32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler"

Transkript

1 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Her üei iyis ralaabilece ii a tla flt (Teore 24.1). Özel iyis ral üeler ola ordialleri de Bölü 10 da ta la flt. Ordiallerde iyis ralaa iliflisiyle verilir, yai bir ordialde < s ralaas, < olara ta la r. Ordiali elealar da ordialdirler (Teore 10.6). Her iyis ral üei bir ordiale eflyap sal oldu uu Bölü 12 de a tla flt. Dee i her üe e az bir ordiale eflleitir, yai e er X bir üeyse X le aras da bir efllee ola e az bir ordial vard r. X le aras da bir efllee bulua ordiallerde birie derse, { : X le aras da bir efllee var, yai X } üesi, ordialii bofl olaya bir altüesidir. Dee i e üçü bir elea vard r. Bu ordiali X olara östereli. E er ve ii ordialse, ya <, ya < ya da = d r (Teore 10.9). Dolay s yla yuarda ta laa X, seçile da ba s zd r ve sadece X e öre de iflir. Dee i X, X le aras da bir efllee bulua e üçü ordialdir.

2 Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler X üesiyle aras da efllee bulua bu e üçü X ordialie X i,, ya da deir. X le X te daha üçü bir ordial aras da bir efllee olaaz elbette. (Yosa X le bu daha üçü ordial aras da bir efllee olurdu.) Bir, ediside daha üçü bir ordialle aras da efllee olaya ordial olara ta layal. Her X üesi içi, X bir ardial say d r. Her ardial say s ardiali edisie eflittir elbette, yai X = X. Kardialler özel ordialler oldular da, ordialleri s ralaas yla s rala rlar. Al flt ra. X = { : ordial ve X } eflitli ii a tlay. l ardial say lar z bulal : Teore Her do al say bir ardial say s d r. Ka t: Bir do al say s yla ediside üçü bir do al say s aras da bir efllee olaayaca a tlaal y z. Bu ço bariz öereyi a tlayabile içi do al say ta - abaflvura z ereir elbet. Bu ta [S ] de veriflti. O ders otlar da do al say lar teer teer de il, topuu birde, yai do al say lar üesi yi ta la flt. Ard da, do al say lar i elealar olara ta la flt. Ouru ta bildi ii varsay yoruz. Aca 0 = ve + 1 = {} ta lar ve her do al say s ediside üçü elealar üesi oldu uu a satal. Her ve do al say s içi, < ise, ile aras da bir efllee yotur öeresii üzeride tüevar la a tlayaca z.

3 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler 321 E er = 0 = ise, de ye ide bir fosiyou iesi aca olabilir, dolay s yla 0 = oldu uda, böyle bir fosiyo örte olaaz. Öerei içi do ru oldu uu varsay p öereyi + 1 içi a tlayal. + 1 < olsu ve + 1 de ye ide bir eflleesi oldu uu varsayal. Bir çelifli elde edece iz., 0 da büyü ola zoruda oldu uda, bir do al say s içi, = + 1 olal. u < +1 ve v < say lar (u) = ve () = v eflitlileriyle ta layal. Afla da resiledi iiz ii de ifli fl var. +1 = +1 = v u Birici fi : () =. ici fi : (). Birici fi : u = ise. Bu duruda,, de ye ide bir eflleesie yol açar: =. Aa tüevar varsay buu yasalar. ici fi : uise. Bu duruda, : fosiyouu, ( i) i u ( i) e er ise v e er i u ise olara ta layal. Bu da ile aras da bir eflleedir ve bize eree çeliflidir. fiidi il sosuz ardial say z bulal :

