GAUSS IŞINLARININ SAÇILMASININ SINIR KIRINIM DALGASI TEORİSİ İLE İNCELENMESİ

Transkript

1 ludağ Ünvrsts Mühndslk-Mmarlık Fakülts Drgs, Clt 5, Sayı, GASS IŞINLAININ SAÇILMASININ SINI KIINIM DALGASI TEOİSİ İLE İNCELENMESİ ğur YALÇIN * Özt: u çalışmada, Gauss ışınlarının yutucu yarım br düzlmdn saçılması Sınır Kırınım Dalgası Tors l nclnmştr İlk olarak, Gauss ışın dmt fads kullanılarak uygun koordnatlarda vktör potansyl tanımlanmıştır u potansyl fads Sınır Kırınım Dalgası Tors ntgralnd kullanılmıştır Açıklık yüzyndn gçn v kırınan alanlar hsap dlmştr Ayrıca, yutucu yarım düzlmn knarından kırınan alanlar düzgün (unform alanlar olarak fad dlmştr Eld dln alan fadlr, gln alan (Gauss ışın dmt l sayısal olarak karşılaştırılmıştır Anahtar Klmlr: Sınır kırınım dalgası tors, saçılan alan, Gauss ışın dmt Invstgaton of Gaussan ams Scattrng wth th Thory of th oundary Dffracton Wav Abstract: In ths study, scattrng of Gaussan bams from an opaqu half plan s nvstgatd wth th thory of th boundary dffracton wav Frstly, a vctor potntal s dscrbd at approprat coordnats by usng th Gaussan bams xprsson Ths vctor potntal s usd n th thory of th boundary dffracton wav ntgral Th transmttd flds through th aprtur surfac and dffractd flds ar calculatd Morovr, dffractd flds from th dg of th opaqu half plan ar xprssd n th form of unform flds Th obtand fld xprssons ar numrcally compard wth th ncdnt fld (Gaussan bams Ky Words: Th thory of th boundary dffracton wav, scattrd fld, Gaussan bams GİİŞ Sınır Kırınım Dalgası Tors (SKDT yaklaşımı oldukça kullanışlı v uygulanma kolaylığı ndnyl br yüzydn kırınan alanların hsabı çn sıklıkla kullanılır (Ganc 995, 996, 8, Tang v dğ 5 SKDT yaklaşımının lk formülasyonu brbrlrndn bağımsız olarak Magg- ubnowcz tarafından ortaya konmuştur (Magg 888, ubnowcz 97 Magg-ubnowcz formülasyonunun çştl tpt gln alanlar çn daha gnl br fads s Myamoto v Wolf tarafından ön sürülmüştür (Myamoto v Wolf 96a, 96b SKDT yaklaşımı açıklık yüzylrndn kırınan alanların hsabında çok daha sıkça kullanılır (Lt 97, Ots 974, Ganc 997, Lu v Lü 5 SKDT yaklaşımını kullanarak yutucu br yarım düzlmn knarından kırınan Gauss ışın dmt alanların hsabını lk olarak Ots v Lt yapmıştır (Ots 975 Ancak ld dln kırınan alan fadlr düzgün (unform dğldr u çalışmada, SKDT yaklaşımı kullanılarak yutucu br yarım düzlmn knarından kırınan Gauss ışın dmt alanların hsabı farklı br şkld bulunacaktır ulunan kırınım alanları Ots v Lt nn çalışmasındaknn aksn düzgün alanlar olarak da fad dlcktr j t Zaman faktörü çalışmanın tamamında olarak göz önün alınacaktır ω * ludağ Ünvrsts, Mühndslk-Mmarlık Fakülts Elktronk Mühndslğ ölümü, 659 Görükl, SA

2 Yalçın, : Gauss Işınlarının Saçılmasının Sınır Kırınım Dalgası Tors İl İnclnms SINI KIINIM DALGASI TEOİSİ Hlmholtz-Krchoff ntgral kırınım alanlarının hsabında sıklıkla kullanılır Stoks tormnn kullanılmasıyla Hlmholtz-Krchoff ntgral aşağıda vrldğ gb k parçaya ayrılablr K = + F ( Yukarıda vrln fad Sınır Kırınım Dalgası Tors (SKDT yaklaşımının tml ştlğdr u ştlkt görüln lk trm, A açıklık yüzynn sınırından kırının alanı tmsl dr (Şkl v aşağıdak ntgral ştlğ l vrlblr: r Q Q Α α r P Yutucu Düzlm Şkl : Sınır Kırınım Dalgası Torsnn Gomtrs = W ( Q, P dl ( u ştlkt görüln vktör potansyl s: r jk r Q W ( Q, P = r ( Q (3 ( jk + Q olarak fad dlblr (Myamoto v Wolf 96a, 96b ( ştlğnd görüln knc trm s, vktör potansylnn tkllklrn tmsl dr Tüm bu tkl v ayrık noktaların yarıçapı σ v çvrs sınır çzgs l çvrlndğ düşünülürs bu trm tmsl olarak F = lm W ( Q, P l dl σ şklnd vrlblr (Myamoto v Wolf 96a, 96b 3 GASS IŞINININ YTC YAIM DÜZLEMDEN SAÇILMASI u bölümd, SKDT Yaklaşımı Gauss ışınının yutucu yarım düzlmdn saçılması problmn uygulanacaktır u amaçla, Şkl dk gomtr göz önün alınacaktır Yutucu yarım düzlm gln Gauss ışını uzayda hrhang br P gözlm noktasında (4

3 ludağ Ünvrsts Mühndslk-Mmarlık Fakülts Drgs, Clt 5, Sayı, y r Gauss dmt y b ρ P r Q Q φ Yarm düzlm xo φ x Şkl : Yutucu Yarım Düzlmdn Saçılma Gomtrs ( = uh ( k (5 olarak vrlblr urada, u = ωμ I / 4 (6 şklnddr v konum vktörünün gnlğ s, {[( x x + jbcosφ] + [( y y jbsnφ] } = + (7 olarak vrlblr Problm at vktör potansyl Q kncl kaynak noktasında (3 v (5 ştlklr kullanılarak r jk ( Q W ( Q, P = uh ( k [ ] (8 + şklnd bulunablr urada, r gln alanın yayılım yönündk brm vktörünü göstrmktdr n Q noktasındak dğr {[ x + jbcosφ ] + [ y jbsnφ ] } Q = + (9 olarak vrlblr Q Q gdrkn Q gdr (bkz Şkl- (3 v (4 ştlğ kullanılarak açıklık yüzyndn gçn alan fads jk r u ( ( l F = lm H ( k [ ] dl ( σ + şklnd fad dlblr Son ştlkt görüln, r snα r α = m = m cot ( + cosα fads olarak hsaplanablr urada α, Q P v QP arasındak açıyı göstrmktdr m v brm vktörü s r m = / ( 3

4 Yalçın, : Gauss Işınlarının Saçılmasının Sınır Kırınım Dalgası Tors İl İnclnms olarak vrlblr (kz Şkl urada dl = σdφ /( m l v φ, Q noktasını saran çvrsn tarayan açıdır öylc, ( ştlğ jk ( σ F = u H ( k lm σ dφ (3 α φ = tan şklnd fad dlblr σ ytrnc küçük kabul dlrk hmal dlblr br yaklaşıklıkla α = σ / (4 ştlğ yazılablr Sonuç olarak, açıklık yüzyndn gçn alan fads (3 ştlğndn, lmt durumunda ( σ, Q noktası çn = olmak üzr, F ( ( = u H ( k d = uh φ φ = ( k olarak bulunablr P gözlm noktasındak kırınan alanlar ( ştlğnd (8 ştlğ kullanılarak bulunablr İlgl brm vktörlr Şkl- dk gomtr göz önün alınarak r = cosφx snφ y r = cosφx snφ y (6 l = z şklnd bulunablr İlgl vktörl çarpımların yapılmasıyla r ( l sn( φ φ φ φ = = tan( (7 + + cos( φ φ kolayca bulunablr öylc, kırınan alana at ntgral ştlğ (, (8 v (7 ştlklr kullanılarak jk ( Q φ φ = uh ( k tan( dl (8 olarak bulunablr u problm çn Q noktası orjnd olduğundan = [ x + y + ( z z ] (9 şklnddr urada dl = dz ( olmak üzr (8 ştlğ jk ( Q φ φ = u H ( k tan( dz ( z = olarak fad dlblr u son ştlktk ntgral fads ( z z = ρshβ ( dğşkn dönüşümü kullanılmasıyla jkchβ ( dβ = H ( kρ (3 j c Hankl fonksyonu vrr urada, ρ = [ x + y ] (4 şklnddr Sonuç olarak, ( ştlğndn (5 4

5 ludağ Ünvrsts Mühndslk-Mmarlık Fakülts Drgs, Clt 5, Sayı, ( Q φ φ ( = u H ( k tan( H ( kρ (5 4 j fads bulunablr Son ştlkt görüln Hankl fonksyonun ( kρ Dby asmptotk açınımı göz önün alınarak yutucu yarım düzlmn knarından kırınan alan fads jkρ j φ φ 4 ( Q = u H ( k tan( (6 kρ olarak bulunablr ulunan kırınan alan fads gölg sınırında sonsuza yaklaşır u yüzdn, düzgün (unform kırınan alanlar hsaplanacaktır (6 ştlğ = cos ( A cos(a (7 trgonomtr özllğ kullanılarak, uygun şkld düznlnrs φ φ j jkρ cos ( 4 u ( Q φ φ jkρ cos( φ φ = H ( k sn( (8 φ φ şklnd yazılablr urada ^ j( ξ + / 4 kρ cos( F ( ξ = /( ξ (9 olmak üzr, (8 ştlğ φ φ ^ ( Q jkρ cos( φ φ = u F( ξ H ( k sn( (3 olarak bulunablr u problm çn dtour paramtrs s ξ = k ρ cos[( φ φ / ] (3 şklnd vrlblr öylc, F( ξ F( ξ sgn( ξ özllğ kullanılarak düzgün kırınan alanlar φ φ ( Q jkρ cos( φ φ u F( ξ sgn( ξ H ( k sn( (33 olarak bulunablr urada, sgn(ξ sgnum fonksyonudur Frsnl ntgral s F şklnddr j 4 jt ( ξ = dt (34 ξ 4 SAYISAL SONÇLA u bölümd Gauss ışınının yutucu yarım br düzlmdn saçılması sayısal sonuçlarla tartışılacaktır Sayısal olarak çzln grafklrd u brm gnlk sçlmştr Gauss ışınının gnşlğ b = / k, koordnatları x = 3/ k, y 4 / k = v yüzy glş açısı φ / = 6 şklnd göz önün alınmıştır Dğr lgl paramtrlr s, k = v ρ = / k olarak sçlmştr İlk olarak, düzgün olmayan v düzgün kırınan alanlar Şkl 3 d karşılaştırılmıştır u karşılaştırmada (6 v (33 ştlklr sayısal olarak karşılaştırılmıştır Ayrıca, lgl ştlklr çzdrlrkn mutlak dğrlr alınmıştır (3 5

