LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
|
|
- Serhat Yıldızeli
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Limit. Kzım : Bir bğımsız değişkei verile bir sı klşmsıı öreklerle çıklr.. Kzım : Bir foksiou bir oktdki iti, sold iti ve sğd iti kvrmlrıı öreklerle çıklr ve bir oktdki iti ile sold, sğd itleri rsıdki ilişkii belirtir.. Kzım : Limit ile ilgili özellikleri belirtir ve ugulmlr pr. 4. Kzım : Foksiolrı itleri ile ilgili ugulmlr pr. 5. Kzım : Geişletilmiş gerçek sılr kümesii belirtir, foksiou bir oktdki itii sosuz olmsıı ve sosuzdki itii çıklr. 6. Kzım : Trigoometrik foksiolrı iti ile ilgili özellikleri belirtir. 7. Kzım : Belirsizlik durumlrıı belirtir ve foksiou belirsizlik oktlrıdki itii hesplr. 8. Kzım : Bir dizii itii çıklr ve ugulmlr pr. 9. Kzım : / r sosuz geometrik dizi toplmıı = r < ise bir gerçek sı klştığıı, r ise bir gerçek sı klşmdığıı belirtir, klştığı değer vrs bulur. Süreklilik. Kzım : Bir foksiou bir oktdki sürekliliği kvrmıı çıklr ve verile bir foksiou verile bir oktd sürekli d süreksiz olduğuu belirler.. Kzım : Bir oktd sürekli ol foksiolrı toplmıı, frkıı, çrpımıı ve bölümüü sürekliliğie it özllikleri ifde eder.. Kzım : Foksiou sıırlı olmsıı çıklr, kplı rlıkt sürekli foksiolrı özelliklerii belirtir.
2 LİMİT ve SÜREKLİLİK Sold ve Sğd Yklşm Ydki tblod bir değişkeii 4 sısı sğd ve sold klşımı ifde edilmiştir. Bu durumu geellemek gerekirse; değişkei re el s ı sı, d kü çük de ğer ler le k l şı or s, bu tür k lş m sol d k lş m de ir ve şeklide gösterilir. değişkei re el s ı sı, d büük de ğer ler le k l şı or s, bu tür k lş m sğd k lş m de ir ve + şeklide gösterilir. 4 Sold klflm S d klflm,5,9,99, ,5 4, 4, 4, ÖRNEK f : R R, f() = foksiou d, e sğ d ve sol d k lş tı ğı d f() kç klşır?
3 LİMİT değişkei sold klştığıd ( ) f() foksiou d L reel sısı klşıors f() i = dki sold iti L dir. deir ve f() = L şeklide gösterilir. değişkei sğd klştığıd ( + ) f() foksiou d L reel sısı klşıors f() i = dki sğd iti L dir. deir ve f() = L + şeklide gösterilir. Sold it, sğd ite eşit ise foksiou iti vrdır. Frklı ise foksiou iti oktur. f() = f() = L ise f() = L dir. + f() f() ise f() oktur. + ÖRNEK Aşğıd grfikleri verile bzı foksiolrı = ok t sı d ki li mit le ri bu lu muş tur. İ ce le i iz. f() f() f() L L L L L L f() = L, f() = L " + f() = L, f() = L " + f() = L, f() = L " + f() = L f() oktur. f() oktur. f() f() L f() f() = L, f() = L " + f() = +, f() = " + f() =, f() = + " + f() = L f() oktur. f() oktur. f() L f() f() = +, f() = + " + f() = + f() =, f() = + f() = f : [, ) R ise f() = " f() = " L f() = L + f() = L oktsıdki it, sğd itle, ok t sı d ki li mit, sol d li mit le belirleir.
4 ÖRNEK Aşğıd grfikleri verile bzı foksiolrı ile dki li mit le ri bu lu muş tur. İ ce le i iz. ÖRNEK 4 4 f : R {4} R, f() = 4 teki itii rştırıız. foksiouu = 4 f() b f() = ve " f() = b " b f() f() = ve " f() = b " f() b f() = b ve " f() = " b f() f() = b ve " f() = " 4
5 ÖRNEK 5 Limitle İlgili Özellikler f() f ve g, = oktsıd itleri ol iki foksio olmk üzere, c R içi c = c [f() + g() = f() + g() [f().g() = f(). g() Yukrıd grfiği verile = f() foksiouu i,,,, ve değerleride bzılrı içi vr ol itlerii buluuz. c R içi [c.f() = c. f() g() ve g() olmk üzere, f ( ) = g ( ) f ( ) g ( ) f() = ise f() = f() dır. f() = f( ) tek doğl sı ise d çift doğl sı ike i sısı kı tüm değerleri içi f() ise f ( ) f ( ) = dir. f() = g() = L ve i sısı kı tüm değerleri içi f() h() g() ise h() = L dir. c R + olmk üzere, c f() = c f( ) [log b f() = log b [ f() 5
6 ÖRNEK 6 Aşğıd bzı itler hesplmıştır. İceleiiz. 7 = 7 5 ÖRNEK li mi ti i de ğe ri edir? 5 = 5. = 5. = 5 ( + 5) = + 5 =. + 5 = [( + ).( + ) = ( + ). ( + ) = ( + ).( + ) = 6 ÖRNEK itii değeri kçtır? ( ) " 4 = = = = + ( + ) + 4 " " ÖRNEK ( ) = = itii değeri kçtır? ÖRNEK 7 itii değeri kçtır? ÖRNEK + 4 " itii değeri kçtır? ÖRNEK 8 f() = ( + ) ise kç tır? 5 f() li mi ti i de ğe ri ÖRNEK [log 5 ( + ) itii değeri edir? 6
7 ÖRNEK 4 [log( + ) itii değeri kçtır? ÖRNEK 5 [ + log (5 + ) itii değeri edir? ÖRNEK 7 Z, f() = [, +, \ < = olduğu göre, > şğıdki itleri (vrs) buluuz.. f() b. f() c. f() ÖRNEK 6, > f() = ) olduğu göre,, şğıdki itleri (vrs) buluuz.. f() b. f() c. f() 7
8 ÖRNEK 8 Z + f() = [ + \,,, < < olduğu göre, şğıdki itleri (vrs) buluuz. ÖRNEK 9 Aşğıd bzı itler hesplmıştır. İceleiiz. si = si " r. f() b. f() cos = cos " r r t = t = " r 4 4 cos r cot = cot = r " si cos " r 6 = cos ÖRNEK t itii değeri (vrs) edir? " r Trigoometrik Foksiolrı Limiti R olmk üzere, si = si cos = cos t = t, (cos ) cot = cot, (si ) 8
