CHAPTER 1. Vektörler

Transkript

1 iv

2 CHAPTER 1 Vektörler Vektör kavram, ziksel kavram olarak ortaya çkm³ olsa da matematiksel sistemlerin temel kavram olmu³tur. Gerçekten vektör kavramn geli³imi matematikçilerden çok zikçiler ve kimyaclar tarafndan gerçekle³tirilmi³tir. Bu kitapta vektörü düzlemsel vektörlere kstlayaca z. Öyle olunca, do u³undaki ziksel i³levini sürdürüyor olacaktr. Klasik zikte iki türlü nicelik kullanlr: (1) Saysal (skalar) nicelikler (2) Vektörel nicelikler Saysal nicelikler, ölçümlerde saysal de erinden ba³ka bir nitelik ta³mayan ö elerdir. Daha açk deyi³le, yalnz saysal nitelik ta³yan ö elerdir ki bunlar bildi imiz saylardr. Vektörler ise büyüklük, do rultu ve yön niteli ini ta³yan ö elerdir. Vektörün büyüklü ü onun uzunlu udur (boy) ve saysal bir niteliktir. Do rultu uzaydaki konumunu belirler. Yön ise, üzerinde bulundu u do rultuya göre pozitif ya da negatif tarafa yönlenmesidir. Biz vektörleri düzlemde dü³ünece imize göre, düzlemde hangi do ru üzerinde ise, vektörün do rultusu odur. Ço unlukla o do rutuya ta³yc do ru diyoruz. Ta³yc do ru üzerinde pozitif ve negatif olmak üzere iki yön belirlenebilir. Her vektörün ta³yc do ru üzeride bir ba³langç ve bir bitim noktas vardr. Ba³langçtan bitime do ru olan yön vektörün yönüdür Vektör Uzay Do rusal cebir, vektörleri ziksel nitelikleriyle tanmlamak yerine, onlarn sa lad cebirsel özeliklerle ilgilenir. Böylece ziksel ortama ba l olmayan soyut bir matematiksel sistem ortaya konabilir. Uygulamac bu soyut sistemi alp kendi i³ine uyarlayabilir. V bo³ olmayan bir küme R gerçel say kümesi olsun. V kümesi a³a daki ko³ullar sa lyorsa bir gerçel vektör uzaydr: Her u, v, w V ve her α, β R için a³a daki özelikler sa lanr (1) V kümesi toplama (+) i³lemine göre bir Abel grubudur: (a) u, v V ise u + v V (b) u + (v + w) = (u + v) + w (Birle³me özeli i) (c) u + v = v + u (yer de i³me özeli i) (d) v + 0 = v (birim ö e varl ) (e) v v = 0 (ters ö e varl ) (2) R V V dönü³ümü a³a daki skalerle çarpma özeliklerini sa lar: (a) α(βv) = (αβ)v (uymluluk) (b) 1v = v (skaler çarpmn birimi) (c) α(u+v) = αu+αv (skaler çarpmn vektör toplam üzerine da lm) (d) (α + β)v = αv + βv (skaler toplamn vektörle çarpmnn da lm) 1

3 2 1. VEKTÖRLER 1.2. Simgeler Fiziksel uygulamalarda a vektörünün a, â, # a gibi simgelerle gösterilmesi gelenek halini alm³tr. Yalnl sa lamak için baz baz kaynaklarda a vektörü a gibi koyu yazlr. Bu kitapta v ve v gösterimlerini tercih edece iz. v vektörünün uzulu unu, yazl³ kolayl na ba l olarak v, v ya da v simgesiyle gösterece iz. her durumda vektör ile uzunlu u gösterimlerde belirli olacak, bir kar³klk do mayacaktr. Matematikte, tipograk nedenlerle ok gösterminden saknlr. Vektör, V uzaynn bir ö esi olarak alnr ve normal harerle gösterilir Vektölerle ³lemler Düzlemde bir v vektörü ³ekildeki gibi gösterilir. Bu ³ekle dikkatle bakarsak, v vektörünün bir ta³ycs (do rultu), A ba³langç noktas, B bitim noktas ve A noktasndan B noktasna yönlendi ini belli etmek için B noktasna konulan ok simgesi var. Genellikle v vektörünü (1.1) v = AB simgesiyle, v vektörünün uzunlu unu (1.2) v = v = AB simgesiyle gösteririz Vektör Toplam Vektörlerin toplam için saylarda kullanlan art (+) operatörü kullanlr. Tabii, bu operatörün saylardaki toplama i³leminden farkl bir i³leve ship oldu unu söylemeye gerek yok. a = OA ile b = OB vektörlerinin toplam (1.3) a + b = (a + b), biçiminlerinden birisiyle gösterilir. OA + OB = AB + CD 1.5. Denk Vektörler Düzlemde herhangi bir m = T M vektörünü do rultu, yön ve uzunlu unu koruyarak O(0, 0) ba³langç noktasna kaydralm. Kaydrma sonunda elde edilen p = OP vektörü ile m = T M vektörü arasnda bir denklik ba nts vardr. Do rultular paralel, yönleri ve uzuluklar ayndr. Bunu genelle³tirelim: Tanm 1.1. Düzlemdeki bütün vektörlerin olu³turdu u kümeyi V ile göstrelim. V kümesi üzerinde do rultular paralel, yönleri ayn ve uzunluklar e³it olan vektörleri birbirlerine denk sayan bir ba nt kuralm. Bu ba nt V kümesi üzerinde bir denklik ba ntsdr. Bu ba ntya ait her denklik snfa bir vektör diyece iz. Görsel kolaylk sa lamak için, denklik snar içinden, ba³langç noktalar koordinat sisteminin O ba³langç noktasyla çak³an temsilcileri seçelim. Ba³langç noktas O(0, 0) ve bitim noktas P (x, y) olan vektörü p vektörünü p = OP ile ve p vektörünün uzunlu unu p = p ile gösterelim.

4 1.7. VEKTÖRLERDE ÇžKARMA Ð³LEMI Vektörler Üzerinde i³lemler Vektörlerin Toplam. Vektör uzay bir grup oldu u için yoplama ilemine kapaldr; yani a, b V ise a + b V olacaktr. ekilden görüldü ü gibi a ile b vektörlerini toplarken a vektörünün birim noktasna a vektörü eklenir. Ekleme i³lemi yaplrken vektörleri do rultu yön ve uzunluklar korunur. Böylece a + b vektörü OACB parelelkenarnn kö³egeni olur. Vektör toplm için kulland mz art (+) simgesi saylarn toplamnda kulland mz simge ile ayndr, ama i³levleri farkldr. Tabii, vektör yoplam sylardaki toplamdan farkl oldu u için farkl bir simge kullanlabilirdi. Ama bütün toplamsal gruplarda (+) sembolünü kullanmak algy ve ö renmeyi kolayla³trr Toplamn Geometrik Özelikleri. Toplamsal gruplarda birle³me özeli inin varl n biliyoruz. V vektör uzay da art operatörüne göre toplamsal bir grup oldu undan (1.4) a + (b + c) = (a + b) + c birle³me özeli ini sa lar. Böyle oldu unu ³ekilden de görebiliriz Üçgen E³itsizli i. a, b V ise (1.5) a + b a + b ba nts vardr. Buna üçgen e³itsizli i denilir. Üçgen e³itsizli indeki ö elerin saysal (skalar) oldu una dikkat ediniz Sfr Vektörü. Uzunlu u sfra e³it olan vektöre sfr vektörü denilir ve 0 ile gösterilir. Sfr vektörü toplamsal V grubunun birim ö esidir; yani her v vectörü için (1.6) v + 0 = v olur Vektörün tersi. Toplamsal V grubunun her v ö esinin toplama i³lemine göre v ile gösterilen bir ters ö esi vardr: (1.7) v + v = 0 olur Vektörlerde Çkarma ³lemi ki vektörün farkn saylardaki gibi tanmlarz. her a, b V için (1.8) a + b = a + ( b) yazlr. Buradan hemen ³u sonuç çkar: (1.9) a + a = 0

