KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ"

Transkript

1 SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ DERS NOTLARI

2 DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Kuyruk sistemindeki t zamanındaki müşteri sayısını kuyruk sisteminin t zamanındaki durumu olarak tanımlarız. t= 0 daki sistemin durumu başlangıçtaki sistemdeki müşteri sayısını göstermektedir. Pij(t) = 0 zamanında i müşteri bulunan sistemde t zamanında j müşteri olma ihtimalidir. Pij(t) markov zincirindeki Pij(n) (n-adım geçiş) olasılığıdır. Markov zincirlerinden hatırlayabileceğimiz gibi Pij(n) büyük n değerleri için kararlılık durumu olasılıklarına yakınsamakta ve başlangıç durumundan bağımsız olmaktadır. Aynı şekilde Pij(t) değeri de büyük t değeri için denge olasılığı veya kararlılık durumu olasılığı Πj olasılığına yakınsar ve başlangıç durumdan bağımsız olur. Πj = uzun bir zaman sonrasında j müşteri olma olasılığı veya uzun bir zaman sonra sistemde j müşteri olma oranı olur. Pij(t) olasılığı küçük t değerleri için başlangıç durumundan oldukça etkilenmektedir. P50,1(t) ile P1,1(t) değerleri büyük t değerleri için Π1 değerine yakındır. Pij(t) nin Kararlılık durumuna ulaşılmadan önceki davranışı geçiş davranışıdır ve en basit sistemlerin dışında geçiş davranışını analiz oldukça zordur. Bu nedenle kuyruk sisteminin davranışını analiz ederken, kararlılık durumuna erişildiğini varsayarız. Bu durumda Pij(t) değerleri yerine Πj değerleri ile çalışabiliriz.

3 DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Bu derste Sürekli Zamanlı stokastik süreç sınıfında olan doğum-ölüm sürecini göreceğiz. Bir doğum-ölüm süreci sürekli zamanlı stokastik süreç olup herhangi bir zamanda sistemin durumu non-negatif (0 ve pozitif) tamsayıdır. DOĞUM-ÖLÜM SÜREÇLERİNDE HAREKET KANUNLARI Kanun 1: (λ j Δt + o(δt) ) olasılığı ile zaman t ile zaman (t+ Δt) arasında bir doğum olur. Doğum sistemin durumunu bir birim artırır. Durum j den (j+1) e değişir. λ j durum j de iken doğum oranı(hızı) dır. Pek çok kuyruk sistemlerinde doğum, basitçe geliştir. Kanun 2: (μ j Δt + o(δt) ) olasılığı ile zaman t ile zaman (t+ Δt) arasında bir ölüm olur. Ölüm sistemin durumunu bir birim azaltır. Durum j den (j-1) e değişir. μ j durum j de iken ölüm oranı(hızı) dır. Pek çok kuyruk sistemlerinde ölüm, basitçe servisin tamamlanmasıdır. (Not: μ 0 = 0 olmalıdır. Aksi taktirde negatif bir durum oluşabilir) Kanun 3: Doğumlar ve Ölümler birbirinden bağımsızdır. Eğer gelişler arası süre ve servis süreleri üstel dağılımda değilse doğum-ölüm süreci olarak modellemek uygun değildir.

4 M/M/1/FCFS/ / kuyruk sistemi doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Bu kuyruk sisteminin Oran(hız) diyagramı aşağıdaki şekilde verilmiştir. Şekil 8: M/M/1/FCFS/ / Kuyruk sisteminde hız(oran) diyagramı Ölüm(Servis Tamamlanması) Doğum (Geliş) M/M/3/FCFS/ / kuyruk sistemi doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Bu kuyruk sisteminin Oran(hız) diyagramı aşağıdaki şekilde verilmiştir. Şekil 8: M/M/3/FCFS/ / Kuyruk sisteminde hız(oran) diyagramı

5 DOĞUM-ÖLÜM SÜREÇLERİNDE KARARLILIK DURUMU OLASILIKLARININ BULUNMASI Doğum ölüm süreçlerinde kararlılık durumunda aşağıdaki eşitlik geçerlidir. Durum j den beklenen ayrılmalar Birim Zaman = Durum j ye beklenen girişler Birim Zaman (11) Kararlılık-durumu olasılıklarını kullanarak yukarıdaki eşitliğe göre Aşağıdakiler yazılabilir. j>=1 için eğer durum j yi terk edeceksek ya (j+1) e yada (j-1) e geçebiliriz: Durum j den beklenen ayrılmalar Birim Zaman = Πj (λj +μj) olur (12) j>=1 için eğer durum j ye gireceksek ya (j+1) den yada (j-1) den gelebiliriz: Durum j ye beklenen girişler Birim Zaman = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 (13)

