T.C. UZAYLARINDA SINIRLILIĞI
|
|
- Aygül Sezen
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Koray ŞANTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR 25
2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Koray ŞANTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI DANIŞMAN Prof. Dr. Vagıf S. GULİYEV KIRŞEHİR 25
3 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü ne Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan Prof. Dr. Vatan KARAKAYA Üye Prof. Dr. Vagıf S. GULİYEV Üye Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ Onay Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım..../.../25 Prof. Dr. Levent KULA Enstitü Müdürü
4 TEZ BİLDİRİMİ Yüksek lisans tezi olarak sunduğum Harmonik Analizin İntegral Operatörlerinin Orlicz Uzaylarında Sınırlılığı başlıklı çalışmamın, akademik kurallara ve etik değerlere uygun olarak yazıldığını, yararlandığım eserlerin kaynaklarda eksiksiz olarak gösterildiğini ve çalışmamın içinde kullanıldıkları her yerde bunlara atıf yapıldığını bildiririm. Koray ŞANTAŞ i
5 HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Yüksek Lisans Tezi Koray ŞANTAŞ Ahi Evran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Haziran 25 ÖZET Bu tezde Orlicz uzayları ve harmonik analizin klasik operatörlerinin bu uzaylardaki sınırlılıkları hakkında bilgi verilecektir. Dört bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde, literatürde bu konu ile ilgili araştırmaları olan birçok matematikçi hakkında bilgi verilmiş ve bu çalışmanın amacından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, bundan sonraki bölümlerde işlenecek olan konuları yakından ilgilendiren bazı temel kavram, notasyon ve teoremlere yer verilecektir. Üçüncü bölümde, ilk olarak Orlicz uzaylarının temelini olusturan Young fonksiyonlarının tanım ve özellikleri verilecek, daha sonra ise Orlicz uzayları detaylı bir şekilde incelenecektir. Dördüncü bölümde ise harmonik analizin integral operatörlerinin Orlicz uzaylarındaki sınırlılıkları ile ilgili sonuçlara yer verilecektir. Anahtar Kelimeler: Young fonksiyonları, N-fonksiyonları, Lebesgue uzayı, Orlicz uzayı, maksimal operatör, kesirli maksimal operatör, singüler integral operatör, Riesz potansiyeli, komütatör. Sayfa Adedi: 49 Danışman: Prof. Dr. Vagıf S. GULİYEV ii
6 BOUNDEDNESS OF INTEGRAL OPERATORS OF HARMONIC ANALYSIS ON ORLICZ SPACES Master Thesis Koray ŞANTAŞ Ahi Evran University Institute of Science June 25 ABSTRACT In this thesis, informations about Orlicz spaces and the boundedness of classical operators of harmonic analysis in these spaces are given. This study is arranged in fourth chapters, in the first chapter, information is given about many mathematicians studying in this field in the literature and also about purpose of this study. In the second chapter, some basic definitions and general informations about basic concepts, spaces and operators related to this study are given. In the third chapter, firstly, the definitions and properties of Young functions which forms the basis of the Orlicz spaces will be given and then, Orlicz spaces will be investigated with full of details. In the fourth chapter, the results about the boundedness of integral operators of harmonic analysis in Orlicz spaces will be given. Keywords: Young functions, N-functions, Lebesgue space, Orlicz space, maximal operator, fractional maximal operator, singular integral operator, Riesz potential, commutator. Number of Pages: 49 Supervisor: Prof. Dr. Vagıf S. GULİYEV iii
7 TEŞEKKÜR Bu tezi hazırlarken, her ihtiyaç duyduğumda yardımcı olan, değerli ve derin bilgileriyle bana ışık tutan, önüme çıkan her konuda yardımlarını esirgemeyen, beni tüm içtenliği ve samimiyetiyle destekleyen ve bana emek veren saygı değer hocalarım; Prof. Dr. Vagif S. GULİYEV ve Doç. Dr. Ali AKBULUT a; lisans eğitimimde olduğu gibi yüksek lisans eğitimimde de attığım her adımda bana yol gösteren, iyi veya kötü her anımda destek olan, beni kardeşi bilip maddi manevi hiçbir desteğini esirgemeyen Arş. Gör. Fatih DERİNGÖZ e; bugünlere ulaşmamda verdikleri emek ve sevgileri ile destekleri için sevgili aileme teşekkür ve şükranlarımı sunarım. Koray ŞANTAŞ iv
8 İÇİNDEKİLER DİZİNİ TEZ BİLDİRİMİ ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR SİMGELER VE KISALTMALAR i ii iii iv vi GİRİŞ 2 ÖN BİLGİLER 2 2. Lebesgue Uzayları BMO (John-Nirenberg) Uzayı Harmonik Analizin Klasik İntegral Operatörleri ORLICZ UZAYLARI 2 3. Young Fonksiyonları Orlicz Fonksiyon Uzayları HARMONİK ANALİZİN KLASİK OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Temel Tanım ve Teoremler Kesirli Maksimal Operatörün Orlicz Uzaylarındaki Sınırlılığı Kesirli İntegral Operatörün Orlicz Uzaylarındaki Sınırlılığı Singüler İntegral Operatörlerin Orlicz Uzaylarındaki Sınırlılığı Maksimal, Singüler ve Potansiyel Operatörlerin Komütatörlerinin Orlicz Uzaylarındaki Sınırlılığı KAYNAKLAR 45 ÖZGEÇMİŞ 49 v
9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler R BM O L p (R n ) B(x, r) L p W L p (R n ) Φ(t) L Φ (R n ) W L Φ (R n ) L Φ M M α I α T [b, K] Açıklamalar Reel sayılar kümesi BMO uzayı Lebesgue uzayı B(x, r) yuvarının Lebesgue ölçüsü Lebesgue uzayında norm zayıf Lebesgue uzayı Φ fonksiyonunun tümleyeni Orlicz uzayı zayıf Orlicz uzayı Orlicz uzayında norm Hardy-Littlewood maksimal operatörü kesirli maksimal operatörü kesirli integral operatörü singüler integral operatörü K operatörünün komütatörü vi
10 GİRİŞ Harmonik analizin klasik operatörlerinin çeşitli fonksiyon uzaylarındaki sınırlılığı yoğun bir şekilde araştırılmaktadır. Bu operatörlerin Lebesgue uzaylarındaki zayıf ve güçlü tipli sınırlılıkları klasiktir ve [3, 7, 37, 4] kaynaklarında bulunabilir. Bu elde edilen sonuçlar Lebesgue uzaylarının genelleştirilmesi olan birçok fonksiyon uzayına genişletilmiştir. Örneğin Orlicz uzayları, Morrey uzayları, Lorentz Uzayları Herz uzayları vs. Bu operatörlerin fonksiyon uzaylarındaki sınırlılığı bu uzaylarda lineer ve non-lineer diferensiyel denklemlerin çözümlerinin regülerliği ve kesin ön eşitsizliklerin bulunmasında büyük öneme sahiptir. Çalışmamızda bu operatörlerin Orlicz uzaylarındaki sınırlılıkları ile ilgileneceğiz. Orlicz uzayları ilk olarak 93 yılında Birnbaum ve Orlicz [5] tarafından Lebesgue uzaylarının bir genelleştirilmesi olarak tanıtılmıştır. Daha sonra bu uzaylar matematiksel analizde özellikle de reel ve harmonik analizde kullanılan çok önemli araçlar haline gelmiştir. Orlicz uzayları Hardy-Littlewood maksimal operatörü, kesirli integral operatör ve singüler integral operatör gibi klasik operatörlerin sınırlılıklarının sınır durumları hakkında bize bilgi verir. Örneğin Hardy-Littlewood maksimal operatörü < p için L p (R n ) uzayında sınırlıdır. Orlicz uzayları yardımıyla bu operatörün p = yakınındaki sınırlılığı araştırılabilmektedir [, 22]. Yine kesirli integral operatör I α nın < p < q < ve n/p + α = n/q için L p (R n ) uzayından L q (R n ) uzayına sınırlı olduğu iyi bilinmektedir (Hardy- Littlewood-Sobolev teoremi). Trudinger [4], Orlicz uzayları yardımıyla bu operatörün sınırlılığını q = yakınında araştırmıştır. Daha sonra Hardy-Littlewood- Sobolev teoremi ve Trudinger in bu sonucu başka araştırmacılar tarafından daha da genişletilmiştir [, 3, 32, 38, 39]. Ayrıca bu uzayların lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin araştırılmasında önemli bir yeri vardır [6, 7]. Orlicz uzaylarının teorisi ve uygulamaları [24, 28, 33, 34] çalışmalarında detaylı bir şekilde incelenmiştir. Bu tez bir başlangıç kabul edilerek Orlicz uzayları ve harmonik analizin klasik integral operatörlerinin bu uzaylardaki sınırlılığı konusunda daha ileri düzeyde çalışmalar yapabilmek için bir temel oluşturulması hedeflenmektedir.
11 2 ÖN BİLGİLER Bu bölümde çalışmamızda bize yardımcı olacak temel tanımlar ve teoremler verilecektir. Tanım 2.. X boş olmayan bir küme olsun. Eğer X in alt kümelerinin bir Σ sınıfı için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa bu durumda Σ sınıfına X kümesi üzerinde bir cebirdir denir: (i) X Σ (ii) Her E Σ için E c = X \ E Σ (iii) k =, 2,..., n için E k Σ ise E k Σ k= Eğer (iii) şartı yerine her n N için E n Σ E n Σ n şartı konulursa Σ cebirine bir σ cebir adı verilir. Tanım 2..2 Bir K sınıfını kapsayan σ cebirlerinin en küçüğüne K nın ürettiği σ cebiri denir. R n deki bütün açık (a, b) aralıklarının doğurduğu σ cebirine Borel cebiri denir ve B (R n ) ile gösterilir. n = olması halinde B (R ) Borel cebiri B (R) ile gösterilir. B (R) nin her bir elamanına Borel kümesi denir. Tanım 2..3 X bir küme ve Σ, X üzerinde bir σ cebiri olsun. Bu durumda (X, Σ) ikilisine bir ölçülebilir uzay, Σ daki her bir kümeye de Σ ölçülebilir küme veya kısaca ölçülebilir küme adı verilir. Tanım 2..4 (X, Σ) bir ölçülebilir uzay olsun. Σ üzerinde tanımlı genişletilmiş reel değerli bir µ fonksiyonu (i) µ( ) = (ii) Her A Σ için µ (A) n= (iii) Her ayrık (A n ) dizisi için ( ) µ A n = µ (A n ) j= n= 2
12 şartlarını sağlarsa bu µ fonksiyonuna ölçü fonksiyonu veya ölçü adı verilir. Tanım 2..5 Bir X kümesi, X in alt kümelerinin bir Σ σ-cebiri ve Σ üzerinde tanımlı bir µ ölçüsünden oluşan (X, Σ, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. Tanım 2..6 (X, Σ) bir ölçülebilir uzay ve f : X R bir fonksiyon olsun. Her α R için f ((α, + )) = {x X : f(x) > α} Σ oluyorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir. ailesi M(X, Σ) ile gösterilir. X üzerindeki ölçülebilir fonksiyonların Tanım 2..7 X bir küme ve P (X), X in kuvvet kümesi olsun. P (X) üzerinde tanımlı, genişletilmiş reel değerli bir µ fonksiyonu (i) µ ( ) = (ii) Her E P (X) için µ (E) (iii) A B X için µ (A) µ (B) (iv) Her bir n N için A n P (X) ise ( ) µ A n µ (A n ) n= n= şartlarını sağlarsa µ fonksiyonuna X üzerinde bir dış ölçüdür denir. Tanım 2..8 (I k ), R nin sınırlı ve açık aralıklarının bir dizisi, { τ A = (I k ) : A } I k k olsun. P (R) üzerinde { } m (A) = inf l (I k ) : (I k ) τ A k= biçiminde tanımlanan m bir dış ölçüdür. Bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü denir. Lebesgue dış ölçüsü R nin her bir alt aralığına onun uzunluğunu karşılık getirir. 3
13 n boyutlu R n uzayında Lebesgue dış ölçüsünü tanımlamak için I = {x : a i x i b i, i =, 2,..., n} n boyutlu kapalı aralıklarını göz önüne alalım. Bu aralıkların hacimleri n υ(i) = (b i a i ) biçimindedir. Keyfi bir E R n kümesinin Lebesgue dış ölçüsü { } m (E) = inf υ(i k ) : E I k, I k bir aralık k= ile tanımlanır. A R n için Eğer i= k= m (A) = m (A E) + m (A (R n E)) ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir. Tanım 2..9 M (R n, m ), m dış ölçüsüne göre ölçülebilen R n nin alt kümelerinin sınıfı olsun. m Lebesgue dış ölçüsünün M (R n, m ) sınıfına da B (R n ) sınıfına da olan kısıtlanmasına Lebesgue ölçüsü denir. R n uzayında Lebesgue ölçüsü dx = dx... dx n ile gösterilecektir. A ve R n f(x)dx notasyonları sırası ile A R n kümesinin Lebesgue ölçüsü ve R n f(x,..., x n )dx... dx n için kullanılacaktır. Tanım 2.. (X, Σ, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer bir önerme, ölçüsü sıfır olan bir küme dışında doğru ise, o önerme hemen hemen her yerde doğrudur denir. R n üzerinde ölçülebilir fonksiyonlar kümesinin bir lineer alt uzayı G olmak üzere T : G G operatörü her f, g G ve her λ R için şartlarını sağlıyorsa lineer operatör, T (f + g) = T (f) + T (g) ve T (λf) = λt (f) T (f + g) T (f) + T (g) ve T (λf) = λ T (f) şartlarını sağlıyorsa alt lineer operatör, bir C > sabiti için T (f + g) C ( T (f) + T (g) ) ve T (λf) = λ T (f) 4
14 şartlarını sağlıyorsa quasi-lineer operatör olarak adlandırılır. C pozitif bir sabit olmak üzere bu çalışmada A B gösterimini A CB, eşitsizliğinin yerine kullanacağız. Eğer A B ve B A ise A B yazılır ve A, B ye eşdeğerdir denir. 2. Lebesgue Uzayları Tanım 2.. p < olmak üzere; R n f(x) p dx < özelligine sahip ölçülebilir f : R n R fonksiyonlar sınıfına L p (R n ) uzayı veya p. kuvvetten Lebesgue-integrallenebilir fonksiyonlar uzayı denir. L p (R n ) uzayı üzerindeki norm ile tanımlanır. p = için L (R n ) uzayı, ( f L p = f(x) p dx R n ) /p f = ess sup f(x) = inf {K : f(x) K h.h. x R n } < x R n özelliğine sahip ölçülebilir f : R n R fonksiyonlar sınıfıdır. Teorem 2..2 Eğer p ise L p (R n ) bir Banach uzayıdır [25]. Teorem 2..3 (Young Eşitsizliği) < p < ve p + p her a, b > için ab ap p + bp p eşitsizliği sağlanır. Eşitlik durumu ancak ve ancak a p = b p [25]. = olsun. Bu durumda olması ile mümkündür Teorem 2..4 (Hölder Eşitsizliği) f, g ölçülebilir fonksiyonlar, p ve p + p = olmak üzere eşitsizliği sağlanır [25]. R n f(x)g(x) dx f L p g L p 5
15 Teorem 2..5 (Minkowski eşitsizliği) p için eğer f, g L p (f + g) L p ve ise f + g L p f L p + g L p dir [25]. Teorem 2..6 (Jensen Eşitsizliği) J : R R konveks bir fonksiyon, Ω < olmak üzere f : Ω R ölçülebilir bir fonksiyon ve f = f(x)dx olsun. Eğer Ω f L (Ω) ise olur [26]. J f J( f ) Teorem 2..7 (Chebyshev Eşitsizliği) f ölçülebilir bir fonksiyon ve ε > olmak üzere eşitsizliği gerçeklenir [42]. {x R n : f(x) > ε} ε R n f(x) dx Tanım 2..8 p <, f : R n R ölçülebilir bir fonksiyon ve f W L p = sup λ {x R n : f(x) > λ} p λ> olmak üzere zayıf Lebesgue uzayı W L p (R n ) aşağıdaki şekilde tanımlanır: W L p (R n ) = {f : R n R : f ölçülebilir & f W L p < }. Ω Uyarı 2..9 p < için L p (R n ) W L p (R n ). Dahası f W L p f L p eşitsizliği sağlanır [7]. Tanım 2.. p < olmak üzere, R n nin her bir kompakt K alt kümesi için sırasıyla fχ K L p (R n ) ve fχ K W L p (R n ) şartlarını sağlayan tüm ölçülebilir f fonksiyonlarının uzayı L p loc (Rn ) ve W L p loc (Rn ) ile gösterilir. Burada χ K, K kümesinin karakteristik fonksiyonunu göstermektedir. Özel olarak p = yani f L loc (Rn ) ise f fonksiyonu lokal integrallenebilirdir denir. Tanım 2.. T bir quasi-lineer operatör ve p, q olsun. Eğer T operatörü L p (R n ) uzayından W L q (R n ) uzayına sınırlı ise zayıf (p, q) tipindendir denir. Yani her bir λ > ve f L p (R n ) için {x R n : T f(x) > λ} 6 ( ) q C λ f L p
16 olacak şekilde bir C > sabiti var ise T operatörü zayıf (p, q) tipindendir. Eğer T operatörü L p (R n ) uzayından L q (R n ) uzayına sınırlı ise güçlü (p, q) tipindendir denir. Yani her f L p (R n ) için T f L q C f L p olacak şekilde bir C > sabiti var ise T operatörü güçlü (p, q) tipindendir. Uyarı 2..2 Her güçlü (p, q) tipli operatör aynı zamanda zayıf (p, q) tipli operatördür [7]. Tanım 2..3 log + x = max(log x, ) olmak üzere, f(x) log + f(x) dx < R n özelliğine sahip ölçülebilir f : R n R fonksiyonlar sınıfına L log L Zygmund uzayı denir [3]. 2.2 BMO (John-Nirenberg) Uzayı BM O (Bounded Mean Oscillation) uzayı, 96 yılında John ve Nirenberg [2] tarafından ortaya konulmuştur. BMO uzayı L uzayı ile benzer özelliklere sahiptir ve sıklıkla L yerine kullanılır. Klasik singüler integral operatörler L uzayından L uzayına sınırlı olmamasına rağmen L uzayından BMO uzayına sınırlıdır. Fefferman 97 yılında BMO uzayının H Hardy uzayına dual olduğunu göstermiştir. Tanım 2.2. f fonksiyonu R n de lokal integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere BMO(R n ) uzayı f = sup x R n,r> f(y) f B(x,r) dy < B(x, r) B(x,r) ile verilen yarı-normu ile tanımlı Banach uzayıdır. Burada f L loc (Rn ) ve f B(x,r) = f(y)dy B(x, r) B(x,r) 7
17 dır. BMO uzayı L (R n ) uzayına eşit değildir. Fakat L (R n ) BMO(R n ) dır. Gerçekten; ve buradan elde edilir. B(x, r) B(x,r) B(x, r) = B(x, r) 2 B(x, r) 2 f f(y) f B(x,r) dy B(x,r) B(x,r) B(x,r) f(y) dy + f(y) dy + f B(x,r) f(y) dy f 2 f f B(x,r) dy B(x, r) B(x,r) f 2 f olduğundan L (R n ) BMO(R n ) sağlanır. Her sınırlı (ölçülebilir) fonksiyon BM O uzayındandır. Ancak sınırlı olmayan BM O fonksiyonları da vardır. BMO(R n ) uzayına ait olan fakat L (R n ) uzayına ait olmayan tipik bir örnek log x verilebilir. Şimdi BM O uzayına ait olmayan bir fonksiyon örneği verelim. Örnek g(x) = sign(x) log x fonksiyonu BM O([, ]) uzayına ait değildir. Gerçekten < h < ve I [ h, h] için g = ve g(y) g dy = h I 2h log x dx = h I h = + log h h log x dx, h iken elde edilir. Dolayısıyla bu örnek bir fonksiyonun mutlak değeri BM O sınıfına ait ise bu fonksiyonun bir BM O fonksiyonu olmasını gerektirmeyeceğini gösterir. Uyarı [2] () Her f BMO(R n ) ve α > için {x B : f(x) f B > α} C B e C 2α/ f, B R n olacak şekilde pozitif C ve C 2 sayıları vardır. Bu eşitsizlik John-Nirenberg eşitsizliği olarak bilinir. 8
18 (2) John-Nirenberg eşitsizliği < p < için olmasını gerektirir. ( f sup x R n,r> B(x, r) B(x,r) ) p f(y) fb(x,r) p dy (3) f BMO(R n ) olsun. Bu durumda < 2r < t için fb(x,r) f B(x,t) C f ln t r (2.) olacak şekilde x, r, t ve f fonksiyonundan bağımsız pozitif bir C sayısı vardır. Uyarı (i) Eğer f BMO(R n ) ve h R n ise bu durumda f ( h) BMO(R n ) ve f ( h) BMO = f BMO dır. (ii) Eğer f BMO(R n ) ve h R n, λ > ise bu durumda f (λx) BMO(R n ) ve f (λ ) BMO = f BMO dır. (iii) Eğer f BMO(R n ) ise bu durumda f BMO sup inf Q c R n Q dır. Q f(x) c dx 2.3 Harmonik Analizin Klasik İntegral Operatörleri Şimdi bu çalışmada göz önünde bulundurulacak operatörler ve bu operatörlerin Lebesgue uzaylarındaki sınırlılıkları verilecektir. Tanım 2.3. f, R n de lokal integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere M, Hardy- Littlewood maksimal operatörü Mf(x) = sup r> B(x, r) B(x,r) f(y) dy, x R n biçiminde tanımlı operatördür. 9
19 Tanım T singüler integral operatörü Ω(y) T f(x) = lim ε + { y ε} y f(x y)dy, x n Rn (2.2) biçiminde tanımlı operatördür. Burada Ω, R n de tanımlı. dereceden homojen, tek ve ω(δ) = sup{ Ω(x) Ω(y) : x, y S n, x y δ} olmak üzere koşulunu (Dini koşulu) sağlayan bir fonksiyondur. ω(δ) dδ < δ Tanım f, R n de lokal integrallenebilir bir fonksiyon ve α < n olmak üzere M α kesirli maksimal operatörü M α f(x) = sup r> B(x, r) α n B(x,r) f(y) dy, biçiminde tanımlı operatördür. Ayrıca α = için M M olur. x R n Tanım f, R n de lokal integrallenebilir bir fonksiyon ve < α < n olmak üzere I α kesirli integral operatörü (Riesz potansiyeli) I α f(x) = x y α n f(y)dy, R n x R n biçiminde tanımlı operatördür. Uyarı I α ve M α operatörleri arasında < α < n, f L loc (Rn ) ve x R n olmak üzere M α (f)(x) I α ( f )(x) ilişkisi vardır [27]. Tanım Lokal integrallenebilir bir b fonksiyonu ve T, I α, M α ve M operatörleri tarafından üretilen komütatör operatörleri sırasıyla [b, T ]f(x) := b(x)t f(x) T (bf)(x), biçiminde tanımlanır. [b, I α ]f(x) := b(x)i α f(x) I α (bf)(x), b(x) b(y) f(y) dy, M b,α (f)(x) := sup B(x, t) + α n t> B(x,t) M b (f)(x) := sup B(x, t) b(x) b(y) f(y) dy t> B(x,t)
20 Teorem (i) M, Hardy-Littlewood maksimal operatörü p için zayıf (p, p) tipli < p için ise güçlü (p, p) tipli bir operatördür [8, 43]. (ii) T, singüler integral operatörü p < için zayıf (p, p) tipli < p < için ise güçlü (p, p) tipli bir operatördür [2, 3]. (iii) M α, kesirli maksimal operatörü p n için zayıf (p, q) tipli < p n için α α ise güçlü (p, q) tipli bir operatördür. Burada q = p α n dir [9, 2, 36]. (iv) I α, kesirli integral operatörü p < n α için zayıf (p, q) tipli < p < n α güçlü (p, q) tipli bir operatördür. Burada q = p α n dir [9, 2, 36]. için ise (v) < p < ve b BMO(R n ) için [b, T ] ve M b güçlü (p, p) tipli operatörlerdir [2, 6]. (vi) < p < n ve = α ve b α q p n BMO(Rn ) için [b, I α ] ve M b,α güçlü (p, q) tipli operatörlerdir [8].
21 3 ORLICZ UZAYLARI 3. Young Fonksiyonları Bu bölümde Orlicz uzaylarını tanımlamak için kullanılan Young fonksiyonlarının tanımı verilerek, temel özellikleri incelenecektir. Tezin geneli ve özellikle de Bölüm 3 hazırlanırken Deringöz [3] çalışmasından faydalanılmıştır. Tanım 3.. Eğer bir Φ : [, ) [, ] fonksiyonu, () Φ() =, (2) Soldan süreklidir, (3) Artandır, (4) Konvekstir: Her λ [, ] ve her t, t 2 [, ) için Φ(λt + ( λ)t 2 ) λφ(t ) + ( λ)φ(t 2 ), (5) Aşikar değildir: (, ) aralığı üzerinde özdeş olarak ne sıfıra ne de sonsuza eşit değildir, yani t > Φ(t ) > & t 2 > Φ(t 2 ) < koşullarını sağlıyorsa Young fonksiyonu olarak adlandırılır. Uyarı 3..2 Young fonksiyonunun ve 4 numaralı özelliklerinden t (, ) Φ(t) t fonksiyonunun artan olduğu görülebilir. Gerçekten, t = t t2 t 2 + ( t t2 ) olduğundan olur. Bu da ispatı tamamlar. t t 2 Φ(t ) t t 2 Φ(t 2 ) (3.) Açık bir aralık üzerinde konveks olan fonksiyonların sürekli oldukları ve hemen her yerde türevlenebildikleri iyi bilinmektedir. Fakat, konveks fonksiyonların sağladığı daha birçok önemli özellik vardır. Aşağıda konveks fonksiyonların integral gösterimine sahip olduklarını ifade eden teorem verilmiştir. Teorem 3..3 Φ : (a, b) R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart her [c, d] (a, b) kapalı alt aralığı için Φ(t) = Φ(c) + t c ϕ(s)ds, c t d (3.2) 2
22 olmasıdır. Burada ϕ : R R, artan ve soldan sürekli bir fonksiyondur [33]. Şimdi Teorem 3..3 ün bir sonucu olan, herhangi bir Young fonksiyonunun da (3.2) tipinde bir integral gösterimine sahip olduğunu ifade eden sonucu verelim. Sonuç 3..4 Φ : [, ) [, ] fonksiyonunun bir Young fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart Φ(t) = t ϕ(s)ds, t (3.3) olmasıdır. Burada ϕ : [, ) [, ], artan, soldan sürekli ve aşikar olmayan bir fonksiyondur. Eğer bazı t ler için Φ(t) = ise uygunluk açısından ϕ(t) = olarak alınır. Uyarı 3..5 Sonuç 3..4 de gereklilik durumunda hemen her t > için ϕ(t) = Φ (t) dir. Bu gerçek göz önünde bulundurularak bundan sonra; artan, soldan sürekli ve aşikar olmayan bir ϕ : [, ) [, ] fonksiyonu Orlicz türevi olarak adlandırılacaktır. ϕ türevine sahip bir Φ Young fonksiyonu denilince akla Φ fonksiyonunun (3.3) integral gösterimi gelmelidir. Orlicz uzaylarını tanımlamak için bazı yazarlar Young fonksiyonları sınıfından daha dar bir sınıf olan ve tanımı aşağıda verilen N-fonksiyonlarını kullanmaktadırlar. Fakat bu durumun bazı dezavantajları vardır. Örneğin Orlicz uzayları N-fonksiyonları yardımıyla tanımlanırsa L (R n ), L (R n ) ve L log L(R n ) uzayları dışarıda bırakılmış olur. Her ne kadar N-fonksiyonları çalışması daha kolay fonksiyonlar olsa da biz bu çalışmada Young fonksiyonlarını kullanmayı tercih edeceğiz. Tanım 3..6 ϕ, [, ) aralığı üzerinde tanımlı, reel değerli ve (a) ϕ() =, eğer t > ise ϕ(t) >, lim t ϕ(t) = ; (b) ϕ azalmayan; (c) ϕ sağdan sürekli; özelliklerine sahip bir fonksiyon olsun. Bu durumda [, ) üzerinde Φ(t) = t ϕ(s)ds (3.4) eşitliğiyle tanımlı, reel değerli Φ fonksiyonu bir N-fonksiyon olarak adlandırılır. 3
23 Önerme 3..7 Herhangi bir Φ N-fonksiyonu, (i) Φ, [, ) üzerinde süreklidir; (ii) Φ kesin artandır; (iii) Φ konvekstir; Φ(t) (iv) lim t t Φ(t) = ve lim = ; t t (v) Eğer t > ise Φ(t) > özelliklerine sahiptir []. Uyarı 3..8 Önerme 3..7 (i), (iii), (iv) ve (v) özellikleri bir N-fonksiyonunu tanımlamak için kullanılabilirdi. Çünkü bu üç özellik, Tanım 3..6 (a)-(c) özelliklerine sahip bir ϕ fonksiyonu ile Φ fonksiyonunun (3.4) formunda bir gösteriminin var olmasını gerektirir []. Tanım 3..9 ϕ bir Orlicz türevi olmak üzere ϕ fonksiyonu ϕ(t) = inf{s : ϕ(s) t} (3.5) biçiminde tanımlanır. Uyarı 3.. ϕ fonksiyonu da bir Orlicz türevidir. Dolayısıyla Sonuç 3..4 gereğince Φ(t) = t ϕ(s)ds eşitliğiyle tanımlı Φ fonksiyonu bir Young fonksiyonudur [4]. Tanım 3.. ϕ ve ϕ fonksiyonları Tanım 3..9 daki gibi olsunlar. Φ(t) = t ϕ(σ)dσ, s Φ(s) = ϕ(τ)dτ eşitlikleri ile verilen Φ ve Φ Young fonksiyonları birbirlerinin tümleyeni olarak adlandırılırlar. Örnek 3..2 Aşağıda tümleyen Young fonksiyon çiftlerine bazı örnekler verilmiştir: (i) Φ(t) = tp p, Φ(s) = t p p, < p <, p + p =, (ii) Φ(t) = t, Φ(s) = {, s, s > 4
24 (iii) Φ(t) = e t t, Φ(s) = ( + s) log( + s) s (iv) Φ(t) = {, t t log t, t >, Φ(s) = { s, s < e s, s Uyarı 3..3 Örnek 3..2 (ii) ve (iv) de verilen fonksiyonlar Young fonksiyonudur fakat N-fonksiyon değildir. Önerme 3..4 Φ bir Young fonksiyonu olsun. O zaman her < α < ve her t < için ve her α, her t < için olur [25]. Φ(αt) αφ(t) (3.6) αφ(t) Φ(αt) İspat. < α < olsun. Konvekslikten ve Φ() = olmasından Φ(αt) = Φ(αt + ( α)) αφ(t) + ( α)φ() = αφ(t) olur. Şimdi α olsun. (3.6) eşitsizliğini kullanarak olması elde edilir. αφ(t) = αφ(α αt) αα Φ(αt) = Φ(αt) Önerme 3..5 Φ, ϕ türevine sahip bir Young fonksiyonu olsun. t > için Bu durumda (i) Φ(t) t ϕ(t) Φ(2t) t (ii) Φ( t 2 ) t Φ(s) ds Φ(t) s eşitsizlikleri gerçeklenir [35]. İspat. artanlığından Φ Young fonksiyonunun (3.3) integral gösteriminden ve ϕ fonksiyonunun ϕ(t) = t Φ(t) = t t 2t t t ϕ(t)ds t ϕ(s)ds t 2t t t ϕ(s)ds t 5 ϕ(t)ds = ϕ(t), 2t ϕ(s)ds = Φ(2t) t
25 elde edilir. Böylece (i). eşitsizlik ispatlanmış olur. (ii). eşitsizliğin ispatı için t [, ) Φ(t) t (Bkz. (3.)) faydalanacağız. Φ( t 2 ) = t t/2 t Böylece ispat tamamlanmış olur. Φ(t/2) t t/2 ds t/2 Φ(s) s ds t Φ(s) t s ds Φ(t) ds = Φ(t). t fonksiyonunun artanlığından Φ(s) s ds. Teorem 3..6 (Young eşitsizliği) Φ ve Φ sırasıyla ϕ ve ϕ türevlerine sahip tümleyen Young fonksiyonları olsun. Bu durumda her x, y için xy Φ(x) + Φ(y) (3.7) olur. Eşitlik ise sadece y = ϕ(x) veya x = ϕ(y) olması ile mümkündür [44]. İspat. Eğer bir x veya y için Φ(x ) = veya Φ(y ) = ise (3.7) eşitsizliği doğrudur. Şimdi her x < ve y < için Φ(x) < ve Φ(y) < olsun. Bu durumda xy = = x y dudv dudv {(u,v) [,x] [,y]: v ϕ(u)} + dudv = {(u,v) [,x] [,y]: u ϕ(v)} x min(y,ϕ(u)) x du ϕ(u)du + y = Φ(x) + Φ(y) dv + ϕ(v)dv y dv min(x, ϕ(v)) du olur. Eşitlik ise sondan bir önceki adımda ancak ve ancak y ϕ(x) ve x ϕ(y) olması ile mümkündür. Bu ise y = ϕ(x) veya x = ϕ(y) olmasına denktir. Çünkü y > ϕ(x) eşitsizliği x ϕ(y) olmasını gerektirir. Sonuç 3..7 y için Φ(y) = sup{xy Φ(x) : x [, )} ve eğer ϕ(y) < ise sup = max olur [44]. 6
26 İspat. y > sayısını sabitleyelim. O zaman bütün x ler için Φ(x) + Φ(y) xy, buradan (Φ(x), Φ(y) nin biri bile sonsuz olsa) Φ(y) sup {xy Φ(x) : x } olur. Şimdi eğer ϕ(y) < ise x = ϕ(y) için Φ(x)+ Φ(y) = xy olur, dolayısıyla Φ(x) ve Φ(y) nin ikisi birden sonludur ve Φ(y) = max {xy Φ(x) : x } dir. Diğer yandan eğer ϕ(y) = ise Φ sınırlıdır, bu sebepten sup {xy Φ(x) : x } = olur. Önerme 3..8 Φ bir Young fonksiyonu ve Φ onun tümleyeni olsun. Bu durumda her t > için olur [35]. Φ( Φ(t) ) Φ(t) t İspat. Φ(t) t artan olduğundan s < t için ve s t için Φ(t) s Φ(s) Φ(t) t Φ(t) s Φ(s) t elde edilir. Bu eşitsizlikler ve Sonuç 3..7 kullanılarak ispat tamamlanır. Sıradaki önermede ve çalışmanın bundan sonraki kısmında Φ gösterimi Φ Young fonksiyonunun genelleştirilmiş tersini göstermek için kullanılacaktır. Yani Φ (s) = inf{r : Φ(r) > s}, s. Eğer Φ Young fonksiyonunun Orlicz türevi ϕ sonlu, yani her < s < için < ϕ(s) < ise Φ Y ile gösterilecektir. Eğer Φ Y ise Φ birebir ve örten bir 7
27 fonksiyondur ve Φ, Φ fonksiyonunun adi tersidir [29]. Ayrıca genelleştirilmiş ters fonksiyon tanımından her r < için Φ(Φ (r)) r Φ (Φ(r)) olduğu görülür. Önerme 3..9 Φ bir Young fonksiyonu ve Φ onun tümleyeni olsun. Bu durumda her t > için t Φ (t)( Φ) (t) 2t (3.8) eşitsizlikleri gerçeklenir [33]. İspat. Young eşitsizliği her t için Φ (t)( Φ) (t) Φ(Φ (t)) + Φ(( Φ) (t)) 2t olmasını gerektirir. Diğer taraftan Önerme 3..8 den, her t > için ( ) Φ(t) Φ Φ(t) t olduğunu biliyoruz. Bu eşitsizlikte Φ(t) yi t ile değiştirirsek ( ) t Φ t Φ (t) eşitsizliğini elde ederiz. Böylece her t için t Φ (t)( Φ) (t) 2t elde edilir. Tanım 3..2 Φ bir Young fonksiyonu olsun. (i) Eğer her t için Φ(2t) cφ(t) eşitsizliğinin sağlandığı pozitif bir c sabiti varsa Φ, 2 koşulunu sağlıyor denir. Bu durum Φ 2 ile gösterilir. (ii) Eğer Φ 2 ise Φ, 2 koşulunu sağlıyor denir. Bu durum Φ 2 ile gösterilir. 8
28 Önerme 3..2 Φ bir Young fonksiyonu olsun. Φ 2 olması için gerek ve yeter koşul Φ(kt) 2kΦ(t) eşitsizliğinin sağlandığı bir k > sabitinin olmasıdır [24]. İspat. Φ(k ) = Φ( /k), 2kΦ( ) = 2k Φ( /2k) olduğuna dikkat çekelim. Buradan Φ(kt) 2kΦ(t) Φ(kt) 2kΦ(t) Φ(s/k) 2k Φ(s/2k) Φ(2s) 2k Φ(s) olur. Böylece ispat tamamlanır. Örnek (i) Φ(r) = r fonksiyonu 2 koşulunu sağlar fakat 2 koşulunu sağlamaz. (ii) < p < olmak üzere Φ(r) = r p her iki koşulu da sağlar. (iii) Φ(r) = e r r fonksiyonu 2 koşulunu sağlar fakat 2 koşulunu sağlamaz. Tanım Φ bir N-fonksiyonu olsun. a Φ = tφ (t) inf t (, ) Φ(t), b tφ (t) Φ = sup t (, ) Φ(t) eşitlikleri ile tanımlanan sayılar, Φ fonksiyonunun Simonenko indisleri olarak adlandırılır. Önerme 3..5 gözönüne alınırsa a Φ b Φ olduğu görülür. Önerme Φ bir N-fonksiyonu ve a Φ ve b Φ bu fonksiyonun Simonenko indisleri olsun. Bu durumda (i) Eğer b Φ < ise Φ fonksiyonu 2 koşulunu sağlar. (ii) Eğer b Φ < ise Φ(t)/t b Φ, t (, ) için azalandır. Dahası her λ [, ] ve t (, ) için Φ(λt) λ b Φ Φ(t) eşitsizliği sağlanır. (iii) Φ(t)/t a Φ, t (, ) için artandır. Dahası her λ [, ) ve t (, ) için Φ(λt) λ a Φ Φ(t) eşitsizliği sağlanır. (iv) < p < a Φ b Φ < q < ise lim t Φ(t) t p 9 = ve lim t Φ(t) t q = olur.
29 önermeleri doğrudur [5, 24]. İspat. (i) b Φ < ise her t (, ) için Φ (t) b Φ olduğunu biliyoruz; ayrıca [, ) Φ(t) t üzerinde konveks olan her fonksiyonun [, ) aralığının her kapalı ve sınırlı alt aralığında mutlak sürekli olmasından log Φ(2t) Φ(t) = 2t t Φ (s) Φ(s) ds 2t t b Φ s ds = b Φ log 2 olur. Böylece her t (, ) için Φ(2t) 2 b Φ Φ(t) olur. Bu da ispatı tamamlar. (ii) t t 2 olacak şekildeki her t, t 2 (, ) için kalkülüsün temel teoreminden, Φ(t 2 ) Φ(t ) t b Φ 2 t b Φ 2t = t sφ (s) b Φ Φ(s) s b Φ+ ds olduğunu görürüz. Bu durumda t (, ) için Φ(t)/t b Φ azalan olur. Özel olarak λ (, ] ve t (, ) için Φ(t) Φ(λt), yani Φ(λt) λ b Φ Φ(t) olur. t b Φ (λt) b Φ Bu da ispatı tamamlar. (iii) (iii) ün ispatı (ii) nin ispatına benzer şekilde yapılır. (iv) t (, ] için Φ(t) Φ(t), t ye göre artan olduğundan t a Φ t a Φ a Φ > p olması Φ(t) lim t t p = lim t t a Φ p Φ(t) t a Φ = Φ() < olur. Bu ve olmasını gerektirir. t [, ) için Φ(t) Φ(t), t ye göre azalan olduğundan t b Φ t b Φ Φ() olur. Bu ve b Φ < q olması Φ(t) lim t t q = lim t t b Φ p Φ(t) t b Φ olmasını gerektirir ve böylece ispat tamamlanır. = 3.2 Orlicz Fonksiyon Uzayları Tanım 3.2. Φ bir Young fonksiyonu olmak üzere Orlicz uzayı aşağıdaki şekilde tanımlanır: L Φ (R n ) = { } f : R n R : f ölçülebilir & α > Φ(α f(x) )dx < R n 2
30 Önerme L Φ (R n ), üzerinde tanımlanan { f L Φ = inf λ > : Φ( f(x) } R λ )dx n normu ile bir normlu uzaydır. Bu norma Orlicz uzayının Luxemburg-Nakano normu adı verilir [33]. İspat. L Φ norm olması için (i) f L Φ = f =, h.h.y., (ii) αf L Φ = α f L Φ, α R ve (iii) f + g L Φ f L Φ + g L Φ olarak (i) şartının sağlandığını gösterelim. şartlarını sağlaması gerekir. İlk f =, h.h.y. ise f L Φ = olması açıktır. Tersine f L Φ = olsun. Kabul edelim ki pozitif ölçülü bir küme üzerinde f > olsun. O zaman A = {w : f(w) δ}, A > olacak şekilde bir δ > sayısı vardır. Fakat L Φ tanımından λ > için Φ( f(x) )dx dolayısıyla n için Φ(n f(x) )dx dır. Bu ise R n λ R n Φ(nδ) A = Φ(nδ)dx Φ(n f(x) )dx Φ(n f(x) )dx A A R n A > ve Φ(nδ), n olduğundan bu mümkün değildir dolayısıyla A = dır. Bu nedenle f =, h.h.y olur yani (i) koşulu sağlanır. (ii). koşul için aşikar olmayan α durumunu düşünelim. { αf L Φ = inf λ > : Φ( α f(x) } )dx R λ { n } = inf λ > : Φ( f(x) )dx λ R n α } = inf = α f L Φ { α λ > : olduğundan istenilen gösterilmiş olur. Keyfi ε > için R n Φ( f(x) λ )dx f + g L Φ f L Φ + g L Φ + 2ε (3.9) eşitsizliğinin sağlandığını gösterirsek f +g L Φ f L Φ + g L Φ olduğunu göstermiş oluruz. L Φ tanımından f L Φ + ε {λ > : 2 Φ( f(x) R λ n )dx }
31 yani R n Φ olur. Aynı işlemler g için de yapılırsa, elde edilir. ( ) f(x) dx (3.) f L Φ + ε R n Φ( g(x) g L Φ +ε )dx α = f L Φ + ε, β = g L Φ + ε ve θ = Φ( β α+β olsun. Φ nin konveksliğinden f(x) + g(x) ) = Φ(( θ) f(x) α + β α + θ g(x) β ) ( θ)φ( f(x) α ) + θφ( g(x) β ) olur. Bu ifadeyi R n üzerinden integre edersek R n Φ ( (f+g)(x) f L Φ + g L Φ +2ε elde edilir bu ise (3.9) a denktir. ) dx = R n Φ ( ) (f+g)(x) dx α+β Örnek (i) p < olmak üzere Φ(t) = t p ise L Φ (R n ) = L p (R n ). {, t (ii) Φ(t) =, t > ise L Φ (R n ) = L (R n ). (iii) Φ(t) = {, t t log t, t > ise LΦ (R n ) = L log L(R n ). Önerme ( ) Φ f(x) dx eşitsizliği gerçeklenir. Ayrıca f R n f L Φ L Φ olması için gerek ve yeter şart R n Φ( f(x) )dx olmasıdır [4]. İspat. (3.) ifadesinde ε için limit alınırsa monoton yakınsaklık teoreminden ilk sonuç elde edilir. Diğer sonuç ise bundan ve normun tanımından elde edilir. Önerme (L Φ (R n ), L Φ) uzayı Banach uzayıdır [4]. İspat. Her n için f f 2 ve f n L Φ olacak şekilde bir f n L Φ (R n ) dizisi alınsın. Yani R n Φ ( f n (x) ) dx dir. Eğer f = lim f n ise Φ fonksiyonunun soldan sürekli olmasından dolayı Φ ( f n ) Φ ( f ) olur. Böylece monoton yakınsaklık teoreminden R n Φ ( f(x) ) dx olur. Bu ise f L Φ olması demektir. 22
32 Bu sonuç kullanılarak L Φ (R n ) uzayının tamlığı gösterilebilir. Kabul edelim ki (f n ), L Φ (R n ) uzayında bir Cauchy dizisi olsun. fnk f L nk Φ 2 k olacak şekilde bir f nk alt dizisi vardır. g = fnk f nk alalım. Φ fonksiyonunun konveksliğinden ve soldan sürekli olmasından ( ) Φ(g) = Φ fnk f nk k= k= ( = Φ 2 k 2 ) k fnk f nk k= 2 k Φ ( 2 ) k f nk f nk k= elde edilir. Böylece g L Φ olur ve g fonksiyonu L Φ (R n ) uzayına ait olur. u iken Φ(u) olduğundan seri hemen her yerde sonlu bir limite yakınsar. f = (f nk f nk ) + f n k= serisi de hemen her yerde yakınsaktır ve f f n g olur. Dolayısıyla f L Φ (R n ) dir. (f n ) bir Cauchy dizisi olduğundan her ε > için bir m vardır öyle ki her n m için f n f m L Φ ε olur. O zaman n k m için f m f nk L Φ ε elde edilir. Böylece m iken f m f L Φ olduğu gösterilmiş olur. Tanım Φ ve Ψ, Young fonksiyonları olsun. Eğer her s için Φ(s) Ψ(cs) eşitsizliğinin gerçekleştiği bir c sabiti varsa Ψ, Φ fonksiyonunu global olarak domine ediyor denir. Eğer yeterince büyük s sayıları için Φ(s) Ψ(cs) eşitsizliğinin gerçekleştiği bir c sabiti varsa Ψ, Φ fonksiyonunu sonsuz yakınında domine ediyor denir. Φ ve Ψ birbirlerini global olarak (sonsuz yakınında) domine ediyor ise Φ ve Ψ global olarak (sonsuz yakınında) denktir denir. Teorem Φ, Ψ Young fonksiyonları olsun. Ψ, Φ fonksiyonunu global olarak domine ediyor ise o zaman L Φ (R n ) L Ψ (R n ), f L Φ C f L Ψ olur [25]. 23
33 İspat. Önerme (3.2.4) den ( Φ f(x) R n f L Φ ) dx olduğunu ve normun tanımından Φ( R f(x) )dx olacak şekilde bir λ > varsa f n λ LΦ λ olacağını biliyoruz. Bu özellikleri kullanırsak ( ) ( ) f(x) f(x) Φ Ψ C f L Ψ f L Ψ R n Φ ( f(x) C f L Ψ f L Φ C f L Ψ elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur. ) dx Ψ R n ( f(x) f L Ψ ) dx Tanım Φ bir Young fonksiyonu olmak üzere zayıf Orlicz uzayı aşağıdaki şekilde tanımlanır: { } W L Φ (R n ) = f ölçülebilir : sup Φ(t) {x R n : f(x) > t} < t> Önerme W L Φ (R n ), üzerinde tanımlanan { } f W L Φ = inf λ > : sup Φ(t) {x R n : f(x) > λt} t> dönüşümü bir quasinormdur [4]. İspat. (i) f W L Φ = f = h.h.y., (ii) αf W L Φ = α f W L Φ, α R( veya C) koşulları açıkça görülür. f + g W L Φ için her t > için { x R n : 2 ( f W L Φ + g W L Φ) olduğunu göstermek } f(x) + g(x) c ( f W L Φ + g W L Φ) > t Φ(t) olmasını göstermemiz yeterlidir. { } { } x R n f(x) + g(x) : c ( f W L Φ + g W L Φ) > t Φ(t) x R n f(x) + g(x) : c ( f W L Φ + g W L Φ) > t Φ(t) { = x R n f(x) f : W L Φ c f W L Φ ( f W L Φ + g W L Φ) + g(x) } g W L Φ c g W L Φ ( f W L Φ + g W L Φ) > t Φ(t) { = x R n f(x) : θ + g(x) θ 2 > t} Φ(t) c f W L Φ c g W L Φ { { x R n f(x) : > t} Φ(t) + c f x R n g(x) : > t} Φ(t) W L Φ c g W L Φ olur çünkü θ + θ 2 = dir. Φ nin konveksliği her s için Φ(st) sφ(t) olmasını gerektirir(bkz. toplamı { x R n : f(x) f W L Φ Önerme 3..4). O zaman c olmak üzere yukarıdaki } Φ(ct) > ct + c { x R n : ile sınırlayabiliriz. Böylece ispat tamamlanmış olur. 24 g(x) g W L Φ } Φ(ct) > ct c c + c
34 Önerme 3.2. Φ bir Young fonksiyonu ve Φ onun tümleyeni olsun. L Φ (R n ) ve g L Φ(R n ) ise fg L (R n ) olur ve Eğer f R n f(x)g(x) dx 2 f L Φ g L Φ eşitsizliği sağlanır [33]. İspat. a = f(x) f L Φ g(x) ve b = g L Φ olmak üzere Young eşitsizliğini kullanırsak f(x)g(x) f L Φ g L Φ Φ( f(x) ) + f L Φ g(x) Φ( ) g L Φ olur. Bu eşitsizliği R n üzerinden integre edersek f(x)g(x) dx Φ( f(x) g(x) )dx + Φ( )dx 2 R f n L Φ g L Φ R f n L Φ R g n L Φ elde ederiz. Böylece ispat tamamlanır. Önerme 3.2. f L Φ (R n ) olsun. Bu durumda } f L Φ f Φ {R := sup f(x)g(x) dx : g L Φ 2 f L Φ n eşitsizliği sağlanır. f Φ, LΦ (R n ) uzayının Orlicz normu olarak adlandırılır [4]. İspat. Eşitsizliğin sağ tarafı Önerme 3.2. dan kolayca görülür. Şimdi eşitsizliğin sol tarafının gerçeklendiğini gösterelim. f L Φ (R n ) olsun ve a = f Φ alalım. f L Φ a, yani R n Φ ( f(x) /a) dx olduğu gösterilmelidir. İlk olarak f fonksiyonunun integrallenebilir basit bir fonksiyon ve hemen her yerde Φ ( f /a) sonlu olduğu durumu düşünelim. g = ϕ( f /a) olsun. Young eşitsizliğindeki eşitlik durumundan f(x)g(x) dx = R a n olur. R n [ Φ( g(x) )dx + Φ =: M Φ(g) + M Φ ( f a ) ( f(x) a )] dx Şimdi eğer M Φ(g) ise bu durumda R n f(x)g(x) dx f Φ = a elde edilir. Buradan M Φ ( f a ) M Φ(g) + M Φ ( f a ) = 25 f(x)g(x) R a n dx
35 olur. Diğer taraftan eğer M Φ(g) = b > ise bu durumda M Φ(g/b) M Φ(g)/b olur. Dolayısıyla Orlicz normunun tanımından f(x)g(x) dx b f R n Φ = ab elde edilir. Böylece M Φ(g) + M Φ ( f a ) = a R n f(x)g(x) dx ab a = M Φ(g) olur. Yani M Φ (f/a) = dır. Dolayısıyla her iki durumda da M Φ (f/a) olur ve f L Φ a = f Φ eşitsizliği gerçeklenir. Şimdi f fonksiyonu integrallenebilir basit bir fonksiyon olsun fakat Φ( f /a) hemen her yerde sonlu olmasın. Bu ise Φ fonksiyonunun sonsuz olması anlamına gelir. v > d için Φ(v) = ve v < d için Φ(v) < olacak şekilde bir d vardır. Bu durumda x iken ϕ(x) d ve böylece bütün u lar için Φ(u) du olur. Hemen her yerde f ad olur. Gerçekten, eğer { f > ad} > ise < A < olacak şekilde bir A { f > ad} kümesi vardır. g = (/d A )χ A için M Φ(g) = Φ(/d A ) A dolayısıyla g L Φ elde edilir. O zaman a = f Φ R n f(x)g(x) dx > ad d A A = a çelişkisi olur. Böylece hemen her yerde f ad dir. Eğer < α < ise α f /a αd < d, yani Φ(α f /a) sonlu olur. M Φ (αf/a) α < eşitsizliğini elde etmek için bir önceki duruma benzer işlemler yapılabilir. Bu durumda Φ soldan sürekli olduğundan α iken M Φ (f/a) olur. f n Son olarak genel bir f L Φ (R n ) fonksiyonunu düşünelim. Hemen her yerde f olacak şekilde integrallenebilir basit fonksiyonların bir (f n ) dizisi vardır. Şimdi M Φ (f n / f n Φ ) ve f n Φ f Φ = a olur. Böylece M Φ(f n /a) elde edilir. Yine Φ soldan sürekli olduğundan M Φ (f/a) olur. Böylece f L Φ sonucu elde edilir. a 26
36 4 HARMONİK ANALİZİN KLASİK OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI 4. Temel Tanım ve Teoremler Bu bölümde harmonik analizin klasik operatörlerinin Orlicz uzaylarındaki sınırlılıkları incelenirken kullanılacak olan temel tanım ve önermelere yer verilecektir. Tanım 4.. Φ ve Ψ, Young fonksiyonları olsun. Eğer her f L Φ (R n ) için T f L Ψ k f L Φ eşitisizliğinin sağlandığı bir k sabiti varsa T quasilineer operatörüne güçlü (Φ, Ψ) tiplidir denir. Eğer her t > ve her f L Φ (R n ) için ( ) {y R n t : T f(y) > t} /Ψ k f L Φ eşitisizliğinin sağlandığı bir k sabiti varsa T quasilineer operatörüne zayıf (Φ, Ψ) tiplidir denir. Önerme 4..2 Her güçlü (Φ, Ψ) tipli operatör aynı zamanda zayıf (Φ, Ψ) tipli operatördür [34]. İspat. İspat için Chebyshev eşitsizliğini kullanacağız. Quasilineer operatör tanımından her t > için ve f, h.h.y. için {y R n : T f (y) > t} { } = y R n f : T ( ) (y) > t K f L Φ K f L Φ { ( ) ( )} = y R n : Ψ T f (y) t > Ψ K f L Φ K f L Φ [ ( )] ( ) t Ψ Ψ T f (y) dy K f L Φ R n K f L Φ [ ( )] ( ) t Ψ Ψ T f (y) dy K f L Φ R n T f L Ψ [ ( )] Ψ t K f L Φ elde edilir. Böylece istenilen ispatlanmış olur. Tanım 4..3 Ψ bir Young fonksiyonu ve p (, ] olsun. B p (s) = s 27 Ψ(t) t +p dt
37 olmak üzere Ψ p, tümleyeni Ψ p (s) = s şeklinde verilen Young fonksiyonudur. r p (B p (r p )) p dr (4.) Tanım 4..4 Φ bir Young fonksiyonu ve p (, ] olsun. olmak üzere Φ p, tümleyeni Φ p (s) = A p (s) = s şeklinde verilen Young fonksiyonudur. s Φ(t) t +p dt (4.2) r p (A p (r p )) p dr (4.3) Lemma 4..5 < p, Φ, Ψ Young fonksiyonları ve Φ p, Ψ p sırasıyla (4.3) ile (4.) de tanımlanan Young fonksiyonları olsun. V (, ] olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır. (i) Her φ L Φ (, V ) için s s /p φ(r)dr K φ(s) L Φ (,V ) L Ψ (,V ) eşitsizliğinin gerçeklendiği bir K sabitinin var olması için gerek ve yeter şart ya V < ve Φ nin Ψ p yi sonsuz yakınında domine etmesidir ya da V =, ve Φ nin Ψ p yi global olarak domine etmesidir. Φ = Ψ p olduğu zaman K sabiti sadece Ψ ve V ye bağlıdır, ek olarak ise K bir mutlak sabittir. (ii)her φ L Φ (, V ) için V φ(r)r /p dr K φ(s) L Φ (,V ) L Ψ (,V ) s Ψ(t) t +p dt < Ψ(t) t +p dt < eşitsizliğinin gerçeklendiği bir K sabitinin var olması için gerek ve yeter şart ya V < ve Φ p nin Ψ yi sonsuz yakınında domine etmesidir ya da V =, ve Φ p nin Ψ yi global olarak domine etmesidir. Φ = Ψ p olduğu zaman K sabiti sadece Φ ve V ye bağlıdır, ek olarak ise K bir mutlak sabittir []. Φ(t) t +p dt < Φ(t) t +p dt < 28
38 Lemma 4..6 < p ve p = p/(p ), p nin Hölder eşleniği olsun. T, tanım kümesi ölçülebilir fonksiyonlar kümesinin bir lineer alt uzayı; görüntü kümesi ise ölçülebilir fonksiyonlar kümesi tarafından kapsanan bir küme olan quasi-lineer bir operatör olsun. Kabul edelim ki T zayıf (, p ) tipli ve (p, ) tipli bir operatör ve Ψ Ψ(t) t +p < (4.4) şartını sağlayan bir Young fonksiyonu olsun. Ψ p eşleniği (4.) ile tanımlanan Young fonksiyonu olsun. O zaman her f L Ψp (R n ) için T f L Ψ K f L Ψp (4.5) olacak şekilde bir K sabiti vardır. Bu K sabiti T nin (p, ) normuna, zayıf (, p ) normuna ve quasi-lineerlik tanımında ortaya çıkan c sabitine bağlıdır []. Tanım 4..7 < p, T, tanım kümesi L +L p uzayını içeren; görüntü kümesi ise ölçülebilir fonksiyonlar kümesi tarafından kapsanan bir küme olan quasilineer bir operatör olsun. Burada L + L p uzayı f (s)ds + f (s)s /p ds < şartını sağlayan ölçülebilir f fonksiyonlarının sınıfıdır. Burada f, s için f (s) = sup{t : { f > t} s} ile tanımlanan f fonksiyonunun azalan yeniden düzenlemesini göstermektedir. Eğer her f L + L p için ( s (T f) (s) k s /p f (r)dr + s ) f (r)r /p dr, s > (4.6) olacak şekilde bir k sabiti varsa T operatörüne birleşik zayıf (, p ; p, ) tipindendir denir. Ayrıca ek olarak, desteği [, ) tarafından içerilen ve L + L p sınıfına ait her φ : [, ) R fonksiyonu için ve ( s (T f) (s) k 2 s /p φ(r)dr + f φ (4.7) s ) φ(r)r /p dr, s > (4.8) olacak şekilde ölçülebilir bir f fonksiyonu ve pozitif bir k 2 sabiti varsa T operatörüne sıkı birleşik zayıf (, p ; p, ) tipindendir denir []. 29
39 Örnek 4..8 Bir pozitif c sabiti ve s > için h (s) cs /p eşitsizliğini sağlayan h çekirdeğine sahip T f(x) = f(y)h(x y)dy, R n x R n tipindeki bir konvolüsyon operatörü birleşik zayıf (, p ; p, ) tipindendir [3]. Riesz potansiyeli ve singüler integral operatörün Orlicz uzaylarındaki sınırlılığında kilit rol oynayan aşağıdaki teorem Cianchi [] tarafından ispatlanmıştır. Teorem 4..9 < p, T, tanım kümesi ölçülebilir fonksiyonlar kümesinin bir lineer alt uzayı; görüntü kümesi ise ölçülebilir fonksiyonlar kümesi tarafından kapsanan bir küme olan quasi-lineer bir operatör olsun. Kabul edelim ki T birleşik zayıf (, p ; p, ) tipinden ve k (4.6) de beliren sabit olsun. Φ, Ψ Young fonksiyonları ve Φ p, Ψ p sırasıyla (4.3) ile (4.) de tanımlanan Young fonksiyonları olsun. Bu durumda (i) Eğer Φ(t) t +p dt < ve Φ p, Ψ yi global olarak domine ediyorsa sadece Φ, Ψ ve k e bağlı olan normla T zayıf (Φ, Ψ) tiplidir. (ii) Eğer Ψ(t) dt <, Φ(t) dt <, Φ Ψ t +p t +p p yi global olarak domine ediyor ve Φ p, Ψ yi global olarak domine ediyorsa sadece Φ, Ψ ve k e bağlı olan normla T güçlü (Φ, Ψ) tiplidir. Ek olarak eğer T sıkı birleşik zayıf (, p ; p, ) tipinden ise bu durumda T nin zayıf veya güçlü (Φ, Ψ) tipli olması için (i) ve (ii) deki koşullar yine gereklidir []. İspat. (i) Kabul edelim ki Φ(t) t +p dt < ve Φ p, Ψ yi global olarak domine etsin. (4.6) eşitsizliğinde sağ taraftaki integrallere Hölder eşitsizliği uygulanırsa s > için eşitsizliği elde edilir. ) (T f) (s) 2k (s /p L Φ(,s) + r /p L Φ(s, ) f L Φ (, ) (4.9) f ve f denk ölçülebilir olduğundan f L Φ (, ) = f L Φ (R n ) (4.) 3
40 olur. Böylece s > için ) (T f) (s) 2k (s /p L Φ(,s) + r /p L Φ(s, ) f L Φ (R n ) (4.) elde edilir. Gerekli hesaplamalar sonucunda s > için r /p L Φ(s, ) = s /p F p (/(sp )) (4.2) bulunur. Burada F p, A p (4.2) ile verilen fonksiyon olmak üzere F p (s) = s p A p (s) (4.3) biçiminde tanımlı fonksiyondur. F p ve ( ) p G p (s) = s p A p (s p ) (4.4) biçiminde tanımlanan G p fonksiyonu arasında ilişkisi vardır. (4.2) ve (4.5) denklemlerinden G p (r) = r/p F p (r), r > (4.5) r /p L Φ(s, ) = (p ) /p G p (/(sp )) (4.6) elde edilir. Φ p (s) = s G p(t)t dt ve integrant artan olduğundan G p (s) Φ p (s) G p (2s) (4.7) olur. p ise (p ) /p e /e ve (4.6) ve (4.7) daki ilk eşitsizlik olmasını gerektirir. r /p L Φ(s, ) e/e Φ p (/s) (4.8) ve Diğer taraftan ( s Φ = 2) p s p 2 p Φ ( s ) s 2 s/2 p s p s 2 p L Φ(,s) = Φ (/s) Φ (t) t +p dt s p dt p s p t +p 2 p s s s/2 Φ (t) t +p dt = F p (s) (4.9) Φ (t) t +p dt (4.2) 3
41 olur. Böylece (4.9), (4.2), (4.2) ve (4.8) den elde edilir. (4.), (4.8) ve (4.2) den s /p L Φ(,s) e/e Φ p (/s) (4.2) (T f) (s) 4e /e k Φ p (/s) f L Φ (R n ) (4.22) veya denk olarak ( {x R n : T f(x) > t} /Φ p ) t 4e /e k f L Φ (R n ) (4.23) elde edilir. (4.23) eşitsizliği bize T nin zayıf (Φ, Φ p ) tipli olduğunu ve Φ p yi domine eden her Ψ için zayıf (Φ, Ψ) tipli olduğunu söyler. Şimdi ek olarak T nin sıkı birleşik zayıf (, p ; p, ) tipinden olduğunu kabul edelim. Farz edelim ki T zayıf (Φ, Ψ) tipli olsun. O zaman her s > için (T f) (s) kψ (/s) f L Φ (R n ) (4.24) eşitsizliğinin sağlandığı bir pozitif k sabiti vardır. T sıkı birleşik zayıf (, p ; p, ) tipli olduğundan tanımdan (4.7) ve (4.8) un sağlandığı bir k 2 pozitif sabiti vardır. Özel olarak (4.7) ve (4.) φ L Φ (s, ) = f L Φ (R n ) (4.25) olmasını gerektirir. (4.24), (4.25) ve (4.8) birleştirilirse s φ(r)r /p dr k k 2 Ψ (/s) φ L Φ (s, ) (4.26) elde edilir. r /p L Φ(s, ) sup { φ L Φ (s, ) s } φ(r)r /p dr : φ L Φ (s, ) (4.27) olmasını hatırlarsak φ nin keyfi olmasından ve (4.26) den r /p L Φ(s, ) k k 2 Ψ (/s) (4.28) elde edilir. (4.28), (4.6) ve (4.7) dan domine ettiği kolayca görülür. Φ(t) t +p dt < olduğu ve Φ p nin Ψ yi global olarak 32
42 (ii) Kabul edelim ki Ψ(t) dt <, Φ(t) dt <, Φ Ψ t +p t +p p yi global olarak domine ediyor ve Φ p, Ψ yi global olarak domine ediyor olsun. O zaman Lemma 4..5 ve (4.) denklemi her Φ L Φ (R n ) için s s /p f (r)dr K f L Φ (, ) (4.29) L Ψ (, ) ve s f (r)r /p dr K f L Φ (, ) (4.3) L Ψ (, ) olacak şekilde bir K sabitinin varlığını garanti eder. Böylece L Φ (R n ) L + L p olur. O zaman L Φ (R n ), T f nin tanım kümesi tarafından içerilir. Dahası (4.6) den (T f) L Ψ (, ) k s s /p f (r)dr + f (r)r /p dr (4.3) olur çünkü (T f) L Ψ (R n ) = (T f) L Ψ (, ) s L Ψ (, ) dir. (4.29), (4.3) ve (4.3) eşitsizlikleri k K normu ile T nin güçlü (Φ, Ψ) tipli olduğunu söyler. Tersine T sıkı birleşik zayıf (, p ; p, ) tipinden olsun. Yukarıdaki ispata benzer şekilde eğer T K normu ile güçlü (Φ, Ψ) tipli ve k 2 (4.8) da beliren sabitse her φ L Φ (, ) için s s /p φ(r)dr + s φ(r)r /p dr K φ L Ψ (, ) k L Φ (, ) (4.32) 2 olup özel olarak her φ L Φ (, ) için s s /p φ(r)dr K φ L Ψ (, ) k L Φ (, ) 2 ve s φ(r)r /p dr K φ L Ψ (, ) k L Φ (, ) 2 olur. Böylece Lemma 4..5 kullanılarak istenilen gösterilmiş olur. 33
43 4.2 Kesirli Maksimal Operatörün Orlicz Uzaylarındaki Sınırlılığı Teorem 4.2. n ve α < n olsun. Φ ve Ψ Young fonksiyonları olmak üzere M α kesirli maksimal operatörünün zayıf (Φ, Ψ) tipli olması için gerek ve yeter koşul Φ fonksiyonunun, tersi Q (u) = u α/n Ψ (u) (4.33) ile verilen Q fonksiyonunu global olarak domine etmesidir []. İspat. Yeterlilik: Kabul edelim ki Φ, Q fonksiyonunu global olarak domine etsin. Tanımdan Q(u) Φ(bu), u olacak şekilde bir b > vardır. olması ve (4.33) kullanılarak yazılabilir. Eğer f L Φ Q (u) = inf{r : Q(r) > u} inf{r : Φ(br) > u} = inf{br : Φ(br) > u} b = b Φ (u) Φ (u) bq (u) = bu α/n Ψ (u), u (4.34) = biçiminde f L Φ (R n ) alırsak R n Φ( f(x) )dx olur. Jensen eşitsizliğinden bütün (aşikar olmayan) B yuvarları için ( ) Φ f(y) dy Φ( f(y) )dy (4.35) B B B B olur. (4.34) de u = Φ( f(y) )dy alınır ve (4.35) kullanılırsa B B ve [ ] α/n [ ] f(y) dy b Φ( f(y) )dy Ψ Φ( f(y) )dy B B B B B B [ ] α/n [ ] b Ψ Φ( f(y) )dy B B B B α n B [ ] f(y) dy bψ Φ( f(y) )dy B B 34 (4.36)
44 elde edilir. M α ile M operatörlerinin tanımından ve (4.36) den (M α f)(x) bψ [(MΦ(f))(x)], x R n (4.37) olur. Böylece (4.37) den { {x : (M α f)(x) > t} x : Ψ [(MΦ(f))(x)] > b} t { ( )} = t x : [(M(Φ(f)))(x)] > Ψ. (4.38) b Hardy-Littlewood maksimal operatörünün zayıf (, ) tipli olduğundan {x : (Mg)(x) > λ} C g(y) dy, λ > (4.39) λ R n olacak şekilde bir C > sabiti vardır. O zaman (4.39) de g = Φ(f) ve λ = Ψ ( ) t b alırsak (4.38) dan {x : (M α f)(x) > t} C Ψ ( ) Φ(f)(y) dy t b R n C Ψ ( ) ( ) (4.4) t b Ψ t K f L Φ olur. Çünkü f L Φ = ve eğer C, K = Cb ise Ψ ( ) ( t C b Ψ t ( Cb) = Ψ t ) K dir. Böylece (4.4) den M α kesirli maksimal operatörünün zayıf (Φ, Ψ) tipli olması görülür. Gereklilik Kabul edelim ki M α zayıf (Φ, Ψ) tipli olsun. Yani (4.4) bir K > sabiti için ( ) sağlansın. Keyfi fakat sabit bir B R n yuvarı için f = Φ χ B merdiven fonksiyonunu tanımlayalım. O zaman f L Φ = olur. x B için ( ) (M α f)(x) f(y) dy = B B α α n Φ n B B ( ) olduğunu biliyoruz fakat tanımdan eğer t = B α n Φ ise B {x : (M α f)(x) > t } olur. Böylece f L Φ = ile (4.4) den zayıf (Φ, Ψ) tipli olmasından bulunur. B B {x : (M α f)(x) > t } Ψ ( t K ) 35 B
45 u = B yazarsak, ( ) u α n Φ (u) Ψ u, u > K olur. Böylece Φ (u) Ku α n Ψ (u) = KQ (u) eşitsizliğinin gerçeklendiğini ispatlarız. Bu da Φ fonksiyonunun Q fonksiyonunu global olarak domine etmesidir. Teorem n ve α < n olsun. Φ ve Ψ Young fonksiyonları olmak üzere M α kesirli maksimal operatörünün güçlü (Φ, Ψ) tipli olması için gerek ve yeter koşul Ψ(t)/t+n/(n α) dt < olması ve Φ fonksiyonunun Ψ n/α fonksiyonunu global olarak domine etmesidir. Burada, Ψ n/α (4.) ile tanımlanan Young fonksiyonudur []. İspat. Kesirli maksimal operatör M α nın (n/α, ) tipli ve zayıf (, n/(n α)) tipli olduğunu biliyoruz. Eğer Ψ(t)t n/(n α) dt < ise o zaman Lemma 4..6 bize M α nın (Ψ n/α, Ψ) tipli olduğunu söyler. Sonuç olarak Ψ n/α yı global olarak domine eden her Φ Young fonksiyonu için (Φ, Ψ) tiplidir. Gerçekten Φ, Ψ n/α yı global olarak domine ediyorsa R n Ψ n/α ( f(x) λ ) dx Φ R n ( c f(x) olcak şekilde bir c > sabiti vardır. Bundan ( ) f(x) {λ > : dx } {λ > : λ olur. Dolayısıyla R n Ψ n/α λ R n Φ ) dx ( c f(x) λ ) dx } f L Ψ n/α cf L Φ = c f L Φ olur. Bu da M α, (Ψ n/α, Ψ) tipli olduğunda Ψ n/α yı global olarak domine eden her Φ Young fonksiyonu için M α nın (Φ, Ψ) tipli olduğunu söyler. Tersine M α, (Φ, Ψ) tipli olsun. O zaman her f L Φ (R n ) için M α f L Ψ (R n ) k f L Φ (R n ) (4.4) olacak şekilde bir k sabiti vardır. f, R n üzerinde tanımlı f(x) = φ(c n x n ) tipinde bir fonksiyon olsun. Burada φ L Φ (, ) negatif olmayan bir fonksiyon ve C n = π n/2 /Γ( + n/2) ise R n deki birim yuvarın ölçüsüdür. Açıkça f L Φ (R n ) = φ L Φ (, ) (4.42) 36
T.C. UZAYLARI VE İNTEGRAL OPERATÖRLERİ
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZDE LEBESGUE UZAYLARI VE İNTEGRAL OPERATÖRLERİ Süleyman ÇELİK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 206 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıBANACH FONKSİYON UZAYLARI
T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH FONKSİYON UZAYLAI Kasım Emre AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIŞEHİ 216 T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH
DetaylıSORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
DetaylıSPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RİESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI İÇİN SPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV TİPLİ SONUÇLAR Ramazan AKILLI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıT.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
Detaylı14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.
14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıT.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıINVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS
BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS FATMA GAMZE DÜZGÜN PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylı1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
DetaylıFONKSĠYON DĠZĠLERĠNĠN ĠDEAL Eġ YAKINSAKLIĞI. Samet BEKAR
T.C. ORDU ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ FONKSĠYON DĠZĠLERĠNĠN ĠDEAL Eġ YAKNSAKLĞ Samet BEKAR YÜKSEK LĠSANS ORDU 2018 ÖZET FONKSİYON DİZİLERİNİN İDEAL EŞ YAKNSAKLĞ Samet BEKAR Ordu Üniversitesi
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
DetaylıAyşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ OCAK 2011 ANKARA
FUZZY NORMLU LİNEER UZAYLAR VE SÜREKLİLİK Ayşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA Ayşe GİR tarafından hazırlanan FUZZY NORMLU LİNEER UZAYLAR VE
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Nuray GÜL İKİ TOPOLOJİLİ UZAYLARDA BAZI AYIRMA AKSİYOMLARI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıBİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS
BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS EYLEM ÖZTÜRK PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHamel Taban ve Boyut Teoremi
Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde
DetaylıDoktora Tezi. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İKİ DEĞİŞKENLİ q-bleimann, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ S. SİBEL (ÇEVİK ERSAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 8 Her hakkı
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ
ASİMETRİK TOPOLOJİK UZAYLAR ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır.
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
DetaylıBAZI FONKSİYON UZAYLARI ANKARA
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOURIER-BESSEL (HANKEL) DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BAZI FONKSİYON UZAYLARI Fatih DERİNGÖZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 211 Her hakkı saklıdır
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıModül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
DetaylıOcak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi
Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR Telefon : (0386) 280 4565 Mail : aakbulut@ahievran.edu.tr 2. Doğum
Detaylı0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem)
Ankara Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi Prof. Dr. Hasan Şahin 0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Bu kısımda zarf teoremini ve iktisatta nasıl kullanıldığını ele alacağız. bu bölüm Chiang 13.5 üzerine
Detaylı3.Ders Rasgele Değişkenler
3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylı12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.
12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
DetaylıGrup Homomorfizmaları ve
Bölüm 7 Grup Homomorfizmaları ve İzomorfizmalar Bu bölümde verilen gruplar arasında grup işlemlerini koruyan fonksiyonları ele alacağız. Bu fonksiyonlar yardımıyla verilen grupların cebirsel yapılarının
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
DetaylıCebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıSORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme
2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A
DetaylıSoru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.
İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.
DetaylıTopolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine
S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya
DetaylıAKÜ FEMÜBİD 17 (2017) ( ) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) ( ) DOI: /fmbd Araştırma Makalesi / Research Article
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi A 1, 2 Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 17 (2017) 021302 (488-493) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) 021302
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıÇ.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıB Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.
B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
DetaylıFen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi
EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com
DetaylıDERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI
T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:
DetaylıDÜZGÜN QUASI-LIPSCHITZIAN DÖNÜŞÜMLERİN SONSUZ AİLELERİNİN ORTAK SABİT NOKTALARINA YENİ YAKLAŞIM METOTLARI Süheyla ELMAS Doktora Tezi Matematik
DÜZGÜN QUASI-LIPSCHITZIAN DÖNÜŞÜMLERİN SONSUZ AİLELERİNİN ORTAK SABİT NOKTALARINA YENİ YAKLAŞIM METOTLARI Süheyla ELMAS Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Prof.
DetaylıProf.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
Detaylı3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar
3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN L (, UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN L (, ) UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI Sevilay KIRCI SERENBAY MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 28 Her hakkı
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıDoğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos
Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği İstanbul Teknik Üniversitesi 25 Nisan 2013 Outline 1 2 3 Sabit noktaları: x 1 = 0 ve x 2 = 1 1 r x 0 (, 0) (0, ) = x n x(k + 1) = f (x(k)) f r (x) = rx(1 x) r = 4.2
DetaylıSİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN AĞIRLIKLI L p UZAYINDA SINIRLILIĞI
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN AĞIRLIKLI L p UZAYINDA SINIRLILIĞI Hayrullah ASLAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR - 203 T.C. AHİ
DetaylıDers 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
Detaylı