ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER"

Transkript

1 ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m I I. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s IV. S f r Yönlü Do ru Parças V. Paralel Yönlü Do ru Parçalar VI. Efl Yönlü Do ru Parçalar 2. VEKTÖRLER I. Vektörün Tan m II. S f r Vektörü III. Ters (Z t) Vektörler I V. i r Vektörün Normu 3. VEKTÖRLER KÜMES NDE filemler I. Toplama fllemi II. Vekörler Kümesi Toplama fllemine Göre De iflmeli ir Gruptur. III. ki Vektörün Fark 4. R VEKTÖRÜN R REEL SYI LE ÇRPIMI 5. VEKTÖR LG S N N GEOMETR YE UYGULNMSI 6. NL T K DÜZLEMDE VEKTÖRLER I. YerVektörü (Konum Vektörü) II. ki Vektörün Eflitli i III. ir Vektörün Uzunlu u (Normu)

2 7. NL T K DÜZLEMDE VEKTÖRLERLE LG L filemler I. ki Vektörün Toplam II. ki Vektörün Fark III. ir Vektörün ir Reel Say ile Çarp m 8. K VEKTÖRÜN PRLELL 9. K VEKTÖRÜN D KL 10. R M VEKTÖR 11. R VEKTÖRÜ NORMLM 12. TEMEL R M VEKTÖRLER 13. VEKTÖRLERDE L NEER IMLILIK, L NEER IMSIZLIK 14. VEKTÖRLER N L NEER LEfi M 15. VEKTÖRLERDE Ç ÇRPM filem 16. K VEKTÖR RSINDK ÇI 17. SHWRTZ (fiivrz) Efi TS ZL 18. GEOMETR K fiek LLER N LNLRI 19. ÇEMER N VEKTÖREL DENKLEM 20. DO RUNUN VEKTÖREL DENKLEM ÖZET LIfiTIRMLR DE ERLEND RME TEST IV 86

3 U ÖLÜMÜN MÇLRI NL T K GEOMETR 1 * Yönlü do ru parçalar n n, uzunlu unu, tafl y c s n, s f r yönlü do ru parças n, paralel ve efl yönlü do ru parçalar n tan yabilecek ve bunlar sembolle gösterebilecek, * Vektörleri ve özelliklerini tan yabilecek, yönlü do ru parçalar ile vektörler aras ndaki iliflkiyi yazabilecek, * Verilen bir yönlü do ru parças n n bafllang ç noktas n, bitim noktas n, do rultusunu, yönünü, uzunlu unu belirtebilecek, * Verilen bir yönlü do ru parças n n ters yönlüsünü ve d fl ndaki bir noktada efl bir yönlü do ru parças n çizebilecek, * Vektörler kümesinde; toplama ifllemi, ç karma ifllemi, bir vektörün bir reel say ile çarpma ifllemini yapabilecek, * Vektörler bilgisinin geometriye uygulanmas na ait problemleri çözebilecek, * nalitik düzlemde, yer vektörünü, iki vektörün eflitli ini yer vektörün uzunlu unu bileflenleri cinsinden yazabilecek, * ki vektörün paralelli i ve dikli ini, bileflenleri aras ndaki iliflkiyi bulabilecek ve iki vektörün paralel veya dik olup olmad n belirleyebilecek, * Temel baz vektörlerini söyleyebilecek ve sembolle gösterebilecek, * ki vektörün lineer ba ml veya lineer ba ms z olmalar n belirtebilecek, * Vektörlerde iç çarpma ifllemini hesaplayabilecek, * Verilen iki vektör aras ndaki aç y hesaplayabilecek ve iki vektörün dik olup olmad n gösterebilecek, * Geometrik flekillerin alanlar n vektörler yard m yla hesaplayabilecek, * Verilen çemberin denklemini vektörler yard m yla yazabilecek, * Verilen do runun denklemini vektörler yard m yla yazabileceksiniz. 87

4 NSIL ÇLIfiMLIYIZ? * Verilen tan mlar iyi anlay n z. Tan mlar aras ndaki iliflkileri kavramaya çal fl n z. * Ünite ile ilgili çeflitli kaynak kitaplar ndan faydalan n z. * Özet olarak haz rlad m z k sm dikkatli bir flekide çal fl n z. * Örnek sorular dikkatle inceleyip anlamaya çal fl n z kitab kapatarak tekrar çözmeye çal fl n z. Tak ld n z yerde çözüme bak n z. * Her konuyu tam olarak ö reniniz. ir konuyu ö renmeden di er konuya geçmeyiniz. Konu ile ilgili bilginiz yeterli de ilse soruyu çözmeden önce, kitaplardan veya ders notlar n zdan konuyu yeniden okuyunuz. * Varsa verilen flekilden, yoksa uygun flekil çizerek verilenlerle istenilen aras ndaki iliflkiyi araflt r n z. * Ünitenin sonunda verilen al flt rmalar ve de erlendirme testini mutlaka çözünüz. Çözemedi iniz taktirde ünitedeki bilgi ve örnekleri tekrar ediniz. De erlendirme testinin cevaplar n, cevap anahtar ile karfl laflt r n z. 88

5 DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI flehri ile flehri aras nda, bir otobüs flirketi yolcu tafl maktad r. dan ye gitmek isteyen bir kimse, dan yola ç karak ye do ru [] yolunu alacakt r. Dönmek isteyen bir kimse ise [] yolunu alacakt r. urada al nan yollar n bafllang ç ve bitim noktalar vard r. Yönleri farkl d r. Do rultu ve uzunluklar ayn d r. (fiekil 4.1) fiehri fiehri Yön d afllang ç Noktas itim Noktas Tafl y c do ru fiekil 4.1 fiekil 4.2 I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m Uç noktalar ndan birisi bafllang ç noktas, di eri bitim noktas olacak flekilde seçilen do ru parças na yönlü do ru p a r ç a s denir. afllang ç noktas ve bitim noktas olan yönlü do ru parças gösterilir. yönlü do ru parças n n yönü den ye do rudur. fl e k l i n d e II. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u ir do ru parç s n n bafllang ç ve bitim noktalar aras ndaki uzakl a Yönlü do ru parças n n uzunlu u denir. yönlü do ru parças n n uzunlu u sembolü ile göserilir. III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s ir yönlü do ru parças n n üzerinde bulundu u do ruya, yönlü do ru parças n n tafl y c do rusu denir. (fiekil 4.2) de ve noktalar ndan geçen d do rusuna, yönlü do ru parças n n tafl y c s denir. ir yönlü do ru parças n n belli olabilmesi için; yönü, uzunlu u ve tafl y c do rusu belli olmal d r. IV. S f r Yönlü Do ru Parças Uç noktalar ayn (çak fl k) olan yönlü do ru parçalar da vard r. ir noktas n yönlü do ru parças olarak düflünebiliriz. unu biçiminde yazar z. yönlü do ru parças n n bafllang ç noktas ve bitim noktas da d r. Yönü ise belirsizdir. Yönlü do ru parças n n uzunlu u s f rd r. = 0 ve tafl y c s belirsizdir. 89

6 ÖRNEK 1 fiekil 4.3 de verilen yönlü do ru parças n n, bafllang ç noktas n, bitim noktas n, do rultusunu, yönünü ve uzunlu unu belirtelim. ÇÖZÜM 1 Verilen yönlü do ru parças n n; bafllang ç noktas, bitim noktas dir. Yönü d a n ye do rudur. ve için ortak olan do rusu do rultusudur. Uzunlu u, ve noktalar aras ndaki uzakl a yani [] n n uzunlu una eflittir. = dir. d D k fiekil 4.3 fiekil 4.4 V. Paralel Yönlü Do ru Parçalar ki yönlü do ru parças n n tafl y c lar çak fl ksa veya paralelse, bu yönlü do ru parçalar na paralel yönlü do ru parçalar denir. ve D yönlü do ru parçalar n n paralelli i // D sembolü ile gösterilir (fiekil 4.4). ÖRNEK 2: Verilen bir yönlü do ru parças ile ters yönlü olan yönlü do ru parças n çizelim. ÇÖZÜM 2 yönlü do ru parças yönlü do rusu parças n n ters yönlüsüdür. ile yönlü do ru parçalar n n sadece yönleri farkl d r. Tafl y c do rular ayn, uç noktalar da ayn noktalard r. ile n n yönleri birbirinin tersidir. yönlü do ru parças ile ters yönlü olan baflka yönlü do ru parçalar da vard r. yönlü do ru parças n n tafl y c s d do rusu üzerinde veya bu tafl y c ya paralel olan k do rusu üzerinde yönlü do ru parças ile ters yönlü olan baflka yönlü olan do ru parçalar da çizilebilir. D yönlü do ru parças yönlü do ru parças ile ters yönlüdür. (fiekil 4.4) 90 VI. Efl Yönlü Do ru Parçalar Uzunluklar s f rdan farkl olan yönlü do ru parçalar n n, do rultular, yönleri, uzunluklar ayn ise, D yönlü do ru parçalar na birbirine efl yönlü do ru parçalar denir., D yönlü do ru parçalar n n eflli i, D fleklinde gösterilir.,, yönlü do ru parçalar da efl yönlü do ru parçalar olarak kabul edilir ve dir.