9 ÖRNEK cot itii değeri (vrs) edir? +, pozitif çift sı = * ( ) oktur, pozitif tek sı ( ) "! =, ( Z + ) ÖRNEK Aşğıdki itleri değerlerii (vrs) buluuz.. b. " c. " ÖRNEK Aşğıdki itleri değerlerii (vrs) buluuz.. b. " c. " + t ms z
10 R ve olmk üzere, =, =,! =! ÖRNEK 5 ( ) itii değerii (vrs) buluuz. (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) = (+ ).(+ ) = +, ( ).( ) = + (+ ).( ) = N + içi, (+ ) = + N + içi, ( ) = * + N + içi, + =+,, tek çift N + ve tek ise = +, > ise +,,,. < ise +,,,. ÖRNEK 6 Aşğıd bzı itler hesplmıştır. İceleiiz. = = + + = = = ( ) ÖRNEK 4 Aşğıdki itleri değerlerii (vrs) buluuz.. b. " c. " " + = + = e+ e = l + " " c m = = c + m = + = = + =
11 > ise =, " < < ise =, " = " = " ÖRNEK 9 c m itii değeri edir? 4 " ÖRNEK 7 c m itii değeri edir? " ÖRNEK c " m itii değeri edir? ÖRNEK 8 c m itii değeri edir? " ÖRNEK ( ) itii değeri (vrs) edir? "
12 f() h() g() olmk üzere, f() = g() = b h() = b dir. si " = olduğuu gösteriiz. ETKİNLİK Aşğıd r rıçplı bir diree dışt teğet ol düzgü - geler çizilmiştir., sosuz klşırke düzgü - gei bir ker uzuluğuu sıfır klştığı dikkt ediiz. si si si c m si " si " = buluur. = = 4 cos = olduğuu gösteriiz. " cos cos cos c m = 5 = 6 cos " cos " = dır. ÖRNEK si " itii değeri kçtır? = = = 8
13 ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( ). f() = ve g() = + ise ( fog)( ) ( gof )( ) itii değeri kçtır? b c. e cos +,. f() = ), = ise f() kçtır? d. (log 8 ) 4 e. ( )( + ) + f. ^ 9 h Z b, > 4. f() = [ 4, = \ +, < foksiouu = de iti vrs b kçtır? g. si 5 " r h. (si.t) 5. si si si( ) + itii değeri edir? ı. (si.cot) r i. sib cos l 6. f() = + olmk üzere, (fof)() ifdesii eşiti edir?
14 Z, 7. f : R R, f() = [, < < +, \ foksiou göre şğıdkileri değerlerii (vrs) buluuz.. f() b. f() + Yukrıd gr fi ği ve ri le = f() fok si o u u gr fi ği e gö re, ş ğı d ki le ri de ğer le ri i bu luuz.. f() c. f() b. f() + d. f() " c. f() d. f() e. f() + e. f() f. f() f. f() 5 g. 6 f() g. f() h. f() 6 4
15 9. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. +. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. " b. b. " c m c. + c. c m 4 " d. + d. c m " e. e. e " 4 f g. + cos f. g. c m + h. + + h " + si itii değeri edir? cos. cos " b r l + itii değeri edir?. ( si) itii değeri edir? " 4. + < f() < ise f() edir? 5
16 LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI Limit hesplmlrıd krşılşıl,,,.,,, biçimideki ifdelere belirsiz ifdeler deir. ÖRNEK 5 si itii değeri edir? " + cos Belirsizliği Bu belirsizlik türüle ilgili sorulrd p ve pd poliomlrd oluşuors bu poliomlr çrplrı rılrk gerekli sdeleştirmeler pılıp, belirsizlik giderilir. Trigoometrik terimlerde oluşuor ise trigoometrik özdeşlikler rdımıl sdeleştirmeler pılır. Y d ileride öğreeceğiiz L'HOSPİTAL kurlı rdımıl çözülür. ÖRNEK itii değeri edir? ÖRNEK 6 cos itii değeri edir? cos si " r 4 ÖRNEK itii değeri edir? 6
17 si = olduğuu gösteriiz. si si = = O merkez belirsizliği vr. ÖRNEK 7 ( ) si itii değeri edir? [DB teğet B % m(bod ) = BC = si O C A D OC = cos BD = t & & A(OCB ) < BOA dire diii lı < A(BOD) ÖRNEK 8 OC. BC r. OB. BD < r r < cos. si t < < si cos. si < < (Her iki trfı ile çrplım.) cos si si cos < < > > cos si cos cos si > > cos cos ( ) si 4 itii değeri edir? si > > si = buluur. ÖRNEK 9 si = = si 5 t ( ) 5 itii değeri edir? t = = t f( ) = olmk üzere, (. ( )).() si mf mf m = = f.() si ( f. ( )) (. ( )).() t mf mf m = = f.() t ( f. ( )) t ( mf. ( )) si( mf. ( )) m = = si ( f. ( )) t ( f. ( )) ÖRNEK 4 si 5 itii değeri edir? 7
18 ÖRNEK 4 t itii değeri edir? ÖRNEK 44 si itii değeri edir? r " r ÖRNEK 4 si + t 4 si itii değeri edir? ÖRNEK 4 cos itii değeri edir? r " r ÖRNEK 45 " si itii değeri edir? 8
19 ÖRNEK 46 ÖRNEK 48 " + itii değeri edir? + m+ 4 ifdesi bir gerçel sı eşit ise m kçtır? ÖRNEK 49 m ve gerçek sılr olmk üzere, + = m eşitliğii sğl m + kçtır? ÖRNEK 47 itii değeri edir? 9
20 Belirsizliği N olmk üzere f() = poliom foksioud, ÖRNEK " + itii değeri edir? f() = ( ) " " f() = ( ) " " m, N olmk üzere f() = b m m + b m m b + b f() = " Z [ bm ve \,,, < m = m > m ÖRNEK 5 (4 + ) itii değeri edir? " ÖRNEK " itii değeri edir? ÖRNEK 5 ( 5 + ) itii değeri edir? " P() ve Q() poliom olmk üzere, " " P ( ) Q ( ) iti hesp l ır ke, P() ve Q() i e bü ük de receli terimleri hesb ktılrk it buluur. Diğer terimler ihml edilebilir.
21 ÖRNEK 54 ÖRNEK 57 " itii değeri edir? " + itii değeri edir? ÖRNEK 55 + " + itii değeri edir? ÖRNEK 58 " itii değeri edir? ÖRNEK " itii değeri edir? = olduğu dikkt ediiz. 4 = " = " =
22 ÖRNEK " 4+ + itii değeri edir? Belirsizliği Bu tür belirsizlik ler de, b zı ce bir sel iş lem ler le (pd eşit le me, p ve p d ı eş le ik le çrp m,...) dü ze le e rek li mit ku rl l rı r dı mı ile çö zü lür. > ol mk üze re, b + b + c = c. + m ÖRNEK 6 c m itii değeri edir? ÖRNEK " itii değeri edir? ÖRNEK " + itii değeri edir? ÖRNEK 6 ^ h itii değeri edir? "
23 ÖRNEK 64 ^ 5 + h itii değeri edir? " ÖRNEK 66 ^ h itii değeri edir? " ÖRNEK 67 " + c m itii değeri edir? ÖRNEK 65 ^ + h itii değeri edir? " ÖRNEK 68 [log ( + ) log (9 ) değeri edir? "
24 . Belirsizliği. = = ve. = = olduğud,. belirsizliği ve be lir sizli ği e dö üş tü rü le rek li mit he sp l ır. BİR DİZİNİN LİMİTİ ( ) bir dizi olmk üzere, içi bir sısı klşıors ( ) dizisii iti dır deir ve " = biçimide gösterilir. f(), [, ) rlığıd tımlı bir foksio ve ( ), geel terimi = f() ol bir dizi olmk üzere, ÖRNEK 69 f( ) " mevcut ise = f( ) " " tir. c. si m itii değeri edir? " ÖRNEK " + ifdesii eşitii buluuz. ÖRNEK 7 (.cot) itii değeri edir? Bir dizii iti buluurke foksio iti ile ilgili kurllr e kullılır. ÖRNEK ( ) = c m + + dizisii itii buluuz. ÖRNEK 7 ;.( 5) E itii değeri edir? " + 4
25 ÖRNEK 74 Foksiolrı iti ile ilgili kurllrd rrlrk bzı dizileri itleri bulumuştur. İceleiiz. + = " ÖRNEK ( ) = d + 5 dizisii itii buluuz. = = " + + = + " " = + ( ). si = " " = + " " ÖRNEK 76 ( m ) + 5 ( ) = d + dizisii iti k gerçek sısı eşit olduğu göre, m + k kçtır? ^ 4 + h " 5
26 ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. " 4. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. si b. b. ( ) si 4 " c. " c. ( si ). cos + d. + d. t si e. f. + e. f. ( ) si 9. si cos g. + g. r cosb + l h. ( + ) " h. 9 + t ( ) " + ı. + 8 ı. si si i. 4+ i. cos r " r 6
27 . Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( + 5) " 4. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. c m " b. ( ) " c. " b. ^ + h " 4 d. " + c. ^ + + h " e. 9 + " + d. ^ + h " f " e. ^ h " g. " li mit kç tır? li mi ti i vr ol du ğu bi li i or s, bu 4 h. " + + ı. +. " + 6. ( + h) h h" li mi ti i değeri edir? i. r + e r. e " cos 7. si li mi ti i değeri edir? 7
28 8. N + olmk üzere, " ( + ) li mi ti i değeri edir?. 6 ( r). li mi ti i değeri edir? " r 9. r ( ).t li mi ti i değeri edir? 4. c. si m li mi ti i değeri edir?. si li mi ti i değeri edir? r " r 5. d + c m + c m + + c m " li mi ti i değeri edir?. dlog 6 + li mi ti i değeri edir? 6 6. t cos li mi ti i değeri edir?. " + + b = ise + b kç tır? 7. 4 " + li mi ti i değeri edir? 8
29 GEOMETRİK SERİ Geel terimi geometrik dizi ol serie geometrik seri deir ve /. r şeklide gösterilir. = S = /. r olmk üzere, k = ÖRNEK 78 / c m toplmı kçtır? = S = +.r +.r r r.s =.r +.r +.r r S r.s =.r S.( r) =.( r ) r S =. buluur. r r < ise (r ) dizisi klşır. Dolısıl /.r =. r = olur. ( r < ) r ise (r ) dizisi bir reel sı klşmz. Dolısıl /.r = ve olur. = ÖRNEK 77. / c m toplmı kçtır? = r < olmk üzere, / r = = r olduğuu geometrik olrk gösteriiz. D C r F r r r A B r r... r... ABCD birim kre olmk üzere, E A, B, E doğrusl ve D, F, E doğrusl ise DCF & + EBF & dir. Bu durumd, DC BE CF = = FB r + r + + r + r ( r).(r + r r +...) = r ( r).r.( + r r +...) = r ( r).( + r r +...) = v + r r +... = / r = buluur. r = r r 9
30 ÖRNEK 79 Aşğıd bzı geometrik serileri souçlrı bulumuştur. İceleiiz. / / c m = = = c m ÖRNEK 8 5 = / serisii eşiti kçtır? / c m = / = = c 4 = / =, ( > i r olduğud) ÖRNEK 8 + / serisii eşiti kçtır? 5 = / c m serisi ırksktır. ( r olduğud) = ÖRNEK 8 Aşğıdki örekler = r / = ( r < ) ku- r rlı rdımıl çözülmüştür. İceleiiz. / c m seriside 4 = = içi = c m = ve r = olup 4 ÖRNEK 8 / serisii eşiti kçtır? 5 = / c m seriside = = içi = c ve r = olup
31 ÖRNEK 84, 6 devirli odlık sısı kç eşittir? ÖRNEK 86 / serisii eşiti kçtır? = ÖRNEK 87 ÖRNEK 85 / ^ h. c 4 m serisii eşiti kçtır? = m ükseklikte bırkıl bir top her seferide düştüğü üksekliği si kdr sıçrmktdır. Topu dege durumu gelicee kdr ldığı toplm dike ol kç metredir? r < olmk üzere, / r. = +.r +.r r +...= = ^ rh olduğuu gösteriiz. T = +.r +.r + 4.r r +... r.t =.r +.r +.r + 4.r r +... T r.t = + r + r + r r +... T.( r) = r T = ^ rh olur. +.r +.r + 4.r r +... = ^ rh
32 ÖRNEK 88 B A B A h h h h 4 Şekildeki ABC üçgeide AB = cm ve AC = 4 cm dir. ABC üçgeii A köşeside hipoteüse çizile ükseklik h, oluş AB C üçgeii B köşeside hipoteüse çizile ükseklik h olup ı işleme sosuz çoklukt devm edilior. Bu göre, çizile ükseklikleri toplmı kç cm dir? B A C ÖRNEK 89 D C ABCD prlelkerıd AB = cm AD = 8 cm ve m( DAB) A B = dir. Bu prlelkerı kerlrıı ort oktlrıı köşe kbul ede dörtge çizilior. Bu şekilde elde edile her dörtgei kerlrıı ort oktlrıı köşe kbul ede iç içe sosuz te dörtge çizilior. Bu sosuz sıdki dörtgeleri llrı toplmı kç cm dir? ÖRNEK 9 O r... Şekildeki sosuz çokluktki direlerde her birii rıçpı bir büüğüü rıçpıı ü kdrdır. Bu direlerde e büüğüü rıçpı r cm dir. Bu göre, bu direleri llrı toplmı kç cm dir?
33 ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki serileri değerii buluuz.. / = 6 5. Aşğıdki devirli odlık sılrı kesir hlide gösteriiz.., b. / ^, h = b. 8, c., c. / c m =. > olmk üzere, / c m toplmı ee eşittir? = d. / = 4 + e. f. / = / = ^ h 4. Bir kerı 8 cm ol bir eşker üçgei kerlrıı ort oktlrı birleştirilerek ei bir eşker üçge elde edilior. Aı işlem elde edile bütü eşker üçgelere ugulrk sosuz çoklukt eşker üçge elde edilior. Elde edile bu eşker üçgeleri llrı toplmı kç cm dir? g. / = + 5 h. / ^6. h = 5. Bir çocuk kumbrsı hergü bir öceki ttığı prı iki ktı pr tıor. İlk gü kumbr TL ttığı göre, 7. güü soud kumbrsıd kç TL vrdır? / ı. = f i. % 5 p = 6. Bir kerıı uzuluğu cm ol krei içie köşeleri bu kreleri kerlrıı ort oktlrı olck şekilde ei bir kre çizilior. Aı şekilde sosuz çoklukt kre çizildiğie göre, çizile kreleri çevreleri toplmı kç cm dir?
34 SÜREKLİLİK A R ve f : A R bir foksio olsu. R olmk üzere, f() = f() ise f foksiou, = oktsıd süreklidir deir. Sürekli olm foksio ise süreksiz foksio deir. ÖRNEK 9 +, f() = * +, < foksiou R içi sürekli ise kçtır? f foksiou = d sürekli ise; I. f foksiou = d t ım lı ol m lı dır. II. f fok si o u u = d li mi ti ol m lı dır. III. f fok si ouu = d ki li mi ti, fok si o uu = içi ldığı değere eşit ol m lı dır. Yi, f() = f() = f() olmlıdır. + Grfiği verile foksiolr içi, gr fik is te e ok t d el kldırmd çizilebiliors foksio o oktd süreklidir. ÖRNEK 9 ÖRNEK 9 Z f() = [ b \,,, < = > foksiou R içi sürekli ise + b kçtır? Yukrıd grfi ği ve ri le = f() fok si o u i h gi de ğer le ri içi süreksizdir? ÖRNEK 94 foksiouu süreksiz olduğu ok- f() = 4 tlrı buluuz. 4
35 ÖRNEK 95 + f() = + 6 foksiou re el s ı lr kü mesi de sürekli ise hgi rlıkt değer lır? f() foksi o u R içi sü rek li ise p d sı ı kökü olmmlıdır. Yi, + 6 = deklemide < olmlıdır. < ( ) 4..( + 6) < ÖRNEK Yukrıd grfi ği ve ri le = f() fok si o u i 5,,,, 4 ve 5 de ğer le ride hgileride süreklidir? ÖRNEK 96 Z f() = [ \ 4, <, foksiou hgi değeride süreksizdir? 5
36 ÖRNEK 98 f() = foksiou R {, } de sürekli + b + c olduğu göre b + c kçtır? ÖRNEK f() = kümei bu luuz. + foksio uu sü rek li ol du ğu ÖRNEK 99 Z +, < f() = [ + 6, \ foksio u = içi sü rek li ol du ğu gö re, kç tır? A R ve f : A R bir foksio olsu. A içi f foksiou sürekli ise f, tım bölgeside sürekli bir foksiodur. Öreği; f() = foksiou, tım kümesi ol R { } kümesi üzerideki her okt içi süreklidir. ÖRNEK ÖRNEK f() = si + cos foksio uu sü rek li ol du ğu kü- f() = + buluuz. foksio uu sü rek li ol du ğu kümei mei bu luuz. 6
37 ÖRNEK Z si, f() = [ cos, = \ foksiou = oktsıd sürekli midir? Bir Foksiou Kplı Bir Arlıkt Sürekliliği f : [, b R foksiou [, b kplı r lı ğıd sü rek li bir fok si o ise f şğıdki özelliklere shiptir. I. f foksiou sıırlıdır. Yi, [, b içi f() k olck şekilde bir k sısı vrdır. II. f([, b ) = [m, M olck şekilde m ve M reel sılrı vrdır. [, b ol mk üze re, f() i e kü çük (mi imum) de ğe ri m ve e bü ük (mk si mum) de ğeri M dir. III. f().f(b) < ise f( ) = olck şekilde e z bir (, b) vrdır. ÖRNEK 4 Z +, 4 f() = [, < \ 9 foksiouu süreksiz olduğu oktlrı buluuz. ÖRNEK 5 f : [, 4 R, f() = foksio u u l bilece ği e bü ük, e küçük değerlerii ve f([, 4 ) kümesii buluuz. 7
38 ÖRNEK 6 f : [, 6 [, 4, f() = (vrs) buluuz. fok siou u ter si i ÖRNEK 8 f : [, R, f() = + fok siou u ek seii ke sip kes mediğii tes pit edi iz. ÖRNEK f : [, 4 R, f() = fok si o u u lbileceği e küçük (miimum) ve e bü ük (mk si mum) de ğerle ri i bu lu uz. ÖRNEK = dek le mi i (, ) r lı ğı d bir kö kü ü olduğuu gösteriiz. f() = + 4 olsu. 8
39 ALIŞTIRMALAR 4,. f() = * +, < foksiou = de sürekli ise kçtır? foksiou kç frk lı ok t d sü- 5. f() = 8 rek siz dir? Z,. f() = [, = \ foksiou R içi sürekli ise kçtır? + 6. f() = + b + 9 foksiou R içi sürekli olduğu göre, b hgi rlıkt değer lbilir? Z 4cos, <. f() = [ cos + b, r si, > r \ foksiou R içi sürekli ise (, b) edir? 7. f() = olmk üzere, g() = (fofof)() fok si o u kç frk lı ok t d sü rek siz dir? Z si 4. f() = [ + b \ +,,, < = > foksiou R içi sürekli ise + b kçtır? + 8. f() = + + c foksiou = p sis li okt d sü rek siz ol du ğu gö re, c kçtır? 9
40 9. +. f() = + b + c foksiou R {, } de sürekli olduğu göre, b + c kçtır? 4 Yukrıd gr fi ği ve ri le = f() fok si o u u sü rek siz ol du ğu ok t l rı p sis le ri top l mı kçtır?. f() = fok si o u u sü rek li ol duğu r lık e dir?. Aşğıd ki fok si o lr d h gi le ri = p sis li oktd süreksizdir?. f() = b. f() = +. f() = fok si o u u li mi ti i bu lu up f kt sü rek siz ol du ğu ok t ı or di tı kç tır? + c. f() = ) +, >, Z, > + 4. f() = [, \ 4 bğıtısı kç frklı değeride süreksizdir? Z, > d. f() = [, = \, < + e. f() = 5. f() = 4 4 fok si o u u sü rek li ol du ğu r lık e dir? 4
41 TEST Limit. = f() 5. (l( ) + + ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 4 Grfiği verile = f() foksiou göre, + f( 4) f ( ) ifdesii değeri edir? A) B) C) D) E) 6. f() = + ve g() = + ise (fog)() ifdesii eşiti kçtır? 6 A) B) C) D) 4 E) 5.. si ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 7. cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir?. d + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Yoktur A) B) C) D) E) Yoktur 4. ve b birer gerçel sıdır. + 4 = b ise.b kçtır? A) 4 B) C) D) E) 4 r 8. si " r ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 45
42 = b " ise + b kçtır? A) B) 6 C) 9 D) E) 8. N + olmk üzere, " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. ( ) = (log ( + ) log (4 )) dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 si 5. + si ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ^ h " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) 8 C) 8 D) 6 E) 4.C.B.E 4.E 5.D 6.D 7.B 8.A 9.C.B.C.A.C 4.C 5.B 6.D 46
43 TEST 4 Limit. 5. ( ) = ^ + h dizisii iti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 Yukrıd verile = f() fok si o u u gr fi ğie gö re, ş ğı d ki ler de h gi si lıştır? A) 4 C) f() = E) f() = " f() = B) 4+ f() = D) f() = si + si 4 6. si 4 si 6 + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) si si 7. t t ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) cos D) cos E) cos.. si si + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 8. " b r l ( + t) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) π E) 5
44 + 9. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8 4. ^ + + h " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). cos cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) si B) si C) D) E) si 4. + " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. si( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) " + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). + cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6. e l ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) e E) e.e.a.c 4.B 5.C 6.D 7.E 8.E 9.B.A.A.C.B 4.D 5.B 6.E 5
45 TEST 7 Limit Z +, >. f() = [ 4, =, < \ ise f() şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) 4 D) 5 E) Yoktur 5. cos si cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ( + h) h h" ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) cos 6. si ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). si. si. si t ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 6 E) 7. si t ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4. si ^ h ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 4 57
46 9. cos cos ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ( ) = f + + p dizisii iti kçtır? A) B) C) D) E) " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) + B) C) 4. f() = 5 + ise f( ) f ( ) " + itii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) D) E). d " + + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) d + c m + c m + + c m " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). " 9 ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 9 e 6. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) e D) e E) e.d.a.d 4.C 5.C 6.C 7.B 8.B 9.E.B.A.C.B 4.A 5.C 6.B 58
47 TEST 8 Seriler. / = + ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 4 B) 9 C) 5 D) E) 6 5. / ; ^ h + E = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) / = c m G = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 6. < < b olmk üzere, / c m b = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 9 B) 6 C) 4 D) E) A) b+ b B) b C) b D) b b E) b b. / = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 5 6 B) 5 8 C) D) 5 E) / 7. ;. E = 4 = olduğu göre, kçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 4 / 4. = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 8. / c m 6 = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 4 B) 8 C) 4 D) 79 E) 9 A) B) C) D) E) 59
48 9. > olmk üzere, / = 4 olduğu göre, kçtır? = A) B) 5 C) D) 7 E) 4. / = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 7 E) 4. / = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) 4 C) 5 D) E) 8 4. / ^ h k = k + k ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). / k = k k ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? 4 A) B) C) D) E) metre ükseklikte bırkıl bir srkç ere değdikte sor, her seferide bir öceki üksekliğii ü kdr ukrı çıkıor. 4 Bu srkç dur kdr kç metre ol lır? A) 84 B) 8 C) 76 D) 7 E) 7 6. Bir kerıı uzuluğu 4 cm ol bir krei kerlrıı ort oktlrı birleştirilerek ei bir. % = ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) v B) C) v D) v E) 6 kre elde edilior. Aı işlem ei elde edile her kree ugulıor. Bu şekilde oluş tüm kreleri llrıı toplmı kç cm dir? A) B) 6 C) 4 D) 44 E) 48.B.A.D 4.B 5.C 6.E 7.C 8.C 9.A.B.C.B.D 4.E 5.E 6.A 6
49 TEST 9 Süreklilik Z, <. f : R R, f() = [, = r si, > \ foksiou içi şğıdkilerde hgi si lıştır? 4. f() = + olmk üzere, g() = (fof)() fok si o u u sü rek siz ol du ğu ok t l rı psisleri toplmı kçtır? A) B) C) D) E) A) f() = B) f() = + C) + f() = f( ) D) f foksiou = de süreksizdir. E) f foksiou = d süreksizdir. m + 4, 5. f() = * +, < foksio u R içi sü rek li ise m + kçtır? Z. f() = [ m + \ 6,,, < < foksiou R içi sürekli ise (m, ) ikilisi edir? 9 A) (4, ) B) c 4, m C) c, m A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9 D) c, m E) (5, ) + 6. f() = + b + c foksiou R {, } de sürekli olduğu göre b + c kçtır? A) B) C) 9 D) 8 E) Yukrıd grfiği verile = f() foksiou kç oktd iti olduğu hlde süreksizdir? A) B) C) D) 4 E) 5 Z +, 7. f() = [ + b, < < \, foksiou R de sürekli ise.b kçtır? A) 4 B) C) 6 D) 4 E) 45 6
50 + 8. f() = foksiou şğıdki 4 oktlrı hgiside süreklidir? A) B) C) D) E) +. f() = foksio u R içi sü - rek li ol du ğu gö re, kç frk lı tm sı değeri lbilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Z 4, 9. f() = [, = \ foksiou R içi sürekli ise kçtır? 4 A) B) C) D) E) 4,. f() = * +, < foksio uu = de sü rek li ol m sı içi ı l bi le ce ği de ğer ler de bi ri si ş ğı d ki ler de h gi si dir? A) 5 B) C) D) E) 5. f() = * m ,, < foksio u R içi sü rek li ise m. kç tır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) Z, 4. f() = [ + b, < < \, foksiou R içi sürekli ise (, b) ikilisi edir? A) ( 4, 6) B) ( 4, 5) C) ( 5, 5) D) ( 5, 6) E) ( 6, 6). 4 f() = 6 foksiou kç frklı oktd süreksizdir? A) B) C) D) E) 4 5. f() = 4 foksiouu sürekli ol du ğu r lık şğıdkilerde hgisidir? A) [ 4, 4 B) ( 5, 5) C) [, 4 D) [, 5) E) (, ).E.C.D 4.A 5.D 6.A 7.E 8.C 9.D.D.C.D.A 4.D 5.A 6
51 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS si r " h gi si dir? A) r B) ifdesii de ğe ri ş ğı d ki ler de r C) π D) 4 r E) r ÖYS " A) B) şğıdkilerde hgisie eşittir? C) D) E). 98 ÖYS si cos cos si ifdesii (itii) de ğe ri edir? A) tg B) cot C) tg D) E) ÖYS r cosb l si( ) r değeri kçtır? A) B) C) D) 4 4 E). 98 ÖYS si t itii değeri edir? cos " r A) B) C) D) E) ÖYS / c m geometrik serisii değeri edir? = A) B) C) D) E) ÖYS 4 = f() 4 f, grfiği ukrıd verile bir foksiodur. Bu foksiou i,, 4 değeride bzılrı içi vr ol itleri toplmı kçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ÖYS Z, > f() = [, \ 4 foksiou hgi değeride süreksizdir? A) B) C) D) E) 6
52 ÖYS cos değeri edir? " r t A) B) D) E) 4 C) ÖYS si + cos değeri kçtır? r " r 6 A) B) C) ( ) D) ( ) r + E) r. 988 ÖYS / toplmıı değeri edir? = A) B) C) D) E) ÖYS elemlı bir kümei r-li bü tü kom bi s ol rı ı (kom bi zo l rı ı) s ı sı C(, r) ile gös te ril di ği e gö re, C (, ). C (, 4) C (, ). C (, ) " değeri kçtır? A) B) 4 C) D) E). 989 ÖYS " 64 4 değeri edir? 8 A) B) C) D) E) ÖYS / ifdesii değeri kçtır? k k = A) 9 B) C) D) E) ÖYS şğıdkilerde hgisie eşittir? ÖYS c 4 " 4 m değeri kçtır? A) B) 7 C) D) 7 E) A) 8 B) 4 C) D) 4 E) 8 64
53 7. 99 ÖYS ( ) si 4 d değeri kçtır? 4 6 " A) B) C) D) 4 6 E) 8 Limit ve Süreklilik. 99 ÖYS Z m +, < ise f() = [ 5, = ise \ + m, < ise foksiou R de sürekli olduğu göre, kçtır? A) B) C) D) 6 E) ÖYS b l değeri kçtır? " A) B) C) D) E). 994 ÖYS şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) D) E) ÖYS cos si cos si + değeri kçtır? A) B) C) D) E). 994 ÖYS si değeri kçtır? si 4 " r 4 A) 4 B) 8 C) 6 D) E) ÖYS f() = + olduğu göre, f( + h) f( ) değeri kçtır? h h" ÖYS 6 6c 4 si ( c ) c " değeri ş ğı d ki ler de h gisi e eşit tir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 4 B) 8 C) 8 D) 6 E) 65
54 ÖYS m, gerçel sılr, m 6 = ve ( ) + ( m ) + = m " olduğu göre, m + toplmı kçtır? A) 8 B) C) D) 7 E) ÖYS d değeri kçtır? A) 4 B) C) D) E) ÖYS < < olmk üzere, + / toplmı şğıdkilerde hgisie = eşittir? A) B) D) E) ÖYS si değeri kçtır? " r cos C) A) B) C) D) E). 6 ÖSS Z, ise f() = [, = ise \ foksiou içi, f() = ve + " f() = b olduğu göre, b kçtır? A) B) C) D) E). 7 ÖSS R de R e Z f() = [ + \,,, < = > ise ise ise ile tıml f fok si o u u = ok t sıd li mi ti i olmsı içi kç olmlıdır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) ÖYS < < olmk üzere, / c m ifdesi şğıdkilerde hgisie 4 = eşittir? 4+ A) B) 4 D) E) 4 4 C) ÖSS ^ 4 h itii değeri kçtır? " A) 4 B) C) D) E) 4 66
55 . 8 ÖSS 6. LYS O O b c 4 Yukrıd f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, f() + " + " toplmı kçtır? b f() + f() c + Yukrıdki şekilde f: R\{ } R\{ } fok si ou u gr fi ği gös te ril miş tir. Bu göre, f ( ) + f ( ) itlerii toplmı kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 7. LYS d A A 4. 9 ÖSS = ( ) si c m A A4 ile verile dizi içi " A) B) 5. 9 ÖSS + itii değeri kçtır? kçtır? C) D) E) A) B) C) D) E) d B B B B 4 Yukrıd verile d ve d doğrulrıı oluşturduğu çıı ölçüsü dir. İlk olrk d doğrusu üzeride lı A oktsıd d doğrusu A B dikmesi iilior. Sor B oktsıd d doğrusu B A dikmesi ve A dikme ğıd d d doğrusu A B dikmesi iilerek bu işleme devm edilior. A B = cm olduğu göre, d doğrusu bu şekilde iile tüm dikmeleri uzuluklrıı toplmı ol A B + A B + A B + kç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) 4 E) 48 O 67
56 8. LYS ^ h " itii değeri kçtır? 5 A) B) C) D) E) 4. LYS Aşğıd, çizilmiş çemberler dizisi verilmiştir. Bu dizide, ilk çemberi rıçpı 4 birim ve sorki her bir çemberi rıçpı, bir öceki çemberi rıçpıı rısıdır LYS f() = ve g() = olduğu göre, fg ( ( )) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) Bu dizideki tüm çemberleri çevre uzuluklrı toplmı kç birimdir? A) 5r B) 6r C) 8r D) r E) r 4. LYS Bir ker uzuluğu birim ol ABC eşker üçgeii AB ve AC kerlrı üç eşit prç rılrk şekildeki gibi D ve E oktlrı işretleior. DE doğru prçsıı ort oktsı K olmk üzere, bir köşesi K ve bu köşei krşısıdki kerı BC üzeride ol ei bir eşker üçge çizilior ve ı işlem çizile ei eşker üçgelere de ugulıor. 4. LYS si 4 itii değeri kçtır? A) B) 9 C) D) 5 E) 6 B D A K Bu şekilde çizilecek iç içe geçmiş tüm üçgesel bölgeleri llrı toplmı kç birim kredir? A) D) 5 6 B) 4 E) E C 9 C) LYS Gerçel sılr kümesi üzeride tımlı bir f foksiou içi f() = + f() = olduğu göre, değeri kçtır? A) B) f( ) + f( 5 ) itii f ( " + ) C) D) E) 4 68
57 44. LYS Z, # ise f() = [ + + b, ise \ 5, $ ise foksiou gerçel sılr kümeside sürekli olduğu göre, b frkı kçtır? A) 4 B) C) D) E) 5 69
http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları
LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir
DetaylıİKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ
Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce
Detaylı8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com
III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel
DetaylıLYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
DetaylıYÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...
Detaylı= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:
ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.
Detaylı1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÖYS. Bir top kumşı öce i, sor d klı ü stılıyor. Geriye 6 m kumş kldığı- göre, kumşı tümü kç metredir? 70 6 60 0., y pozitif iki tmsyı olmk üzere, (+y)(-y)=88 dir. Bu eşitliği soludki çrplrd üyüğü, küçüğüü
DetaylıOLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200
., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersi Adı SINIFI: KONU: Diziler Dersi Kousu. Aşğıdkilerde kç tesi bir dizii geel terimi olbilir? I. II. log III. IV. V. 7 7 9 9 t 4 4 E). Aşğıdkilerde hgisi bir dizii geel
DetaylıİNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI
[, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <
Detaylıa bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade
ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,
Detaylı... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere
SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ
Detaylı5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
DetaylıLYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.
Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,
DetaylıDENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................
Detaylı1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160
8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre
DetaylıKAREKÖKLÜ SAYILAR TARAMA TESTİ-1
EÖLÜ SYIL TM TESTİ- 8..3.. -8..3.2.-T kre doğl syılr ve doğl syılrl rsıdki ilişki. 8..3.3. T kre oly syılrı krekök değerlerii hgi iki doğl syı rsıd olduğuu belirler. 8..3.4. Gerçek Syılr. ) şğıdkilerde
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR
1) 2, 8, 26, 80... şeklideki ir syı örütüsüde 30. teri kçtır? A) 3 30 + 1 B) 3 30 1 C) 2 30 1 D) 2 30 + 1 5) Adylrı oy kulldığı ir seçide 889 öğrei oy kullktır. Seçie ktıl 8 dyd irii kzilesi içi e z kç
Detaylı1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (
DetaylıTEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
Detaylı7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu
Detaylı( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?
Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
Detaylı2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ
DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel
DetaylıDENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
DetaylıÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
DetaylıBelirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Bir Dizinin Limiti...
LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süeklilik...8 Bi Foksiou Limiti... 9 Özel Tımlı Foksiolı Limiti... Pçlı Foksiolı Limiti... Mutlk Değe Foksiouu Limiti... 7 Limit Özelliklei... Geişletilmiş Geçel Sıl Kümeside
DetaylıMUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
Detaylı11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
Detaylı1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
Detaylı1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
DetaylıMERAKLISINA MATEMATİK
TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz
Detaylı1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
Detaylı1983 ÖYS A) 410 B) 400 C) 380 D) 370 E) işleminin sonucu kaçtır. 7. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a= 2 A) 9 B) 3 C) 2 E) 8 D) 4
98 ÖYS. işleminin sonucu kçtır. 6. Bir stıcı ir mlı üzde 0 krl strken, stış fitı üzerinden üzde 0 indirim prk 8 lir stıor. Bu mlın mlieti kç lirdır? A) 0 B) 00 C) 80 D) 70 E) 60 7.,, c irer pozitif tm
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
Detaylı1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
DetaylıÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 d
ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 dir. x + y + z 180. Üçgei dış çılrı ölçüleri toplmı
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
DetaylıYrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
DetaylıLOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm
LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.
DetaylıÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.
ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
DetaylıDERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris
DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii
Detaylıx ise x kaçtır?{ C : }
İZMİR FEN LİSESİ LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI LOGARİTMA FONKSİYONU. ( ) ( ) f m m m R C : fonksionunun m { ( 0,) } dim tnımlı olmsı için?.. f ( ) ( ) fonksionunun tnım kümsind kç tn tm sı vrdır?{ C : }.
DetaylıTEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,
Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b
Detaylı( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
Detaylı1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
DetaylıYILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
Detaylı1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
Detaylı1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
Detaylı7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ
Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece
Detaylı1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce
DetaylıCebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
DetaylıORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR
YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.
DetaylıBÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1
SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie
Detaylı1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret
Detaylıek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.
LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden
DetaylıYILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1
YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER
DetaylıSAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
DetaylıTümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
DetaylıDİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...
ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................
DetaylıDETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )
. BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,
DetaylıTrigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.
Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:
DetaylıTOPLAM SEMBOLÜ TÜMEVARIM n=n(n+1) n-1= n
TÜMEVARIM Mtemtite ulldığımız pe ço ispt yötemi vrdır.bu yötemlerde biride tümevrım yötemidir. P() bir çı öerme öermeyi doğru yp e üçü doğl syı, P() öermesii doğrulu ümesi N olsu B.P() olduğu gösterilir.yi
DetaylıTÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
DetaylıRASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DetaylıDERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi
DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı
DetaylıSAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER
ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..
Detaylı9. log1656 x, log2 y ve log3 z
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Logritm Alm Kurllrı Dersin Konusu. log4 loge ln4 işleminin sonucu kçtır? D) ln E) ln 6. olduğun göre, 8 9 log 9 4 ifdesi nee eşittir? D) E). log
Detaylı0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.
MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
Detaylıİntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
DetaylıTek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu
Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in
Detaylıa R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.
DetaylıASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM
YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir
DetaylıVII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
Detaylı0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
DetaylıÖrnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?
RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine
DetaylıSTAJ ARA DÖNEM DEĞERLENDİRMESİ AYRINTILI SINAV KONULARI
22 STAJ ARA DÖNEM DEĞERLENDİRMESİ AYRINTILI SINAV KONULARI 406 A GRUBU STAJ ARA DÖNEM DEĞERLENDİRMESİ AYRINTILI SINAV KONULARI 22 A GRU BU STAJ ARA DÖ NEM DE ER LEN D R ME S AY RIN TI LI SI NAV KO NU LA
DetaylıLOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01
LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 0. f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu 6. 7 f() = log ( ) fonksiyonunun tnım bulunuz? rlığı nedir?. + f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz? 6 log? 8 = 7.. f() = log
Detaylı7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının
Detaylı15. ANTALYA MATEMATĐK OLĐMPĐYATI (2010) SORULARININ ÇÖZÜMLERĐ
. ANTALYA MATEMATĐK OLĐMPĐYATI (00) SORULARININ ÇÖZÜMLERĐ PROBLEM : vrdır? + y y deklemii pozitif tmsyılrd kç (, y ) çözüm ikilisi A) B) 6 C) 4 D) 8 E) Sosuz çoklukt ÇÖZÜM (L. Gökçe): + deklemide pyd eşitleyip
DetaylıLİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun
. BÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT Acip muhbbet bi konu. Limit bir klşm olıdır. Bir sğdn klşıorsunuz. Bir de soldn. Eğer klştığınız şe(değer) nı ise problem ok. Am sğdn ve soldn klşırken hedef şşmış ve
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106
1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)
Detaylı12. a = log 5 7, b = log 3 2 ve c = log 2 13 sayıları arasındaki. 13. log 3 75 sayısı aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?
www.mtemtikclub.cm, 00 MC Cebir Ntlrı Gökhn DEMĐR, gdemir@h.cm.tr Lgritm. lg TEST I lg + lg 9 işleminin snucu C) 4. lg + = ise kçtır? 9 C) 4 9. lg 7! = ise lg 8! C) + 0. lg = ve lg = b ise lg 9 0 nin ve
DetaylıOLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
. ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+
Detaylı1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.
MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile
DetaylıCebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,
www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr
Detaylı