4 Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Teore bir ardial say s d r. Ka t: ediside üçü bir ordiale, yai bir do- al say s a efllei olaayaca a tlaa z ereiyor. (Buda böyle, aralar da efllee ola üelere efllei üeler diyece iz.) Buu üzerie tüevar la yapaca z. sosuz oldu u, i ise solu oldu u, dolay s yla aralar da bir efllee olaayaca bariz de olsa, bu öerei ateatisel olara a tlaas ereiyor. 0 = oldu uda,, 0 ile efllei olaaz. ile efllei olad varsay p, + 1 ile efllei olaayaca a tlayal. Çelifli elde ete aac yla da + 1 say s a +1 \ {0} ide bir eflleesi ele alal. (0) = ve () = olsu. (Bz. bir yuardai fleil.) fiidi : \ {0} fosiyouu flöyle ta layal : ( i) i ( i) e er ise v e er i ise bir efllee oldu uda, de bir eflleedir elbet. Afla dai resi buu bir a t! fiidi h : fosiyou h(x) = (x + 1)

5 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler olara ta las. bir efllee oldu uda h de bir eflleedir. Bu, tüevar varsay zla çeliflir. Her ordial bir ardial olaaz, öre i + 1 = oldu- uda, + 1 bir ardial olaaz. Asl da + 1 biçiide yaz la hiçbir sosuz ordial bir ardial olaaz: Teore Sosuz bir ardial liit ordial ola zorudad r. Ka t:, herhai bir sosuz ordial olsu. + 1 = eflitli ii a tlayaca z., sosuz oldu uda,, yai, hatta, bir baflla ç dilii. fiidi : + 1 fosiyouu yadai residei ibi ve afla dai forülle ta layal : 0 e er = ise ( ) e er < ise + 1 e er < ise bir eflleedir elbet. Aa buu tersi do ru de ildir, öre i 2 bir liit ordialdir aa 2 = oldu uda (ede?) bir liit ordial ola 2 bir ardial de ildir.

6 Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Teore Bir ardial üesii bileflii bir ardialdir. Yai e er ( i ) ii bir ardial ailesiyse, ii i = ii i. Ka t: K bir ardialler üesi ve = K = K olsu. bir ordialdir [Olu 33.3 te hee soras ]. < herhai bir ordial olsu. E er K her ardiali içi, olsayd, o zaa olurdu ve = K, yai elde ederdi, bir çelifli. Dee i bir K içi <. Bu da < deetir. Dolay s yla bir ardialdir Üç Souç Teore X ve Y ii üe olsu. Ya X te Y ye ya da Y de X e ide birebir bir fosiyo vard r. Ka t: X le X ardiali aras da, Y ile Y ardiali aras da birer efllee oldu uda, öereyi ardial say lar içi a tlaa yeterli. Aa ardial say lar birer ordialdir ve herhai ii ordialde biri di erii altüesidir (hatta bir baflla ç diliidir, Souç 10.14). Teore X ve Y bofl olaya ii üe olsu. Ya X te Y ye ya da Y de X e ide örte bir fosiyo vard r. Ka t: Öereyi ee ve ordial say lar içi a tlaa yeterli. olsu (Souç 10.13). 0 oldu uda, 0. fiidi, e er ise ( ) 0 e er ise ural yla ta la fl : fosiyou örtedir. Teore X ve Y üeleri içi afla dai öereler eflde erdir: a. X Y. b. X te Y ye ide birebir bir fosiyo var. c. Y de X e ide örte bir fosiyo var.

7 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler 325 Ka t: (a b) ve (a c) yuardai a tlarda ç ar. (b a) X ve Y i birer ardial oldular varsayabiliriz. E er Y X ise, Cator-Schröder-Berstei Teorei e öre [SKK], Y yle X aras da bir efllee vard r ve bu da öce X = Y eflitli ii, bu da haliyle X Y eflitsizli ii do urur. Asi halde X Y. (c b) Y de X e ide örte fosiyoa diyeli., { 1 (x) : x X} üesii bir seçi fosiyou olsu. Dee i ( 1 (x)) 1 (x) Y ve (( 1 (x))) = x. fiidi h : X Y fosiyou h(x) = ( 1 (x)) olara ta las. (h(x)) = (( 1 (x))) = x eflitli ide dolay h birebirdir. 0 ve 1 yerie baze 0 yaz l r. 0 elbette e üçü sosuz ardial say s d r. Elbette dedi aa bu, Seçi Asiyou olada a tlaaaz. (Bz. Souç 25.6.) 0 da daha büyü bir ardial say s var d r? Sadece 0 da de il, her ardial say s da daha büyü bir ardial say s vard r. E er bir ardial say s ysa ve (), altüeleri üesiyse, (), da daha büyü bir ardial say s d r, çüü da () ya ide birebir bir fosiyo vard r (öre i, a {a} fosiyou) aa bilidi i üzere da () ya ide örte bir fosiyo yotur [SKK]. Dee i,teore 32.7 ye öre, < (). Made i ardial say s da daha büyü bir ardial say s vard r, da sadece bir boy büyü bir ardial say s da vard r; yai da büyü ardial say lar e üçü ü

8 Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler vard r. Nitei, bofl olaya { () : < ve ardial} ordial üesii e üçü elea iflte ta bu elead r. da sadece bir boy büyü ola ardial say s + olara östereli. Dee i < + () eflitsizlileri ve e erardial say s < + eflitsizli ii sa l yorsa o zaa = + öeresi do rudur. 0 da bir boy büyü ardial say 1 olara yaz l r: 1 = elbette, say laaz sosuzlutai e üçü ordialdir, dolay s yla (elea say s ) say labilir sosuzluta ola ordialleri üesidir: 1 = { : ordial ve }. Buda da say laaz sosuzluta say labilir ordial oldu u ç - ar (yosa 1 say labilir sosuzluta olurdu.) ibi ordialleri bileflii ola ve ibi ordialleri bileflii ola 0 ordiali 1 i elea d r. Al flt ra. 1 i say labilir sosuzlutai her altüesii üsts r vard r. (Bu özelli i ola s ral bir üe bula pe olay de ildir.)

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

TÜ B Üzerine Modüller

TÜ B Üzerine Modüller TÜ B Üzerine odüller ateatik Dünyas, 2003 K fl De ifleli, s f r böleni olayan (rs = 0 ise ya r ya da s = 0) ve her ideali tek bir elean taraf ndan üretilen halkalara k saca TÜ B (tek üreteçli ideal bölgesi)

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand 9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Stirling Say lar fiermin Çam* /

Stirling Say lar fiermin Çam* / Matemati Düyas, 5 Bahar Kapa Kousu: Sayma Birici Stirlig Say lar. ifliyi yuvarla masaya, her masada e az bir ifli olmas ofluluyla aç de ifli biçimde yerlefltirebiliriz? Soatai matematiçi art ö recili y

Detaylı

Bu bölümde soraca m z ve olumlu olarak yan tlayaca m z

Bu bölümde soraca m z ve olumlu olarak yan tlayaca m z 6. Abel Ya sal Teore Bu bölüde soraca z ve olulu olara ya tlayaca z soru flu: Dyel ya sal yar çap R ola br 0 a uvvet sers verlfl. = R e ser ya sa ya da rasa oldu uu bleeyz. Aa dyel br bçde, 0 a R sers

Detaylı

4. yis ralamalar Hissetmek

4. yis ralamalar Hissetmek 4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Bernoulli Say lar Üzerine Ali Nesin /

Bernoulli Say lar Üzerine Ali Nesin / Mateat Düyas, 2009-III-IV Beroull Say lar Üzere Al Nes / aes@blgedutr e say s, MD-2007-IV, sayfa 28 de, e 0! olara ta la flt Bu yaz aac ç, e yuarda gb br ser olara göre yere, br bçsel uvvet sers, ya atsay

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları İspalarıyla Türev Ala Kuralları Muarre Şai dy f( ) f() y f() y f () li d 0. f() a (a R) ise f ()? f( ) f() a a f () li li 0 0 f () 0 5. f() ise f ()? f () li 0 ( ) ( ) f () li 0 ( ) f () li li 0 ( ) 0.

