KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ

Transkript

1 SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ II DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ DERS NOTLARI

2 DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Kuyruk sistemindeki t zamanındaki müşteri sayısını kuyruk sisteminin t zamanındaki durumu olarak tanımlarız. t= 0 daki sistemin durumu başlangıçtaki sistemdeki müşteri sayısını göstermektedir. Pij(t) = 0 zamanında i müşteri bulunan sistemde t zamanında j müşteri olma ihtimalidir. Pij(t) markov zincirindeki Pij(n) (n-adım geçiş) olasılığıdır. Markov zincirlerinden hatırlayabileceğimiz gibi Pij(n) büyük n değerleri için kararlılık durumu olasılıklarına yakınsamakta ve başlangıç durumundan bağımsız olmaktadır. Aynı şekilde Pij(t) değeri de büyük t değeri için denge olasılığı veya kararlılık durumu olasılığı Πj olasılığına yakınsar ve başlangıç durumdan bağımsız olur. Πj = uzun bir zaman sonrasında j müşteri olma olasılığı veya uzun bir zaman sonra sistemde j müşteri olma oranı olur. Pij(t) olasılığı küçük t değerleri için başlangıç durumundan oldukça etkilenmektedir. P50,1(t) ile P1,1(t) değerleri büyük t değerleri için Π1 değerine yakındır. Pij(t) nin Kararlılık durumuna ulaşılmadan önceki davranışı geçiş davranışıdır ve en basit sistemlerin dışında geçiş davranışını analiz oldukça zordur. Bu nedenle kuyruk sisteminin davranışını analiz ederken, kararlılık durumuna erişildiğini varsayarız. Bu durumda Pij(t) değerleri yerine Πj değerleri ile çalışabiliriz.

3 DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİ Bu derste Sürekli Zamanlı stokastik süreç sınıfında olan doğum-ölüm sürecini göreceğiz. Bir doğum-ölüm süreci sürekli zamanlı stokastik süreç olup herhangi bir zamanda sistemin durumu non-negatif (0 ve pozitif) tamsayıdır. DOĞUM-ÖLÜM SÜREÇLERİNDE HAREKET KANUNLARI Kanun 1: (λ j Δt + o(δt) ) olasılığı ile zaman t ile zaman (t+ Δt) arasında bir doğum olur. Doğum sistemin durumunu bir birim artırır. Durum j den (j+1) e değişir. λ j durum j de iken doğum oranı(hızı) dır. Pek çok kuyruk sistemlerinde doğum, basitçe geliştir. Kanun 2: (μ j Δt + o(δt) ) olasılığı ile zaman t ile zaman (t+ Δt) arasında bir ölüm olur. Ölüm sistemin durumunu bir birim azaltır. Durum j den (j-1) e değişir. μ j durum j de iken ölüm oranı(hızı) dır. Pek çok kuyruk sistemlerinde ölüm, basitçe servisin tamamlanmasıdır. (Not: μ 0 = 0 olmalıdır. Aksi taktirde negatif bir durum oluşabilir) Kanun 3: Doğumlar ve Ölümler birbirinden bağımsızdır. Eğer gelişler arası süre ve servis süreleri üstel dağılımda değilse doğum-ölüm süreci olarak modellemek uygun değildir.

4 M/M/1/FCFS/ / kuyruk sistemi doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Bu kuyruk sisteminin Oran(hız) diyagramı aşağıdaki şekilde verilmiştir. Şekil 8: M/M/1/FCFS/ / Kuyruk sisteminde hız(oran) diyagramı Ölüm(Servis Tamamlanması) Doğum (Geliş) M/M/3/FCFS/ / kuyruk sistemi doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Bu kuyruk sisteminin Oran(hız) diyagramı aşağıdaki şekilde verilmiştir. Şekil 8: M/M/3/FCFS/ / Kuyruk sisteminde hız(oran) diyagramı