6 Yalçın, : Gauss Işınlarının Saçılmasının Sınır Kırınım Dalgası Tors İl İnclnms Şkl 3: Düzgün v Düzgün Olmayan Kırınan Alanlar Şkl 3 dn görüldüğü gb (6 ştlğ düzgün olmayan kırınan alan fads, sayısal olarak çzldğnd fzksl problm uygun olmayan sonuçlar vrmktdr unun ndn, φ = + φ gölg sınırında alan fadsnn sonsuz dğr vrmsdr unun çn dtour paramtrs tanımlanarak alanlar düzgün hal gtrlmştr öylc fzksl problml örtüşn uygun çözüm ld dlblmştr Şkl 4 d yüzy gln alan, düzgün kırınan alan v toplam saçılan alanlar karşılaştırılmıştır u karşılaştırmada (5 ştlğ gölg bölgsnd gln alan olmayacağından ( P u H ( k u ( (35 ( = s ξ şklnd göz önün alınmıştır urada u s ( ξ brm basamak fonksyonunu göstrmktdr (33 v (35 ştlklr sayısal olarak çzdrlrkn mutlak dğrlr alınmıştır Toplam saçılan alan s (33 v (35 ştlklrnn ayrı ayrı mutlak dğrlrnn alınıp toplanmasıyla ld dlmştr Şkl 4: Gln, Kırınan v Toplam Saçılan Alanlar 6

7 ludağ Ünvrsts Mühndslk-Mmarlık Fakülts Drgs, Clt 5, Sayı, Şkl 4 dn görüldüğü gb toplam saçılan alan, yüzy aydınlatan gauss ışını göz önün alınmadığında maksmum dğrn bklnldğ gb gölg sınırında almaktadır Ayrıca Şkl 4 dn gln Gauss ışınının kırınımına lşkn kırınan alan v gln alanın karşılaştırması açıkça görülmktdr 5 SONÇ u çalışmada, Gauss ışınının yutucu yarım br düzlmdn saçılması Sınır Kırınım Dalgası Tors (SKDT yaklaşımıyla nclnmştr Gauss ışın dmt uygun koordnatlarda fad dlrk, vktör potansylnd kullanılmış v SKDT ntgral ld dlmştr u ntgral fads göz önün alınarak açıklık yüzyndn gçn v yutucu yarım düzlmn knarından kırınan düzgün (unform alanlar hsap dlmştr Sonuçlar gln alan (Gauss ışın dmt fads l sayısal olarak karşılaştırılmıştır KAYNAKLA Ganc, S (995 A gnral scalar soluton for th half-plan problm, J Modrn Opt, 4(8, p 77-7 Ganc, S (996 Half-plan dffracton n a cas of oblqu ncdnc, J Modrn Opt, 43(, p Ganc, S (997 oundary Dffracton Wav thory foctlnar aprturs Eur J Phys, 8, p Ganc, S (8 Dffractd wavfld by an arbtrary aprtur from Magg-ubnowcz transformaton: Fraunhofr approxmaton, Optk, 9(, p Lt J W Y (97 oundary-dffracton Wavs du to a gnral pont sourc and thr applcatons to aprtur systms, J Modrn Opt, 9(, p Lu P v Lü (5 Dffracton of sphrcal wavs at an annular aprtur n th us of th boundary dffracton wav thory: A comparson of dffrnt dffracton ntgral approachs, Optk, 6, p Magg, G A (888 Sulla propagazon lbra prturbata dll ond lumnos n un mzzo zotropo, Ann d Mat IIa, 6, p Myamoto K v Wolf E (96 Gnralzaton of th Magg-ubnowcz thory of th oundary Dffracton Wav-Part I, J Opt Soc Am, 5(6, p Myamoto K v Wolf E (96 Gnralzaton of th Magg-ubnowcz thory of th oundary Dffracton Wav-Part II, J Opt Soc Am, 5(6, p Ots G (974 Applcaton of th boundary dffracton wav thory to Gaussan bams, J Opt Soc Am, 64(, p Ots G v Lt J W Y (975 Edg-On dffracton of a Gaussan lasr bam by a sm-nfnt plan, App Optcs, 4(5, p 56-6 ubnowcz, A (97 D bugungswll n dr Krchoffschn thor dr bugungsrchnungn, Ann Physk, 4(, p Tang L v dğ (5 Analyss of nar-fld dffracton pattrn of a mtallc prob tp wth th boundary dffracton wav mthod, Chn Phys Ltt, (9, p Makal 8 tarhnd alınmış, 9 tarhnd kabul dlmştr İltşm Yazarı: YALÇIN (uyalcn@uludagdutr 7