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz, ancak uygulamada

Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz, ancak uygulamada Matematik Düyas, 2008-I E Basit Yaz -Tura Oyular Üzerie Ali Nesi* / aesi@bilgi.edu.tr, 3 0, 4, 3 3, 0, 4 0, 4, 3 3, 3, * stabul Bilgi Üiversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Yazar Matematik ve Oyu

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

«ç ç Ç ş ö ş ç ş ş ş ö ş ö ç ç Ç ö Ç ç ç ö ş ç ş

«ç ç Ç ş ö ş ç ş ş ş ö ş ö ç ç Ç ö Ç ç ç ö ş ç ş Ş ç Ü Ü ÜÜ ö ş ş ç ş ç ş «ç ç Ç ş ö ş ç ş ş ş ö ş ö ç ç Ç ö Ç ç ç ö ş ç ş Ü ç ç Ç ç ş ö ş ç ş ö Ç ş ö Ç ş ö ç ş ç Çö ç ş ş ö ş ş ş ş ş ö ö ş ç ş ç Çö ş ö ş ş ç ş Ü ş ş Ö Ü ş ç ç Çö ö Ş ş Çö ş ö ş ş ç ş

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

1. Her fiey S ralanamaz

1. Her fiey S ralanamaz Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

ö ö ş Ğ ş ü İ ç ö ş ş Ç ş ü ş ş İ ş ü ş İ ş ö İ ü ö üşü ö şü İ İ İ ü İ ö üş Ğ İ İİ ö ö ş ü ü ö ş ö ö ş ö ş ö ö ü ç ş ç ş ö ü çö ü ü ü ç ç ş ş ş ş ş ç

ö ö ş Ğ ş ü İ ç ö ş ş Ç ş ü ş ş İ ş ü ş İ ş ö İ ü ö üşü ö şü İ İ İ ü İ ö üş Ğ İ İİ ö ö ş ü ü ö ş ö ö ş ö ş ö ö ü ç ş ç ş ö ü çö ü ü ü ç ç ş ş ş ş ş ç ü İ Ğİ İ İ İ ü Ğ Ğ ü İ İ Ğ ü İ ş ö ö ş ş ü İ ö ö ş Ö Ü Ö ü ö ö İ İ İ ü İ İ ç İ Ş ö İ ç ş İ ö ö ş Ğ ş ü İ ç ö ş ş Ç ş ü ş ş İ ş ü ş İ ş ö İ ü ö üşü ö şü İ İ İ ü İ ö üş Ğ İ İİ ö ö ş ü ü ö ş ö ö ş ö ş ö ö

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi 11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

ı ı ı ğ ş ı ı ıı ıı ıı ı ı ıı ıı ıı ıı ııı

ı ı ı ğ ş ı ı ıı ıı ıı ı ı ıı ıı ıı ıı ııı Ş Ü Ğ Ü Ğİ Ö İ Ö öç Ş İ Ğ ç ç ö Ü Ş ö Ö ç ç ö ö ö Ğ Ğ Ü Ş Ü Ş İ İ ö ö ç ç İ Ç İ Ü Ş İ Ç Ç Ü Ş İ İ ö İ Ü İ İ Ü Ü Ü Ü İ Ü ö ç ö Ç İ ç İ İ ç ç ç İ İ İ ö ö İ ö ö ç İ ö ç İ İ İ ç ç ö ç ö ç ç İ ç İ ö ç ç ç ö

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

5. Atomun yap s n aç klamak için çok de iflik modeller ortaya CEVAP A. 6. Bohr atom modeline göre, CEVAP E. ... n=4... n=3... n=2 ESEN YAYINLARI

5. Atomun yap s n aç klamak için çok de iflik modeller ortaya CEVAP A. 6. Bohr atom modeline göre, CEVAP E. ... n=4... n=3... n=2 ESEN YAYINLARI ATOM F TEST -. Tomso atom modelie göre, atom küre fleklidedir. Atomda (+) ve ( ) yükler rastgele da lm flt r. Ayr ca yörüge kavram yoktur.. Temel âldeki atomlar dört yolla uyar labilir. ) S cakl klar art

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. 2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir

Detaylı

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte 11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli

Detaylı

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru 6A. Halkalar ve Cisimler Geçmiflte halkalardan sözettik, ileride de söz edece iz. Bu bölümde halkan n ne demek oldu unu aç klayaca z! nfla etti imiz

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

ü ü Ü ü Ş ö ü ü ü ü ö ç ç ç ü ü ü ü ü ü ü Ö ö ü ç ü ü ü ü ü ç Üçü ü ü ç ü ü ü üç ü ö ü ç Ş ö çü ü ü ö ü ü ö ö ö İ

ü ü Ü ü Ş ö ü ü ü ü ö ç ç ç ü ü ü ü ü ü ü Ö ö ü ç ü ü ü ü ü ç Üçü ü ü ç ü ü ü üç ü ö ü ç Ş ö çü ü ü ö ü ü ö ö ö İ ç ü ü ü ö ü ö ü ç ö ü ö ü ü ü ç ö ö ü ü ü ü ü üü ü ü ü ö ü ö üü ü Ü ü ü ö ö ö ü ü Ş ö ç ü ü ö ü ö çö ü ü üç ü Ş ö ü ö çü ü ü ü Ü ü Ş ö ü ü ü ü ö ç ç ç ü ü ü ü ü ü ü Ö ö ü ç ü ü ü ü ü ç Üçü ü ü ç ü ü ü

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve

Uzay Keflfediyoruz. Günefl Sistemi Nerede? Her Yer Gökada Dolu! n yaln zca biri! evrendeki sonsuz Dünya bizim evimiz ve uzayi kesfet 13/2/6 19:35 Page 34 Uzay Keflfediyoruz n yaln zca biri! de in is kc gö da y sa evrendeki sonsuz Dünya bizi eviiz ve ister isiniz? ak n ta z r la flu renek, ko Evrendeki adresiizi ö Her Yer

Detaylı

İ ş Ğ İ ş ü ü üü İş ü ü üü ş İ ş Ğ İ ş ş ş ş ş ş ş ü ş ş İ ş ü ü İ ü Ç ş ş ş İ ş ü Ş Ş ş ş ö ş ü ö ş ş ş ş ö ü ö ş ş ş ş ü ö ü ö ş ü ö ü ş ö ş ü ü ş ö İ ü ş ü ş Ş ş ö ş ş ö ü ö ö ö ş İ Ç İ İŞİ ş ö ş ş

Detaylı

Ğ Ü Ş Ş Ü Ş Ş Ü Ü Ş Ş Ç Ş Ş Ğ Ü Ö Ö Ş Ü Ç Ş Ü Ş Ş Ş Ö Ş Ü Ş Ö Ü Ş Ç « Ö Ö Ş « Ü Ü Ü Ü Ü «Ü Ş Ü «Ö Ö Ç Ö Ö Ö Ö Ö Ş Ü Ç Ş Ç Ş Ö Ö Ü Ğ ÜŞ «Ü Ç Ç Ç Ç Ö Ö Ğ Ö Ö Ö Ö » Ü Ü Ü Ü Ş Ğ Ü Ç Ö « Ç Ö Ü Ş Ö Ş

Detaylı

ü İİ İ Ü ü ü ö ü ü İ Ö ü ö ö ü ö ö ü ü ü ü ö ö üü ü üü ü ö ö ü ö Ü ü ü İ ö Ö ü ü ü ü İ İ ö ü Ö ü ü ü ü ö ö Ş ö ü ü ü ö ü Ç ö ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ö ö ü ü ö ü ü ü Ü ü ü Ş ü ü ü ü üü ü ö ü İ ö ö üü ü ü Ç

Detaylı

İ ü ü ü ü İ ü üü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü Ş Ş ü üü İ ü üü Ö ü ü ü ü üü üü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Ö ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü İ üü ü ü Ç Ç ü ü ü ü ü ü

Detaylı

ü ü ü ü ç ü ü ü üü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ü ü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ç ç ç ü ç ü ü üü ü ü ü üü ç ü ç ç ü ü ç ü ü ü ç ü ü üü üü ü ü ü üü ç ü ü ü ü üü ü ü üü ü ü üü ü ü ü ü üü ç ü ü ü üü ç ü ü ü ü

Detaylı

Ö ö Ü Ü ÜÜ ö Ö ö ö Ş « ö Ö ö Ö Ö ö ö Ç Ö Ö Ş Ö Ö Ş Ş Ö Ç Ş Ş Ş ö Ö ö Ç ö ö Ö Ö ö ö Ö Ç ö ö Ö Ö Ö» ö ö ö ö Ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ö ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö ö Ş Ş ö Ş Ş ö ö ö ö Ş Ö Ö ö Ş ö Ş ö ö Ş Ş ö ö ö ö Ö Ş Ö

Detaylı

ö ü ş ç» ş ü ü ü ü ç» Ö Ö Ç ş Ö Ü ş ü ü ü ü ü ü ş ü ü ü ü ü üü ö ç ş ö ü ş ç ş ü ü ü ü ç» ü ü ş Ö Ö Ç ü ü ü Ö ü ü ü ü ö ü ö ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ü üü ö ç ş Ö Ü ç ü ç ö ö Ç ü ü ü ü ü ö ü

Detaylı

«ç Ü Ü Ü ü ç ü ü Ö Ü ü ü ü ü ü ü ö ü«ç ü ü ü ç ü ü ü» ü ü ü ü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ç ü üü ü ü ü ü ü ü Ü

Detaylı

Ğ Ü Ğ Ğ Ğ Ö Ğ ş ş ö ö ş Ç ş ş Ğ Ğ Ş Ğ ş ş ö ş ş ö ş ş ö ş Ğ Ö ö ö ö Ç ş ö ö ş ş ö ş ö ö ş ö ş ö ö ö ş ş ö ş ö ö ö ş ö ö Ö ş ş ş ş ş ş Ç Ğ Ğ ö ş ş ş ö ö ş ö ö ş Ç ö ş ö ş ö ş ş ş ö ö ş ş ö ş ş ö ş ş ö ş

Detaylı

Ğ Ğ ü «Ü Ğ Ö Ğ ü Ü ü Ğ ü ü ü Ç Ş ü Ğ Ğ Ü Ğ Ü Ö ü Ç Ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü Ü ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü Ö ü ü ü ü ü üü ü ü üü ü Ü ü» ü ü Ü ü üü ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü üü ü ü Ü «ü ü ü

Detaylı

ş ş» Ğ Ş ş Ş ş Ş Ş Ş ş ş Ş Ç ş ş Ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş Ş ş Ş ş ş ş Ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş Ş ş Ş ş ş ş ş ş ş ş ş Ş ş ş ş ş Ş ş ş ş ş ş Ş ş ş ş Ü Ü ş ş ş ş Ş ş ş Ş ş Ü Ş ş Ş ş ş Ş ş Ş ş ş Ş Ş ş ş ş ş

Detaylı

ü ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü üü ü ü

ü ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü İ ü Ç İ İ ü İ İİ İ İ ü ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü üü ü ü İ İ üü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ü İ Ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü İ ü ü ü ü ü ü ü ü Ç üü ü ü ü Ö ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Ç ü

Detaylı

ÜÜ Ü ö ö ö Ö ö ö ö ö ö Ş Ş Ç ö Ş Ş ö

ÜÜ Ü ö ö ö Ö ö ö ö ö ö Ş Ş Ç ö Ş Ş ö Ş ö Ü ö ö ö ö Ç ö Ç Ö Ö ö ö ÜÜ Ü ö ö ö Ö ö ö ö ö ö Ş Ş Ç ö Ş Ş ö ö ö ö ö Ç ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ş ö Ş Ç Ö ö ö Ş ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ç Ç ö ö Ç ö Ö Ç ö ö Ç ö ö ö ö Ü ö ö Ü ö Ş ö Ü ö ö Ş ö ö Ş Ü ö Ş ö

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb.

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (2) Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Matematik Dünyas n n her say s n n önceki say lardan olabildi ince ba ms z olmas na dikkat etmeye

Detaylı

IfiI IN DALGA DO ASI. ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ. 1. P noktas n n kaynaklara olan yol fark dalga boyunun. 2. a) 3. ayd nl k saça n merkez

IfiI IN DALGA DO ASI. ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ. 1. P noktas n n kaynaklara olan yol fark dalga boyunun. 2. a) 3. ayd nl k saça n merkez IfiI IN DAGA DO ASI. oktas lara ola yol fark alga boyuu tam kat a eflit ise ay l k, e ilse karal k saçakt r. a) YF. b) IfiI IN DAGA DO ASI.. ay l k saçakt r. YF ( ). ( )..karal k saçakt r.. a). ay l k

Detaylı

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56 TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK 1: Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 10 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

465.HUTBE: ASR SURESİ. Aziz ve Asil Müminler!

465.HUTBE: ASR SURESİ. Aziz ve Asil Müminler! Sal, 04 Austos 2015 22:20 - So Gücelleme Sal, 04 Austos 2015 22:22 465.HUTBE: ASR SURES Aziz ve Asil Mümiler! Bu cumada itibare üç Cuma hutbemizde Asr suresii kou ediece- iz.bu sure sayesie kurtuluşu ilkelerii

Detaylı

Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz.

Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. 26. Zorn Önsav n n Birkaç Cebirsel Uygulamas Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. Seviyesi teoremi anlamaya yetmeyen okur, sorun etmeden o bölümü atlas n, nas l olsa ileride kullan

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

Bilgisayar Bilimi Köflesi

Bilgisayar Bilimi Köflesi Bilgisayar Bilimi Köflesi Chris Stephenson ve Ali Nesin* cs@cs.bilgi.edu.tr, anesin@bilgi.edu.tr Say lar Tepeleyerek S ralamak S ralama. Bilgisayar programc l n n en önemli konular ndan biri s ralamad

Detaylı

= puan fazla alm fl m.

= puan fazla alm fl m. Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda

Detaylı

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

Ü Ğ Ç Ç Ğ

Ü Ğ Ç Ç Ğ Ü Ğ Ç Ç Ü Ğ Ç Ç Ğ Ö Ü Ç Ö Ç Ü Ö Ç Ö Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ü Ü Ü Ü Ü Ö Ç Ç Ü Ç Ç Ç Ö Ç Ç Ç Ç Ü Ç Ö Ç Ğ Ğ Ğ Ğ Ü Ü Ğ Ğ Ç Ü Ğ Ğ Ç Ç Ç Ç Ç Ğ Ğ Ç Ğ Ğ Ç Ç Ç Ü Ğ Ç Ü Ç Ğ Ğ Ç Ü Ğ Ğ Ç Ğ Ğ Ç Ç Ç Ö Ü Ç Ç Ç Ç Ö Ç Ö Ö Ç Ç Ç

Detaylı

ü ü üü İ Ç İİ ü ü üü İ Ç Ü ö üü ü Ç Ü ü ü İ ü İ ö ü üü ü ö ü ö üü ü ü ö ö Ç Ş ü İŞ ö ü ü İ İ İ İ Ç İ Ç ü ü ü ü ö ü ü ü ö Ü ü ü İ Ö Ö ü ü üü ö ü ü üü Ö

ü ü üü İ Ç İİ ü ü üü İ Ç Ü ö üü ü Ç Ü ü ü İ ü İ ö ü üü ü ö ü ö üü ü ü ö ö Ç Ş ü İŞ ö ü ü İ İ İ İ Ç İ Ç ü ü ü ü ö ü ü ü ö Ü ü ü İ Ö Ö ü ü üü ö ü ü üü Ö ü ü ü üü İ Ç İ ü ü üü İ ü ü üü ü ü ü üü ü Ç ö ü ö İ İ ü ü ü İ İ İ ü ü ü üü İ Ç İİ ü ü üü İ Ç Ü ö üü ü Ç Ü ü ü İ ü İ ö ü üü ü ö ü ö üü ü ü ö ö Ç Ş ü İŞ ö ü ü İ İ İ İ Ç İ Ç ü ü ü ü ö ü ü ü ö Ü ü ü İ Ö Ö

Detaylı