HAFTA 1: SİNYALLER. Sayfa 1

Transkript

1 HAFTA : SİNYALLER. Siyal edir?.... Periyodik Siyaller Kullaışlı Siyaller Birim dürtü ve birim basamak foksiyoları Kesikli zamada birim dürtü ve birim basamak dizileri Sürekli zamada birim dürtü ve birim basamak foksiyoları... 4 Sayfa

2 Bölüm : SİNYALLER Matematik kapsamıda siyal: Bir bağımsız değişkei mümkü ola tüm değerleri içi foksiyou aldığı değerlerdir. Bu taım gereğice matematikte verile foksiyo kouları ile Elektrik-Elektroik mühedisliği kapsamıda alatılacak ola siyaller arasıda yadsıamaz bir bağlatı vardır.. Siyal edir? Elektrik-Elektroik mühedisliği kapsamıda siyal; geellikle bağımsız değişkeii zama ola ve bu edele zama içide determiistik (belli bir kurala göre) olarak ya da rasgele (belli bir kurala ya da aalitik dekleme göre taımlaamaya) değerler dizisidir. Örek vermek gerekirse bir sıcaklık sesörüü oda içide ölçtüğü sıcaklık değerleri bir siyaldir. Öreği geliştirmek istersek bu sıcaklık değerlerii oda içide ölçüle e yüksek sıcaklık değeri ile ormalize edersek (e yüksek sıcaklık değerie bölersek) sıfırı üzerideki sıcaklık değerleri içi ila arasıda değişe bir siyal elde etmiş oluruz. Bu siyal içi bağımsız değişke zama, siyal ise bu zamalarda oda içide ölçüle e yüksek sıcaklık değerie ormalize edilmiş ora değerlerii verir. Eğer sıcaklık ölçümlerii sürekli olarak alıyorsak siyalimiz zamaı sürekli bir foksiyou, güde bir kere alıyor isek siyalimiz zamaı kesikli bir foksiyou (her gü içi bir değer ve diğer ölçüm zamaı gelee kadar herhagi bir değer yok) olarak taımlaacaktır. Bu kitap kapsamıda Şekil. de örek olarak suula sürekli zama siyalleri (cotiuous-time sigals) iceleecektir. Bu siyaller x(t) otasyou ile ifade edilecek; x herhagi bir siyali, t bağımsız değişke ola zamaı, yumuşak paratezler ise zama siyalii sürekli olduğuu gösterecektir. Peki, bağımsız zama değişkei t sürekli olmakla birlikte, siyali aldığı değer x(t) acaba sürekli midir? Bu kitap boyuca sürekli zama siyallerii aldıkları değerler de sürekli olacaktır. Bu edele x(t) siyallerii zamada sürekli ve gelik değeride sürekli olmak üzere kısaca sürekli zama siyalleri olarak adladırmaktayız. Dikkat ederseiz otasyodaki her bir sembol ya da işaret bir alam ifade etmektedir. Sayfa

