Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI"

Transkript

1 SAKARYA UNIVERSITESI Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI Prof. Dr. Mustafa AKAL 1

2 İÇİNDEKİLER 1. BERNOULLİ DAĞILIMI 2. BİNOM DAĞILIMI 3. POİSSON DAĞILIMI 4. PASCAL DAĞILIMI 5. GEOMETRİK DAĞILIM 6. HİPERGEOMETRİK DAĞILIM 7. NORMAL DAĞILIM 8. BİNOM BÖLÜNMESİNE NORMAL BÖLÜNME YAKLAŞIMI 9. MERKEZİ LİMİT TEOREMİ HEDEFLER Yukarıdaki özel olasılık dağılımlarının tanıtılması 2

3 1. BERNOULLİ DAĞILIMI Aynı koşullar altında kesikli bir rassal denemenin sonuçları olumlu-olumsuz, başarılıbaşarısız, geçti-kaldı şeklinde birbiriyle bağdaşmayan ve bütünün kapsayan iki sonuçlu olaylarda, gözlemlerde ya da deneylerde BERNOULLİ DAĞILIMI kullanılır. Öğrencinin İstatistik dersinden geçme olasılığı p ise, İstatistik dersinden kalma olasılığı (1-p) olacaktır. X rassal değişkeninde öğrenci dersi geçerse x = 1 ve kalırsa x = 0 olarak tanımlansın. Bu durumda X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu şöyledir: P ( X = x ) = p x (1 p) 1-x Dağılımı denir., x = 0, 1 şeklinde gösterilir ve Bernoulli Olasılık a. Bernoulli Dağılımının Aritmetik Ortalaması ve Varyansı Bernoulli rassal değişkeninin aritmetik ortalaması: µ x = E (x) = p Bernoulli rassal değişkeninin varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = p (1 p) ÖRNEK: Bir öğrenci İstatistik dersinden geçme olasılığının 0.7 olduğuna inanmaktadır. Olasılık dağılımının fonksiyonunu yazınız? Ortalamasını ve varyansını bulunuz? Öğrenci dersten geçerse X rassal değişkeni x = 1 ve kalırsa x = 0 değerini alırsa, X rassal değişkeninin olasılık dağılımı şöyle yazılabilir: P (x=1) = 0.7 ve P (x=0) = 0.3 Olasılık dağılım fonksiyonu: P ( X = x ) = p x (1 p) 1-x = 0.7 x (1 0.7) 1-x = 0.7 x *0.3 1-x olarak bulunur. x in alacağı 1 ve 0 değerlerine göre olasılık dağılımı aşağıdaki gibi bulunur. P ( x = 1 ) = p 1 (1 p) 1-1 = (1 0.7) 0 = *0.3 0 = 0.7 P ( x = 0 ) = p 0 (1 p) 1-0 = (1 0.7) 1 = *0.3 1 = 0.3 Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = p = 0.7 Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = p (1 p) = 0.7*0.3 =0.21 olarak bulunur. 3

4 2. BİNOM DAĞILIMI İki sonuçlu rassal deneme aynı koşullar altında n kere tekrarlanırsa BİNOM DAĞILIMI adı verilen dağılım elde edilir. Bernoulli dağılımının özel bir şeklidir. Öncelikle, n tane deneme olduğu için n tane iki olasılıklı sonuç olacaktır. İncelenen olay başarı ya da başarısızlık ise n tane denemede x tane başarılı ve (n-x) tane başarısız sonuç olacaktır ve denemeler birbirinden bağımsız olduklarından sonuçların herhangi bir dizilimin olasılığı, tekil sonuçların olasılıklarının çarpımına eşittir ve aşağıdaki gibidir. P (x, n-x) = p.p.p p.(1-p).(1-p).(1-p) = p x (1-p) n-x Her bir denemenin başarılı olma olasılığı p ve başarısız olma olasılığı (1-p) dir. n tane rassal denemede x tane başarının (n-x) tane başarısızlıkla birlikte çok farklı dizilişlerde gerçekleşebilir yukarıda sadece bir tanesi dikkate alındı. Diziliş sırası önemli değilse n rassal denemede x tane başarı içeren dizilişlerin sayısı: = (n rassal denemenin x taneli kombinasyonu) olarak bulunur. n tane rassal denemenin x tanesinin başarılı olma olasılık fonksiyonu: P(x; n,p) = p x (1-p) n-x = p x (1-p) n-x şeklinde yazılır ve bu formül yardımıyla hesaplanır. x = 0, 1, 2, 3, n Binom Dağılımının Aritmetik Ortalaması, Varyansı ve Momentleri Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = n.p Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = n.p. (1 p) Momentleri: µ 1 = 0 µ 2 = µ 3 = n.p.(1-p)[(1-p) p] µ 4 = n.p.(1-p)[(1-6 p(1-p)+3n.p(1-p)] 4

5 Asimetri (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = ve BK = 3 + ÖRNEK: Bir madeni para 4 kere atılmaktadır. 0, 1, 2, 3 ve 4 tane yazı gelme olasılıklarını sırayla hesaplayınız. Bu bir Binom dağılımıdır ve olasılık fonksiyonu P(x; 4,0.5) = p x (1-p) n-x olarak yazılır. 0 tane yazı gelme olasılığı: P(0; 4,0.5) = p x (1-p) n-x = = tane yazı gelme olasılığı: P(1; 4,0.5) = p x (1-p) n-x = = tane yazı gelme olasılığı: P(2; 4,0.5) = p x (1-p) n-x = = tane yazı gelme olasılığı: P(3; 4,0.5) = p x (1-p) n-x = = tane yazı gelme olasılığı: P(4; 4,0.5) = p x (1-p) n-x = = Örneğimizdeki gibi p = (1-p) ise simetrik binom dağılımı, p (1-p) ise asimetrik binom dağılımı söz konusudur. 5

6 ÖRNEK: Yukarıdaki örnekte aritmetik ortalamayı, varyansı, momentleri, çarpıklık ve basıklık katsayılarını hesaplayınız. Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = n.p = 4*0.5 = 2 Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = 4*0.5*0.5 =1 Momentleri: µ 1 = 0 µ 2 = = 1 µ 3 = n.p.(1-p)[(1-p) p] = 4*0.5*0.5 [ ] = 0 µ 4 = n.p(1-p) [(1-6 p(1-p) + 3n.p(1-p)] = 4*0.5*0.5 [1-6*0.5* *4*0.5*0.5] = 2.5 Asimetri (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = = = 0 BK = 3 + = 3 + = 3 + Çarpıklık katsayısı bu olasılık dağılımının simetrik olduğunu, basıklık katsayısı ise normale göre basık olduğunu işaret etmektedir. Simetrik Binom Dağılımı p=q şeklindeki olasılığa sahiptir. Olumlu ve olumsuz sonuçların olasılığının eşit olduğu dağılmıdır. n x nx Cx p ( q) x = 0, 1, 2,...,n ise b( p, n, q) 0 değilse 6

7 Örnek 3: Hilseiz bir paranın 12 atılışında 5 yazı, 7 tura gelme olasılığını bulunuz? Çözüm: Binom formülünde x=5,n=12, p=0.5 konursa ! !(12 5)! b(x=5;n=12;p=0.5)= ( ) (1 ) ( ) 792( ) 0.19 Örnek : Dört madeni paranın birlikte atılması veya bir tane madeni paranın dört defa atılması sonucunda a) gelmesi beklenen tura sayısına göre olasılıklarını bulunuz? b) olasılık diyagramını çiziniz? Çözüm: a) x = işlem sonucu 4 atış veya 4 ünün atışı sonucu T gelme sayısı p(x = 0) = ! 1 1 0,5 0,5 (1) 0 (4 0)!0! ! ,5 0,5 1 3!1! p(x =1 ) = ! ,5 0,5 2 2!2! p(x =2 ) = ! ,5 0,5 3 1!3! p(x = 3) = ! ,5 0,5 4 0!4! p(x = 4) = Tablo halinde gösterirsek; 7