5 DOĞUM-ÖLÜM SÜREÇLERİNDE KARARLILIK DURUMU OLASILIKLARININ BULUNMASI Doğum ölüm süreçlerinde kararlılık durumunda aşağıdaki eşitlik geçerlidir. Durum j den beklenen ayrılmalar Birim Zaman = Durum j ye beklenen girişler Birim Zaman (11) Kararlılık-durumu olasılıklarını kullanarak yukarıdaki eşitliğe göre Aşağıdakiler yazılabilir. j>=1 için eğer durum j yi terk edeceksek ya (j+1) e yada (j-1) e geçebiliriz: Durum j den beklenen ayrılmalar Birim Zaman = Πj (λj +μj) olur (12) j>=1 için eğer durum j ye gireceksek ya (j+1) den yada (j-1) den gelebiliriz: Durum j ye beklenen girişler Birim Zaman = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 (13)

6 (12) Ve (13) ü birbirine eşitlersek Πj (λj +μj) = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 (j=1,2, ) (14) j=0 için μ 0 =Π -1 =0 olur bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli olur. Π 1 μ 1 = Π 0 λ 0 (14 ) (14) Ve (14 ) doğum-ölüm sürecinde akış denge eşitlikleri veya akışların korunumu eşitlikleri olarak bilinir. (14) e göre durum j ye geçiş hızı(oranı) durum j den çıkış hızına eşittir. Eğer eşit olmasaydı bazı durumlarda yığılma olacak ve kararlılık durumuna erişilemeyecekti.

7 (12) Ve (13) ü birbirine eşitlersek Πj (λj +μj) = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 (j=1,2, ) (14) j=0 için μ 0 =Π -1 =0 olur bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli olur. Π 1 μ 1 = Π 0 λ 0 (14 ) (14) Ve (14 ) teki eşitlikleri açıkça yazacak olursak doğum-ölüm süreci için aşağıdaki akış denge eşitliklerine ulaşırız. (j=0) ise Π 0 λ 0 = Π 1 μ 1 (j=1) ise Π 1 (λ 1 +μ 1 ) = Π 0 λ 0 + Π 2 μ 2 (j=2) ise Π 2 (λ 2 +μ 2 ) = Π 1 λ 1 + Π 3 μ 3 (15) (j inci eşitlik) Π j (λ j +μ j ) = Π j-1 λ j-1 + Π j+1 μ j+1 olur

8 DOĞUM-ÖLÜM SÜRECİNDE AKIŞ DENGE EŞİTLİKLERİNİN ÇÖZÜMÜ (15) i çözersek ve bütün Π j değerlerini Π 0 cinsinden ifade edersek j=0 için olan eşitliği şu şekilde yazabiliriz Π 1 = Π 0 λ 0 μ 1 olur (j=1) için olan eşitliği yazarsak Π 2 = Π 0 λ 0 λ 1 μ 1 μ 2 olur Eğer c j = λ 0 λ 1 λ(j 1)) edebiliriz. μ 1 μ 2 μ j şimdi kararlılık durumu olasılıklarını Π 0 cinsinden ifade Π j = Π 0 c j olur. (16) Herhangi bir zamanda muhakkak herhangi bir durumda olmamız gerektiğinden dolayı j= Π j = 1 olur. (17) j=0

9 (16) Ve (17) yi birleştirirsek Π 0 (1+ j= j=1 c j ) = 1 olur. (18) Eğer j= j=1 c j sonlu bir değerse (18) i kullanarak Π 0 değerini bulabiliriz. Π 0 = 1+ 1 j= c j j=1 olur. Buradan Π 0 değerini buluruz. Sonra Π 1, Π 2 Değerlerini buluruz j= j=1 c j sonsuz ise kararlılık-durumu dağılımı mevcut değildir. Kararlılık durumunun olmamasına en yaygın sebep geliş hızının en az, maksimum servis hızı kadar olmasıdır.

10 M/M/1/GD/ / KUYRUK SİSTEMİ VE KUYRUK FORMULÜ L = λw Yukarıdaki modelde 1/ gelişler λ parametresiyle üstel dağılıma uymaktadır /2/ servis süreleri μ parametresiyle üstel dağılmaktadır /3/ 1 tane servisçi vardır /4/ Kuyruk disiplini Genel kuyruk disiplinidir. /5/ Sistemde aynı anda izin verilen maksimum müşteri sayısı dur. /6/ Gelişlerin olduğu popülasyonun büyüklüğü dur. Bu kuyruk sistemi 3 kanunu sağladığı için doğum-ölüm süreci olarakaşağıdaki parametrelerle modellenebilir. λj = λ (j=0,1,2,.) μ 0 =0 (20) μj = μ (j=1,2,3,.)