3 x(t), Surekli Zama Siyali t (Surekli Zama Bagimsiz Degiskei) Şekil. x(t) örek sürekli zama siyali Bezer şekilde ayı x(t) siyalii kesikli zama (discrete-time) gösterimii e şekilde ifade edebiliriz, ya da etmeliyiz? x() birçok öğrecii ilk düştüğü hatadır. Siyal ayı ise x ile gösterilmesi gerektiği doğrudur. Acak bağımsız değişkei t yerie ile göstermek sürekli zama siyalii asıl kesikli hale getirir? Bağımsız değişkei ile ifade edilmesi, sadece bağımsız değişkei sürekli zama değişkei t yerie ile gösterileceğii ifade etmektedir. Oysa adı geçe siyali kesikli zama siyali yapa otasyo x[], =,,,,,, ; Z gösterimidir. Siyal x ile gösterilmekte, (i, j, t ya da k olabilirdi, acak olmadı!) bağımsız değişkei kesikli zama değişkei olduğuu göstermekte, köşeli paratezler ise siyali kesikli zama siyali olduğuu ifade etmektedir. Yeide vurgulamak gerekir ki hiçbir harf, sembol ve işaret israf edilmemiştir. Her biri bir alam ve bir görev üstlemiştir. Peki, bağımsız zama değişkei kesikli olmakla birlikte, siyali aldığı değer x[] acaba kesikli midir? Bu kitap boyuca kesikli zama siyallerii aldıkları değerler sürekli olacaktır. Öreği x[] siyalii = aıdaki değeri x[] = x[ ] = π değerii alabilir. Siyal zamada kesikli olmasıa rağme gelik değeri sürekli (irrasyoel dâhil) hatta karmaşık (complex) bir sayı değeri alabilir. Bu edele x[] siyallerii zamada kesikli acak gelik değeride sürekli olmak üzere kısaca kesikli zama siyalleri (discrete time sigals) olarak adladırmaktayız. Kısa bir düşüce geliştirme ile x[] siyalii sadece yatay değil, düşey eksede (gelik ekseide) de kesikli değerler x[] = 5,,,,,,,, 5, x[] Z alabileceğii düşüebiliriz. Bu siyaller literatürde sayısal (digital) siyaller olarak adladırılmaktadır. Kesikli zama (discrete time) siyallerde sayısal (digital) siyallere geçiş (gelik ekseii sürekli değerlerde kesikli değerlere çevrilmesi) icemleme (quatizatio) işlemii kousu olup, sürekli gelik değerlerie icelik verilmesi bu bölüm içeriside irdelemeyecektir. So olarak kesikli zama siyalleri zamada ayrık olduklarıda ayrık zamalı siyaller olarak da adladırılabilirler. Bu kitap boyuca her daim kesikli zama siyalleri olarak adladırılacaklardır. Sayfa 3

4 x[], Kesikli Zama Siyali (Kesikli Zama Bagimsiz Degiskei) Şekil. x[] örek kesikli zama siyali. Şekil. de x kesikli zama siyali gösterilmektedir. x(t) siyalide x[] siyalie, ya da x[] siyalide x(t) siyalie asıl geçildiği ya da geçilebileceği sorusuu kedie sora arkadaşlara teşekkür ediyorum. Yei yürümeyi öğree çocukları koşmaya çalışmasıa bezeye bu merakı gidermei e iyi yolu Bir ada bir adım sözüü hatırlatmaktır. Bu geçiş; örekleme teoremii bir kousu olup, ilgili teorem ilk öce sürekli zama siyalide kesikli zama siyalie ve daha sora icemle ile kesikli zama siyalide sayısal (digital) siyale geçerek aalog siyalde sayısal siyale döüşümü içere birçok pratik uygulama barıdırmaktadır.. Periyodik Siyaller Bu kitap boyuca e çok karşılaşacağımız siyal türleride bir taesi periyodik siyallerdir. Periyodik siyaller deyice, belli bir T periyoduda kedii tekrar ede siyallerde bahsetmekteyiz. Acak bu taım herkesi kafasıda farklı bir ifadeye ede olacağıda geleeksel dilimiz ola matematiğe başvurmakta fayda vardır. x(t) = x(t + T) (.) Eşitlik. de verildiği üzere herhagi bir t aıdaki x siyalii değeri, T herhagi bir sabit süre sora foksiyoda yerie koulduğuda ayı değeri veriyorsa bu siyale periyodik siyal deir. Dikkat edilmesi gereke bir husus, siyali belli bir T, T R süre (döem) sora x(t) siyali ile tıpatıp ayı değeri vermesi gerektiğidir. Yakı ya da bezer bir değer, x(t) siyalii periyodik değil, heme heme periyodik (almost periodic ya da quasi periodic) yapar. Bu durumla ilgili bir örek kesikli zamada verilecektir. Sayfa 4

