T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 .C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00

2

3 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İlköğretim Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. E. Gökçe KOÇER 00, 4 Sayfa Jüri: Yrd. Doç. Dr. E. Gökçe KOÇER Doç. Dr. Süleyma SOLAK Doç. Dr. Cegiz ÇINAR Bu çalışmada, ortogoal olma özelliğie sahip Chebyshev poliomlarıı dört farklı türüü bazı temel özellikleri verilmiştir. Chebyshev poliomları ile adi diferasiyel deklemleri içere başlagıç değer problemlerii ümerik çözümleri içi yei yaklaşımlar taımlamıştır. Ayrıca ötelemiş Chebyshev poliomu ve bazı özellikleri kullaılarak dalga deklemie Chebyshev-au yötemi uygulamıştır. Aahtar Kelimeler: Chebyshev poliomları, Ötelemiş Chebyshev Poliomları, aylor açılımı, Diferasiyel deklemler, Chebyshev-au yötemi, Nümerik aaliz. i

4 ABSRAC Msc. hesis CHEBYSHEV POLYNOMIALS AND IS SOME APPLICAIONS NEJLA CALIK Selcuk Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Elemetary Educatio Advisor: Assistat Prof. E. Gokce KOCER 00, 4 Pages Jury: Assist. Prof. Dr. E. Gokce KOCER Assoc. Prof. Dr. Süleyma SOLAK Assoc. Prof. Dr. Cegiz CINAR I this study, some basic properties of the four kids of the orthogoal Chebyshev polyomials are give. New approaches for the umerical solutios of the iitial value problems are defied by Chebyshev polyomials. Also Chebyshev- au method is applied to the wave equatio by usig the Shifted Chebyshev polyomial ad its some properties. Key Words: Chebyshev polyomials, Shifted Chebyshev polyomials, aylor expasio, Differetial equatios, Chebyshev-au method, Numerical aalysis. ii

5 ÖNSÖZ Bu çalışma, Yrd. Doç. Dr. Emie Gökçe KOÇER tarafıda yöetilerek Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsüe Yüksek Lisas tezi olarak suulmuştur. Bu çalışma süresice bilimsel bilgi, düşüce ve öerileride yararladığım, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöete hocam Sayı Yrd. Doç. Dr. Emie Gökçe KOÇER e teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca e kötü zamalarımda desteğii bede esirgemeye ve her zama yaımda ola çok değerli arkadaşım Yusuf GÜREFE ye, babam Muharrem ÇALIK a, aem Hacer ÇALIK a, bütü aileme ve bilimsel çalışmalarım süresice maddi destekleride ötürü ÜBİAK-BİDEB e sosuz teşekkür ederim. Nejla ÇALIK KONYA, 00 iii

6 İÇİNDEKİLER.GİRİŞ....CHEBYSHEV POLİNOMLARININ ANIMI VE BAZI ÖZELLİKLERİ Birici Çeşit Chebyshev Poliomu İkici Çeşit Chebyshev Poliomu Üçücü Çeşit Chebyshev Poliomu Dördücü Çeşit Chebyshev Poliomu Ötelemiş Chebyshev Poliomları , U, V, W ötelemiş Chebyshev Poliomları Geel [ ab, ] aralığı içi Chebyshev Poliomları CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE NÜMERİK YAKLAŞIMLAR CHEBYSHEV AU MEODU İLE DALGA DENKLEMİNE UYGULAMA Ötelemiş Chebyshev Poliomlarıı İşlemsel Özellikleri... 8 SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR iv

7 - -.GİRİŞ Chebyshev poliomları ilk olarak ülü Rus matematikçi Pafuty Lvovich Chebyshev (8-894) tarafıda taımlamış ve ümerik aalizi etki matematikçileride ola Coreilus Laczos tarafıda da 930 lu yıllarda sayısal aalize uygulamaya başlamış ve pratik hesaplamalar kolaylıkla yapılmıştır. İlerleye yıllarda bilgisayarlar tekolojisii ve kullaımıı yaygılaşmasıyla bu gelişime ileri bir boyut kazadırılmıştır. Böylece Chebyshev poliom ve serilerii kullaımı üzerie yapıla çalışmaları sayısı hızla artmıştır. Özellikle, yaklaştırma teorisi, itegral deklemlerii yaklaşık çözümleri, fark deklemlerii yaklaşık çözümleri, iterpolasyo ve özellikle adi ve kısmi diferasiyel, itegral ve itegrodiferasiyel deklemleri yaklaşık çözümlerii bulmak içi Chebyshev poliomları kullaılmıştır. C. Laczos 938 yılıda yaptığı çalışmada bir poliom yaklaşımı ortaya koyarak yaklaştırma teoriside çok öemli bir adım atmıştır. Bu yaklaşımı ardıda adi diferasiyel deklemleri yaklaşık sayısal çözümleri üzerie başta C. W. Cleshaw (956; 957; 96) ve Sezer (985; 989; 996 vb.) olmak üzere pek çok matematikçi uygulama yapmıştır. Öte yada El-Gedi (969) doğrusal adi diferasiyel deklemler, itegral ve itegro diferasiyel deklemleri Chebyshev poliomlarıyla matris çözümleri içi yei yaklaşımlar ortaya koymuştur. Bu yaklaşım bilgisayar tekolojisiyle ortaya çıka programlama tekikleri ile üzeride çok fazla çalışıla bir kou halie gelmiştir. Cleshaw (957), Maso (967), Sezer (996) ve diğer pek çok bilim adamıı itegral ve itegro diferasiyel deklemleri çözümü içi yaptığı çalışmalar Chebyshev poliomlarıı öemii artırmıştır.

8 - - So yıllarda Degha (008) çeşitli doğrusal kısmi diferasiyel deklemleri sayısal çözümleri içi yei Chebyshev poliom yaklaşımları uygulamaktadır. Degha (009) ı bu yaklaşımlarıda e öemlisi ötelemiş Chebyshev poliomları ile geliştirile Chebyshev-au yötemidir. Bu tez çalışmasıı ikici bölümüde, Chebyshev poliomlarıı dört farklı çeşidii, ötelemiş Chebyshev poliomlarıı temel taım ve özellikleri verilmiş ve tezi üçücü bölümüde herbiri içi adi diferasiyel deklemleri sayısal çözümleri üzerie bazı yaklaşımlar ortaya koulmuştur. ez çalışmasıı dördücü bölümüde, Chebyshev-au poliomu ile doğrusal homoje olmaya dalga deklemie bir yaklaştırma yapılmış ve elde edile souçlar değerledirilmiştir. ezi so bölümüde ise, yapıla tüm uygulamalara yöelik olarak souç ve öeriler yer almaktadır.