11 M/M/1/GD/ / KUYRUK SİSTEMİ KARARLILIK DURUMU OLASILIKLARININ BULUNMASI Π j değerlerini bulmak için Eşitlik (15) ten eşitlik (19) a kadar olan eşitlikleri kullanırsak aşağıdaki eşitliklere ulaşırız. Eşitlik (20) yi Eşitlik (16) ya yazarsak Π 1 = λπ 0 μ olur Π 2 = λ2 Π 0 μ 2 olur.. Π j = λj Π 0 μ j olur. (21) ρ = λ μ olarak tanımlarsak ( ρ Kuyruk sisteminin Trafik yoğunluğu ) (21) i (17) de yazarsak Π 0 (1+ ρ + ρ 2 + ρ 3 +.) = 1 (22) şimdi 0<= ρ <1 kabul edelim. Şimdi S= (1+ ρ + ρ 2 + ρ 3 +.) değerini bulalım. Eğer S değerini ρ ile çarparsak ρ S = (ρ + ρ 2 + ρ 3 +.) olur. Şimdi S- ρ S = 1 olur. S = 1/(1- ρ) (23) olur.

12 Eğer (23) ü (22) de yazarsak Π 0 = 1- ρ (24) (0<= ρ <1) olur. Eğer (24) ü (21) de yazarsak Π j = ρ j (1- ρ) (25) (0<= ρ <1) olur. Eğer ρ >=1 olursa o zaman kararlılık durumuna erişilemez. Kuyruk patlar ve sürekli şişer. Ρ = λ/μ >= 1 ise (geliş hızı en azından servis hızı kadardır veya daha fazladır)

13 L (SİSTEMDEKİ ELEMAN(MÜŞTERİ) SAYISI) DEĞERİNİN BULUNMASI Bundan sonraki bölümlerde aksi belirtilmedikçe ρ <1 alınması koşulu ile ve (25) i kullanırsak Sistemdeki eleman sayısı = j= j=0 jπ j = j= j=0 jρ j (1 ρ) = (1 ρ) j= j=0 jρ j Eğer S = j= j=0 jρ j = ρ + 2ρ 2 + 3ρ 3 Tanımlarsak ρs = ρ 2 + 2ρ 3 + 3ρ 4 olur S - ρs = ρ + ρ 2 + ρ 3 +. = ρ /(1- ρ) olur. O zaman S = ρ /(1- ρ) 2 olur Şimdi sistemdeki eleman sayısını bulabiliriz L= (1- ρ) S dir. L= (1- ρ) ρ (1 ρ) 2 = ρ (1 ρ) olur ρ = λ μ yazarsak o zaman L = λ μ λ (26) olur

14 L q (KUYRUKTAKİ ELEMAN(MÜŞTERİ) SAYISI) DEĞERİNİN BULUNMASI Lq = j= j=1 (j 1)Π j = j= j=1 jπ j - j= j=1 Π j = L ( 1-Π 0 ) (24) ü kullanırsak Lq = L ρ olur. L = λ μ λ (26) yı kullanarak Lq = L ρ = ρ (1 ρ) - ρ = ρ2 olur (27) (1 ρ) Lq = L ρ = λ - λ = λ 2 μ λ μ μ(μ λ) olur (27) Lq = λ2 μ(μ λ) (27) olur

15 L s (SERVİSTEKİ ELEMAN(MÜŞTERİ) SAYISI) DEĞERİNİN BULUNMASI Ls servisteki beklenen müşteri sayısını bulmak isteyebiliriz. M/M/1/GD/ / kuyruk sisteminde Ls = 0 Π 0 + 1( Π 1 + Π 2 + ) = 1- Π 0 = ρ = λ μ olur Herhangi bir kuyruk sisteminde L = Ls + Lq eşitliği geçerlidir. Bu eşitliği kullanarak Ls formülünü bulacak olursak ρ L= (1 ρ) idi Lq = L ρ idi Ls=L-Lq = ρ = λ olur μ Ls =ρ = λ μ olur

