y i =1 için i 1 2 i u 1 b b X u b b X Y i =0 için i 1 2 i i u lar normal değildir. İki değerli binom dağılımlıdır. Ancak büyük örneklerde DOM güven aralıkları ve hipotez testleri geçerlidir ve EKKY normal dağılım varsayımının sağlandığı 5 kabul edilmektedir.

6 u i hata teriminin değişen varyanslı olması: DOM de u lar eşit varyanslı değillerdir. Bunun için kesikli bir Y değişkeni varyansından hareketle Var ( Y) ( Y Y yerine u alınarak Var ( u) ( u Y ). P( 2 i Y i u) 2 ). P( u) ( u ). P( 2 i u i ) Y i u i İhtimal=P(u i ) 0 -b 1 -b 2 X (1-P i ) 1 1-b 1 -b 2 X P i Var(u ) ( b b X) (1 P ) (1 b b X) (P ) 2 2 i 1 2 i 1 2 i Var(u i) (b1 b2x)(1 b1 b2x) Var(u i) E(Y X i)[1 E(Y X i)] P i(1 P i) 6

7 u nun varyansı farklıdır. u nun varyansı Y nin X için şartlı beklenen değerine bağlıdır ve sonuçta u nun varyansı X in değerine bağlı olacak ve eşit olmayacaktır. u i hata teriminin değişen varyanslı olması: Var(u i ) = P i (1-P i ) DOM nin EKKY ile tahmininde ortaya çıkan farklı varyans problemine aşağıdaki dönüşümlü modeli tahmin ederek çözüm getirmek mümkündür: Y b1 b2xi ui v v v v i i i i vi E(Y X i)[1 E(Y X i)] P i(1 P i) 7

8 DOM de Farklı Varyansı Önleme E(Y X i) ler bilinmediğinden bunun yerine örnek tahmini ˆi değerleri hesaplanarak konarak ˆv ler kullanılır. v Y ˆ (1 Y ˆ ) i i i ifadesinde yerine 0 E(Y i X i ) 1 varsayımının yerine gelmeyişi DOM de Y nin şartlı olasılığını gösteren E(Y X) nın 0 ila 1 arasında bulunması şarttır. Y; 0 ve 1 değerini almaktadır.bu şart Y anakütle için geçerlidir. Anakütlenin tahmincisi olmayabilir. Yˆi için geçerli Tahmini şartlı olasılıklar 0 ile 1 olmayabilir: 8

9 0 E(Y i X i ) 1 0 ile 1 arasında mıdır? DOM, EKKY ile elde edildikten sonra Bunlardan bir kısmı 0 dan küçük, negatif değerli ise, bunlar için Yˆi 0 değerini alır. 1 den büyük değerli ise bunlar için nin 1 e eşit olduğu kabul edilir. Dönüştürmeden sonra EKKY tekrar uygulanır ve farklı varyansın kalktığı görülebilir. Yˆi u v eşit varyanslıdır. Bu yöntem TEKKY dir. 9

10 Doğrusal Olasılık Modeli D i = b 1 + b 2 M i +b 3 S i +u i D i = 1 Eğer i. Kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa 0 Diğer Durumlarda M i = 1 Eğer i. Kadın evliyse ve diğer durumlarda 0 S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim 10

11 D i M i S i D i M i S i Kadının İşgücüne Katılımı Modeli: D i = 1 i.kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa 0 Diğer Durumlarda M i = 1 i. Kadın evliyse 0 diğer durumlarda S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim 11

12 Kadının İşgücüne Katılımı Modeli D i = b 1 + b 2 M i +b 3 S i +u i M i = 1 Kadın evliyse ;0 diğer durumlarda ; S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim Dependent Variable: D I Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C M I S I R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

13 White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Dependent Variable: RESID^2 Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t- Statistic Prob. C MI MI*SI SI SI^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

