Fonksiyonlara Genel Girifl
|
|
- Mehmet Sökmen
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: Fonksiyonlr Fonksiyonlr Genel Girifl. Tn m. Fonksiyon kvrm n n mtemti in en önemli kvrmlr nn iri olu unu söylemek fonksiyon kvrm n üyük hks zl k olur. Fonksiyon, mtemti in en önemli kvrmlr nn iri e il, mtemti in en önemli kvrm r. Küme kvrm hriç, elki... Bilimin sinin giri i her yere fonksiyon rstln r. Art k ilkokullr ile ö retiliyor fonksiyon. Herhle fl kine enzer flekilleri e itim hyt n z oyun s k s k görmüflsünüzür. fiekil. Bir fonksiyon resmi Üst solki yumurt ir kümeir (fiekil ). S ki omtes e... çineki noktlr kümelerin elemnlr r. Solki yumurtn n her elemn s ki omtesin ir elemn n ir okl gönerilmifltir. Bur kümesinen kümesine gien ir fonksiyon flekleilmifltir. Sol trftki kümesinin ört elemn vr r:,, ve. Aç kç söylenmez m u elemnlr n iririnen e iflik oluklr vrsy l r. S trftki kümeninse efl elemn vr r:,,,,., sol trftki kümenin her elemn n s trftki kümenin ir elemn n göneren ir kurl r. Örne in kümesinin ve elemnlr kurl gere ine nin elemn n gierler. Bu, () = () = olrk gösterilir. Ayn içime, () = () = yz l r. nin ve elemnlr n ten hiçir elemn gitmiyor. Bu hiç sorun eilmez. ten ye gien ir fonksiyon nin her elemn n okunmk zorun e ilir. Bu ilk örnekte e olu u gii, in iki yr elemn ( ve elemnlr ) nin yn elemn n ( elemn n) gieilir. Htt kümesinin ütün elemnlr kümesinin yn elemn n gieilir. Bu tür fonksiyonlr sit fonksiyon enir (fiekil ). fiekil. Sit fonksiyonu kümesinen kümesine gien ir fonksiyon önemli oln, in her elemn n n, tn mlnn kurl gere ine, nin tek ir elemn n gönerilmesiir. fiekil. Bir monksiyon. Örne in fiekil teki kurl ir fonksiyon tn mlmz. Çünkü ur kümesinin elemn kümesinin iki yr elemn n ( e ve e) gönerilmekte. Fonksiyonun tn m unu ysklr. Dileyen, fiekil teki fley e flk ir ulilir, örne in çok e erli fonksiyon y monksiyon gii. Am u fley kesinlikle ir fonksiyon e ilir. fiekil teki fley e ir fonksiyon e ilir. Çünkü u kez kümesinin elemn nin hiçir elemn n gönerilmemifl. Fonksiyonun tn m unu ysklr. ten ye gien ir fonksiyon in her elemn n nin ir (ve ir tek) elemn - n gönermeli.
2 Mtemtik Dünys, 00 K fl fiekil. Bir flk monksiyon. Fonksiyonun Türkçesi gönerme olilir. Al fl n yn l k çekilmiyor, her zmn olu- u gii... E er, kümesinen kümesine gien ir fonksiyons, unu : olrk ve e er fonksiyonu kümesinin x elemn n kümesinin y elemn n göneriyors unu, (x) = y y : x y olrk yzr z. O zmn y elemn n x in görüntüsü y imgesi enir. kümesine fonksiyonunun klk fl kümesi, kümesine e vr fl kümesi verilir. Sy Kümeleri Do l sy lr kümesi = N = {0,,,,...} Tm sy lr kümesi = Z = {..., -, -, -, 0,,,,...