8 Tura gelmesi X n x n P Her bir deneyin n x P( x) p q x nx n P( x) Cx / C n x Binom olasılığı Her bir şıkkın katsayısı olasılığı 1 Her bir sıkkın olasılığı /16 1/16 1:16 = 1/ /16 4/16 4:16 = 4/ /16 6/16 6:16 = 6/ /16 4/16 4:16 = 4/ /16 1/16 1:16 = 1/16 16 = 2 n n n n pq x nx x0 x 1 x 5 defa olsaydı olacaktı. b) Simetrik binom olasılık diyagramı P(x; 4, 0,5) olasılık diyagramı Örnek : Madeni bir para 5 defa atılmış ise n = 5 ise en fazla 2 tura gelmesi olasığı nedir? 8

9 Çözüm: x = 2, p = ½, n-x = 3,1-p = ½ 2 xo x nx n p (1 p) p( x 0) p( x 1) p( x 2) x ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ! 1 1 5! 1 1 5! 1 1 px ( 2) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 0!(5 0)! 2 2 1!(5 1)! 2 2 2!(5 2)! px ( 2) ( ) 10( ) 0.5 Veya 5 x3 x p( x 2) 1 p(3 x 5) 1 n p (1 p) 5! 1 1 5! 1 1 5! 1 1 3!(5 3)! 2 2 4!(5 4)! 2 2 5!(5 5)! ( ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ) nx px ( 2) 1 (10( ) 5( ) ( )) 0.5 x Örnek : Bir para 4 kez atıldığında; a. İki tura b. En az bir tura c. 3 ten az tura gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: p = tek bir olayda tura gelmesi = ½, n = 4, x değişiyor p(x) = 4 x x ½ 1½ 4 x dir. Buna göre, a. p(x = 2) = ½ 1 ½ = 3/8 = 0,3750 b. p(x 1)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4) 9

10 p(x 1)= 4 x 4 x1 4 ½ 1½ x x = 1 ½ 1 ½ ½ 1 ½ ½ 1 ½ ½ 1 ½ p(x 1)= 0,25 + 0, ,25 + 0,0625 = 0,9375 X p(x) 1 0,25 2 0, ,25 4 0,0625 veya x in alabileceği değerler x = 0, 1, 2, 3, 4 iken x 1 içindir. Veya P(x 1) = 1- p(x = 0) = ! 1 1 p(x 1) = 1-0!4! 2 16 = 1-1/16 = 15/16 = 0,9375 c. p(x<3) = p(x 2) X = 0, 1, 2 n x0 4 x x x = ,6875 = d. 4 ten daha az tura elde gelme olasılığı P(x<4) = P(x 3) p(x = 4) = = 1-1/16 = 15/16 Simetrik bölünmedir. P = ½ olduğundan dolayı simetrik bölünme de denebilir. 10

11 X P(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 1 Örnek. Bir çift zar kullanılarak yapılan 6 atışta, (a) iki kere (b) en az iki kere toplamda 9 getirme olasılığı kaçtır. Çözüm: İlk zarın gelebileceği 6 seçenekten her biri ikinci zarın gelebileceği 6 seçeneğin her biri ile ilişkilidir. Bundan dolayı her iki zarında gelebileceği 6.6=36 seçenek vardır. İlk zarda 1 ve ikinci zarda 1, ilk zarda 1 ve ikinci zarda 2 gelme seçenekleri bulunmaktadır ve bunlar (1,1), (1,2), (1,3) Şeklinde devam ederek gösterilir. Bu 36 seçeneğin hepsi eşit şekilde benzer olacaktır. Eğer zarlar adilse (açık), toplamın 9 olacağı 4 durum mevcuttur. Bunlar (3,6), (4,5), (5,4) ve (6,3) dur. Bir çift zarın tek bir atışta toplam 9 gelme olasılığı p = 4/36 = 1/9 olur ve bir çift zarın tek bir atışta 9 gelmeme olasılığı (q=1-p) = 8/9 olur. a)6 atışta 2 kere toplamda 9 getirme olasılığı C b)6 atışta en az 2 kere toplamda 9 getirme olasılığı; {2 kere toplamda 9 getirme olasılığı} +{3 kere toplamda 9 getirme olasılığı}+ {4 kere toplamda 9 getirme olasılığı}+{5 kere toplamda 9 getirme olasılığı}+ {6 kere toplamda 9 getirme olasılığı} na eşit olacaktır. Buradan; 11

12 C2 6 C3 6 C4 6 C5 6 C bulunur. Veya 1-p(x<2)=1-p(x 1)=1-(p(x=0)+ p(x=1) ! 1 8 6! !6! 9 9 1!5! Asimetrik Binom Dağılımı p q, p>q veya p<q C 2 n x n C p (1 p) n x n x x (simetrik binom açılımında eşittirler). Örnek : Bir hastalığa yakalanan 10 kişiden her birinin iyileşme olasılığı 0.8 ve bağımsızlık varsayımı yapılabilirse bunlardan yedisinin iyişelme olasılığını bulunuz? Çözüm: 10 10! 1 7 7!(10 7)! b(x=7;n=10;p=0.8)= (0.8) (1 0.8) (0.8) (0.2) 120( ) 0.2 Örnek : Bir hastalıktan kurtulma olasılığının 1/3 olduğu bilinmektedir. a. bu hastalığa yakalanmış 8 kişiden 3 ünün kurtulma olasılığını bulunuz? b. 3 ten fazla 7 den az kişinin kurtulma olasılığını bulunuz? c. En fazla 7 sinin kurtulma olasılığını bulunuz? 12

13 Çözüm: n = 8, p = 1/3 p(x=7; n=8; p=1/3) = x 8x x 3 3, x = 0, 1, 2, 3,. 8 a. p(x = 3) = = 8! !5! = 0,2734 b. p(3<x 6) = 6 x x 3 3 = = 8! ! 1 8 8! 1 4 4!4! !5! !2! = 0, , ,0171 = 0,1067 kurtulma olasılığını verir. c. p(x 7) = 1 P(x = 8) ! = 8!0! 3 = = = 0,9 Örnek : Kusurlu birimlerin 0,2 olduğu bilinen bir ana kütleden rassal beş birimlik bir örnekte a. çıkabilecek kusursuz ürün sayılarına göre olasılık dağılımını oluşturunuz b. dağılım diyagramını çiziniz? c. Ortalamaya göre 1.,2.,3. Ve 4. momentlerini bulunuz? 13

14 d. Momentler göre dağılımın asimetri ve basıklık ölçümlerini yapınız ve yorumlayınız? Çözüm: p = kusursuz, q = kusurlu ürün sayısı, n = 5. p( x ; 5 ; 0,8) = n x nx Cx p (1 p), x 0,1, 2,3, 4,5 ise p( x ; 5 ; 0,8) = 0 değilse 5 birimlik örneklemden hiç kusursuz olması olasılığı yani 0 birim kusursuz çıkma olasılığı; P(x = 0) = 5! C (0,8) (0,2) 0! = 5 0! (1) 3125 = 0,00032 C 5! 4 1 (0,8) (0,2) 1! 51! P(1)= C P(2)= C = 0, ! (0,8) (0, 2) 10 2! 5 2! = 0, p(3) = C 3 2 5! (0,8) (0, 2) 10 3! 5 3! = 0, p(4) = C 4 1 5! (0,8) (0, 2) 5 4! 5 4! = 0, p(5) = 5 0 5! (0,8) (0, 2) 1 5! 5 5! = 0,

15 Kusursuz Birim Sayısı (x) Binom Katsayıları C 5 x 5 x Her bir şıkkın olasılığı Simetrik Asimetrik 0 1 1/32 1/ /32 20/ /32 160/ /32 640/ / / / /3125 b. Asimetrik binom olasılık dağılım diyagramı c. Verilen örneğin momentleri np 5 (0,8) 4 2 npq 5 (0,8)(0,2) 0,8 15

16 ortalamaya göre momentler; ,8 3 npq( q p) 5 (0,8)(0, 2)(0, 2 0,8) 0, 48 4 npq(1 6pq 3 npq) 5(0,8)(0, 2) 16(0,8)(0, 2) 3(5)(0,8)(0, 2) 3, 488 d. Verilen örneğin asimetri ve basıklık ölçüleri q p 0,2 0,8 0, npq 0,8 0,8 sola eğik seri 16pq 16(0,8)(0, 2) 0, ,05 0 npq 5(0,8)(0, 2) 0,8 normale göre hafif sivri seri Yorum: Asimetrik Binom dağılımında p ve arasındaki eşitliğin bozulması dağılımı çarpıklaştırıyor, normallikten uzaklaşıyor. Diğer yandan asimetrisi kuvvetli sola eğik seriyi ifade ediyor. Olayın yorumuna gelince, yığındaki kusursuz birimler dikkate alındığında, asimetrisinin çok kuvvetli ve negatif oluşu yığının kalite düzeyi bakımından iyi düzeyde olduğuna işaret eder. 3. POİSSON DAĞILIMI Binom dağılımının özel bir durumu olan Poisson dağılımı gözlem sayısının belli bir zaman diliminde çok yüksek ve beklenen sonucun gelme olasılığının çok küçük olduğu durumlarda kullanılır. Kısaca büyük n ve küçük p sahip olaylarda kullanılır. Aşağıdaki rassal değişkenler (olaylar) binom dağılım özelliği gösterirler. Sakarya da son bir haftada meydana gelen yangın sayısı. Sakarya da dün hastaneye gelen hastalardan ölen sayısı. Bir dönem içinde hatalı girilen not sayısı Bir yıl içinde ertelenen THY uçak sefer sayısı 200 sayfalık bir kitap da hatalı kelime sayısı 16

17 Yukarıda sayılan olayların (rassal değişkenlerin) büyük n ve küçük p olasılığına sahip oldukları için Poisson Olasılık dağılımının temsil edecektir. Yukardaki olayda beklenen sonuçların gerçekleşme olasılığı düşüktür. Diğer bir ifadeyle nadir gerçekleşen olaylardır. Bir olayın nadir kabul edilebilmesi ve Poisson Olasılık dağılımına sahip olabilmesi için genel kabul gören görüş; 1. Rassal deneme sayısı n 50 olmalıdır. 2. np = ʎ < 5 olmalıdır. 3. Rassal denemeler iki sonuçlu olmalıdır ve aynı koşullar altında n kez tekrarlanmalıdır. 4. Rassal denemeler birbirinden bağımsızdır. Bu varsayımlar altında Poisson olasılık dağılımında X rassal değişkeni n deneme sonunda beklenen sonucun gerçekleşme sayısına göre x = { 0, 1, 2,.n} değerleri alabilir. Poisson dağılımın olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilebilir. P(x) =, x = 0, 1, 2, n Burada ʎ = np, beklenen sonucun ortalama gerçekleşme sayısını (Aritmetik ortalama), e = doğal logaritmanın tabanıdır. Poisson Dağılımının Aritmetik Ortalaması, Varyansı ve Momentleri Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = n.p = ʎ Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = n.p. (1 p) = ʎ Momentleri: µ 1 = 0 µ 2 = = ʎ µ 3 = ʎ 17

18 µ 4 = ʎ + 3ʎ 2 Asimetri (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = ve BK = = 3 + ÖRNEK: öğrencisi olan Sakarya Üniversitesinde bir yıl içinde girilen hatalı notların aritmetik ortalaması ʎ = 0.4 tür. Bu örnekte; 1. ʎ = 0.4 < 5 2. n = > p = = = Rassal denemenin beklenen sonucu hatalı-hatasız olmak üzere iki sonuçludur ve n kez tekrarlanabilir. Bu şartlar altında bu olayın Poisson Olasılık dağılımına sahip olduğunu söyleyebilir ve olasılık fonksiyonunu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. P(x) = =, x = 0, 1, 2,.n ve Bu Poisson dağılımının, Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = n.p = ʎ = 0.4 Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = n.p. (1 p) = ʎ = 0.4 Momentleri: µ 1 = 0 µ 2 = = ʎ =

19 µ 3 = ʎ = 0.4 µ 4 = ʎ + 3ʎ 2 = (0.4) 2 = 0.88 Asimetri (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = = = 1.58 BK = = 3 + = 3 + = = 5.5 bulunur. Bir yılda gerçekleşebilecek hata sayısının (x) olasılıkları hesaplayabiliriz. Bir yıl boyunca hiç hata olmama olasılığı: P(x=0) = = = 0.67 Bir yıl boyunca bir adet hata olmama olasılığı: P(x=1) = = = Bir yıl boyunca iki adet hata olmama olasılığı: P(x=2) = = = Bir yıl boyunca üç adet hata olmama olasılığı: P(x=3) = = = PASCAL DAĞILIMI (NEGATİF BİNOM DAĞILIMI) 19

20 Binom da n deneyde x başarı elde edilme olasılığı aranırken, Pascal dağılımında k. başarının x. denemede elde edilme olasılığı aranır. k = elverişli sonuç p = bir denemede başarı olasılığı x = k. başarı elde edilene kadar ki deneme sayısı Pascal dağılının parametreleri k ve p dir. x 1 k 1 b(k-1; x-1, p) = p (1 p) xk ; yorumu : eğer k. başarı x. denemede k 1 oluşuyorsa, k-1 tane olumlu (başarı) sonucun ilk x-1 denemede oluşmuş olmalıdır. Bunun olasılığı p( k-1; x-1, p) olarak gösterilir. x. denemede başarının oluşumu olasılığı p, ve k. başarının x. denemede oluşma olasılığı ise şudur ; x 1 k x k p. b( k-1; x-1, p) = p (1 p) k 1 O halde; k xk * p (1 p), x k, k 1, k 2... ise b ( x; k, p) 0 değilse Negatif binomal dağılım ismini de başarı veya olumlu sonuçları 1 1 p p p nın açılımından dolayı alır. Yani k. başarının elde edilmesine kadar x deneme yapılacak (x-1). denemede ise (k-1). başarı gerçekleşmiş (x-k) tanesi de başarısızlıkla gerçekleşmiş olacaktır. Buradan hareketle (x-1) deneme arasında (k-1) sayıda başarı elde etme sayısı x 1 k 1 kombinasyonu ile belirlenebilir. Buradan hareketle (x-1) inci denemede başarı olasılığı x 1 k1 x k p q şeklinde hesaplanırken, (x-1) inci denemeden sonraki ilk denemede (x k =1) (x. Denemede) bir (k) başarı elde etme olasılığı: p q olacaktır. Buna göre x. denemede beklenen olayın tekrar gerçekleşmesi olasılığı bileşik olasılık kuralına göre; x 1 b * k x k k ( x; k, p) p (1 p) = b ( k ; x, p ) k 1 x dir. Burada b ( x; k, p ) değeri ikiterimli olasılıklar tablosunda, binom da x in n ye, k nın da x e ve beklenen durumun olasılığı p ye karşılık gelen bimom olasılık değeridir. (bkz Freund, Ek Tablo 1) k Örnek : Bulaşıcı bir hastalığı bir çocuğun alma olasılığı 0,4 ise, 20

21 a)10. muayenede çocuğun hastalığı kapan 3. çocuk olma olasılığı nedir? b) Bu örneğin ortalaması ve varyansını bulunuz? Çözüm: a) x = 10, k = 3, p= 0, ! b*( 10; 3, 0,4 ) = (0,4) (0,6) = (0,4) 3 (0,6) 7 = !2! veya ikiterimli olasılıklar tablosundan n=10, k=3 için bulunur ve b* formülünde b( k; x, p ) nin yerine konur: * 3 3 b ( 10; 3, 0,4 ) b(x= 3;n=10, p=0,4 ) = (0, 2150) = 0, k 2 b) de 2 = k 1 1 p p p 3 = 7,5 0,4 2 = 3 0, ,4 = 7,5 (1,5) = 11,23 Örnek 12: p = 0,8 ve k = 2 ve x = 6, 7, 8 için; a) P(X) negatif binom olasılıklarını bulunuz? b) P(X) için olasılık histogramını çiziniz? Çözüm: 61 b*( 6; 2, 0,8) = b*(7;2,0,8) = b*(8;2,0,8)= (0,8) (0,2) 21 b. Pascal dağılımının diyagramı (0,8) (0,2) = (0,8) (0,2) = ! ( 0,64) (0,0016) = 0, !1! 6! (0,64) (0,0032) = 0, !1! = 7! (0,64) (0,006464)= 0, !1! 21

22 Örnek: Üretim hattında bir saniyede 4 cıvatanın bir montajcı tarafından yerleştirilmesi olasılığı P = 0,8 olduğunu varsayalım. Buna göre a. Bir motor kapağının monte edilinceye kadarki zaman uzunluğu X in olasılık dağılımını bulunuz? b. Montaj işleminin X=6 (6. saniyede) tamamlanması olasılığını hesaplayınız? c. İhtimal dağılımının ortalama ve varyanslarını bulunuz? d. Montajın x = 4., 5., 6., 9. ve 10. saniyelerde tamamlanması olasılıklarını hesaplayınız? e. P(x) için bir olasılık histogramı çiziniz? Çözüm: İlk saniyede montajcı başarılı olamazsa ikinci bir saniyelik aralıkta başarı olasılığı 0,8 dir ve bu böyle devam eder. x 1 k xk a. k = 4, P = 0,8 b*(x, k, p) = px x k x = (0,8) (0,2) x x x b. b*(6;4,0,8)= (0,8) (0, 2) (0, 4) (0, 2) b*(6;4,0,8) 10(0,04096)(0,04)= 0,16384 c. Bu negatif binom dağılımı için; k 4 5 saniye p 0,8 2 kq 4(0, 2) 1,2 saniye 2 2 p (0,8) d. b*(4; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0, b*(5; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0, b*(6; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0, b*(7; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0, b*(8; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0, b*(9; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0, b*(10; 4, 0,8) = (0,8) (0,2) 0,

23 e.histogramı 5. GEOMETRİK DAĞILIM Pascal dağılımının özel bir durumu, k = 1 olmasıdır. X deneyde sadece bir tane olumlu sonucun elde edilme olasılığı hesaplanmak istendiğinde Pascal dağılımı Geometrik dağılım adını alır. k x p( x, p) = p q g (x, p) ; g ( x, ) 1 1 k x k p q = P( x, p) yani x = 1, 2, 3, x k q da k = 1 x=geometrik tesadüfi değişkeni olarak tanımlanır ve ilk başarı elde edilinceye kadar deneme sayısıdır. İlk başarının x. denemede elde edilmesi olasılığını p(x, p) ile gösteririz. 1 2 q ve yani Pascaldaki k = 1 kabul edilir. 2 p p Örnek : Bir üretim sürecinde ortalama olarak her yüz parçadan 5 inin kusurlu olduğu biliniyorsa, ilk kusurlu parça ile muayene edilen dördüncü parçada karşılaşma olasılığı nedir? Çözüm: X = 4 ve p = 0,05 (kusurlu parça olasılığı) 1 x 1 p(x;p) = p q, x = 1, 2, 3, p(4;0,05)=(0,05) (1 0,05) 3 =0,05 (0,95) =0,05 (0,8303) = 0, Bu sonuç ilk kusurlu parçanın 4. parçanın muayenesi sırasından görülmesi olasılığını verir. Örnek : Yukarıdaki örnekteki (örnek 14) gibi ilk kusurlu parça ile 30. kusurlu parçanın muayenesinde karşılaşma olasılığı ise; 23

24 p(30;0,005)=( 0,05) 30 1 (1 0,05) dir. 2.parçada karşılaşma olasılığı 2 1 p(2;0,05)=(0,05) (1 0,05) =(0,05)(0,95)=0, parçada karşılaşma olasılığı p( 1; 0,05) = (0,05) 11 (1 0,05) = 0,05 O halde olasılık muayene edilen parça sayısı arttıkça azalış gösterir. Yani; P(x) için olasılık histogramı Eğer probleme binom uygulasaydık; p=0,05, n =4, x =1 yani bir tane kusurlu parça ile 4. deneyde karşılaşma olasılığı n x p(x; n, p) = pq x nx 4 p(1;4,0,05)= (0,05) (0,95) 1, x = 0, 1, 2,, n (0,05)(0,95) 4(0, ) 0,17147 bulunacaktır ki bu binom dağılımla bulunan olasılık geometrik dağılımla bulunan olasılığın n x katı olacaktır. n 1 x 1 Yani; n x pq P( x; n, p) x x1 P( x, p) pq nx n x n 1 x 1 fakat, geometrikte x = x. deney sayısı 24

25 binomda x = aranan olay sayısı (1) Yukarıdaki örnekte 2 tane kusurlu parça ile 4. muayenede karşılaşmak istenseydi geometrik olasılık fonksiyonu yerine negatif binom (ya da Pascal) dağılımına başvurulur çünkü, k 1 dir. Örnek : Eğer sürücü lisansı almak isteyen bir başvuru sahibinin herhangi bir veri denemede geçme şansı 0,6 ise, 4. denemede geçme olasılığı nedir? Çözüm: X=4 olarak yerine konur ve p = 0,6 4 1 g( 4; 0,6) = (0,6) (1 0,6) = (0,6) 1 = p 1 0,6 = 10 1, k 1 1 p p = 1 1 p p p İlk 4 testte geçme olasılığı; 1 p p = 2 3 (0,4) = 0,0384 dür. 0,4 = 2 0,6 = 1,11 p(x 4, 0,6) = P(1, 0,6) + P(2, 0,6) + P(3, 0,6) + P(4, 0,6) = (0,6) 0,4 0 + (0,6) 0,4 1 + (0,6) 0,4 2 +(0,6) 0,4 3 = 0,6 + 0,24 + 0,96 + 0,0384 = 0, HİPERGEOMETRİK DAĞILIM Binom dağılımı rassal deneme sonuçlarının birbirinden bağımsız olduğunu varsaymaktaydı. Rassal denemelerin sonuçları birbirinden bağımsız değilse yani birinci rassal denemenin sonucu daha sonraki rassal denemelerin sonuçlarını etkiliyorsa Binom dağılımını kullanamayabiliriz. Bu gibi durumlarda iki sonuçlu rassal denemelerde özellikle örneklem sayısı küçükse HİPERGEOMETRİK DAĞILIM kullanılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken örneklem sayısı artıkça Hipergeometrik dağılım Binom dağılıma yaklaşacaktır. Özellikle rassal denemeler iadesiz yapılırsa küçük örneklemlerde Hipergeometrik dağılım söz konusu olur. Örneğin seçilen 20 tane Maliye Bölümü öğrencisinin 12 tanesinin İstatistik dersinden başarılı olduğunu varsayalım. Rassal olarak seçilen bir öğrencinin İstatistik dersinden başarılı olma olasılığı 12/20 = 0.6 dır. 25

26 Rassal olarak ikinci öğrenciyi seçtiğimizde İstatistik dersinden başarılı olma olasılığı ilk rassal denemenin sonucuna bağlı olarak değişecektir. Rassal olarak seçilen ilk öğrenci İstatistik dersinden başarılıysa, rassal olarak seçilen ikinci öğrencinin İstatistik dersinden başarılı olma olasılığı 11/19 = olacaktır. Rassal olarak seçilen ilk öğrenci İstatistik dersinden başarısızsa, rassal olarak seçilen ikinci öğrencinin İstatistik dersinden başarılı olma olasılığı 12/19 = olacaktır. Seçilen ilk ve ikinci öğrencinin İstatistik dersinden başarılı olma olasılıkları birbirinden bağımsız değildir. Bu şekilde n tane rassal deneme yapıldığında her biri birbirine bağlı olaylar olacaktır. Yukarıdaki örnek yardımıyla Hipergeometrik dağılımın olasılık fonksiyonunu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. N: Ana kütledeki gözlem sayısı n: Örneklemdeki gözlem sayısı B: Ana kütledeki başarılı öğrenci sayısı X: örneklemdeki başarılı öğrenci sayısı : N taneli ana kütleden n taneli farklı örneklem seçilme sayısı. : Ana kütledeki B tane başarılı öğrenciden x tanesinin örnekleme seçilmesinin yollarının sayısı : Ana kütledeki (N B) tane başarısız öğrenciden (n-x) tanesinin örnekleme seçilmesinin yollarının sayısı. Binom bölünmede deneyler birbirinden bağımsızdır. Hipergeometrik bir bölünmede olaylar yani deneyler birbirlerine bağımlı bir şekilde olur. Olaylar birbirinden bağımsız ise binom, olayların gerçekleşmesi (x in beklenen değeri) bağımlı ise hipergeometrik olasılık fonksiyonu kullanılır. A tanesi ilgilenilen türden, (N-A) tanesi diğer türden olmak üzere N birimden oluşan bir ana kütleyi ele alalım. Bu ana kütleden iadesiz ve rassal olan çok küçük bir n birimlik bir örneklem çekersek bunlar arasından x tanesi ilgilendiğimiz türden n-x tanesi de diğer türden oluşur. Örneklemdeki ilgilendiğimiz türden birim sayısı (X) hipergometrik rassal değişkendir. Ard arda iadesiz yapılan deneylerde ilgilendiğimiz türden sonuç elde etme olasılığı ilk A A 1 çekilişte p, ikinci çekilişte p,... dir. Bu durumda yani iadesiz çekimde N N 1 hipergoemetrik dağılım uygulanır. X hipergemetrik rassal değişkeni şu şartları sağlamalıdır: i)1 n N olmak üzere rassal deney sayısı n sabittir. ii)tekrarlanan bu n deneyden her birisi için olumlu-olumsuz, tur-yazı, evet-hayır vb. şekilde sadece iki sonuç vardır. iii) Bir deneyin sonucu diğer deneyin sonucundan etkilenir, deneylerde bağımsızlık yoktur. 26

27 Hipergemetrik olsılık dağılımının mantığı şudur: A tasni ilgilenilen türden, N-A tanesi diğer türden olmak üzere N hacimli bir anakütleden iadesiz ve rassal olarak n örneklem alındığında, bunlar arasında x tanesi (0 x A) ilgilendiğimiz Türden ve geri kalan N-A (0 n-x N-A) diğer türden olur. İlgilenilen türden A birim arasından X A N A tanesi A C X veya ve diğer N-A birim arasından n-x tanesi N-A C n-x veya x n x farklı şekilde çıkarılabilir. İlgilenilen türde X ve diğerinden n-x birimin aynı anda A N A çekilmesi çarpımı kadar farklı biçimde oluşabilir. N içerisinden n hacimli x n x N örneklem sayısı biçimde seçilir. İlgilenilen türden A birim arasında X tanesinin n ve diğer türden N-A birim arasında n-x aynı anda çekilme olasılığı bu iki sonucun A N A x n x birbirine oranı; px ( ) ile bulunur. N n Ve 0<p(x)<1 aralığında elde edilecek olasılıkların toplamı 1 dir; n x0 px ( ) 1 Örnek: Bir torbada 5 beyaz 8 siyah bilye vardır. İade edilmeksizin 3 bilye çekiliyor. Bu durumda çekilen siyah (ya da beyaz) bilyelerin sayısı hipergeometrik rassal değişken oluşturur. A = 5 beyaz bilye N-A = 8 siyah bilye N=13 ve iade edilmeksizin 3 bilye çekiliyor. n = 3 örneklem ve iki tanesinin beyaz olma olasılığı istenirse x = 2 dir. Örnek: Bir grupta 25 erkek ve 15 kadın olsa, bunlar arasından iadesiz seçimle 10 kişilik bir örneklem oluşturulursa, örneklemdeki erkek (ya da kadın) sayısı hipergeometrik dağılıma sahip süreksiz rassal değişkeni oluşturur. Çekilen 10 kişiden 6 tanesinin erkek olması durumunda n = 10, x = 6, k = 25, N = 40 n = 10 A k x = 6 Hipergeometrik Dağılımın Momentleri k A A=k tane başarılı x seçiminin yolu vardır, ve x N k N k tane başarısızlığın n x seçiminin yolu vardır, n x ve biz varsayıyoruz ki hepsi eşit şansa sahiptir. 27

28 n denemede x başarılı sonucun olasılığı Hipergeometrik dağılım fonksiyonu: A k N k x n x dir. N n k N k x n x h ( x; n, N, k) =, x = 1, 2, 3,,n,x k ve n- x N-k N n Oratalama ve varyansı: nk, N 2 2 N N 1 nk N k N n, p = k N, q = N k N N n np, 2 np(1 p) N 1 k N k N k nk n x n x n Yani, X k! = n x x0 N x1 n( x 1)!( k x)! N n n kaldırılmıştır. Çünkü x = 0 için değer 0 dır. n k k 1 n k N, xi x 1 n x n m k k 1 n k N y0 y m y n k N 1 k N 1 nk N m N n1 N n n 2 E( X ) E X ( X 1) E( X ) Not: ve, k( k 1) n( n 1) EX ( X 1) NN ( 1) 2 k( k 1) n( n 1) nk nk N( N 1) N N nk( k 1)( N n) = 2 N ( N 1) 2, burada x = 0 terimi 28

29 p = k N,1-p=1 N p k ;1 p N A N N Örnek: Hava kirliliği ölçümünde bir şirketin 24 kamyonundan 6 tanesi incelenecektir. Eğer şirketin kamyonlarından 4 tanesi aşırı hava yapmaktaysa buna göre inceleme yapan kişinin bunlardan hiçbirinin hava kirliliği yapan kamyonların içinde yer almama olasılığı nedir? Çözüm. x = 0, n = 6, N =24 ve k = h (0; 6, 24, 4) = 0, nk nk( N k)( N n) 64(24 4)(24 6) 15, 2 2 N 24 N ( N1) (24) Örnek: Bir iş için başvuranların 120 tanesinden 80 tanesi uygun bulunmuştur. Eğer rassal olarak 5 tanesi seçilmişse, bu 5 kişiden sadece 2 tanesinin iş için uygunluk olasılığını bulunuz? Hipergeometrik dağılımlar olasılığı; x = 2, n = 5, N =120, k=a= 80 k N k x n x h ( x; n, N, k) = = h ( 2; 5,120,80) = 2 3 0,164 N 120 n 5 Binomsal dağılımlar olasılığı; x = 2, n = 5, p = 80 =2/3 olarak binom formülünde yerine konacak olursa b(2; 5,80/120) = 1 10(0, ) olarak binom olasılığı 3 3 bulunacaktı. Hipergeometrik Rassal Değişkenin Olasılık Fonksiyonu A N A x n x, x 0,1,2,..., n ise hx ( ) N n 0 değilse 29

30 Burada Örnek: 12 kişilik bir yönetim kurulunun 7 üyesi belirli bir konuda alınacak karar tasarısının lehinde, 5 i ise aleyhinde düşünmektedir. Bu kurulda iadesiz ve rassal olarak seçilen 4 kişilik komisyonda karar tasarısının lehinde düşünen üye sayısının; a) 2 olması, b) En az 3 olması c) En fazla 2 olması halinde beklenen olasılıkları hesaplayınız? Çözüm: N = 12 A N A A = k = 7 x n x p( x), N - A = 5 N n=4 n X 0,1,2,3,4 için 75 x 4 x p( x) 12 4 X 0,1,2,3, a) Px ( 2) 0, x 4 x px ( 3) b) x p( x 3) p(3) p(4) 0,354 0, 71 0, 425 A N A 2 x n x c) px ( 2) x0 N n p( x 2) p(0) p(1) p(2) px ( 2) x0 75 x 4 x

31 Binomda olayların olasılığı birbirinden bağımsızdır. Hipergeometrik bölünmede birbirinin gerçekleşmesi diğerini engeller yani bağlıdır. Örnek: Bir mağazada bulunan 10 televizyondan 3 ü sağlan 7 si bozuktur. Bir çay bahçesi söz konusu mağazadan 4 televizyon satın alıyor. Bu 4 televizyondan aynı televizyonu bir defadan fazla satın almak mümkün olmadığı için hipergeometrik kullanılır. a) Tamamının sağlam olma olasılığı b) En fazla 2 tanesinin (0 veya 1 veya 2) sağlam olma olasılığı c) En fazla iki tanesinin sağlam olma olasılığı nedir? Çözüm: A= 3= k X= 0, 1, 2, 3, 4 A N A x n x a) N-A = 7 px ( 4) 0 N N = 10 n 4 4 n = 4 sadece 3 televizyon sağlam olduğuna göre satın alınan 4 televizyonun da sağlam olması mümkün değildir. P(x = 4) = b) px ( 3) 0, A N A x n x c) p( x 2) p( x 3) x0 N n = p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=0,167+0,5+0,3= 0,976 Hipergeometrik bölünmeye sahip olabilmek için ; N = Ana kütledeki toplam birim sayısı A = İlgilendiğimiz türden birim sayısı n = Örneklem hacmi; ana kütleden seçilen birimlerin toplam sayısıdır. Dolayısıyla N, A ve n hipergeometrik bölünmenin n, p binom bölünmenin parametrelerini oluşturur. Hipergeometrik bölünmenin momentleri ; X n p X H N n N 1 B, VH M n p(1 p) 2 31

32 Yukarıda örnekte, ,p = A/N 2 0, Binom ve hipergeometrik bölünmenin momentleri karşılaştırıldığında ortalamalarının eşit ancak varyanslarının farklı olduğu görülür. Çünkü hipergeometrik bölünmenin varyans formülünde düzeltme faktörü olarak isimlendirilen ( N n ) çarpımı yer alır. ( N 1) Hipergeometrik Bölünme ile Binom Bölünme Arasındaki İlişki i) İçinde sonsuz büyük sayıda birim bulunan bir anakütle söz konusu olduğunda hipergeometrik olasılık fonksiyonu yerine binom olasılık fonksiyonu kullanılabilir. Çünkü sonsuz kütleden iadesiz seçim kendinden önceki seçimin sonucuna pek bağlı olmaz. ii) Eğer N, n ye göre yeterince büyükse yine hipergeometrik bölünme yerine binom kullanılabilir. Nitekim, hipergeometrik bölünmenin varyansına ilişkin formüldeki ( N n) çarpanı N sonsuza giderken veya yeteri kadar büyük olduğunda 1 e ( N 1) yaklaşmakta, dolayısıyla hipergeometrik ve binom bölünmelerinin varyansları birbirlerine eşit olmaktadır. A N A x n x P(x)=, x=0,1,2,3, n N n n N np, X ip( x; N, A, N) M1 A N x1 N n 2 np(1 p) A N, n N An N A n 2 2, ( X ) ( ;,, ) 2 i p x n N k 2 ( A N) N A1 x1 Fark: Binomda seçim iadeli, hipergeometrikte ise iadesiz olarak seçim yapılır. Benzerlik: N büyük ve n de N ye göre nispi olarak küçükse (n/n =p 0.05) iadeli ile iadesi seçim arasında pek fark yoktur. Dolayısıyla binom olasılığı ile hipergeometrik dağılım olasılıkları birbirine yaklaşır ve hipergeometrik bölünme yerine binom bölünmesi kullanılabilir. N iken hipergeometrik bölünme binom bölünmeye yaklaşmaktadır. n 0 Örneğin, tane televizyondan 2 televizyon seçilmesi olayında, bozuk televizyon varsa; Binom Hipergeometrik 32

33 = I. Çekilişte = = II. Çekilişte= fark küçüktür ÖRNEK: 10 kişilik bir sınıfta 6 öğrenci dersten başarılı olurken 4 öğrenci başarısız olmuştur. İadesiz olarak seçilen 5 öğrenciden 1 ; a) Seçilen 5 öğrencinin de geçmiş olma olasılığını bulunuz. b) 3 öğrencinin de geçmiş olma olasılığını bulunuz. c) En fazla 2 öğrencinin geçmiş olma olasılığını bulunuz. d) En az 3 öğrencinin geçmiş olma olasılığını bulunuz. 1 Bu örnekte N = 10, başarılı öğrenci sayısı B = 6, örneklem sayısı n = 5 ve örneklem içinden başarılı öğrenci çıkma sayısı x. 33

34 [ ] e) Sırasıyla seçilen 1, 2, 3, 4 ve 5 inci öğrencinin başarısız olma olasılıklarını bulunuz. Bu örnekte bulunması istenen seçilen öğrencinin başarısız öğrenci olma olasılığıdır. Başarısız öğrenci sayısı 4 olduğundan B=4 olacaktır. 34

35 Burada dikkat edilirse öğrencilerin başarısızlığıyla ilgili bütün olasılıklar hesaplanmıştır. Bu olasılıkların toplamı 1 e eşittir. f) Bu dağılımın başarılı ve başarısız öğrenci sayısına göre Aritmetik ortalaması ve standart sapmasını bulunuz. Başarılı öğrenci sayısına göre: N = 10, B = 6 ve n = 5. Burada p = = = 0.6 olacaktır. Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = n.p = 5*0.6 = 3 Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = ( ) n.p. (1 p) = ( ) 3 (1 0.6) = Başarısız öğrenci sayısına göre: N = 10, B = 4 ve n = 5. Burada p = = = 0.4 olacaktır. Aritmetik ortalaması: µ x = E (X) = n.p = 5*0.4 = 2 Varyansı: = E [ (X - µ x ) 2 ] = ( ) n.p. (1 p) = ( ) 2 (1 0.4) = NORMAL DAĞILIM Günlük hayatta karşılaşılan birçok olayın olasılık yoğunluk fonksiyonu aritmetik ortalama etrafında yüksek ve uçlara doğru ise azalan bir seyir göstermektedir. Bu tür dağılımlara Normal Dağılım denir ve istatistik analizlerinde en çok kullanılandır. Normal olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde görüldüğü üzere aritmetik 35

36 ortalama etrafında simetrik bir dağılıma sahiptir. Normal olasılık yoğunluk fonksiyonu çana benzediğinden Çan Eğrisi olarak ta adlandırılır. Eğrinin kuyrukları x eksenini sonsuzda keser ve eğrinin altında kalan alan 1 e eşittir. Süreklilik gösteren olayların dağılımına uygundur ve tek maksimuma sahip olduğu için çarpıklık ve basıklık katsayıları kolaylıkla hesaplanabilir ki buda çalışmalarda büyük kolaylıklar sağlar. Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X rassal değişkeninin Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir. 36

37 , - < x < için Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunda yer alan sembollerin açıklanmaya ihtiyacı vardır. x = olasılığı hesaplanacak tesadüfi değişken µ = X rassal değişkenin aritmetik ortalaması σ 2 = X rassal değişkeninin varyansı e = (tabii logaritmanın tabanı) π = (pi sayısı) µ ve σ 2, eksi sonsuz ile artı sonsuz arasında bir değer alabilir. Bundan dolayı tek bir normal dağılım yoktur µ ve σ 2 alacağı değerlere göre farklı olabilirler. X rassal değişkeninin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan normal dağılıma sahip ise bu aşağıdaki şekilde gösterilir. X N (μ,σ 2 ) X rassal değişkeninin istenilen bir aralıkta olma olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. X rassal değişkenin normal dağılıma sahip olduğundan olasılıklar Z (Normal dağılım tablosu) tablosu yardımıyla daha kolay hesaplanabilir. Z = olarak ifade edilebilir. X rassal değişkeninin istenilen bir aralıkta olma olasılığı aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir. 37

38 Normal Dağılımın Özellikleri X rassal değişkeninin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan normal dağılıma uyduğu düşünülürse aşağıdaki özelliklere sahip olacaktır. 1. X rassal değişkeninin ortalaması E (X) = µ 2. X rassal değişkeninin varyansı Var (X) = E [ ( X- µ ) 2 ] = σ 2 3. Çarpıklık Katsayısı = 0 4. Basıklık Katsayısı = 3 X rassal değişkeninin dağılımın ortalaması ve varyansı bu değişkenin olasılık fonksiyonunun şeklini belirler. Dağılımın iki parametresi olan ortalama ve varyansı değiştikçe normal dağılım grafiğinin şeklide aşağıdaki örneklerde görüldüğü üzere değişecektir. Şekil A da normal dağılıma sahip ortalamaları aynı varyansları farklı iki tane olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmektedir. Şekilden de görüldüğü üzere varyans azaldıkça olasılık yoğunluk fonksiyonu sivrileşmektedir (Basıklığı azalmaktadır). Şekil B de normal dağılıma sahip varyansları aynı ortalamaları farklı iki tane olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmektedir. Şekilden de görüldüğü üzere ortalama artıkça yoğunluk fonksiyonu yana kayarken biçiminde herhangi bir değişme söz konusu değildir. 38

39 Yukarıdaki şekilde X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu normal dağılıma sahiptir ve dört farklı şekilde verilmiştir. Ortalama ve standart sapmadaki değişmelere göre olasılık yoğunluk fonksiyonu eğrisinin değişimleri net olarak görülmektedir. Normal Rassal Değişkenlerin Kümülatif (Birikimli) Olasılık Fonksiyonu Ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan normal dağılıma sahip bir X rassal değişkeninin Kümülatif olasılık fonksiyonu F (x) = P ( X x 0 ) olarak gösterilir. X rassal değişkeninin belli bir x 0 değerinde küçük olma olasılığını gösterir. 39

40 Yukarıdaki şekilde gri taralı alan, normal dağılıma sahip X rassal değişkeninin herhangi bir x 0 değerinden küçük olma olasılığını vermektedir. Bu alan aşağıdaki genel formül yardımıyla bulunabilir. Normal Rassal Değişkenlerin Aralıklı Olasılık Fonksiyonu Ortalaması µ ve varyansı σ2 olan normal dağılıma sahip bir X rassal değişkeninin aralıklı olasılık fonksiyonu F (a) F (b) = P ( a < X < b ) olarak gösterilir. X rassal değişkeninin a ve b gibi iki değer arasında olma olasılığını gösterir (a < b koşuluyla). 40

41 Yukarıdaki şekilde gri taralı alan, normal dağılıma sahip X rassal değişkeninin a ve b gibi iki değer arasında olma olasılığını vermektedir. Bu alan aşağıdaki genel formül yardımıyla bulunabilir. Dağılım normal bir dağılımsa o zaman aşağıdaki normal dağılım tablosu kullanılır. 41

42 42

43 Standart Normal Dağılım Normal olasılık fonksiyonlarını hesaplamak bazı güçlükler içerdiğinden her seferinde bilgisayar yardımıyla sayısal yöntemler kullanılarak hesaplamamız gerekir. Bu işlemi yapmak yerine standart normal dağılım (Z) tablosu kullanılabilir. Bu tablolarda her bir normal olasılık dağılımının olasılıkları çizelgeleştirilmiş ve tek bir normal dağılım olasılıklarıyla ifade edilmiştir. X ortalaması 0 ve varyansı 1 olan normal rassal değişken ise Standart normal dağılıma (Z) sahip demektir ve aşağıdaki şekilde gösterilir. Z N (μ=0,σ 2 =1) X rassal değişkeninin Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir., - < x < için Standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunda yer alan sembollerin açıklanmaya ihtiyacı vardır. Z = E (Z) = = 0 Var (Z) = σ = 1 Z değeri belirli bir değerin aritmetik ortalamadan kaç standart sapma aşağıda ya da yukarıda olduğunu belirlemek için kullanılır. 43

44 Yukarıdaki iki şekilde standart normal dağılıma sahiptir. Standart normal dağılım Özellikleri: 1. Dağılım ortalamaya göre simetriktir. %50'si sağda, %50'si soldadır. 2.Normal dağılım eğrisinin altında kalan alan 1 e eşittir. 3. Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer (mod) birbirine eşittir ve maksimum yüksekliğin bulunduğu yerdedir. 44

45 5. Normal dağılımı gösteren değişkenlerin aldıkları değerlerin; Gözlemlerin %68 i ortalama ile 1 standart sapma aralığına, Gözlemlerin %95 i ortalama ile 2 standart sapma aralığına, ve Gözlemlerin %99 i ortalama ile 3 standart sapma aralığına düşer. Normal Dağılımın Standart Normal Dağılıma Çevrilmesi Normal dağılımları standart normal dağılımlara kolaylıkla çevirebiliriz. Bu çevirme işleminden sonrada olasılıkları standart normal dağılım (Z) tablosu yardımıyla bulabiliriz. ÖRNEK : Sakarya Üniversitesi öğrencilerinin gelirleri normal dağılıma sahiptir. Ortalamasının (μ) 400 ve standart sapmanın (σ) 50 olduğu bilindiğine göre tesadüfü seçilen bir öğrencinin geliri 500 (X) olsun. Bu normal dağılımı standart normal dağılıma çeviriniz. Z = Bu durumda seçilen öğrencinin geliri, ortalamadan 2 standart sapma daha yüksektir. ÖRNEK : Sakarya Üniversitesi öğrencilerinin gelirleri normal dağılıma sahiptir. Ortalamasının (μ) 400 ve standart sapmanın (σ) 50 olduğu bilindiğine göre tesadüfü seçilen bir 45

46 öğrencinin geliri 350 (X) olsun. Bu normal dağılımı standart normal dağılıma çeviriniz. Z = Bu durumda seçilen öğrencinin geliri, ortalamadan 1 standart sapma düşüktür. Standart normal dağılım tablosu aşağıda verilmiştir. Bu tabloyu okumayı bilmemiz gerekir. Z tablosu Artı eksi 3.49 arasında değişiyor. Bu, teorik evrenin %99.98 ine karşılık geliyor. Z tablosu 1/10 luk aralarla standart sapmayı gösteriyor Araştırmacılar z tablosundaki birkaç değerle ilgilenir. Çünkü çoğu hipotez testlerinde %95 ve %99 luk alanlarla ilgileniyor. 46

47 Tablo 1. Standart normal dağılım tablosu z

48

49 Yukarıdaki tabloda çeşitli Z değerleri için normal eğrilerin alanlarını hesaplanmıştır. Bu tablolar yardımıyla doğrudan olasılıkları hesaplayabiliriz bunun için Z tablosunu okumasını bilmemiz gerekir. Z tablosunun nasıl okunacağını aşağıdaki örnekler yardımıyla daha iyi anlayabiliriz. 0.5 sayısı. 5 şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde 0.59 sayısı. 59 şeklinde yazılabilir. Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z<0.68) olduğunu varsayalım. Bunun için ilk önce mavi dikey ve mavi yatay sütunlara bakmalıyız bu sütunlarda.6 ve.08 noktalarının ( =.68) kesiştiği yerde aranır. Böylece P(Z<0.68) =.7517 deriz. 49

50 Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z<1.36) olduğunu varsayalım. Bunun için ilk önce mavi dikey ve mavi yatay sütunlara bakmalıyız bu sütunlarda 1.3 ve.06 noktalarının ( = 1.24) kesiştiği yerde aranır. Böylece P(Z<1.36) =.9131 deriz. Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z>2.18) olduğunu varsayalım. Bu olasılığı tabloda arayabilmenin tek koşulu P(Z<Z 0 ) şeklinde yazılabilmesidir. P(Z>2.18) = 1 - P(Z<2.18) = = şeklinde bulunur. 50

51 Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z< -1.36) olduğunu varsayalım. Bu olasılığı tabloda arayabilmenin tek koşulu aranan değerin pozitif olmasıdır. P(Z<-1.36) = 1 - P(Z<1.36) = = şeklinde bulunur. Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z>-2.96) olduğunu varsayalım. Normal dağılımın simetri özelliğinden bu dağılım P(Z<2.96) şeklinde yazılabilir. Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(1.36<Z<1.96) olduğunu varsayalım. Bu aralıklardaki olasılık P(Z<1.96) - P(Z<1.36) = = şeklinde bulunur. 51

52 Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(-1.26<Z<1.26) olduğunu varsayalım. Bu aralıklardaki olasılık P(Z<1.26) - [ 1 - P(Z<1.26) ] = 2P(Z<1.28) - 1 şeklinde bulunur. 8. BİNOM BÖLÜNMESİNE NORMAL BÖLÜNME YAKLAŞIMI Binom bölünmesi ile ilgili problemler deney sayısı (n) çok büyük olmadığında kolaylıkla çözülebilmektedir. Buna karşılık, n büyük olduğunda (n ) P(x) = n C x. p x (1-p) n-x P(x) = 0 (x=0,1,2,,n için) (diğer durumlarda) olasılık fonksiyonundan yararlanmak güçleşmektedir. p olasılığı ½ ye yaklaştıkça binom bölünmesi de normal bölünmeye yaklaşmaktadır. Binom bölünmesinin bu önemli özelliğinden yararlanılarak, p olasılığının ½ ye yaklaştığı bütün durumlarda, hesaplamaları basitleştirmek için, normal bölünme uygulanabilir. Ancak binom bölünmesi kesikli bölünme, normal bölünme ise sürekli bölünme niteliğinde olduğu için süreklilik düzeltmesi yapmak gerekir. Süreklilik düzeltmesi, X rassal değişkeninin alacağı x 1,x 2,..x n değerlerine göre şu şekilde yapılır: x<x için : (x+0,5) x X için : (x-0,5) X<x için : (x-0,5) X x için : (x+0,5) Bunlara bağlı olarak, x 1 <X<x 2 için : (x 1 +0,5) ve (x 2-0,5) x 1 X x 2 için : (x 1-0,5) ve (x 2+ 0,5) x 1 X<x 2 için : (x 1-0,5) ve (x 2-0,5) x 1 <X x 2 için : (x 1 +0,5) ve (x 2 +0,5) 52

53 düzeltmeleri de yapılabileceği gibi, ayrıca X=x için : (x-0,5) ve (x+0,5) özel durumu da belirtilebilir. Süreklilik düzeltmeleri yapıldıktan sonra, elde edilen bu değerler standart değişken formülünde yerlerine konulup bunlara karşı gelen alanlar bulunarak olasılıklar hesaplanır. Örnek. Bir madeni para için rastgele yapılan 10 atış içersinde 3 ve 6 arası tura gelmenin (a) binominal dağılımını oluşturunuz (b) binominal dağılımı normal dağılıma dönüştürerek standart normal dağılıma göre 10 atış içersinde 3 ve 6 arası tura gelmenin olasılığını bulunuz? Çözüm: a) p(x=3) = p(x=4)= C C p(x=5) = C p(x=6) = C p(3 X 6) = bulunur

54 Dağılım ihtimali için bir madeni para atışında ki tura sayısı, yukarıdaki Şekil(a) ve Şekil(b) de grafik olarak gösterilmiştir. Şekil(b) madeni para atışına devam ediliyormuş gibi verileri işlemektedir. Beklenen olasılıklar Şekil(b) de gölgeli alanlarda özetlenmiştir ve beklenen olasılık sürekli çizgi ile gösterilen normal eğrinin altındaki alanla hesap edilebilir. b) Veriler ele alınarak 3 ten 6 ya kadar gelen tura sayılarının normal dağılım kullanılarak 2.5 (X alt -0.5 düzeltmesiyle) dan 6.5 (X üs t+0.5 düzeltmesiyle) a kadar tura gelen olasılıklar şeklinde de ele alınabilir. Burada Binom dağılımını normal dağılıma dönüştürmede X 1 X X 2 aralığı karşılık gelen formül kullanılır. Bu durumda normal eğri altında X ve X aralığına karşılık gelen p(x X X ) olasılığı veya bu aralığa karşılık gelen z değerleri için için olasılık hesaplanır. Bunun yanında, verilerin binominal dağılımları için ortalama ve varyans şu şekilde hesaplanabilir. 1 np npq ve 6.5 için Standart normal değişken Z 1 =(2.5 5)/1.58 = ve Z 2 =( (6.5 5)/1.58=0.95 olarak bulunur. Buradan Z değerleri kullanılarak yukarıdaki Şekil(c) de eğrinin altında kalan alan bize olasılığı verir: 54

55 p(-1.58 Z 0.95)=p(-1.58<Z<0)+p(0<Z<0.95)= = MERKEZİ LİMİT TEOREMİ Normal dağılıma sahip rassal değişkenlerde gözlem sayısı (n) artıkça rassal değişken standart normal dağılıma yaklaşır. Kaynakça Aytaç, M., (1999), Matematiksel İstatistik, Ezgi Kitabevi, Bursa. Kazmeir, L. J. (1976),Theory and Problems of Business Statistics, Schaum s Outline Series.McGraw-Hil, Inc., U.S.A. Miller, I. and Marylees Miller, (2002), John E. Freund dan Matematiksel İstatistik, Çev. Ü. Şenesen, Literatür Yayınları, İstanbul Newbold P., (2001), İşletma ve İktisat için İstatistik, Çev. Ü. Şenesen, Literatür Yayınları, İstanbul Saraçoğlu, B. Ve Çevik, F. (1995), Matematiksel İstatistik.Gazi Büro Kitabevi. Ankara. Serper, Ö., (2004), Uygulamalı İstatistik I-II, Filiz Kitabevi, İstanbul. Spiegel, M. R. (1961),Theory and Problems of Statistics, Schaum s Outline Series.McGraw-Hill Company, U.S.A. 55

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM 1 BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM Normal dağılım; 'normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve)' ile kavramlaştırılan hipotetik bir evren dağılımıdır. 'Gauss dağılımı' ya da 'Gauss eğrisi' olarak da bilinen

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 7 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

MATE211 BİYOİSTATİSTİK

MATE211 BİYOİSTATİSTİK MATE211 BİYOİSTATİSTİK ÇALIŞMA SORULARININ ÇÖZÜM VE CEVAPLARI Yapılan bir araştırmada, 136 erişkin kişinin kanlarındaki kolesterol düzeyleri gr/dl cinsinden aşağıda verilmiştir: 180 230 190 186 220 191

Detaylı

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA EXCEL UYGULAMA Bu bölümde Excel ile ilgili temel bilgiler sunulacak ve daha sonra İstatistiksel Uygulamalar hakkında bilgi verilecektir. İşlenecek Konular: Merkezi eğilim Ölçüleri

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken

Detaylı

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

009 BS 400- İstatistik sonılannın cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve formüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. şağıdakilerden hangisi doğal birimdir? l TV alıcısı Bl Trafik kazası CL

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar

OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar OLASILIK OLASILIK İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır 17. yy daşans oyunları ile başlamıştır Her bir denemenin çıktısı belirsizdir Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU. 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu. 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla Sunumu

VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU. 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu. 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla Sunumu SAÜ 3. BÖLÜM VERİLERİN GRAFİKLER YARDIMIYLA SUNUMU PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 3.2.Grafiksel Sunumlar 3.2.1.Daire Grafikleri Yardımıyla Verilerin Sunumu 3.2.2.Sütun(Çubuk) Grafikleri Yardımıyla

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 = 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU FREKANS DAĞILIMLARINI TANIMLAYICI ÖLÇÜLER Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve daha ileri düzeydeki işlemler için verilerin bütününe ait tanımlayıcı ve özetleyici ölçülere ihtiyaç

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi 2010 S 4200- İstatistik sorulannın cevap l anmasında gerekli olabilecek t ablolar ve f ormüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıstır? ) Maddesel

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ

VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Outlier : Veri setinde normal olmayan değerler olarak tanımlanır. Ders: Kantitatif Yöntemler 1 VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Veri setinden değerlendirme başlamadan çıkarılabilir. Yazım

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İSTATİSTİK STATISTICS (2+0) Yrd.Doç.Dr. Nil TOPLAN SAÜ.MÜH. FAK. METALURJİ VE MALZEME MÜH. BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM YILI

İSTATİSTİK STATISTICS (2+0) Yrd.Doç.Dr. Nil TOPLAN SAÜ.MÜH. FAK. METALURJİ VE MALZEME MÜH. BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM YILI İSTATİSTİK STATISTICS (+) Yrd.Doç.Dr. Nil TOPLAN SAÜ.MÜH. FAK. METALURJİ VE MALZEME MÜH. BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM YILI KONU BAŞLIKLARI :. İSTATİSTİĞE GİRİŞ. VERİLERİN DÜZENLENMESİ. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ.

Detaylı

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi ENM 52 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I (Ortalamalar ve Oranlar İçin ) İstatistiksel Hipotezler İstatistiksel hipotez testi ve parametrelerin güven aralığı tahmini,

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR 12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR A Veri Türleri Anakütle bir bütünü temsil ederken; örneklem, bir bütünün sadece bir kısmını temsil etmektedir. Anakütledeki gözlem sayısı N ile temsil edilirken; örneklemdeki

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH ORTALAMA ÖLÇÜLERİ Ünite 6 Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH Araştırma sonucunda elde edilen nitelik değişkenler hakkında tablo ve grafikle bilgi sahibi olunurken, sayısal değişkenler hakkında bilgi sahibi olmanın

Detaylı