5 4 1. VEKTÖRLER 1.8. Vektörlerde Sayl Çarpm v bir vektör ve α bir gerçel say ise α v sayl (skalar) çarpmnn, R V V i³leminin bir sonucu oldu unu biliyoruz. Buradaki α saysna sayl (skalar) denir. Sayl çarpm vektörün uzunlu unu α katna çkarr. (1.10) Sayl çarpm vektörün do rultusunu de i³tirmez. Pozitif say ile çarplnca vektörün yönü de i³mez. Negatif say ile çarplnca vektörün yönü tersine döner. α > 1 ise vektörün uzunlu u artar: v < α v. α = 1 ise vektörün uzunlu u de i³mez: v = α v. α < 1 ise vektörün uzunlu u azalr: v > α v. Sayl çarpmn e³itlikleri sa lanr. (α + β) a = α a + β aα( a + b) = α a + α b 1.9. Birim Vektör Uzunlu u 1 olan vektöre birim vektör denilir. Geometrik anlamada, uzunluk ölçü biriminin ne oldu u önem ta³maz, çünkü bütün uzunluk ölçü briemlei birbirlerine dönü³türülebilir. her a vektörünü kendi uzunlu una bölerek birim vektör elde edilebilir. Dolaysyla her do rultuda birim vektör vardr. (1.11) Kolayca görülece i gibi a a = 1 a (a 0) a a a = 1 a a = Aalitik Geometriye Giri³ Vektörleri ³imdiye dek sentetik geometride oldu u gibi geometrik özelikleriyle inceledik. Ama vektörlerin daha yararl kullanlabilmesi için onlar üzerinde geometriye dayanmayan cebirsel i³lmlerin tanmlanmas gerekir. Bunu yapmak çok kolaydr. Düzlemdeki vektörleri bitim nontalarnn koordinatlar cinsinden yazabiliriz: p vektörünün bitim noktasn (x, y) koordinatlar ile gösterirsek, bitim noktalar ile vektörler arasnda bire-bir bir e³leme kurulabilir. p (x, y) imdi i³lemleri kolayla³trmak için bir adm daha atalm. Ox ekseni üzerinde birim vektörü ile ve Oy üzerindeki birim vektörü j ile gösterelim. Bitim noktasnn Ox ekseni üzerindeki izdü³ümüne kar³lk gelen yatay vektör x i ve Bitim noktasnn Oy ekseni üzerindeki izdü³ümüne kar³lk gelen dü³ey vektörü y j ile gösterelim. (1.12) p = x i + y j dir. Düzlemdeki her p vektörü için bu e³le³meyi yapabiliriz. Dolaysyla her vektörü i ile j birim vektörlerinin toplam cinsinden yazabiliriz. Bu e³le³me ola anüstü kolaylk sa lar. Düzlemdeki bütün vektörleri iki vektörün toplam olarak ifade

6 1.11. BILE³ENLERLE Ð³LEMLER 5 edebiliyoruz. Bu kolayl sa layan { i, j} birim vektörlerine düzlemsel vektörlerin bir birimsel taban (orthomormal base) denilir. (1.12) ifdesinden ³unlar çkar: (1.13) p = p = x 2 + y 2 p = OP vektörünün Ox ekseni ile yapt aç θ ise (1.14) x = p cosθ = pcosθ, y = p sinθ = psinθ olur. (1.12) ifadesinde x, y saylarna, srasyla, p vektörünün birinci ve ikinci bile³enleri denilir. Daha yüksek boyutlu uzaylarda da geçerli olan bu formül, genellikle (1.15) p = α 1 e 1 + α 2 e 2 biçiminde yazlr. Bu gösterimde x = α 1 saysna p vektörünün birinci bile³eni, y = α 2 saysna p vektörünün ikinciinci bile³eni, i = e 1, j = e 2 olmak üzere { e 1, e 2 } vektörlerine de birimsel taban denilir Bile³enlerle ³lemler Daha önce tnmlad mz vektörlerin toplamn ve sayl çarpmn bile³enler cinsinden ifade edebiliriz; a = a 1 e 1 + a 2 e 2 ve b = b 1 e 1 + b 2 e 2 olmak üzere, vektörlerin toplamn bile³enlerinin toplam cinsinden yazabiliriz. (1.16) a + b = (a 1 + b 1 ) e 1 + (a 2 + b 2 ) e 2 dir. Benzer olarak, bir vektörün bir say ile çarpm, o say ile bile³enlerinin çarpm cinsinden yazlabilir: (1.17) λ a = λa 1 e 1 + λa 2 e 2, (λ sabit say ) Bu e³itlikler vektör toplam ve sayl çarpm tanmndan görülebilir. ba ntlar apaçktr: A³a daki (1.18) (1.19) (1.20) a = a 1 e 1 a 2 e 2 a b = (a 1 b 1 ) e 1 + (a 2 b 2 ) e 2 a = a a2 2 Bazen i³lemlerde ksal sa lamak için a = a 1 e 1 + a 2 e 2 yerine (a 1, a 2 ) sral çiftini kullanrz. Bu durumda ba ntlar geçerlidir. a = ( a 1, a 2 ) λ a = (λa 1, λa 2 ) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) a b = (a 1 b 1, a 2 b 2 ) a = b (a 1 = b 1 ) (a 2 = b 2 ) a = 0 (a 1 = 0) (a 2 = 0)

7 6 1. VEKTÖRLER Nokta Çarpm Vektörler üzerinde toplama, çkarma ve sayl ile çarpma i³lemlerini tanmladk. Merakl ö renciler ³u soruyu sorabilirler: Vektörler üzerinde çarpma ve bölme i³lemleri tanml de il mi? Bu soruya verilecek yant hayr olacaktr. Vektörler üzerinde saylardakine benzer çarpma ve bölme i³lemleri yoktur. Onun yerine vektörler üzerinde iki çarpma i³lemi tanmlanr. Bumardan birincisi olan nokta çarpm saysal de er verir ve bir vektörün ba³ka bir vektör üzerine izdü³ümünü belirlemeye yarar. kinci çarpma i³lemi vektörel çarpm adn alr, çarplan vektörlerin düzlemine dikey olan yeni bir vektör yaratr. Üç boyutlu uzayda yüzeylerin incelenmesinde önemli olan o çarpmay burada ele almayaca z. Tanm 1.2. a = a 1 e 1 + a 2 e 2 ve b = b 1 e 1 + b 2 e 2 vektörlerinin nokta çarpm kar³lkl bile³enlerinin birbirleriyle çapmlarnn toplmna e³ittir. (1.21) a. b = a 1.b 1 + a 2.b 2 A³a daki ba ntlar kolayca görülebilir: (α a).(α b) = αβ( a.( b) a.( b + c) = a. b + a. c ( a. + b). c) = a. c + b. c (1.22) i. i = 1, j. j = 1, i. j = 0 a ile a vektörleri arasndaki³ aç θ ise, Theorem 1.3. a. b = a. b cosθ olur. Buradan cos θ = a 1b 1 + a 2 b 2 a a 2 2 a 1 b 1 + a 2 b 2 a a2 2 a. b a. b a b2 2 a b2 2 çkar. Son e³itsizlik ünlü Cauchy-Schwarz e³itsizli inin özel bir halidir zdü³üm a ile b vektörleri arasndaki aç θ ise, a vektörünün b üzerine idü³ümü (1.23) u b = a cos theta dr.