9 CHEBYSHEV POLİNOMLARININ ANIMI VE BAZI ÖZELLİKLERİ Nümerik aalizde öemli uygulamaları ola Chebyshev poliomlarıı dört farklı türü bulumaktadır. Bu bölümde Chebyshev poliomlarıı her bir türüü ve ötelemiş Chebyshev poliomlarıı taımı, içerdiği reküras bağıtıları, türev ve itegral kavramları ile ilgili bazı özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu kavramlarla ilgili bazı teoremler ele alımıştır... Birici Çeşit Chebyshev Poliomu aım..: 0, [,] x olmak üzere, cos( cos ) x = arc x (.) ile taımlaa polioma birici çeşit Chebyshev poliomu deir (Suli ve Mayers 003). Eğer (.) de x = cosθ alıırsa cos formülü elde edilir (Maso ve Hadscomb 003). x = θ (.) Chebyshev poliomları trigoometrik foksiyolar ile taımladığıda θ değişkei [ π, π ] aralığıdadır. Böylece x değişkei [,] aım..: x = cosθ, Z olmak üzere aralığıda taımlaır. cosθ + isiθ = cos θ + isi θ (.3) şeklide taımlaa ifadeye De Moivre formülü deir ( Maso ve Hascomb, 003). buluabilir: x değerleri (.) de buluabileceği gibi (.3) de de aşağıdaki gibi i) π θ π içi x = cosθ ve taımıda ( cosθ + isiθ) = ( x+ i x ) θ = olmak üzere biom açılımı si x 0 = x + x i x + x i x i x

10 - 4 - formülü elde edilir. Burada + i = x + x i x + x ( x ) + cos θ si θ... + formülüe ulaşılır. (.4) düzeleerek ve ( x ) = x + x ( x ) + x ( x ) cos θ... 3 = x x + x x + 3 bağıtıları elde edilir. Bu bağıtılar kullaılarak 3 si θ... cos x = θ = x + x ( x ) ( x ) formülüe ulaşılır. Burada da 0,,... poliomları elde edilir. (.4) (.5) (.6), ( = 0,,... ) (.7) = içi ablo. de verildiği gibi ( x ) ablo. Birici çeşit Chebyshev poliomları ( x ) 0 x x 3 3 4x 3x 4 4 8x 8x x 0x + 5x x 48x + 8x M M eorem..: 0 Hadscomb 003). olmak üzere = ve = dir (Maso ve

11 - 5 - eorem..: Birici çeşit Chebyshev poliomu i Biet formülü şeklidedir (Siwell 004). ( x+ x ) + ( x x ) α + β = = (.8) eorem..3: ( x ), birici çeşit Chebyshev poliomu olmak üzere dir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.8) de k k k = 0 k (.9) = ( ) x x x = K + x x x x x x x 0 dir. Burada da formülü elde edilir. K 0 + x x x + x x + x = x + x x x 0 eorem..4: reküras bağıtısı ve [,] = ( x ) x k = 0 k k k x ike birici çeşit Chebyshev poliomları içi x = x x x (.0) şeklide taımlıdır (Maso ve Hadscomb 003). İspat: rigoometrik döüşüm formülleride kullaılarak ( ) cos θ = cos θ + θ = cosθ cos θ siθsi θ, ( ) = (( ) ) = ( ) + ( ) cos θ cos θ θ cosθ cos θ siθsi θ cos θ = cosθ cos θ cos θ

12 - 6 - elde edilir. (.) bağıtısıda reküras bağıtısıa ulaşılır. = x x x x [,] aralığıda. derecede bir Chebyshev poliomu Chebyshev kökler olarak adladırıla farklı köke sahiptir. aım..3: Chebyshev poliomlarıı kökleri iterpolasyo poliomlarıdaki düğüm oktalarıdır. Bu düğüm oktalarıa Chebyshev düğümleri deir (Maso ve Hadscomb 003). aım..4: x değerleri ve [,] x içi birici çeşit Chebyshev poliomuu sıfır yapa kπ xk = cos, ( k = 0,,..., ) (.) formülü ile hesaplaır (Maso ve Hadscomb 003). eorem..5: [,] itegrali x ve x = cosθ içi birici çeşit Chebyshev poliomuu x x + şeklidedir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: x = cosθ içi + x dx= (.) dx = siθdθ olur. Bu bağıtı kullaılıp (.) deklemii her iki tarafıı itegrali alıarak = cos θ si x dx θdθ eşitliği, trigoometrik döüşüm formülleri kullaılarak da dx= ( si ( + ) θ si ( ) θ) dθ ( + ) θ ( ) cos cos θ = + + x x = + ifadesi elde edilir. Burada da aşağıdaki itegral formülü elde edilir.

13 x x, + x dx=, =. 4. İkici Çeşit Chebyshev Poliomu aım..: [,] x ve x = cosθ içi, ( + ) si θ U = (.3) siθ şeklideki polioma ikici çeşit Chebyshev poliomu deir ( Maso ve Hadscomb 003). İkici çeşit Chebyshev poliomuu elemalarıda birkaçı ablo. de verilmiştir. ablo. İkici çeşit Chebyshev poliomları U ( x ) 0 x 4x 3 3 8x 4x 4 4 6x x x 3x + 6x x 80x + 4x M M eorem..: U İkici çeşit Chebyshev poliomuu Biet formülü U şeklidedir (Siwell 004). ( x x ) ( x x ) α β + = = α β x (.4)