14 DOM de Farklı Varyansı Önleme Dependent Variable: Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. 1/ v M / v S/ v D v b v b M v b S v u v i 1 2 i 3 i i D / v R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

15 UYGULAMA:Cep telefonunun kullanılıp kullanılmamasını ifade eden bağımlı kukla değişken 50 kişiye yapılan anket sonuncunda yaş ve aylık ortalama gelir ile açıklanmıştır.(y=1, cep telefonuna sahip ise, Y=0 cep telefonuna sahip değilse) Kişi Y X(Gelir) Z(Yaş) Kişi Y X(Gelir) Z(Yaş)

16 Y=1, cep telefonuna sahip ise, Y=0 cep telefonuna sahip değilse; X(Gelir); Z(Yaş) Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 50 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C X Z R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

17 White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Dependent Variable: RESID^2 Included observations: 50 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C X X^2 1.63E E X*Z E Z Z^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

18 Kişi Kişi Kişi Kişi Y Y Y Y 18

19 Dependent Variable: Y / v Method: Least Squares Sample: 1 50 Included observations: 44 Excluded observations: 6 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. 1/ v X / v Z/ v R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

20 DOM e Alternatif Model Arama DOM ile ilgili sayılan sorunların hepsi bir şekilde aşılabilir Ancak, DOM, P i =E(Y=1 X) olasılığının X le doğrusal olarak arttığını varsayar. Yani X deki marjinal veya küçük bir artış hep sabittir. Gerçek hayatta ise bu beklenen bir durum değildir. DOM ile ilgili sorunlar şu iki özellik sayesinde aşılabilir: 1.X i arttıkça P i =E(Y=1 X) de artar ancak 0 ile 1 aralığının dışına çıkmaması gerekmektedir. 2.P i ile X i arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması gerekmektedir. 20

21 DOM e Alternatif Model Arama Yukarıdaki iki özelliği taşıyan modelin şekli aşağıda verilmiştir: 1 P KDF X Yukarıdaki eğri kümülatif dağılım fonksiyonuna benzemektedir. Bu fonksiyon kukla bağımlı değişkenli regresyon modellerinde kullanılabilir. 21

22 Logit Model Logistik Dağılım Fonksiyonu 1 1 P i =E(Y=1 X) (b 1 b2x i ) 1 e e Z 1 i Z b b X 1 2 kümülatif lojistik dağılım fonksiyonudur. Zi Zi 1 1 e 1 e 1 P 1 1 Zi 1 Zi 1 Zi e e e z Pi 1 1 e. z e Bahis yada olabilirlik oranı z z 1-Pi 1 e e Bu orana ev sahibi olma lehine fark oranı denir. Lojistik modelin her iki tarafının doğal log. alındığında Pi z L ln( ) ln i i ee 1 Pi L i fark oranı logaritması olup hem X, hem parametrelere göre doğrusaldır.z değişkeni - dan + a değişirken, P 0 ile 1 22 arasında değişir. i i

23 Logit Model Logit modelde olasılık 1 1 P i =E(Y=1 X) (b 1 b2x i ) 1 e e Z 1 i iken. DOM de P =E(Y=1 X) b b X i 1 2 i şeklindedir. 23

24 Logit Model Z i, - ile + arasında değerler alırken P i nin aldığı değerler ise 0 ile 1 arasında değişmektedir. Z i ile P i arasındaki ilişki doğrusal değildir. 24

25 Logit Modelin Özellikleri 1. P i, 0 dan 1 e kadar değer aldığında, Logitte - ile + arasında değer alır. P i =1 P i 1 1 ln ln ln = + 1 Pi P i 0 0 P i =0 ln ln ln 1 Pi = - 2. Logit, X e göre doğrusal iken olasılıklara göre değildir. 3. Logit modelin b 2 katsayısı şu şekilde yorumlanır: Bağımsız değişkendeki bir birimlik değişme karşısında logitteki değişmeyi gösterir. 4. Logit model tahmin edildikten sonra, X bağımsız değişkeninin belirli bir değeri için logitin gerçekleşme olasılığı hesaplanabilir. 25

26 Logit Model 1.00 F(Z) 0.75 p F( Z) 1 1 e Z 0.50 Z X Z Bir olayın gerçekleşme olasılığının birden büyük olması durumundan kaçınmak için olasılığın Z nin S şeklinde bir fonksiyonu olduğunu varsaymaktır. Z açıklayıcı değişkenlerin 26 fonksiyonu olarak ifade edilebilir. 2

27 Logit Model 1.00 F(Z) 0.75 p F( Z) 1 1 e Z Z X Z Birçok fonksiyon S şeklinde fonksiyon özelliklere sahiptir ve yukarıda gösterildiği gibi bunlardan biri de lojistik fonksiyondur. Z + sonsuza gideren, e -Z sıfıra gitmekte, ve p 1 e gitmektedir. (fakat 1 i geçmemektedir.). Z sonsuza giderken, e -Z de sonsuza gitmekte ve p de sıfıra gitmektedir (fakat sıfırın 27 altına inmemektedir.). 3

28 Logit Modelin EKKY İle Tahmini 1.Adım: Pi ni Ni ihtimalleri hesaplanır. 2.Adım: L ln(p 1 P ) i i i fark oranı logaritmaları hesaplanır. L ln[n (N n )] i i i i 3.Adım: Li b1 b2xi ui orijinal lojistik modeli tahminlenir. Farklı varyans durumu söz konusu ise; orijinal lojistik modelin her iki tarafı da ile çarpılarak dönüşümlü lojistik model elde edilir. v i Li b1 b2xi ui i i i 28 i v N P (1 P )

29 Logit Modelin EKKY İle Tahmini Farklı varyans durumu söz konusu ise; orijinal lojistik modelin her iki tarafı da ile çarpılarak dönüşümlü lojistik model elde edilir. v i vi Li b1 vi b2 vixi viui L b v b X w Dönüşümlü veya Tartılı * * 1 i 2 i i v N P (1 P ) i i i i EKK Lojistik Modeli wi ui vi 29

30 Logistik Model Uygulaması 300 aileden oluşan küçük bir kasabada ailelerin, yıllık gelirleri (X i ) ve ev sahibi olanların sayısı (n i ) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. X Milyon TL) Aile Sayısı= N i Ev Sahibi Olan Aile Sayısı=n i Nispi Frekanslar P i =n i /N i SN i = 300 Sn i =

31 Logistik Model Uygulaması X i N i n i P i 4=3/ P i 5= P i /1- P i 6=4/ L i 7=ln(6)

32 Logistik Model Uygulaması Dependent Variable: L Method: Least Squares Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

33 v=n.p.(1-p) 8= Logistik Model Uygulaması v i 9= L* 10= X* 11=

34 Logistik Model Uygulaması L i* = v i X i*, s= s(b i ): (0.2315) ( ), R 2 = 0.80 t= ( ) (6.0424), d= 1.649, F= Gelir bir birim arttığında, ev sahibi olma lehine fark oranının logaritması artmaktadır. Bu fark oranına göre belli bir gelir seviyesinde ev sahibi olma olasılığı hesaplanabilir: X=40 iken vi X değerleri yukarıdaki denklemde yerine konduğunda L * = bulunur. ˆ ˆ P Anti L Anti Anti 1 Pˆ Pˆ Pˆ olabilirlik oranı * log log log( ) ˆ P 34

35 40 birim gelirli bir ailenin ev sahibi olma olasılığı %47.43 dür. Lojistik modelden, belli bir gelir seviyesinde gelirdeki bir birimlik artışın ev sahibi olma olasılığını ne ölçüde arttıracağı tahmin edilebilir: bˆ 2 (1 Pˆ) Pˆ formülünden yararlanılır. X=40 iken gelir 1 birim arttığında ev sahibi olma olasılığı [ ( )0.4743]= (%0.8) 35