7 ÖRNEK 3 : fla daki do ru parçalar çizelim., D ve EF yönlü do ru parçalar na efl yönlü ÇÖZÜM 3: fla daki flekillerde oldu u gibi parçalar na GH, KL ve MN efl yönlü do ru parçalar çizilebilir., D ve EF yönlü do ru F G H // GH = GH = GH K D // KL D = KL D = KL D L E M EF // MN EF = MN EF = MN N ÖRNEK 4: Verilen D paralelkenar nda birbirine efl olan yönlü do ru parçalar n yazal m (fiekil 4.5). ÇÖZÜM 4: ir paralelkenarda karfl l kl kenarlar eflit ve paralel, köflegenleri birbirini ortalar. u özelli inden faydalan larak; // D ve = D oldu undan, D dir. // D ve = D oldu undan, D dir. O // O ve O = O oldu undan, O O dir. O // OD ve O = OD oldu undan, O OD dir. D O D d fiekil 4.5 fiekil 4.6 ÖRNEK 5: Verilen bir yönlü do ru parças na d fl ndaki bir noktadan efl yönlü bir do ru parças n çizelim. ÇÖZÜM 5: Verilen yönlü do ru parças na d fl ndaki noktas ndan efl yönlü D yönlü do ru parças n çizmek için, önce ve den geçen do rusu çizilir. Ü z e r i n d e k i noktas ndan yönlü do ru parças na paralel olan bir d do rusu çizilir. unun üzerinde, D olacak flekilde bir D noktas iflaretlenerek istenen yönlü do ru parças çizilir (fiekil 4. 6). 91

8 ÖRNEK 6: Verilen yönlü do ru parças na eflit uzunlukta, ayn do rultu ve ters yönlü do ru parças n çizelim. ÇÖZÜM 6: Çizimi iki flekilde yapabiliriz. a) d do rusu üzerinde z t yönlü = alal m. (fiekil 4. 7), ve noktalar do rusald r. // olur. = ve oldu undan, = - olur. d D d k fiekil 4.7 fiekil 4.8 b) d // k do rular n çizelim. (fiekil 4. 8) k do rusu üzerinde ile z t yönlü D = çizersek // D olur. olur. = D ve D oldu undan, = - D olur. öylece yönlü do ru parças na ters yönlü, D yönlü do ru parças çizilmifl 2. VEKTÖRLER Düzlemdeki bütün yönlü do ru parçalar n n kümesi K olsun. K kümesinde tan ml efl olma (efllik) ba nt s n n bir denklik ba nt s oldu unu gösterelim. (fiekil 4.9) u ba nt n n: 1. Yans ma özelli i vard r. Her yönlü do ru parças kendisine eflittir. =, D =D, EF = EF, K E D F, =, =,... fiekil fiimetri özeli i vard r. = D ise D = dir Geçiflme özelli i vard r. =D ve D =EF ise = EF dir. Düzlemdeki bütün yönlü do ru parçalar n n K kümesinde tan mlanan efllik ba nt s, bir denklik ba nt s d r. Efllik ba nt s, düzlemdeki yönlü do ru parçalar n n K kümesini, denklik s n flar na ay r r.

9 I. Vektörün Tan m NL T K GEOMETR 1 Düzlemdeki yönlü do ru parçalar n n kümesinde tan ml, efllik ba nt s n n oluflturdu u denklik s n flar n n her birine, vektör denir. (fiekil 4. 9) da yönlü do ru parças na efl olan yönlü do ru parçalar ndan baz lar gösterilmifltir. yönlü do ru parças na, efl olan tüm yönlü do ru parçalar n n kümesi XY : XY dir. vektörünü II. S f r Vektörü = XY : XY afllang ç ve bitim noktas ayn olan vektöre s f r vektörü O =,,... kümesinde O = =,... fleklinde de gösterebiliriz. fleklinde gösterilir. denir. S f r vektörün uzunlu u = = 0 (s f rd r) yönü ve do rultusu tan ms zd r (belirsizdir). (fiekil 4.10) da s f r vektörleri gösterilmifltir. d fiekil 4.10 fiekil 4.11 III. Ters (Z t Vektörler) Do rultular ayn, yönleri ters olan vektörlere, ters (z t) vektörler denir. yönlü do ru parçalar n n boylar eflit de olabilir farkl da olabilir. Verilen (fiekil 4.11) de ve vektörleri ters (z t) vektörlerdir. u IV. ir Vektörün Normu yönlü do ru parçalar n n noktas ile noktas aras ndaki uzakl a vektörünün normu (büyüklü ü, uzunlu u) denir. yönlü do ru parças n n uzunlu u, sembolü ile gösterilir. vektörünün büyüklü ü (normu), sembolü ile gösterilir. vektörünün normu diye okunur. = = a ise, a 0 d r. = O = 0 d r. 93

10 3. VEKTÖRLER KÜMES NDE filemler I. Toplama fllemi a. u ve ϑ vektörlerinin do rultular ve yönleri ayn olmalar durumunda u v u u + v v d fiekil 4.12 u ve ϑ vektörleri ayn yönlü olduklar ndan d do rusu üzerinde u vektörü al n r. u vektörünün bitim noktas ndan itibaren ϑ vektörü alınır. öylece u +ϑ vektörlerin toplam bulunur. (fiekil 4. 12) b. u ve ϑ vektörlerinin do rultular ayn z t yönlü olmalar durumunda u v u + v v u d fiekil 4.13 u ve ϑ vektörlerinin do rultular ayn yönleri z t olmalar durumunda u +ϑ vektörlerin toplam (fiekil 4.13) de çizilmifltir. c. u ve ϑ vektörlerinin do rultular ayn olmayan iki vektör olmalar durumunda afllang ç noktalar düzlemin bir noktas olsun, = u ve = ϑ olacak flekilde ve vektörlerini çizelim. (fiekil 4.14) de D paralelkenar na flekilde ve vektörlerini çizelim. (fiekil 4.14) de D paralelkenar na tamamlayal m. D vektörüne, u ve ϑ vektörünün toplam denir. u v D u v 94 fiekil 4.14

11 Paralel kenarda karfl l kl kenarlar birbirine eflit ve paralel oldu undan D dir. O halde + D = D olur. Paralelkenar çizmeden de iki vektörün toplam n D üçgenleri yard m yla da bulabiliriz. Yap lan bu iflleme D üçgenleri yard m yla da bulabiri geometrik toplama ifllemi geometrik denir. toplama ifllemi denir. ÖRNEK 7 Verilen ( fiekil 4.15) te [] do ru parças n n orta noktas O olsun. O = oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 7 ve vektörlerinin toplam n paralelkenar yolu ile bulursak + = D dir. + = D dir. D O = 1 2 D oldu undan, O O = olur. ÖRNEK 8 ve vektörlerin toplam n bulal m. fiekil 4.15 ÇÖZÜM 8 + = dir. n n temsil etti i vektör s f r vektörüdür. O halde, ile vektörleri, birbirinin toplama ifllemine göre tersleridir. u nedenle, + = 0 yaz l r. yani = - olur. II. Vektörler Kümesi Toplama fllemine Göre De iflmeli ir Gruptur. a. Vektörler kümesi toplama fllemine göre kapal d r. fiekil 4.16 da düzlemde verilen a ve b vektörlerinin toplam n hesaplayal m. O = a +b dir. a O a a + b O halde, iki vektörün toplam yine bir vektördür. b b Vektörler kümesi toplama ifllemine göre kapal d r. fiekil

12 b. Ve k t ö r l e r kümesinin toplama ifllemine göre, birleflme özelli i vard r. c fiekil de düzlemde verilen b b c a, b ve c toplamlar n hesap edelim. O = a, = b ve = c vektörlerini çizelim. a a O = O + yeni O = a + b dir. O üçgeninde, O = O + fiekil 4.17 yani O = a + b +c dir. (1.) ücgeninde = + yani = b + c dir. O üçgeninde, O = O + yani O = a + b +c dir. (2.) (1.) ve (2.) den a + b +c = a + b +c olur. (1.) ve (2.) den a + b +c = a + b +c olur. O halde, vektörler kümesinde; toplama iflleminin birleflme özelli i vard r. c. Vektörler kümesinin toplama ifllemine göre, birim (etkisiz) elmeman vard r. = a olsun. + = oldu undan a + 0 = a d r. + = oldu undan 0 +a = a d r. Öyleyse, a +0 = 0 + a = a olur. O halde, vektörler kümesinde toplama ifllemine göre, birim (etkisiz) eleman vard r. d. Vektörler kümesinin toplama ifllemine göre, ters eleman vard r. = a olsun. = - a d r. + = ise, a + - a d r. (1) + = ise, - a + a + = - 0 d r. (2) (1) ve (2) den ; a + - a = - a + a = 0 olur. O halde, vektörler kümesinde her a elaman n n toplama ifllemine göre tersi vard r. u da - a vektörüdür. e. Vektörler kümesinin toplama ifllemine göre, de iflme özelli i vard r. = a ve = b efl vektörlerini al p D paralel kenar n çizelim. (fiekil 4.18) de D üçgeninde; 96

