ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez"

Transkript

1 NKR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK MTEMTİK NBİLİM DLI NKR 2005 He haı salıdı

2 ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez beş bölümde oluşmatadı. İl bölüm giiş ısmıa ayılmıştı. İici bölümde bi eel sayı dizisi içi istatistisel yaısalı avamı ve bu avama ilişi özelile veilmişti. Üçücü bölümde bi sayı dizisi içi istatistisel limit otalaı, istatistisel değme otalaı avamlaı, aalaıdai ilişi ve bazı souçla veilmişti. Dödücü bölümde iici ve üçücü bölümdei avamla -istatistisel yaısalı, -istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıa geişletilee icelemişti. So bölümde ise bi sayı dizisi içi istatistisel üst ve alt limit avamlaı ve bulaı -istatistisel bezelei veilmişti. 2005, 50 sayfa NHTR KELİMELER:Yoğulu, istatistisel yaısalı, istatistisel limit ve değme otalaı, -istatistisel yaısalı, - istatistisel limit ve değme otalaı, lacuay dizisi, lacuay istatistisel yaısalı, lacuay istatistisel limit ve değme otalaı, istatistisel üst ve alt limit, -istatistisel üst ve alt limit. i

3 BSTRCT Maste Thesis STTISTICL LIMIT POINTS Filiz KOCBIYIK aa Uivesity Gaduate School of Natuel pplied Scieces Depatmet of Mathematics Supeviso: Pof. D. Ciha Oha This thesis cosists of five chaptes. The fist chapte addesses the itoductio pat. I chapte two, we study the idea of statistical covegece fo a eal umbe sequece ad peset some popeties of it. The i chapte thee, we eamie the cocepts of statistical limit ad statistical cluste poits fo a eal umbe sequece ad give the elatioship betwee them. I chapte fou, we coside -statistical aalogs of the esults give i chapte two ad thee. I the fial sectio, we study the cocepts of statistical limit supeio ad limit ifeio as well as -statistical aalogs of these esults. 2005, 50 pages Key Wods: Desity, statistical covegece, satistical limit ad cluste poits, -statistical covegece, -satistical limit ad cluste poits, lacuay sequece, lacuay statistical covegece, lacuay satistical limit ad cluste poits, statistical limit supeio ad limit ifeio, -statistical limit supeio ad limit ifeio. ii

4 TEŞEKKÜR Baa bu tez oumu vee ve yüse lisas eğitimim boyuca ilgisii hiç esi etmeye hocam, Sayı Pof. D. Ciha Oha (aa Üivesitesi Fe Faültesi) a, he aımda ilgi ve desteleiyle yaımda ola eşim ve aileme e içte saygılaımla teşeüleimi suaım. Filiz KOCBIYIK aa, Temmuz 2005 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET...i BSTRCT...ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR...iii SİMGELER DİZİNİ...v. GİRİŞ İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK Matis Döüşümlei İstatistisel Yaısalı İSTTİSTİKSEL LİMİT VE DEĞME NOKTLRI... İstatistisel Limit ve Değme Notalaı İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK İstatistisel Yaısalı İstatistisel Limit ve Değme Notalaı Lacuay İstatistisel Yaısalı İSTTİSTİKSEL ÜST VE LT LİMİT İstatistisel Üst ve lt limit İstatistisel Üst ve lt limit SONUÇ 5 KYNKLR...52 ÖZGEÇMİŞ...54 iv

6 SİMGELER DİZİNİ [K : K ümesii tümleyei K := () : N R δ δ δ h.h. χ K C L Γ Λ : K ümesii elema sayısı a döüşüm dizisi = : Doğal sayıla ümesi : Reel sayıla ümesi : Yoğulu fosiyou : -yoğulu fosiyou : Üst asimptoti yoğulu fosiyou : Heme he içi : K ümesii aateisti fosiyou : Cesào matisi : = ( ) dizisii alışılmış limit otalaı ümesi : = ( ) dizisii istatistisel değme otalaı ümesi : = ( ) dizisii istatistisel limit otalaı ümesi Γ : = ( ) dizisii -istatistisel değme otalaı ümesi ( ) Λ ( ) : = ( ) dizisii -istatistisel limit otalaı ümesi ( ) Γ : = ( ) dizisii lacuay istatistisel değme otalaı θ ümesi Λ : = ( ) dizisii lacuay istatistisel limit otalaı θ ( ) ümesi v

7 . GİRİŞ İstatistisel yaısalı avamı il olaa 949 yılıda Steihaus taafıda Poloya da yapıla bi ofeasta taıtılmış ve 95 yılıda Fast taafıda geliştiilmişti. slıda bu taım Zygmud taafıda da ele alımış ve heme heme yaısalı olaa adladıılmıştı. Daha soa 993 yılıda Fidy taafıda istatistisel limit otalaı avamı veilmiş ve 997 yılıda Fidy ve Oha taafıda istatistisel üst limit ve istatistisel alt limit avamlaı taıtılmıştı. yıca 993 yılıda Fidy ve Oha taafıda veile lacuay istatistisel yaısalı avamı, 2002 yılıda Demici taafıda lacuay istatistisel limit otalaı avamlaı ile bütüleştiilmişti. Daha soa Demici taafıda istatistisel yaısalı avamı, -istatistisel yaısalı avamıa geişletilmişti. Bu yüse lisas çalışmasıda bi sayı dizisi içi, istatistisel yaısalı avamı ve bazı souçla veileceti. Daha soa bi sayı dizisi içi istatistisel limit otalaı ve istatistisel değme otalaı taımlaaca, aalaıdai ilişi ve bazı özelile veileceti. yıca bu avamla - istatistisel yaısalı, -istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıa geişletileceti. -istatistisel yaısalığı özel bi hali ola lacuay istatistisel yaısalı avamı, bu avamı istatistisel yaısalı ile ilişisi ve lacuay istatistisel limit ve değme otalaı avamlaı veileceti. So olaa bi eel sayı dizisi içi istatistisel üst ve alt limit avamlaı ile bu avamlaı -istatistisel geişletilmesi iceleeceti.

8 2. İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK Bu bölümde istatistisel yaısalı avamıda bahsedeceğiz. İl olaa buu içi geeli bazı taım ve otasyolaı veelim. 2.. Matis Döüşümlei = (a ) sosuz bi matis ve := ( ) bi dizi olsu. Eğe () := = a seisi he doğal sayısı içi yaısa ise bu duumda (( ) ) = dizisie dizisii matisi ile elde edile döüşüm dizisi dei (Wilasy 984, Maddo 970, Boss 2000). X ve Y eel ya da omples teimli dizilede oluşa ii dizi uzayı ve = (a ) sosuz bi matis olsu. Eğe he X içi döüşüm dizisi mevcut ve Y ise, = (a ) matisi X uzayıda Y uzayı içie bi matis döüşümü taımla dei ve X de Y içie taımlı tüm matislei sııfı (X,Y) ile gösteili. Eğe, X de Y içie bi matis döüşümü ise (X,Y) şelide yazılı. Bu çalışma boyuca, simgelei sıasıyla doğal sayıla, eel sayıla cümleleii, l ve c ile de sıasıyla tüm sıılı dizile uzayıı ve tüm yaısa dizile uzayıı gösteeceğiz. yıca = ( ) dizisi eel sayı dizisi olaa alıacatı faat istatistisel yaısalı ile ilgili bazı souçla omples teimli dizile içide geçelidi. (X, Y; p) ile toplam ya da limiti ouya matislei sııfı gösteileceti. Öeği (c, c; p) olması, L L olması olduğuda( ) demeti. Bu tü matislee egüle matis adı veili. (c, c; p) olması içi gee ve yete şatlaı Silvema-Toeplitz Teoemi vemetedi. Şimdi ileii bölümlede ullaacağımız bu teoemi ispatsız olaa veeceğiz. Teoem 2... (Silvema-Toeplitz) (c, c; p) olması içi gee ve yete şat, i. = sup = a < 2

9 ii. lima = 0, (he içi) iii. lim a = = olmasıdı (Wilasy 984, Boss 2000). Taım 2... Eğe > içi a = 0 ise, = (a ) matisie üçgesel ve üçgesel olduğuda he içi a 0 ise, matisie omal matis veya üçge matis dei (Cooe 950). yıca egatif olmaya bi matisi deyimi, tüm teimlei, egatif olmaması alamıda ullaılacatı. Taım bi dizisi olsu ve p > olma üzee { } P = 0 ağılılı otalama döüşümü (Riesz döüşümü) p, egatif olmaya eel sayılaı = p taımlayalım. Bi ( ) dizisii (R,p ), t : = p P = 0 ile taımlaı (Wilasy 984, Boss 2000). şağıdai teoem (R,p ) metoduu egüle olmasıı aateize ede. Teoem P (R,p ) i egüle olması içi gee ve yete şat lim = olmasıdı (Wilasy 984, Boss 2000). Taım Bi p > 0 pozitif eel sayısı içi, p wp = : lim L = 0 = dizi uzayıı taımlayalım. Eğe w p ise dizisi L sayısıa uvvetli p- Cesào toplaabilidi dei. 3