36 UYGULAMA: Kasımpatı yaprak bitkilerini öldüren bir ilaçtan 1 Lt suya konan dozlar (X, Miligram), yaklaşık 50cl. lik bit grupları(n i ) üzerine sıkılmış ve ölen bit sayısı (n i ) aşağıdaki gibi tesbit edilmiştir: Doz(Litre başına mg) X Gruplardaki yaprak biti sayısı (N i ) Ölen (n i ) L i Bu verilerle ilgili Logit tahmin modeli aşağıdaki gibidir: 36

37 Dependent Variable: LI Method: Least Squares Included observations: 5 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C X

38 a) Katsayı tahminlerini yorumlayınız b) X=7.7 miligram doz seviyesinde ölüm ihtimali P yi hesaplayınız. P i Li ln( ) X 1 Pi P i Li ln( ) (7.7) Pi P 1 P i ln( ) P i i 1 P 2.83 i P i 38

39 Probit Model Bağımlı kukla değişkenli modellerden kümülatif lojistik fonksiyonundan farklı olarak, normal kümülatif dağılım fonksiyonunu kullanan PROBİT(NORMAL) vardır. F(z)= 0 Z 1 e ( Z ) / 2 z P R O B İ T (NORMAL) MODEL Probit modeli şu şekilde tanımlayabiliriz: Herhangi bir i hanesinin ev sahibi olma veya olmama kararının gözlenemeyen bir fayda indeksi I i ye bağlı olduğunu varsayalım. 39

40 I i, bağımsız değişkenlere bağlıdır. Örneğin X i (gelir)değişkeni. I i = b 1 + b 2 X i Y=1 hane ev sahibi Y=0 hane ev sahibi değil. Her hane için I i nın belli bir değerinden itibaren ev sahibi olma durumu söz konusudur.i i değeri, I i * değerini aştığı zaman hane, ev sahibi olacak aksi durumda olmayacaktır. I i * I i ifadesi faydanın belli bir eşik değerinden sonra söz konusu olabileceğini gösterir. I i * başlangıç değeri de I i gibi gözlenemez. Ancak, aynı ortalama ve varyanslı normal dağıldığı varsayılarak I i değerleri yukarıdaki regresyon denkleminden tahmin edilir. Tahminciler bulunur. Normal dağılım varsayımıyla I * i ın I i den küçük veya eşit olma olasılığı aşağıdaki standartlaştırılmış normal KDF ile hesaplanabilir: (1) 40

41 P i =Pr(Y=1)=Pr(I i* I i )=F(I i ) 1 I i t 2 / 2 1 e dt 2 2 b 2 1 b2x i t / e 2 dt (2) =Standartlaştırılmış Normal KDF t N(0,1) =standartlaştırılmış normal değişken P i =Bir ev sahibi olma olasılığı. 41

42 Probit Model P i =F(I i ) P i =F(I i ) P i 1 I i = b 1 + b 2 X i I i * <=I i verilmişken ev sahibi olma olasılığı P i ordinatta bulunur P i P i verilmişken, absiste I i bulunur I i =F -1 (P i ) 42

43 I i yı bulabilmek için 2 no lu ifadenin tersi alınmalıdır. I i = F -1 (I i )= F -1 (P i )=b 1 +b 2 X i =Probit model F -1 : normal kümülatif dağılım fonksiyonunun tersi. 43

44 1. P i = n i /N i hesaplanır. Probit Modelin Tahmin Aşamaları 2. I i = F -1 (P i )= normal eşdeğer sapma bulunur. 3. I i = b 1 + b 2 X i + u i EKK ile tahmin edilir. 4. İstenirse, I i yerine, (I i + 5)=probit değerleri alınarak, EKKY ile (13.19) tahmin edilir. 5. modelinin hata terimi u i farklı varyanslıdır. Bu sebepten dönüşümlü değerler alınarak TEKKY uygulanabilir:= 44

45 2 u P i ( 1 Pi ) N f i i f i = F -1 (P i ) ifadesine eşit standart normal yoğunluk fonksiyonudur. 6. Büyük örnekler için b i 'lerin güven aralıkları ve hipotez testleri uygulanarak, anakütlede durumun geçerliliği araştırılabilir. 7. Belirlilik katsayısı R 2, modelin fonksiyonel biçiminin iyi seçilip seçilmediği konusunda bize fikir vermez. 45

46 Probit Model Uygulaması P i 0.25 I i =F -1 (P i ) Probitler=Z i =(I i +5) X i

47 Probit Model Uygulaması I i = X i, r 2 = r= s(b i ) (0.0028) s= 0.2 d= 1.59 t= (7.094) Z i = X i, r 2 = r= s(b i ) (0.0028) s= 0.2 d= t= (7.071) 47

48 Wooldridge Example 17.1 inlf kidslt6 kidsge6 age educ exper nwifeinc expersq Obs: inlf =1 işgücüne katılıyorsa 2. kidslt6 6 < yaşında küçük çocuk sayısı 3. kidsge yaşları arasındaki çocuk sayısı 4. age kadının yaşı 5. educ eğitim yılı 6. exper deneyim 7. nwifeinc (ailegeliri ücret*saat)/ expersq deneyimkare 48

49 Wooldridge Example 17.1-DİM Dependent Variable: INLF Method: Least Squares Included observations: 753 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. NWIFEINC EDUC EXPER EXPERSQ AGE KIDSLT KIDSGE C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

50 Wooldridge Example 17.1-LOGİT Dependent Variable: INLF Method: ML - Binary Logit Included observations: 753 Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. NWIFEINC EDUC EXPER EXPERSQ AGE KIDSLT KIDSGE C Mean dependent var S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Restr. log likelihood Avg. log likelihood LR statistic (7 df) McFadden R-squared Probability(LR stat) Obs with Dep=0 325 Total obs 753 Obs with Dep=

51 Wooldridge Example 17.1-PROBİT Dependent Variable: INLF Method: ML - Binary Probit Included observations: 753 Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. NWIFEINC EDUC EXPER EXPERSQ AGE KIDSLT KIDSGE C Mean dependent var S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Restr. log likelihood Avg. log likelihood LR statistic (7 df) McFadden R-squared Probability(LR stat) Obs with Dep=0 325 Total obs 753 Obs with Dep=

52 UYGULAMA: Aşağıda bir okulun eğitimi ile ilgili verileri kullanarak Probit denklemini çıkartınız. GRADE: Yeni bir tekniğin uygulanması sonucu öğrencilerin başarısı PSI: Yeni Bir Ekonomi Öğretme Yöntemi GPA: Ortalama Derece TUCE: Sınav Öncesi Konu ile ilgili Bilgi SKoru 52

53 Dependent Variable: GRADE Method: ML - Binary Probit Included observations: 32 Convergence achieved after 5 iterations Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C GPA PSI TUCE

54 Dependent Variable: GRADE Method: ML - Binary Logit Sample: 1 32 Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C GPA PSI TUCE

55 D i M i S i D i M i S i Kadının İşgücüne Katılımı Modeli: D i = 1 i.kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa 0 Diğer Durumlarda M i = 1 i. Kadın evliyse 0 diğer durumlarda S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim 55

56 Logit Model Tahminleri Dependent Variable: DI Method: ML - Binary Logit Included observations: 30 Convergence achieved after 5 iterations Covariance matrix computed using second derivatives Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C MI SI Mean dependent var S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Restr. log likelihood Avg. log likelihood LR statistic (2 df) McFadden R-squared Probability(LR stat) Obs with Dep=0 12 Total obs 30 Obs with Dep=