13 D = + D ise D = a +b dir. (1) D üçgeninde; D = +D ise; b D = b +a d r. (2) (1) ve (2) den a + b = b +a olur. O halde, vektörler kümesinde toplama iflleminin de iflme özelli i vard r. a b a Vektörler kümesinde toplama iflleminin bu befl özeli i nedeniyle de iflmeli grup olur. u de iflmeli gruba vektörlerin toplama grubu denir. III. ki Vektörün Fark a ve b vektörleri verilmifl olsun. a + - b vektörüne a ile b nin fark denir. u fark bulma ifllemine ç karma ifllemi denir. fiekil 4.18 = a ve D =b olsun. (fiekil 4.19) da - D vektörlerini paralelkenar kural ile bulmaya çal flal m. - D = D yani a - b = D dir. D = - E oldu undan, b a b D a E -b + E = E yani a + - b = E fiekil 4.19 D = E oldu undan, a - b = a + - b olur. Ö R N E K 9: Verilen bir üçgeninde; + + = 0 oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 9: Paralelkenar kural n uygularsak (fiekil 4.20) de; + + = + = = 0 elde edilir. fiekil

14 ÖRNEK 10: ir vektörü ve herhangi bir K noktas verilmifl olsun. = K - K oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 10: fiekil 4.21 e göre, = K + K eflitli i, her K noktas K s için do rudur. = K + K eflitli inde K = - K yaz l rsa = -K + K = K - K elde edilir. ÖRNEK 11 fiekil de verilen D paralelkenar nda fiekil 4.21 = a ve = b ise; +D toplam n a ve b vektörleri cinsinden bulal m. ÇÖZÜM 11 ir paralelkenarda karfl l kl kenarlar eflit ve paralel oldu undan, + = D dir. = - oldu unu düflünürsek = + = a +b D = + D = -a +b D b + D = a +b + -a +b + D = a +b - a +b = 2b bulunur. a fiekil R VEKTÖRÜN R REEL SYI LE ÇRPIMI I. Vektörü ile k R verilsin a. k > 0 ise, D = k. vektörü vektörü ile ayn do rultuda ve ayn yöndedir. D = k olur. b. k < 0 ise, D = k vektörü vektörü ile ayn do rultuda ve ters yönlüdür. D = k olur. 98

15 ÖRNEK 12: vektörü veriliyor. una göre 3. vektörünü çizelim. ÇÖZÜM 12: d // do rusunu çizelim. d do rusu üzerinde, D =3 olacak flekilde vektörü ile ayn yönlü D vektörünü çizelim (fiekil 4.23) te, D // ve D = 3 oldu undan, D = 3. olur. 3. D d fiekil 4.23 ÖRNEK 13: vektörü veriliyor. una göre -3. vektörünü çizelim. ÇÖZÜM 13: d // do rusunu çizelim (fiekil (4.24). d do rusu üzerinde, D = -3 olacak flekilde vektörü ile ters yönlü D vektörünü çizelim. D // ve D = - 3 oldu undan, D = -3 olur. d D -3. fiekil 4.24 I I. D =k flleminin Özellikleri a. k >0 ise, ile D ayn do rultuda ve yöndedir. b. k <0 ise, ile D ayn do rultuda ters yöndedir. c. k = 1 ise, ile D ayn vektördür. d. k = -1 ise, ile D uzunluklar ayn ters yönlüdür. e. k = 0 ise, D = 0. = 0 oldu undan D s f r vektörüdür. f. k < 1 ise, k. < dir. g. k > 1 ise, k. > dir. III. ir vektör ile bir reel say n n çarp m na ait özellikler: a, b reel say lar yla ve D vektörlerinin çarp m ile ilgili özellikler flunlard r a. a.b. = a. b. = b. a. dür. b. a.b. = a.b dir. c. a. + D = a. + a. D dir. d. a ± b. = a. ± b. dir. 99

16 ÖRNEK 14 için fiekil 4.25 te d do rusunun üzerinde bir vektörü veriliyor. a = 2 ve b = 4 a. b. = a.b. oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 14 fiekil 4.25 te = 2.4 = E olur. D E 4. = D D 2. D = E E b F E ( 2. 4 ). = E fiekil 4.25 a fiekil VEKTÖR LG S N N GEOMETR YE UYGULNMSI PROLEM 1 fiekil 4.26 daki paralelkenarda E ve F noktalar ait olduklar kenarlar n orta noktalar d r. = a ve D = b oldu una göre, F ve E vektörlerini a ve b vektörleri cinsinden ifade edelim. ÇÖZÜM 1 F = +F F = a b olur. E = D +DE E = b a olur. 100 gösterelim. + PROLEM 2 fiekil 4.27 deki üçgeninde; ÇÖZÜM 2 D = + D D = + D 2 D = + + D + D 2 D = + 0 D = olur. D = D ise, D = 1 + oldu unu 2 D fiekil 4.27

17 PROLEM 3 üçgeninde [] ve [ ] kenarlar n n orta noktalar, s ra ile D ve E dir. 1 DE // ve DE = oldu unu gösterelim. 2 ÇÖZÜM 3 fiekil de D = a ve E = b vektörü ile gösterirsek, =2 a ve =2 b olur. DE üçgeninde, DE = b - a üçgeninde, = 2b - 2a d r. = 2 b - a oldu undan =2. DE olur. = 2. DE ise, // DE ve = 2 DE dir. a D b - a a 2b - 2a b E b una göre; DE // ve DE = 1 2 olur. fiekil 4.28 PROLEM 4 fiekil 4.29 daki D dörtgeninin, ve D köflegenlerinin orta noktalar P ve R dir. PR vektörünü D ve D vektörleri cinsinden bulal m. P R ÇÖZÜM 4 = P +P + D = P +PD + D =P +P + P + PD dir. fiekil 4.29 n n orta noktas P oldu undan, P = P ve P = -P dir. PD üçgeninde, PR kenarortay oldu undan, P + PD = 2 PR dir. u de erler yerlerine yaz l rsa, + D = -P + P + 2PR ise 2 PR = + D 0 PR = D bulunur. 101

18 PROLEM 5: ir konveks dörtgenin kenarlar n n orta noktalar n n bir paralelkenar n köfleleri oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 5: fiekil 4.30 da D üçgeninde; EH // FG ve EH = 1 2 D (Problem 3 gösterildi.) (I.) D üçgenide ayn flekilde düflünürsek, FG // D ve FG = 1 2 D (II.) H E D G F I. ve II. eflitlikten EH // FG ve EH = FG olur. fiekil 4.30 Karfl l kl kenarlar eflit ve paralel olan dörtgen bir peralelkenar olaca ndan EFGH dörtgeni paralelkenard r. 6. NL T K DÜZLEMDE VEKTÖRLER I. YerVektörü (Konum Vektörü) fiekil 4.31 deki, analitik düzlemde çizilmifl olan yönlü do ru do ru parçalar birbirine e fl t i r. u yönlü do ru parçalar na efl olan bütün yönlü do ru parçalar n oluflturdu u kümenin (denklik s n f n n) bir vektör belirtti ini biliyoruz. u vektörler efl yönlü do ru parçalar ndan herhangi biri ile temsil edilebilir. M S K L R O L y D P E G F x H 102, D, EF, OP, ML,... gibi nalitik düzlzemde bulunan ve bafllang ç noktas 0 (0, 0) noktas olan bir vektöre yer vektörü ya da konum vektörü denir. fiekil 4.31 de, bu vektörü bafllang ç noktas 0 (0, 0) olan temsil ediyor. OP vektörüne y e r (konum) vektörü d e n i r. yönlü do ru parças nalitik düzlemde tan mlanan her noktaya bir yer vektörü karfl l k gelir karfl t olarak analitik düzlemde tan mlanan her yer vektörüne bir nokta karfl l k gelir. u nokta yer vektörünün bitim noktas d r. nalitik düzlemde bir P(x, y ) noktas verildi inde, OP = P olur. P noktas n n koordinatlar (x, y) ise, OP = P vektörü fiekil 4.31 OP vektörü ile belirtilmifl P = x,y, P = x, y ya da P = y x fleklinde yaz l r. iz P = x, y fleklini kullanaca z.

