Belirli ntegral Uygulamalar

Transkript

1 iv

2

3 CHAPTER 4 Belirli ntegrl Uygulmlr Belirli integrlin b³lc uygulmlr ³unlrdr. (1) Uzunluk () Düzlemsel e rilerin uzunlu u (2) Aln (3) () Düzlemde iki e ri rsnd kln ln (b) Dönel yüzeylerin ln (4) Ortlm de erler () Fonksiyonun ortlm de eri (b) ntegrl hesbn ortlm de eri (5) Hcim () Dönel cisimlerin hcmi (b) Dilimleme Yöntemiyle hcim Hesplm (c) Kbuk yöntemiyle hcim hesb (6) Fiziksel Uygulmlr () Yo unluk (b) Kütle merkezi (c) Moment (d) i³ (e) Sv bsnc (f) Pppus Teormleri 4.1. Düzlemsel E rilerin Uzunlu u Kendi kendisini kesmeyen sürekli bir C e irisi dü³ünelim. Bu e ri y = f(x), < x < b fonksiyonunun gr i olsun. [, b] rl nn bir P bölüntüsü (4.1) = t < t 1 < t 2 <... < t n = b olsun. P i = (x(t i ), y(t i ) = (x i, y i ) i =, 1, 2,... n noktlr C e risi üzerindedir. imdi P, P 1, P 2,... P n noktlrn rd³k birle³tiren çokgeni dü³ünelim. Bu çokgenin kenrlr küçüldükçe, kenrlrnn uzunluklr toplm C yynn uzunlu un ykl³cktr: Çokgenin kenr uzunlklr toplm P i 1 P i dir. Çokgenin kenr uzunluklrn t i ile göstelim. M = mx{ t i }, olmk üzere L = lim P i 1 P i M limiti vrs, C e risi ölçülebilir (rectible) denilir. 53 i = 1, 2,,..., n

4 54 4. BELIRLI ÐNTEGRAL UYGULAMALARž Fonksiyonun sürekli olms e risinin ölçülebilir olms için yeterli ko³ul de ildir. O nedenle, fonksiyonun sürekli türeve ship olms ko³ulunu koyc z. Düzlemde iki nokt rsndki uzklk formülünden P i 1 P i = lim (xi x i 1 ) 2 + (y i y i 1 ) 2 m oldu unu gözönüne lrsk, x(t i ) x(t i 1 = x (u i ) t i (t i 1 < u i < t i ) y(t i ) y(t i 1 = y (v i ) t i (t i 1 < v i < t i ) konumuyl, (xi x i 1 ) 2 + (y i y i 1 ) 2 [x (u i )] 2 + [y (v i ] 2 t i L = lim M [x i (t)]2 + [y i (t)]2 Çokgenin en uzun kenrnn uzunlu u sfr ykl³rken, yni M iken u i, v i, n olc ndn L = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 t i (4.2) (4.3) (4.4) = = = = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 (dx ) 2 + ( ) 2 dy 1 + dx 1 + y 2 ( ) 2 dy çkr. Bunlr C yynn uzunlu unu veren formüller olur. Örnek 4.1. Yrçp r oln çemberin uzulu unu bulunuz. Çemberin prmetrik denklemi x = rcost, y = rsint ( t 2π) dir. Burdn t prmetreine göre türev lrsk, dx = rsint, dy = rcost ( t 2π)

5 4.1. DÜZLEMSEL E RILERIN UZUNLU U 55 olur. (4.2)'nin ilk formülünden L = = r = r 2i 2i 2i = 2πr ( rsint)2 + (rcost) 2 sin2 t + cos 2 t bulunur. Son e³itlik çemberin uzunluk formülü olrk kullnlblir: (4.5) L = 2πr Örnek 4.2. Prmetric denklemi oln stroidin yy uzulu unu bulunuz. x = rcos 3 t, y = rsin 3 t ( t 2π, > ) (4.2)'nin ilk formülünü kullnlm: Bu formülü kullnbilmek için olur. Burdn 2 L = 4 [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dx = 3cos2 tsint, dy = 3sin2 tcost ( ) 2 dx + de ri (4.2) formülünde kullnlrs, ( ) 2 dy = 9 2 (cos 4 tsin 2 t + sin 4 cos 2 t) = 9 2 cos 2 tsin 2 t(cos 2 t + sin 2 t) = 9 2 cos 2 tsin 2 t 2 L = 12 costsint 2 = 6 costsint = 3cos2t π 2 = 6