14 - 8 - eorem..: U ( x ), ikici çeşit Chebyshev poliomu olmak üzere dir (Siwell 004). İspat: (.4) de + k k = ( ) k = 0 k + U x x x (.5) K U () x = x x x x x x x x x ( x ) + x ( x ) K ( x ) x K + + = x x x + + ( x ) + K x x x x 3 + = = x + x x + + x 3 + = + k x k = 0 k + olur. Dolayısıyla dir. K ( x ) eorem..3: ve x = cosθ içi dir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.3) de U dir. Burada k + k k = ( ) k = 0 k + U x x x U x = xu x U x (.6) si ( + ) θ si θ =, U =, U siθ siθ ( + ) θ ( ) si si θ U + U = + siθ siθ ( ) si θ = siθ

15 - 9 - dir. Dolayısıyla elde edilir. aım..: x değerleri cosθ siθ = siθ = xu x ve [,] = U x xu x U x x içi ikici çeşit Chebyshev poliomuu sıfır yapa ( k + ) ( + ) π xk = cos dir (Maso ve Hadscomb 003). eorem..4: [,] itegrali, ( k 0,,..., ) = (.7) x ve x = cosθ içi ikici çeşit Chebyshev poliomuu dir ( Maso ve Hadscomb 003). İspat: x = cosθ içi + + U x dx= (.8) dx = siθdθ (.9) olur. (.3) de her iki tarafı itegrali alııp (.9) kullaılırsa elde edilir. Dolayısıyla dir. ( + ) si θ U dx= siθdθ siθ U ( + ) cos θ = + + = + + x dx= +

16 - 0 - eorem..5: [,] x ve x = cosθ içi ikici çeşit Chebyshev poliomuu türevi d U dx dir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.3) ve (.9) da dir. Burada olur. eorem..6: [,] ( x ) = ( + ) xu + x ( + ) cos( + ) si cos si ( + ) d θ θ θ θ U ( x ) = dθ dx si θ ( + ) ( + ) ( + ) cos θsiθ cosθsi θ = dx si θ siθ = = ( ) ( ) ( + ) si θ + cos + θ cosθ siθ dx si θ ( + ) + x xu x dx x d U dx ( x ) = ( + ) xu + x (.0) x ve x = cosθ içi birici çeşit ( x ) Chebyshev poliomuu türevi d ( x ) = U ( x ) (.) dx dir ( Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.) ve (.9) da ( si θ ) x dx= dθ si θ = dx siθ = U x dx olur. Dolayısıyla birici çeşit Chebyshev poliomu x i türevi olarak elde edilir. d x U x dx =

17 - -.3 Üçücü Çeşit Chebyshev Poliomu aım.3.: [,] x ve x = cosθ içi, V cos + θ = (.) cos θ şeklideki polioma üçücü çeşit Chebyshev poliomu deir ( Maso ve Hadscomb 003). eorem.3.: ve x = cosθ içi V x = xv x V x (.3) dir. İspat: rigoometrik döüşüm formülleride yararlaılarak teorem ispatlaır. cos+ θ + cos + θ = cosθ cos + θ ( ) θ cos+ θ + cos + θ cos cosθ = cos θ cos θ eşitliği söz kousudur. Bu eşitlik kullaılarak V x = xv x V x, =,3,... formülü buluur. Üçücü çeşit Chebyshev poliomuu elemaları (.) de buluabileceği gibi (.3) de de buluabilir. Üçücü çeşit Chebyshev poliomuu ilk birkaç elemaı ablo.3 de verilmiştir.

18 - - ablo.3 Üçücü çeşit Chebyshev poliomları V ( x ) 0 x 4x x 3 3 8x 4x 4x x 8x x + 4x x 6x 3x + x + 6x x 3x 80x + 3x + 4x 6x M M aım.3.: yapa x değerleri ve [,] x k x içi üçücü çeşit Chebyshev poliomuu sıfır k π = cos 3 + dir (Maso ve Hadscomb 003). eorem.3.: [,], ( k,,..., ) = + (.4) x ve x = cosθ içi üçücü çeşit Chebyshev poliomuu itegrali + dir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.), (.9) ve trigoometrik döüşüm formülleride + V x dx = (.5) cos + θ V = siθdθ cos θ θ θ cos θ cos si θsi siθ = dθ θ cos ( si si ) = + θ θ dθ

19 - 3 - olur. Burada da elde edilir. V ( + ) cos θ cos θ = + x dx + = + x x.4 Dördücü Çeşit Chebyshev Poliomu aım.4.: [,] x ve x = cosθ içi, W si + θ = (.6) si θ şeklideki polioma dördücü çeşit Chebyshev poliomu deir (Maso ve Hadscomb 003). eorem.4.: ve x = cosθ içi W x = xw x W x (.7) dir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: rigoometrik döüşüm formülleride si + θ + si + θ = cosθsi + θ döüşüm formülü kullaılırsa içi =, ( ) W x xw x W x elde edilir. Dördücü çeşit Chebyshev poliomuu elemaları (.6) da buluabileceği gibi (.7) de de buluabilir. Dördücü çeşit Chebyshev poliomuu ilk birkaç elemaı ablo.4 de verilmiştir.

20 - 4 - ablo.4 Dördücü çeşit Chebyshev poliomları W ( x ) 0 x + 4x + x 3 3 8x + 4x 4x x + 8x x 4x x + 6x 3x x + 6x x + 3x 80x 3x + 4x + 6x M M aım.4.: yapa x değerleri ve [,] dir (Maso ve Hadscomb 003). eorem.4.: [,] x içi dördücü çeşit Chebyshev poliomuu sıfır kπ x = cos k +, ( k,,..., ) = (.8) x ve x = cosθ içi dördücü çeşit Chebyshev poliomuu itegrali + dir (Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.6), (.9) ve trigoometrik döüşüm formülleride + W x dx = (.9) si + θ W = siθdθ si θ θ θ si θcos + cos θsi siθ = dθ θ si ( si si cos cos si ) = θ + θ θ + θ θ dθ

21 - 5 - olur. Burada elde edilir. W ( ) cos θ cos + θ = + x dx + = + x x.5 Ötelemiş Chebyshev Poliomları.5., U, V, W Ötelemiş Chebyshev Poliomları aım.5..: [ 0, ] aralığıda işlem yapmaı [,] aralığıda işlem yapmakta daha uygu olduğu durumda [,] aralığıdaki s değişkei [ 0, ] aralığıdaki bağımsız x değişkeie s = x x= + s bağıtısı kullaılarak döüştürülür. Bu döüşüm [ 0, ] aralığıda taımlı x değişkeie bağlı. derecede = ( s) = ( x ) (.30) poliomua birici çeşit ötelemiş Chebyshev poliomu deir (Maso ve Hadscomb 003). (.) de değerleri = 0,,,3,... içi ablo.5 de verilmiştir.