16 KUYRUK FORMÜLÜ L= λw (LITTLE FORMÜLÜ) Formülden bahsetmeden önce aşağıda aradığımız değerleri ifade eden notasyonları verecek olursak. λ = Birim zamanda sisteme ortalama geliş miktarı μ = Birim zamanda ortalama servisi tamamlanan eleman sayısı L = Sistemde ortalama bulunan eleman sayısı Lq = Kuyrukta ortalama bulunan eleman sayısı Ls = Serviste ortalama bulunan eleman sayısı W = Bir müşterinin sistemde ortalama harcadığı süre Wq = Bir müşterinin kuyrukta ortalama harcadığı süre W = Bir müşterinin serviste ortalama harcadığı süre Pek çok kuyruk sisteminde Little kuyruk formülü aşağıda Teorem 3 te verildiği gibidir. TEOREM 3 : Kararlılık-durumu dağılımlarının varolduğu Herhangi bir kuyruk sisteminde aşağıdaki formüller geçerlidir. L = λ W (28) Lq = λ Wq (29) Ls = λ Ws (30)

17 Little Kuyruk Formülü, servisçi sayısı, gelişlerarası zaman dağılımı, servis disiplini, servis zamanı dağılımından bağımsızdır. Kararlılık-durumu olasılıkları var olduğu müddetçe Little kuyruk formülünü uygulayabiliriz. (Formüller (28)-(30) ) M/M/1/GD/ / kuyruk sisteminde Little Formüllerini kullanarak W, Wq ve Ws formüllerini bulacak olursak L= ρ (1 ρ) ρ ve W = L / λ W = λ(1 ρ) = 1 μ λ olur (31) Lq = λ2 μ(μ λ) ve Wq = Lq/ λ Wq = λ μ(μ λ) olur (32) Ls = λ/μ ve Ws = Ls / λ Ws = 1/μ olur.

18 ÖRNEK 2: Tek servisçili, arabaya servis yapan sisteme saatta ortalama 10 araç gelmektedir. Her bir müşteriye ortalama servis süresi 4 dakikadır. Gelişlerarası süre ve servis süresi üstel dağılıma uymaktadır. Bu durumda aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Servisçinin boş olma olasılığı nedir? b) Servisçi için kuyrukta bekleyen ortalama araç sayısı nedir? c) Araçların sistemde ortalama geçirdikleri süre nedir? d) Ortalama, te kaç tane müşteri servisçi tarafından hizmet görmektedir? ÇÖZÜM: Bu bir M/M/1/GD/ / kuyruk sistemidir. λ= 10 araç/saat tir μ= 15 araç/saat tir. Böylece ρ=10/15 = 2/3 < 1 dir. a) (24) ü kullanırsak Π 0 = 1- ρ = 1-2/3 =1/3 (Servisçinin boş olma olasılığı) b) ρ (27) yi kullanırsak Lq= (1 ρ) = (2/3) 2 =4/3 müşteridir. (1 2/3) c) ρ (28) i kullanırsak W = L/ λ ve L= (1 ρ) = (2/3) (1 2/3) = 2 müşteri W = 2/10 saat = 12 dakika bir aracın ortalama sistemde geçirdiği süre d) Eğer servisçi sürekli meşgul olsaydı 15 araca hizmet verirdi. Fakat 1/3 boş olduğu için 2/3 doludur ve dolu olduğu yüzdeyle ortalama (2/3)*15= 10 araca hizmet eder.

19 ÖRNEK 3: Araçların depolarının yarısının boş olduğu zaman benzin istasyonuna uğradıklarını kabul edin. Tek servisçisi olan bir benzin istasyonuna saatte ortalama 7,5 müşteri gelmektedir. Araçlara benzin doldurmak ortalama 4 dk zaman almaktadır. Gelişler arası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. Bu duruma göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Aktif Durum için L ve W değerlerini hesaplayınız. b) Benzin kıtlığı olduğunu ve müşterilerde panik alımları başladığını düşünün. Bu durumda müşterilerin depolarının ¾ seviyeye indiğinde benzin istasyonuna uğradığını ve doldurmanın artık 3 1 dakika aldığını düşünün. Panik alımlarının L ve 3 W değerlerini nasıl etkilediğini bulun. ÇÖZÜM: Bu bir M/M/1/GD/ / kuyruk sistemidir. a) λ= 7,5 araç/saat tir μ= 15 araç/saat tir. Böylece ρ=7,5/15 = 1/2 < 1 dir. ρ (26) yı kullanırsak L= (1 ρ) = 0,5 =1 olur. (1 0,5) (28) i kullanırsak W=L/ λ = 1/(7,5) = 0,13 saat. Bu durumda herşey kontrol altında görülüyor. Ve uzun kuyruklar olası görünmüyor.