10 2.2. İstatistisel Yaısalı İstatistisel yaısalı avamıı vemede öce ilişi bazı temel avamlaı hatılatalım. K, doğal sayıla cümlesii bi altcümlesi olma üzee, K :={ K: } cümlesii elema sayısı K ile gösteilsi. Taım Bi K altcümlesi içi lim K limiti mevcut ise, bu limit değeie K ümesii yoğuluğu ( veya doğal yoğuluğu ) dei ve δ (K) ile gösteili (Nive ve Zucema 980). Öeğiδ ( )=,δ { 2 : }=0,δ {2: }=δ {2+: }= 2, δ {: asal sayı}=0 olduğu yoğulu taımıda olaylıla elde edilebili. Doğal sayılaı he bi solu altcümlesi de sıfı yoğululudu. yıca bi B ümesi yoğuluğa sahip ise, bu duumda δ( \B)=-δ (B) ve B olacatı (Nive ve Zucema 980, Feedma ve Sembe 0 δ ( ) 98). K içi eğe δ (K)=0 ise K cümlesi sıfı yoğululudu dei. K altcümlesii yoğuluğu mevcut ve pozitif ya da K cümlesii yoğuluğu mevcut değilse K sıfı yoğuluğa sahip değildi dei ve δ (K) 0 ile gösteili. Eğe δ { : P() geçeli değil}= 0 ise bu duumda P() heme he içi geçelidi dei ve buu h.h. yazaa ısaltacağız. Şimdi istatistisel yaısalı taımıı hatılatalım. Taım := ( ) eel ya da omples teimli bi dizi olsu. Eğe he ε > 0 içi δ {: -L ε } =0 4

11 olaca şeilde bi L sayısı vasa bu duumda dizisi L sayısıa istatistisel yaısatı dei ve st lim = L ile gösteili (Fast 95 ve Steihaus 95). İstatistisel yaısalı avamıı bi öe üzeide göelim. Öe : = ( ) dizisii geel teimi, = m = 0, m 2 2 şelide taımlası. Bu duumda istatistisel yaısalı taımıda st lim = 0 buluu. Faat buadai = ( ) dizisi lasi alamda yaısa değildi.bu dizii istatistisel yaısa olduğuu Fidy i 985 yılıda vediği bi aateizasyoda da göebiliiz: =( ) dizisii bi L sayısıa istatistisel olaa yaısaması içi gee ve yete şat δ { : } = ve lim = L olaca şeilde bi ( ) idis dizisii mevcut olmasıdı. Lemma 2.2. Bu duumda, st lim = a, st limy = b ve c bi eel sayı olsu. i. st ( ) lim + y = a + b ii. st lim( ) olu (Salat 980). c = ca İspat : i. st lim = a ve st limy = b olsu. O halde he ε > 0 içi, 5 δ { : a ε } = 0 ve { y b ε } 2 ( ) ( ) δ : = y a + b a + y b eşitsizliğide,

12 { : ( + y ) ( a + b) } { : a ε } U{ : y b ε } içemesi ve buada da ε 2 2 { : ( + y ) ( a + b) } { : a ε } + { : y b ε } δ ε δ δ 2 2 = 0 elde edili.o halde st ( ) lim + y = a + b buluu. ii. c = 0 ise duum açıtı.şimdi c 0 olsu. olduğuda, buluu. Böylece, c ca ε ise a ε c { : c ca ε} { : a ε } { c ca } { a ε } δ : ε δ : = 0 c olduğuda, δ { c ca ε} : = 0 elde edili. Bu da ispatı tamamla. Taım He ε > 0 içi { : N ε} yoğuluğa sahip olaca şeilde bi N ( N ( ε )) istatistisel Cauchy dizisidi dei (Fidy 985). cümlesi sıfı = sayısı vasa, bi İstatistisel yaısa ve istatistisel Cauchy dizilei aasıdai ilişiyi vee bi teoemi ispatsız olaa veiyouz. Teoem şağıdai öemele deti: i. = ( ) istatistisel yaısatı. ii. = ( ) istatistisel Cauchy dizisidi. iii. = ( ) dizisi içi { y } δ : = 0 olaca şeilde bi yaısa y = ( y ) dizisi vadı (Fidy 985). c 6

13 Teoem de aşağıdai soucu elde edeiz. Souç Bi = ( ) dizisi L ye istatistisel yaısa ise bu duumda dizisi L değeie lasi alamda yaısa bi y altdizisie sahipti (Fidy 985). İstatistisel yaısalığa de bi ifadeyi veme içi C = (c ) Cesào matisii geel teimii taımlayalım: Bu matis, c = 0, > ile veili. Bu duumda, K( ε) : { : L ε} ümesii aateisti fosiyouu gösteme üzee = ve χ ( ), K( ε ) st lim = L ε > 0, lim { : L ε} = 0. olduğu açıtı. ε > 0,lim χk ( ε )( ) = 0. = ε > 0,lim( χ ) = 0. C K ( ε ) Lemma Sosuz çolutai içi, t 0 olaca şeilde bi t sayı dizisi va ise h.h. içi = 0 ve vadı (Fidy 985). = K ε t = olaca şeilde bi dizisi m ( ) = İspat: He içi, m() > 2 ve t m() 0 olma üzee { } tamsayılaı ata bi dizisi olsu. şimdi bi = ( ) dizisii pozitif 7

14 , = m ( ) t = m( ) 0, m ( ) ile taımlayalım. İl olaa, h.h. içi = 0 yai K : { : 0} δ ( K ) = 0 olduğu açıtı.yıca, m( ) m( ) m( ) = = = tm( ) = = olma üzee t = t = t. = = olup bu da ispatı tamamla. Teoem Hiçbi matis toplaabilme metodu, istatistisel yaısalı metoduu içeemez (Fidy 985). İspat: Bi matis istatistisel yaısalığı içeiyosa Lemma de satı solu olmalıdı. satı solu bi matis ve a (), () 0 olsu. Buda soa > () içi, olaca şeilde ( ) a ve a (), = 0 (), () 0 () > seçelim. Şimdi ise satı ve sütuu ata 2 dizileii seçelim öyle i he m içi, ( m) m ve he > ( m) olduça a ( ), = 0 geçelesi. Bi = ( ) dizisii = a (), (),..., m > olduça a ( ), ( ) 0 m m 8

15 m = m a ( m) ( m), ( i) ( i) a( m), ( m) i= ve diğe duumda, 0 Bu duumda, ( ) ( ), ( m) = elde edili. = a m ii m i= i= = a = taımlayalım. ( m), ( i) ( i) 9,..., m a( m), ( i) ( i) a( m), ( m) ( m). i= = + a = + m m ( m), ( m) a( m), ( i) ( i) m a( m), ( i) ( i) i a = ( m), ( m) i= m Sıısız bi dizi yaısa olmadığıda, - toplaamaz. Şimdi de dizisii istatistisel yaısa olduğuu gösteelim: 2 ( m) > m olduğuda K { : 0} halde ( K ) 0. = olmalıdı. O δ = olup h.h. içi = 0 yai st lim = 0 olu. Bu duumda satı solu matisi, istatistisel yaısalığı içeemez. Bu da ispatı tamamla. Bu ısımda so olaa istatistisel yaısalı ve p-cesào toplaabilili aasıdai ilişiyi aşağıdai teoemle veebiliiz. Teoem p ve 0 < p < olsu. i. Bi dizi L sayısıa uvvetli p-cesào toplaabili ise L sayısıa istatistisel yaısatı.

16 ii. Sıılı bi dizi L sayısıa istatistisel yaısa ise L sayısıa uvvetli p-cesào toplaabilidi (Coo 988). 0

17 3. İSTTİSTİKSEL LİMİT VE DEĞME NOKTLRI Bu bölümde bi sayı dizisii istatistisel limit ve değme otalaı ile aalaıdai ilişiyi veeceğiz. 3.. İstatistisel Limit ve Değme Notalaı İstatistisel yaısalıta sıfı yoğuluğa sahip cümlele öemli bi ol oya, bu edele bulaa ilişi bazı öemli temioloji ve otasyolaı veelim. =( ) dizisii değe cümlesi { : } ile gösteili. { ( j) } j =, =( ) dizisii bi altdizisi ve K:={(j): j } ise { (j) } yeie {} K yazılı. δ (K) = 0 ise {} K dizisie =( ) dizisii ice bi altdizisi dei. Eğe ( K ) 0 δ ise {} K dizisie ice olmaya bi altdizi dei. Bi dizisii bi L sayısıa yaısaya bi altdizisi vasa L sayısı dizisii alışılmış limit otasıdı, bu yüzde bi altdizii teimleii yoğuluğuu göz öüe alaa istatistisel limit otasıı ve istatistisel değme otasıı Fidy (993) şöyle taımlamıştı: Taım 3... Bi = ( ) dizisii bi λ sayısıa yaısaya ice olmaya bi altdizisi vasa, λ sayısıa dizisii bi istatistisel limit otası dei. Taım He ε > 0 içi { : -γ < ε } cümlesi sıfı yoğuluğa sahip değilse, γ sayısıa dizisii bi istatistisel değme otası dei. Öe 2.2. dei =( ) dizisi içi L ={0,} ve Λ = Γ ={0}. Hehagi bi dizisi içi Λ L ve Γ L olduğu açıtı. Λ ile L ço falı olabili, öeği aşağıda veilmişti: Λ = olduğuda L = olaca şeilde bi dizisi Öe 3... { } = ( ) dizisi = değe cümlesi bütü asyoel sayıla ola bi dizi ve

18 = = = 2 ; ( ) 2 ;, 2,3,... şelide taımlası. K:= { = 2 : } olma üzee δ (K) = 0 olduğuda : cümlesi de yoğu Λ =. Faat { } olduğuda L = buluu. Λ ile Γ aasıdai içeme bağıtısı aşağıdai öeme ile veilmetedi. Öeme 3... Hehagi bi sayı dizisi içi (Fidy 993). Λ Γ L geçelidi İspat: λ Λ olsu. Bu duumda, lim ( j ) = λ ve limsup { ( j) : j } = d > 0 j ( j) j olaca şeilde doğal sayılaı bi { } = lim ( j ) λ j solu bi cümledi. dizisi = olduğuda, he ε > 0 içi { j : ( j) λ ε} { : λ < ε} { ( j) : j } olduğuda, sosuz çolutai le içi vadı. cümlesi \ {solu üme} d { : λ < ε} { ( j) : j } O() 2 buluu. O halde δ { : -γ < ε } 0 olup λ Γ elde edili. Sıadai öeme ile Γ cümlesii, L gibi daima apalı bi ota cümlesi olduğuu gösteelim. 2

19 Öeme Hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi dizisii istatistisel değme otalaıı Γ cümlesi apalı bi ota cümlesidi (Fidy 993). İspat: p, sayısı içi Γ cümlesii bi yığılma otası olsu. Bu duumda ε > 0 Γ cümlesii ( p-ε, p+ε ) aalığıda p γ olaca şeilde e az bi γ otası vadı. O halde (γ -ε,γ +ε ) ( p-ε, p+ε ) olaca şeilde ε > 0 sayısı seçilebili. γ γ -ε, γ +ε )} 0 olacatı. olduğuda, Γ olduğuda δ {: ( { : ( γ ε, γ + ε )} : ( p ε, p + ε ) { } { : (, + )} : ( p, p + ) { } δ γ ε γ ε δ ε ε { } elde edili.dolayısıyla, δ ( p ε p ε ) buluu. :, + 0 olup p Γ Veile bi dizisi içi, ou istatistisel yaısa olması ya da olmamasıı ice altdizileii değeii değişmesi ile değişmediğii Teoem 2.2. de gödü. Şimdi ise buu istatistisel limit ve değme otalaı içi de doğu olduğuu gösteelim. Teoem 3... = ( ) ve y = (y ) dizilei içi = y, h.h. olsu.bu Λ = Λ ve Γ = Γ y olmalıdı (Fidy 993). duumda y δ : = 0 ve λ Λ olsu. Bu duumda dizisii λ İspat: { y } değeie yaısaya ice olmaya bi {} K altdizisi vadı ve δ { : K ve = y } 0 olmalıdı. Buu içi y dizisii λ değeie yaısaya ve ice olmaya bi { y } K λ Λy ve Λ Λ y buluu. ve y i Λy Λ olacağıda Λ = Λ y elde edili. altdizisi vadı. O halde olleii değiştiise 3

20 Şimdi de δ { : y} = 0 ve γ Γ K : = { : = y} ve he 0 δ : γ < ε 0 olduğuda δ { K y γ ε} { } elde edili. { K : y γ < ε} { : y γ < ε} δ { : y γ < ε} 0 olup y olsu. ε > içi : < 0. Bu duumda γ Γ ve Γ Γ y elde edili. ve y i olleii değiştiise Γy Γ ve dolayısıyla Γy Γ buluu. Şimdi de istatistisel değme otalaı ve alışılmış limit otalaı aasıda uvvetli bi ilişi ua bi teoemi ispatsız olaa veeceğiz. Teoem Bi = ( ) dizisi içi, h.h. içi = y ve L y = Γ olaca şeilde bi y dizisi vadı; üsteli y dizisii değe cümlesi, dizisii değe cümlesii bi altcümlesidi (Fidy 993). Reel sayıla sistemii tamlığıa de iyi bilie biaç teoem vadı. lışılmış limitle yeie istatistisel limitlei alaa bu teoemlei istatistisel bezeleii veeceğiz. Öeği Teoem de bi sayı dizisii istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şatı bi istatistisel Cauchy dizisi olduğuu ispat etmişti. de e üçü üst sıı asiyomuu bi istatistisel bezei Mooto Dizi Teoemidi: Mooto bi = ( ), eel sayı dizisii yaısa olması içi gee ve yete şat sıılı olmasıdı. şağıdai souç Mooto Dizi Teoemii istatistisel bi bezeidi. Öeme = ( ) bi sayı dizisi ve {} M, i bi mooto altdizisi olma üzee, ( M ) = ve, M de sıılı ise, istatistisel yaısatı (Fidy 993). δ İspat: {} M, bi sayı dizisii mooto altdizisi olma üzee, δ ( M ) = ve, M de sıılı olsu. {} M = y alalım. ( M ) δ = olduğuda h.h. içi = y olu., M de sıılı olduğuda, y sıılı bi dizidi. {} M, M de mooto olduğuda, y mootodu. Bu duumda Mooto Yaısalı 4

21 Teoemide y yaısatı. O halde, h.h. içi = y ve y yaısa olduğuda Teoem de, istatistisel yaısatı. Reel sayıla içi bi başa tamlı soucu Bolzao-Weiestass Teoemidi: Sıılı bi dizisi içi L olu. Sıılı dizile içi 5 Λ = olabileceğide Bolzao-Weiestass Teoemii istatistisel bezeii aca istatistisel değme otalaı içi uygulayabiliiz. Teoem Bi = ( ) sayı dizisi, sıılı ve ice olmaya bi altdiziye sahipse, bu duumda bi istatistisel değme otasıa sahipti (Fidy 993). İspat: Sıılı ve ice olmaya bi altdiziye sahip bi dizi olsu. Teoem de L y δ : y = 0 olaca şeilde = Γ ve { } bi y dizisi vadı. Bu duumda y sıılı ve ice olmaya bi {y} K altdizisie sahipti.bolzao-weiestass Teoemide L y ve böylece elde edili. Teoem ve Teoem de aşağıdai soucu elde edeiz Γ Souç 3... = ( ) sıılı bi sayı dizisi ise bu duumda bi istatistisel değme otasıa sahipti (Fidy 993). Bi soai souç Heie-Boel Ötü Teoemii bi istatistisel bezeidi. = ( ) sıılı bi sayı dizisi olma üzee, X : { : } = U L cümlesi ompattı. Heie-Boel Ötü teoemii dizisel bezeie göe {J } açı cümlelei bi olesiyou X ümesii ötüyosa, {J } i X ümesii öte solu bi altolesiyou vadı. Bu soucu istatistisel bezeide L ile { } Γ ye değiştiebili ve X : = : U Γ ümesi, dizisii istatistisel apaış ümesidi. X ümesii apalı bi üme olma zoululuğu yotu. Geçete de X apalı bi üme olsaydı { : } X = U L = X oludu. Bu duumda L = Γ olmasıı geetiidi.

22 Teoem = ( ) sıılı bi dizi ise, dizisii ice bi {} K altdizisi K U Γ ompattı (Fidy 993). vadı öyle i { : \ } İspat: Teoem de L y = Γ olaca şeilde sıılı bi y dizisi seçebiliiz, { y : } { : } ve K = { y } olma üzee δ ( K ) = 0. Bu duumda, { : \ } U Γ = { : } K y U L y : : elde edili ve y sıılı bi dizi olduğuda Heie-Boel Teoemie göe yuaıdai eşitliği sağ taafı ompattı. Bu da ispatı tamamla. 6

23 4. - İSTTİSTİKSEL YKINSKLIK Bu ısımda - istatistisel yaısalı, -istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıı taıtacağız. - İstatistisel Yaısalı Feedma ve Sembe 98 yılıda istatistisel yaısalı taımıda Cesào matisi yeie egatif olmaya egüle bi = (a ) sosuz matisii alaa istatistisel yaısalığı geelleştimişledi. Şimdi de C Cesào matisi yeie matisi alaa aşağıdai daha geel taımı veebiliiz. Taım 4... = (a ) egatif olmaya egüle bi matis olsu. Eğe he ε > 0 içi, K : = K ε = : L ε olma üzee ( χk ε ) ( ) { } lim : = lim a χ ( ) = 0 ( ) K ( ε ) = ise bu duumda = ( ) dizisi L sayısıa - istatistisel yaısatı dei ve st lim = L ile gösteili (Feedma ve Sembe 98, Coo 989, Kol 993, Mille 995). Taım E olma üzee, lim ( χe ) : = lim a χe ( ) = δ ile limiti mevcutsa E ümesi, - yoğuluğa sahipti dei ve ( ) gösteili. O halde st ( ( )) 0 E lim = L olması içi gee ve yete şat he ε > 0 içi δ ε = olmasıdı. K 7

24 Bi dizii -istatistisel yaısa olmasıı şöyle aateize edebiliiz: = ( ) dizisii bi L sayısıa -istatistisel olaa yaısaması içi gee ve = L olaca şeilde bi ( ) δ : = ve lim yete şat { } idis dizisii mevcut olmasıdı (Kol 993, Mille 995). -İstatistisel Limit ve Değme Notalaı K içi eğe ( ) 0 K δ = ise K cümlesi sıfı yoğululudu dei. K cümlesii -yoğuluğu mevcut ve pozitif ya da K cümlesii - yoğuluğu mevcut değil ise K sıfı yoğuluğa sahip değildi dei ve δ { : P() geçeli değil}=0 ise ( ) 0 δ K ile gösteili. Eğe bu duumda P() -heme he içi geçelidi dei ve buu -h.h. yazaa ısaltacağız. Bi := ( ) dizisi içi K = {(j): j } olma üzee, {} K, i bi δ ise {} K dizisie = ( ) dizisii -ice olmaya altdizisi ve ( ) 0 K bi altdizisi dei. Taım K altcümlesi δ ( K ) 0 içi ve lim{ } λ = ise λ sayısıa dizisii bi -istatistisel limit otası dei (Coo ve Klie 996). Taım He 0 : < 0 ε > içi δ { γ ε} ise, γ sayısıa dizisii bi -istatistisel değme otası dei (Coo ve Klie 996). İici bölümde vediğimiz yoğulu avamıı, -yoğulu avamı ile değiştiise tüm souçla buada da geçelidi. Bu souçla Coo ve Klie (996), Demici (2002) de buluabili. Öeme Hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi Λ ( ) Γ ( ) geçelei. 8

25 İspat: λ Λ ( ) olsu. Bu duumda, lim j λ } olma üzee lim sup a = d > 0 { } j sayılaı bi ( j) ( ) = ve K:= {(j): j j olaca şeilde doğal K dizisi vadı. lim = j j λ ε > 0 içi, { j : ( j) λ ε} cümlesi solu bi cümledi. { : λ < ε} { ( j) : j } olduğuda, sosuz çoluta içi, ( ) = olduğuda, he \ {solu üme} d { : λ < ε} { ( j) : j } O( ) 2 : < 0 olu. O halde, δ { λ ε} edili. λ Γ elde olup ( ) Öeme Hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi dizisii - Γ cümlesi apalı bi ota istatistisel değme otalaıı ( ) cümlesidi. İspat: p, Γ ( ) cümlesii bi yığılma otası olsu. Bu duumda ε > 0 sayısı içi Γ ( ) cümlesii ( p ε, p + ε ) aalığıda p γ olaca şeilde e az bi γ otası vadı. O halde, ( γ ε, γ ε ) ( p ε, p ε ) γ Γ ( ) olduğuda, + + olaca şeilde ε > 0 sayısı seçilebili. olacatı. olduğuda, δ {: ( γ -ε, γ +ε )} 0 { : ( γ ε, γ + ε )} : ( p ε, p + ε ) { } 9

26 { : (, + )} : ( p, p + ) { } δ γ ε γ ε δ ε ε { } elde edili.dolayısıyla, δ ( p ε p ε ) p Γ ( ) buluu. :, + 0 olup Teoem = ( ) ve y = (y ) dizilei içi = y, -h.h. olsu.bu duumda Λ ( ) = Λ ( y) ve ( ) ( y) Γ = Γ olmalıdı. İspat: δ { : y } = 0 ve λ Λ ( ) olsu. Bu duumda dizisii λ değeie yaısaya -ice olmaya bi {} K altdizisi vadı ve δ { : K ve = y} 0 olmalıdı. Buu içi y dizisii λ değeie yaısaya ve -ice olmaya bi { y } K λ Λ ( y) ve ( ) ( y) değiştiise Λ ( y) Λ ( ) olup ( ) ( y) altdizisi vadı. O halde Λ Λ buluu. ve y dizileii olleii Λ = Λ elde edili. Şimdi de δ { : y} = 0 ve ( ) K : = { : = y} ve he 0 olduğuda δ { K : y γ ε} 0 olduğuda γ Γ olsu. : < 0 ε > içi δ { γ ε} < elde edili. Bu duumda { K : y γ < ε} { : γ < ε} { K : y < } δ { : y γ < ε} δ γ ε geçelei. O halde δ { : y γ < ε} 0 olup γ Γ ( y) ve Γ ( ) Γ ( y) buluu. ve y dizileii olleii değiştiise Γ ( y) Γ ( ) olup Γ ( ) = Γ ( y) elde edeiz. 20

27 şağıdai souçlaı ispatsız olaa veeceğiz. Teoem Bi = ( ) dizisi içi, -h.h. içi = y ve L y = Γ ( ) 2 olaca şeilde bi y dizisi vadı; üsteli y dizisii değe cümlesi, dizisii değe cümlesii bi altcümlesidi. Teoem Bi = ( ) sayı dizisi, sıılı ve ice olmaya bi altdiziye sahipse, bu duumda bi -istatistisel değme otasıa sahipti. Souç = ( ) sıılı bi sayı dizisi ise bu duumda bi -istatistisel değme otasıa sahipti. Şimdi de C Cesào matisii satılaıı bi cümlesi çıaılma üzee taımlaa C λ metodu içi bi dizii istatistisel değme otalaıda söz edeceğiz. E, doğal sayılaı solu bi altcümlesi ve E, pozitif tamsayılaı esi ata { } bi dizisidi: E λ ( ) =. Bu duumda; = δ ( E) : = lim λ ( ) limiti mevcut olma üzee taımlamatadı. Faat i tüm altcümlelei δ mevcut olmadığıda, içi ( E) δ = ( E) : lim sup { : E} şelide taımlaa üst asimptoti yoğuluğu ullaacağız. δ fosiyouu bazı özelileii veelim: i eyfi E ve F altcümlelei içi, E δ E i. ( E) δ mevcut ise δ ( ) = ( ) ii. δ ( E) 0 olması içi gee ve yete şat δ ( E) > 0 iii. E F ise δ ( E) δ ( F )

28 geçelei. = ( ) eel ya da omples sayılaı bi dizisi ve =,2,3,... olma üzee, dizisii C λ -döüşümüü ( C ) λ ( ) λ( ) : = λ = şelide taımlayalım. He λ içi C λ ı egüle olduğuu Silvema- Toeplitz şatlaıda olayca göebiliiz. He ε > 0 içi, δ K ε = lim C χ ( ( )) ( K ( ) ) Cλ λ ε ( ) γ Γ olacağı açıtı. C λ Özel bi hal alaa ( ) çaıştığıı göebiliiz. = lim : < 0 ise, λ ( ) { } γ ε λ = alısa, C λ matisi ile C Cesào matisii Şimdi ise C λ metodu içi Γ ( ) ile Γ ( ) ve ( C ) ( Cµ ) C λ C µ Γ aasıdai ilişilei iceleyelim (Demici 2002). { } { } Teoem F = λ ( ) ve E µ ( ) altcümlelei olsu. E\ F solu ve ise bu duumda, he K içi, ( ) ( ) λ lim = d 0 µ Γ ile =, i sosuz λ 22

29 olu. δ ( ) 0 ise δ ( ) 0 C K λ İspat: E\ F solu ise bu duumda ( ) C K µ { : } µ N F olaca şeilde bi µ λ N sayısı vadı. N içi j() alalım öyle i ( ) j( ) duumda ( j ( )) ata ve içi ( ) δ ( ) 0 ise bu duumda; C K λ δ Cλ ( K ) { i λ ( ) : i K} λ ( ) = lim sup > 0 olmalıdı. yıca ( ) dizisi pozitif bi değee yaısadığıda olduğuda, ( ) ( ) j lim sup y = lim lim supy ( ) ( ) { i λ ( ) i K} ( ) : j = olsu. Bu j olu.eğe { i λ ( ) : i K} λ, λ λ λ δ Cµ ( K ) elde edili. Bu duumda ( ) 0 E F ( E = \ ) ( F U F \ ) ( Cλ) ( C ) λ ( ) elde edeiz: ( ) j { i µ ( ) : i K} µ ( ) = lim sup > 0 δ olu. Bu da ispatı tamamla. C K µ E, ( Cµ ) ( C ) µ ( ) = ve = olduğuda, Teoem de aşağıdai teoemi 23

30 Teoem F = { λ ( ) } ve E { µ ( ) } olsu. Bu duumda i. E\ F solu ve ii. E F solu ve iii. E\ F solu ve iv. E F solu ve geçelei. İspat: i.. E\ F solu ve =, i sosuz altcümlelei ( ) = d ise ΓC ( ) Γ C ( ) λ µ ( ) λ ( ) = d ise Γ C ( ) = Γ C ( ) λ µ µ ( ) ( ) = d ise Γ( Cµ ) Γ ( Cλ) ( ) λ ( ) d Γ C = Γ µ ( ) λ lim 0 µ lim 0 λ lim 0 µ lim 0 ( ) ( ) = ise ( ) ( C ) µ λ λ lim = d 0 olsu.bu duumda; µ ( ) λ ( ) Cµ ( ) γ Γ ( ) { } { } γ Γ ε > 0, δ λ : γ < ε 0 elde edili. Cλ C ii. E F solu ve olu. ε > 0, δ λ : γ < ε 0 C µ λ ( ) d µ ( ) \ ) ( lim = 0 olsu. E F solu (E (E \ ) F U F \ ) F solu ve (F \ ) E solu E solu ΓC ( ) ΓC ( ) ve ( ) ( ) λ µ C C µ λ Γ ( ) = Γ ( ) Cλ Cµ Γ Γ. 24

31 C C Teoem de öce söz ettiğimiz gibi ( µ ) ( ) µ ( ) ( Cλ) ( C ) λ ( ) = ve = olduğuda (iii) ve (iv) ifadeleii ispatı açıtı. Teoem de ( ) aşağıdaii alayabiliiz. Teoem E { µ ( ) } duumda, i. ii. λ = aldığımızda (ii) ve (iii) ifadeleide =, i sosuz bi altcümlesi olsu. Bu ( ) = d ise Γ( ) Γ C ( ) µ ( ) ( ) d Γ Cµ Γ ( ) λ lim 0 µ λ lim 0 µ = ise ( ) ( C) geçelidi. Şimdi de -istatistisel yaısalı alamıda bazı içeme bağıtılaıı veeceğiz (Demici 2002). Taım ve B matislei içi st stb ise istatistisel yaısalı alamıda, B de daha uvvetlidi dei. st I st içi st lim = st lim ise ve B Taım B B matislei, istatistisel yaısalı alamıda tutalı matisledi dei. Eğe istatistisel yaısalı alamıda, B de daha uvvetli ise yazılı. st B ve dei ve st B st B ile gösteili. st B ise istatistisel yaısalı alamıda ve B eşitti = (a ) ve B = (b ) egatif olmaya egüle matisle olma üzee aşağıdai teoemlei veeceğiz (Demici 2002). 25

32 Teoem () = lim sup a b = 0 ise bu duumda he K içi ( K ) 0 şat δ B ( K ) = 0 olmasıdı. İspat: (Geelili:) ( K ) 0 olduğuda, () de; elde edili. Böylece buluu. δ = olması içi gee ve yete. K δ = olsu. Bu duumda lim a = 0 ( χ ) ( χ ) B = a b K K K K K ( a b ) = K = a b a b ( χ ) ( Bχ ) lim sup = 0 δ B K ( K ) = lim b = 0 K (Yetelili:) Simetide elde edili. Teoem de aşağıdai soucu elde edebiliiz. Teoem ve B matislei () oşuluu sağlası. Bu duumda; i. st = stb Γ = Γ ii. ( ) ( ) B K 26

33 geçelei. İspat: st i. ve B, () oşuluu sağlası ve bi eel sayı dizisi içi lim = L olsu. Bu duumda, olup, () de elde edili. O halde δ δ B { L ε} : = 0 { L ε} : = 0 stb lim = L olup st stb st st st st elde edili. Simetide yaalaaa B olduğuda = B buluu. ii. γ Γ ( ) olsu. Bu duumda he ε > 0 içi, { } δ : γ < ε 0 olu. () de ε > 0 içi, δ : γ < ε 0 B { } olup γ Γ B ( ) elde edili. O halde ( ) B ( ) şeilde Γ ( ) Γ ( ) olup ( ) ( ) B ispatı tamamla. Lacuay İstatistisel Yaısalı Γ Γ olu. Beze Γ = Γ elde edili i, bu da Bu bölümde lacuay istatistisel yaısalı ve istatistisel yaısalı ile ilişisii iceleyeceğiz. Daha soa da lacuay istatistisel limit otalaıda söz edeceğiz. θ = { } pozitif tamsayılaı ata bi dizisi olsu. 0 = 0 olma üzee : = ise θ = { } dizisie bi lacuay dizi içi h dei (Feedma et al. 978). B 27

34 Bu bölümde θ = { } lacuay dizisi ile oluştuula aalıla ( ] I :, = ile ve q : = ile gösteileceti. Kuvvetli Cesào toplaabile dizile uzayı ola { w : = σ : = : bazı L le içi, lim L 0 = = uzayı ile istatistisel yaısa dizile uzayı aasıda doğal bi ilişi olduğu gibi σ ve N θ dizi uzayı aasıda da uvvetli bi ilişi vadı. Buada { N : : θ = bazı L le içi, ile taımlaı (Feedma et al. 978). lim L = 0 h I Taım θ bi lacuay dizi olma üzee bi = ( ) sayı dizisi ve heε > 0 içi, lim { I : L ε} = 0 (2) h ise, L değeie lacuay istatistisel yaısatı dei (Fidy ve Oha L S θ veya st lim = L ile gösteili. yıca 993). ( ) ve olsu. θ = { bazı L le içi, st lim = L} S : : θ : = { : bazı L le içi, stθ lim = L} S C Cesào matisii ullaaa istatistisel yaısalıta de bi gösteimii vediğimiz gibi, beze şeilde lacuay istatistisel yaısalı içide C θ matisii ullaabiliiz; buada 28

35 ile veili. O halde ; I C [, ] : h θ = 0 ; I st lim = θ L ε 0 yazılı. lim : = 0 h >, { I L ε} lim χk ( ) = 0. h = ( C χ ) lim = 0. K lim I IK = 0 h Şimdi ise lacuay istatistisel yaısalı ve istatistisel yaısalı aasıdai ilişiyi vee teoemlei ispatsız olaa veeceğiz. Bu teoemle Fidy ve Oha (993) te buluabili: Teoem { } θ θ = bi lacuay dizisi olsu. Bu duumda, dizilei cümlesi olma üzee; ii. geçelidi. i. (a) ( ) ise ( ) L N θ L S θ (b) N θ, S θ ı öz altcümlesidi. ve l ve ( ) ise ( ) iii. S Il = N θ L S θ θ Il Lemma Hehagi bi θ lacuay dizisi içi st θ L N θ l sıılı st lim = L ise lim = L olması içi gee ve yete şat limifq > 29

36 olmasıdı. lim ifq = ise bu duumda S θ -toplaamaya, faat S- toplaabile sıılı bi dizi vadı. Lemma Hehagi bi θ lacuay dizisi içi st lim = θ L ise st lim = L olması içi gee ve yete şat limsupq < olmasıdı. limsupq = ise bu duumda S-toplaamaya, faat S θ - toplaabile sıılı bi dizi vadı. Teoem θ bi lacuay dizi olsu. Bu duumda S =S θ olması içi gee ve yete şat olmasıdı. Bu duumda; olu. < lim ifq < limsupq < st lim = L ise st lim = θ L Öeme Bi = ( ) eel sayı dizisi solu üst limit değeie veya solu alt limit değeie C θ -toplaısa bu duumda, bu değe lacuay istatistisel yaısa. Teoem SI S θ ise st θ lim = st lim θ = { } ve θ = { } dizilei içi { } { } olu. ise θ, θ lacuay dizisii bi lacuay icelmesidi dei. şağıdai teoemde S θ ves θ aasıdai içemeyi göeceğiz. Teoem θ, θ lacuay dizisii bi lacuay icelmesi ve stθ lim = L ise bu duumda st lim = θ L olu. 30

37 Yuaıda vediğimiz souçla doğultusuda aşağıdai souçlaı elde edeiz. İl olaa Teoem de S Il = N Il olduğuda aşağıdai souç açıtı. Öeme L, tüm lacuay dizileii cümlesi ve cümlesi olma üzee di (Demici 2002). θ ve 2 l ( { : lim I I Sθ θ L ve q = }) = l I I{ Nθ : θ L ve limq = } ( ) 3 θ θ l sıılı dizilei θ lacuay dizilei olma üzee θu θ2 ve θi θ2 lacuay olma zouda değildi. Öeği { 2 } θ θ θ = ve 2 { 2 } θ = + dizilei lacuay oldulaı halde U 2 ve I 2 dizilei lacuay değildi. θ Şimdi de lacuay istatistisel limit ve değme otalaıı taımlayalım. - istatistisel limit ve değme otalaıda θ = C ve = C θ olduğu zama beze şeilde C ( ), ( ), ( ) ( ) C C ve C θ θ ( ), ( ), ( ) ve ( ) θ Λ Γ Λ Γ yeie Λ Γ Λ Γ yazabiliiz. Bu souçla Demici (2002) de buluabili. θ Lemma θ = { } bi lacuay dizisi olsu. Bu duumda, i. lim ifq > ise Λθ ( ) Λ ( ) ii. q < ise Λ ( ) Λ ( ) geçelidi. limsup İspat: i. Kabul edelim i lim ifq > olsu. Bu duumda yeteice büyü le içi q θ + δ olaca şeilde bi δ > 0 vadı. Bu duumda

38 olup, olduğuda, elde edili. h = = = q q h + δ δ +δ λ Λ θ ( ) olsu. Bu duumda δθ ( K ) 0 ve lim ( j ) { } şeilde bi K ( j) I ( ], = cümlesi vadı. = olma üzee, yeteice büyü le içi, = λ olaca { ( j) : j } { ( j) I : j } δ ( j) I : j + δ h δ olduğuda, elde edili. ( K ) 0 θ lim { ( j) I : j } 0 h olu. Bu duumda yuaıdai eşitsizlite; lim { ( j) : j } 0 j { } elde edili. Bi dizii altdizisii limiti sıfıda falı ise dizii limiti de, (mevcut olması duumuda), sıfıda falı olacağıda; 32

39 lim : 0 edili. { ( j) j } yai δ ( K ) 0 olup ( ) ii. limsupq < olsu. Bu duumda he içi H > sayısı vadı. He içi, şeilde e azıda elde edili. h = = q H λ Λ ( ) olsu. Bu duumda bi K : { ( j) : j } vadı öyle i δ ( K ) 0 ve taımlayalım. lim j λ j ( ) =. = N N : = { I : K} = K I I ve t : = h < olma üzee, λ Λ elde q H olaca cümlesi olduğuda; < ve < { : K} { : K} = { N N... N } = { th th... th } 33

40 = + h i= ht i i H t + i= h i= ht i i t i= i i h ( ) ( 3) elde edili. Kabul edelim i içi t 0 olsu. Bu duumda, t dizisii ağılılı otalama döüşümü egüle olduğuda, i= h i= i ht i i 0 olacatı. (H-) sale ve t 0 olduğuda (3) ifadesii sağ taafıı içi limiti sıfı olu. O halde,sol taafı da limiti sıfı olu i bu δ K olması ile çelişi. O halde, olup ( ) 0 limt 0 limt = lim { I : K} 0 h yai δ ( K ) 0 elde edili. Böylece ( ) θ ispatı tamamla. Lemma de aşağıdai teoemi heme elde edebiliiz. 34 λ Λ elde edeiz. Bu da Teoem θ = { } bi lacuay dizi olsu. Bu duumda, geçelei. θ ( ) ( ) < lim ifq lim supq < ise Λ = Λ θ

41 İspat: He zama lim ifq oşullaıı bu ifadede yeleştiise, ispat elde edili. lim supq olduğuda lemma ü Lemma θ = { } bi lacuay dizisi olsu. Bu duumda, i. lim ifq > ise Γθ ( ) Γ ( ) ii. q < ise Γ( ) Γ ( ) limsup iii. lim ifq lim supq < ise ( ) ( ) sağlaı. < Γ = Γ θ İspat: i. lim if gibi h O halde q > ve ( ) δ elde edebiliiz. + δ θ θ γ Γ olsu. Lemma de olduğu { : γ < ε} { I : γ < ε} h = { I : γ < ε} h δ { I : γ < ε} + δ h olup, so ifadei sağ taafıı limiti sıfıda falı olacağıda sol taafı limiti de sıfıda falı olacatı. Böylece γ Γ ( ) elde edili. ii. limsup olduğu gibi he içi vadı. He içi, q < ve ( ) γ Γ olsu. Yie Lemma de q H olaca şeilde e azıda H > sayısı 35

42 olup, şelide taımlasa h = q H N N : = { I : γ < ε} ve t : = h < olma üzee, { : γ < ε} { : γ < ε} = N + N N { } = { th th th } 2 2 h ht i i t i= hi i= = + ht i i ( H ) t + i= h elde edili. Lemma de uyguladığımız yötem ile buada limt 0 elde edeiz. Bu duumda ( ) iii. (i) ve (ii) de elde edili. θ i= i γ Γ olu. Bu da ispatı tamamla. Şimdi θ = { }, θ ı bi lacuay icelmesi olma üzee ( ) ile ( ) ve ( ) ile ( ) Γ Γ Λ Λ aasıdai içemelei ele θ θ θ θ alacağız. 36

43 Teoem θ, θ ı bi lacuay icelmesi ise bu duumda ( ) ( ) ve ( ) ( ) Γ Γ Λ Λ içemelei geçelidi. θ θ θ θ İspat: İl öce belitelim i θ, θ ı bi lacuay icelmesi olma üzee v θ ı he I aalığı θ ü { } ( ) otalaıı içei öyle i, i, i= di. yıca, < < < <... < =,,2,3, v ( ) ( { } { } I i, : = i,, i, ve olduğuda, he içi v( ). Yie { } I i, aalılaıı dizisi { Ij } θ ( ) γ Γ olsu. Bu duumda, j = olsu. lim { I : γ < ε} 0 (4) h olacatı. Yuaıdai otasyolaı ullaaa ve { j ε} E : = I : γ < olma üzee, h h h ( 5 ) { I : γ < ε} = hj { Ij : γ < ε } Ij I j = hj C h Ij I elde edili. Şimdi abul edelim i ( C θ χ ) ( ) θ χe j lim 0 j olsu. (5) ifadesi C θ χ E i ağılılı otalamasıı egüle bi döüşümü olduğuda, içi (5) ifadesii limiti sıfı olu, bu ise (4) ifadesi ile çelişi. Bu E j 37

44 duumda abulümüz yalıştı. O halde ( C θ χ ) γ Γ θ ( ) olu. Beze şeilde ( ) ( ) Λ Λ olduğu göülü. θ θ lim 0 j = olu. Yai E j 38

45 5. İSTTİSTİKSEL ÜST VE LT LİMİT Bi = ( ) sayı dizisi içi vediğimiz istatistisel yaısalı, istatistisel limit ve değme otalaı avamlaıda soa, bu bölümde istatistisel üst ve alt limit avamlaı ile bu avamla aasıdai doğal ilişilei veeceğiz. Daha soa da bu avamlaı -istatistisel üst ve alt limit avamlaıa geişletee beze souçlaı iceleyeceğiz. 5.. İstatistisel Üst ve lt limit İstatistisel üst ve alt limit avamlaıı vemede öce bi otasyo veelim: = ( ) bi eel sayı dizisi olma üzee, olsu. { δ { b} } δ { a} B : = b : : > 0 { } : = a : : < 0 Taım 5... = ( ) sayı dizisii istatistisel üst ve alt limiti sıasıyla ve sup B, B st lim sup : =, B = if, st lim if : = +, = şelide taımlaı (Fidy ve Oha 997). Taım = ( ) sayı dizisi içi { B} δ : > = 0 olaca şeilde bi B sayısı vasa, istatistisel sıılıdı dei (Fidy ve Oha 997). Bu avamlaı bi öe üzeide göelim: Öe 5... ve m bie doğal sayı olma üzee = ( ) sayı dizisi 39

46 şelide taımlası. 2 ; = m ve = 2 m ve : = 2 ; m ve = 2 m ve = ; = = ; 2 Belitelim i dizisi sıılı bi dizi değildi faat istatistisel sıılıdı. Çüü bu dizi sadece çift tamae idisli teimle içi sıısız ve bu idis cümlesii yoğuluğu sıfıdı. Klasi alamda ise altta sıfı ile sıılı faat üstte sıısızdı. Bu duumda B (,) ve ( 0, ) = =. O halde st lim sup = supb = ve st lim if = if = 0. yıca bu dizi istatistisel yaısa değildi. Çüü idisleii cümlesii yoğuluğu sıfıda falı ola ve sıasıyla sıfı ve bie yaısaya ii ayı altdizi va. yıca { 0,} Γ = olduğuu belitelim. Bu öete göülüyo i dizisii istatistisel değme otalaı ümesii e üçü elemaı st-limif ve e büyü elemaı st-limsup olmatadı. Bu düşüce aşağıdai teoemi öemetedi. Teoem 5... β : = st lim sup solu ise he ε > 0 içi { } 0 ve { } δ : > β ε δ : > β + ε = 0 (6) ε > içi (6) geçeleise β : = st lim sup olu (Fidy ve Oha 997). geçelei. Kaşıt olaa he 0 İspat: Taım 5... de β solu olduğua göe, { δ { b} } B : = b : : > 0 olma üzee β = supb. Bu b B içi b β ve he ε > 0 içi, b > β ε olaca duumda he şeilde bi b B vadı. 40

47 olduğuda { : > b} { : > β ε} { : > b} { : > } δ δ β ε elde edili.bu eşitsizlite sol taaf sıfıda falı olduğuda sağ taafta sıfıda falıdı. b β ise he ε > 0 içi b + ε β + ε olduğuda, { : > b + ε} { : > β + ε} olu. yıca β = supb ve b B olduğuda he ε > 0 içi b + ε B elde edili. Bu duumda, { : > b + } { : > + } δ ε δ β ε eşitsizliğide sol taaf sıfıa eşit olduğuda sağ taafta sıfıa eşitti. Kaşıt olaa (6) geçelesi. δ { β ε} β ε B ve dolayısıyla Çüü he 0 : > 0 olduğuda B. Bu duumda supb β ε > içi β ε B ve he b B içi b β Teoem α : = st lim if solu ise he ε > 0 içi { } 0 ve { } = olu. geçelei. δ : < α + ε δ : < α ε = 0 (7) ε > içi (7) geçeleise α : = st lim if olu (Fidy ve Oha 997). geçelei. Kaşıt olaa he 0 İspat Taım 5... deα solu olduğuda { δ { a} } : = a : : < 0 içi α = if diyelim. Bu 4

48 duumda he şeilde bi olduğuda a içi a α ve he ε > 0 içi, a < α + ε olaca a vadı. yıca : < a : < α + ε { } { } { : < a} { : > + } δ δ α ε elde edili.bu eşitsizlite sol taaf sıfıda falı olduğuda sağ taafta sıfıda falıdı. a α ise he ε > 0 içi a ε α ε olduğuda, { : < a ε} { : < α ε} buluu. yıca α = if ve a olduğuda he ε > 0 içi a ε elde edili. Bu duumda, { : < a } { : < } δ ε δ α ε eşitsizliğide sol taaf sıfıa eşit olduğuda sağ taafta sıfıa eşitti. Kaşıt olaa (7) geçelesi. δ { α ε} α ε + olup :. Bu duumda if a içi a α ve he 0 vadı. < + 0 olduğu içi = α olu. Çüü he ε > içi a < α + ε olaca şeilde a Teoem 5... ve ile taım de bi dizisii e üçü ve e büyü istatistisel değme otası sıasıyla st-limif ve st-limsup olduğu alamı çıaılabili. şağıdai teoem bu fii uvvetledimetedi. Teoem Hehagi bi = ( ) dizisi içi, geçelei (Fidy ve Oha 997). st-limif st-limsup 42

49 İspat: I.Duum: st lim sup = olsu. Bu B = olmasıı δ : > = 0. O halde he geetii. Dolayısıyla he b içi, { b} b içi, { : b} 0 δ { : < a} 0 olu ve st limif δ =. O halde he a içi, = elde edili. II.Duum: st lim sup = olsu. Bu duum açıtı. III.Duum: st lim sup = β < ve st lim if = α olsu. ε > 0 içi β + ε ve bu duumda α β + ε olduğuu gösteelim. Teoem 5... de β = supb olduğuda δ { : > β + ε } = 0. 2 Bu duumda δ { : β + ε } = olu ve bu da 2 δ { : < β + ε} = olmasıı geetii. Buada β + ε ve taımda α = if dolayısıyla α β + ε elde edili. ε eyfi olduğuda α β geçelei. Teoem ve taımda, hehagi bi = ( ) sayı dizisi içi lim if st lim if st lim sup lim sup (8) olduğu açıtı. Sıılı he dizii istatistisel alamda da, lasi alamda da alt ve üst limit değelei vadı. Sıılı bi dizi istatistisel limit otalaıa sahip olmayabili faat istatistisel limit otalaıı e büyüğüü bu sıılı dizi içi istatistisel üst limit olduğuu söyleyemeyiz. Buu içi aşağıdai öeği iceleyelim. Öe u : = 0,,0,,,0,,,,0,,,,,0,

50 : = 0 ve : = u olsu. Bu duumda = 0,0,0,,0,0,0,,0,,... olup dizisi [ 0, ] aalığıda değe 2 ve taımlayalım i 2 2 aldığıda sıılıdı. Dolayısıyla limsup, limif, st-limsup ve st-limif değelei mevcuttu. Hatta [ 0,] γ olaca şeildei bi γ sayısı içi { } δ : γ < ε ε > 0 olduğuda Γ = [ 0,] ve st-limsup = olu. Faat Λ = { 0} 44 olu. Bu duumda dizisi içi e büyü ve te istatistisel limit otası sıfı ama stlimsup de falıdı. yıca belitelim i bi dizi istatistisel sıılı ise bu duumda bu dizi içi st-limsup ile st-limif değelei soludu ve Teoem 5... ve dei (6) ve (7) özellilei geçelei. Bi = ( ) dizisi istatistisel sıılı olsu. Bu duumda { H} { H} δ : > = 0 olaca şeilde bi H > 0 vadı. O halde δ : = 0. a olsu. Bu duumda δ { : < a} 0 olacağıda a ( H, ) yai ( H, ) olacatı. O halde st-limif soludu. yıca, hehagi bi = ( ) dizisi sıılı olsu. Bu duumda he içi H olaca şeilde bi H > 0 sayısı vadı. Yai; δ { : H} =, { H} δ : > = 0 olu. Bu duumda göüyouz i sıılı ise istatistisel sıılıdı. Faat buu tesii doğu olmadığıı aşağıdai öe ile göelim: Öe = ( ) dizisi ; = m : = 0 ; m 2 2

51 şelide taımlası. Göülüyo i dizisi istatistisel sıılı olduğu halde lasi alamda sıılı değildi. Teoem İstatistisel sıılı dizisii istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şat st-limif = st-limsup olmasıdı (Fidy ve Oha 997). İspat: α : = st lim if ve β : = st lim sup olsu. Öce st-lim ε > olsu. Bu duumda δ { L ε} { : > L + ε} = 0 olu. İddia ediyouz i L = L ve 0 δ buu gösteelim: Kabul edelim i bi 0 : = 0 yai β olmalıdı.şimdi β > L olsu. Bu duumda β ε > L + ε olaca şeilde ε > bulumalıdı. Böylece : > L + ε : > β ε elde edeiz. O halde { } { } { : > L + } { : > } δ ε δ β ε buluu. Bu so eşitsizlite sol taaf, dolayısıyla sağ taafta sıfıa eşitti. Bu duumda bi çelişi oluşu, o halde abulümüz yalıştı. Yai β L geçelemelidi. yıcı dizisi istatistisel yaısa olduğuda δ { L ε} : < = 0 elde edeiz i beze şeilde bu da L α dolayısıyla β α geetii. Bu soucu Teoem ile bileştiise β α da geeliliği ispatla. Yetelili:Kabul edelim i α β Teoem 5... ve i (6) ve (7) özelileide olmasıı = elde edili. Bu = ve L : = α olsu. ε > 0 olma üzee δ { : > L + ε } = 0 ve { L ε } 2 δ : < =

52 elde edili. Böylece δ { L ε} elde edili. Bu da ispatı tamamla. : = 0 buluu, yai st-lim = L Buc 953 yılıda C -toplaabile bi dizii, üst limitie istatistisel yaısa olduğuu göstedi. şağıdai teoem bu soucu bi istatistisel bezeidi. Teoem = ( ) dizisi üstte sıılı ve β : = st limsup otasıa C -toplaabili ise bu duumda, β değeie istatistisel yaısatı (Fidy ve Oha 997). İspat: Teoem de { } Teoem de δ { α ε} δ : < µ 0 olaca şeilde µ β sayısı vadı. α = st lim if < β olacatı. O halde, 46 < sayısı vadı. Geçete de : < + 0 olup, e azıda µ : = α + ε : { : } { : > + } = 0 olu. K : = { : µ β + ε} ve K : = { : > β + ε} K = < µ olsu. β ı taımıda, he ε > 0 içi δ β ε taımlayalım ve çolutai le içi, β = < olsu. { K } 0 : sup olaca şeilde bi 0 ve K d > 0 d > sayısı vadı. yıca he içi, δ { : > β + ε} = 0 δ olduğuda, sosuz { : µ β ε } { : µ } I { : β ε} K = + = > + K = K I K K içi olup [ olduğuda, K K

53 geçelei. C = = + + ( ) ε > 0 eyfi olduğuda (9) ifadeside, lim if = K K K µ β + ε β < K + K + K K K K = µ + ( β + ε ) + β K K µ + ( β + ε ) + o( ) K K = µ β + β + ε + ε + o d β µ + β + ε εd + o ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( d ) o( ) = β β µ ε + (9) ( C) d ( ) β β µ < β elde edili. Bu duumda, β değeie C -toplaamaz. Çelişi. O halde st lim = β olmalıdı. ltta sıılılı içi de bezei bi souç elde edeiz. Souç 5... = ( ) dizisi altta sıılı ve α : = st limif otasıa C -toplaabili ise bu duumda, α değeie istatistisel yaısatı (Fidy ve Oha 997). İspat: Teoem dei gibi ispat yapılabili. şağıdai öete göeceğiz i Teoem de i üst sıı oşulu ihmal edilemez. Hatta bu şat istatistisel üst sıı zayıf şatı ile bile değiştiilemez.. 47

54 Öe = ( ) dizisi şelide taımlası., tamae : = 0, te tamae değil, çift tamae değil Veile dizisi içi st-limif = 0 ve st-limsup = olduğu açıtı. O halde dizi istatistisel yaısa değildi. Faat { } { } { 2 m } δ : > = δ : = = δ : = = 0 olduğuda dizisi üstte istatistisel sıılıdı.yı zamada dizisi stlimsup = otasıa C -toplaabilmetedi: K 2 tamaelei cümlesii, K 0 ve K sıasıyla çift ve te tamae olmayalaı cümlesii göstesi.[t]:= mas{: t} olma üzee; C = + + ( ) 0 2 K K K = i 2 i elde edili. ( ) = + o İstatistisel Üst ve lt limit Şimdi de istatistisel üst ve alt limit avamlaıı -istatistisel yaısalı alayışı içeiside ifadelediip vediğimiz souçlaı -istatistisel bezeleii ispatsız olaa veeceğiz. Bu souçla Demici (2000) de buluabili. = ( ) bi eel sayı dizisi ve egatif olmaya egüle matisi içi, 48

55 { δ { b} } δ { a} B : = b : : > 0 { } : = a : : < 0 olma üzee aşağıdai taımı veelim. Taım = ( ) sayı dizisi, = (a ) egatif olmaya, egüle bi matis ise, i -istatistisel üst ve alt limiti sıasıyla şelide taımlaı. ve sup B, B st lim sup : =, B = if, st lim if : = +, = Taım = ( ) sayı dizisi içi { B} bi B sayısı vasa, -istatistisel sıılıdı dei. δ : > = 0 olaca şeilde Teoem β : = st lim sup < olsu. Bu duumda he ε > 0 içi { } 0 ve { } δ : > β ε δ : > β + ε = 0 (0) geçelei. Kaşıt olaa he 0 β : = st lim sup olu. ε > içi (0) geçeleise Teoem α : = st lim if < solu olsu. Bu duumda he ε > 0 içi δ : < α + ε 0 ve δ : < α ε = 0 () { } { } geçelei. Kaşıt olaa he 0 α : = st lim if olu. ε > içi () geçeleise 49

56 Teoem Hehagi bi = ( ) dizisi içi, geçelei. st -limif st -limsup Teoem istatistisel sıılı bi dizisii -istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şat olmasıdı. st -limif = st -limsup Teoem = ( ) sayı dizisi sıılı ve L : = st limsup sayısıa -toplaabili ise bu duumda, L değeie -istatistisel yaısatı. Souç = ( ) sayı dizisi sıılı ve L : = st limif sayısıa - toplaabili ise bu duumda, L değeie -istatistisel yaısatı. 50

57 6. SONUÇ Bu yüse lisas çalışmasıda bi sayı dizisi içi istatistisel yaısalı avamı taıtıldıta soa istatistisel limit otalaı ve istatistisel değme otalaı icelemiş ve bulaı alışılmış limit otalaı ile ilişilei ele alımıştı. Gösteildi i istatistisel limit otalaı ümesi, istatistisel değme otalaı ümesi taafıda içeilmete ve bu ümede alışılmış limit otalaı ümesi taafıda içeilmetedi. yıca istatistisel üst ve alt limit avamlaı ile bu avamlaı alışılmış üst ve alt limit avamlaı aasıdai ilişile otaya oulaa limif<st-limif<stlimsup<limsup bağıtısı elde edilmişti. Hatta istatistisel sıılı bi dizii istatistisel yaısa olması içi gee ve yete şat st-limif = stlimsup olduğu gösteilmişti. So olaa da buu - istatistisel bezelei veilmişti. Böylece bu oulada aaştıma yapalaa bi temel aya hazılamıştı. 5

58 KYNKLR Boos, J Classical ad Mode Methods i Summability. Ofod Sciece Publicatios. Coo, J. S The statistical ad stog p- Cesào covegece of sequeces. alysis, 8; Coo, J. S O stog mati summability with espect to modulus ad statistical covegece. Caad. Math. Bull., 32; Coo, J. S. ad Klie, J O statistical limit poits ad cosistecy of statistical covegeces. J. Math. al. ppl., 97, Cooe, R. G Ifiite matices ad sequece spaces. McMila. Demici, K statistical coe of a sequece. Demostatio Math., 33; Demici, K O lacuay statistical limit poits. Demostatio Math., 35, Demici, K O - statistical cluste poits.glasi Math., 3, Fast, H. 95. Su la covegece statistique. Colloq. Math., 2, Feedma,. R., Sembe, J. J. ad Raphael, M Some Cesào type summability spaces. Poc. Lodo Math. Soc., 37; Feedma,. R. ad Sembe, J. J.98. Desities ad summability. Pacific. Math., 95, Fidy, J O statistical covegece. alysis, 5, Fidy, J Statistical limit poits. Poc. me. Math. Soc., 8, Fidy, J.. ad Oha, C Lacuay Statistical Summability. J. Math. al. ppl. 73, Fidy, J.. ad Oha, C Lacuay statistical covegece. Pacific J. Math., 60; Fidy, J.. ad Oha, C Statistical limit supeio ad limit ifeio. Poc. me. Math. Soc., 25; Hady, G. H Diveget Seies. Ofod Uiv. Pess, Lodo. Kol, E Mati summability of statistically coveget sequeces. alysis, 3; Maddo, I. J Elemets of Fuctioal alysis. Cambidge Uivesity Pes. Mille, H. I measue theoetical subseqeuce chaacteizatio of statistical covegece. Tas. me. Math. Soc. 347, Nive, I. ad Zucema, H. S Itoductio to the Theoy of Numbes. Joh Wiley & Sos, 4 th ed. New Yo. Steihaus, H. 95. Su la covegece odiaie et la covegece 52

59 asymtotique. Colloq. Math., 2, Wilasy, Summability though Fuctioal alysis. Noth. Hollad. 53

60 ÖZGEÇMİŞ 980 Çaaale Gelibolu da doğdu. İl öğeimii Ezica ve İzmit te, ota öğeimii İzmit ve Çaaale de 998 yılıda tamamladı. yı yıl aa Üivesitesi Fe Faültesi Matemati Bölümüü azadı. Lisas öğeimii 2002 yılıda tamamladı. yı yıl aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim dalıda Yüse Lisas eğitimie başladı. 54

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatee Ünivesitesi Fen ve Mühendislik Bilimlei Degisi Afyon Kocatee Univesity Jounal of Science and Engineeing AKÜ FEMÜBİD 7 (207) 0330 (899-905) AKU J. Sci. Eng. 7 (207) 0330 (899-905) DOI: 0.5578/fmbd.66209

Detaylı

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR, OCAK - 06 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ

Detaylı

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi TOPLANAB

Detaylı

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin . MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +

Detaylı

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Aritmetik Fonksiyonlar

Aritmetik Fonksiyonlar BÖÜM V Aiteti osiyola Taı 5. Taı üesi oğal sayıla ola, : N C, şeliei osiyolaa aiteti osiyola ei., içi.. oşuluu sağlaya aiteti osiyolaa ise çaısal osiyola ei. Öe He N içi, ve 3 0 şelie taılaa osiyola bie

Detaylı

Tümevarım ve Özyineleme

Tümevarım ve Özyineleme Tümevaım ve Özyieleme CSC-59 Ayı Yapıla Kostati Busch - LSU Tümevaım Tümevaım ço ullaışlı bi ispat teiğidi. Bilgisaya bilimleide, tümevaım algoitmalaıı özellileii aıtlama içi ullaılı. Tümevaım ve öz yieleme

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ A-TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Our GENÇ Aabilim Dalı : Matemati Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN KASIM/013

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI Neşe İŞLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

S IGELER D IZ IN I w N C c 0 l 1 c R C üzeinde tan l bütün dizile uzay Do¼gal say la cülesi Fa opeatöü Koples say la cülesi Koples teili s f dizilei uzay Koples teili s n l dizile uzay Koples teili ya

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2

Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2 eeme - / YT / MT MTEMTİK ENEMESİ Çözümle. - a a + a - a+ a - - ^- ah. ^+ ah ^a- h. ^a+ h =. ^a-h. ^a-h a + =- ^a+ h =-a-. (! ) (! ) =. (!! ). (! +! ) =.!..!. =. tae tae tae = + + = 0 buluu.. =.. alıısa

Detaylı

On invariant subspaces of collectively compact sets of linear operators

On invariant subspaces of collectively compact sets of linear operators itüdergisi/c fe bilimleri Cilt:4, Sayı:, 85-94 Kasım 26 Birlite ompat operatör ailelerii değişmez altuzayları üzerie uç MISIRLIOĞLU *, Şafa ALPAY İÜ Fe Bilimleri Estitüsü, Matemati Mühedisliği Programı,

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

2. İLETİM İLE ISI TRANSFERİNE GİRİŞ

2. İLETİM İLE ISI TRANSFERİNE GİRİŞ üm aı alaı of. D. Büle Yeşilaa a aii. İisi çoğalılama.. İEİM İE ISI RANSFERİNE GİRİŞ. Isı ileimi deei e delemi Şeil. de göseile a üei allmış silidii bi çubua, falı A, Δ e Δ değelei ullaılaa apıla deele

Detaylı

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT Üite 9: Koelasyo Öğ. Elemaı: D. Mustafa Cumhu AKBULUT 9.Üite Koelasyo 2 Üitede Ele Alıa Koula 9. Koelasyo 9.1. Değişkele Aasıdaki İlişkile 9.2. Koelasyo katsayısı 9.Üite Koelasyo 3 Koelasyo Buda öceki

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I T.C. SÜLEYMAN DEMREL ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ ÇOKLU DZLER VE ONLARN STATSTKSEL YAKNSAKL Fatma Kadriye ÖRGEN Dama: Doç. Dr. Ahmet AHNER YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK ANABLM DAL SPARTA- 009 ÇNDEKLER Sayfa

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisas Tezi ISTAT IST

Detaylı

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI İstatistik Kavamı İstatistik bi olaya (eve, aa kütle,toplu, kolektif ve yığı şeklideki) ait veilei (aket, deey ve gözlem vb) toplaaak sayısal olaak ifade edilmesii ve bu veilei

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi CHLODOWSKY-TAYLOR

Detaylı

Cebir Notları. Geometrik Dizi ( ) ( ) Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Geometrik Dizi ( ) ( ) Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebi Notlı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Geometik Dizi Aitmetik diziyi bi htılylım bklım. Tüm dışık teimlei sıdki fkl sbitti. Yi stgele bi ilk teim vdı, o ilk teime bi d eel syısı

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Kimyasal Reaksiyon Mühendisliği. Hız Kanunları

Kimyasal Reaksiyon Mühendisliği. Hız Kanunları Kimyasal Reasiyon Mühendisliği Hız Kanunlaı 1 Tanımla Homojen Reasiyon Te fazlıdı. Heteojen Reasiyon Ço fazlıdı, easiyon genel olaa fazla aasındai aaesitlede meydana geli. Tesinmez (Te yönlü) Reasiyon

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri FZM45 leko-ok 7.Hafa Feel şlkle 28 HSaı 1 7. Hafa De İçeğ Feel şlkle Yaıma Kıılma lekomayek dalgaı dalga özellkle kullaaak ışığı faklı kıılma de ah yüzeydek davaışı celeecek 28 HSaı 2 Feel şlkle-1 Şekldek

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ NÜKLEER FİZİĞİN BORAYA UYGULANMAI: OPİYON FİYATLARININ MEH FREE YÖNTEM ile MODELLENMEİ M. Bilge KOÇ ve İsmail BOZTOUN Eciyes Üi. Fe-Ed. Fak. Fizik Bölümü 38039 Kaysei ÖZET Bu çalışmada eoik üklee fiziği

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-3

Çözüm Kitapçığı Deneme-3 KAMU PESONEL SEÇME SINAVI ÖĞETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞETİM MATEMATİK ÖĞETMENLİĞİ - OCAK 7 Çözüm Kitapçığı Deeme- u testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı vea i kısmıı Mekezimizi

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI. Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI. Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Haı Salıdır ÖZET Yüse Lisans Tezi FONKSİYON

Detaylı

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr

Detaylı

TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı veya bi kısmıı

Detaylı

TÜMEVARIM DİZİ - SERİ

TÜMEVARIM DİZİ - SERİ 99 A = {, N } ve P() öemes vels. Eğe :. P() doğu,. A ç P() doğu e P(+) öemes de doğu se; P() öemes A ç doğudu. TOPLAM SEMBOLÜ R ve N olm üzee;... dı. c c. c c b b < m < ç m m p p p 0 F F F F F F F F A

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators * MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine *

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine * S Ü Fe Fa Fe Derg Sayı 37 (011) 9-14, KONYA Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie * İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA Selçu Üiversitesi, Fe Faültesi, Mateati Bölüü, Koya Özet: Bu çalışada lieer cebirde öeli bir

Detaylı

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI Oa GERÇEK FBE Matemati Aabilimdalı Matemati Programıda

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Bir Dizinin Limiti...

Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Bir Dizinin Limiti... LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süeklilik...8 Bi Foksiou Limiti... 9 Özel Tımlı Foksiolı Limiti... Pçlı Foksiolı Limiti... Mutlk Değe Foksiouu Limiti... 7 Limit Özelliklei... Geişletilmiş Geçel Sıl Kümeside

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Nurcan BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK

KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Nurcan BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ Nurca BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ARALIK 9 ANKARA Nurca BİLGİLİ tarafıda hazırlaa

Detaylı

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b ATOM MODLLR THOMSON ATOM MODL TOR ; Bu modele göe atom yaklaşık 10 10 mete çaplı bi küe şeklidedi. Pozitif yükle bu küe içie düzgü olaak Dağıtılmıştı. Negatif yüklü elektola ise küe içide atomu leyecek

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım

Detaylı

ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLERİ

ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLERİ BÖLÜ 3 ŞANS DĞİŞKNLRİNİN BKLNN DĞR ONTLRİ atematsel belet avamı şas oyulaıda doğmuştu. yalı bçmyle, b oyucuu azaableceğ mta le azama olasılığıı çapımıdı. Sözgelm büyü ödülü 4800TL olduğu b çelşte 0.000

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı