TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ. Serpil ÜNAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

Transkript

1 TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ Serpl ÜNAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2 ANKARA

2 Serpl ÜNAL tarafıda hazırlaa TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ adlı bu tez Yüksek Lsas tez olarak uygu olduğuu oaylarım. Prof. Dr. Salh ÇELEBİOĞLU Tez Daışmaı, İstatstk Aablm Dalı... Bu çalışma, jürmz tarafıda oy brlğ le İstatstk Aablm Dalıda Yüksek Lsas tez olarak kabul edlmştr. Prof. Dr. Reşat Kasap İstatstk Aablm Dalı, Gaz Üverstes Prof. Dr. Salh ÇELEBİOĞLU İstatstk Aablm Dalı, Gaz Üverstes Doç. Dr. Gül Ergü İstatstk Aablm Dalı, Hacettepe Üverstes Tarh:2//2 Bu tez le G.Ü. Fe Blmler Esttüsü Yöetm Kurulu Yüksek Lsas dereces oamıştır. Prof. Dr. Blal TOKLU Fe Blmler Esttüsü Müdürü...

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez çdek bütü blgler etk davraış ve akademk kurallar çerçevesde elde edlerek suulduğuu, ayrıca tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışmada baa at olmaya her türlü fade ve blg kayağıa eksksz atıf yapıldığıı bldrrm. Serpl ÜNAL

4 v TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ (Yüksek Lsas Tez) Serpl ÜNAL GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Ocak 2 ÖZET Bu çalışmada, ( ) Kuzey- ( ) Doğu koordatları üzerde bulua Türkye 9-26 yılları arasıda M 4 ola deprem verlere dayaarak, stokastk br model ola Markov zcrler le ssmk rsk tahm edlmes amaçlamıştır. Bu amaç doğrultusuda, çeştl t zama aralıklarıa göre Markov matrsler elde edlmş, bu matrsler etropler hesaplaarak, Maksmum Etrop Presb le amacımıza e uygu matrs bulumuştur. Bu matrste yararlaarak, lmt dağılımı ve bölgesel geçş olasılıkları matrs elde edlmş, durumlar arası lk geçş zamalarıı dağılımlarıı geometrk dağılıma uyup uymadığıı alamak ç k-kare aalzler yapılmıştır. Herhag br yılda. ya da 2. bölgede olablecek e az k ( k,2,3,4,5 ) tae deprem olasılıkları hesaplamıştır. Ayrıca, döem ç kestrm le model uyguluğuu (Markov matrs uygu olduğu) test ç k-kare aalz yapılmış ve bu aalz soucuda model uygu olduğu statstksel olarak kaıtlamıştır. Yapıla döem ç kestrmde %8.25 lk br başarı elde edlmştr. So olarak, 26 yılıda tbare 5 döem ç lerk zamalarda olablecek depremler üzere tahmlerde buluulmuştur. Blm Kodu : 25.. Aahtar Kelmeler: Markov zcr, ssmk rsk, etrop, Türkye de deprem Sayfa Aded : 9 Tez Yöetcs : Prof.Dr. Salh ÇELEBİOĞLU

5 v MODELLING THE EARTHQUAKES OCCURING ON TURKEY BY MARKOV CHAINS (M.Sc.Thess) Serpl ÜNAL GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Jauary 2 ABSTRACT I ths study, t s amed to predct sesmc hazard by Markov chas, a stochastc process, by meas of earthquake occurece data (magtude M 4 ad from 9 to 26) of Turkey whch betwee North ( ) -East ( ) coordates. For the purpose, Markov matrces for dfferet t s obtaed, the Markov matrces s etropes are computed ad the most correct matrx for our purpose s foud by Maxmum Etropy Prcple. By the matrx, both regoal trasto probablty matrx ad statoary dstrbuto s obtaed, whether frst passage tme dstrbuto s geometrc dstrbuto s tested by K-kare aalyss. At ay tme, the frst or secod regos, the probablty of mmum k ( k,2,3,4,5 ) earthquakes s computed. Also, whether the model s correct s tested a smulato study by K-kare aalyss. For magtudes M 4 ad tme tervals t.7 year, the method yelds a 8.25% aftcast success rate for the etre catalog. Fally, step probablty dstrbuto s estmated for fve perods after 26. Scece Code : 25.. Key Words : Markov chas, sesmc hazard, etropy, earthquake o Turkey Page Number: 9 Advser : Prof.Dr.Salh ÇELEBİOĞLU

6 v TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyuca değerl yardım ve katkılarıyla be yöledre ve her türlü desteğ esrgemeye tez daışmaım değerl hocam Prof. Dr. Salh ÇELEBİOĞLU a, Blgsayar Programlama kousudak uzma yardımlarıda dolayı Yrd. Doç. Dr. Erka Türker e teşekkürü br borç blrm. Serpl ÜNAL

7 v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...v ABSTRACT...v TEŞEKKÜR....v İÇİNDEKİLER v ÇİZELGELERİN LİSTESİ....x ŞEKİLLERİN LİSTESİ.....x HARİTALARIN LİSTESİ....x SİMGELER VE KISALTMALAR.....x. GİRİŞ DEPREM GERÇEĞİ Deprem Hakkıda Geel Blgler Deprem Parametreler Şddet-Magtüd Karşılaştırması Türkye de Deprem ZAMAN SERİLERİ STOKASTİK SÜREÇLER MARKOV ZİNCİRLERİ Grş Temel Kavramlar ve Geel Blgler Markov Zcrler Üzere Bazı Örekler Durumları Sııfladırılması Lmt Teoremler Durumları Sııfladırılması ve Lmt Dağılımlarıa lşk Bazı Örekler Potasyel ve Ede-Souda Geçş Olasılıkları Matrsler Hesaplaması ENTROPİ VE İLGİLİ KAVRAMLAR Grş....42

8 v Sayfa 6.2. Etrop Foksyouu Temel Özellkler Etrop Foksyouu Ekstremumu Bleşk Etrop Koşullu Etrop Zcr Kuralı Jayes Maksmum Etrop Presb Etrop ve Markov Zcrler MARKOV ZİNCİRİ ÜZERİNE YAPILAN BAZI ÇALIŞMALAR MARKOV ZİNCİRİNİN TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLER ÜZERİNE UYGULANMASI Uygulamaı Amacı ve İçerğ Uygulama Verler ve İşleyş Markov Zcr Aalz K-kare aalz ya da 2. bölgede e az k tae deprem olma olasılıkları Bölgesel geçş olasılıkları Lmt dağılımı Türkye de lerk zamalara at depremler durum dağılımı tahm İlk geçş olasılıkları Ortalama lk geçş zamaları SONUÇ VE ÖNERİLER...73 KAYNAKLAR EKLER EK- Deprem verler EK-2 t zama aralıklarıa göre Markov matrsler ve etrop değerler...92 EK-3 Durumlar arası geçş matrs döem sorak durumu EK-4 Durumlar arası lk geçş olasılıkları ÖZGEÇMİŞ

9 x ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çzelge Sayfa Çzelge 2.. Şddet-magtüd karşılaştırması...6 Çzelge 5.. r j durumlara göre değer Çzelge 5.2. f durumlara göre değer j Çzelge 8.. Durumlar...55 Çzelge 8.2. durumuda durumua lk geçş zamaları dağılımı...6 Çzelge durumuda 2 durumua lk geçş zamaları dağılımı...6 Çzelge durumuda 3 durumua lk geçş zamaları dağılımı...62 Çzelge durumuda durumua lk geçş zamaları dağılımı Çzelge 8.6. durumuda durumua lk geçş zamaları dağılımı Çzelge 8.7. Durumlara göre e az k tae deprem olma olasılıkları Çzelge tarhde sorak lk 5 döem ç tahmler...7 Çzelge 8.9. durumuda j durumlarıa ortalama lk geçş zamaları...7 Çzelge 4.. durumua lk geçş olasılıkları... Çzelge 4.2. durumua lk geçş olasılıkları... Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...2 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...2 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...3 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...3 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...4 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları....4 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları....5 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...5 Çzelge 4.. durumua lk geçş olasılıkları...6 Çzelge 4.2. durumua lk geçş olasılıkları...6 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...7 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...7 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...8

10 x Çzelge Sayfa Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...8

11 x ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekl Sayfa Şekl 5.. Örek 5.6. ç durumlar arası geçş dyagramı...33 Şekl 5.2. Örek ç durumlar arası geçş dyagramı...34 Şekl 5.3. Örek 5.7. ç durumlar arası geçş dyagramı..39

12 x HARİTALARIN LİSTESİ Harta Sayfa Harta 2.. Türkye deprem bölgeler hartası...8 Harta 8.. Türkye bölgelere ayrılması

13 x SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullaılmış bazı smgeler ve kısaltmalar, açıklamaları le brlkte aşağıda suulmuştur. Smgeler Açıklama d Peryot () f j de j ye döemde lk geçş olasılığı f j F de j ye ede-souda geçş olasılığı de j ye ede-souda geçş olasılıkları matrs H ( p) Shao Etrop Ölçütü H m ( X, Y ) Bleşk etrop H m (X \ Y) Koşullu etrop H (S) Markov sürec etrops H ( p) Etrop foksyou H (X ) X rastgele değşke etrops j de j ye ulaşılablr j de j ye karşılıklı ulaşılablr ( ve j letşml) M M r Magtüd Eşk değer N j (t) t zamaıa kadar j ye yapıla toplam grşler sayısı P j P durumuda j durumua döemde geçş olasılığı Markov matrs (Geçş matrs) (m) P j de j ye m döemde geçş olasılığı p L R durumudayke L bölgesde deprem oluşumuu koşullu olasılığı Potasyel matrs