} Kesirli sy lr kümesi = Q = {/ :, Z, 0} Gerçel sy lr kümesi = R = sy o rusu nki tüm sy lr Örne in, (x) = x kurl, tmsy lr kümesi Z en gerçel (reel) sy lr kümesi R ye gien ir fonksiyonur. Elette ( ) = () =. Am yn (x) = x kurl ize Z kümesinen gene Z kümesine gien ir flk fonksiyon verir. Ve htt yn kurl ize Z kümesinen o l sy lr kümesi N ye gien ir flk fonksiyon verir. Ve htt yn kurl ize R kümesinen gene R kümesine gien ir flk fonksiyon verir. Ve htt yn kurl ize R kümesinen negtif olmyn gerçel sy lr kümesi R 0 kümesine gien ir flk fonksiyon verir... Bir flk eyiflle, fonksiyon kvrm n n tn m - n n içine (fonksiyonun kurl nn flk) ir e fonksiyonun klk fl ve vr fl kümeleri vr r. Kurl e iflmese e, klk fl ve vr fl kümeleri e iflti ine fonksiyonun e iflti i kul eilir. ni ir fonksiyon see ir kurl e ilir, fonksiyon tn m n n içine fonksiyonun kurl vr r, m yn zmn klk fl ve vr fl kümeleri e vr r. Bir fonksiyonu, (klk fl kümesi + vr fl kümesi + klk fl kümesinin her elemn için vr fl kümesinin tek ir elemn n veren ir kurl) olrk tn mlyiliriz. Am z l flknl yl ve kolyl k olsun iye, ço u zmn see kurl söylenir. Klk fl ve vr fl kümelerinin ilinikleri vrsy l r. Örnekler. (x) = x kurl, gerçel sy lr kümesi R en gerçel sy lr kümesi R ye gien ir fonksiyon tn mlmz, çünkü negtif gerçel sy - lr n krekökü yoktur (y R e e ilir u krekök.) ten ye gien ir fonksiyon, teki her elemn eki ir elemn gönermeli. Öte ynn, yn kurl, negtif olmyn gerçel sy lr kümesi R 0 en R ye ir fonksiyon tn mlr. Bun enzer ir neenen, (x) = /x kurl, gerçel sy lr kümesi R en gerçel sy lr kümesi R ye gien ir fonksiyon tn mlmz (0 in görüntüsü yok.) Öte ynn (x) = /x kurl, R >0 kümesinen R kümesine (R >0 kümesine e) gien ir fonksiyon tn mlr. Ayn kurl, R \ {0} kümesinen R ye gien ir flk fonksiyon tn mlr. (x) = ± x kurl R en R ye gien ir fonksiyon tn mlmz, çünkü (x) tek ir e er olml. ten ye gien ir fonksiyon, kümesineki her elemn kümesinen tek ir elemn gönermeli. Öte ynn, (x) = {x, x} kurl R kümesinen R nin (en fzl iki elemnl ) ltkümeler kümesine gien ir fonksiyon tn mlr. Kurl Nesi? Bu kurl sözü ü sizi rhts z etmifl olilir. Bu sözükten en e rhts z m. Her fleyen öne kurl n tn m n ypm k. Kurl ne emek! Ayr kurl elli olmyn y kurl ilinip e hesplnmyn fonksiyonlr vr r. Örne in, her o l sy y, fl mki flu nki sç teli sy s rt kini Düny Svfl n ölen Frns z suy sy s n yollyn sit fonksiyonun e eri sn r m ilinmez, m u kurl gene e ir fonksiyon tn mlr. Biz flimilik u tür tuhfl klr görmezen gelelim. Am see flimilik... Seçim Fonksiyonlr yz s n kurl ilinmeyen fonksiyonlr konu eee iz. Sizi h fzl rhts z eeek ir fley h söyleyeyim: Fonksiyonun mtemtiksel tn m yukrki gii e ilir. Mtemtikte her fley ir kümeir, fonksiyon hil olmk üzere... Ve iz yukr fonksiyonu ir küme olrk tn mlm k... Am inn n n fonksiyonun tm mtemtiksel tn m n ilmek pek o kr önemli e ilir. Sonuç olrk, kümesinen kümesine gien ir fonksiyon, kümesinin her elemn n kümesinen tek ir elemn götüren ir kurl r. 6
3 . Fonksiyonlr n Bileflkesi., kümesinen kümesine, g e kümesinen Z kümesine gien ir fonksiyon olsunlr. Örne in fl ki flekileki gii: Bu iki fonksiyonun ileflkesini l p ten Z ye gien ir fonksiyon ele eeiliriz. fiöyle ypr z: ten herhngi ir elemn ll m, iyelim y l k. Bu elemn yi uyguly p en ir elemn ull m; örne imize () uluruz, yni i. fiimi nin u elemn n g yi uyguly p Z en ir elemn ull m, örne imize g() uluruz, yni r yi. Bu ize yeni ir fonksiyon verir. Bu yeni fonksiyon, in elemn n Z nin r elemn n gönerir (fiekil 6.) ukr ve g fonksiyonlr n kullnrk ele etti imiz fonksiyon ve g nin ileflkesi verilir ve u yeni fonksiyon g olrk yz l r. ukr görü ümüz gii, (g )() = g(()) = g() = r. Bunun gii, (g )() = g(()) = g() = r, (g )() = g(()) = g() = u, (g )() = g(()) = g() = u. g ileflkesinen söz eeilmek için kümesinin vr fl kümesiyle g kümesinin klk fl kümelerinin yn kümeler olms gerekti ine ikktinizi çekerim. Klk fl ve vr fl kümeleri yn oln fonksiyonlr n (yni ir kümesinen gene yn kümesine gien fonksiyonlr n) hiç üflünmeen istei imiz gii ileflkelerini liliriz. Fonksiyonlr n ileflkesi önemli ir kvrm r. Birkç örnek h verelim. Örnek. : R R 0 fonksiyonu (x) = x kurl yl, g : R 0 R fonksiyonu g(x) = x fiekil. ve g fonksiyonlr g fiekil 6. g fonksiyonu g Z r t u Z s r t u s 7 Mtemtik Dünys, 00 K fl kurl yl tn mlns n. O zmn, her x R için, (g )(x) = g((x)) = g(x ) = x. Bu örnekte g ve nin e ileflkelerini l p g fonksiyonunn söz eeiliriz: Her x R için, ( g)(x) = (g(x)) = (x ) = (x ). Görülü ü gii g g. Örnek. : R 0 R 0 fonksiyonu (x) = x olrk tn mlns n. g : R 0 R fonksiyonu g(x) = x olrk tn mlns n. O zmn, her x R 0 için, (g )(x) = g((x)) = g( x) = x. Bu örnekte g iye ir fonksiyonn sözeemeyiz, çünkü g nin vr fl kümesi negtif sy lr içeriyor m negtif sy lr tn mlnm yor. Bileflkenin Birleflme Özelli i. Afl ki gii üç fonksiyonumuz olsun: :, g : Z, h : Z T. Bu üç fonksiyonl ilk k flt e iflik gii görünen iki ifllem ypiliriz: ) g : Z ve h : Z T fonksiyonlr - n n ileflkesini l p h (g ) : T fonksiyonun kiliriz. ) : ve h g : T fonksiyonlr - n n ileflkesini l p (h g) : T fonksiyonun kiliriz. Bu iki fonksiyon iririne eflittir. Bunu kn tlyl m. Am öne iki fonksiyonun ne zmn iririne eflit olu unu ilmeliyiz: E er yn klk fl ve vr fl kümeleri oln iki fonksiyon, klk fl kümesineki her elemn, hep, vr fl kümesinin yn elemn n göneriyorlrs, o zmn o iki fonksiyon eflittirler. Örne in, R en R ye gien (x) = x fonksiyonuyl (x) = x fonksiyonu iririne eflittirler. en T ye gien h (g ) ve (h g) fonksiyonlr n n l klr e erleri hesplyl m, kl m eflitler mi? x olsun. Bileflkenin tn m n ikifler kez uygulyrk hesplyl m: (h (g ))(x) = h((g )(x)) = h(g((x)) ((h g) )(x) = (h g)((x)) = h(g((x)). Demek ki, her x için, (h (g ))(x) = ((h g) )(x). Doly s yl h (g ) = (h g). Bun fonksiyonlr n irleflme özelli i enir. Bu emektir ki ikien fzl fonksiyonun ileflkesini l rken prntez kullnmk gereksizir; s - r gözettikten sonr, ileflkelerini lmk için fonksiyonlr ilei imiz gii grupln riliriz. Bu neenle h (g ) y (h g) yzmk yerine, prntezleri t p h g yzr z.
4 Mtemtik Dünys, 00 K fl Bileflkenin Etkisiz Elemn. herhngi ir küme olsun. ten e gien çok özel ir fonksiyon tn mly z flimi, özefllik fonksiyonunu. Özefllik fonksiyonu, in her elemn n gene kenisine gönerir, yni sl n hiçir fley ypmz! ten e gien u fonksiyon I olrk gösterilir. I, özefllik nlm n gelen ngilize ientity nin y Frns z ientité nin I iir. Demek ki, her x için, I (x) = x. Özefllik fonksiyonlr n n flu özelli i vr r: E er : ir fonksiyons, o zmn, I = ve I =. Bu yüzen özefllik fonksiyonun, fonksiyonlr n etkisiz elemn iyeiliriz.. FONKS ON ÇEfi TLER : Bireir, Örten, Eflleme, Eflleflme. Bu ölüme fonksiyonlr n z önemli özelliklerini tn mly z. Örten Fonksiyonlr. fiekil eki örne e ir kez h kl m. O örnekte ten hiçir elemn nin ve elemn n gitmemifl. fiimi ve elemnlr n en t p yeni ir g fonksiyonu tn mlyl m (fiekil 8. Vr fl kümesi e iflti inen, vr fl kümesi rt k e il, vr fl kümesine Z iyelim.) Bu sefer, vr fl kümesi Z nin her elemn n ten ir elemn ulfl yor. Bu özelli i oln ir fonksiyon örten fonksiyon enir. fiekil 7. Özefllik fonksiyonu g fiekil 8. Örten ir fonksiyon resmi. Z Dh formel ir içime ife eeek olursk, ir g : Z fonksiyonu, e er her z Z için, g(x) = z eflitli ini s lyn ir x vr r özelli ini s l yors, o zmn g fonksiyonun örten enir. Örne in R en R ye gien (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon örten e ilir, çünkü kresi oln ir gerçel sy yoktur. Am R en R 0 kümesine gien ve gene (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon örtenir. n elemnl ir kümeen kümesine gien örten ir fonksiyon olms için, nin en fzl n elemn olml r elet. Bireir Fonksiyonlr. Gene fiekil eki örne- e kl m. O örnekte in ve elemnlr nin yn elemn n ( e) giiyorlr. kümesinen y en irini trsk öyle ir sorun l krfl lflmy z. Diyelim yi tt k. Ele etti imiz fonksiyon h iyelim. (fiekil 9. kümesi e iflti inen, klk fl kümesi rt k e il. Klk fl kümesine T iyelim.) fiimi rt k h fonksiyonun klk fl kümesi T nin her elemn vr fl kümesi nin ir flk elemn n gier. ni h : T T h fiekil 9. Bireir fonksiyon resmi. fonksiyonu, her t, t T için, e er h(t ) = h(t ) eflitli i o ruys, o zmn t = t eflitli i o ruur özelli ini s lr. Bu özelli i s lyn fonksiyonlr ireir fonksiyonlr enir. Örne in R en R ye gien (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon ireir e ilir. Çünkü örne in ve yn elemn (9 ) gierler. Öte ynn R 0 kümesinen R ye gien ve gene (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon ireirir. Bir kümesinen n elemnl ir kümeye gien ireir ir fonksiyon olms için, in en fzl n elemn olilir elet. Efllemeler. ukr veri imiz örnekleren örünü özet olrk yzl m: ) : R R, (x) = x fonksiyonu ne örtenir ne e ireir. ) g : R R 0, g(x) = x fonksiyonu örtenir m ireir e ilir. ) h : R 0 R, h(x) = x fonksiyonu ireirir m örten e ilir. ) k : R 0 R 0, k(x) = x fonksiyonu hem ireirir hem e örten. 8
5 Mtemtik Dünys, 00 K fl Hem örten hem e ireir oln ir fonksiyon eflleme enir. Demek ki örünü örnek ir eflleme, i er üçü e il. I her zmn ir efllemeir elet. Arlr n eflleme oln iki sonlu kümenin elemn sy s eflit olmk zorun r. Bir kümeen gene kenisine gien efllemelere eflleflme iyeiliriz. Al flt rmlr. Afl ki l flt rmlr iki fonksiyonun ileflkesinen söz eili ine, u fonksiyonlr n ileflkesinin l nilee i, yni irinin vr fl kümesinin i erinin klk fl kümesinin içine olu u vrsy lmkt r. i. ki örten fonksiyonun ileflkesinin örten olu unu kn tly n. ii. ki ireir fonksiyonun ileflkesinin ireir olu unu kn tly n. iii. ki efllemenin ileflkesinin eflleme olu unu kn tly n. iv. g örtense nin e örten olu unu kn tly n. g e örten olmk zorun m? v. g ireirse g nin e ireir olu unu kn tly n. e ireir olmk zorun m? Efllemelerin Tersi. : ir fonksiyon olsun., in elemnlr n nin elemnlr n götürüyor. fiimi, unun tm tersini ypmk istiyoruz, nin ir elemn n e, ynen geli i yere geri gönermek istiyoruz. Örne in () = ise, yi y geri gönermek istiyoruz ve unu ir fonksiyonl ypmk istiyoruz. ki sorun ç kilir: ) eki ir elemn okunmyilir. O zmn okunulmyn u elemn geri gönereek yer yoktur. Am e er örtense o zmn u sorun ortn klkr. ) eki yn elemn ten iren çok elemn okunilir. O zmn nin u elemn n kenisine okunn elemnlrn hngi irine geri göneree iz? Arlr nn seçim ypmk gerekeilir. Zor ifl! Am e er ireirse öyle ir sorunl krfl lflmy z. E er hem ireir hem e örtense (yni efllemeyse), nin her elemn n in ir ve ir tek elemn okunur. O zmn fonksiyonunun tersini tn mlyiliriz: Tn m: : ir eflleme olsun. : fonksiyonunu flöyle tn mlyl m: (y) = x (x) = y. fonksiyonu ir efllemeir. fonksiyonun nin tersi enir. Afl ki eflitlik s ln r elet: = I ve = I. Ayr, g = I ve g = I eflitliklerini s lyn ir g : fonksiyonu fonksiyonun eflit olmk zorun r. (Neen?) A. Görüntü ve Öngörüntü : ir fonksiyon olsun. E er A, in ir ltkümesiyse, (A) kümesini flöyle tn mlyl m: (A) = {() : A}. (A), kümesinin ir ltkümesiir elette. (A) kümesine A n n ( lt n) görüntüsü verilir. Örne in : R R fonksiyonu (x) = x kurl yl verilmiflse, ({}) = {} ({, }) = {} ({, }) = {9, } ((,)) = [0,) (R) = R 0 ( ) =. fiimi e B verilmifl olsun. in (B) ltkümesini flöyle tn mlyl m: (B) = {x : (x) B}. ni (B), in fonksiyonu lt n B ye gien elemnlr nn oluflur. (B) kümesine B nin öngörüntüsü verilir. ukrki R en R ye gien (x) = x fonksiyonu örne ini lk olursk, (B) fiekil 0. A n n görüntüsü fiekil. B nin öngörüntüsü (A) B 9
6 Mtemtik Dünys, 00 K fl Altkümeler Kümesi E er ir kümeyse, in ltkümelerinen olufln küme () olrk yz l r. Örne in e er = {,, } ise () = {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,,}} ir. Demek ki, u örnekte {, } (). Öte ynn (), çünkü, in ir ltkümesi e il, see ir elemn. Bir flk örnek: = {,, {, }} olsun. Bu sefer {, } kümesi hem in hem e () in ir elemn r. Genel olrk, kümesinin n elemn vrs, () kümesinin n elemn vr r. E er tümevr ml kn t n ne emek olu unu iliyorsn z, unu tümevr ml kn t yönetiyle kolyl kl kn tlyilirsiniz. (N), (Z), (Q), (R) kümelerinin elemnlr n teker teker elli ir s ryl yzmk olnks z r. (Denemeyin! Sonsuzu Symk yz s n k n, syf ) m vr r öyle kümeler. Örne in, çift o l sy lr kümesi {0,,, 6, 8, 0,...}, (N), (Z), (Q) ve (R) kümelerinin heririnin elemn r. Asl sy lr kümesi {,,, 7,,,...} e u kümelerin irer elemn r. Örne in, (, ) ç k rl (R) kümesinin ir elemn r. Elette, hngi küme olurs olsun, ve, () in ir elemn r. ({}) = {-, } ({0, }) = {-, 0, } ({}) = {-, } ((,0)) = ([,0]) = {0} ([,]) = [-,] Böylee : fonksiyonu, () ten () ye ve () en () e gien iki fonksiyon tn mlr. Pek o ru e il elki m, u fonksiyonlr genellikle ve olrk yz l r (oys gii hfifçe e iflik ir içime yz lms h o ru oluru.) Al flt rmlr. i. A A ise, (A ) (A ) iliflkisini kn tly n. ii. A ve A kümeleri in ltkümeleriyse, (A A ) = (A ) (A ) eflitli ini kn tly n. iii. A ve A kümeleri in ltkümeleriyse, (A A ) (A ) (A ) iliflkisini kn tly n. Eflitli in her zmn o ru olm n gösterin. E er ireirse eflitli in o ru olu unu gösterin. iv. B B ise, (B ) (B ) iliflkisini kn tly n. v. B ve B kümeleri nin ltkümeleriyse, (B B ) = (B ) (B ) eflitli ini kn tly n. vi. B ve B kümeleri nin ltkümeleriyse, (B B ) = (B ) (B ) iliflkisini kn tly n. Sonlu ir kümeen o kümenin ltkümeler kümesine gien örten ir fonksiyon yoktur çünkü n > n ir (tümevr ml kn tlnilir u eflitsizlik.) Bu olgu çok h genel olrk o ruur: Teorem. Bir kümeen o kümenin ltkümeler kümesine gien örten ir fonksiyon yoktur. Kn t: ir küme oln, kümesinen () kümesine gien örten ir fonksiyon olsun. Bir çeliflki ele eee iz. in flu ltkümesine kl m: = {x : x (x)}., in ir ltkümesi olu unn, () in ir elemn r yn zmn. örten ir fonksiyon olu unn, elli ir x için, (x) = olml. fiimi, x, nin ir elemn m e il mi sorusunu sorl m, n l soru! x x (x) x (Birini efle erlik nin tn m nn, ikinisi = (x) eflitli inen ç k yor.) Bu ir çeliflkiir. Demek ki kümesinen () kümesine gien örten ir fonksiyon yoktur. 0
1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.
.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine
DetaylıBir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] =
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod
DetaylıLimit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c
Detaylı1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,
DetaylıKesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi
Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı
DetaylıS ralama. Kapak Konusu: S ralamalar
Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz
DetaylıFONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle
DetaylıParabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler
Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece
Detaylıc) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.
FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle
DetaylıKomisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5
Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.
Detaylıege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16
Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un
DetaylıDENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.
DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli
DetaylıPLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)
PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV
DetaylıBÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.
MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir
DetaylıA A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.
TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıYan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
DetaylıJOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim
JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler
DetaylıÖnsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
DetaylıTEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,
TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,
DetaylıTopolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
DetaylıGeçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
DetaylıUzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme
MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr
DetaylıSAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :
SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d
DetaylıBir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
DetaylıYükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri
Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu
DetaylıCebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
DetaylıTEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
DetaylıRASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DetaylıHiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri)
Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye
DetaylıÖ rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.
4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik
DetaylıSinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k.
58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n geçmiflte bir seri olrk tn mlm flt k. Tn mlr n mstl m: 2i1 3 5 i x x x sin x ( 1) x i0 ( 2 i 1)! 3! 5! 2i 2 4 i x x x cos x ( 1)
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
DetaylıBu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
DetaylıBu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
DetaylıOkurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir
DetaylıMATEMATİK.
MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl
DetaylıSORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise
GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy
DetaylıT.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI TARIM VE KÖYİŞLERİ BAKANLIĞI PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: ELEKTRİK TEKNİSYENİ
T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğerlenirme ve çıköğretim Kurumlrı ire şknlığı KİTPÇIK TÜRÜ TRIM VE KÖYİŞLERİ KNLIĞI PERSONELİNİN UNVN EĞİŞİKLİĞİ SINVI 29. GRUP: ELEKTRİK
DetaylıSonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
Detaylı50 ELEKTR K VE ELEKTRON K
50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.
Detaylıİçindekiler. 2. Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi Fonksiyonlarda Dört İşlem Permütasyon Fonksiyon...
İçinekiler. Fonksion Olm Şrtlrı...6-9. Tnım, Değer ve Görüntü Kümesi... -. Fonksion Sısı... -. Düşe Doğru Testi... 6-7. Fonksion Mkineleri... 8-9 6. Fonksion İşlemleri... -7 7. Fonksion Grikleri... 8-8.
DetaylıArd fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
DetaylıFONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıÜst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
DetaylıBu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
DetaylıCevap: Cevap: Cevap: Cevap: Sayfa 1
1 639 syılı Gı Trım ve Hyvnılık Bknlığının Teşkilt ve Görevleri Hkkın Knun Hükmüne Krrnmeye göre şğıkileren hngisi Hyvnılık Genel Müürlüğünün görevlerinen iri eğilir? ) Hyvnılığı geliştirmek, teşvik etmek
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıSistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı
Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji
Detaylı14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
Detaylı256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
DetaylıORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR
YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.
DetaylıGerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
Detaylı1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
DetaylıGeometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c
temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli
Detaylıb göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıOlas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
DetaylıKümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
DetaylıHemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
DetaylıBir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu
DetaylıBir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
DetaylıXherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
DetaylıTerimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:
08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
DetaylıALIN DÜZLEMİ: Alın izdüşüm düzlemine paralel veya çakışık olan düzlemlere ALIN DÜZLEMİ denir. (Şekil 2.1)
r. Doç. Dr. Mus Glip ÖZK DÜZLEMLERİN İZDÜŞÜMLERİ ir üzlemin üzerine çeşitli noktlmlr ypmk ve üzlem üzerine oğrulr çizmek mümkünür. u neenle üzlemler: ) ynı oğrultu olmyn üç nokt ile, ) ir oğru ve u oğru
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın
Detaylıa üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:
1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu
DetaylıF Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden
F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden
Detaylı: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2
VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.
DetaylıSüreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Mtemtik Düns, 2008-III Mtemti in en önemli ve en temel konulr ndn birine geldik: Süreklilik. Her zmnki gibi öne kvrm n sezgisel nlm n ç kll m. Bz fonksionlr n grfi inde kopukluk oktur, bz lr nd ise tm
DetaylıLYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
Detaylı22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
DetaylıMATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?
MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1
DetaylıDERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar
DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle
DetaylıYarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c.
Syıl Devreler (Lojik Devreleri) Tümleştirilmiş Kominezonl Devre Elemnlrı Syıl itemlerin gerçekleştirilmeinde çokç kullnıln lojik devreler, klik ğlçlrın ir ry getirilmeiyle tümleştirilmiş devre olrk üretilirler
DetaylıRASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir
RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır
Detaylı12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI
12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri
Detaylıyis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
Detaylı4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
DetaylıMatemati in Emekleme Ça Üzerine
Mtemti in Emekleme Ç Üzerine E flitlik, enzerlik, yk nl k, uzkl k gii her s l kl insn n günlük yflm nd kullnd kvrmlr yn zmnd mtemti in önemli kvrmlr d r d. Günümüzün mtemti i unlr enzer do l kvrmlr üzerine
DetaylıLKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU
LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.
DetaylıDENEY 2 OHM YASASI UYGULAMASI
T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 2 OHM YASASI UYGULAMASI Hzırlynlr: B. Demir Öner Sime
DetaylıDO RU AKIM VE KONDANSATÖRLER
DO RU I E ODSTÖRER DO RU I E ODSTÖRER IfiTIR - 1 ÇÖZÜÜ 1.. = n = = = += = k sa evre = n = = olur. 4. a) ESE IRI =1 b) =. = 4. + 4 + = = 6 + 4 = =. = 6.4 + 6 + 4 = 1 5 = + 1 5 = 5 4. 1 1 1 1 1 = + + + =
Detaylıİntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
DetaylıDENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................
DetaylıÖrnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?
RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine
Detaylı5. m X TEST - 1 SIVI BASINCI = F M
IVI BINCI TET - 1 1. 4... vnn a rl na iyelim. abn tabanna etkiyen sv basnç kuvveti, tabanan fiekil-i ve fiekil-ii eki ibi çklan ik kesik çiziler arasnaki erçek ya a sanal svnn a rl na eflittir. fiekil-i
DetaylıYILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS
Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir
Detaylı