22 - 6 - ablo.5 Ötelemiş Chebyshev poliomları 0 x 8x 8x x 48x + 8x x 56x + 88x + 40x x + 6x 3x x + 6x x + 3x 80x 3x + 4x + 6x M M eorem.5..: ve x = cosθ içi dir (Maso ve Hadscomb 003). eorem.5.. ve x = cosθ içi ( ) x = x x x, (.3) eşitliği sağlaır (Maso ve Hadscomb 003). İspat: (.) kullaılarak aşağıdaki gibi ispat tamamlaır. x = x (.3) θ ( θ) ( θ) x = cos = cos = cos = x = x. Bezer şekilde U, V, W ötelemiş Chebyshev poliomları içi eşitlikleri vardır. = = ( ) U s U x U x = = ( ) V s V x V x = = ( ) W s W x W x

23 Geel [ ab, ] aralığı içi Chebyshev Poliomları Bir öceki bölümde [ 0, ] aralığı dikkate alıarak ötelemiş Chebyshev poliomları taımlamıştı. Bu kısımda, daha geel olarak x i [ ab, ] aralığıı s 'i [,] aralığıa uygu hale getirerek x ( a+ b) s = (.33) b a lieer döüşümü altıda bir Chebyshev poliomu taımlaacaktır. s değeri (.33) ile taımlaırke, Chebyshev poliomları ( s), U ( s), V ( s ) ve W s şeklidedir. Örek.5...: [, 4 ] aralığıda taımlaa 3. derecede Chebyshev poliomu aşağıdadır. 3 x 5 x 5 x 5 3 s 3 x x x = = 4 3 = ( ).

24 CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE NÜMERİK YAKLAŞIMLAR Bilim ve mühedislikte karşılaşıla problemleri matematiksel modellemeside klasik türevlere bağlı diferasiyel deklemler kullaılmaktadır. Bu bölümde adi diferasiyel deklemleri çözümlerie yöelik olarak Chebyshev poliomlarıı çeşitleri ile yaklaşık ümerik çözüm yötemleri geliştirilmiştir. Bu ümerik yötemler aylor-maclauri seri açılımı ve Chebyshev poliomları kullaılarak taımlamıştır. Bu yötemler kullaılarak bir başlagıç değer problemi çözülmüş ve elde edile sayısal çözümler ile gerçek çözümler karşılaştırılmıştır. Matematikte, foksiyo veya foksiyoları ve oları herhagi bir değişkee bağlı türevlerii içere deklemler adi diferasiyel deklemlerdir. Chebyshev poliomlarıı dört çeşidi de kullaılarak adi diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri elde edilmiştir. aım 3.: 0 k olmak üzere [ ] x x kapalı aralığıda k. mertebeye kadar diferasiyelleebilir f ( x ) foksiyouu aylor açılımı 0, x x 0 k x x0 + ' + '' + + f x f x0 f x0 x x0 f x0 L f x0 (3.)! k! şeklide taımlaır. aylor açılımıı geelleştirilmiş formülü dır (Maso ve Hadscomb 003). k () i x x0 0 i= 0 i! i f x f x (3.) aım 3.: k 0 ve x 0 = 0 içi (3.) formülü düzelediğide x x 0 k x x0 = 0 + ' 0 + '' f x f f x x0 f L f (3.3)! k! ve (3.) formülü düzelediğide ise (3.3)' ü geelleştirilmiş formülü x 0 = 0 içi k () i x pk x = f 0 (3.4) i= 0 i! şeklidedir. Bu bağıtı aylor-maclauri açılımı olarak adladırılabilir (Maso ve Hadscomb 003). i k k

25 - 9 - k eorem 3.: [,] aralığıda f = x foksiyoua yaklaştırıla derecede birici çeşit Chebyshev poliomu içi; k. k pk = pk k, k! k, (3.5) ikici çeşit Chebyshev poliomu içi; k pk = pk Uk, k! k, (3.6) üçücü çeşit Chebyshev poliomu içi; k pk = pk Vk, k! k, (3.7) dördücü çeşit Chebyshev poliomu içi ise; k pk = pk Wk, k (3.8) k! şeklide taımlamaktadır (Maso ve Hadscomb 003). aım 3.3: f türevleebilir bir foksiyo, x 0 başlagıç değeri olmak üzere dy (, ), f xy yx0 y0 dx = = (3.9) şeklide taımlaa probleme başlagıç değer problemi deir. Bu kısımda bir başlagıç değer problemi ele alıacaktır. Bu başlagıç değer problemii her iki tarafı [, ] x x + aralığıda itegre edilerek x+ x+ x dy dx = f ( x, y ) dx dx x x+ x+ x x (, ) dy = f x y dx x+, x y = y + + f x y dx (3.0) bağıtısı elde edilir. (3.0) itegral deklemideki f (, ) xy foksiyoua yaklaşık eşit olduğu kabul edile yai, f ( xy) p biçimideki p, k (3.5), (3.6), (3.7) ve (3.8) de yararlaılarak buluur. Buradaki p k k poliomu x poliomları

26 - 0 - (3.4) te,, U, V ( x ) ve W k k k k x Chebyshev poliomları ise trigoometrik foksiyolar kullaılarak taımlaa reküras bağıtıları ile elde edilir. pk poliomları (3.0) bağıtısıda f (, ) xy foksiyouu yerie yazılarak diferasiyel deklemi yaklaşık sayısal çözümlerii vere algoritmalar elde edilir. Böylece diferasiyel deklemdeki y + değerleri sırasıyla k =,,3,... içi aşağıdaki bağıtı kullaılarak hesaplaabilir: x+ + k x y = y + p x dx. (3.) (3.5), (3.6), (3.7), (3.8) ve (3.) bağıtıları kullaılarak birici çeşit Chebyshev poliomları içi; x+ k y+ = y + pk k dx k!, (3.) x ikici çeşit Chebyshev poliomları içi; x+ k y+ = y + pk U dx k!, (3.3) x üçücü çeşit Chebyshev poliomları içi; x+ k y+ = y + pk V dx k!, (3.4) x dördücü çeşit Chebyshev poliomları içi ise; bağıtıları elde edilir. Örek 3.: 0, h = ve y x+ k y = y + p W dx (3.5) + k k! x 0 = başlagıç şartı altıda taımlaa y ' = f x, y = e foksiyouu ümerik çözümüü Chebyshev poliomlarıı dört çeşidi içi geliştirile yötem ile hesaplayalım. Çözüm: Örek 3. de verile başlagıç değer problemii bir tam çözümü x e y x x = (3.6) foksiyoudur. Burada Chebyshev poliomlarıı dört çeşidi içi de elde edile sayısal souçlar icelemiştir.

27 - - a) (3.5) kullaılarak birici çeşit Chebyshev poliomları içi aşağıdaki gibi ablo 3. elde edilir. ablo 3. Birici çeşit Chebyshev poliomları içi p k p k 5 x M x 9x x 5x x x 7x x 383x k x x + x x + x M yaklaşımları ablo 3. deki poliomlar (3.) de yerie yazılarak 0 olmak üzere değerleri sırasıyla; i) k = içi; ii) k = içi; iii) k = 3 içi; iv) k = 4 içi; y y h = +, + y ( ) 5 + = y + x+ + x h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, y +

28 - - v) k = 5 içi; y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, vi) k = 6 içi; y = y x x + x x + x x x x + ( x ) + + x h+ h 3040 şeklide elde edilir b) (3.6) kullaılarak ikici çeşit Chebyshev poliomları içi aşağıdaki gibi ablo 3. elde edilir. ablo 3. İkici çeşit Chebyshev poliomları içi p k p k 9 x M x 3x x 7x x x x x 639x k x x + x + x + x M yaklaşımları ablo 3. deki poliomlar (3.) de yerie yazılarak 0 olmak üzere değerleri sırasıyla aşağıdaki gibi hesaplaır: i) k = içi; y y h = +, + y +

29 - 3 - ii) k = içi; iii) k = 3 içi; iv) k = 4 içi; y ( ) 9 + = y + x+ + x h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, v) k = 5 içi; y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, vi) k = 6 içi; y = y x x + x x + x x x x + ( x ) + + x h+ h c)(3.7) kullaılarak üçücü çeşit Chebyshev poliomları içi ablo 3.3 buluur. ablo 3.3 Üçücü çeşit Chebyshev poliomları içi p k p k k yaklaşımları M 3 5x x 3x x 7x 95x x x 59x 639x x 5x 39x 96x 768x M

30 - 4 - ablo 3.3 deki poliomlar (3.) de yerie yazılarak 0 olmak üzere y + değerleri sırasıyla; i) k = içi; ii) k = içi; iii) k = 3 içi; iv) k = 4 içi; 3 y = y + + h, y 5 ( ) 9 + = y + x+ + x h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, v) k = 5 içi; y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h h, vi) k = 6 içi; y = y x x + x x + x x x x ( x ) + + x h+ h şeklide elde edilir d) (3.8) kullaılarak dördücü çeşit Chebyshev poliomları içi aşağıdaki gibi ablo 3.4 elde edilir.

31 - 5 - ablo 3.4 Dördücü çeşit Chebyshev poliomları içi p k p k k yaklaşımları M 3x x 3x x 7x 97x x x 6x 639x x 5x 4x 959x 7679x M ablo 3.4 deki poliomlar (3.) de yerie yazılarak 0 olmak üzere değerleri sırasıyla; i) k = içi; ii) k = içi; iii) k = 3 içi; iv) k = 4 içi; v) k = 5 içi; y = y + + h, y 3 ( ) 9 + = y + x+ + x h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h+ h, y +

32 y+ = y + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ x ) + ( x+ + x) h h, vi) k = 6 içi; y = y x x + x x + x x x x ( x ) + + x h+ h şeklide elde edilir Örek 3. geliştirile algoritmalar ile çözülmüştür. Farklı çeşit Chebyshev poliomları ile elde edile sayısal çözümler problemi tam çözümleri ile ablo 3.5 te karşılaştırılmıştır.

33 - 7 - ablo 3.5 Chebyshev poliomlarıı dört çeşidi içi bulua souçlar ve tam çözüm am Çözüm Çeşit x k = k = k = 3 k = 4 k = Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit Çeşit

34 CHEBYSHEV AU MEODU İLE DALGA DENKLEMİNE UYGULAMA Bu bölümde Chebyshev au metodu ile aşağıdaki ikici mertebe dalga deklemii ümerik yaklaştırması yapılmıştır. u bilimeye bir çözüm foksiyou, f, g, g, h, h bilie foksiyolar ve α bilie pozitif sabit katsayı ike başlagıç koşulları ve Dirichlet sıır koşulları ile taımlı u x,0 = g x, 0 < x<l, (4.) u x,0 = g x, 0 < x<l, (4.) t u 0, t = h t, 0 < t τ, (4.3) u l, t = h t, 0 < t τ, (4.4) u u = α + f ( x, t), 0 < x< l, 0 < t < τ, (4.5) t x şeklideki lieer dalga deklemie Chebyshev au metodu uygulaacaktır. 4.. Ötelemiş Chebyshev Poliomlarıı İşlemsel Özellikleri aım.. de i x Chebyshev poliomuu x = cos icos x, x, (4.6) i şeklide olduğu bilimektedir. (4.)-(4.5) problemii işleme tabi tutmak içi taım bölgesii 0 ve h arasıdaki değerlere döüştürülmesi gerekir. Buu içi dır ve x h 0 ( x ) h h x = ( x ) (4.7) içi ötelemiş Chebyshev poliomuu 0 x h

35 - 9 - aralığı elde edilir. Böylece x değişkeie bağlı olarak ötelemiş Chebyshev poliomları h h x 0 = = x, x, h h 4x h h i+ = i i, i =,,... h şeklide taımlaır (Degha, 008). aım 4..: f ( x ), g ve egatif olmaya sürekli w( x ) foksiyoları, L [ a b ] Hilbert uzayıda taımlı olmak üzere b a 0, (4.8) w x f x g x dx = (4.9) ise f ve g foksiyolarıa ortogoaldir deir (Maso ve Hadscomb, 003). aım 4..: w( x ), f ( x ) ve g( x ), [, ] üzere b ab aralığıda taımlı foksiyolar olmak < f, g >= w x f x g x dx (4.0) a şeklide taımlaa bağıtıya f ve g foksiyolarıı iç çarpımı deir (Maso ve Hadscomb, 003). w = ağırlık foksiyou olmak üzere, (4.7) döüşümü ile ötelemiş x Chebyshev poliomları içi ağırlık foksiyou w = hx x şeklide taımlaır. Bua göre ötelemiş Chebyshev poliomlarıı ortogoallik şartı 0, i j h h h i j π dx =, i = j 0 (4.) 0 hx x π, i = j = 0. dır. Ötelemiş Chebyshev katsayılar vektörü

36 ve ötelemiş Chebyshev vektörü [,,... ] 0 m C = c c c (4.) h h h,,..., Φ =, (4.3) mh, 0 m olmak üzere herhagi bir y ( x ) foksiyoua ötelemiş Chebyshev poliomları aşağıdaki gibi yaklaştırılabilir. m h y = c = C Φ. (4.4) m j j m, h j= 0 Bezer şekilde Φ l ve Φ ( t) m,, τ, (4.3) deklemie uygu olarak taımlaa ötelemiş Chebyshev vektörleridir. 0 < x < l ve 0 < t τ içi taımlamış i bir u( x, t ) foksiyou ötelemiş Chebyshev poliomlarıı terimleride açılabilir. Ayrıca A ötelemiş Chebyshev katsayılar matrisi a00 a0... a0, m a0 a... a, m A = M M M M a,0 a,... a, m (4.5) şeklide verilsi. Bu durumda u( x, t ) foksiyouu ötelemiş Chebyshev poliom yaklaşımı m τ l (, ) = () =Φ () Φ u x t a t x t A l x (4.6) m, ij i j, τ m, i= 0 j= 0 olur. Horg (985), Ötelemiş Chebyshev poliomları içi itegrasyo işlemsel matrisi aşağıdaki gibi taımlamıştır: Burada P, mertebesi ola t Φ, ( t ) dt τ = PΦ, τ ( t). (4.7) 0

37 P = τ ( )( 3) 4( 3) 4( ) ( ) 4( ) işlemsel itegrasyo matrisidir. k bir tamsayı olmak üzere k kez itegrasyo (4.8) t t t k k... Φ, τ ()( t dt) = P Φ, τ () t (4.9) olur. Horg (985), Ötelemiş Chebyshev poliomlarıı türev özelliklerii aşağıdaki gibi vermiştir: l l dk + x 4 0 x l l l = ( k+ ) k + k , (4.0) dx l l d k x 8k = l k + l k l dx. (4.) l D işlemsel türev matrisi olmak üzere, (4.0) ve (4.) deklemleri kullaılarak m, Φ l vektörüü türevi dφ m, l dx = DΦ m, l (4.) şeklide taımlaır. D, mertebesi m m ola işlemsel türev matrisi

38 D = l m m m m ( m ) ( m ) ( m ) ( m ) m m m m ( m ) ( ) ( m ) ( ) + ( m ) ( ) ( m ) ( ) ( m ) 0 dir. Bezer şekilde k kez türev alıırsa bağıtısı elde edilir. d k Φ m, l k dx Lemma 4..: g ( x ) ve g yaklaştırması şeklidedir. m k = D Φm, l (4.3) x foksiyolarıa ötelemiş Chebyshev poliom = l, g g g x g x m i i i= 0 Ardıda 0 x l ve 0 t τ m = l (4.4) m i i i= 0 içi g ( x ) ve tg =Φ Φ l, tg ( t) H g x t E x m, τ m, x foksiyolarıa =Φ Φ l (4.5) m, τ m, şeklide bir yaklaştırma uygulaır. E ve H matrisleri sırasıyla g0 g K g, m E K =, (4.6) M M M M 0 0 K 0 ve biçimide elde edilir. İspat: (4.8) deklemi kullaılarak g0 g K g, m g0 g g, m H τ K = M M M M 0 0 K K τ 0 (4.7) = t (4.8)

39 ve τ τ τ τ t = 0 () t () t (4.9) bağıtıları yazılabilir. Burada aşağıdaki bağıtılar elde edilir: m τ g x = t g l x, (4.30) m 0 i i i= 0 Böylece m τ τ τ τ tgm = 0 () t () t gi l i (4.3) i= 0 m τ l τ l, tg h ( t) g x e t x = m ij i j i= 0 j= 0 m = m ij i j i= 0 j= 0 (4.3) olur. (4.30) ve (4.3) deklemleri ile ve h e 0 j j = g, e = 0, i=,,...,, j = 0,,..., m, 0 j j ij τ τ = g, hj = g j, h ij = 0, i =,3,...,, j = 0,,..., m. Böylece ispat tamamlamış olur. Başlagıç koşulları kullaılarak (4.5) deklemii her iki tarafıı 0 da t ye kadar itegrasyou ile bağıtısı elde edilir. t t t t t t (, ) = α (, ) + (, ) u x t dtdt u x t dtdt f x t dtdt tt xx t t t t t t u ( x, t) dt = α u ( x, t) dtdt+ f ( x, t) dtdt t xx t t t t t (, ) (,0) = α (, ) + (, ) u x t u x dt u x t dtdt f x t dtdt t t xx t t t t t t t xx (, ) (,0) = α (, ) + (, ) u x t tu x u x t dtdt f x t dtdt (, ) (,0) (,0) = α (, ) + (, ) t t t u x t u x tu x u x t dtdt f x t dtdt t t xx (, ) = α (, ) + (, ) t t u x t g x tg x u x t dtdt f x t dtdt t t (4.33) xx

40 (4.6) deklemie bezer olarak F, m tipide bilie bir matris olmak üzere f (, ) xt foksiyou (, ) f xt =Φ t FΦ l x (4.34) m,, τ m, şeklide elde edilir. (4.6) ve (4.7) deklemleri ile ve t t u x t dt t dta x t P A x (, ) = Φ Φ =Φ Φ l l (4.35) m,, τ m,, τ m, 0 0 t t t t formülleri buluur (Degha, 008). Bezer şekilde (4.7) ve (4.34) deklemleri kullaılarak um, ( x, t) dtdt = Φ, τdtdtaφ m, =Φ, τ ( t)( P ) AΦm, (4.36) l l t t fm, ( x, t) dtdt =Φ, ( t)( P ) FΦm, τ l (4.37) 0 0 bağıtısı ve ayrıca (4.6), (4.7) ve (4.) deklemleri kullaılarak ise (, ) u x t d dtdt dt dt A t t t t m, = Φ, τ Φ m, x dx l ()( t P ) AD =Φ Φ l (4.38), τ m, bağıtısı elde edilir (Degha, 008). Öte yada (4.6), (4.5), (4.37) ve (4.38) deklemleri kullaılarak (4.33) deklemi içi R olmak üzere m,, xt foksiyou R xt t A E H P AD P F x, =Φ α Φ m,, τ m, l, Q= A E H α P AD P F (4.39) (, ) R xt =Φ t QΦ l x (4.40) m,, τ m, Şeklide yazılabilir. ipik bir au metoduda olduğu gibi aşağıdaki cebirsel deklemler kullaılarak ( m ) tipideki lieer cebirsel deklemler olarak buluur. Qi, j= 0, i= 0,,...,, j = 0,,..., m 3. (4.4)

41 Ayrıca (4.6) deklemi Dirichlet sıır koşullarıda yerie yazılırsa sırasıyla ( t) A m ( 0) h ( t) ( t) A ( 0) h ( t) Φ Φ l =, (4.4), τ, Φ Φ l = (4.43), τ m, deklemleri elde edilir. Şimdi kısmi lieer diferasiyel deklem ola dalga deklemii ümerik itegrasyou içi geliştirile algoritmaları test edebileceğimiz bir örek ele alacağız. Problemi çözümü içi Matlab veya Mathematica gibi paket programlar kullaılmıştır. Örek 4..: l =, τ =, () = t, h () t =, h t si 0 α = sabit değerleri ve g ( x ) =, 0 g x =, 0 f x, t = 0 foksiyoları içi taımlaa (4.)-(4.5) problemii ümerik çözümüü bulalım (Articolo D.A.). Çözüm: m= = 4 alıarak aşağıdaki gibi bir yaklaşık çözüm foksiyou elde edilir: 3 3 u ( x, t) = a () t =Φ () t AΦ (4.44) m, ij i j 4, 4, i= 0 j= 0 Burada da (4.39) deklemide kullaılacak ola matrisler A a a a a a a a a = a0 a a a3 a a a a , E =, P =, F =, D =, H = şeklide hesaplamıştır. Burada E, F ve H sıfır matrisler olduğuda (4.39) deklemi biçimide düzeleebilir. Diğer tarafta (4.4) Q= A P AD (4.45) Q = 0, i = 0,,,3, j = 0, (4.46) ij

42 şeklide bir lieer cebirsel deklem sistemie döüştürülür. au metoduu klasik yapısıa bağlı olarak (4.46) sistemide 8 farklı lieer cebirsel deklem hesaplamıştır: a 00 a0 a a a =, 35 9 a0 a03 8a3 + a3 + 5a33 = 0, 4a0 + a a a a3 = 0, 3 4a03 + a + 9a3 8a 3 6a33 = 0, a0 7 a 0 + a = 0, 6 3 a 7a03 + 4a3 = 0, a a a0 + a30 + a3 = 0, a3 a 3 3 4a03 + a3 + a33 = 0. 3 (4.3) bağıtısıda, (4.4) ve (4.43) deklemleride sırasıyla () 3 Φ 4, t = 0 t t t 3 t = t 8t+ 8t 8t+ 48t 3t, Φ 4, ( 0) =, () Φ 4, = matrisleri ve aşağıdaki 8 farklı lieer cebirsel deklem elde edilir: a00 + a0 + a0 + a03 + a0 + a + a + a3 + a0 + a + a + a3 + a30 + a3 + a3 + a33 = 0, a 0 +a +a +a 3+4a 0 +4a +4a +4a 3+9a 30 +9a 3+9a 3 +9a33 = 0, a 0 + a + a + a 3 + 6a30 + 6a3 + 6a3 + 6a33 = 0, a 30 +a 3+a 3 +a 33=0, a00 a0 + a0 a03 + a0 a + a a3 + a0 a + a a3 + a30 a3 + a3 a33 = 0, a0 + a a + a3 4a 0 + 4a 4a + 4a 3 9a30 + 9a3 9a3 + 9a33 = 0, a 0 a + a a 3 + 6a30 6a3 + 6a3 6a33 = 0,

43 a 30 +a3 a3 + a33 = 0. Hesaplaa bu 6 deklemde oluşa lieer cebirsel deklem sistemii çözümü Mathematica paket programı yardımıyla bulumuştur. Burada da A matrisi aşağıdaki gibi elde edilmiştir. Böylece u ( x, t) A = t x = 8t + 8t x + 8x 3 3 8t+ 48t 3t x+ 48x 3x 4,4 Bu problemi tam çözümü ise şeklidedir. t = (, ) si cos u x t Bu örekteki hata aalizi aşağıdaki gibi yapılmıştır. ve m i farklı değerleri içi hata aalizi τ l L = um, ( x, t) u( x, t) = ( u, (, ) (, )) m x t u x t dxdt 0 0 formülüyle verilebilir. Örek 4. deki hata aalizi ise 4,4 ( 4,4 ) 0 0 L = u xt, u xt, = u xt, u xt, dxdt =.59 0 şeklidedir. Elde edile hata değerie bakıldığıda ve m i daha büyük değerleri içi çok daha az hata ile çözüm yapılabileceği söyleebilir.