6 (12) Ve (13) ü birbirine eşitlersek Πj (λj +μj) = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 (j=1,2, ) (14) j=0 için μ 0 =Π -1 =0 olur bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli olur. Π 1 μ 1 = Π 0 λ 0 (14 ) (14) Ve (14 ) doğum-ölüm sürecinde akış denge eşitlikleri veya akışların korunumu eşitlikleri olarak bilinir. (14) e göre durum j ye geçiş hızı(oranı) durum j den çıkış hızına eşittir. Eğer eşit olmasaydı bazı durumlarda yığılma olacak ve kararlılık durumuna erişilemeyecekti.

7 (12) Ve (13) ü birbirine eşitlersek Πj (λj +μj) = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 (j=1,2, ) (14) j=0 için μ 0 =Π -1 =0 olur bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli olur. Π 1 μ 1 = Π 0 λ 0 (14 ) (14) Ve (14 ) teki eşitlikleri açıkça yazacak olursak doğum-ölüm süreci için aşağıdaki akış denge eşitliklerine ulaşırız. (j=0) ise Π 0 λ 0 = Π 1 μ 1 (j=1) ise Π 1 (λ 1 +μ 1 ) = Π 0 λ 0 + Π 2 μ 2 (j=2) ise Π 2 (λ 2 +μ 2 ) = Π 1 λ 1 + Π 3 μ 3 (15) (j inci eşitlik) Π j (λ j +μ j ) = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 olur

8 DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİNDE AKIŞ DENGE EŞİTLİKLERİNİN ÇÖZÜMÜ (15) i çözersek ve bütün Π j değerlerini Π 0 cinsinden ifade edersek j=0 için olan eşitliği şu şekilde yazabiliriz Π 1 = Π 0 λ 0 μ 1 olur (j=1) için olan eşitliği yazarsak Π 2 = Π 0 λ 0 λ 1 μ 1 μ 2 olur Eğer c j = λ 0 λ 1 λ(j 1)) edebiliriz. μ 1 μ 2 μ j şimdi kararlılık durumu olasılıklarını Π 0 cinsinden ifade Π j = Π 0 c j olur. (16) Herhangi bir zamanda muhakkak herhangi bir durumda olmamız gerektiğinden dolayı j= Π j = 1 olur. (17) j=0

9 (16) Ve (17) yi birleştirirsek Π 0 (1+ j= j=1 c j ) = 1 olur. (18) Eğer j= j=1 c j sonlu bir değerse (18) i kullanarak Π 0 değerini bulabiliriz. Π 0 = 1+ 1 j= c j j=1 olur. Buradan Π 0 değerini buluruz. Sonra Π 1, Π 2 Değerlerini buluruz j= j=1 c j sonsuz ise kararlılık-durumu dağılımı mevcut değildir. Kararlılık durumunun olmamasına en yaygın sebep geliş hızının en az, maksimum servis hızı kadar olmasıdır.

10 M/M/1/GD/ / KUYRUK SİSTEMİ VE KUYRUK FORMULÜ L = λw Yukarıdaki modelde 1/ gelişler λ parametresiyle üstel dağılıma uymaktadır /2/ servis süreleri μ parametresiyle üstel dağılmaktadır /3/ 1 tane servisçi vardır /4/ Kuyruk disiplini Genel kuyruk disiplinidir. /5/ Sistemde aynı anda izin verilen maksimum müşteri sayısı dur. /6/ Gelişlerin olduğu popülasyonun büyüklüğü dur. Bu kuyruk sistemi 3 kanunu sağladığı için doğum-ölüm süreci olarakaşağıdaki parametrelerle modellenebilir. λj = λ (j=0,1,2,.) μ 0 =0 (20) μj = μ (j=1,2,3,.)

11 M/M/1/GD/ / KUYRUK SİSTEMİ KARARLILIK DURUMU OLASILIKLARININ BULUNMASI Π j değerlerini bulmak için Eşitlik (15) ten eşitlik (19) a kadar olan eşitlikleri kullanırsak aşağıdaki eşitliklere ulaşırız. Eşitlik (20) yi Eşitlik (16) ya yazarsak Π 1 = λπ 0 μ olur Π 2 = λ2 Π 0 μ 2 olur.. Π j = λj Π 0 μ j olur. (21) ρ = λ μ olarak tanımlarsak ( ρ Kuyruk sisteminin Trafik yoğunluğu ) (21) i (17) de yazarsak Π 0 (1+ ρ + ρ 2 + ρ 3 +.) = 1 (22) şimdi 0<= ρ <1 kabul edelim. Şimdi S= (1+ ρ + ρ 2 + ρ 3 +.) değerini bulalım. Eğer S değerini ρ ile çarparsak ρ S = (ρ + ρ 2 + ρ 3 +.) olur. Şimdi S- ρ S = 1 olur. S = 1/(1- ρ) (23) olur.

12 Eğer (23) ü (22) de yazarsak Π 0 = 1- ρ (24) (0<= ρ <1) olur. Eğer (24) ü (21) de yazarsak Π j = ρ j (1- ρ) (25) (0<= ρ <1) olur. Eğer ρ >=1 olursa o zaman kararlılık durumuna erişilemez. Kuyruk patlar ve sürekli şişer. Ρ = λ/μ >= 1 ise (geliş hızı en azından servis hızı kadardır veya daha fazladır)

13 L (SİSTEMDEKİ ELEMAN(MÜŞTERİ) SAYISI) DEĞERİNİN BULUNMASI Bundan sonraki bölümlerde aksi belirtilmedikçe ρ <1 alınması koşulu ile ve (25) i kullanırsak Sistemdeki eleman sayısı = j= j=0 jπ j = j= j=0 jρ j (1 ρ) = (1 ρ) j= j=0 jρ j Eğer S = j= j=0 jρ j = ρ + 2ρ 2 + 3ρ 3 Tanımlarsak ρs = ρ 2 + 2ρ 3 + 3ρ 4 olur S - ρs = ρ + ρ 2 + ρ 3 +. = ρ /(1- ρ) olur. O zaman S = ρ /(1- ρ) 2 olur Şimdi sistemdeki eleman sayısını bulabiliriz L= (1- ρ) S dir. L= (1- ρ) ρ (1 ρ) 2 = ρ (1 ρ) olur ρ = λ μ yazarsak o zaman L = λ μ λ (26) olur

14 L q (KUYRUKTAKİ ELEMAN(MÜŞTERİ) SAYISI) DEĞERİNİN BULUNMASI Lq = j= j=1 (j 1)Π j = j= j=1 jπ j - j= j=1 Π j = L ( 1-Π 0 ) (24) ü kullanırsak Lq = L ρ olur. L = λ μ λ (26) yı kullanarak Lq = L ρ = ρ (1 ρ) - ρ = ρ2 olur (27) (1 ρ) Lq = L ρ = λ - λ = λ 2 μ λ μ μ(μ λ) olur (27) Lq = λ2 μ(μ λ) (27) olur

15 L s (SERVİSTEKİ ELEMAN(MÜŞTERİ) SAYISI) DEĞERİNİN BULUNMASI Ls servisteki beklenen müşteri sayısını bulmak isteyebiliriz. M/M/1/GD/ / kuyruk sisteminde Ls = 0 Π 0 + 1( Π 1 + Π 2 + ) = 1- Π 0 = ρ = λ μ olur Herhangi bir kuyruk sisteminde L = Ls + Lq eşitliği geçerlidir. Bu eşitliği kullanarak Ls formülünü bulacak olursak ρ L= (1 ρ) idi Lq = L ρ idi Ls=L-Lq = ρ = λ olur μ Ls =ρ = λ μ olur

16 KUYRUK FORMÜLÜ L= λw (LITTLE FORMÜLÜ) Formülden bahsetmeden önce aşağıda aradığımız değerleri ifade eden notasyonları verecek olursak. λ = Birim zamanda sisteme ortalama geliş miktarı μ = Birim zamanda ortalama servisi tamamlanan eleman sayısı L = Sistemde ortalama bulunan eleman sayısı Lq = Kuyrukta ortalama bulunan eleman sayısı Ls = Serviste ortalama bulunan eleman sayısı W = Bir müşterinin sistemde ortalama harcadığı süre Wq = Bir müşterinin kuyrukta ortalama harcadığı süre W = Bir müşterinin serviste ortalama harcadığı süre Pek çok kuyruk sisteminde Little kuyruk formülü aşağıda Teorem 3 te verildiği gibidir. TEOREM 3 : Kararlılık-durumu dağılımlarının varolduğu Herhangi bir kuyruk sisteminde aşağıdaki formüller geçerlidir. L = λ W (28) Lq = λ Wq (29) Ls = λ Ws (30)

17 Little Kuyruk Formülü, servisçi sayısı, gelişlerarası zaman dağılımı, servis disiplini, servis zamanı dağılımından bağımsızdır. Kararlılık-durumu olasılıkları var olduğu müddetçe Little kuyruk formülünü uygulayabiliriz. (Formüller (28)-(30) ) M/M/1/GD/ / kuyruk sisteminde Little Formüllerini kullanarak W, Wq ve Ws formüllerini bulacak olursak L= ρ (1 ρ) ρ ve W = L / λ W = λ(1 ρ) = 1 μ λ olur (31) Lq = λ2 μ(μ λ) ve Wq = Lq/ λ Wq = λ μ(μ λ) olur (32) Ls = λ/μ ve Ws = Ls / λ Ws = 1/μ olur.

18 ÖRNEK 2: Tek servisçili, arabaya servis yapan sisteme saatta ortalama 10 araç gelmektedir. Her bir müşteriye ortalama servis süresi 4 dakikadır. Gelişlerarası süre ve servis süresi üstel dağılıma uymaktadır. Bu durumda aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Servisçinin boş olma olasılığı nedir? b) Servisçi için kuyrukta bekleyen ortalama araç sayısı nedir? c) Araçların sistemde ortalama geçirdikleri süre nedir? d) Ortalama, te kaç tane müşteri servisçi tarafından hizmet görmektedir? ÇÖZÜM: Bu bir M/M/1/GD/ / kuyruk sistemidir. λ= 10 araç/saat tir μ= 15 araç/saat tir. Böylece ρ=10/15 = 2/3 < 1 dir. a) (24) ü kullanırsak Π 0 = 1- ρ = 1-2/3 =1/3 (Servisçinin boş olma olasılığı) b) ρ (27) yi kullanırsak Lq= (1 ρ) = (2/3) 2 =4/3 müşteridir. (1 2/3) c) ρ (28) i kullanırsak W = L/ λ ve L= (1 ρ) = (2/3) (1 2/3) = 2 müşteri W = 2/10 saat = 12 dakika bir aracın ortalama sistemde geçirdiği süre d) Eğer servisçi sürekli meşgul olsaydı 15 araca hizmet verirdi. Fakat 1/3 boş olduğu için 2/3 doludur ve dolu olduğu yüzdeyle ortalama (2/3)*15= 10 araca hizmet eder.

19 ÖRNEK 3: Araçların depolarının yarısının boş olduğu zaman benzin istasyonuna uğradıklarını kabul edin. Tek servisçisi olan bir benzin istasyonuna saatte ortalama 7,5 müşteri gelmektedir. Araçlara benzin doldurmak ortalama 4 dk zaman almaktadır. Gelişler arası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. Bu duruma göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Aktif Durum için L ve W değerlerini hesaplayınız. b) Benzin kıtlığı olduğunu ve müşterilerde panik alımları başladığını düşünün. Bu durumda müşterilerin depolarının ¾ seviyeye indiğinde benzin istasyonuna uğradığını ve doldurmanın artık 3 1 dakika aldığını düşünün. Panik alımlarının L ve 3 W değerlerini nasıl etkilediğini bulun. ÇÖZÜM: Bu bir M/M/1/GD/ / kuyruk sistemidir. a) λ= 7,5 araç/saat tir μ= 15 araç/saat tir. Böylece ρ=7,5/15 = 1/2 < 1 dir. ρ (26) yı kullanırsak L= (1 ρ) = 0,5 =1 olur. (1 0,5) (28) i kullanırsak W=L/ λ = 1/(7,5) = 0,13 saat. Bu durumda herşey kontrol altında görülüyor. Ve uzun kuyruklar olası görünmüyor.

20 b) Bu bir M/M/1/GD/ / kuyruk sistemidir. Yeni parametreler ise ; λ= 2*7,5=15 araç/saat tir μ=60/3,33 = 18 araç/saat tir. Böylece ρ=15/18 = 5/6 < 1 dir. Dolayısı ile kararlılık durumu mevcuttur. ρ (26) yı kullanırsak L= (1 ρ) = 5/6 (1 ( 5 =5 olur. )) 6 (28) i kullanırsak W=L/ λ = 5/(15) = 1/3 saat = 20 dakika. Bu durumda paniğin uzun kuyruklara ve sistemde beklemeye yol açtığı görülmektedir.

21 Aşağıda tablo 5 te M/M/1/GD/ / sistemi için ρ ve L arasındaki ilişki verilmiştir. ρ değeri arttıkça L değerinin nasıl hızla arttığı görülmektedir. ρ M/M/1/GD/ / sistemi için L değeri 0,3 0,43 0,4 0,67 0,5 1 0,6 1,5 0,7 2,33 0,8 4 0,9 9 0, ,99 99 Tablo 5:M/M/1/GD/ / sistemi için ρ ve L arasındaki ilişki

22 KUYRUK OPTİMİZASYON MODELİ : Aşağıda, Örnek 4 kuyruk teorisinin karar vermede nasıl yardımcı olarak kullanıldığını göstermektedir. Karar vericinin alternatif kuyruk sistemlerinden birini seçtiği problemler kuyruk optimizasyon problemleri olarak adlandırılır. ÖRNEK 4: Alet-ve-Kalıp fabrikasında çalışan ustalar alet-merkezinden gerektiğinde alet almaktalar. Ortalama saatte 10 usta alet istemektedir. Alet-merkezinde 1 tane personel çalışmaktadır ve ortalama 5 dakikada bir isteği yerine getirmektedir. Personel saati $6 a çalışmakta olup ustalar saatte $10 almaktadırlar. Bu nedenle sipariş bekleyen ustaların beklemesinin maliyeti saati $10 dır. Firma personele bir yardımcı alıp almamayı düşünmektedir. Eğer yardımcı alırsa talepleri karşılamak 4 dakikaya düşecektir. Yardımcının maliyeti ise $4 / saat olacaktır. Talep gelişleri ve karşılanmaları üstel dağılıma uymaktadır. Bu durumda yardımcı alınmalımıdır?

23 ÇÖZÜM 4: Firma Beklenen Maliyet = minimize etmeye çalışmaktadır. Servis Maliyeti saat + maliyetini = ( Müşteri ) ( Beklenen Müşteri ) Müşteri = $10 Usta saat (Bir Ustanın sistemde harcadığı ortalama zaman) Müşteri = 10W = 10Wλ olur. Eğer yardımcı alınmamışsa: λ = 10 usta/saat μ=12 usta/saat (31) Kullanılırsa W = = 0,5 saat olur. Buradan = 10Wλ = 10(0,5)10 = $50 ve Servis Maliyeti saat = $6 Beklenen Maliyet = $50 + $6 = $56 olur (Eğer Yardımcı tutulmazsa)

24 ÇÖZÜM 4: devam Firma Beklenen Maliyet = minimize etmeye çalışmaktadır. Servis Maliyeti saat + maliyetini Müşteri = = ( $10 Usta(saat) Müşteri ) ( Beklenen Müşteri (Bir Ustanın sistemde harcadığı ortalama zaman) ) Müşteri = 10W = 10Wλ olur. Eğer yardımcı alınmışsa: λ = 10 usta/saat μ=15 usta/saat (31) Kullanılırsa W = = 0,2 saat olur. Buradan = 10Wλ = 10(0,2)10 = $20 ve Servis Maliyeti saat = ($6 +$4) = $10 Beklenen Maliyet = $20 + $10 = $30 olur (Eğer Yardımcı tutulursa) $30 < $56 olduğundan yardımcı tutmak karlıdır.

25

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 5. HAFTA 2.7 M/M/1/ / sistemi için Bekleme zamanının dağılımı ( ) 1 T j rastgele değişkeni j. birimin

Detaylı

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ - I DERS NOTLARI KUYRUK TEORİSİ Her birimiz kuyruklarda bekleyerek vakit geçirmişizdir. Bu derste kuyruklarlarla ilgili

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN GİRİŞ Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ

KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ DERS NOTLARI M/M/1/GD/c/ KUYRUK SİSTEMİ Geçen dersimizde sistemin kapasitesini sınırsız görmüştük.