14 xv Smgeler Açıklama s r S T X t r. bölge durumu Durum uzayı Parametre uzayı Sürec t zamaıdak durumu 2 χ hes Hesaplaa K-kare değer t 2 χ K-kare tablo değer π ' π Lmt dağılımı Markov Zcr başlagıç olasılık dağılımı π. döeme at deprem olasılıkları vektörü µ j Ortalama lk geçş zamaı t Zama aralığı Kısaltma Açıklama CBS MZ Coğraf Blg Sstem Markov Zcrler

15 . GİRİŞ İsa etks olmada meydaa gele, toplumu sosyoekoomk ve kültürel etklkler olumsuz yöde etkleye, öeml ölçüde ca ve mal kaybıa sebep ola, tamamıyla doğal etkeler ede olduğu, doğal tehlkelerle ortaya çıka olaylar olarak adladırdığımız doğal afetler arasıda deprem, e kısa sürel gelşe ve e çok kayba yol aça doğa olayıdır [Koca, 28]. Halk dlde yer sarsıtısı ve zelzele olarak da ble deprem, yıllarda ber saları yaşamlarıı, faalyetler olumsuz yöde etklemş ve bugü de etklemeye devam etmektedr. Türkye, düyaı 3 öeml deprem kuşağıda br ola Alp-Hmalaya (Akdez) deprem kuşağı üzerde yer aldığı ç değşk büyüklüklerde, çok sık olarak deprem yaşaya br ülkedr. Bugüe kadar yaşaa depremlerle Türkye, toplam ca kaybı sıralamasıda Ç, Japoya ve İtalya da sora gelmekte, acak, ca kaybıa yol aça depremler yıl olarak tekrarıda se.9 değer le brc sırada yer almaktadır [Drk, 978]. Güümüzde deprem erede, e zama ve e büyüklükte olacağıı öcede kes olarak blme ve bu yıkıcı doğa olayıı öleme mkasız olduğu kabul edlmektedr. Fakat, mevcut jeofzk, jeoloj ve deprem mühedslğ alalarıda yapıla statstksel çalışmalar bze olası deprem parametreler ve yaratacağı yer hareket şddet öümüzdek yıllara göre acak olasılıklara dayadırarak tahm edebleceğmz göstermektedr. Dolayısıyla, deprem oluşumları öleemeyeceğe göre, bu tahmlerde yola çıkarak, depreme karşı çeştl ölemler almak, böylelkle ca kayıplarıı ve hasarları br dereceye kadar azaltmak mümkü olur. Deprem sırasıda meydaa gele yer sarsıtısıı olasılıklı fadese ssmk rsk adı verlmektedr. Br başka deyşle, ssmk rsk, deprem parametreler olasılığa dayadırılarak ortaya komasıdır. Ssmk rsk değerledrlmese lşk lk grşmler, ble ya da muhtemel depremlerde meydaa gele yer sarsıtılarıı tahm etmey amaçlaya ssmk rsk hartalarıı hazırlamasıyla başlamıştır. 96 lı yılları solarıda se ssmk rsk değerledrmesde olasılıklı metotlar uygulamaya

16 2 başlamıştır [Lee ve ark., 23]. Güümüzde ssmk rsk aalzde kullaıla modeller, determstk ve olasılıklı olmak üzere k başlık altıda toplamaktadır. Depremler yer, zama ve magtüde göre rastgelelk göstermes, ssmk rsk aalzde kullaıla bu modellerde kayaklaa bazı belrszlkler (deprem kayıtlarıdak bazı eksklkler gb) ve olasılıklı modeller ssmk rsk aalzdek bu belrszlkler kattatf olarak hesaba katması göz öüde buludurulduğuda, ssmk rsk stokastk (olasılıklı) yötemlerle tahm e uygu yötem olarak görülmektedr. Bularda Posso model ve uç değer statstkler, deprem zama ve yer olarak bağımsız olduğu varsayımıa dayaırke, Markov model, elastk ger tepme kuramı le bağlatılı olarak depremler zama boyutuda bağımlılık gösterdğ varsayımıa dayadırılmaktadır [Yüceme ve Akkaya, 993]. Daha öce, yılları arasıdak Kuzey Aadolu fay hattı deprem verler kullaılarak yapıla br çalışmada, ssmk rsk aalz ç Posso, Uç değer statstkler ve Markov modeller kullaılmış ve souçlar karşılaştırılmıştır. Bua göre, deprem oluşumuu sadece zama boyutuda celeye stokastk modeller 4.5 M 6.5 magtüdlü depremler ç farklı rsk tahmler verrke, M > 6. 5 magtüdlü depremler ç bu tahmler yaklaşık olarak ayı soucu vermştr [Yüceme ve Akkaya, 993]. Ayrıca, Özel ve İal (28) ı yaptığı br çalışmada, ülkemzde yılları arasıda meydaa gele ve M 5. ola 94 yıkıcı deprem artçı şokları Brleşk Posso sürecyle modellemştr [Özel ve İal, 28]. s Bu çalışmada se, ( ) Kuzey- ( ) Doğu koordatlarıda bulua Türkye 9-26 yılları arasıda magtüdü M 4 ola deprem verler kullaılarak Markov model aracılığıyla deprem rsk tahm edlmes amaçlamıştır. Grş bölümüde araştırma problem taıtıldıkta sora, 2. bölümde deprem hakkıda geel blglere yer verlmştr. 3. bölüm, 4. bölüm, 5. bölüm ve 6. bölümde se, sırasıyla Zama Serler, Stokastk süreçler, Markov zcrler ve Etrop kavramıda bahsedlmş, 7. bölümde Markov zcrler le lgl bazı çalışmalar üzerde durulmuş,

17 3 8. bölümde se Türkye dek depremler Markov zcrler le modellemş ve elde edle souçlar yorumlamıştır.

18 4 2. DEPREM GERÇEĞİ 2.. Deprem Hakkıda Geel Blgler Yerkabuğu çdek kırılmalar edeyle a olarak ortaya çıka ttreşmler dalgalar halde yayılarak geçtkler ortamları ve yer yüzey sarsma olayıa deprem der. Br başka fadeyle, deprem, saı güvele ayağıı bastığı toprağı da oyayacağıı ve üzerde bulua tüm yapıları da hasar görüp ca kaybıa uğrayacak şeklde yıkılablecekler göstere br doğa olayıdır. Depremler oluşum mekazması hakkıda çeştl görüşler ler sürülmüştür. Bularda e çok bemsemş olaı Dr. Red tarafıda ortaya atıla Elastk Ger Sekme Teorsdr. Bu teorye göre; br yerde brkmş bulua elastk deformasyo eerjs, krtk değere ulaştığı ada artık orada bükülme ve eseme sıırı aşılmış olur. İşte burada gerlme kuvvet, kayaçları dayaıklılık sıırıı aşması soucu a br kırılma hareket görülür. Ayrıca, yeryüzüde bulua ve hareket halde ola levhaları sıırıda, karşılaşıla k levhada alta gde ve üste çıka kaatları arasıdak sürtüme sıırıı aşılması soucu meydaa gele hareket de sarsıtıya ede olmaktadır. Bu hareketler le ortaya çıka sarsıtılara deprem adı verlmektedr [Şah, 22]. Deprem asıl oluştuğuu, deprem dalgalarıı yer yuvarı çde e şeklde yayıldıklarıı, ölçü aletler ve yötemler, kayıtları değerledrlmes ve depremle lgl dğer kouları celeye blm dalıa ssmoloj ya da depremblm, depremler kaydede alete de ssmograf ya da ssmometre der. Deprem dalgalarıı kaydedlmes soucu ortaya çıka grafklere se ssmogram adı verlr. Depremler tektok, volkak ve çökme depremler olmak üzere üçe ayrılır: Tektok depremler, yer kabuğuu oluştura levhaları hareketlere bağlı olarak meydaa gele depremlerdr. Etk alaları çok geş, şddet dereceler de çok yüksektr. Yeryüzüe yasıya depremler %9 ı bu gruba grer. Türkye dek depremler tamamıa yakıı bu tür depremlerdr.

19 5 Volkak depremler, yer derlklerdek magmaı yeryüzüe çıkışı sırasıdak fzksel ve kmyasal olaylar soucu oluşa gazları yapmış olduğu patlama le meydaa gelr. Yaardağ faalyet sırasıda meydaa geldkler ç bu depremler yayılış alaı yereldr. Yurdumuzda aktf yaardağ olmadığı ç bu tür depremlere rastlamaz. Çökütü depremler, bular yer altıdak karstk boşlukları, kömür ocaklarıı ve galerler tava kısımlarıı çökmes soucu ortaya çıkar. Etkler zayıf, etk alaları çok küçüktür [Şah, 22]. Büyük heyelalar ve meteorlar da yeryüzüde küçük sarsıtılara ede olablmektedr. Bularda başka, odağı dez dbde bulua der dez depremler de vardır. Bu depremlerde sora oluşa, kıyılarda hasara da ede olable dalgalara tsuam der [Şah, 22]. Baze büyük br deprem olmada öce küçük sarsıtılar olur. Bu küçük sarsıtılara öcü depremler der. Büyük br deprem oluşuda sora da belk brkaç yüz adet küçük deprem olmaya devam etmektedr. Bu küçük depremlere de artçı depremler adı verlmektedr Deprem Parametreler Odak oktası( hposatr): Yer çdek deprem eerjs ortaya çıktığı oktadır. Dış merkez(epsatr,merkezüssü): Odak oktasıa e yakı ola yeryüzüdek oktadır. Burası ayı zamada deprem e çok hasar yaptığı ve e kuvvetl olarak hssedldğ oktadır. Şddet: Herhag br derlkte ola deprem yeryüzüde hssedldğ br oktadak etks ölçüsü olarak taımlamaktadır. Magtüd: Deprem sırasıda açığa çıka eerj br ölçüsü olarak taımlamaktadır Şddet Magtüd Karşılaştırması Magtüd le şddet arasıdak fark; magtüd, deprem kayağıda açığa çıka eerj br ölçüsü ke; şddet, deprem yapılar ve salar üzerdek etkler br ölçüsüdür.

