ÖZEL EGE LİSESİ DÖRTGENDEN DÖRTGENE DÖNÜŞÜM

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖZEL EGE LİSESİ DÖRTGENDEN DÖRTGENE DÖNÜŞÜM"

Yonca Turgut
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ÖZEL EGE LİSESİ DÖRTGENDEN DÖRTGENE DÖNÜŞÜM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Aslı TURAN DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Ceylin KORKMAZ İZMİR 2017

3 İÇİNDEKİLER Sayfa 1. Giriş Amaç Yöntem Bulgular Sonuçlar ve Tartışma Örnek Uygulama Yemek Masası Tasarımı Kaynakça

4 Proje Adı: DÖRTGENDEN DÖRTGENE DÖNÜŞÜM 1. Giriş Bu projede,dörtgenlerin kesişen iki doğru parçasıyla dört parçaya ayrılıp, parçaların döndürülüp kenarlarının çakıştırılarak yeni dörtgenlerin oluşturulması konusu incelenmiştir. Dörtgenin köşe açılarının, kenar uzunluklarının; kesişen doğru parçalarının uzunluklarının, birbirleriyle veya dörtgenin kenarlarıyla yaptıkları açıların, dönüşüm sonucu oluşan yeni geometrik şeklin özelliklerini nasıl etkilediği konusu analiz edilmiştir. Projeye konu olan hipotez Bir dörtgen kesişen iki doğru parçası ile dört parçaya ayrıldığında, parçalar döndürülüp hizalandığında başka bir dörtgen elde edilir. dir. Proje konusu Emrahan Halıcı nın Türkiye Zeka Vakfı tarafından düzenlenen Zeka ve Yetenek Kongresi sırasında sunduğu zeka sorusundan yola çıkılarak belirlenmiştir ([1]). Halıcı, dinleyicilerinden Resim-1 de yer alan kareden belirli bir kurala göre Resim- 2 de yer alan kareyi oluşturmalarını istemiş ve başta alınan kare ile Resim-2 de yer alan karenin alanının neden aynı olmadığını açıklamalarını beklemiştir. Bu projede, bu sorudan yola çıkılarak farklı dörtgenlerde de bu özelliğin sağlanıp sağlanmayacağı kontrol edilmiş, ayrıca düzlemde sağlanan bu özelliğin üç boyutlu katı cisimler üzerine de uygulanması sonucunda iki şeklin hacimleri karşılaştırılmıştır. Bu araştırmada elde edilen bulguların, tangram ([2]) ve origami benzeri oyunların geliştirilmesinde, faydalı olacağı beklenmektedir. Çalışmada elde edilen bulguların başka alanlarda da kullanılması olasıdır; örnek olması açısından bulgulardan yola çıkarak bir katlanır masa tasarlanıp ölçekli prototipi yapılmıştır. 1.1 Amaç Bir dörtgen, kesişen iki doğru parçası ile dört parçaya ayrıldıktan sonra parçalar döndürülüp kenarları çakıştırılarak yeniden hizalansın. Bu projenin amacı; dörtgenin köşe açılarının, kenar uzunluklarının; kesişen doğru parçalarının uzunluklarının, birbirleriyle veya dörtgenin kenarlarıyla yaptıkları açıların, dönüşüm sonucu oluşan yeni şeklin özelliklerini nasıl etkilediğini belirlemektir. Benzer şekilde, düzlemde bulunan alan bağıntıları aracılığı ile tabanı dörtgen olan prizmaların, kesişen iki düzlem ile arakesitleri alındığında oluşan dört parça ayrıtları kesişecek şekilde tekrar birleştirildiğinde oluşan yeni katı cisimlerin özelliklerini belirlemektir. 2

2. Yöntem Araştırmanın ilk aşamasında mukavva kartonu kullanılarak kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen, deltoid, çeşitkenar dörtgen gibi şekiller hazırlanmış, bunlar kesişen doğru

Her bir şeklin parçalara ayrılmasından sonra köşe noktaları harflerle, parçalar rakamlarla işaretlenmiş, böylece orijinal ve dönüşüm geometriler arasında dönüşümün izlenmesi kolaylaştırılmıştır.

5 2. Yöntem Araştırmanın ilk aşamasında mukavva kartonu kullanılarak kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen, deltoid, çeşitkenar dörtgen gibi şekiller hazırlanmış, bunlar kesişen doğru parçalarıyla dörder parçaya ayrılıp parçalar döndürülerek yeni bir dörtgen şekil oluşturulmaya çalışılmıştır. Her bir şeklin parçalara ayrılmasından sonra köşe noktaları harflerle, parçalar rakamlarla işaretlenmiş, böylece orijinal ve dönüşüm geometriler arasında dönüşümün izlenmesi kolaylaştırılmıştır. Mukavva örneklerin incelenmesinden sonra da öğrenilmiş temel geometri kuralları kullanılarak dönüşümün matematik modeli oluşturulmuş ve bulgular türetilmiştir. Resim 1-12 arasında mukavvadan üretilmiş şekillerin orijinal ve dönüştürülmüş hallerinin fotoğrafları verilmektedir. Dönüşüm işlemi aşağıdaki adımlar uygulanarak gerçekleştirilmiştir. Dönüşüm Adımları: i. 1 numaralı parça, K noktası sol-üstte kalacak şekilde döndürülür. ii. 2 numaralı parça, 1 numaralı parçanın [HA] kenarı ile 2 numaralı parçanın [FB] kenarı temas edecek ve 1H (1 numaralı parça üzerindeki H noktası) ile 2F noktaları çakışacak şekilde döndürülerek yerleştirilir. iii. 3 numaralı parça, 2 numaralı parçanın [EB] kenarı ile 3 numaralı parçanın [GC] kenarı temas edecek ve 2E ile 3G noktaları çakışacak şekilde döndürülerek yerleştirilir. iv. 4 numaralı parça, 3 numaralı parçanın [FC] kenarı ile 4 numaralı parçanın [HD] kenarı temas edecek ve 3F ile 4H noktaları çakışacak şekilde döndürülerek yerleştirilir. Karenin Dönüşümü Resim-1 Resim-2 3

6 Dikdörtgenin Dönüşümü Resim-3 Resim-4 Paralelkenarın Dönüşümü Resim-5 Resim-6 4

7 Eşkenar Dörtgenin Dönüşümü Resim-7 Resim-8 Deltoidin Dönüşümü (Dönüşüm sonrası dörtgen elde edilememiştir) Resim-9 Resim-10 5

kullanılarak kare ve dikdörtgen prizmalar

iki düzlem ile kesilerek yine dört parçaya

Bu parçalarda dörtgenlerdeki gibi köşeleri

8 Çeşitkenar Dörtgenin Dönüşümü (Dönüşüm sonrası dörtgen elde edilememiştir) Resim-11 Resim-12 Araştırmanın ikinci aşamasında ise köpük ve seramik karolar kullanılarak kare ve dikdörtgen prizmalar hazırlanmış ve bu katı cisimler, kesişen iki düzlem ile kesilerek yine dört parçaya ayrılmıştır. Bu parçalarda dörtgenlerdeki gibi köşeleri isimlendirilerek döndürülmüş ve yeni katı cisimler oluşturulmuştur (Resim-13-Resim-16) Kare Prizmanın Dönüşümü Resim-13 Resim-14 Dikdörtgen Prizmanın Dönüşümü Resim-15 Resim-16 6

3. Bulgular Şekil-1 Şekil-2 Tanımlar: KDP: Şekil-1 dörtgeni içine çizilen karşılıklı kenarlarda başlayıp biten ve dörtgeni dört parçaya bölen Kesişen Doğru Parçaları.

9 3. Bulgular Şekil-1 Şekil-2 Tanımlar: KDP: Şekil-1 dörtgeni içine çizilen karşılıklı kenarlarda başlayıp biten ve dörtgeni dört parçaya bölen Kesişen Doğru Parçaları. Ş1: Şekil-1 dörtgeni ve içine çizilen kesişen doğru parçaları kümesi Ş2DG: Şekil-2 dış geometrik şekil Ş2İG: Şekil-2 iç geometrik şekil Ş2: Şekil-2 mavi dörtgeni ve içinde yer alan sarı dörtgeni kapsayan küme Bulgu Tablosu: # MATEMATİK MODEL BULGU ǀEGǀ = ǀKEǀ + ǀKGǀ ǀHFǀ = ǀKHǀ + ǀKFǀ ǀHFǀ = ǀACǀ ve ǀHFǀ = ǀACǀ ise Çevre (Ş2DG) = en büyük değer [AD] [BC] ise m( KHD) + m( CFK) 180 m( EKH) = m( FKG) m( GKH) = m( EKF) Şekil-2 deki dış geometrik şekilde (oluşan mavi dörtgende) karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşit ve bu uzunluklar kesişen doğru parçalarının uzunluklarına eşit olacaktır. Şekil-2 deki dış geometrik şeklin (oluşan mavi dörtgenin) çevre uzunluğu, kesişen doğru parçaları Şekil-1 deki dörtgenin köşegenleriyle çakıştığında en büyük değerini alacaktır. Şekil-1 de yer alan dörtgende karşılıklı kenarlar birbirine paralel değilse Şekil-2 de dörtgen oluşturulamaz. (1 ve 3 numaralı bulgular birbirini desteklemektedir.) Şekil-2 de yer alan dörtgende karşılıklı açılar birbirine eşittir. (1,3 ve 4 numaralı bulgular birbirini desteklemektedir.) 5 ǀHFǀ = ǀEGǀ ve m( EKH) = 90 Ş2DG karedir. 6 ǀHFǀ = ǀEGǀ ve m( EKH) 90 Ş2DG eşkenar dörtgendir. 7 ǀHFǀ ǀEGǀ ve m( EKH) = 90 Ş2DG dikdörtgendir. 7

8 ǀHFǀ ǀEGǀ ve m( EKH) 90 Ş2DG paralelkenardır. 9 Ş2 m( BAD) = 180 - m( EAH) Ş1 köşe açıları Ş2İG köşe açılarının bütünleridir. Ş1 kare ya da dikdörtgen ise Ş2İG kare ya da dikdörtgen olacaktır.

FC )dir. 11 Ş1 de m( HAE) = m( EBF)= m( FCG)= m( GDH) ve HD = GC = BF = AE ise Ş2İG de m( A) = m( B)=m( C)= m( D)= 90 ve AB = BC = CD = AD Ş1 de yer alan dörtgen dikdörtgen veya kare olsun.

10 8 ǀHFǀ ǀEGǀ ve m( EKH) 90 Ş2DG paralelkenardır. 9 Ş2 m( BAD) = m( EAH) Ş1 köşe açıları Ş2İG köşe açılarının bütünleridir. Ş1 kare ya da dikdörtgen ise Ş2İG kare ya da dikdörtgen olacaktır. 10 Ş1 de yer alan dörtgen dikdörtgen veya kare ise Alan(Ş2İG)=( AE - GD )( HD - FC ) Ş1 de yer alan dörtgen kare veya dikdörtgen ise Şekil-2 deki sarı dikdörtgensel bölgenin alanı=( AE - GD )( HD - FC )dir. 11 Ş1 de m( HAE) = m( EBF)= m( FCG)= m( GDH) ve HD = GC = BF = AE ise Ş2İG de m( A) = m( B)=m( C)= m( D)= 90 ve AB = BC = CD = AD Ş1 de yer alan dörtgen dikdörtgen veya kare olsun. AH= GD = FC = BE ve HD = GC = BF = AE ise Ş2 de oluşan sarı dörtgen bir karedir. 4. Sonuçlar ve Tartışma Denemeler sırasında görülmüştür ki: kare, dikdörtgen, paralelkenar ve eşkenar dörtgen geometriler kesişen doğru parçaları ile dört parçaya ayrılıp parçalar tekrar düzenlenerek yeni bir dörtgen oluşturulabilirken, deltoid ve çeşitkenar dörtgenlerde bu mümkün olamamıştır. Ayrıca, ilk alınan dörtgensel bölgelerin alanları ile katı cisimlerin hacimlerinin; ilgili döndürmeler ve ötelemeler sonucunda oluşan dörtgenlerin sınırladığı alanlarından ve prizmaların sınırladığı hacimlerinden daha küçük olduğu belirlenmiştir. 4.1 Örnek Uygulama Yemek Masası Tasarımı Kare geometriyi (Şekil-5 mavi bölge) kesişen doğru parçaları dört parçaya ayırıp yukarda bahsedilen kurala göre dönüştürdüğümüzde elde edilen yeni dörtgenin dış geometrisi daha büyük alanlı yeni bir kare oluşturmaktadır. Kesişen doğru parçaları olabilecek en uzun durumda olduğundan (köşegenlerle çakışma durumu) dönüşüm sonrası elde edilen yeni karenin alanı da olabilecek en büyük durumdadır, orijinal karenin iki katı alana sahiptir (Şekil-6 mavi ve beyaz bölge). Yeni karenin ortasındaki boş alan (beyaz bölge) orijinal karenin alanıyla aynı ölçüdedir. Şekil-5 8 Şekil-6

11 Bulgulardan yola çıkılarak katlanabilir bir masa oluşturulabilir. Şekil-7 de ölçekli prototipi görülmektedir. Şekil-7 5. Kaynakça [1] (Erişim Tarihi: ). [2] (Erişim Tarihi: ). 9

Benzer belgeler

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI

LİSE ÖĞRENCİLERİNİN ÜNİVERSİTE SINAVLARINA HAZIRLANMALARI İÇİN GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI HAZIRLAYAN Erol GEDİKLİ Matematik Öğretmeni SUNUŞ Sevgili öğrenciler! Bu kitap; hazırlandığınız üniversite sınavlarında,