6 56 4. BELIRLI ÐNTEGRAL UYGULAMALARž 4.2. Aln hesplr Örnek 4.3. y = 4 x 2 prbol e risi ile Ox ekseni rsnd kln düzlemsel bölgenin lnn bulunuz. (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) A = +2 )4 x 2 ) dx = 4 +2 dx = 4(2 ( 2)) 1 3 (23 ( 2) 3 ) = = 32 3 x 2 dx Örnek 4.4. Yrçp r oln kürenin yüzey lnn hesplynz. Küre yüzeyini, ypçp r oln x = rcost, y = rsint ( t π) yr çemberinin Ox ekseni etrfnd dönmesiyle olu³n bir dönel yüzey olrk dü³ünebiliriz. ( ) gere ince, A = 2π y ( dx )2 + ( dx )2 olur. = 2π = 2πr 2 sint = 2πr 2 cost π = 4πr 2 rsint ( rsint) 2 + (rcost) 2 Örnek 4.5. C e risi y = 1 2 x2 ( x 1) olrk veriliyor. Bu yyn Ox etrfnd bir tm dönü³ ypmsyl ³ekildeki gibi borzn benzer bir dönel cisim olur. Bu cismin dönel yüzey lnn bulunuz. ( ) uyrnc A = 2π y = πx x 2 dx 1 + ( dy dx )2 dx

7 4.4. FOKSIYONUN ORTA DE ERI 57 x = tnu, dx = sec 2 u konumuyl A = π = π 4 4 tn 2 u 1 + tn 2 u sec 2 u du tn 2 usec 3 u du = π 1 4 sec3 utnu 1 8 secutnu 1 8 ln secu + tnu π 4 = π ( ) ln( 2 + 1) 4.3. Kutupsl Koordintlrd Aln r = f(θ), (α θ β) fonksiyonu sürekli ise, e ri üzerinde P (r, θ) nokts ile Q(r + r, θ + θ) noktlrn dü³ünelim. OP Q bölgesinin A lnn bulmk istiyoruz. Bu ln OP P ile OQQ lnlr rsnddr. Dolysyl, πr 2 θ 2π A π(r + r)2 θ 2π 1 2 r2 θ A 1 2 (r + r)2 θ yzlbilir. Ardki ln delta ile gösterirsek, 1 2 r2 A A θ 1 (r + r)2 2 e³itsizli i elde edilir. r = f(θ) sürekli oldu undn θ iken olur. Dolysyl, 1 A 2 r2 lim θ δθ 1 2 (r)2 δa θ = 1 2 r2 = 1 2 (f(θ))2 A = 1 2 r2 dθ olur. O hlde (α θ β) tnm rl n kr³lk gelen ln (4.1) A = da = 1 et r 2 dθ 2 olcktr. lph (4.11) 4.4. Foksiyonun Ort De eri Tnm 4.6. [, b] rl nd tnml ve integrllenebilen f fonksiyonu için 1 b e³itli ini s lyn bir c [, b] de eri vrdr. f(x)dx