20 b) Bu bir M/M/1/GD/ / kuyruk sistemidir. Yeni parametreler ise ; λ= 2*7,5=15 araç/saat tir μ=60/3,33 = 18 araç/saat tir. Böylece ρ=15/18 = 5/6 < 1 dir. Dolayısı ile kararlılık durumu mevcuttur. ρ (26) yı kullanırsak L= (1 ρ) = 5/6 (1 ( 5 =5 olur. )) 6 (28) i kullanırsak W=L/ λ = 5/(15) = 1/3 saat = 20 dakika. Bu durumda paniğin uzun kuyruklara ve sistemde beklemeye yol açtığı görülmektedir.

21 Aşağıda tablo 5 te M/M/1/GD/ / sistemi için ρ ve L arasındaki ilişki verilmiştir. ρ değeri arttıkça L değerinin nasıl hızla arttığı görülmektedir. ρ M/M/1/GD/ / sistemi için L değeri 0,3 0,43 0,4 0,67 0,5 1 0,6 1,5 0,7 2,33 0,8 4 0,9 9 0, ,99 99 Tablo 5:M/M/1/GD/ / sistemi için ρ ve L arasındaki ilişki

22 KUYRUK OPTİMİZASYON MODELİ : Aşağıda, Örnek 4 kuyruk teorisinin karar vermede nasıl yardımcı olarak kullanıldığını göstermektedir. Karar vericinin alternatif kuyruk sistemlerinden birini seçtiği problemler kuyruk optimizasyon problemleri olarak adlandırılır. ÖRNEK 4: Alet-ve-Kalıp fabrikasında çalışan ustalar alet-merkezinden gerektiğinde alet almaktalar. Ortalama saatte 10 usta alet istemektedir. Alet-merkezinde 1 tane personel çalışmaktadır ve ortalama 5 dakikada bir isteği yerine getirmektedir. Personel saati $6 a çalışmakta olup ustalar saatte $10 almaktadırlar. Bu nedenle sipariş bekleyen ustaların beklemesinin maliyeti saati $10 dır. Firma personele bir yardımcı alıp almamayı düşünmektedir. Eğer yardımcı alırsa talepleri karşılamak 4 dakikaya düşecektir. Yardımcının maliyeti ise $4 / saat olacaktır. Talep gelişleri ve karşılanmaları üstel dağılıma uymaktadır. Bu durumda yardımcı alınmalımıdır?

23 ÇÖZÜM 4: Firma Beklenen Maliyet = minimize etmeye çalışmaktadır. Servis Maliyeti saat + maliyetini = ( Müşteri ) ( Beklenen Müşteri ) Müşteri = $10 Usta saat (Bir Ustanın sistemde harcadığı ortalama zaman) Müşteri = 10W = 10Wλ olur. Eğer yardımcı alınmamışsa: λ = 10 usta/saat μ=12 usta/saat (31) Kullanılırsa W = = 0,5 saat olur. Buradan = 10Wλ = 10(0,5)10 = $50 ve Servis Maliyeti saat = $6 Beklenen Maliyet = $50 + $6 = $56 olur (Eğer Yardımcı tutulmazsa)

24 ÇÖZÜM 4: devam Firma Beklenen Maliyet = minimize etmeye çalışmaktadır. Servis Maliyeti saat + maliyetini Müşteri = = ( $10 Usta(saat) Müşteri ) ( Beklenen Müşteri (Bir Ustanın sistemde harcadığı ortalama zaman) ) Müşteri = 10W = 10Wλ olur. Eğer yardımcı alınmışsa: λ = 10 usta/saat μ=15 usta/saat (31) Kullanılırsa W = = 0,2 saat olur. Buradan = 10Wλ = 10(0,2)10 = $20 ve Servis Maliyeti saat = ($6 +$4) = $10 Beklenen Maliyet = $20 + $10 = $30 olur (Eğer Yardımcı tutulursa) $30 < $56 olduğundan yardımcı tutmak karlıdır.

25