Detaylı

Yönetimde Karar Verme Teknikleri

Yönetimde Karar Verme Teknikleri SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Yönetimde Karar Verme Teknikleri Hafta 0 Yrd. Doç. Dr. Harun R. YAZGAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER

EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II EMİCİ(YUTUCU) ZİNCİRLER DERS NOTLARI Pek Çok ilginç markov zinciri uygulamalarında bazı durumlar emici (yutucu) ve geri kalan durumlar

Detaylı

Notasyonlar ve Genel Kurallar

Notasyonlar ve Genel Kurallar Notasyonlar ve Genel Kurallar BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 2014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir kuyruğun temel bileşenleri 1. Varış Prosesi 6. Servis disiplinleri 2. Servis zamanı dağılımı 4. Bekleme yerleri

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 14. HAFTA 8 Tek kanallı, Sonsuz Kapasiteli, Servis Süreleri Keyfi Dağılımlı Kuyruk Sistemi M/G/1/

Detaylı

BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ

BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ GIRIŞ 2 BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ D R. F E R H A T G Ü N G Ö R 1 Kuyruk teorisi; servis almak için oluşan kuyruk, sağlanan servis hizmetinden fazladır. Bunun çeşitli nedenleri

Detaylı

Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi. KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu

Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi. KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu Genel nüfus Kuyruğa giriş ve hizmetlerin yapısı Sistemin kapasitesi Kuyruk disiplini

Detaylı

ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir.

ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ Kuyruk sistemleri, Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. Üretimde, atölye çevresi kuyruk şebekelerinin karmaşık bir ilişkisi olarak düşünülebilir. Bir

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Veri Ağlarında Gecikme Modeli

Veri Ağlarında Gecikme Modeli Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ Kuyruk Teorisi. Bölüm 1: Temel Kavramlar. Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler

Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ Kuyruk Teorisi. Bölüm 1: Temel Kavramlar. Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler Kuyruk Teorisi Bölüm 1: Temel Kavramlar KONU 8 Kuyruk Teorisi nin Bileşenleri Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler Kuyrukta Bekleme : Müşteriler sırada veya sıralarda hizmet

Detaylı

ENM 316 BENZETİM. Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30)

ENM 316 BENZETİM. Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30) ENM 316 BENZETİM ÖDEV 1: Bir projede A, B, C, D, E ve F olmak üzere 6 faaliyet vardır. Projenin tamamlanması için bu faaliyetlerin sırası ile yapılması gerekmektedir. Her faaliyetin tamamlanması için gereken

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ. Markov Analizi

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ. Markov Analizi Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ Doç. Dr. İhsan KAYA Markov Analizi Markov analizi, bugün çalışan bir makinenin ertesi gün arızalanma olasılığının

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi İlhan AYDIN KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi

Detaylı

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz. 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi Prof.Dr.Berna Dengiz 4. Ders Modelleme yaklaşımları Benzetim yazılımlarında aranan özellikler M/M/1 Kuyruk Sistemi benzetimi BENZETİM DİLLERİNDE MODELLEME YAKLAŞIMLARI Tüm benzetim dilleri; ya olay-çizelgeleme

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

9/22/2014 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2

9/22/2014 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Giriş. Tek Kanallı Kuyruk Sistemi. Kuyruk Sistemlerinin Simulasyonu. Simulasyon Örnekleri Ders 2 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyon Örnekleri Ders Giriş Bu derste bilgisayar yardımı olmaksızın çalıştırılabilen birkaç simulasyon örneği verilmiştir. Bu örnekler size sistem simulasyonu metodolojisini

Detaylı

Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30)

Faaliyet Faaliyet zamanı dağılımı A U(5, 8) B U(6, 15) U(10,20) U(4,20) U(12,25) U(15,30) ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir projede A, B, C, D, E ve F olmak üzere 6 faaliyet vardır. Projenin tamamlanması için bu faaliyetlerin sırası ile yapılması gerekmektedir. Her faaliyetin tamamlanması

Detaylı

SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri HAFTA 2. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan

SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri HAFTA 2. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan SİMULASYON MODELLEME VE ANALİZ 1 2 Giriş Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. HAFTA 2 Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Simulasyon Dilleri

Detaylı

EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri

EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU. Giriş. Arena Ortamı. Simulasyon Dilleri EME 3105 SISTEM SIMÜLASYONU ARENA ya Giriş Lab-1 1 2 Giriş Bu derste ARENA ortamında modelleme yeteneklerini genel olarak tanıtmak için basit bir model sunulacaktır. Yrd.Doç.Dr.Beyazıt Ocaktan Simulasyon

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI STOKASTİK (RASSAL) SÜREÇLER Bazen rassal değişkenlerin zamanla nasıl değiştiğiyle ilgileniriz. Örneğin

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:2 GIRIŞ Bu derste elle ya da bir çalışma sayfası yardımıyla oluşturulacak bir simülasyon tablosunun kullanımıyla yapılabilecek simülasyon

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Ders 8 in Özeti YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 9. Bir Markov Zincirinin Sınıflandırılması. Örnek: Kumarbazın İflası

Ders 8 in Özeti YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 9. Bir Markov Zincirinin Sınıflandırılması. Örnek: Kumarbazın İflası Ders 8 in Özeti YÖEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 9 Durağan Dağılım Koşulsuz olasılık dağılımı (n) P Uzun Dönem Analizi Limit (Kararlı Hal) Dağılımı,,..., Bir Markov Zincirinin Sınıflandırılması

Detaylı

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ÖDEV 1: El ile Benzetim Bir depo ve 7 adet müşterisi olan bir taşımacılık sisteminde müşterilerden gelen siparişler araç ile taşınmaktadır. İki tür sipariş söz konusudur. Birincisi

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ENM-3105 Sistem Simulasyonu Kısa Sınav 1

ENM-3105 Sistem Simulasyonu Kısa Sınav 1 ENM-3105 Sistem Simulasyonu Kısa Sınav 1 Sınav Tarihi ve Yeri: 06 Kasım 2014, Perşembe, İlk ders, B203 No lu Derslik) (Kısa Sınav 1 de aşağıda verilen sorulardan birinin benzeri sorulacaktır.) Soru 1)

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME

EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME GİRİŞ Bu bölümde benzetim için excel örnekleri önerilmektedir. Örnekler excel ile yapılabileceği gibi el ile de yapılabilir. Benzetim örnekleri

Detaylı

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri-

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü Giriş Zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ENM 16 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir depo ve N adet müşteriden oluşan bir taşımacılık sisteminde araç depodan başlayıp bütün müşterileri teker teker ziyaret ederek depoya geri dönmektedir. Sistemdeki

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

3. KUYRUK TEORİSİNE GİRİŞ ve Ulaşım Mühendisliğinde Uygulamaları

3. KUYRUK TEORİSİNE GİRİŞ ve Ulaşım Mühendisliğinde Uygulamaları 3. KUYRUK TEORİSİNE GİRİŞ ve Ulaşım Mühendisliğinde Uygulamaları Kuyruk (bekleme hattı- bekleme sırası - bekleme kuyruğu) teorisi, bekleme hattının matematiksel modellerini oluşturarak kuyruk uzunluğu,

Detaylı

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI: SİGORTA MATEMATİĞİ. Soru 1

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI: SİGORTA MATEMATİĞİ. Soru 1 Soru Günde 8 saat çalışan bir bankanın müşterilerinin sayısı ile ilgili olarak şu bilgi verilmektedir: Müşteri sayısı, bankanın açıldığı an 9 müşteri ile başlayıp, her saat başı 9 oranı ile doğrusal artarak

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ

ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ Çıktı analizi benzetimden üretilen verilerin analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki veya daha fazla alternatif sistemlerin performansını

Detaylı

Elektrik Devre Temelleri 3

Elektrik Devre Temelleri 3 Elektrik Devre Temelleri 3 TEMEL KANUNLAR-2 Doç. Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Kocaeli Üniversitesi ÖRNEK 2.5 v 1 ve v 2 gerilimlerini bulun. (KGK) PROBLEM 2.5 v 1 ve v 2 gerilimlerini

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Rasgele Sayılar Rasgele Basamaklar

Rasgele Sayılar Rasgele Basamaklar Rasgele Sayılar Rasgele Basamaklar Gerçek hayatı taklit etmek için ihtiyaç duyulan rasgeleliği elde etmek rasgele sayılar ın kullanılması ile mümkündür. Rasgele sayıların oluşturulmasında rasgele basamaklar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2012 KPSS / GYGK CS 33. 31. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) A) B) C) 34. 32.

Diğer sayfaya geçiniz. 2012 KPSS / GYGK CS 33. 31. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) A) B) C) 34. 32. 31. 33. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 32. 34. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 84 B) 80 C) 72 64 60 9 35. 37. x ve y gerçel sayıları işleminin sonucu kaçtır? eşitsizliklerini

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

ULUSLARARASI ANTALYA ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS KATALOĞU

ULUSLARARASI ANTALYA ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS KATALOĞU ULUSLARARASI ANTALYA ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS KATALOĞU ZORUNLU DERSLER IE 201 - Operasyon Modelleme Karar vermedeki belirsizlik rolü de dahil olmak üzere işletme kararlarının matematiksel

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DERS 8 BELIRSIZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar

DERS 8 BELIRSIZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar DERS 8 BELIRSIZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL Zamanlama Kararları Miktar kararları Ne zaman sipariş verilecek? kararıyla birlikte verilir. Bu karar, stok yönetimindeki ana kararlardan biridir. Ne zaman

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik II Dersi Birinci Ara Sınavı

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik II Dersi Birinci Ara Sınavı Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik II Dersi Birinci Ara Sınavı 27 Mart 2010 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 11:00 Bitiş Saati: 12:20 Toplam Süre: 80 Dakika Lütfen adınızı

Detaylı

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz

BENZETİM. Prof.Dr.Berna Dengiz Prof.Dr.Berna Dengiz 2. Ders Sistemin Performans.. Ölçütleri Sistem Türleri Benzetim Modelleri Statik veya Dinamik Deterministik ( belirli ) & Stokastik ( olasılıklı) Kesikli & Sürekli Sistemin Performans

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders V ( ) 2. = dk φ k

8.04 Kuantum Fiziği Ders V ( ) 2. = dk φ k Geçen Derste ψ( x) 2 ve φ( k) 2 sırasıyla konum ve momentum uzayındaki olasılık yoğunlukları Parseval teoremi: dxψ( x) 2 = dk φ k ( ) 2 Normalizasyon: 1 = dxψ( x) 2 = dk φ k ( ) 2 Ölçüm: x alet < x çözünürlüğü

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 1. HAFTA 1 Kuyruk Teorisi: Giriş Bir hizmete olan talep arrtıkça talebi karşılamak için hizmeti

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu

Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu Kuyruk sistemlerinin simülasyonu sonraki adımda ne olacağını belirlemek üzere bir olay listesinin tutulmasını ve bakımını gerektirir. Simülasyonda olaylar genellikle gerçek

Detaylı

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi ENM 52 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I (Ortalamalar ve Oranlar İçin ) İstatistiksel Hipotezler İstatistiksel hipotez testi ve parametrelerin güven aralığı tahmini,

Detaylı

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Analitik yollardan çözemediğimiz birçok matematiksel problemi sayısal yöntemlerle bilgisayarlar aracılığı ile çözmeye çalışırız. Bu şekilde Sayısal yöntemler kullanarak

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I

Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I 1 Giriş İşlenecek ana başlıkları sıralarsak: Finansal varlıkların risk ve getirisi Varlık portföylerinin getirisi ve riski 2 Risk ve Getiri Yatırım kararlarının

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMULASYONU (ARENA) Hafta 2

EME 3105 SİSTEM SİMULASYONU (ARENA) Hafta 2 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EME 3105 SİSTEM SİMULASYONU (ARENA) Hafta 2 Beyazıt OCAKTAN GELİŞ SÜRECİNİN ARENA'DA GÖSTERİMİ Varlıklar (entities) modele girmedikçe, ARENA'da

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

... BEKLEME HATTI SİMÜLASYONU ~~~~~~~-~-~~~~~~-~~~~~~~~~~-~~M. Bir adet benzin pompası bulunan bir benzin istasyonunda en fazla 3 araçlık yer

... BEKLEME HATTI SİMÜLASYONU ~~~~~~~-~-~~~~~~-~~~~~~~~~~-~~M. Bir adet benzin pompası bulunan bir benzin istasyonunda en fazla 3 araçlık yer BEKLEME HATTI SİMÜLASYONU Bir adet benzin pompası bulunan bir benzin istasyonunda en fazla 3 araçlık yer bulunmaktadır. (Bit araç benzin alırken.diğer iki araç kuyrukta beklemektedir.) Her araçtan ortalama

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 3620

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 3620 Dersi Veren Birim: Endüstri Mühendisliği Dersin Türkçe Adı: YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II Dersin Orjinal Adı: YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu:

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı