x = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)

Transkript

1 Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk sk kar³la³rz. Bu tür nesneleri inceleyebilmek için, e³itlik kavramn geni³leterek, denklik (e³de erlik) kavramn tanmlyoruz. Tanm Yansma, simetri ve geçi³me (geçi³kenlik) özeliklerine sahip ba ntlara, denklik ba ntlar, denilir. Bu tanmn simgesel açklamas ³öyledir: X kümesi üzerinde a³a daki özeliklere sahip β ba nts bir denklik ba ntsdr: x X xβx dönü³lü (8.1) (x,y X xβy yβx simetrik (8.2) (x,y,z X xβy yβz xβz geçi³me (8.3) Bo³ olmayan bir A kümesi üzerinde tanml bir denklik ba nts β olsun. (x,y) β ise x ile y ö eleri, β denklik ba ntsna göre, birbirlerine denktir, denilir ve x y x y( mod β) ya da x y (8.4) simgelerinden birisiyle yazlr. Bazan denklik terimi yerine e³de erlik terimi kullanlr. 8.2 Denklik Snar β ba ntsna göre, x ö esine denk olan bütün ö elerden olu³an alt kümeye, x ö esinin denklik snf, diyecek ve x, [x], [x] β 75

2 76 BÖLÜM 8. DENKL K BA INTILARI simgelerinden birisiyle gösterece iz. Buna göre, x = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) = {y xβy} (8.6) yazabiliriz. Teorem (i) β, bo³ olmayan bir X kümesi üzerinde bir denklik ba nts ise, β nn denklik snar X kümesinin bir ayr³mn olu³turur. (ii) Tersine olarak, X kümesinin her ayr³mna kar³lk, bu ayr³m olu³turan alt kümeleri denklik snar olarak kabul eden bir denklik ba nts vardr. Yukardaki özelikleri ³öyle de ifade edebiliriz: 1. X kümesinin her ö esi, bir ve yalnzca bir denklik snfna aittir. Buna göre denklik snarnn birle³imi X kümesine e³ittir: X = {x x X}. 2. ki denklik snf ya birbirlerine e³ittir ya da ayrktrlar: x,y X [(x = y) (x y = )]. spat: Birinci ksm için, β nn denklik snar ailesinin Tanm paragraftaki ayr³m tanmnda verdi imiz (i), (ii), (iii) ve (iv) ko³ullarn sa lad n gösterece iz. β nn herhangi bir [x] denklik snf, hiç de ilse, x ö esini kapsad ndan [x] dr. Öte yandan X = x X [x] oldu u apaçktr. Böylece (ii) ve (iv) özelliklerinin varl gösterilmi³ oldu. (iii) özeli ini göstermek için, [x] ve [y] gibi herhangi iki denklik snf ald mzda, ya [x] = [y] ya da [x] [y] = oldu unu göstermemiz yetecektir. Gerçekten, a [x] [y] aβx aβy xβa aβy (8.7) olacaktr. imdi b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8) olaca n görebiliriz. Çünkü b [x] demek bβx demektir. Öte yandan xβy oldu unu gördük. u halde, b(b [x]) bβx xβy bβy b [y] (8.9) dir. Tamamen benzer ³ekilde [x] [y] oldu u da gösterilir. u halde, arakesitleri bo³ olmayan her [x],[y] denklik snan özde³ olarak e³ittir. Böylece teoremin ilk ksmn ispatlam³ olduk.

3 8.2. DENKLIK SINIFLARI 77 imdix kümesinin herhangi bir {A α α I} ayr³m verilmi³ olsun, Ayr³m tanmna göre α,β I α β A α A β = (8.10) olaca ndan, herhangi bir x X verildi inde x A α olacak ³ekilde bir tek α I vardr. Buna göre, X üzerinde xγy [ α(α I)x,y A α (8.11) ba ntsn tanmlayalm, γ nn bir denklik ba nts oldu u ve γ nn denklik snarnn {A α α I} ailesinden ibaret oldu u kolayca görülebilir. Tanm X kümesi üzerindeki bir denklik ba nts β olsun. β nn farkl denklik snarndan olu³an aileye,x in β ya göre oran (bölüm) kümesi diyecek ve X/β ile gösterece iz; yani dir. Örnekler X/β = {[x],[y],[z],...} = {[x] : x X} (8.12) 1. A = {a,b,c,d} kümesi üzerinde, β = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),((b,c),(b,d),(c,b),(c,d),(d,c),(d,b)} ba ntsnn gra ini çiziniz. Denklik ba nts oldu unu gösteriniz. Denklik snarn yaznz. Çözüm: β ba ntsnn gra i çizilirse ³unlar hemen görülür: (a) Kö³egen ba ntya ait oldu undan, β yansmaldr. (b) Ba ntya ait noktalar, kö³egene göre simetrik oldu undan, β simetriktir. (c) Her x,y,z A için, oldu u görülebilir. Örne in, dir. β nn yalnzca iki denklik snf vardr: a = {a} b = {b,c,d} b = c = d oldu una dikkat ediniz. [((x,y) β) ((y,z) β)] (x,z) β [((c,b) β) ((b,d) β)] (c,d) β

4 78 BÖLÜM 8. DENKL K BA INTILARI 2. β = {(2,2),(2,6),(4,4),(6,6),(4,6),(6,2),(6,4),(2,4),(4,2)} ba ntnn gra ini çiziniz ve bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. Denklik snarn yaznz. Çözüm: Aranan ba nt A = {2,4,6} kümesi üzerinde tanmldr. 2 = 4 = 6 oldu undan, β nn bir tek denklik snf vardr: 2 = {2,4,6}. 3. ki kesrin e³itli ini, b c d) (ad = bc) ba nts ile tanmlyoruz. Bunun bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. Çözüm: (a) (b) (c) b a ) b oldu undan yansmaldr. (ab = ab) b c ) ( c (ad = bc) (bc = ad) d d a b) oldu undan, simetriktir. b c ) ( c d ) d e ) f (ad = bc) (cf = de) (af = be) b e ) f oldu undan, geçi³kendir. 4. Analitik düzlemdeki bütün do rularn kümesi üzerinde, simgesiyle gösterece imiz paralelli i x y [(x = y) (x y = ] (3) biçiminde tanmlayalm. Paralellik ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. Çözüm: D, düzlemdeki bütün do rularn kümesi olsun. β = {(x,y) (x,y D) (x y)} ba ntsn tanmlayalm. β nn bir denklik ba nts oldu unu görmek için, yansma, simetri ve geçi³me özeliklerine sahip oldu unu göstermeliyiz.

5 8.2. DENKLIK SINIFLARI 79 (a) Her do ru kendisine paralel oldu undan, x D x x olur; yani, paralellik yansma özeli ine sahiptir. (b) x y y x oldu undan, paralellik ba nts simetriktir. (c) (x y y z) x z oldu undan, paralellik ba nts geçi³kendir. Düzlemde ayn do rultuya sahip olan do rular; yani, birbirlerine paralel olan do rular, ayn denklik snf içindedirler. Düzlemde, sonsuz do rultu oldu u için, paralellik ba ntsnn denklik snar sonsuz çokluktadr. 5. Tamsaylar kümesi üzerinde "farklar çift olanlar e³tir" ba nts bir denklik ba ntsdr. Bunu görmek için, Tamsaylar Kümesini Z ile gösterelim ve Z üzerinde, β = {(m,n) (m n) çifttir} ba ntsn tanmlayalm. β nn yansmal, simetrik ve geçi³li oldu unu gösterelim. (a) n Z n n = 0 çifttir. O halde, β yansmaldr. (b) (m, n Z) (m n) çift ise (n m) de çift olaca ndan, β simetriktir. (c) (m,n,r Z) için(m n) çift ve (n r) çift ise (m r) = (m n)+ (n r) de çift olaca ndan, β geçi³lidir. (m,n) β m n = çift olabilmesi için, m,n tamsaylarnn her ikisi de ayn zamanda ya çift ya da tek olmaldr. Öyleyse, β ba ntsna göre tek saylar birbirlerine denk; çift saylar birbirlerine denktir. Bir tek say ile bir çift say ayn denklik snfnda olamazlar. Öyleyse, β ya göre, yalnzca iki denklik snf vardr: 0 = {..., 8, 6, 4, 2,0,,2,4,6,8,...} 1 = {..., 9, 7, 5, 3, 1,1,3,5,7,9...} 6. Herhangi bir küme üzerindeki e³itlik, bir denklik ba ntsdr. X bo³ olmayan bir küme olsun. Bunun üzerinde, β = {(x,y) x = y } ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu göstermeliyiz. E³itlik Beliti'nden, (a) Her ö e kendisine e³ittir; yani x X x = x oldu undan β ba nts yansmaldr. (b) (x,y X) ve x = y ise y = x oldu undan β ba nts simetriktir. (c) (x,y,z X) için x = y ve y = z ise x = z oldu undan β ba nts geçi³lidir.

6 80 BÖLÜM 8. DENKL K BA INTILARI yazabiliriz. O halde, e³itlik ba nts bir denklik ba ntsdr. Bu örnekte, bir x ö esinin denklik snf, yalnzca kendisinden olu³ur: x = x dir. 7. Bir denklik ba ntsnn tersinin de bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. Çözüm: Bo³ olmayan bir A kümesi üzerinde, β bir denklik ba nts ise, β yansmal, simetrik ve geçi³kendir. imdi, bunun tersi olan β 1 = {(x,y) (y,x) β} ba ntsnn da ayn özelikleri sa lad n göstermeliyiz. x A (x,x) β (x,x) β 1 (x,y) β 1 (y,x) β(β 1 in tanmndan) (x, y) β (βsimetrik oldu undan) (y,x) β 1 (β 1 in tanmndan) β 1, simetriktir ( (x,y) β 1 ) ( (y,z) β 1) ((y,x) β) ((z,y) β) ((z,y) β) ((y,x) β) (z,x) β (x,z) β 1 β 1, geçi³kendir 8. Bell Saylar: n ö eli bir kümede tanmlanabilecek denklik ba ntlarnn saysdr. Örne in, (a) X 1 = {x 1 } kümesinde 1 tane denklik ba nts kurulabilir. (b) X 2 = {x 1,x 2 } kümesinde 2 tane denklik ba nts kurulabilir. (c) X 3 = {x 1,x 2,x 3 } kümesinde 5 tane denklik ba nts kurulabilir. (d) X 4 = {x 1,x 2,x 3,x 4 } kümesinde 15 tane denklik ba nts kurulabilir. (e) X 5 = {x 1,x 2,x 3,x4,x 5 } kümesinde 52 tane denklik ba nts kurulabilir. (f) X 6 = {x 1,x 2,x 3,x4,x 5,x 6 } kümesinde 203 tane denklik ba nts kurulabilir.

7 8.3. ALI TIRMALAR 81 (g) X 7 = {x 1,x 2,x 3,x4,x 5,x 6,x 7 } kümesinde 877 tane denklik ba nts kurulabilir. (h) X 8 = {x 1,x 2,x 3,x4,x 5,x 6,x 7,x 8 } kümesinde4140 tane denklik ba nts kurulabilir. (i) X 9 = {x 1,x 2,x 3,x4,x 5,x 6,x 7,x 8,x 9 } kümesinde tane denklik ba nts kurulabilir. (j) X 10 = {x 1,x 2,x 3,x4,x 5,x 6,x 7,x 8,x 9,x 10 } kümesinde tane denklik ba nts kurulabilir.... Genel olarak, Bell saylar B n+1 = n k=0 yinelgen(recursive) formülü ile bulunur. ( nk ) B k 8.3 ALI TIRMALAR 1. Karde³lik ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. 2. A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} kümesinde tanml, β = {(x,y) : 4 (x y)} ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz ve denklik snarn bulunuz. 3. Analitik düzlemdeki do rular kümesi üzerinde, "diklik" ba ntsnn bir denklik ba nts olmad n gösteriniz. 4. A³a daki ba ntlar, A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde tanmldr. Bunlardan hangileri denklik ba ntsdr? Denklik ba nts olanlarn, denklik snarn yaznz. (a) β 1 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} (b) β 2 = {(1,1),(2,2),(3,3),(3,1),(1,3)} (c) β 3 = {(1,1),(2,2),(3,3),(3,1),(1,2)} (d) β 4 = {(1,1),(2,2),(3,3)} 5. Bir has alt kümede tanml bir denklik ba nts, üst küme üzerinde de bir denklik ba nts mdr? Neden? 6. Bir has üst kümede tanml denklik ba ntsnn, alt kümeye daraltlm³ da bir denklik ba nts mdr? Neden?

8 82 BÖLÜM 8. DENKL K BA INTILARI 7. Bir kümeler ailesi üzerinde nicelik saylarnn e³itli i ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. 8. Tamsaylar kümesi üzerinde (m,n) β 5 (m n) ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. Denklik snarn yaznz. 9. Analitik düzlemdeki üçgenler kümesi üzerinde tanml benzerlik ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. 10. Analitik düzlemdeki üçgenler kümesi üzerinde tanml e³lik ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. 11. Bir okuldaki ö renciler arasndaki "arkada³ olma" ba nts bir denklik ba nts mdr? Neden? 12. Ayn bir küme üzerinde tanml iki denklik ba ntsnn arakesiti de bir denklik ba ts mdr? Neden? 13. Bir denklik ba ntsnn tersi de bir denklik ba nts mdr? Neden? 14. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi veriliyor. A³a dakilerden hangileri A kümesinin bir ayr³mdr? Nedenleriyle açklaynz (a) {{1,2,3},{3,4},{5}} (b) {{1,2,5},{3,4}} (c) {{1,2},{3,4,5}} (d) {{1},{3},{4},{5}} (e) {{2,5},{3}} (f) {{1,2,4,5},{3,4}} (g) {{1,2,5},{1,2} {3},{3,4}} 15. A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde e³itlik ba nts {(1, 1),(2, 2),(3, 3)} dr. Sa laynz.