19 Uç noktalar (x 1, y 1 ) ve (x 2, y 2 ) olmak üzere çizilen yer (konum) vektörü OP = P = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ) dir. NL T K GEOMETR 1 vektörünün Köflelerinin koordinatlar verilen bir vektörünün yer (konum) vektörünün koordinatlar, verilen vektörünün bitim noktas n n koordinatlar ndan, bafllang ç noktas n n koordinatlar ç kar larak hesaplan r. x lerin fark na yer vektörün birinci birlefleni, y lerin fark na da ikinci birlefleni denir. ÖRNEK 15: = (3, 4), = (- 3, 2) ve = (1, - 3) vektörlerini analitik düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM 15 y 4 (3, 4) = O oldu undan = 3, 4 vektörü (-3, 2) bafllang ç noktas 0 (0, 0), bitim noktas (3, 4) olan vektördür. -3 O 1 3 x öylece O = vektörü çizilmifl olur. ve vektörleri de ayn flekilde gösterilir. ( -3 (1, -3) (fiekil 4.32). fiekil 4.32 ÖRNEK 16: ( 1, 2) ve (-3, 4) noktalar veriliyor. ve vektörlerinin yer vektörlerini bulal m. u vektörlerin durumlar n aç klayal m. ÇÖZÜM 16: a) vektörünün yer vektörü P 1 olsun. = P 1 = x - x, y - y oldu undan, P 1 = -3-1, 4-2 ; P 1 = -4, 2 dir. b) vektörünün yer vektörü P 2 olsun. = P 2 = x - x, y - y oldu undan P 2 = 1+ 3, 2-4 ; P 2 = 4, -2 dir. urada, P 1 = -P 2 ve = - oldu u görülür. O halde, bu vektörler z t vektörlerdir. II. ki Vektörün Eflitli i : iki konum vektörünün eflit olmas için gerek ve yeter flart, bunlar n hem x bileflenlerinin hem de y bileflenlerinin eflit olmas d r. = x 1,y 1 ve = x 2,y 2 vektörleri veriliyor. = olmas için, x 1 = x 2 ve y 1 = y 2 dir. ÖRNEK 17: = a + 1, 4 ve = -1, b + 2 vektörleri veriliyor. = ise, a ve b reel say lar n bulal m. 103

20 ÇÖZÜM 17: = olmas için gerek ve yeter flart. a + 1 = - 1 ise a = -2 dir. b + 2 = 4 ise b = 2 olur. III. ir Vektörün Uzunlu u (Normu) a. fiekil 4.33'te, = x, y yer vektörü veriliyor. O uzunlu una vektörün uzunlu u (normu) denir. O = ile gösterilir. OH dik üçgende pisagor teoremine göre; = x 2 + y 2 birimdir. y y y (x, y) P O x H x O P x fiekil 4.33 fiekil 4.34 Yer vektörün uzunlu u (normu), yer vektörünün bileflenlerinin kareleri toplam n n kareköküne eflittir. b. fiekil te verilen bafllang ç noktas (x 1, y 1 ) ve bitim noktas (x 2, y 2 ) olan vektörünün konum vektörünün uzunlu unu (normunu) hesaplamak için, daha önce oldu u gibi, = OP = x 2 - x y 2 - y 2 1 birim olarak bulunur. ÖRNEK 18: = ( 3, 4) olan = vektörünün uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 18: = 3, 4 ise = = 25 = 5 birim olur. ÖRNEK 19 : afllang ç noktas ( 1, 1) ve bitim noktas (1, 5) olan vektörünün uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 19: = x 2 - x y 2 - y 1 2 ifadesinden 104 = = = 16 = 4 birim olur.

21 7. NL T K DÜZLEMDE VEKTÖRLERLE LG L filemler I. ki Vektörün Toplam Düzlemde birleflenleri = x 1, y 1 ve = x 2, y 2 olan iki vektör veriliyor. u iki vektörün toplam + = x 1 + x 2, y 1 + y 2 dir. una göre, iki vektörün toplam n n birleflenleri, toplanan vektörlerinin bileflenlerinin toplam na eflittir. = 1 ÖRNEK, 4 ve 20: = 3, -2 = ise 1, 4 ve = 3, -2 ise + vektörünü bulal m. nalitik düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM 20 y = 1, 4 ve = 3, -2 ise, 4 (1, 4) = + = 1 + 3, 4-2 = (4, 2) olur. 2 (4, 2) fiekli analitik düzlemde göstermek istersek (fiekil 4.35) te, O paralelkenar nda O (0, 0), (3, -2), (4, 2) ve (1, 4) noktalar, paralel k e n a r n köfleleridir. ir paralelkenar n, karfl l kl köflelerinin koordinatlar, vektörlerin toplam na eflittir. O (3, -2) x fiekil 4.35 Toplama flleminin Özellikleri Düzlemde, ve herhangi üç vektör olsun. a. ki vektörün toplam yine bir vektördür. (Kapal l k özeli i) b. + + = + + (birleflme özeli i) c. + 0 = 0 + = (birim eleman özeli i) d. + - = - + = 0 olacak flekilde her bir vektörü için bir tek - vektörü vard r. (Ters eleman özeli i) e. + = + (De iflme özeli i) Vektörlerde toplama ifllemi bu befl özeli e sahip oldu u için vektörler k ü m e s i toplama ifllemine göre de iflmeli gruptur. 105

22 ÖRNEK 21: = 2, 1 vektörününün toplama ifllemine göre tersini bulal m. ÇÖZÜM 21: vektörünün toplama ifllemine göre tersi = x, y olsun. Tan ma göre, + = 0 olmal d r. + = 2, 1 + (x, y) = 2 + x, 1 + y = 0, x = 0 ise x = - 2 dir. 1 + y = 0 ise, y = - 1 dir. O halde, = 2, 1 vektörünün toplama ifllemine göre tersi = -2, -1 olur. II. ki Vektörün Fark Düzlemde = x 1, y 1 ve = x 2, y 2 vektörleri veriliyor. - = + - fleklinde yaz l r. - = x 1, y 1 + -x 2, -y 2 = x 1 - x 2, y 1 - y 2 bulunur. una göre, iki vektör ün far k n n bileflenler i, ç kar lan vektör ler in birleflenlerinin fark na eflittir. ÖRNEK 22: = 3, 5 ve = -1, 3 ise - vektörünü bulal m. ÇÖZÜM 22: - = , 5-3 = 3 + 1, 5-3 = 4, 2 olur. III. ir vektörün ir reel say ile çarp m Düzlemdeki bir = x, y v ektörünün k reel say s ile çarp m k. = k (x, y) = (kx, ky) fleklinde tan mlan r. k reel say s ile vektörünün çarp m olarak adland r l r. ÖRNEK 23 Düzlemde = 3, -2 vektörü veriliyor. 3, 1, -1 vektörlerini bulal m ÇÖZÜM 23 3 = 3 3, -2 = 9, -6 d r. 1 2 = 1 2 3, -2 = = -1 3, -2 = -3, 2 dir., -1 dir.

23 ir vektörün bir reel say ile çarp m na ait özellikler I. özelik: V ve m, n R olsun, a. m. n. = m.n b. m+n = m. + n. c. 1. = d. -1. = - e. 0. = 0 II. özelik:, V ve m R olsun. m. + = m. + m. dir. III. özelik:, V ve m R için m. = olsun, a. m > 0 ise ile ayn yönlü ve = m b. m < 0 ise ile ters yönlü ve = -m c. m = 0 ise = 0 olur. 8. K VEKTÖRÜN PRLELL Düzlemde s f rdan farkl ve vektörleri verilsin. // olabilmesi için, = k. eflitli ini gerçekleyen bir k reel say s n n varl na ba l d r. = x 1, y 1 ve = x 2, y 2 vektörleri birbirine paralel ise Tafl y c lar paralel olan vektörler de birbirine paraleldir. Paralel vektörlere Lineer ba ml vektörler denir. x 1, y 1 = k x 2, y 2 dir. x 1, y 1 = kx 2, ky 2 ise x 1 = kx 2 ve y 1 = ky 2 eflitli inden, x 1 x 2 = y 1 y 2 = k dir. uradan, x 2. y 1 - x 1. y 2 = 0 olur. ÖRNEK 24: Düzlemde = -3, -6 ve = 1, 2 vektörleri veriliyor. // oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 24: // olabilmesi için = k. eflitli ini sa layan bir k reel say s n n varl n göstermeliyiz. -3, -6 = - 3 1, 2 eflitli inde = -3. oldu undan, // olur. 107

24 ÖRNEK 25: Düzlemde = 2, 6 ve = 1, a+2 vektörleri veriliyor. // olsun. vektörünün uzunlu unu (normu) bulal m. ÇÖZÜM 25: // oldu undan 2 1 = 6 a + 2 a = 1 olur. O halde, 1, 3 tür. eflitli inden, 2a + 4 = 6 d r. vektörünün uzunlu u: = = 10 birim olur. 9. K VEKTÖRÜN D KL Düzlemde s f rdan farkl = x 1, y 1 ve y = x 2, y 2 vektörleri verilsin. (fiekil 4.36) ise, O O dir. (x 2, y 2 ) y 2 u vektörlerin e imleri m 0. m 0 = -1 dir. y 1 (x 1, y 1 ) uradan y 1 x 1. y 2 x 2 = -1 veya x 2 O x 1 x x 1.x 2 + y 1.y 1 = 0 olarak bulunur. ÖRNEK 26 fiekil 4.36 Düzlemde = 2 + a, 3 ve = 3, -5 vektörleri veriliyor. ise a reel say s n bulal m. ÇÖZÜM 26 ise x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 d r, 2+a = 0 oldu undan 6 + 3a - 15 = 0 ; 3a = 9 ; a = 3 olur R M VEKTÖR Uzunlu u bir birim olan vektöre birim vektör denir. = x, y vektörü için = x 2 +y 2 = 1 ise ; = x, y vektörü birim vektörüdür. uradan x 2 + y 2 = 1 olur. u denklem birim çember denklemidir. afllang ç noktas orijin, bitim noktas birim çember üzerinde herhangi bir nokta olan her vektör, birim vektördür.

25 ÖRNEK 27: irim çember üzerinde herhangi bir P cos θ, sin θ noktası için, OP vektörünün birim vektör oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 27: OP = x 2 +y 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 = 1 birim olur. O halde, OP = cos θ, sin θ vektörü birim vektörüdür. ÖRNEK 28: = 3 5, vektörünün birim vektör olup olmad n gösterelim. ÇÖZÜM 28: vektörünün birim vektör olmas için uzunlu u birbirim olmal d r. O = x 2 + y 2 = = = 25 = 1 = 1 birim olur. 25 O halde, vektörü birim vektörüdür. 11. R VEKTÖRÜ NORMLM vektörü s f rdan farkl birim vektör olsun. vektörü; uzunlu unun (normu) tersi ile çarp l rsa bu çarp m bir birim vektör olur. u iflleme vektörü normlama denir. 0 vektörünün norlanm fl ile gösterilir. O halde vektörünün normlanm fl 0 = 1. vektörüdür. = x, y vektörünün normlamas 0 = oldu undan, 0 = x x 2 +y 2, 0 vektörü y x 2 +y 2 olur. vektörü ile ayn do rultuda ve ayn yönlüdür. ir vektörü normlamaya ait özellikler: a. Her vektörün belirtti i do rultu ve yönde bir tek birim vektör vard r. b. 1 > 0 oldu undan ile vektörü ayn yönlü ve ayn do rultudad r. c. ile ayn yönlü birim vektör 0 = 1 vektörüdür. d ile ters (z t) yönlü birim vektör - 0 = - 1. vektördür. 109

26 ÖRNEK 29: = (-2, 1) vektörünün, vektörü ile ayn yönlü birim vektörünü bulal m. ÇÖZÜM 29: 0 = 1 = -2, 1 ise. = 1 5-2, 1 = - 2 5, 15 = = 5 birimdir. vektörü olur. ÖRNEK 30: = (1, -3) vektörünün vektörü ile z t (ters) yönlü birim vektörünü bulal m. 0 = - ÇÖZÜM 30: = 1, -3 ise = , -3 = -1 10, 3 10 = 1+9 = 10 birimdir. vektörü olur. 12. TEMEL R M VEKTÖRLER e 1 = 1, 0 ve e 2 = 0, 1 birim vektörlerini analitik düzlemde gösterelim. (fiekil 4.37) y e 1 = = 1 ve e 2 = = 1 dir. e 1 ve e 2 vektörlerine, temel birim vektörler (standart birim vektörler) denir. e 2 (0, 1) e 1 = 1, 0 ve e 2 = 0, 1 standart birim vektörlerinin lineer bileflimi olarak, = x, y = xe 1 + ye 2 biçiminde yaz l r. O e 1 (1, 0) x ÖRNEK 31 fiekil 4.37 = 3, 2, -1, 4 ve = (2, -3) vektörünün e 1 ve e 2 standart birim vektörlerinin lineer bileflimi olarak yazal m ve bileflenlerini bulal m. ÇÖZÜM = 3, 2 = 3e 1 + 2e 2 dir. = ( -1, 4) = - e 1 + 4e 2 dir. = ( 2, -3) = 2e 1-3e 2 dir. vektörünün birleflenleri, 3e 1 ve 2e 2 olur. vektörünün bileflenleri -e 1 ve 4e 2 olur. 1 2 vektörünün bileflenleri 2e 1 ve -3e 2 olur.

27 ÖRNEK 32 y = 2e 1 + 3e 2 ve = -2e 1 +4e 1 vektörleri veriliyor. u vektörleri reel say ikililileri biçiminde yazal m. u vektörleri analitik düzlemde gösterelim. (-2, 4) 3 4 (2, 3) ÇÖZÜM 32 = 2e 1 + 3e 2 = (2, 3) -2 O 2 x = -2e 1 +4e 1 = (-2, 4) vektörleri analitik düzlemde gösterilmifltir (fiekil 4.38). fiekil VEKTÖRLERDE L NEER IMLILIK, L NEER IMSIZLIK a ve b reel say lar, ve birer vektör olmak üzere, a +b = 0 eflitli i, a ve b say lar ndan en az biri, s f rdan farkl iken sa lan yorsa, ve vektörüne lineer ba ml vektörler denir. a + b = 0 ise a = - b ; = - b a ; = k (k R) yaz l r ki, bu durumda, // oldu u görülür. Vektörlerde lineer ba ml l a ait özelikler: a. Paralel vektörler lineer ba ml d r. b. S f r vektöründen farkl iki vektör lineer ba ml ise bu vektörler birbirine paraleldir. c. Düzlemde verilen veya vektörlerinden en az bir tanesi 0 vektörüne eflitse bu iki vektör lineer ba ml d r. ÖRNEK 33 = 2, 1 ve = -4, -2 vektörleri lineer ba ml olup olmad n araflt ral m. ÇÖZÜM 33 Tan mdan a +b = 0 ba nt s n sa layan a ve b gibi hiç olmasa bir tanesi s f rdan farkl reel say varsa lineer ba ml d r. a (2, 1) + b (- 4, - 2) = ( 0, 0) eflitli inden; (2a, a) + (- 4 b, - 2b) = (0, 0) 2a -4b = 0 a - 2b = 0 u denklem sisteminin sonsuz çözümü vard r. Denklem sistemi elde edilir. Meselâ: a = 2 için b = 1 dir. 111

28 u de erler denklem sisteminin çözümüdür. Öyleyse, = 2, 1 ve = -4, -2 vektörleri lineer ba ml d r. 14. VEKTÖRLER N L NEER LEfi M irbirine paralel olmayan ve her biri s f rdan farkl Her x, y R olmak üzere x + y vektörlerine ve (do rusal bileflimi) denir. ve vektörleri verilsin. vektörlerinin lineer bileflimi irbirine paralel olmayan ve her biri s f r vektöründen farkl iki vektör ile oldu una göre, her vektörü için, = x. + y. eflitli ini sa layan bir tane (x, y) s ral ikilisi vard r. x. vektörü ile y. vektörüne, vektörünün bileflenleri, vektörüne de x. ile y. vektörlerinin bileflkesi denir. ÖRNEK 34: = -2, 1 ve = -1, -2 vektörleri veriliyor. = -1, 8 vektörünü ve vektörlerinin bir lineer birleflini olarak yazal m. ÇÖZÜM 34: vektörünü ve vektörlerinin bir lineer bileflimi ise x. + y. = eflitli ini sa layan bir x, y s ral ikilisi vard r. x -2, 1 + y -1, -2 = -1, 8-2x, x + -y, -2y = -1, 8-2x -y, x - 2y = -1, 8 O halde s ral ikili -2x - y = - 1 2/ x - 2y = 8-2x - y = x - 4y = 16-5y = 15 y = - 3 tür. u de eri x - 2y = 8 denklemine uygularsak, x - 2(-3) = 8 x = 8-6 x = 2 dir. (2, - 3) tür. 112 = 2-3 olur.

29 15. VEKTÖRLERDE Ç ÇRPIM filem = x 1,y 1, = x 2,y 2 vektörleri için,. = x 1.y 1 + x 2.y 2 reel say s na ile vektörlerinin iç çarp m denir. ile vektörlerinin iç çarp m. ya da <.> sembollerinden biri ile gösterilir. ile vektörlerinin iç çarp m ifllemine skaler çarp m veya nokta çarp m ya da Öklid iç çarp m denir. Vektörlerde iç çarp m iflleminin özelikleri I. ç çarp m n simetri özeli i vard r. Her ve vektörleri için;. =. dir. II. ç çarpma ifllemi pozitif tan ml d r. Her vektörü için;. 0 d r. III. Her, ve vektörleri ve k R için; a. k. = k. = k dir. b. + =. +. dir. c. +. =. +. dir. Vektörlerden biri s f r vektörü ise, iç çarp m s f rd r. ncak, iç çarp m s f r ise, vektörlerden hiçbiri s f r vektörüne eflit olmayabilir. ÖRNEK 35: = 1, 2 ve = 3, 2 vektörleri veriliyor. ve vektörlerinin iç çarp m n bulal m. ÇÖZÜM 35:. = = = 7 olur. ÖRNEK 36: de erini bulal m. ÇÖZÜM 36: = 4, 2, = a, 3 ve. = 4.a = 10. = 10 oldu una göre, a n n 4a + 6 = 10 4a = 4 ise a = 1 olur. 113

30 16. K VEKTÖR RSINDK ÇI nalitik düzlemde s f r vektöründen farkl a ve b vektörleri verilsin (fiekil 4.39) da, a y a = O ve b = O (0, 180 ) aral nda bulunan O aç s na, a ve b vektörleri aras ndaki aç denir. ç n n ölçüsü θ ise, Öklid iç çarp m a. b = a. b cos θ uradan cos θ = a. b a. b yer vektörlerini çizelim. fleklinde yaz l r. eflitli i ile bulunur. I. s f rdan farkl a ve b vektörlerinin iç çarp m, bu vektörlerin uzunluklar ve aralar ndaki aç n n kosinüsü çarp m na eflittir. II. ki vektör aras ndaki aç n n kosinüsü, bu vektörlerin iç çarp m n n, uzunluklar çarp m na bölünmesi ile bulunur. b O θ fiekil 4.39 x ÖRNEK 37: u vektörler aras ndaki aç n n ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM 37: cos θ = a = 2 3, 2 ve b = 1, 3 vektörleri veriliyor. cos θ = a. b a. b ifadesinden = cos θ = = 3 2 dir. cos θ = 3 2 ise θ = 30 olur. Sonuçlar: Düzlemde herhangi iki vektör a ve b, bu vektörlerin aras ndaki aç n n ölçüsü de θ olsun. I. a // b olsun. u durumda; a. Vektörler ayn yönlü ise, θ = 0 dir. 114 a. b = a. b cos θ ifadesinde, a. b = a. b cos 0 ve cos 0 = 1 oldu undan, a. b = a. b olur.

31 b. Vektörler ters (z t) yönlü ise θ = 180 dir. a. b = a. b cos 180 ve cos 180 = - 1 oldu undan, a. b = - a. b olur. II. a b olsun. u durumda θ = 90 dir. a. b = a. b cos 90 ve cos 90 = 0 olduğundan, a. b = 0 olur. III. a ve b vektörler aras ndaki aç 0 < θ 180 olsun. u durumda, a. b = a. b cos θ ifadesinden cos θ = a. b a. b olur. ki vektör birbirine dik ise, iç çarp mlar s f rd r. Karfl t olarak, s f r v e k t ö r ü n d e n farkl iki vektörün iç çarp mlar s f r ise, bu vektörler birbirine diktir. ÖRNEK 38: değerini bulalım. ÇÖZÜM 38: = 1, 2 ve 4, m-3 vektörleri birbirine dik ise, m nin ise. = 0 olmal d r.. = (m -3 ) = 0 dan, 4 + 2m - 6 = 0 oldu undan, m = 1 olur. ÖRNEK 39: fiekil 4.40 daki, dik üçgeninde 2 = oldu unu vektörlerle gösterelim. ÇÖZÜM 39: özelli inden, ki vektörün toplam = + dir. Her iki taraf n kareleri al n rsa, fiekil = iç çarp m özelli inden ve oldu undan, 2 = cos 90 2 = = veya 2 = olur. 115

32 17. SHWRTZ (fiivrz) Efi TS ZL Her ve vektörlerinin iç çarp m,. =. cos θ şeklinde yazılır. cos θ 1 olduğundan, cos θ =.. ifadesinden,.. 1 d r. uradan.. olur. u eflitsizli e, Schwartz eflitsizli i ad verilir. ÖRNEK 40: = 2, 0 ve = 3, 4 vektörleri için Schwartz eflitsizli ini sa lad n gösterelim. ÇÖZÜM 40:. = = = 6 = 4+0 = 4 = 2 birimdir. = 9+16 = 25 = 5 birimdir. ulundu umuz bu de erleri Schwartz eflitsizli inde uygularsak, oldu u görülür. 18. GEOMETR K fiek LLER N LNLRI Vektörler yard m yla baz geometrik flekillerin alanlar n hesaplayabiliriz. y I. Paralelkenar n alan D Köflelerinin koordinatlar ; ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) ve D(x 4, y 4 ) olan paralel kenar n alan n bulal m. (fiekil 4.41) b θ a ile vektörleri aras ndaki aç θ o l s u n. O x = a = O - O = x 2 - x 1, y 2 - y 1 = b = O - O = x 3 - x 1, y 3 - y 1 dir. Vektörlerin iç çarp m ndan fiekil cos θ = a. b a. b dir

33 üçgenin alan na S dersek, S = 1 2 a. b. sin θ = 1 2 a b. 1 - cos 2 θ S = 1 2 a b. 1 - a. b 2 a 2. b 2 = 1 a 2.b 2 - a.b 2 2 unlar bileflenler cinsinden yaz p düzenlersek olur. S = 1 2 x 1 y 2 - y 3 +x 2 y 3 - y 1 + x 3 y 1 - y 2 birim karedir. una göre, paralelkenar n alan D = x 1 y 2 - y 3 +x 2 y 3 - y 1 + x 3 y 1 - y 2 birim karedir. Paralelkenar n alan n bulmak için yaln z üç köflesinin bilinmesi yeterlidir. ÖRNEK 41: Üç köflesinin koordinatlar (- 2, 0), (3, - 1) ve (0, 2) olan paralelkenar n alan n bulal m. ÇÖZÜM 41 Paralelkenar n alan = x 1 y 2 - y 3 +x 2 y 3 - y 1 + x 3 y 1 - y 2 ifadesinden, Paralelkenar n alan = ; Paralelkenar n alan = = = 12 birim karedir. II. Dikdörtgenin alan : Dikdörtgenin aç lar 90 oldu undan θ = 90 dir. cos 90 = 0 olduğundan a. b = 0 olur. u nedenle D dikdörtgenin alan = a 2. b 2 = a b birim karedir. III. Eflkenar dörtgen veya deltoidin alan Her iki dörtgenin de alan köflegenlerinin çarp m n n yar s na eflittir. e ve f eflkenar dörtgen veya deltoidin, köflegenlere ait vektörleri olmak üzere, e fl k e n a r dörtgen veya deltoidin alan = 1 2 e. f birim karedir. ÖRNEK 42: Köflelerinin koordinatlar O (0, 0), (2, -5), (0, 4) ve (2, 4) olan deltoidin alan n bulal m. (fiekil 4. 42) de, 4 y (2, 4) ÇÖZÜM 42 e = O = 0-0, 4-0 = 0, 4 tür. O e (0, 4) 2 4 x f = = 2-2, = 0, 9 dur. f e = = 16 = 4 birimdir. f = = 81 = 9 birimdir. -5 (2, -5) lan = 1 2 e. f = = 18 birim kare olur. fiekil

34 19. ÇEMER N VEKTÖREL DENKLEM I. Merkezi ve yar çap verilen bir çemberin vektörel denklemi Düzlemde sabit bir M (a, b) noktas ve yar çap r R + verilsin. Düzlemde herhangi bir nokta P(x, y) olsun (fiekil 4.43) y P(x, y) Çemberin vektörel denklemi MP = P - M = r P - M = x y - b 2 = r dir. P M(a, b) M Her iki taraf n karelerini al rsak, x y - b 2 = r 2 kartezyen denklemi elde edilir. O x M a, b merkezli, r yar çapl çember Ç= P x, y : MP = r = P x, y : MP 2 = r 2 fleklinde noktalar kümesidir. fiekil 4.43 ÖRNEK43:M (2, 3) merkezli, 5 birim yar çapl çemberin vektörel ve kartezyen denklemlerini yazal m. ÇÖZÜM 43: Çemberin vektörel denklem i MP = P - M = x y = 5 dir. u çemberin kartezyen denklemi: x y = 25 olur. II. Merkezi ve bir noktas verilen çemberin vektörel denklemi Çemberin merkezi M(a, b) ve çemberin geçti i nokta (x 1, y 1 ) olsun. (fiekil 4.44) de çemberin yar çap uzunlu u y (x 1, y 1 ) r = M = - M r = M = x 1 - a 2 + y 1 - b 2 birimdir. M(a, b) Çember üzerinde herhangi bir nokta P (x, y) olsun. MP = r olur. O P(x, y) x uradan, x - a 2 + y - b 2 = r 2 olarak bulunur. una çemberin kartezyen denklemi denir. 118 fiekil 4.44

35 ÖRNEK 44 Merkez M (3, 1) olan ve (-1, 4) noktas ndan geçen çemberin denklemini yazal m. ÇÖZÜM 44 Çemberin yar çap uzunlu u, r = M = = r = = 25 = 5 birimdir. stenilen çemberin denklemi x y = 25 olur. 20. DO RUNUN VEKTÖREL DENKLEM I. ki noktas verilen bir do runun vektörel denklemi (x 1, y 1 ) ve (x 2, y 2 ) gibi iki nokta ve do rusu üzerinde herhangi bir nokta P (x, y) olsun (fiekil 4.45) de: y P(x, y) = b - a ve P = p - a d r. p (x 2, y 2 ) P = λ λ R dir. P = λ b - a oldu undan, P noktas do rusu üzerindedir. una göre, ve noktalar ndan geçen do runun vektörel O b a (x 1, y 1 ) x denklemi: p = a + λ b - a d r. fiekil 4.45 ÖRNEK 45: (2, 3) ve (4, - 1) noktalar ndan geçen do runun vektörel denklemini bulal m. ÇÖZÜM 45: ve noktalar ndan geçen do runun vektörel denklemi p = a + λ b - a ; λ R dir. 2, 3 ve 4, -1 oldu undan b - a = 4, - 1-2, 3 = 4-2, = 2, -4 p = 2, 3 + λ 2, - 4 = x, y olur. tür. x = 2 + 2λ y = 3-4λ u denklem sisteminde, λ de erini yok edersek, 2λ = x - 2 ise -4λ = -2x + 4 tür. y = 3-4λ denkleminde uygularsak, y = 3-2x + 4 ten, y= -2x +7 veya 2x + y - 7 = 0 olur. 119

36 II. Verilen bir vektöre paralel olan ve verilen bir noktadan geçen do runun vektörel denklemi (x 1, y 1 ) noktas ndan geçen ve verilen u = u 1, u 2 vektörüne paralel olan do runun denklemini bulal m. k do rusunun do rultusu u = u 1, u 2 vektörüdür. (fiekil 4.46) da görüldü ü gibi, P = λ u λ R ise d// k dır. Do runun vektörel parametrik denklemi p = a +λu olur. y d k P(x, y) u(u 1, u 2 ) p a (x 1, y 1 ) O x fiekil 4.46 noktas ndan geçen ve k do rusuna paralel olan d do rusunun denklemi, d = P x, y ; p = a +λu, λ R noktalar kümesidir. ÖRNEK 46: (2, 4) noktas ndan geçen ve olan do runun denklemini bulal m. u = ( - 3, 1) vektörüne paralel ÇÖZÜM 46: Do ru üzerinde herhangi bir nokta P (x, y) olsun. (2, 4) noktas ndan geçen ve u = ( -3, 1) vektörüne paralel olan do runun parametrik denklemi p = a +λu λ R dir. x, y = 2, 4 +λ -3, 1 λ R dir. x = 2-3λ y = 4 + λ u denklem sisteminde, λ de erini yok edelim. y = 4 + λ denklemden λ = y - 4 olur. unu x = 2-3λ denklemde uygularsak 120 x = 2-3 (y - 4) olur. u denklemi sadelefltirirsek x = 2-3y + 12 den x + 3y - 14 = 0 olur.

37 ÖZET NL T K GEOMETR 1 * Yönlü do ru parças : afllang ç ve bitim noktas ile yönü belli olan do ru parçalar na yönlü do ru parças denir. fleklinde gösterilir. afllang ç ve bitim noktalar aras ndaki uzakl a yönlü do ru parças n n uzunlu u denir. sembolü ile gösterilir. Yönlü do ru parças n n üzerinde bulundu u do ruya tafl y c do ru denir. * Paralel yönlü do ru parçalar Yönlü do ru parçalar n n tafl y c lar çak fl k veya paralelse, paralel yönlü do ru parçalar denir. * Efl yönlü do ru parçalar : Do rultular, yönleri, uzunluklar ayn olan do ru parçalar na, birbirine efl yönlü do ru parçalar denir. * Vektörler: Düzlemdeki yönlü do ru parçalar n n kümesinde tan ml efllik ba nt s n n oluflturdu u denklik s n flar n her birine vektör denir. Genel olarak vektörler a, b, u, ϑ,... gibi gösterilir. * S f r vektörü : afllang ç ve bitim noktas ayn olan vektöre s f r vektörü denir. 0 =,,... fleklinde gösterilir. * Ters vektörler : Do rultular ayn yönleri ters olan vektörlere, ters (z t) vektörler denir. * ir vektörün normu: ir vektörün bafllang ç noktas ile bitim noktas aras ndaki uzakl a vektörün normu (büyüklü ü, uzunlu u) denir. = fleklinde gösterilir. * Vektörler kümesinde ifllemler 1. Toplama ifllemi: u ve ϑ vektörleri verilmifl olsun. u + ϑ vektörüne toplama ifllemi denir. Vektörler kümesi toplama ifllemine göre de iflmeli bir gruptur. 2. Ç karma ifllemi: u ve ϑ vektörleri verilmifl olsun. u ve ϑ fark na vektörlerde ç karma ifllemi denir. 3. ir reel say ile çarpma: vektörü ile k R verilsin. D = k fleklindeki iflleme bir vektörü reel say ile çarpma ifllemi denir. D vektörü için; k > 0 ise ayn do rultuda ve ayn yöndedir. k < 0 ise ayn do rultuda ve ters yöndedir. k = 0 ise, D s f r vektörüdür. 121

38 * Yer vektörü: nalitik düzlemde bulunan ve bafllang ç noktas orjinde olan bir vektöre yer (konum) vektörü denir. Uç noktalar (x 1, y 1 ) ve (x 2, y 2 ) ise, yer vektörü OP = P = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ) dir. * ki vektörün eflitli i : ki vektörün eflit olmas için bunlar n birinci birleflenleri ile ikinci birleflenleri birbirine eflit olmal d r. * ir vektörün uzunlu u : = x, y yer vektörünün uzunlu u (normu) : O = = x 2 +y 2 birimdir. * ki vektörün paralelli i : Düzlemde s f rdan farkl = x 1, y 1 ve = x 2, y 2 vektörleri birbine paralel ise x 1 = y 1 = k dir. Paralel vektörler y lineer ba ml x 2 y 2 vektörlerdir. x 1. y 2 - x 2. y 1 = 0 d r. * ki vektörün dikli i : Düzlemde s f rdan farkl = x 1, y 1 ve = x 2, y 2 y vektörleri birbine dik ise, y 1 x. y 2 1 x = - 1 veya x 1. x 2 +y 1. y 2 = 0 d r. 2 * irim Vektörler: Uzunlu u bir birim olan vektöre birim vektör denir. * ir vektörü normlama: vektörü, uzunlu unun tersi ile çarpr l rsa, bu iflleme vektörü normlama denir. 0 = 1. vektörüdür. * Temel birim vektörü: e 1 = 1, 0 ve e 2 = 0, 1 birim vektörlerine temel (standart) birim vektörler denir. * Vektörlerde lineer ba ml l k, lineer ba ms zl k: ve birer vektör, a ve b reel say lar olmak üzere, a + b = 0 Paralel vektörler lineer ba ml d r. eflitli i varsa vektörler lineer ba ml d r. * Vektörlerde iç çarpma ifllemi: = x 1, y 1 ve = x 2, y 2 vektörleri için y. = x 1. y 1 + x 2. y 2 reel say s na iç çarpma ifllemi denir.. ya da <. > fleklinde gösterilir. * ki vektör aras ndaki aç : nalitik düzlemde s f rdan farkl ve vektörler aras ndaki aç n n cosinüs de eri, cos θ =. eflitli i ile bulunur. 122

39 NL T K GEOMETR 1 LIfiTIRMLR 1. nalitik düzlemde, (1, -2) ve (4, 5) noktalar veriliyor. vektörünün yer (konum ) vektörünü bulunuz. 2. (3 5), (x, y) ve = (4, 1) ise, noktas n n koordinatlar n bulunuz , 5 ve -3-2 ise vektörünün uzunlu unu bulunuz. 5. = 3, -6 vektörü veriliyor = 0 ise vektörünün bileflenlerini bulunuz. 6. = -2, 4 ise = 3 vektörünü analitik düzlemde çiziniz. Sonucu aç klay n z = (2k, 3) vektörünün normu (boyu) 5 birim ise, k nin pozitif de erini bulunuz. 8. (1, - 1) ve (-2, 3) noktalar veriliyor. vektörü ile ayn yönde olan birim vektörünü bulunuz. 9. = 3, -1 ve = 2, 1 vektörleri veriliyor. u vektörler aras ndaki aç n n kaç derece oldu unu bulunuz. 10. = 4, 2 ve = 2, -4 vektörlerinin birbirine dik olup olmad n gösteriniz. 11. (1, 2), (3, 4), (3, 2) ve D (4, k) noktalar veriliyor. // D oldu una göre, k say s n bulunuz. 12. (2, 3), (1, - 2) ve (3, 1) noktalar veriliyor. = D oldu una göre, D noktas n n koordinatlar n bulunuz = 2, 4 ve = k, 3 dür.. = 18 oldu una göre k nin de erini bulunuz. 15. = 2, - 1, = -3, 4 ve = ise, vektörünü bulunuz. = 1, 3 ve = 2, 6 vektörleri lineer ba ml m d r? = 2 birim = 3 birim ve + = 5 birim oldu una göre,. çarp m n n de erini bulunuz. 16. = (3, 4) vektörünü standart taban vektörleri cinsinden yaz n z. 17. = (12, 5) vektörünü (birim vektör) normlay n z. Normlad n z vektörün boyunu hesap ediniz. 18. = (4, -3) vektörüne paralel olan birim vektörü bulunuz. 19. (1, 1), (-2, 3), (x, 2) ve D(1, 3) noktalar veriliyor. = vektörü, D vektörüne dik olmas için x kaç olmal d r? 2 0. Merkezi M (1, 2) ve yar çap uzunlu u 6 birim olan, çemberin denklemini yaz n z. 123

40 21. Merkezi M (3, 1) olan ve P (- 1, 4) noktas ndan geçen çemberin denklemini bulunuz. 22. (2, 1) noktas ndan geçen, u = ( 3, 5) vektörüne parelel olan do runun denklemini yaz n z. 23. E im aç s n n ölçüsü 30 olan ve orijinden 5 birim uzakta bulunan do runun denklemini yaz n z. 24. Köflelerinin koordinatlar (- 4, 6), (- 2, 8), (2, 4) ve D (0, 2) olan, D dörtgeninin bir dikdörtgen oldu unu gösteriniz. u dikdörtgenin alan n bulunuz. 25. Köflelerinin koordinatlar, (0, 1), (1, - 2), (2, 1) ve D (1, 4) olan, D dörtgenin bir eflkenar dörtgen oldu unu gösteriniz. u eflkanar dörtgenin alan n bulunuz. 124

41 NL T K GEOMETR 1 DE ERLEND RME TEST 4 3, 2, 2, 1 noktalar veriliyor. una göre, vektörü afla dakilerden hangisidir? ) (1, 1) ) (5, 3) ) (-1, -1) D) ( 4, 3) -3, 7 ve 2, -5 noktalar verililor. una göre, vektörünün uzunlu u kaç birimdir? ) 11 )12 ) 13 D) = 1, -2, = -3, 4 vektörleri veriliyor vektörünün bileflenleri afla dakilerden hangisidir? ) (-7, 8 ) ) (5, -6) ) (-4, 6) D) ( -2, 2) 4. = 5, -4, = x, y = -2, 3 vektörleri veriliyor. + = ise, x + y nin de eri kaçt r? ) 0 ) 2 ) 5 D) , 1 ve 3, -2 noktalar veriliyor. ile ayn yönde olan birim vektörü afla dakilerden hangisidir? ) (4, -3 ) ) 4 ) (3, - 4) D) 5, , ( 1, 2), (2, - 3) ve (2, 5) noktalar veriliyor. D noktas n n bileflenleri afla dakilerden hangisidir? = D oldu una göre, ) (3, -4 ) ) (1, -1) ) (-4, 3) D) (3, 4) 7. = 5, - 1, = 2, 3 ve = 1, -7 vektörleri veriliyor. m + n = oldu una göre, m + n nin de eri afla dakilerden hangisidir? ) -2 ) -1 ) 3 D) 5 8. = (-3, 7) ve = (2, 5) vektörleri aras ndaki aç n n ölçüsü kaç derecedir? ) 30 ) 45 ) 60 D) = (m+1, 2) ve = (1, 4) vektörleri birbirine dik ise, m kaçt r? ) 1 ) 3 ) 5 D) 7 125

42 10. = (2, -1) ve = (m, n + 2) vektörleri lineer ba ml ise, m ve n aras nda nas l bir ba nt vard r? ) m +2n + 4 = 0 ) m- n + 1 = 0 ) 2m + n - 2 = 0 D) 2m + 4n - 1 = = (2, 1) ve = (m+1, m -2) vektörleri paralel ise m kaçt r? ) 1 ) 3 ) 5 D) = 0 ise, ile vektörleri aras nda, afla daki ba nt lardan hangisi vard r? ) ) // ) = D) = 13. fla daki kümelerden hangisi lineer ba ms zd r? ) {(1, -3), (-1, 3)} ) {(2, 4), (4, 8)} ) {(3, 2), (2, 3)} D){(1, 2), (3, 6)} 14. = 8, 4 ve = 2, n vektörleri lineer ba ml ise kaç birimdir? ) 1 ) 2 ) 3 D) Denklemi, x - 2y + 3 = 0 olan do ruya paralel olan vektör afla dakilerden hangisidir? ) (1, -2) ) (2, 1) ) (1, 3) D) ( -2, 3) 16. Denklemi, x - 2y - 5 = 0 olan do ruya dik olan vektör afla dakilerden hangisidir? ) (1, 2) ) (-2, 1) ) (1, -2) D) ( 3, 2) 17. fiekilde m = 90 ve = 5 birim ise +D iç çarp m kaçt r? ) 20 ) 30 ) 40 D)

43 18. = 3 birim, = 6 birimdir. ve vektörleri aras ndaki aç 60 oldu una göre. afla dakilerden hangisidir? ) 6 ) 9 ) 12 D) = (2,3) ve = (3, 4) vektörleri veriliyor. una göre, +. - çarp m afla dakilerden hangisidir? ) -12 ) -10 ) - 8 D) = (3,1) vektörüne paralel olan ve (-3, 2) noktas ndan geçen do runun denklemi afla dakilerden hangisidir? ) x + 3y + 6 = 0 ) x - 3y + 9 = 0 ) 3x - y - 3 = 0 D) 2x - 3y + 4 = Köflelerinin koordinatlar ( 1, 3), (2, 4) ve ( 5, 0) olan üçgenin alan kaç birim karedir? ) 3 ) 7 2 ) 4 D) 22. Merkezi M (3, 1) ve yar çap n uzunlu u r = 4 birim olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? ) ) x y = 4 ) x y = 4 x y = 16 D) x y = Merkezi M (1, 3) olan ve P (4, 5) noktas ndan geçen çemberin vektörel denklemi afla dakilerden hangisidir? ) MP 2 = 7 ) MP 2 = 11 ) MP 2 = 13 D) MP 2 = Köflelerinin koordinatlar (0, 6), (2, 0), (11, 3) ve D (9, 9) olan D dikdörtgenin alan kaç birim karedir? ) 40 ) 50 ) 60 D) Köflelerinin koordinatlar (3, 4), (2, 2), (3, 0) ve D (6, 2) olan deltoitin alan kaç birim karedir? ) 4 ) 8 ) 16 D)

44 128

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2 VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D) Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f.

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

ÜN TE III L NEER CEB R

ÜN TE III L NEER CEB R ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak

Detaylı

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI 1999 ULUSL NTLY MTMT IK L IMP IYTI IR IN I ŞM SRULRI Lise 1- S nav Sorular 1. f1; ; 3; :::; 1999g kümesinin, eleman say s tek say olan kaç tane alt kümesi vard r? ) 1999 ) 1998 ) 1998-1 ) 999 ) hiçbiri.

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

ÜN TE I FONKS YONLAR

ÜN TE I FONKS YONLAR ÜN TE I FONKS YONLAR Fonksiyonlarla lgili Temel Kavramlar Eflit Fonksiyonlar Fonksiyon Türleri Birim Fonksiyon Sabit Fonksiyon Fonksiyonlar n Bileflkesi Bir Fonksiyonun Tersi Fonksiyonlarda fllemler Fonksiyonlar

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir.

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir. Kesirler MATEMAT K KES RLER pay kesir çizgisi payda kesri tane tir. Bu kesri beflte iki ya da iki bölü befl fleklinde okuruz. kesrinde, bütünün ayr ld parça say s n gösterir. Yani paydad r. ise al nan

Detaylı

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler Geometri Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler ncele, bul flekilleri Çemberleri, üçgenleri, Resimdeki kareleri. Dikdörtgen hangileri? C S MLER

Detaylı

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2: MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl

Detaylı

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,

Detaylı

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları:

Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları: Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1 Paralel yönlü doğru parçaları: 1 Örnek-2 Vektör: Örnek-3 Sıfır vektörü: Eşit vektörler: Örnek-4 Bir vektörü bir reel sayı

Detaylı

F Z K 3 ÜN TE II HAREKET

F Z K 3 ÜN TE II HAREKET ÜN TE II HAREKET 1. Bir Do ru Üzerinde Konum ve Yer De ifltirme 2. Düzgün Hareket 3. Ortalama H z ve Anî H z 4. Ortalama vme ve Anî vme 5. Sabit vmeli Hareket ÖZET Ö REND KLER M Z PEK fit REL M DE ERLEND

Detaylı

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve ) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam

Detaylı

= puan fazla alm fl m.

= puan fazla alm fl m. Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda

Detaylı

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar?

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : S v lar Ölçme Sütun Grafi i Olas l k TEST. 920 ml = L ml Yukar da verilen eflitli e göre + iflleminin sonucu kaçt r? A) 29 B) 60 C) 69 D) 9 2. Çiftçi Ak n bahçesinden

Detaylı

Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler

Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar. 259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK

Detaylı

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?

1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? ) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile

Detaylı

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam

Detaylı

kesri 3 tane Bu kesri yedide üç fleklinde okuruz. Yukar daki bütün 7 efl parçaya ayr lm flt r. Buna payda denir. 3

kesri 3 tane Bu kesri yedide üç fleklinde okuruz. Yukar daki bütün 7 efl parçaya ayr lm flt r. Buna payda denir. 3 Temel Kaynak Kesirler KES RLER kesri tane dir. Bu kesri yedide üç fleklinde okuruz. Yukar daki bütün efl parçaya ayr lm flt r. Buna payda denir. payda Bütünden al nan ya da belirtilen parça say s na ise

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

DO RUNUN ANAL T K NCELENMES

DO RUNUN ANAL T K NCELENMES II. ÖLÜM D RUNUN NL T K NELENMES Düzleme vea uzaa noktalar n erinin belirtilmesi amac la çeflitli sistemler gelifltirilmifltir. Geometrinin temel eleman olan nokta, sa ikilisi vea üçlüsüle temsil eilmifltir.

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim

Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim 3.2 Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim Zihinden Toplayal m ve Ç karal m 1. Afla da verilen ifllemleri zihinden yaparak ifllem sonuçlar n yaz n z. 50 YKr + 900 YKr = 300 + 300 = 998 100

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYILAR Kümeler 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Bir kümeyi modelleri ile belirler, farkl temsil biçimleri ile gösterir. Belirli bir kümeyi temsil ederken afla da belirtilen bafll

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI 1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

ÜN TE II. A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I

ÜN TE II. A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I ÜN TE II A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR 1. Do al Say lar n Çarpanlar ve Katlar 2. Bölünebilme Kurallar

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN Matematik. S n f 9 Ünite Bafllang ç Tarihi :... ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN Ünite Bitifl Tarihi :.... ÜNİTE EYLÜL GEOMETRİ UZAMSAL (DURUM-YER, DO RULTU-YÖN BEL RTEN) L fik

Detaylı

1. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r? 2. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r? 11. Dokuz basamakl en küçük tek do al say kaçt r?

1. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r? 2. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r? 11. Dokuz basamakl en küçük tek do al say kaçt r? Say lar ve fllemler. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r?. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r?. Sekiz basamakl en küçük do al say kaçt r?. Sekiz basamakl en büyük do al say kaçt r?. Dokuz basamakl

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı