2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

Transkript

1 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır. A) 0 B) 1 C) 6 D) 90 E) 10 Hesap makinesi kullanmak yasaktır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır. Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız. Değerlendirmede yanlış 1 doğruyu götürecektir. Toplam 0 adet soru vardır. 3. Aşağıda verilenlerden hangisi yandaki çizge için bir mükemmel eşleme olur? e v Sınav süresi 10 dakikadır. Sınavda her türlü ders notunun kullanımı yasaktır. Başarılar dilerim. SORULAR 1. Aşağıda verilen çizge için hangileri doğrudur? Prof. Dr. Emrah AKYAR A) {av, bw, cx, dy, ez} B) {av, by, cx, dx, ez} C) {ax, bv, cx, ez} D) {ab, cd, de, vw, wx} E) {ax, by, cz, dw, ev} d c b a w x y z i. İki kümeli bir çizgedir. ii. İki renk ile boyanabilir. iii. En az bir mükemmel eşleme bulundurur. iv. Bir Euler turu bulundurur. A) i B) i,ii C) i,iii D) i,ii,iii E) i,iii,iv. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? A) 10 B) 11 C) 1 D) 9 E) 8 Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi

2 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU kenarı olan bir tam çizgenin kaç köşe noktası vardır? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) kenarı olan, iki kümeli tam çizgenin en az kaç köşe noktası olabilir. A) 10 B) 11 C) 8 D) 9 E) 1 7. Aşağıda kenarlarının maliyetleri ile verilen çizge için Kruskal Algoritması ile bulunacak optimal ağacın maliyeti nedir? A) 0 B) 6 C) D) 19 E) Köşe noktalarının dereceleri sırasıyla 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3,, 6 olan 9 noktalı çizgenin kaç kenarı vardır? A) 8 B) 16 C) 10 D) 8 E) 1 9. Bir laboratuvardaki k 1, k,..., k 11, k 1 kimyasal maddeleri dolaplar içinde saklanacaktır. Ancak bazı kimyasal maddelerin aynı dolap içerisinde bulunması sakıncalıdır. Hangi kimyasal maddelerin bir arada saklanıp, hangi kimyasal maddelerin ise bir arada bulunamayacağı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu kimyasal maddeleri uygun şekilde saklamak için en az kaç dolap gerekir? A) B) C) 3 D) E) 6 k 1 k k 3 k k k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k 11 k 1 k 1 k k 3 k k k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k 11 k 1 : İki kimyasal aynı dolapta saklanamaz. : İki kimyasal aynı dolapta saklanabilir. Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi

3 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU çember düzlemi en fazla kaç bölgeye ayırabilir? A) 9 B) 96 C) 108 D) 76 E) ağacın kökünü göstermek üzere, köşe noktaları 0,1,...,8 olarak adlandırılan ve Prüfer kodu 1311 olan ağacın derecesi en büyük olan köşe noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) 1 D) 3 E) 11. Konveks 10-gen in kaç köşegeni vardır? A) B) 3 C) 6 D) 8 E) 6 1. Verilenlere göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? i. Noktaları adlandırılmış 3 noktalı ağaçların sayısı ii. Noktaları adlandırılmamış noktalı ağaçların sayısı iii. 3 köşe noktalı (noktaları adlandırılmış) tüm çizgelerin sayısı iv. K tam çizgesinin kenarlarının sayısı A) i < ii < iv < iii B) ii < iii < i < iv C) i < iii < ii < iv D) ii < i < iv < iii E) iv < iii < ii < i 1. Aşağıda verilen kanıt hangi teoremin kanıtı olabilir? n = k+1 olsun ve n!+, n!+3,..., n!+n sayılarını ele alalım. Bu sayıların hiç birisi asal sayı olmadığından kanıt burada biter. A) Sonsuz tane asal sayı vardır. B) p asal sayı ve 0 < k < p ise p ( p k ) C) p asal sayı ise p k p k D) İkiden büyük her çift tamsayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. E) Her k pozitif tam sayısı için hiç birisi asal olmayan k tane ardışık tam sayı bulunabilir. Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi

4 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU Yan yana dizilmiş 10 koltukta 10 kişi oturmaktadır. Bu kişilerin hepsi koltuklarından kalkıp, daha önce oturdukları koltuğa ya da daha önce oturdukları koltuğun her iki yanındaki koltuktan birine oturmak koşuluyla kaç farklı şekilde yerlerini değiştirebilirler? (Not: En baştaki ve sondakiler sadece kalktıkları koltuklara ya da bir yanlarındaki koltuklara oturabilir) A) 89 B) C) 1 D) E) farklı şeker, 3 çocuğa 1. ve. çocuk en az 1 şeker almak koşuluyla (3. çocuk şeker almayabilir) kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 3 B) 1 C) 178 D) 60 E) [( 1 A) n! 1+ ) n ( 1 ) n ] =? B) π(n) (1 den n ye kadar olan asalların sayısı) C) ϕ(n) (1,,..., n sayılarından n ile aralarında asal olan sayıların sayısı) D) F n (n. Fibonacci sayısı) E) ( n n/ ) basamaklı, basamaklarındaki rakamlar soldan sağa doğru artan ya da yan yana basamakları aynı olan kaç farklı pozitif tamsayı vardır? Örneğin, 13, 11,, 366 istenen türden sayılar iken 3, 7 istenen türden sayılar değildir. A) 16 B) 8 C) D) 176 E) Ayşe ve Bora nın her ikisinin de içinde birer tane mavi, yeşil, sarı, kırmızı ve beyaz renklerde top bulunan çantaları olsun. Ayşe kendi çantasından rastgele bir topu seçip Bora nın çantasına atsın, sonra Bora da kendi çantasından rastgele bir topu seçip Ayşe nin çantasına atsın. Bu durumda her ikisinin de çantalarındaki topların aynı olma olasılığı nedir? A) 1/6 B) 1/ C) 1/ D) /3 E) 1/3 0. Pascal üçgeninin 17. satırındaki kaçıncı eleman sağındaki elemanın iki katıdır? (Not: Pascal üçgeninin n. satırındaki ilk eleman 0. eleman, onun sağındaki 1. eleman ve böyle devam edildiğinde satırın en sonundaki eleman da n. eleman olarak adlandırılır. Pascal üçgeninin en tepesindeki sadece 1 den olşan satır ise 0. satır olarak adlandırılır.) A) 10 B) 11 C) 1 D) 13 E) 1 Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi

5 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU ÇÖZÜMLER 1. Verilen çizgede uzunluğu tek sayı olan bir döngü bulunmadığından, çizge iki kümelidir. İki kümeli her çizge iki renk ile boyanabileceğinden bu çizge iki renk ile boyanabilir. Çizgenin her bir noktasını sağındaki nokta ile eşlersek bir mükemmel eşleme elde ederiz. Derecesi tek sayı olan noktaların sayısı den fazla olduğu için bu çizgede bir Euler Turu yoktur.. Bir K n tam çizgesinde mükemmel eşleme olması için n nin n = m şeklinde bir çift tamsayı olması gerekir. K n tam çizgesinin köşe noktalarını v 1, v,..., v n şeklinde düşünecek olursak, v 1 köşe noktası diğer m 1 köşe noktasının herhangi birisiyle eşlenebilir. Eşlenen bu iki noktayı çıkardıktan sonra geriye kalan nokta (v 1 ile eşlenmediyse mesela v ) geriye kalan m 3 noktadan herhangi birisiyle eşlenebilir. Böyle devam edecek olursak tüm mükemmel eşlemelerin sayısı 3. (m 1)(m 3) 3 1 olur. Soruda n = 6 yani m = 3 olduğundan cevap olur. 3 1 = 1 Buna göre{ax, by, cz, dw, ev} kenarlar kümesi bir mükemmel eşleme olur.. Düzlemsel kod 18 karakter uzunluğunda olduğundan ve ağacın her kenarı için iki karakter eklendiğinden ağacın 18/=9 kenarı vardır. 9 kenarı olan bir ağacın da 10 köşe noktası vardır.. n köşe noktası olan K n tam çizgesinde( n ) tane kenar bulunduğunu biliyoruz. Buradan ya da 8 = olur. O halde n = 8 olmalıdır. ( ) n = n!!(n )! = n(n 1) n n 6 = (n 8)(n+7) = 0 6. K r,s iki kümeli tam çizgesinin r+s tane köşe noktası ve rs tane de kenarı olduğunu biliyoruz. Bizden istenen rs = 1 olmak üzere r+s değerini minimum yapan r ve s tam sayılarıdır. 1 r s olduğunu kabul edelim (kümelerin yer değiştirmesi bir şeyi değiştirmeyeceğinden r yi s den küçük eşit kabul edebiliriz). 1 iki tamsayının çarpımı şeklinde iki şekilde 1 = 3 r 7 s = 1 r 1 s olarak yazılabilir. r + s nin minimum olması istendiğinden r = 3, s = 7 olmalıdır. Buradan cevap r+s = 3+ 7 = 10 elde edilir. 7. Önce düşük maliyetli kenardan başlayarak döngü oluşmayacak şekilde kenarları teker teker çizersek, e d c b a v w x y z ağacını elde ederiz (maliyeti olan kenarlardan önce hangisinin seçildiğine bağlı olarak elde edilen ağaç farklı olabilir, ancak maliyet değişmez). Buna göre optimal ağacın maliyeti = 6 bulunur. Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi

6 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU El Sıkışma Teoremine göre, bir çizgenin tüm köşe noktalarının dereceleri toplamı kenar sayısının iki katına eşit olduğundan çizgenin kenar sayısı olarak elde edilir. Bu çizge aşağıdaki gibi çizilebilir. = 8 = 1 9. Bu tür uyuşma, çatışma, vb. içeren problemlerin çizge boyama ile çözülebileceğini biliyoruz. Buna göre, kimyasalları çizgenin köşe noktaları olarak düşünür ve aynı dolapta saklanamayacak olanlar arasına bir kenar çizersek aşağıdaki çizgeyi elde ederiz. k k 1 k 3 k 11 k 1 k 10 ikişer yeni bölgeye ayıracaktır ( bölge oldu). Üçüncü çember bu dört bölgenin her birisini ikişer yeni bölgeye ayıracaktır (8 bölge oldu). Böyle devam edersek, k. çember, kendinden önce çizilen k 1 çemberin belirlediği bölgelerin tümünü bölgeye ayıracaktır. Böylece n çember varsa bölgelerin sayısı en fazla + n k=1 (k 1)=+ n k=1 k n k=1 = + n(n+1) n = n n+ olur. Soruda n = 10 olarak verildiğinden cevap = 9 olur. 11. Genel olarak konveks bir n-gen in köşegen sayısını bulalım. Komşu köşeler hariç, seçilen herhangi iki köşe noktası tek bir köşegen belirler. Köşegen olarak sayılmayacak (komşu köşeler arasındaki köşegenler (kenarlar) ) olan n kenarı çıkarırsak olur. ( ) n n = n(n 1) n = n n n n(n 3) = Soruda n = 10 olarak verildiğinden cevap 10(10 3) = 3 olur. 1. Cayley Teoreminden noktaları adlandırılmış 3 noktalı ağaçların sayısı 3 3 = 3 olur. Noktaları adlandırılmamış noktalı ağaçların sayısı ise dir. 3 köşe noktalı (noktaları adlandırılmış) tüm çizgelerin sayısı ise (3 ) = 8 olur. Son olarak K tam çizgesinin kenarlarının sayısı ( ) = 6 dır. k k 6 k k 9 k 7 k Verilen kodda en fazla tekrar eden köşe 1 olduğundan derecesi en fazla (dört) olan köşe noktası 1 olur. Ya da verilen koda göre ağaç çizilecek olursa, Bu çizgenin kromatik renk sayısı 3 olduğundan (bu çizgenin köşe noktaları komşu noktalar farklı renklerde olacak şekilde 3 renk ile boyanabilir ancak renk ile boyanamaz) cevap 3 olur. 10. En fazla sayıda bölge sorulduğundan tüm çemberlerin ikişer ikişer iki noktada kesişmesi gerekir. Bu tür çemberleri tek tek çizdiğimizi düşünelim. Birinci çember düzlemi bölgeye ayıracaktır. İkinci çember, birinci çemberin belirlediği bölgeyi de Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi

7 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU olur. Derecesi en fazla olan köşe noktası 1 dir. 1. Her k pozitif tam sayısı için hiç birisi asal olmayan k tane ardışık tam sayı bulunabilir (derste kanıtlandı). 1. Soruyu 10 koltuk için değil de n koltuk için çözelim. Eğer n = 1 ise cevap 1 olur. Eğer n = ise ikisi de aynı koltuğa geri oturabilir ya da koltukları karşılıklı değişebilirler cevap olur. Eğer n = 3 ise koltukları ve kişileri soldan başlayarak 1,,3 şeklinde numaralandıralım. Bu durumda herkes aynı koltuğa geri oturabilir, 1. kişi ortadaki koltuğa. kişi 1. koltuğa ve 3. kişi tekrar aynı koltuğa oturabilir ve son olarak 3. kişi ortadaki koltuğa, 1. kişi tekrar aynı koltuğa ve ikinci kişi 3. koltuğa oturabilir. Yani cevap 3 olur.. Dikkat edilecek olursa, elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. Şimdi bunu kanıtlayalım. İstenen şekilde n koltuğa farklı oturuşların sayısı A n olsun. Yukarıdan A 1 = 1, A = ve A 3 = 3 olur. Şimdi n koltuk varken son n. koltuğu düşünelim. İki durum söz konusudur: Bu koltuğa n. kişi tekrar oturabilir ya da n 1. kişi bu koltuğa oturabilir. Eğer n. koltuğa n. kişi tekrar oturursa geriye n 1 koltuk kalır ve bu n 1 koltuğa A n 1 farklı şekilde oturulabilir. Eğer n. koltuğa(n 1). kişi oturursa mecburen n. kişi(n 1). koltuğa oturacağından geriye n koltuk kalır ve n koltuğa A n farklı şekilde oturulabilir. Böylece bu iki durumu birleştirirsek, A n = A n 1 + A n olur. A 1 = 1 ve A = olduğundan A 10 = F 11 = 89 elde edilir. [( 16. Derste F n = 1 ) n ( ) n ] 1+ 1 formülü kanıtlanmıştır. 17. Ayşe nin hangi topu seçtiği önemli değil, çantaların aynı olması için Bora nın Ayşe nin seçtiği topun rengini seçmesi gerekir. Diyelim ki, Ayşe kırmızı topu seçti ve Bora nın çantasına attı. Şimdi Bora, Ayşe nin attığı topla birlikte çantasındaki 6 top içerisinden iki kırmızı toptan birini seçmelidir. Bunun olasılığı da 6 = 1 3 olur. 18. Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkartmalıyız. Hiç koşul olmasaydı tüm durumların sayısı 3 3 } {{ 3 } = 3 = 3 olurdu. İstenmeyen durumlar: tane 1. çocuk hiç şeker almıyor. Sadece. ve 3. çocuklar şeker alıyor. Bunların sayısı = 3 olur.. çocuk hiç şeker almıyor. Sadece 1. ve 3. çocuklar şeker alıyor. Bunların sayısı da = 3 olur. Hem 1. çocuk hem de. çocuk hiç şeker almıyor. Sadece 3. çocuk şeker alıyor. Bunların sayısı 1 = 1 olur. Buradan cevap 3 ( + + 1) = = = 178 olur rakamının herhangi bir basamakta yer alması mümkün değildir. Geriye kalan 9 rakam kullanılmalıdır. 3 özdeş obje, 1.,.,...,9. diye adlandırılmış 9 farklı kutuya ( ) farklı şekilde dağıtılabileceğinden cevap( ) = (11 8 ) = 16 olur. = = Pascal üçgeninin 17. satırındaki k. eleman (k = 0, 1,..., n) sağındaki elemanın iki katı olsun. Bu durumda ( ) ( ) = k k+ 1 17! k!(17 k)! = 17! (k+1)!(17 k 1)! 1 17 k = (k+1) 3k = 33 k = 11 elde edilir. O halde Pascal üçgeninin 17. satırındaki 11. eleman 1. elemanın yarısıdır. Gerçekten de( ) = 1376= 6188 = (17 1 ) olur. Dönem Sonu Sınavı Bahar Dönemi