5 E kolay örek verilebilecek sürekli zama periyodik siyaller; üstel ve siüsoidal siyallerdir. Bu siyallere e iyi örek ise x(t) = e jω t siyalidir. O halde üstel x(t) = e jω t siyalii periyodik olduğuu ispatlayalım. Siyali periyodik olduğuu ispatlayacağımız göz öüe alıdığıda Eşitlik. de yola çıkmak uygu olacaktır. Eşitlik. kullaılarak elde edile Eşitlik. i sağlaması içi e jω T = olması beklemektedir. Eşitlik.3 teki Euler açılımıı değerie eşit olması içi ise, T = π Ω sağlamalıdır. Burada da açıkça görüldüğü üzere ejω t periyodik bir siyal olduğu gibi e jω t ile ayı T temel periyodua sahiptir. Bu oktada temel (fudametal) periyot ifadesii icelemekte fayda vardır ve Eşitlik.4 de görüldüğü üzere katlarıı da e jω t siyalii periyodik yapacağı uutulmamalıdır. Acak bu periyotlar temel periyot değil, temel periyodu tam (k) katlarıdır. Bir resim bi kelimeye bedeldir. Bu durumda ilgi alaımıza gire x(t) siyalii grafiğii çizmeliyiz. Şekil.3 e bakmada öce x(t) = e jω t sürekli zama siyalii bir kareli kağıda ya da MATLAB ortamıda bilgisayar ekraııza çizdirmeyi deemelisiiz. Uutmayıız, uygulamadığıız hiçbir bilgi Size ait değildir. Umarım x(t) = e jω t siyalii çizmeyi başaramadıız. Çükü be de başaramadım! Nedei ise çok basit: t bağımsız değişkei yatay eksede ike x(t) siyalii hem gerçel hem de saal bileşei vardır. Dolayısıyla kartezye koordiatlarda x(t) siyalii a) Gerçel bileşeii b) Saal bileşeii belirterek veya kutupsal (polar) koordiat sistemide ise a) Geliğii b) Fazıı ifade ederek çizmeiz gerekir. e jω t = e jω (t+t) = e jω t e jω T (.) e jω T = cos (Ω T) +jsi(ω T) (.3) T = π k (.4) Ω Bu kısmı alamayaları karmaşık foksiyolar teorisii tekrar etmeleri gerekir. Acak basit düşücede hareket ile karmaşık bir foksiyou gerçel ve saal (ya da gelik ve faz) olmak üzere iki kısmı (bölümü) var ise tek bir ekse üzeride iki bilgiyi birde sumamız mümkü değildir. Şekil.3 te x(t) = e jω t siyalii reel (gerçel) kısmı ola cos(ω t) siyali, T = 3 içi çizilmiştir (Ω = πf = π T ). Elektrik ve elektroik mühedisliğide akım ile karışmaması içi i = yerie j sembolü yaygı olarak kullaılmaktadır. Sayfa 5

6 .8 T=3 T=3*k=3*=6 T=3*k=3*3=9.6 x(t), Sürekli Zama Siüsoidal Siyali t (Sürekli Zama Bagimsiz Degiskei) Şekil.3 cos(ω t) sürekli zama periyodik siyalii bağımsız değişke t ye göre grafiği. Şekil.3 te temel periyod T = 3 ve bu periyodu k = ve k = 3 katlarıı da periyodik olduğu açıkça görülmektedir. Karmaşık üstel sürekli zama periyodik siyalleri (Bu zicirleme isim tamlaması, umarım Size de baa olduğu kadar alam ifade ediyordur) aalizi ve bu siyalleri özel bir hali ola siüsoidal siyali aalizii, periyodik siyalleri aalizii bitireceğii, tamamlayacağıı düşüüyorsaız çok yaılıyorsuuz. Daha kovada çok balık var ve dipte kalalar; görmesi, alaması zor çamurlu sularda yüzüyorlar! Kesikli zama periyodik siyalleri, periyodik siyaller içide çok özel bir yeri vardır. Nede? Eşitlik. de verile icelemeyi Eşitlik.5 ile x[] = x[ + N] (.5) x[] = e jω kesikli zama siyali içi yapalım: e jω = e jω (+N) = e jω e jω N (.6) Eşitlik.5 kullaılarak Eşitlik.6 yı elde ettikte sora bir miktar duralım. Şeyta her zama ayrıtıda gizlidir. Sürekli zama siyalleride bağımsız değişke içi t yerie kulladığımız gibi, temel frekas içi de Ω yerie ω kulladığımızı lütfe fark edi. Kitap boyuca kesikli zama siyallerii frekas ya da frekas bölgesi gösterimleride ω değişkei (Oppeheim,999) kullaılacaktır. Bu ω değişkeii kesikli olduğu alamıa gelmez, ω frekasıı kayakladığı zama siyalii kesikli olduğu alamıa gelir. Bazı kitaplarda bu otasyo kullaılmamış, sürekli zama ve kesikli zama siyallerii frekas bölgesi gösterimleri içi ayı sembol kullaılmış (öreği Oppeheim, 996) olabilir; acak ayırt ediciliği sağlayabilmek açısıda so derece faydalı bir alışkalık olup, bu kitap boyuca sistematik bir biçimde Ω (sürekli zama siyalii frekas gösterimi), ω ise (kesikli zama siyalii frekas gösterimi) ayırımı yapılacaktır. Sayfa 6

7 Eşitlik.6 ı sağlaması içi e jω N = olması beklemektedir. Eşitlik.3 teki Euler açılımıı kesikli halii değerie eşit olması içi ise Eşitlik.7, ω N = πk (.7) ve Eşitlik.7 kullaılarak Eşitlik.8 N = πk ω = ( π ω ) k (.8) karşılamalıdır. İlk ada aklııza gele soru Eşitlik.8 i Eşitlik.4 te e farkı var ki? şeklide olabilir. Tek farkı var: N tam sayı olmak zoruda! (T içi böyle bir zorululuk yoktu.) Bu durumda ω ı π içermediği tüm durumlar içi x[] = e jω periyodik değildir, çükü x[] = x[ + N] eşitliği sağlamaz 3. Garip ama gerçek! Teoriyi uygulama ile pekiştirelim. Öcede olduğu gibi Şekil.4 e bakmada; cos ( π ), cos (5π ) ve 8 8 cos ( ) siyalleri içi, x[] kesikli zama siyalii bağımsız değişkeie göre grafiğii çiziiz. 7 Grafik üzeride hagi siyali periyodik, hagisii periyodik olmadığıı belirleyiiz, daha sora Eşitlik.8 i kullaarak yaılıp yaılmadığıızı belirleyiiz. x[], w=pi/8 *pi-pi/8 x[], w=5*pi/8=*pi-pi/8 8 x[], w=/ (Kesikli Zama Bagimsiz Degiskei) - a (Kesikli Zama Bagimsiz Degiskei) - b (Kesikli Zama Bagimsiz Degiskei) c. Şekil.4 a. cos ( π ) siyali, b. cos (π) siyali ile ayı karakteristiği göstere cos (5π) ve c Siyalde ω ı π içermediği durumda periyodikliği bozulmasıa örek ola cos ( ) siyali. 7 3 ω = hariç. Bu durumda x[] siyali üstel bir foksiyo değildir ve temel periyot taımsızdır. Sayfa 7

8 Şekil.4 ü doğrulayacak itelikte, kesikli zama gerçel siüsoidal periyodik siyalii herhagi bir ω açısal frekasıdaki ifadesii, bu açısal frekasa π ve katlarıda açısal frekas eklediğide elde edile ifadeyle ayı olup olmayacağıı iceleyelim. x[] = cos(ω ) = cos[(ω + πr)] = cos(ω + πr) = cos(ω )cos(πr) si(ω )si(πr);, rεz = cos(ω ) = x[] (.9) Souç olarak, x[] = cos(ω ) formudaki kesikli zama gerçel siüsoidal siyalide, sadece π radya uzuluğudaki frekas aralığı icelediğide, tüm siyali davraışı hakkıda bilgi sahibi oluabilmektedir. π radya uzuluğudaki frekas aralığıda söz edilirke Eşitlik. daki veya Eşitlik. deki π < ω < π (.) < ω < π (.) gibi aralıklar alaşılabilmektedir. Bu sayede, kesikli zama gerçel siüsoidal siyalii herhagi bir ω frekasıda gösterdiği davraış ile bu ω frekasıı π radyaa tamamlaya, (π ω ) radya frekasıda gösterdiği davraış ayı özellikleri taşıyacaktır. Nitekim Şekil.4.a daki ile Şekil.4.b deki siyalleri, birbirlerii ayı karakteristiğe sahip siyaller olması hiç de şaşırtıcı değildir. Öte yada, ilgili kesikli zama gerçel siüsoidal x[] siyalii N periyodu Eşitlik. deki gibi N = πk ω ; k Z, N Z + (.) olarak bulumuştu. k katsayısı tamsayı ve N periyodu pozitif tamsayı olmak zoruda olduğu içi, ω açısal frekasıı değeri de π radya ve katları olmak zorudadır. Bu edeledir ki Şekil.4 teki üçücü ve so siyalde ω = 7 radya içi elde edile siyal, periyodik olmaya bir siyaldir. Siyali periyodik gibi görümesi Sizi yaıltmamalıdır. Eşitlik.8 de bezer ya da yakı ( ) gibi ifadeler bulumamaktadır. Siyali periyodik olabilmesi içi x[] = x[ + N] sağlamalıdır. Nitekim cos ( ) siyalii hiçbir değeri bir birie eşit değildir. Bu durum açısal frekasıda pi içermeye tüm 7 kesikli kosiüsler içi geçerlidir. If you ca t explai it simply, you do t uderstad it well eough Albert Eistei Basitçe açıklayamıyorsa, yeterice iyi alamamışsı demektir. Sayfa 8

9 .3 Kullaışlı Siyaller Öcelikle heme belirtmeliyim ki kullaışlı siyal taımı geleeksel ya da stadart bir taım değildir. Bu bölüm altıda alatılacak siyaller; siyal işleme ve sistem aalizi bağlamıda o kadar çok işimize yarayacaktır ki bu edele e uygu ifade olarak kullaışlı kelimesi seçilmiştir. Bu siyaller öcelikle kesikli zamada girizgâh olarak suulacak, acak bu siyalleri temel kavrayışıı, alayışıı ve kuramsal temellerii sürekli zama bölgesii irdelemesi sağlayacaktır. Yie zamaa yayılmış tecrübe göstermektedir ki, bu siyalleri sürekli zamada kavramak, kesikli zamada alamaı çok ötesidedir. Bu edele lütfe dikkatli okuyuuz, satır aralarıı atlamayıız ve kaçırmayıız..3. Birim dürtü ve birim basamak foksiyoları Bu kitabı okurke bir takım yazma alışkalıklarıı da kazamaız hedeflemiştir. Bir ödev hazırlarke ya da iş başvurusuda bir suum vermeiz istediğide herhagi bir başlık altıda bir açıklama yapmada bir alt başlığa geçmeiz uygu değildir. Ne yazacağıızı bilmiyorsaız geel bir giriş yapıız. Isıma (ice breaker) kayaşmaı başlagıcıdır..3.. Kesikli zamada birim dürtü ve birim basamak dizileri Bakalım dikkatli bir okuyucu musuuz? Geel başlığı altı ile bu özel başlık tıpa tıp ayı mı? Foksiyo kelimesii yerii dizi ifadesii aldığıa dikkat ettiiz mi? E temel ve e basit kesikli zama dizisi birim dürtü (uit impulse) siyalidir. Taımı so derece basittir., δ[] = {, = (.3) Eşitlik.3 teki taımda yola çıkarak birim dürtü dizisii çok kolay alayabiliriz. = aıda değeri ola, diğer tüm kesikli zamalarda değeri ola siyale birim dürtü dizisi diyebiliriz. Kavramayı pekiştirmek amacıyla mutlaka bir çizim gerekir. Sayfa 9

10 .5 Kesikli Zama Birim Durtu Foksiyou Şekil.5 Kesikli zama birim dürtü dizisi. Şekil.5 teki gibi bu kadar basit bir siyali, bu kadar kullaışlı yapa acaba edir? Dikkat ederseiz zama ekseii kaydırırsak sadece zamaı o aıda değeri ola, diğer alarda değeri ola bir dizi elde etmiş oluruz. Bu edele akıp gide zama içide, zamaı sadece o aıı icelemek içi bezersiz bir foksiyoa sahip olmuş oluruz. Diğer bir deyişle, herhagi bir diziyi birim dürtü dizisi ciside ifade etmek mümküdür. Hem deriliğimizi arttıralım, hem de bir örek yapalım. Kesikli zama birim basamak dizisi adıda da alaşılacağı üzere öcesi, sorası ola bir basamak foksiyoudur., < u[] = {, (.4) Kesikli zamada güvedeyiz, acak sürekli zamada böyle bir dizii foksiyo halie gelmesi ile tam olarak t = oktasıda bir süreksizlik içereceği aşikârdır. Şimdi acele etmede Eşitlik.4 te u[] ile gösterdiğimiz kesikli zama birim basamak dizisii (discrete-time uit step sequece) biraz irdeleyelim. Öce bir resim bi kelimeye bedeldir. Şekil.6 yı icelemede kesikli zama birim basamak dizisii tüm ekse bilgilerii vererek kediiz çizmeye çalışı. Sayfa

11 .5 Kesikli Zama Birim Basamak Foksiyou Şekil.6 Kesikli zama birim basamak dizisi. Şekil.6 yı icelediğiizde birim basamak dizisi ile birim dürtü dizisi arasıda sıkı bir ilişki olduğu gözüüzde kaçmamıştır: Eğer birim dürtü siyali ile birim dürtü siyalii sıfırda büyük sağa kaymış tüm hallerii toplarsak birim basamak siyalii elde etmiş oluruz. Elbette ki Şekil.7 deki gibi sosuz bir toplamda bahsediyoruz..5 dirak[] - dirak[-] a b. Sayfa

12 dirak[-] dirak[-3] c d. dirak[-4] e. u[] f. Şekil.7 Kesikli zama birim basamak dizisii kesikli zama birim dürtü siyalide elde edilmesi: a. δ[], b. δ[ ], c. δ[ ], d. δ[ 3], e. δ[ 4] ve f. u[]. Bir deklem ise bi resme bedeldir, hatta burada Eşitlik.5 acak sosuz resim ile ifade edilebilir. u[] = δ[ k] = δ[] + δ[ ] + δ[ ] + (.5) k= Eşitlik.5 i çok iyi kavramımız gerekir. Açıkçası alamadığımız tüm toplam ifadelerii saki bir biçimde açmamız, geişletmemiz gerekir. Bu kadar açıklama, görsel grafik ve deklemde sora bu artık mümküdür. Şimdi biraz matematik dehamızı kullaalım. Çok uzu süredir değişke döüştürme başlığı altıda alatıla matematiksel kavramı işe koşalım. Eşitlik.5 teki [ k] ifadesi yerie m değişkeii kullaırsak ( k = m) ve k = ike alt idisi m değişkei üzeride değişkeiyle, Sayfa

13 k = ike ise üst idisi m değişkei üzeride değişkeiyle değiştiğii hesaba kattığımızda Eşitlik.6 yı elde etmiş oluruz 4. u[] = δ[m] m= (.6) Eşitlik.6 ı muazzam fiziksel maaları vardır: Görsel olarak m içi eksi sosuzda gelip = aıa kadar değerii ala, = aıda sora ise değerii ala ve bu değerde kala bir foksiyoa işaret etmektedir. Nitekim Eşitlik.6 daki toplam, < içi, içi değerii vermektedir. Peki, bu durumda rasgele bir x[] dizisii birim dürtü dizisi ciside asıl ifade edebiliriz? Eşitlik.5 te ilham alarak: x[] = x[k]δ[ k] k= (.7) Eşitlik.7 i siyal işlemede çok özel bir yeri vardır. Bu eşitliğe elek özelliği (siftig, NOT shiftig, although it shifts) deir. Buu edei birim dürtü foksiyouu [ k] aıdaki değerii herhagi bir dizii değeri ile betimleyerek aslıda o diziyi bir foksiyo olarak ifade etmesidir. Şekil.7 de açıkça görüldüğü üzere birim dürtü foksiyou aslıda herhagi bir diziyi eleye eleye ifade edebilir. Eşitlik.7, hak ettiği saygılığı çok kısa sürede bulacaktır. Örek: Aramızda bazılarıı δ[ ] siyalii ede ve asıl δ[] siyalii zamada bir birim kayarak (shift) = aıda değer aldığıı ve Şekil.7.b halii aldığıı merak ettiğii düşüüyorum. Eşitlik.3 ile başlayarak, δ[] = {, =, m m =, δ[m] = {, m =, δ[ ] = {, = olduğuu görebiliriz. Siyaller içi zamada kayma (shift i time, time shift) so derece öemli bir özellik olup, birim dürtü foksiyou δ[ i], i =, = i, i Z kaç örek kayacağı kolaylıkla hesap edilebilir. 4 Toplam ifadeleride alt idis ile üst idisi yer değiştirmesi soucu değiştirmemektedir. Sadece toplaaları toplama sırasıı değiştirmektedir. Sayfa 3

14 dirak[-] Şekil.7.b (tekrar) Kesikli zama birim dürtü siyalii zamada kayması, δ[ ].3.. Sürekli zamada birim dürtü ve birim basamak foksiyoları Bu alada yazıla birçok kitap sürekli zama birim dürtü foksiyouu taımlamak yerie bu başlık altıda birim basamak foksiyouu alatmaya başlar. Yeide felsefeye geri döersek; karşıızdaki kişi sorduğuuz soruya cevap vermek yerie başka bir soruu cevabıı veriyor ise bir şeyler doğru gitmiyor demektir. Peki, kouu uzmaları ede birim dürtü ve birim basamak foksiyoları ile başlaya bir başlık altıda sırayı takip etmek yerie öce sürekli zama birim basamak foksiyouu alatırlar? Cevabı çok basit: Sürekli zama birim dürtü foksiyouu aalitik ifade etmek kolay değildir de oda. Bu sadece Sizi içi zor değildir. Herkes içi zordur. SAKIN Eşitlik.3 te ilham alarak Eşitlik.8 de verile HATAYA düşmeyi SAKIN., t δ(t) = {, t = (.8) Eşitlik.8 ede YANLIŞTIR? Çükü bu foksiyo t = oktasıda değerii almaktadır. Oysa Eşitlik.6 da Eşitlik.9 a geçmek hiç zor olmamalı: u(t) = δ(σ)dσ t Kesikli zamada sürekli zamaa, toplamda itegrale geçiş yaptık. Matematik felsefe ile e kadar tutarlı Bu durumda belirsiz itegralde yola çıkarak sürekli zama birim dürtü foksiyou, sürekli zama birim basamak foksiyouu birici türevie eşit çıkacaktır. δ(t) = du(t) dt (.9) (.) Eşitlik. herhalde Eşitlik.8 ile ayı değildir. Bezer bile değildir. Sürekli zama birim basamak foksiyou t = oktasıda süreksiz olduğu içi türevi alıabilir değildir. Şimdi ede bu kitap hariç birçok kitabı kouyu soda başa doğru alattığıı biliyoruz. Bilmek e güzel! Acak δ(t) foksiyouu alamamızı sağlamadı. Sadece bu işi kesikli zamada olduğu kadar kolay olmadığıı ortaya koydu. Peki, bu durumda e yapmalıyız? Cevap basit: Hiçbir siyal zate bir ada hem sıfır değeride, hem de bir değeride olamaz. Her şey bir zama alır. Bu durumda basamağı sıfırda bir değerii alması da bir zama alacaktır. Ne kadar zama? (delta) kadar zama Sayfa 4

15 .5 udelta(t) delta t 3.5 /delta.5 dirak delta(t) delta t Şekil.8 a. Sürekli zama birim basamak foksiyoua yaklaşım, u (t) ve Şekil.8 b. u (t) foksiyouu türevi. Şimdi matematik bilimii e güzel, e hoşuma gide aracı ile edebiyat saatıı e muhteşem örekleride mübalağa (abartma) aracıı kullaacağız. Şekil.8 i açıkça ortaya koyduğu gibi, madem sürekli zama birim basamak foksiyou kadar sürede birim değerie ulaşıyor. lim δ (t) ifadesi e halii alır? Bu durumdaki gösterim so derece özel olup dikkatle icelemek gerekir. Şekil.9 da δ(t) sürekli zama birim dürtü foksiyou gösterilmektedir. Dikdörtge darbei süresi sıfıra ierke geliği sosuza gitmektedir..5 dirak(t) t Şekil.9 Sürekli zama birim dürtü foksiyou. Sayfa 5

16 Sürekli zama birim dürtü foksiyou hakkıda bu kadar çok bilgi sahibi olduğumuza göre tekrar düşüelim: δ(t) = olarak e yazabiliriz? Başka bir ifadeyle, δ(t) foksiyouu aalitik deklemi edir? Bazı şeyleri e kadar iyi alarsak alayalım ifade etmek bir o kadar zordur. Kelimeler boğazımızda düğümleir. İşte bu edele δ(t) sürekli zama birim dürtü foksiyoua her ihtiyacımız olduğuda δ(t) = lim δ (t) olduğuu ve Şekil.9 daki gibi geliğii ok işaretiyle sosuza doğru gidip (koordiat ekselerideki gösterime bezer olarak) sadece altıda kala alaı olduğuu uutmayalım 5. Böylece yalız eşitliği değil, fiziksel alamıı da sürekli aklımızda tutalım. Sürekli zama birim dürtü foksiyouu bu kadar özel yapa edir? Eşitlik.7 yi hatırlayalım: x[] = x[k]δ[ k] k= Eşitlik.7 deki elek özelliği düşüüldüğüde, Eşitlik. herhagi bir sürekli zama siyalii birim dürtü foksiyou ciside ifade edebilmek açısıda so derece öemlidir. x(t) = x(τ)δ(t τ) dτ (.) 5 Eşitlik.9 dikkatle icelediğide bir foksiyou belirli sıırlar içide alıa itegralii, foksiyou o sıırlar dahilide altıda kala alaıa eşit olduğu bu oktada hatırlamalıdır. Zate bu bağlamda, δ(t) foksiyouu ile sosuz aralığıda altıda kala alaı e eşit olması, u(t) foksiyouu ile sosuz aralığıda sabit değeride olması ile tutarlıdır. Sayfa 6