8 58 4. BELIRLI ÐNTEGRAL UYGULAMALARž Bu de ere fonksiyonun ort de eri (verge) denilir. Bu de er Rolle teoremindeki ortlm de erden frkldr. spt: f fonksiyonu kpl [, b] rl nd minimum m ve mksimum M de erlerini lr. Dolysyl, lnlr rsnd m(b ) b nts vrdr. Her trf (b ) ile bölersek, m 1 (b ) f(x) M(b ) f(x) dx M çkr. Fonksiyonun ortlm de erini s ile gösterelim. Yukrdki e³itsizlikten s ortlm de erinin [m, M] rl nd oldu u sonucu çkr. Kpl bir rlkt sürekli fonksiyon min ve mx rsndki bütün de erleri lc ndn; e er s = m ise s = f(u) olck biçimde bir u [, b] olmldr. Benzer olrk, s = M ise s = f(w) olck biçimde bir w [, b] olmldr. De ilse m < s < M olur. Bu durumd yine r de er teoremi uyrnc s = f(c) e³itli ini s lyn bir c [, b] nokts vrdr. Örnek 4.7. f(x) = x fonksiyonunun [ 2, 1] rl ndki ort (verge) de erini bulunuz. Tnm uygulrsk, f vg = = 2 2 (x 2 + 1) dx (x 2 ) dx + 2 dx = 1 ( 1 3 ( 2) 3) + (1 ( 2)) 3 = = 6 Örnek 4.8. f(x) = x 2 5x + 6cos(πx) fonksiyonunun [ 1, 5 2 ] rl ndki ortlmsn bulunuz f vg = 5 2 ( 1) ( ) dx = 7 ( x3 5 2 x π sin(πx) 2 1 = 12 7π 13 6 = =

9 4.5. DÖNEL CISIMLERI HACIMLERIN 59 Örnek 4.9. f(x) = x 2 + 3x + 2 fonksiyonunun [1,4] rl ndki ortsn bulunuz. 4 f vg = 1 (x 2 + 3x + 2) dx = 1 3 x x3 + 2x = = Örnek 4.1. f(x) = x 2 + x + 1 fonksiyonunun [1,3] rl ndki ortsn bulunuz. 4 f vg = 1 (x 2 + 3x + 2) dx = 1 3 x x2 + 2x = = Dönel Cisimleri Hcimlerin Düzlemsel bir R bölgesinin, kendisini kesmeyen bir do ru etrfnd dönmesiyle olu³n cisme dönel kt cisim denilir. Bu cisim gerçekte uxyd vr olmyn m hyl etti imiz bir cisimdir. Düzlemsel R bölgesinin D do rusun göre üst snr f(x) fonksiyonu ile belirlensin. R bölgesinin her noktsndn onu kesmeyen D do rusun dikmeler inelim. R bölgesi prçl de ilse, dikmelerin yklr D do rusu üzerinde bir [, b] rl olu³turur. D do rusunu koordint ekseni olrk lrsk, [, b] rl f fonksiyonunun tnm bölgesi içinde olcktr. Dikmelerin yklrn içeren [, b] rl nn bir bölüntüsünü (prtition) P ile gösterelim: (4.12) = x < x 1 < x 2 <... < x n = b (4.13) x i = x i x i 1, M = mx{ x i i = 1, 2,..., n} olsun. Her bölüntü içinde bir x i 1 t i x i olck ³ekilde bir t i nokts seçelim. imdi tbn x i ve yüksekli h i = f(t i ) oln dikörtgenin D do rusu etrfnd bir tm dönü³ ypt n vrsylm. Yrçp h i oln bir silindir olu³ur. Bu silindirin hcmi (4.14) πh 2 i x i = πf(t i ) 2 x i 1

10 6 4. BELIRLI ÐNTEGRAL UYGULAMALARž olcktr. Bunlrn toplm d sl S cisminin hcmine ykn olcktr. (4.15) V πf(t i ) 2 x i E er M = mx{ x i } iken (4.15) toplmnn limiti vrs, bu limit (4.16) V = π f 2 (x) dx = π y 2 dx integrli ile ifde edilir ve bu intgrl S cisminin hcmine e³it olur. Dönme ekseni de i³irse, Ox ile Oy eksenlerini yer de i³tirebiliriz: (4.17) V = π d c g 2 (y) dy = π d c x 2 dy imdi dönen R düzlemsel bölgesinin üstten y = f(x), lttn y = g(x) fonksiyonlr ile snrl oldu unu dü³ünelim. Bu düzlem prçsnn bir tm dönü³ ypmsyl olu³n dönel kt cismin hcm f ile g fonksiyonlrn kr³lk gelen iki dönel kt cismin hcimleri frkdr. Dolysyl; (4.18) V = V f V g = π ( f 2 (x) g 2 (x) ) dx 4.6. Dilimleme Yöntemiyle Hcim Bulm ekilde hcmi hesplnck bir cisim görülüyor. Uygun bir Ox- ekseni seçelim. Eksenin hngi konumd seçildi i nck prtik de er t³r. Cismin her noktsndn D do rusun dikmeler inildi ini vrsylm. Dikmelerin yklrn içeren [, b] rl nn bir bölüntüsünü (prtition) P ile gösterelim: (4.19) = x < x 1 < x 2 <... < x n = b (4.2) x i = x i x i 1, M = mx{ x i i = 1, 2,..., n} olsun. x i noktsndn D do rusun dikey olck biçimde çizilen düzlem S cismiyle kesi³ir ve onunl rkesiti düzlemsel bir R i bölgesi olu³turur. R i bölgesinin lnn A(x i ) diyelim. Bölüntünün rd³k x i 1, x i noktlrndn deçen dikey düzlemlerin S ile rkesitleri rsnd kln dilimi dü³ünelim. Bu dilimin hcm ykl³k olrk, x i = x i x i 1 olmk üzere, (4.21) V (x i ) A(x i ). x i olcktr. Bu ykl³k hcimlerin toplm S cisminin V hcmine ykn olur: (4.22) V V (x i ) = A(x i ) x i i= x i bölüntü rlklrnn M mksimum uzunlu u sifr giderken (4.22) toplmnn limiti vrs söz konusu limit (4.23) V = i= A(x) dx integrline e³it olur. Bu de er S cismini hcmidir.

11 4.7. SILINDIRIK KABUKLAR YÖNTEMI Silindirik Kbuklr Yöntemi y = f(x), x =, x = b ve Ox ekseni ile çevrili düzlemsel bölgenin Oy ekseni çevresinde bir tm dönü³ ypt n dü³ünelim. [, b] rl nn bir bölüntüsünü (prtition) P ile gösterelim: (4.24) = x < x 1 < x 2 <... < x n = b (4.25) x i = x i x i 1, M = mx{ x i i = 1, 2,..., n} t i (xi, xi+ xi) oln bir t i nokts seçelim. her t i [, b] için t i noktsndn geçen silindirin ynl ln A(t i ) olsun. Tbn [x i, x i + x i ] ve yüksekli i y i = f(t i ) oln dikdötgen biçimindeki R i bölgesinin Oy ekseni çevresinde dönmesiyle, klnl en çok x i oln silindirik bir cisim olu³ur. Bun kbuk diyelim. Bu silindirin simetri ekseni Oy ekseni, iç yrç x ve d³ yrçp t i dir. Sözkonusu dönü³ esnsnd t i [, b] noktsnn çizdi i çemberin uzunlu u 2πt i olcktr. O hlde t i 'in çizdi i çember üzerinde kuruln silindirin ynl yüzey ln 2πt i f(t i ) = 2πt i y i olur. Ynl yüzeyi çp bir düzlem prçs hline getirelim. Kbu un klnl en çok x i oldu un göre, kbu un hcm en çok V i = A(t i ). x i = 2πt i y i x i olur. Bütün [x i, x i + x i ] bölüntü rlklr için elde edilen kbuklrn toplm ykl³k olrk cismin V hcmine e³it olmldr: (4.26) V V i A(t i ). x i = 2πt i y i x i E er, bölüntü rlklrnn en uzunu sfr ykl³rkek, yni mx M = mx{ x i } iken (4.26) toplmnn limiti vrs, o limit (4.27) V = 2π xy dx integrlidir. Bu integrlin de eri cismin V hcmine e³it olur. E er dönel cisim Ox ekseni etrfnd dönüyors (4.27) yerine, simetriden doly, (4.28) V = 2π d c xy dy formülü elde edilir. imdi R düzlemsel bölgesinin üstten y = f(x), lttn y = g(x), soldn x =, s dn x = b ile snrlnd n vrsylm. R bölgsi Oy ekseni etrfnd bir tm dönme ypt nd olu³n cismin hcmi üstten y = f(x) e risi, lttn Ox ekseni, soldn x =, s dn x = b ile snrl bölgenin bir tm dönü³ü esnsnd olu³n V f hcmi ile üstten y = g(x) e risi, lttn Ox ekseni, soldn x =, s dn x = b ile snrl bölgenin bir tm dönü³ü esnsnd olu³n V g hcminin frkn e³it olcktr: (4.29) V = V f V g = 2π olur. x (f(x) g(x)) dx Örnek y = 2 prbolü ile y = x 3 e risi rsnd kln düzlemsel R bölgesi Oy ekseni etrfnd döndürülüyor. Olu³n kt cismin hcmini bulunuz.

12 62 4. BELIRLI ÐNTEGRAL UYGULAMALARž R bölgesi birinci dörtte birlik bilgededir: ( x 1) dir. Dönel cismin hcmi için (4.29) formülünü uygulybiliriz: ( ) x 4 1 2π 4 x5 5 π 1 V = 2π x(x 2 x 3 ) dx = 2π (x 3 x 4 ) dx Örnek y = (x 1)(x 3) 2 e risi ile Ox ekseni rsnd kln düzlemsel R bölgesi Ox ekseni etrfnd döndürülüyor. Olu³n kt cismin hcmini bulunuz. R bölgesi birinci dörtte birlik bilgededir: ( x 8) dir. Dönel cisim Ox ekseni etrfnd döndü üne göre hcim için (4.29) formülünü uygulybiliriz: ( ) x 4 1 2π 4 x5 5 π 1 V = 2π x(x 2 x 3 ) dx = 2π (x 3 x 4 ) dx Örnek y = 3 x, (, 8) e risi ile Ox ekseni rsnd kln düzlemsel R bölgesi Oy ekseni etrfnd döndürülüyor. Olu³n kt cismin hcmini bulunuz. R bölgesi birinci dörtte birlik bilgededir Fonksiyonu x = f(y) = y 3 biçiminde yzbiliriz. ( x 2) dir. Dönme eylemi Ox ekseni etrfnd oldu un göre dönel cismin hcmi için (4.28) formülünü uygulybiliriz: ( 2π 4y 2 1 ) 2 5 y5 96π 5 V = 2π 2 y(8 y 3 ) dy = 2π 4.8. Hcim hesplr 2 (8y y 4 ) dy Tbn yrçp r ve yüksekli i h oln dik diresel koninin hcmini bulunuz.

13 4.8. HACIM HESAPLARž 63 Koniyi dönel bir cisim olrk dü³ünmek için, koninin simetri eksenini Ox eksenini ve koninin tepe nontsn O b³lngç nokts seçelim. Herhngi bir x [, h] noktsnd Ox eksenine dik düzlemle koninin rkesiti bir çemberdir. Koninin Oy ekseni boyunc oln yn yrtn y = f(x) ile gösterelim. ekildeki OBX üçgeni OB'H üçgenine benzer oldu undn, yni OBX OB H benzerli inden yzlbilir. Burdn y r = x h y = r h x çkr ve sözkonusu dilimin (rkesit) ln (4.3) A(x) = πr2 h 2 x2 olur. Burdn (4.31) V = formülü çkr. h A8x)dx = πr2 h 2 h x 2 dx = 1 3 πr2 h

14