20 6 Çzelge 2.. Şddet-magtüd karşılaştırması Şddet IV V VI VII VIII IX X XI Rchter Magtüdü Bugü düyada e yaygı olarak kullaıla aletsel büyüklük ölçeğ, Rchter ölçeğ; öte yada e yaygı şddet ölçeğ se Mercall ölçeğdr. Deprem büyüklüğüü belrlemes ç kullaıla Rchter ölçeğ br alet değl, matematksel br formüldür. Rchter ölçeğ logartmk olmasıdadır k ölçek üzerde k ardışık tamsayı arasıdak fark, yer sarsıtısıı gelğdek kat artmaya karşılık gelr. Br kaya, büyüklüğü 4 ola br depremle cm ler-ger ttreşyorsa, ayı kaya, büyüklüğü 5 ola br depremde cm'lk ttreşmler yapacak demektr. Yer ttreşmdek bu kat artışı eerj csde karşılığı se 3,5 katlık br artıştır. 5 büyüklüğüde br deprem, 4 büyüklüğüdek br depremde 3,5 kat daha fazla eerj açığa çıkarır. 6 büyüklüğüdek br depremde se, 4 büyüklüğüdek depremde eredeyse kat (3,5x3,5) daha fazla eerj açığa çıkacak demektr Türkye de Deprem Yurdumuz düyaı öeml deprem kuşaklarıda br ola Akdez deprem kuşağı (Alp Hmalaya deprem kuşağı) üzerde yer alır ve zama zama öeml sarsıtılara uğrar. Plyose ve Kuaterer jeolojk devrlerde meydaa gele faylar zama zama hareket ede aktf faylardır. Ou ç yurdumuzu öeml deprem kuşakları, bu aktf fay zou üzerde buluur. Türkye de deprem yoğu olduğu yerler şöyle grupladırmak mümküdür: Kuzey Aadolu fay kuşağı: Batıda Saros Körfez de başlayıp, Marmara dez, Adapazarı, Düzce, Bolu, Kastamou yakııda geçmek suretyle, Batı ve Orta Karadez Bölümü, Kelkt vads, Erzca, Erzurum, Bgöl de Va gölüü kuzeye kadar uzaa kuşaktır.

21 7 Doğu Aadolu fay kuşağı: Atakya da (As oluğuda )başlayıp Amk ovası, Kahramamaraş, Bgöl, Va ve Hakkar ye kadar uzaa kuşaktır. Batı Aadolu fay kuşakları: Bular Ege Bölges de ve Güey Marmara çökütü alalarıı kearlarıda yer almaktadır. Büyük Mederes, Küçük Mederes ve Gedz çökütüler, İzmr körfez kıyıları, Bakırçay havzası, Edremt körfez kıyıları, Ulubat ve Mayas göller, Bursa, Yeşehr, İegöl ve İzk depresyolarıı oluşumua ede ola faylar bu bölgede yer alır. Bua göre, Türkye de deprem e sık görüldüğü yerler; Kuzey Aadolu, Ege Bölges, Marmara Bölges (Trakya harç), Doğu Aadolu Bölges le Hatay çevresdek geç faylarla sıırlamış ola çökütü havzalarıdır [Şah ve ark., 24]. Yer kabuğudak kısa sürel hareketler soucu meydaa gele sarsıtılar ola depremler, yeryüzüü her tarafıda olduğu gb Türkye de de fay hatları boyuca görülür. Ou ç büyük fay hatları, ayı zamada deprem kuşakları olarak adladırılır. Yapıla statstklere göre topraklarımızı %92 s, üfusumuzu %95, saay kuruluşlarımızı %98, barajlarımızı se %92 s çeştl derecelerde deprem tehdd altıda bulumaktadır. Ülkemzde e fazla zarara ede ola depremlerde bazıları: 939 ve 992 Erzca depremler, 943 Ladk deprem, 995 Dar deprem, 998 Ceyha(Adaa deprem), 999 Marmara deprem le 999 Kayaşlı depremlerdr. Bayıdırlık ve İska Bakalığı ı 996 yılıda yayılamış olduğu hartaya göre, Türkye, deprem şddet açısıda (.,2.,3.,4. ve 5.derecede bölgeler olmak üzere) 5 bölgeye ayrılmıştır. Bua göre, Türkye yüzölçümüü %42 s büyük ölçüde ca ve mal kaybıa ede ola. derece deprem bölges üzerde, %24 ü se. derece deprem bölgesdeke orala braz daha az kayba ede ola 2. derece deprem bölges üzerde bulumaktadır.

22 Harta 2.. Türkye deprem bölgeler hartası 8

23 9 3. ZAMAN SERİLERİ Zama çde ardışık olarak ortaya çıka gözlemler kümes, br zama sers olarak adladırılmaktadır. Bu tp serler, stok değer, mll gelr, satış fyatı, tcar malları fyatı, vb. ç kullaılablmektedr. Bu serlerdek gözlemler, çeştl faktörlere bağlı olarak değşklk göstereblr. Bularda bazıları (fyatlardak mevsmsel değşmler, stok fyatlarıda ekoom durumua bağlı değşmler, vb.) kolaylıkla fark edleblmektedr. Değşm bu fark edleblr sebepler dışıda kala, rastgele sebeplere bağlaılablecek bazı değşmler de vardır. Böylece, zama serler fade etmek ç matematksel br model ararsak, buu ç br stokastk süreç aşkar çözümdür. Bu şeklde doğru br model verldğde, stokastk süreçler br örek foksyou olarak, gözlemş zama serler düşüüleblr. Öreğ, Aralık ayıdak yyecek fyatları, yalızca Kasım ayıdak fyatlara bağlı olmayablr. Bu, öcek aylarda kayaklaa bazı faktörler brkml etkler soucu olablr. Bua lave olarak, fyatlar zamaa bağlı olarak değşm göstereblr, ya, Kasım ve Aralık aylarıdak yyecek fyatlarıı ortak dağılımı Nsa ve Mayıs aylarıdak fyatları ortak dağılımı le ayı olmayablr. Bu edele, zama sers çalışmalarıda kullaıla stokastk süreçler, durağa veya durağa olmaya süreçler geel br sııfıa attr. Taım 3... t, t,..., t 2 T ve,2,... olmak üzere X ( t), X ( t2 ),... X ( t ) rastgele değşkeler ortak dağılım foksyou, F( x, x2,..., x; t, t2,..., t ) P[ X ( t) x, X ( t2 ) x2,..., X ( t ) x ] olarak taımlası. Bu durumda, { X ( t) : t T} stokastk sürec durağa olması ç gerek ve yeter şart, F { x, x2,..., x; t + h, t2 + h,..., t + h} F{ x, x2,..., x; t, t2,..., th} olmasıdır.

24 Taım { X ( t) : t T} stokastk sürec durağa olması ç gerek ve yeter şart, E [ X ( t)] µ ; t T ç 2 Var [ X ( t)] σ ; t T ç γ ( t, t + h) γ ( h) ; t T ç olmasıdır; burada γ, X (t) rastgele değşkeler kovaryasıdır [Bhat, 984]. Aşağıda stokastk süreçler zama serler uygulaması olarak kullaıla e temel süreçlerde üçüe örekler le değlecektr. Durağa ve durağa olmaya süreçlere lşk bu örekler [Bhat, 984] de alımıştır: Örek 3... Beyaz Gürültü sürec Ortalaması ve varyası σ 2 > ola lşksz rastgele değşkeler br dzs beyaz gürültü sürec olarak adladırılmaktadır. Bu sürec kovaryas foksyou, 2 σ ; h γ ( h) ; h olarak taımlamaktadır. Bua göre, sürec kovaryas bakımıda durağa olduğuu söyleyeblrz. Eğer rastgele değşkeler ayı dağılıma sahp olduklarıı düşüürsek, o zama da sürec tam alamıyla durağa olduğuu söyleyeblrz. Örek Hareketl ortalamalar sürec Y, lşksz rastgele değşkeler br dzs ve E [ ], { } Y V 2 [ Y ] σ Y ;,,2,... olsu. k. derecede ağırlıklı hareketl ortalama, α (,,..., k ) ler k α ola sabtler olmak üzere X α Y Y... α Y + α + + k k olacak şeklde : } { X k sürecyle taımlaır.

25 Burada, E [ ] ; k, k +,... X k V[ ] ( α σ ; k, k +,... X 2 ) 2 Y ve k h 2 ( α mα m+ h ) σ Y ; h,,..., k γ ( + h, ) γ ( h) m ; h k, k +, k + 2,... dr. { X : k} sürec kovaryas bakımıda durağadır; burada γ, hareketl ortalamalar sürec kovaryasıdır. Örek Brc derecede otoregresf süreçler Zama serlerde kullaıla dğer br stokastk model de otoregresf modeldr. { Y }, ortalamalı ve sabt varyaslı lşksz rastgele değşkeler br dzs olsu. X α + Y ;...,,,,... X ve α br sabt olarak taımlası. Bu, { X } ç br drgeme lşksdr ve buda dolayı X + Y α X X α X 2 + Y Μ Μ Μ X α N + X N + Y N + yazablrz.

26 2 Böylece, X + Y α ( αx 2 + Y ) 2 α 2 + αy X + Y Μ N α X N N + α Y olur ve burada { X } durağa olmadığıı açıkça söyleyeblrz [Bhat, 984].

27 3 4. STOKASTİK SÜREÇLER Kısaca br stokastk süreç, zama boyuca devam ede ve olasılığı kurallarıa uya br olasılık sürecdr [Doob, 953]. X t rastgele değşke değer kümes S uzayı olsu. Ayı olasılık uzayı üzerde taımlamış ve S de değerler ala br { X t : t T} rastgele değşkeler topluluğua, durum uzayı S ve parametre uzayı T ola br stokastk süreç adı verlmektedr. Öreğ, ye br kahve markası taıtımıda öce, br üretc var ola markalara göre müşter davraışlarıı celemek stemektedr. Satışta A, B, C olmak üzere 3 farklı marka olduğuu ve müşterler br kısmıı uzu süre ayı markayı satı aldıklarıı, dğer kısmıı se her defasıda marka değştrdkler düşüelm. Bu durumda, daha y br marka taıtıldığıda, müşterler çoğu yüksek olasılıkla bu ye markaya yöelecek, yalızca brkaç müşter esk markaları kullaacaktır. Bu şeklde müşter davraışlarıı ölçmek ç, ye markaı taıtımıda öces ve sorasıı e y yasıtacak bçmde br aket hazırlamış olsu. Bu aket belrl br zama peryoduda uygulası ve buu soucuda müşterler marka değştrme davraışlarıa lşk tahmler şu şeklde olsu: Br ay çde A markasıı terch ede müşterler %6 ı br sorak ay boyuca ye A markasıı, %3 u B markasıı ve % u se C markasıı terch edecektr. B markasıı terch edeler %5 s A markasıı, %3 u B markasıı, %2 s se C markasıı terch edecektr. C markasıı terch edeler se %4 ı A markasıı, %4 ı B markasıı ve %2 s se ye C markasıı terch edecektr. Dolayısıyla, A,B ve C 3 farklı durum olmak üzere müşter davraışları br stokastk süreç olarak düşüüleblr. Eğer kahve markalarıı satı alaları sayısı le lglelecekse, bu durumda bu sayı da br stokastk süreç olarak fade edleblr. Yukarıda müşter davraışları ç marka değştrme modelde herhag br t zamaıdak müşter terch 3 kahve markasıda br olablr. Bu terchler kümes { A, B, C}, br rastgele deeye lşk örek uzaydır. Bu uzayı elemalarıı t zama parametres le dslee { X t : t T} rastgele değşkeler ales olarak da

28 4 taımlayablrz. Bu süreç, br stokastk süreç olarak adladırılmaktadır. Burada sürec t zamaıdak durumuu fade etmektedr [Bhat, 984]. X, t { X t : t T} stokastk sürec, sayılablr parametreye sahp se keskl-parametrel süreç, parametreler br aralık olarak fade edlyorsa sürekl-parametrel süreç olarak adladırılır. Geelde stokastk süreçlerde parametre uzayı zama olarak fade edldğde, eğer bu uzay sıralı t olarak taımlaırsa keskl-zama sürec, br aralık olarak taımlaırsa sürekl-zama sürec olarak da fade edleblr. X t rastgele değşkeler alableceğ tüm değerler durum uzayı olarak adladırılmaktadır. Bua göre, eğer durumlar solu ya da sayılablr sosuzlukta se keskl-durum sürec, sayılamaz se de sürekl-durum sürec olarak taımlamaktadır. Bu blglerde stokastk sürec keskl-zama ve keskl-durum uzayı, keskl-zama ve sürekldurum uzayı, sürekl-zama ve keskl-durum uzayı, sürekl-zama ve sürekl-durum uzayı olarak 4 şeklde oluşabldğ görülmektedr [Akyurt, 25]. Br stokastk keskl-durum sürecde şmdk durum X blmek üzere, sürec sorak durumu X +, X, X,..., X geçmş durumlarıda bağımsız se, bu süreç Markov Zcr olarak adladırılmaktadır. Bu süreçler zleye bölümde ayrıtılı olarak ele alıacaktır.

29 5 5. MARKOV ZİNCİRLERİ 5.. Grş Moder olasılık teors çalışmaları, geçmşte yapıla deeyler souçlarıı gelecektek deeyler etkledğ rastgele (stokastk) süreçler üzere yoğulaşmıştır. Bu yaklaşımda, geçmşte ver olarak alıa souçları gelecektek souçları etkledğ düşüülmektedr [Grstead ve Sell, 997]. Bu düşücede yola çıkarak, 97 yılıda A. A. Markov ked adıyla aıla br stokastk süreç üzere çalışmaya başlamış, çalışmalarıı gelecektek souçları yalızca şu adak souçta etklemes üzere kurmuştur [Akyurt, 25]. Markov sürec olarak taıa bu yaklaşım güümüzde fzk, byolojk, sosyal blmlerde ve hatta mühedslk, tcar gb br çok alada uygulama mkaı bulmuştur ve bu uygulamalar her geçe gü artmaktadır. Bu sebeple, Markov süreçler, stokastk süreçler teorsde çok geş ve öeml br bölüm teşkl etmektedr. Markov süreçler, halhazırda sürece lşk değerler bldğde, sürec gelecektek değerler geçmşte koşullu olarak bağımsız olduğu süreçlerdr [Çılar, 997] Temel Kavramlar ve Geel Blgler { :,,2,...}, solu ya da sayılablr sosuz durum uzayıa sahp br stokastk X süreç olsu. Aks belrtlmedkçe, sürec durum uzayıı egatf olmaya tamsayılar kümes ola S {,,2,...} le göstereceğz. X se, sürec aıda durumuda olduğu söyler. Süreç durumudayke br sorak döemde j durumuda olma olasılığı P j le gösterlr.,,...,,, j sürec durumları ve olmak üzere P } P { X + j X, X,..., X, X } P{ X + j X j

30 6 özellğ sağlaya X { X : N} stokastk sürece Markov Zcr (MZ) adı verlmektedr. Bu taıma göre, br MZ, herhag br ç, şmdk durum X verldğde, sorak durum X + X, X,..., X geçmş durumlarıda koşullu olarak bağımsız olduğu, br başka deyşle Markov özellğ sağladığı rastgele değşkeler dzsdr [Ross, 996]. P j, durumuda j durumua br döemde (br-adımlık) geçş olasılığı olarak taımlamaktadır. Dolayısıyla, br-adımlık geçş olasılığı zama parametresde bağımsız olduğuda, ya MZ homoje olduğuda, MZ durağa geçş olasılığıa sahp olduğu söyler ve şu şeklde de yazılablr [Akyurt, 25]: P ;, j S { X + X } P(, j) P j Taım 5.2.., j S ç elemaları P j ler ola br P P P Μ P Μ P P P Μ Μ P P P 2 2 Μ 2 Μ Μ... Μ matrs ele alalım. a) Herhag k, j S ç P j b) Her S ç P özellkler sağlaya P matrse S durum uzayı j j üzerde br Markov matrs (geçş matrs) der [Ross, 996]. Teorem X { X : N} br MZ olsu. Herhag m, N ; m ve, 2,..., m S ç P { X +, X + 2 2,... X + m m, X } P P... P 2 m m dr.

31 7 Souç S durum uzayı üzerde MZ π başlagıç olasılık dağılımı verls. Ya, P { X } π (), ( S ç) olsu. O zama m N ve,, 2,... m S ç P { X, X,..., X m m} ( ) p p... p 2 m m π....(5.) olur. Bu soucu sözle fade edecek olursak; her m ç X,..., X X m ortak dağılımı, π başlagıç dağılımı ve P geçş matrs bldğde hesaplaablr. Taım Herhag br -adımlık geçş olasılığı, m N olmak üzere, MZ durumuda j durumua P{ X ( ) j X m } Pj ; j S ve N m+, ( ) ( ) olarak taımlamaktadır. Burada, P [ P ] olup, özel olarak ç P I dır [Çılar, 997]. j Teorem Chapma-Kolmogorov deklemler -adımlık geçş olasılıklarıı hesaplayablmek ç br metot verr: ( m+ ) ( ) ( m) Pj Pk Pkj ; m, N ve, j S k dr. ( m+ ) İspat: P P X j X } { j m+ k P{ X m+ j, X k X } k P { X m+ j X k, X } P{ X k X }

32 8 k ( m) ( ) k P kj P -adımlık geçş olasılıkları () P j ler matrs () P le gösterrsek, P P P ( m+ ) ( m) ( ) olur. Böylece ( ) ( ) ( 2) P P. P P. P. P... P dr [Ross, 996]. İzleye Örek 4.3.-Örek [Çılar, 997], Örek [Akyurt, 25; Hoel ve ark., 25], Örek [Akyurt, 25] de alımıştır Markov Zcrler Üzere Bazı Örekler Örek Beroull sürecde başarıları sayısı N, herhag br deemede başarı olasılığı p ola tae Beroull deemesdek başarıları sayısıı gösters. P { N + j N, N,... N } P{ N + j N } olduğuda { N : N} br MZ dr.

33 9 Gerçekte } { }, { } N { N P N j N P j N P P j + + } { }, { N P N j N N P + } { } { } { N P N P j N N P + { } j N N P + { } j X P +, ; ; ; j j q j p yazılablr. Dolayısıyla, } : { N N durum uzayı N S ola br MZ dr. Bu MZ geçş matrs aşağıdak gb yazablrz: Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ q p q p q P Bu MZ de -adımlık geçş olasılıkları şöyledr: } { } N { m ) ( j N N P j N P P m m m j + + { } j N P j q p j j j j + + +,..., ; )! )!( (!

34 2 Örek Bağımsız Deemeler Sürec X,...,, X X ler ortak dağılımı, P{ X π ( k); k,,2,... k} ; k < ola bağımsız keskl rastgele değşkeler olsu. olduğuda X,..., +, X, X X de bağımsız P{ X + j X, X,... X } P{ X + j } ve X, + X de bağımsız olduğuda P{ X + j X } P{ X + j } dır. Dolayısıyla, P{ X + j X, X,..., X } P{ X + j X } olduğuda { X : N} br MZ dr. Bu MZ durum uzayı, S {,,2,...} N dr ve P j P{ X + + j X } P{ X j} π ( j) olduğuda geçş matrs,

35 2 π () π () π () π () P Λ Λ Λ Λ Λ Λ π (2) Λ π (2) Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ bçmde yazılablr. Bu MZ de m ç P m P dr. Örek Bağımsız Rastgele Değşkeler Toplamı Y, Y2,... ler olasılık dağılımı { p k ; k,,2,...} ola bağımsız ve ayı dağılımlı keskl rastgele değşkeler olsu. X ; Y Y;,2,... olarak taımlayalım. Bu durumda, X + X + Y+ dr ve Y +, X, X,..., X de bağımsız olduğuda P { X + j X, X,..., X } P{ X + Y+ j X, X,..., X } + P{ X j X } dr. Dolayısıyla, { X : N} br MZ dr. Bu MZ geçş olasılıkları, P{ X + j X } P{ X + Y+ j X } P{ Y + j X } (5.2)

36 22 p P{ Y k} P{ Y+ j X } p j X k dr. Dolayısıyla, Eş. 5.2 de P{ X + j X } p j X ; j X {,,2,...} yazablrz. Bua göre, durum uzayı S {,,2,...} olmak üzere { X : N} MZ geçş matrs aşağıdadır: P p p p2... p p... p Örek Rastgele Yürüyüş Model Br MZ durum uzayı,, µ, µ 2, µ 3,... tamsayıları le, olasılıkları da, P ;, + p P, < p < le fade edlrse, bu MZ e rastgele yürüyüş model der. Burada, br sorak peryottak (döemdek) durumu br öcek peryoda (döeme) bağlı olduğu açıktır, bu sebeple Markov özellğ sağlamış olur. Bu model braz daha geel br bçm zleye paragrafta verlmştr. A, A2,... ler ortak olasılık foksyou f ola tamsayı değerl bağımsız rastgele değşkeler ve X, A lerde bağımsız, tamsayı değerl br rastgele değşke olsu. X X + A A olarak taımlaırsa, { X ; } dzse br rastgele yürüyüş der. Bu durumda p j X ler, durum uzayı tamsayılar ve geçş foksyou P(, j) f ( j ) ola br MZ oluşturur. Buu doğruluğuu kaıtlamak ç X ı dağılımıı π le gösterelm.

37 23 O zama P { X,..., X } P{ X, A,..., A } P { X } P{ A }... P{ A } π ( ) f ( )... f ( ) π ( ) P(, )... P(, ) π ( ) p... p yazablrz. Böylece Eş. 5. sağlamış olur. Bu MZ e göre, tamsayılar üzerde br parçacığı hareket ettğ düşüelm. Bu parçacık, de e zama olursa, asıl orada olduğua bakılmaksızı, f ( j ) olasılığı le j durumua sıçrar. Özel br durum olarak, f ( ) p, f ( ) q ve f ( ) r ola br bast rastgele yürüyüş model düşüelm. Burada, p, q ve r egatf olmaya ve toplamları e eşt ola değerlerdr. Bua göre, geçş foksyou, (, j) p P j p; j + q; j r; j ; d. h. şekldedr.

38 24 Br parçacığı böyle br rastgele yürüyüş modele sahp olduğuu düşüelm. Eğer bu parçacık verle br gözlemde durumuda se, o zama br sorak gözlemde p olasılığı le + durumua, q olasılığı le durumua sıçrayacaktır ve r olasılığı le ayı durumuda kalacaktır. Örek Kumarbazı İflası Problem Br kumarbazı her oyuda br para brm kazama olasılığı p, br para brm kaybetme olasılığı da p le taımlası. Kumarbaz oyuu acak k şartla bırakır; ya eldek para sıfıra düşecektr (flas) ya da N para brme ulaşacaktır. Bu durumda MZ geçş olasılığı şu şeklde oluşacaktır: P ;, + p P,,2,3,..., N P P NN Yukarıdak deklem rastgele yürüyüş modelyle ve N durumları harcde uyuşmakta, fakat oyu ya da N durumua grdğde br daha burada çıkamamaktadır, bu k duruma yuta durum der. Öreğ, br kumarbazı elde zamaıda (başlagıçta) 2 Türk Lrası (TL) kadar para vardır. Bu kumarbaz her seferde TL yatırableceğ br oyu oyadığıda, kazaırsa yatırdığı TL y ve br o kadar parayı daha alıyor, kaybetme durumuda se yatırdığı para ger verlmyor. Para 4 TL ye ulaştığıda ya da bttğde se oyu soa eryor. Dkkat edlecek olursa t + oyu sora elde ola para mktarı, t. oyuda sora eldek kala para mktarıa bağlıdır. Bu da bu durumu br MZ olduğuu göstermektedr. Oyuu kuralları da zama çde değşmedğde MZ durağadır. Aşağıda gösterle geçş matrsde, durum olarak taımlaa, elde bulua paradır:

39 25 p p P p p. p p Geçş matrsde, p p olduğu görülmektedr, ya ya da 4 TL para 44 brme ulaşıldığıda oyu btmektedr, durum değşmemektedr. Dğer durumlarda se kaybetme olasılığı p, kazamaı olasılığı se p olduğu görülmektedr Durumları Sııfladırılması Taım Eğer de j ye solu adım souda ulaşılablyorsa, j durumu ulaşılablrdr. Ya,, j S olmak üzere ( ) P > olacak şeklde varsa j j ( ) P > olacak şeklde varsa j j ( de j ye ulaşılablr); ( j de ye ulaşılablr); ( ) ( m) P > olacak şeklde ve P > olacak şeklde m varsa j j ( ve j letşml) dr; br başka deyşle karşılıklı olarak ulaşılablrdr. j Karşıt olarak, ( ) ç P se de j ye ulaşılamaz j ( ) ç P se j de ye ulaşılamaz j ( ) ( ) ( ) ( ) ç P ya da P ya da hem P hem de P se, ve j letşml değldr. j j j j İletşml durumları bazı özellkler aşağıda verlmektedr:

40 26 () ; j ) Yasıma özellğ: Pj δ j ç ; j 2) Smetr özellğ: Eğer j se, o zama j 3) Geçşllk özellğ: Eğer j ve j k se, o zama k dr [Bhat, 984]. Taım Br durumuu peryodu d, P olacak şeklde bütü tamsayılarıı e büyük ortak böle olarak taımlamaktadır. d se, duruma aperyodk durum der [Bhat, 984]. ( ) Teorem Eğer j se, o zama d ( ) d( j) dr. Ya, bu teoreme göre, letşml durumlar ayı peryot değere sahptr [Ross, 996]. Taım MZ de j ye döemde lk geçş olasılığı taımlaır: () fj aşağıdak gb f ( ) j p b j ; p j E { j} f ( ) bj ; 2,3,... Taım ( ) f j f j değere MZ de j ye ede-souda geçş olasılığı veya de j ye her adımda geçş olasılığı der. Taım j de başlaya sürec j ye ede-souda ger döme olasılığı ola f se, j ger döüşlüdür [Çılar, 997]. jj Taım ger döüşlü olmak üzere, durumua lk ger döüş ç gereke ortalama geçş sayısı,

41 27 ( ) f µ le gösterlr. Ayı durumlara lk ger döüş ç gereke geçşler sayısı tekrarlama zamaı ve µ de, durumuu ortalama tekrarlama zamaı olarak adladırılır. µ de yararlaarak, br ger döüşlü br durumu etksz ya da etkl ger döüşlü olarak asıl sııfladırıldığıı açıklayalım: a) ger döüşlü br durum olmak üzere, durumuu etksz ger döüşlü olması ç gerek ve yeter şart, µ olmasıdır. b) ger döüşlü br durum olmak üzere, durumuu etkl ger döüşlü olması ç gerek ve yeter şart, µ < olmasıdır. Solu durum uzaylı br MZ ç µ ( S ) soludur. Böylece, yalızca durum uzayı sayılablr sosuz olduğuda durumlar etksz ger döüşlü olablr. Taım Eğer f < se ye geçşl durum der. Ya, süreç durumudayke poztf br olasılıkla bu duruma ede souda ger döüş yapamıyorsa, durumu geçşldr. geçşl se µ dır [Bhat, 984]. Ger döüşlü ya da geçşl gb durumları sııfladırılmasıa başka br krter () P olasılıkları kullaılarak verleblr: Teorem durumu ger döüşlü se ( ) P, geçşl se ( ) P < dur. İspat: j durumudak br süreç, olasılıkla ye j ye ger döüyorsa, j ger döüşlüdür. Markov özellğ le süreç j ye ger döüşte sora ye j de başlayacak, ye olasılıkla j ye tekrar ger döecektr. Bu tekrarlaışta, olasılıkla

42 28 j ye yapıla grşler sayısı sosuz olacak ve böylece beklee değer de sosuz olacaktır. Dğer tarafta, j geçşl olduğuu düşüelm. Bu durumda, süreç her defasıda f poztf olasılıkla j ye tekrar ger dömeyecektr. Böylece, varışları jj sayısı geometrk dağılıma sahp olacak ve beklee değer göre, j ger döüşlü olması ç gerek ve yeter şart, f jj olacaktır. Bua E[ j ye varışları sayısı X j] olmasıdır. I ; X j ; d. d. olarak taımlaırsa, I, j ye yapıla varışları sayısıı göstermektedr. Burada E [ I X j] E[ I X j] P ( ) jj elde edlr. Yukarıdak teoremde de görülmektedr k, geçşl br durum yalızca solu sayıda zyaret edleblr. Burada şu souç çıkmaktadır: Solu duruma sahp br MZ bütü durumları geçşl olamaz. Terse, durumları,,..., M olduğuu ve bütü bu durumları da geçşl olduğuu düşüelm. O zama solu br zama sora ( T da sora) durumua hç zyaret olmayacak, br zama ( T de sora) sora durumua hç zyaret olmayacaktır. Bu şeklde devam edlrse, solu br T Max T, T,..., T } { 2 M

43 29 zama sora hçbr duruma zyaret olmayacaktır. Fakat, süreç T zamaıda sora bazı durumlarda olduğuda br çelşk olacaktır. Bu da durumlarda e az br ger döüşlü olması demektr [Ross, 996]. Teorem Eğer döüşlüdür [Bhat, 984]. j ( ve j letşml) ve ger döüşlü se, o zama j de ger Teorem Eğer j ve j ger döüşlü se f dr [Ross, 996]. j Taım durumuu yuta br durum olması ç gerek ve yeter şart, P olmasıdır. () Taımda da açıkça görülmektedr k, yuta durum se f P dr. Bu durumda µ dr ve bu da etkl ger döüşlü br durum olduğuu gösterr [Bhat, 984]. N j (t) le t zamaıa kadar j ye yapıla grşler sayısıı gösterelm. Eğer j ger döüşlü ve X j se, o zama süreç j ye grş yaptığıda { N j ( t) : t }, ( ) { f jj, } varışlar arası dağılımıa sahp br yeleme sürecdr. Eğer X, j ve j ger döüşlü se, o zama { N j ( t) : t }, { fj, } başlagıç varışlar arası dağılımıa sahp geckmel yeleme sürecdr [Ross,996]. ( ) Taım A N br küme olsu. Eğer A kümes dışıdak durumlara A ı çdek durumlarda ulaşılamıyorsa, A kümese kapalı küme der. Taım Eğer br kapalı küme kedsde başka hçbr kapalı öz altkümes yoksa, bu kümeye drgeemez küme der.

44 3 Taım Eğer br MZ de bütü durumları oluşturduğu küme keds, ya S, drgeemezse, bu zcre drgeemez zcr der. Br MZ drgeemez bütü durumlarda brbre ulaşılablr [Çılar, 997] Lmt Teoremler Teorem Eğer ve j letşml se, o zama ) P{lm N ( t) / t / X } t j µ jj ( k ) 2) lm P j / / µ jj k 3) Eğer j aperyodk se, o zama lm P j / µ jj 4) Eğer j peryodu d se, o zama lm P jj d / µ jj ( ) ( d ) dr [Ross, 996]. Etkl ya da etksz ger döüşlü durumları sııfladırılmasıa başka br krter de olasılıkları kullaılarak verleblr: π j d ( j) jj Teorem π lm P olmak üzere j π > se j durumu etkl ger döüşlüdür. j π se j durumu etksz ger döüşlüdür [Ross, 996]. j Teorem Eğer X, solu duruma sahp drgeemeye aperyodk br MZ se, o zama π '. P π ' π '.

45 3 deklem sstem tek ve poztf br çözümü vardır. π ( π, π,..., π ) verldğde ' 2 s lm P aşağıdak gb olacaktır: lm P π π2... πs π π... π π π2... πs 2 s Burada da aşağıdak deklem yazılablr: π j lm P j π ( π, π,..., π ) şeklde verle bu vektör, sürec lmt dağılımı olarak adladırılır ' 2 s [Akyurt, 25]. Taım Eğer P j P Pj ; j se { P j : j } olasılık dağılımıı MZ ç durağa olduğu söyler. Eğer X ı olasılık dağılımı P j P{ X j} ; j durağa se, o zama P { X j} P{ X j X } P{ X } P j P j P dr ve tümevarımla

46 32 P { X j} P{ X j X - } P{ X } P P j P j elde edlr. Burada şu souç çıkmaktadır: Eğer başlagıç olasılık dağılımı durağa se, o zama ç X ler ayı dağılıma sahptr. { X : } br MZ olmak üzere, her br ve m ç X, X +,..., X + m ayı ortak dağılıma sahp olacaktır. Dğer br fadeyle, { X : } durağa br süreç olacaktır. Teorem İdrgeemez aperyodk br MZ aşağıda verle k sııfta bre attr: ) Bütü durumlar ya geçşl ya da etksz ger döüşlü se, bu durumda, j ç ( ) ke P dır ve durağa dağılım söz kousu değldr. j 2) Bütü durumlar etkl ger döüşlü se, π lm P > olması demektr k, j bu durumda { π : j,,2,...} durağa br dağılımdır ve başka durağa dağılım yoktur [Ross, 996]. j ( ) j

47 Durumları Sııfladırılması ve Lmt Dağılımlarıa İlşk Bazı Örekler Örek Durum uzayı S {,2,3,4,5 } ve geçş matrs P ola MZ ç a) Durumları sııfladıralım. b) Başlagıçta 5 durumuda bulua MZ 3 adımda durumua lk geçş olasılığıı bulalım. Çözüm: a) Şekl 5.. Örek 5.6. ç durumlar arası geçş dyagramı {,2,3} kapalı küme, etkl ger döüşlü ve peryodk { 4,5} geçşldr.

48 34 (3) 5 b) f? YOL: OLASILIK: (.4)(.2)() (.4)(.3)(.4) (.4)(.4)(.4).64 (3) f Örek Durum uzayı S {,2,3,4,5 } ve geçş matrs aşağıda verle MZ ç a) Durumları sııfladıralım. b) Başlagıçta 4 durumuda bulua zcr 3 durumua ede souda geçş olasılığıı bulalım. c) Başlagıçta 4 durumuda bulua zcr 3 durumua ortalama lk geçş zamaıı bulalım. Çözüm: a) Şekl 5.2. Örek ç durumlar arası geçş dyagramı

49 35 {,2,3} kapalı küme,etkl ger döüşlü ve aperyodktr. { 4,5} geçşl durumdur. b) f 34? m yol f (.4) (.6)(.4) (.6) (.4) k k (.6) (.4) ( k ) f 43 k f ( k ) 43 k (.6) k (.4) (.4)[ + (.6) + (.6) (.4) ] c) E[ T] k. f 43 k ( k ) k k.(.6) k (.4) p Örek X, durum uzayı S {,2,3 } ve geçş matrs.4 P ola MZ lmt dağılımıı (π ' olasılık vektörüü) bulalım.

50 36 Çözüm: π '. π ' P ( π π π ) ( π π π ) π π 5π π π π π π + π π π.5π +.5π 3. 3π π π 45π π π π π π '. ( π π 2 π 3 ) π + π 2 + π 3 π k alarak π 2 + π 3.3π +.5π 5 deklemler çözdüğümüzde, 2 3 π 8.25k ve k 2 π buluur. π + π + π k k k 2 3 π. 77, π. 625, π 3. π, π, π ) (.77,.625,.298) ( 2 3 olarak buluur Potasyel ve Ede-Souda Geçş Olasılıkları Matrsler Hesaplaması C, kapalı kümeler (ger döüşlü ya da yuta durumları kümes) ve D se bütü geçşl durumları kümes göstermek üzere, P geçş matrs aşağıdak gb ayrıştırmamız mümküdür: P C D C D K L Q

51 37 Taım r j, de başlaya MZ j ye yaptığı ortalama geçşler sayısı olmak üzere, R [ r j ] matrse, X sürec Potasyel matrs adı verlmektedr. r j ; f j ; f j > R matrs elde edlmes ç aşağıdak tabloyu kullaablrz: Çzelge 5.. r j durumlara göre değer f, de j ye ede souda geçş olasılığı olmak üzere, [ ] j etmek ç aşağıdak tabloyu kullaablrz: F matrs elde f j

52 38 Çzelge 5.2. f j durumlara göre değer Örek X, durum uzayı S {,2,...,7} ve geçş matrs,.5.8. P ola br MZ olsu. a) Durumları sııfladıralım. b) R matrs hesaplayıp yorumlayalım. c) F matrs hesaplayıp yorumlayalım.

53 39 Çözüm: a) Şekl 5.3. Örek 5.7. ç durumlar arası geçş dyagramı C {,2} kapalı küme, etkl ger döüşlü ve aperyodktr. C 2 {3,4,5} kapalı küme, etkl ger döüşlü ve peryodktr ( d 2 ) D {6,7} geçşl durumdur. K b) P geçş matrs P L Q olacak şeklde aşağıdak gb ayırablrz: Q S ( I Q)

54 4 Bu durumda,. R Öreğ, r 77 : 7 de başlaya MZ 7 durumua ortalama.75 kez geçş yapar c) B C C G SB f 66, r r67.25 f 67, r r76.5 f 76, r f 77. r Bu durumda,... F

55 4 Öreğ, f tür [Çılar, 997]. : 6 da başlaya MZ 6 durumua ede souda geçş olasılığı

56 42 6. ENTROPİ VE İLGİLİ KAVRAMLAR 6.. Grş Olasılık, br tek olayı ortaya çıkışıa at belrszlğ ölçerke, etrop, br olaylar topluluğua at belrszlğ ölçer [Karl ad Taylor, 975]. Br başka deyşle, etrop, br ssteme at belrszlk düzey ölçümüdür. Herhag br olayı ortaya çıkma olasılığı, bell sevyede bu olayı gerçekleşp gerçekleşmeyeceğ hakkıda belrszlğ göstergesdr. Öreğ; br para atışıda yazı ya da tura gelp gelmeyeceğ, br zar deeyde 3 gelp gelmeyeceğ br belrszlk taşır [Grftoğlu, 25]. Bu kou üzere çalışmalar yapa Shao a göre, br olay hakkıda blg edlmes, o olayı belrszlk çermes halde söz kousu olablr. Bua göre, ortaya çıkma olasılığı yüksek olayları meydaa gelmes fazla blg getrmemekte, akse, olasılığı düşük olayları oluşması daha fazla blg taşımaktadır [Özkul, 2]. Souçlarıı olasılığı le lşkledrlmş belrszlk Olasılıklı belrszlk olarak adladırılır. Olasılıklı belrszlk durumuda belrszlğ ölçütü olarak olayı gerçekleşme olasılığı dkkate alıır. Bu durumda farklı olasılık dağılımlarıı olarla lşkledrlmş farklı belrszlklere sahp olduğu söyleeblr. Olasılıkları yoğulukları arttıkça lgl olasılık uzayıı belrszlğ azalır. Öreğ; yazı ya da tura ç (.5,.5) olasılık dağılımıı etrops, br pyagoda kazamaı (,.99999) olasılık dağılımıı etropsde çok daha fazladır [Grftoğlu, 25]. Taım 6... X rastgele değşke alableceğ değerler x, x,... x } ve bu değerlere karşılık gele olasılıklar { 2 p ( x ) p( X x ) p ;,2,... olsu.

57 43 X rastgele değşke etrops, H ( X ) H ( p) c p log p dr. Burada, c, poztf keyf br sabttr ve logartma tabaı 2 olduğuda geellkle c olarak alıır. Ayrıca, log olarak kabul edlmektedr [Karmeshu ve Pal, 23] Etrop Foksyouu Temel Özellkler Br rastgele değşke alableceğ değerler x ve x 2 olsu. Aldığı bu k değer olasılıklarıı eşt olmadığı, ya P( X x) p, P( X x2 ) p olduğu durumda, H ( p) p log p ( p)log( p) etrop foksyou elde edlr. H ( p) etrop foksyou, kokav br foksyodur ve p ya da p ke H ( p) değer alır. Zate bldğ gb, olasılığı ya da olması durumuda rastgelelk, dolayısıyla da belrszlk yoktur. Bezer olarak, etrop foksyou maksmum değer p.5 de alır k; bu durumda belrszlk maksmumdur. Etrop foksyou, X rastgele değşke aldığı değerlere değl, sadece olasılıklarıa bağlıdır. Ayrıca, etropy log beklee değer olarak da taımlamak p( x) mümküdür. p ( x) olduğuda log p( x) dır. Dolayısıyla, H ( X ) dır [Grftoğlu, 25]. p Taım (Shao Etrop Ölçütü) ç p ve olmak üzere, p p, p,..., p ) br olasılık dağılımı olsu. Bu dağılım ç Shao etrop ölçütü, H ( 2 ( p) p l p dır [Grftoğlu, 25].

58 Etrop Foksyouu Ekstremumu H ( p) p l p.....(6.) etrop foksyou, p, p,..., p ) olasılıklarıa bağlı çok değşkel br ( 2 foksyodur ve burada p, p,..., p ) değşkeler arasıda ( 2 p p p...(6.2) + 2 koşulu vardır. Eş. 6. ve Eş. 6.2 altıda koşullu ekstremumuu celemek ç Lagrage yötem kullaablrz. Lagrage foksyou, L p l p λ ( p ) (6.3) şekldedr. Bu foksyo Eş. 6. ve Eş. 6.2 altıda ekstremuma sahpse Eş. 6.3 ü kısm türevler sıfıra eşt olmalıdır. Koşullu Ekstremum u varlık teoreme göre, bu foksyou kısm türevler sıfıra eşt olduğu oktalar, krtk oktalardır. Acak, etrop foksyou kokav br foksyo olduğuda elde edle krtk oktalar etrop foksyouu maksmze edecek değerler olacaktır. Krtk oktaları elde etmek amacıyla kısm türev alıdığıda, L p (l p + ) λ l p λ l p + λ l p λ p e λ elde edlr. Böylece, λ değer aşağıdak gb buluur: λ p p2... p e değerler Eş. 6.2 de yere yazarsak, e λ + e λ e λ. e λ

59 45 e λ λ l λ l dr. Bulua λ değer p de yere koulmasıyla da p e λ e l + ;,2,... krtk oktaları bulumuş olur. Krtk oktaları etrop foksyouda yere yazılması le H ( p) l( ) l( ) l (6.4) fades elde edlr. Eş. 6.4, Eş. 6. foksyouu Eş. 6.2 altıda maksmum değer olarak taımlaablr. Bu durumda, H ( p) etrop foksyou maksmum değere, ya, tüm olasılıkları eşt olduğu U (,,..., ) le fade edle keskl düzgü dağılım hale ulaşır [Grftoğlu, 25] Bleşk Etrop X ve Y, ayı olasılık uzayı üzerde taımlamış k rastgele değşke olsu. p p x, y ) P( X x, Y y ) ;,2,..., ve j,2,..., m j ( j j olmak üzere, X ve Y rastgele değşkeler bleşk etrops, H m ( X, Y ) m j olarak taımlaır. p j log p j

60 46 p m j p j P( X x ) ;,2,..., ; p p p + 2 q j pj P( X x j ) ; j,2,..., m ; q q q + 2 m olmak üzere, X ve Y rastgele değşkeler bağımsızlık koşuluu sağlaması edeyle fade elde edlr: p p q yazılablr. Bu durumda, brleşk etrop formülüde aşağıdak j j H m ( X, Y ) m j p q j log( p q ) j m j p q (log p j + log q ) j m m pq j log p j j m p q j logq ( q j )( p log p ) ( p )( q m j j j q H ( X ) + j p H ( Y ) m j j logq j ) p m q j j ve olduğuda H ( X, Y ) H ( X ) H ( Y )......(6.5) m + m dr. Böylece, etrop toplamsallık özellğ spatlamış olur [Grftoğlu, 25] Koşullu Etrop X ve Y bağımlı k rastgele değşke olsu. Y rastgele değşke değer y j verldğde, X rastgele değşke hakkıdak belrszlğ mktarıı göstermek ç

61 47 H m ( j j j X y ) p( x y )log p( x y )...(6.6) etrops taımlaır. Eş. 6.6 dak bütü y ler üzerde ortalama alıdığıda H m m ( X Y) q( y ) p( x y )log p( x y j) j j j j elde edlr ve koşullu olasılık taımıda p x, y ) p( x y ) q( y ) yazılırsa, bu durumda koşullu etrop, H m m ( X Y) p( x, y )log p( x y j) j j ( j j j olarak buluur. Bezer şeklde, H m ( Y X) m j p( x, y j )log q( y j x ) dr [Grftoğlu, 25] Zcr Kuralı X ve Y k rastgele değşke olmak üzere H ( X, Y ) H ( X ) H ( Y X )....(6.7) m + m dr. Zcr kuralıı bazı souçları aşağıdak gb verleblr: Souç X ve Y rastgele değşkeler bağımsız se, ya, P ( Y X) P(Y) se H ( X, Y ) H ( Y ) m m olur ve Eş. 6.7,

62 48 H ( X, Y ) H ( X ) H ( Y ) m + m olarak Eş. 6.5 e döüşür. Souç (5.6.) eştlğ le verle zcr kuralı ayı zamada H ( X, Y ) H ( Y ) H ( X Y )...(6.8) m m + m olarak da yazılablr. Eş. 6.7 ve Eş. 6.8 de H ( X ) + H ( Y X ) H ( Y ) H ( X Y ) m m + m elde edlr. Souç X rastgele değşke Y rastgele değşke tamame açıklıyorsa, br başka deyşle, P ( Y X ) se, X var olduğuda Y kes vardır ve bu durumda H ( X, Y ) H ( X ) m olur [Grftoğlu, 25] Jayes Maksmum Etrop Presb Shao, etrop ölçütüü maksmum yapmayı ve ortalama değer kısıtlarıyla eşzamalı tutarlı dağılımı seçmey öerr. p x, x2,..., x değerler sırasıyla p, p2,..., olasılıkları le ala br X rastgele değşke ele alısı. Maksmum p Etrop Presb, p (,2,... ) ve olması dışıda X rastgele değşke hakkıda hç br şey blmedğmzde, tekdüze dağılımı bzm blgmz e tatm edc temslcs olduğuu varsaya Laplace ı ülü yetersz sebep lkes doğal br uzatısıdır. Jayes e göre, eğer maksmum etropde daha az etrops ola br dağılım seçlrse, etropdek bu drgeme, blçl ya da blçsz kullaılmış ola bazı lave blgde gelmş olablr. Acak böyle blgler verlmedğde, etrops az ola dağılımı kullamak doğru olmayacaktır. Böylece, sadece maksmum etropye sahp ola dağılım kullaılmalıdır [Grftoğlu, 25].

63 Etrop ve Markov Zcrler, j S ç olasılığı p ve verlmşke j koşullu olasılığı da p ( j) olmak üzere, Markov süreçler ç etrop H (S) le gösterlr ve p j H ( S) p p ( j)log 2 p ( j) olarak taımlaır. j

64 5 7. MARKOV ZİNCİRİ ÜZERİNE YAPILAN BAZI ÇALIŞMALAR Bu bölümde, MZ üzere yapıla bazı çalışmalar celeerek, MZ hag blm dallarıda kullaıldığı, yapıla çalışmalarda asıl br yol zledğ ve bu çalışmalarda elde edle souçlar üzerde durulmuştur. MZ uygulamalarıa br yaklaşım olarak Rüzgar (23) ı çalışması verleblr. Bu çalışmada amaç, mevcut durumlarda hareketle, alacakları tahsl edlme oralarıı Markov zcrler yardımıyla belrlemektr. Buda yola çıkarak, br şletmeye at br yıllık alacak kayıtları celemş ve br yıl çdek aylık alacak sayıları tespt edlmştr. Peş, (),,2,.2 ay vadel ve br yılda uzu vadel alacaklar olmak üzere 4 durum taımlamış ve p j,. aydak alacağı j. ayda tahsl edlme oraı olacak şeklde geçş matrs oluşturulmuştur. Daha sora, bu matrs dege durumu celemş ve buu soucuda şletme alacaklarıı yüzde kaç olasılıkla hag ay tahsl edebleceğ bulumuştur [Rüzgar, 23]. MZ uygulamalarıa dğer br yaklaşım olarak Alp (27) çalışması verleblr. Bu çalışmada amaç, eğtme ye başlaya br öğrec eğtm hag aşamasıa kadar devam edebleceğ olasılıklarla belrleyerek, eğtm yede stele bçmde plalaablmes sağlamaktır. Buda yola çıkarak, Mll Eğtm Bakalığı tarafıda yayılaa Türkye Eğtm İstatstkler ktapçığıdak verler kullaılmış ve okul öces eğtm, lköğretm, ortaöğretm, yükseköğretm ve yükseköğretmde mezuyet olmak üzere 5 durum taımlamış ve hem kız-erkek öğrecler ç hem de tüm öğrecler ç ayrı ayrı Markov matrsler oluşturulmuştur. Oluşturula bu matrsler kullaılarak geel tahmlerde buluulmuş, kız ve erkek öğrecler arasıdak farklılıklar değerledrlmştr. Öreğ, eğtme ye başlaya kız öğrecler ortaöğretmde ve üverstede mezu olma olasılıklarıı erkek öğreclerde daha yüksek olduğu görülmüştür [Alp, 27]. Yavuz (992) u yapmış olduğu çalışmada se değşk meşçere (Ağaç türü, yaş, gelşme çağı ve kapalılık bakımıda çevresde farklılık göstere e az br hektar

65 5 büyüklüğüdek br ormalık ala) modellerde belrl br döem ç çap kademeler arasıdak geçş olasılıklarıı zamala değşmedğ ve meşçere br sorak duruma geçş daha öcek durumlarda bağımsız, yalızca mevcut duruma bağlı olduğu varsayıldığıda Markov özellğ sağladığı görülmüş ve buda yola çıkarak da değşk yaşlı br meşçerede büyüme MZ le aalz amaçlamıştır. Ülkemzde değşk yaşlı Doğu Lad meşçerelere at deeme alaı bulumaması edeyle meşçere smülasyo model gelştrlmştr. Ala ve Ala2 olmak üzere k deeme alaı belrlemş ve smülasyo souçlarıda, j,3,4,5, (çap kademeler) olmak üzere her k ala ç geçş matrsler elde edlmştr. Ayrıca, durumlar arası ortalama lk geçş zamaları, öreğ, ağaçları buluduğu. çap kademesde 23. çap kademese lk geçş ortalama süres, Ala meşçeres ç 254 yıl ve Ala2 ç 93 yıl olarak bulumuştur. Ala ve Ala2 meşçereler 5 yıl sora dege dağılımıa çok yakı br dağılıma ulaştığı görülmüştür [Yavuz, 992]. Akyurt (25) u MZ üzere yaptığı çalışmada se öcelkle, Türkye dek sgorta sstemde zorulu trafk sgortası olarak ble Karayolları Motorlu Araçlar Zorulu Mal Sorumluluk Sgortası sstem Markov özellğe sahp olduğu gösterlmştr. Devlet İstatstk Esttüsü, TRAMER ve Emyet Müdürlüğü de alıa verler (24 ve 25 yılları ç TRAMER hazırladığı basamaklar arası geçş göstere tablo, 24 yılıdak trafğe kayıtlı araç ve otomobl sayısı, 24 yılıdak kazaya karışa araç ve otomobl sayısı, 25 yılı prmler ve drmler) kullaılarak,.basamak, 2.basamak,,7. basamak olmak üzere ssteme at 7 durum taımlamış ve geçş matrs oluşturulmuştur. Daha sora, lmt dağılımı elde edlmş, ortalama olarak 3 adım souda zcr kararlı hale ulaştığı görülmüştür. 24 yılı başlagıç yılı olarak kabul edldğde Türkye dek lerk beş yıl ç otomobller yüzdelk basamak dağılımıı tahm yapılmıştır. Öreğ; 25 yılıda brc basamaktak otomobl sayısı toplam otomobl sayısıı %,962 s kadar olacaktır, daha açık br fade le.. otomobl çde 9.62 adet. basamakta yer alacaktır. Ayrıca, ortalama lk geçş zamaları da elde edlmştr. Bua göre, öreğ; 4. basamakla trafğe çıka br otomobl tekrar 4. basamağa dömes ç gerekl döem sayısı ortalama olarak 35 dr [Akyurt, 25].

66 52 Markov süreçler kullaıldığı br başka ala da kuyruk sstemler tasarımıdır. Buu şu şeklde açıklayablrz: Yolcuları br havaalaıdak kuyruğa rastgele varışlarıı düşüelm. Kuyruktak yolcu sayısı ve yolcuları bekleme zamaları, yolcu memuyet, bekleme odası dzayı, bako persoel, vb. ç krtk parametrelerdr. Bu yaklaşımlar altıda, varış zamalarıda gözlee değşkeler (sıra sayısı, vb.) br MZ olarak fade edleblr. Böyle modeller aalzde doğa tekkler, havaalaı, baka, vb. yerlerde daha öcek çoklu kuyruk hzmet vere bakolarda çok, tek kuyruk çoklu hzmet vere bakoları kullaımıa öcülük etmştr. Mühedslk, sgortacılık ve tcarette stok modeller öemldr. Öreğ, mühedslkte, rastgele zamalarda, rastgele su mktarıı grdğ ve sulama ç suyu devamlı ger çekldğ br baraj düşüülürse, buda yola çıkarak oluşturula model br Markov model olarak fade edleblr [Mey ve Tweede, 25]. Bularda başka, MZ, perakedecler stok sevyes belrlemesde, üretcler üretm programlama ve plalama gb belrszlk altıdak durumlarıı celemesde, üretm süreçler optmzasyou ve kotrolüde, haberleşme ağlarıda, güvelrlk çalışmaları gb alalarda kullaılmaktadır [Y ve ark., 22].

67 53 8. MARKOV ZİNCİRİNİN TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLER ÜZERİNE UYGULANMASI 8.. Uygulamaı Amacı ve İçerğ Bu bölümde, Türkye de meydaa gele depremler statstksel aalz temele dayalı br metot ola MZ kullaılarak ssmk rsk tahm edlmes amaçlamıştır. Bu amaçla, Nava ve ark. (25) ı Japoya ç yapmış olduğu çalışmaı br bezer, öcek bölümlerde teork alt yapısı oluşturula aalzler ve tekkler yardımıyla Türkye ç yapılmış ve elde edle souçlar değerledrlmştr Uygulama Verler ve İşleyş Ssmk rsk değerledrlmes geellkle büyük ve yıkıcı depremlerle lgl olduğuda Türkye doğusuda batısıa, kuzeyde güeye her br bölge göz öüe alıarak, M M r olacak şeklde br M r eşk büyüklüğüü seçlmes gerekmektedr. Yapıla araştırmalar soucuda, ba yapısı zayıf ola Doğu Aadolu Bölges de meydaa gele 4 büyüklüğüde br depremde ble brçok saı öldüğü ve br çoğuu da evsz kaldığı görülmüş ve bua dayaarak da bu çalışmada bütü bölgeler ç eşk değer M 4 olarak alımıştır. r Çalışmamızda, ( ) Kuzey- ( ) Doğu koordatlarıda bulua Türkye Boğazç Üverstes Kadll Rasathaes ve Deprem Araştırma Esttüsü Ulusal Deprem İzleme Merkez de alıa 9-26 yılları arasıda magtüdü M 4ola deprem verler kullaılmıştır. Ssmk rsk hesaplaablmes ç öcelkle, depreme lşk bu verler aşağıdak gb derlemş ve EK- de gösterlmştr. Öreğ, tarhde ve saat : da meydaa gele deprem ç öcelkle..9 de e kadar 53 gü geçtğ bulumuş ve 9 yılı 365 gü 53 çektğde bu ver olarak odalık sayıya çevrlmştr. 365

68 tarhde ve saat 2:32 de meydaa gele deprem ç se,..9 de.5.9 e kadar 3 gü geçtğ bulumuş, verle saat güe çevrlerek gü elde edlmş ve 9 yılı 365 gü çektğde bu ver olarak odalık sayıya çevrlmştr. 365 Sora, CBS dek Deprem bölgeler hartası [Özme ve ark., 997], Bütüleştrlmş Homoje Deprem Katalogu dak Türkye ve yakı çevres ç deprem etklğ hartaları [Kalafat ve ark, 26] ve Türkye fay hatları ( Kuzey Aadolu,Doğu Aadolu,Batı Aadolu) göz öüde buludurularak, Türkye, ENLEM 39.5 se.bölge, ENLEM<39.5 ve BOYLAM 3 se 2. Bölge, ENLEM<39.5 ve BOYLAM 36 se 3. Bölge, ENLEM<39.5 ve 3<BOYLAM<36 se 4. Bölge olacak şeklde 4 bölgeye ayrılmıştır. Harta 8.. Türkye bölgelere ayrılması Br deprem katalogu ve başlagıç zamaı verldğde, her br t zama aralığıda, r. bölge durumu ola s r, M r eşk değerde büyük ya da eşt büyüklüktek depremler yokluğuu ve varlığıı belrtecek şeklde, sırasıyla, ve değerler alablmektedr. Bu çalışmada, Türkye 4 bölgeye ayrıldığıda karşılaşılablecek