44 SONUÇ VE ÖNERİLER Bilim ve mühedislikte karşılaşıla problemleri matematiksel modelleri adi ve kısmi diferasiyel deklemlerle ifade edilebilir. Bu edele diferasiyel deklemler ve çözümleri büyük bir öeme sahiptir. Diferasiyel deklemleri tam çözümlerii bulmak zor olduğuda yaklaşık sayısal çözümlerie gerek duyulmaktadır. Diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri içi geliştirile pek çok yötem bulumaktadır. Bu tez çalışmasıda Chebyshev poliomlarıı dört farklı çeşidi içi de temel kavramlar taımlamış, bazı özellikler verilmiştir. Ayrıca Chebyshev poliomları kullaılarak bilim ve mühedislikte karşılaşıla problemleri çözümleri içi yei ümerik algoritmalar geliştirilmiştir. Öte yada Chebyshev poliomları, trigoometrik foksiyolarla ifade edildiğide [,] aralığıda taımlıdır ve bu aralıktaki problemlere çözüm üretmektedir. Bu tez çalışmasıda, basit bir döüşümle problemi taım bölgesi [ 0, h ] gibi bir aralığa döüştürülerek daha geiş bir bölgede çözüm aramıştır. Bu döüşüm kullaılarak Ötelemiş Chebyshev poliomu diye adladırıla Chebyshev poliomuu farklı bir versiyou taımlamıştır. Bu poliom ile dalga deklemie Chebyshev-au yötemi uygulamış ve tam çözüme yakı souçlar elde edilmiştir. Böylece, Chebyshev poliomlarıı bazı matematiksel problemleri yaklaşık sayısal çözümleride daha kolay ve etki souçlar verebileceği ve diğer problemlere geişletilebileceği gösterilmiştir.

45 KAYNAKLAR Akyüz, A., Sezer, M. 999 A Chebyshev Collocatio Method for the Solutio of Liear Itegro-Differetial Equatios. Iter. J. Computer Math., 7: 4, Articolo, G.A. 009 Partial Differetial Equatios ad Boudary Value Problems with Maple V. d editio, Academic Press. Cauto, C., Hussaii, M. Y., Quarteroi, A., Zag,. A. 988 Spectral methods i fluid dyamic, Pretice-Hall, Eglewood Cliffs, NJ. Cleshaw, C.W. 956 he Numerical Solutio of Liear Differetial Equatios i Chebyshev Series. Proc. Camb. Phil. Socb., 53: Cleshaw, C.W., Curtis, A.R. 960 A Method for Numerical Itegratio o a Automatic Computer. Numerische Math., : Cleshaw, C.W. 96 Chebyshev Series for Mathematical Fuctios. Natioal Physical Laboratory (Mathematical ables). 5: -5. Colema J.P., Booth, A.S. 99 Aalysis of a family of Chebyshev Methods for (, ) y x = f x y. J. Comput. Appl. Math., 44: Dehgha, M. 005 O the solutio of a iitial-boudary value problem that combies Neuma ad itegral coditio for the wave equatio, Numer. Methods Partial Differetial Eq., : Dehgha, M., Shokri, A. 008 A umerical method for solvig the hyperbolic telegraph equatio, Numer. Methods Partial Differetial Eq., 4: Dehgha, M., Mirzaei, D. 008 he boudary itegral equatio approach for umerical solutio of the oe-dimesioal Sie-Gordo equatio, Numer. Methods Partial Differetial Eq., 4: Elbarbary M.E., El-Kady, M. 003 Chebyshev Fiite Differece Approximatio for the Boudary Value Problems. Appl. Math. Comput., 39: El-Gedi, S.E. 969 Chebyshev Solutio of Differetial, Itegral ad Itegro- Differetial Equatios. Computer Joural, : Elliot, D. 96 A Method for the Numerical Itegratio of the oe Dimesioal Heat Equatio Usig Chebyshev Series. Proc. Camb. Phil. Soc., 57:

46 Elliot, D. 963 A Chebyshev series method for the umerical solutio of Fredholm itegral equatios. Computer Joural, 6: 0-. Fox, L., Parker, I.B Chebyshev Polyomials i Numerical Aalysis. Lodo: Oxford Uiversity Press. Greig, D.M., Abd-el, N.M.A. 980 Iterative solutios of oliear iitial value differetial equatios i Chebyshev series usig Lie series. Numer. Math., 34: -3. Horg I.R., Chou, J.H. 985 Applicatio of ötelemiş Chebyshev series to the optimal cotrol of liear distributed-parameter systems, It J Cotrol 4: Hosseii, M.M. 006 Adomia Decompositio Method with Chebyshev Polyomials. Appl. Math. Comput., 75: Köroğlu, H. 998 Chebyshev Series Solutio of Liear Fredholm Itegro Differetial Equatios. It. J. Math. Educ. Sci. echol., 9: 4, Maso, J.C. 967 Chebyshev Polyomial Approximatios for the I-membrae eigevalue problem. SIAM J. Appl. Math., 5., Maso, J.C., Hadscomb, D.C Chebyshev Polyomials. Chapma ad Hall/Crc, Washigto. Mohebbi, A., Dehgha, M. 008 High order compact solutio of the oe-space dimesioal liear hyperbolic equatio, Numer. Methods Partial Differetial Eq., 4: 35. Piesses, R. 000 Computig itegral trasforms ad solvig itegral equatios usig Chebyshev Polyomial Approximatios, J. Comput. Appl. Math., : 3-4. Saadatmadi, A., Dehgha, M. 007 Numerical solutio of the oe-dimesioal wave equatio with a itegral coditio, Numer. Methods Partial Differetial Eq., 3: 8 9. Sezer, M. 985 O the Solutio Methods of Cauchy Problem Associated with Parabolic Partial Differetial Equatios. E.U.J. Sci. Faculty Series A, 8:, Sezer, M. 989 A Chebyshev Polyomial Approxımatio For Dirichlet Problem. J. Faculty Sci. Ege Ui. Series A, :, Sezer, M., Kayak, M. 996 Chebyshev polyomial solutios of liear differetial equatios. It. J. Math. Educ. Sci. echol., 7: 4,

47 - 4 - Sezer, M., Doğa, S. 996 Chebyshev series solutios of Fredholm itegral equatios. It. J. Math. Educ. Sci. echol., 7: 5, Siwell, Bejami, 004 he Chebyshev Polyomials: Patters ad Derivatio, Mathematics eacher, 98(), August. Süli, E., Mayers, D.F A Itroductio to Numerical Aalysis, New York: Cambridge Uiversity Pres.. Syder, M.A. 966 Chebyshev methods i umerical approximatio. N. J.: Pretrice-Hall. Lodo.