TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ. Serpil ÜNAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ. Serpil ÜNAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK"

Transkript

1 TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ Serpl ÜNAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2 ANKARA

2 Serpl ÜNAL tarafıda hazırlaa TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ adlı bu tez Yüksek Lsas tez olarak uygu olduğuu oaylarım. Prof. Dr. Salh ÇELEBİOĞLU Tez Daışmaı, İstatstk Aablm Dalı... Bu çalışma, jürmz tarafıda oy brlğ le İstatstk Aablm Dalıda Yüksek Lsas tez olarak kabul edlmştr. Prof. Dr. Reşat Kasap İstatstk Aablm Dalı, Gaz Üverstes Prof. Dr. Salh ÇELEBİOĞLU İstatstk Aablm Dalı, Gaz Üverstes Doç. Dr. Gül Ergü İstatstk Aablm Dalı, Hacettepe Üverstes Tarh:2//2 Bu tez le G.Ü. Fe Blmler Esttüsü Yöetm Kurulu Yüksek Lsas dereces oamıştır. Prof. Dr. Blal TOKLU Fe Blmler Esttüsü Müdürü...

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez çdek bütü blgler etk davraış ve akademk kurallar çerçevesde elde edlerek suulduğuu, ayrıca tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışmada baa at olmaya her türlü fade ve blg kayağıa eksksz atıf yapıldığıı bldrrm. Serpl ÜNAL

4 v TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLERİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE MODELLENMESİ (Yüksek Lsas Tez) Serpl ÜNAL GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Ocak 2 ÖZET Bu çalışmada, ( ) Kuzey- ( ) Doğu koordatları üzerde bulua Türkye 9-26 yılları arasıda M 4 ola deprem verlere dayaarak, stokastk br model ola Markov zcrler le ssmk rsk tahm edlmes amaçlamıştır. Bu amaç doğrultusuda, çeştl t zama aralıklarıa göre Markov matrsler elde edlmş, bu matrsler etropler hesaplaarak, Maksmum Etrop Presb le amacımıza e uygu matrs bulumuştur. Bu matrste yararlaarak, lmt dağılımı ve bölgesel geçş olasılıkları matrs elde edlmş, durumlar arası lk geçş zamalarıı dağılımlarıı geometrk dağılıma uyup uymadığıı alamak ç k-kare aalzler yapılmıştır. Herhag br yılda. ya da 2. bölgede olablecek e az k ( k,2,3,4,5 ) tae deprem olasılıkları hesaplamıştır. Ayrıca, döem ç kestrm le model uyguluğuu (Markov matrs uygu olduğu) test ç k-kare aalz yapılmış ve bu aalz soucuda model uygu olduğu statstksel olarak kaıtlamıştır. Yapıla döem ç kestrmde %8.25 lk br başarı elde edlmştr. So olarak, 26 yılıda tbare 5 döem ç lerk zamalarda olablecek depremler üzere tahmlerde buluulmuştur. Blm Kodu : 25.. Aahtar Kelmeler: Markov zcr, ssmk rsk, etrop, Türkye de deprem Sayfa Aded : 9 Tez Yöetcs : Prof.Dr. Salh ÇELEBİOĞLU

5 v MODELLING THE EARTHQUAKES OCCURING ON TURKEY BY MARKOV CHAINS (M.Sc.Thess) Serpl ÜNAL GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Jauary 2 ABSTRACT I ths study, t s amed to predct sesmc hazard by Markov chas, a stochastc process, by meas of earthquake occurece data (magtude M 4 ad from 9 to 26) of Turkey whch betwee North ( ) -East ( ) coordates. For the purpose, Markov matrces for dfferet t s obtaed, the Markov matrces s etropes are computed ad the most correct matrx for our purpose s foud by Maxmum Etropy Prcple. By the matrx, both regoal trasto probablty matrx ad statoary dstrbuto s obtaed, whether frst passage tme dstrbuto s geometrc dstrbuto s tested by K-kare aalyss. At ay tme, the frst or secod regos, the probablty of mmum k ( k,2,3,4,5 ) earthquakes s computed. Also, whether the model s correct s tested a smulato study by K-kare aalyss. For magtudes M 4 ad tme tervals t.7 year, the method yelds a 8.25% aftcast success rate for the etre catalog. Fally, step probablty dstrbuto s estmated for fve perods after 26. Scece Code : 25.. Key Words : Markov chas, sesmc hazard, etropy, earthquake o Turkey Page Number: 9 Advser : Prof.Dr.Salh ÇELEBİOĞLU

6 v TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyuca değerl yardım ve katkılarıyla be yöledre ve her türlü desteğ esrgemeye tez daışmaım değerl hocam Prof. Dr. Salh ÇELEBİOĞLU a, Blgsayar Programlama kousudak uzma yardımlarıda dolayı Yrd. Doç. Dr. Erka Türker e teşekkürü br borç blrm. Serpl ÜNAL

7 v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...v ABSTRACT...v TEŞEKKÜR....v İÇİNDEKİLER v ÇİZELGELERİN LİSTESİ....x ŞEKİLLERİN LİSTESİ.....x HARİTALARIN LİSTESİ....x SİMGELER VE KISALTMALAR.....x. GİRİŞ DEPREM GERÇEĞİ Deprem Hakkıda Geel Blgler Deprem Parametreler Şddet-Magtüd Karşılaştırması Türkye de Deprem ZAMAN SERİLERİ STOKASTİK SÜREÇLER MARKOV ZİNCİRLERİ Grş Temel Kavramlar ve Geel Blgler Markov Zcrler Üzere Bazı Örekler Durumları Sııfladırılması Lmt Teoremler Durumları Sııfladırılması ve Lmt Dağılımlarıa lşk Bazı Örekler Potasyel ve Ede-Souda Geçş Olasılıkları Matrsler Hesaplaması ENTROPİ VE İLGİLİ KAVRAMLAR Grş....42

8 v Sayfa 6.2. Etrop Foksyouu Temel Özellkler Etrop Foksyouu Ekstremumu Bleşk Etrop Koşullu Etrop Zcr Kuralı Jayes Maksmum Etrop Presb Etrop ve Markov Zcrler MARKOV ZİNCİRİ ÜZERİNE YAPILAN BAZI ÇALIŞMALAR MARKOV ZİNCİRİNİN TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLER ÜZERİNE UYGULANMASI Uygulamaı Amacı ve İçerğ Uygulama Verler ve İşleyş Markov Zcr Aalz K-kare aalz ya da 2. bölgede e az k tae deprem olma olasılıkları Bölgesel geçş olasılıkları Lmt dağılımı Türkye de lerk zamalara at depremler durum dağılımı tahm İlk geçş olasılıkları Ortalama lk geçş zamaları SONUÇ VE ÖNERİLER...73 KAYNAKLAR EKLER EK- Deprem verler EK-2 t zama aralıklarıa göre Markov matrsler ve etrop değerler...92 EK-3 Durumlar arası geçş matrs döem sorak durumu EK-4 Durumlar arası lk geçş olasılıkları ÖZGEÇMİŞ

9 x ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çzelge Sayfa Çzelge 2.. Şddet-magtüd karşılaştırması...6 Çzelge 5.. r j durumlara göre değer Çzelge 5.2. f durumlara göre değer j Çzelge 8.. Durumlar...55 Çzelge 8.2. durumuda durumua lk geçş zamaları dağılımı...6 Çzelge durumuda 2 durumua lk geçş zamaları dağılımı...6 Çzelge durumuda 3 durumua lk geçş zamaları dağılımı...62 Çzelge durumuda durumua lk geçş zamaları dağılımı Çzelge 8.6. durumuda durumua lk geçş zamaları dağılımı Çzelge 8.7. Durumlara göre e az k tae deprem olma olasılıkları Çzelge tarhde sorak lk 5 döem ç tahmler...7 Çzelge 8.9. durumuda j durumlarıa ortalama lk geçş zamaları...7 Çzelge 4.. durumua lk geçş olasılıkları... Çzelge 4.2. durumua lk geçş olasılıkları... Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...2 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...2 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...3 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...3 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...4 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları....4 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları....5 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...5 Çzelge 4.. durumua lk geçş olasılıkları...6 Çzelge 4.2. durumua lk geçş olasılıkları...6 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...7 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...7 Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...8

10 x Çzelge Sayfa Çzelge durumua lk geçş olasılıkları...8

11 x ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekl Sayfa Şekl 5.. Örek 5.6. ç durumlar arası geçş dyagramı...33 Şekl 5.2. Örek ç durumlar arası geçş dyagramı...34 Şekl 5.3. Örek 5.7. ç durumlar arası geçş dyagramı..39

12 x HARİTALARIN LİSTESİ Harta Sayfa Harta 2.. Türkye deprem bölgeler hartası...8 Harta 8.. Türkye bölgelere ayrılması

13 x SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullaılmış bazı smgeler ve kısaltmalar, açıklamaları le brlkte aşağıda suulmuştur. Smgeler Açıklama d Peryot () f j de j ye döemde lk geçş olasılığı f j F de j ye ede-souda geçş olasılığı de j ye ede-souda geçş olasılıkları matrs H ( p) Shao Etrop Ölçütü H m ( X, Y ) Bleşk etrop H m (X \ Y) Koşullu etrop H (S) Markov sürec etrops H ( p) Etrop foksyou H (X ) X rastgele değşke etrops j de j ye ulaşılablr j de j ye karşılıklı ulaşılablr ( ve j letşml) M M r Magtüd Eşk değer N j (t) t zamaıa kadar j ye yapıla toplam grşler sayısı P j P durumuda j durumua döemde geçş olasılığı Markov matrs (Geçş matrs) (m) P j de j ye m döemde geçş olasılığı p L R durumudayke L bölgesde deprem oluşumuu koşullu olasılığı Potasyel matrs

14 xv Smgeler Açıklama s r S T X t r. bölge durumu Durum uzayı Parametre uzayı Sürec t zamaıdak durumu 2 χ hes Hesaplaa K-kare değer t 2 χ K-kare tablo değer π ' π Lmt dağılımı Markov Zcr başlagıç olasılık dağılımı π. döeme at deprem olasılıkları vektörü µ j Ortalama lk geçş zamaı t Zama aralığı Kısaltma Açıklama CBS MZ Coğraf Blg Sstem Markov Zcrler

15 . GİRİŞ İsa etks olmada meydaa gele, toplumu sosyoekoomk ve kültürel etklkler olumsuz yöde etkleye, öeml ölçüde ca ve mal kaybıa sebep ola, tamamıyla doğal etkeler ede olduğu, doğal tehlkelerle ortaya çıka olaylar olarak adladırdığımız doğal afetler arasıda deprem, e kısa sürel gelşe ve e çok kayba yol aça doğa olayıdır [Koca, 28]. Halk dlde yer sarsıtısı ve zelzele olarak da ble deprem, yıllarda ber saları yaşamlarıı, faalyetler olumsuz yöde etklemş ve bugü de etklemeye devam etmektedr. Türkye, düyaı 3 öeml deprem kuşağıda br ola Alp-Hmalaya (Akdez) deprem kuşağı üzerde yer aldığı ç değşk büyüklüklerde, çok sık olarak deprem yaşaya br ülkedr. Bugüe kadar yaşaa depremlerle Türkye, toplam ca kaybı sıralamasıda Ç, Japoya ve İtalya da sora gelmekte, acak, ca kaybıa yol aça depremler yıl olarak tekrarıda se.9 değer le brc sırada yer almaktadır [Drk, 978]. Güümüzde deprem erede, e zama ve e büyüklükte olacağıı öcede kes olarak blme ve bu yıkıcı doğa olayıı öleme mkasız olduğu kabul edlmektedr. Fakat, mevcut jeofzk, jeoloj ve deprem mühedslğ alalarıda yapıla statstksel çalışmalar bze olası deprem parametreler ve yaratacağı yer hareket şddet öümüzdek yıllara göre acak olasılıklara dayadırarak tahm edebleceğmz göstermektedr. Dolayısıyla, deprem oluşumları öleemeyeceğe göre, bu tahmlerde yola çıkarak, depreme karşı çeştl ölemler almak, böylelkle ca kayıplarıı ve hasarları br dereceye kadar azaltmak mümkü olur. Deprem sırasıda meydaa gele yer sarsıtısıı olasılıklı fadese ssmk rsk adı verlmektedr. Br başka deyşle, ssmk rsk, deprem parametreler olasılığa dayadırılarak ortaya komasıdır. Ssmk rsk değerledrlmese lşk lk grşmler, ble ya da muhtemel depremlerde meydaa gele yer sarsıtılarıı tahm etmey amaçlaya ssmk rsk hartalarıı hazırlamasıyla başlamıştır. 96 lı yılları solarıda se ssmk rsk değerledrmesde olasılıklı metotlar uygulamaya

16 2 başlamıştır [Lee ve ark., 23]. Güümüzde ssmk rsk aalzde kullaıla modeller, determstk ve olasılıklı olmak üzere k başlık altıda toplamaktadır. Depremler yer, zama ve magtüde göre rastgelelk göstermes, ssmk rsk aalzde kullaıla bu modellerde kayaklaa bazı belrszlkler (deprem kayıtlarıdak bazı eksklkler gb) ve olasılıklı modeller ssmk rsk aalzdek bu belrszlkler kattatf olarak hesaba katması göz öüde buludurulduğuda, ssmk rsk stokastk (olasılıklı) yötemlerle tahm e uygu yötem olarak görülmektedr. Bularda Posso model ve uç değer statstkler, deprem zama ve yer olarak bağımsız olduğu varsayımıa dayaırke, Markov model, elastk ger tepme kuramı le bağlatılı olarak depremler zama boyutuda bağımlılık gösterdğ varsayımıa dayadırılmaktadır [Yüceme ve Akkaya, 993]. Daha öce, yılları arasıdak Kuzey Aadolu fay hattı deprem verler kullaılarak yapıla br çalışmada, ssmk rsk aalz ç Posso, Uç değer statstkler ve Markov modeller kullaılmış ve souçlar karşılaştırılmıştır. Bua göre, deprem oluşumuu sadece zama boyutuda celeye stokastk modeller 4.5 M 6.5 magtüdlü depremler ç farklı rsk tahmler verrke, M > 6. 5 magtüdlü depremler ç bu tahmler yaklaşık olarak ayı soucu vermştr [Yüceme ve Akkaya, 993]. Ayrıca, Özel ve İal (28) ı yaptığı br çalışmada, ülkemzde yılları arasıda meydaa gele ve M 5. ola 94 yıkıcı deprem artçı şokları Brleşk Posso sürecyle modellemştr [Özel ve İal, 28]. s Bu çalışmada se, ( ) Kuzey- ( ) Doğu koordatlarıda bulua Türkye 9-26 yılları arasıda magtüdü M 4 ola deprem verler kullaılarak Markov model aracılığıyla deprem rsk tahm edlmes amaçlamıştır. Grş bölümüde araştırma problem taıtıldıkta sora, 2. bölümde deprem hakkıda geel blglere yer verlmştr. 3. bölüm, 4. bölüm, 5. bölüm ve 6. bölümde se, sırasıyla Zama Serler, Stokastk süreçler, Markov zcrler ve Etrop kavramıda bahsedlmş, 7. bölümde Markov zcrler le lgl bazı çalışmalar üzerde durulmuş,

17 3 8. bölümde se Türkye dek depremler Markov zcrler le modellemş ve elde edle souçlar yorumlamıştır.

18 4 2. DEPREM GERÇEĞİ 2.. Deprem Hakkıda Geel Blgler Yerkabuğu çdek kırılmalar edeyle a olarak ortaya çıka ttreşmler dalgalar halde yayılarak geçtkler ortamları ve yer yüzey sarsma olayıa deprem der. Br başka fadeyle, deprem, saı güvele ayağıı bastığı toprağı da oyayacağıı ve üzerde bulua tüm yapıları da hasar görüp ca kaybıa uğrayacak şeklde yıkılablecekler göstere br doğa olayıdır. Depremler oluşum mekazması hakkıda çeştl görüşler ler sürülmüştür. Bularda e çok bemsemş olaı Dr. Red tarafıda ortaya atıla Elastk Ger Sekme Teorsdr. Bu teorye göre; br yerde brkmş bulua elastk deformasyo eerjs, krtk değere ulaştığı ada artık orada bükülme ve eseme sıırı aşılmış olur. İşte burada gerlme kuvvet, kayaçları dayaıklılık sıırıı aşması soucu a br kırılma hareket görülür. Ayrıca, yeryüzüde bulua ve hareket halde ola levhaları sıırıda, karşılaşıla k levhada alta gde ve üste çıka kaatları arasıdak sürtüme sıırıı aşılması soucu meydaa gele hareket de sarsıtıya ede olmaktadır. Bu hareketler le ortaya çıka sarsıtılara deprem adı verlmektedr [Şah, 22]. Deprem asıl oluştuğuu, deprem dalgalarıı yer yuvarı çde e şeklde yayıldıklarıı, ölçü aletler ve yötemler, kayıtları değerledrlmes ve depremle lgl dğer kouları celeye blm dalıa ssmoloj ya da depremblm, depremler kaydede alete de ssmograf ya da ssmometre der. Deprem dalgalarıı kaydedlmes soucu ortaya çıka grafklere se ssmogram adı verlr. Depremler tektok, volkak ve çökme depremler olmak üzere üçe ayrılır: Tektok depremler, yer kabuğuu oluştura levhaları hareketlere bağlı olarak meydaa gele depremlerdr. Etk alaları çok geş, şddet dereceler de çok yüksektr. Yeryüzüe yasıya depremler %9 ı bu gruba grer. Türkye dek depremler tamamıa yakıı bu tür depremlerdr.

19 5 Volkak depremler, yer derlklerdek magmaı yeryüzüe çıkışı sırasıdak fzksel ve kmyasal olaylar soucu oluşa gazları yapmış olduğu patlama le meydaa gelr. Yaardağ faalyet sırasıda meydaa geldkler ç bu depremler yayılış alaı yereldr. Yurdumuzda aktf yaardağ olmadığı ç bu tür depremlere rastlamaz. Çökütü depremler, bular yer altıdak karstk boşlukları, kömür ocaklarıı ve galerler tava kısımlarıı çökmes soucu ortaya çıkar. Etkler zayıf, etk alaları çok küçüktür [Şah, 22]. Büyük heyelalar ve meteorlar da yeryüzüde küçük sarsıtılara ede olablmektedr. Bularda başka, odağı dez dbde bulua der dez depremler de vardır. Bu depremlerde sora oluşa, kıyılarda hasara da ede olable dalgalara tsuam der [Şah, 22]. Baze büyük br deprem olmada öce küçük sarsıtılar olur. Bu küçük sarsıtılara öcü depremler der. Büyük br deprem oluşuda sora da belk brkaç yüz adet küçük deprem olmaya devam etmektedr. Bu küçük depremlere de artçı depremler adı verlmektedr Deprem Parametreler Odak oktası( hposatr): Yer çdek deprem eerjs ortaya çıktığı oktadır. Dış merkez(epsatr,merkezüssü): Odak oktasıa e yakı ola yeryüzüdek oktadır. Burası ayı zamada deprem e çok hasar yaptığı ve e kuvvetl olarak hssedldğ oktadır. Şddet: Herhag br derlkte ola deprem yeryüzüde hssedldğ br oktadak etks ölçüsü olarak taımlamaktadır. Magtüd: Deprem sırasıda açığa çıka eerj br ölçüsü olarak taımlamaktadır Şddet Magtüd Karşılaştırması Magtüd le şddet arasıdak fark; magtüd, deprem kayağıda açığa çıka eerj br ölçüsü ke; şddet, deprem yapılar ve salar üzerdek etkler br ölçüsüdür.

20 6 Çzelge 2.. Şddet-magtüd karşılaştırması Şddet IV V VI VII VIII IX X XI Rchter Magtüdü Bugü düyada e yaygı olarak kullaıla aletsel büyüklük ölçeğ, Rchter ölçeğ; öte yada e yaygı şddet ölçeğ se Mercall ölçeğdr. Deprem büyüklüğüü belrlemes ç kullaıla Rchter ölçeğ br alet değl, matematksel br formüldür. Rchter ölçeğ logartmk olmasıdadır k ölçek üzerde k ardışık tamsayı arasıdak fark, yer sarsıtısıı gelğdek kat artmaya karşılık gelr. Br kaya, büyüklüğü 4 ola br depremle cm ler-ger ttreşyorsa, ayı kaya, büyüklüğü 5 ola br depremde cm'lk ttreşmler yapacak demektr. Yer ttreşmdek bu kat artışı eerj csde karşılığı se 3,5 katlık br artıştır. 5 büyüklüğüde br deprem, 4 büyüklüğüdek br depremde 3,5 kat daha fazla eerj açığa çıkarır. 6 büyüklüğüdek br depremde se, 4 büyüklüğüdek depremde eredeyse kat (3,5x3,5) daha fazla eerj açığa çıkacak demektr Türkye de Deprem Yurdumuz düyaı öeml deprem kuşaklarıda br ola Akdez deprem kuşağı (Alp Hmalaya deprem kuşağı) üzerde yer alır ve zama zama öeml sarsıtılara uğrar. Plyose ve Kuaterer jeolojk devrlerde meydaa gele faylar zama zama hareket ede aktf faylardır. Ou ç yurdumuzu öeml deprem kuşakları, bu aktf fay zou üzerde buluur. Türkye de deprem yoğu olduğu yerler şöyle grupladırmak mümküdür: Kuzey Aadolu fay kuşağı: Batıda Saros Körfez de başlayıp, Marmara dez, Adapazarı, Düzce, Bolu, Kastamou yakııda geçmek suretyle, Batı ve Orta Karadez Bölümü, Kelkt vads, Erzca, Erzurum, Bgöl de Va gölüü kuzeye kadar uzaa kuşaktır.

21 7 Doğu Aadolu fay kuşağı: Atakya da (As oluğuda )başlayıp Amk ovası, Kahramamaraş, Bgöl, Va ve Hakkar ye kadar uzaa kuşaktır. Batı Aadolu fay kuşakları: Bular Ege Bölges de ve Güey Marmara çökütü alalarıı kearlarıda yer almaktadır. Büyük Mederes, Küçük Mederes ve Gedz çökütüler, İzmr körfez kıyıları, Bakırçay havzası, Edremt körfez kıyıları, Ulubat ve Mayas göller, Bursa, Yeşehr, İegöl ve İzk depresyolarıı oluşumua ede ola faylar bu bölgede yer alır. Bua göre, Türkye de deprem e sık görüldüğü yerler; Kuzey Aadolu, Ege Bölges, Marmara Bölges (Trakya harç), Doğu Aadolu Bölges le Hatay çevresdek geç faylarla sıırlamış ola çökütü havzalarıdır [Şah ve ark., 24]. Yer kabuğudak kısa sürel hareketler soucu meydaa gele sarsıtılar ola depremler, yeryüzüü her tarafıda olduğu gb Türkye de de fay hatları boyuca görülür. Ou ç büyük fay hatları, ayı zamada deprem kuşakları olarak adladırılır. Yapıla statstklere göre topraklarımızı %92 s, üfusumuzu %95, saay kuruluşlarımızı %98, barajlarımızı se %92 s çeştl derecelerde deprem tehdd altıda bulumaktadır. Ülkemzde e fazla zarara ede ola depremlerde bazıları: 939 ve 992 Erzca depremler, 943 Ladk deprem, 995 Dar deprem, 998 Ceyha(Adaa deprem), 999 Marmara deprem le 999 Kayaşlı depremlerdr. Bayıdırlık ve İska Bakalığı ı 996 yılıda yayılamış olduğu hartaya göre, Türkye, deprem şddet açısıda (.,2.,3.,4. ve 5.derecede bölgeler olmak üzere) 5 bölgeye ayrılmıştır. Bua göre, Türkye yüzölçümüü %42 s büyük ölçüde ca ve mal kaybıa ede ola. derece deprem bölges üzerde, %24 ü se. derece deprem bölgesdeke orala braz daha az kayba ede ola 2. derece deprem bölges üzerde bulumaktadır.

22 Harta 2.. Türkye deprem bölgeler hartası 8

23 9 3. ZAMAN SERİLERİ Zama çde ardışık olarak ortaya çıka gözlemler kümes, br zama sers olarak adladırılmaktadır. Bu tp serler, stok değer, mll gelr, satış fyatı, tcar malları fyatı, vb. ç kullaılablmektedr. Bu serlerdek gözlemler, çeştl faktörlere bağlı olarak değşklk göstereblr. Bularda bazıları (fyatlardak mevsmsel değşmler, stok fyatlarıda ekoom durumua bağlı değşmler, vb.) kolaylıkla fark edleblmektedr. Değşm bu fark edleblr sebepler dışıda kala, rastgele sebeplere bağlaılablecek bazı değşmler de vardır. Böylece, zama serler fade etmek ç matematksel br model ararsak, buu ç br stokastk süreç aşkar çözümdür. Bu şeklde doğru br model verldğde, stokastk süreçler br örek foksyou olarak, gözlemş zama serler düşüüleblr. Öreğ, Aralık ayıdak yyecek fyatları, yalızca Kasım ayıdak fyatlara bağlı olmayablr. Bu, öcek aylarda kayaklaa bazı faktörler brkml etkler soucu olablr. Bua lave olarak, fyatlar zamaa bağlı olarak değşm göstereblr, ya, Kasım ve Aralık aylarıdak yyecek fyatlarıı ortak dağılımı Nsa ve Mayıs aylarıdak fyatları ortak dağılımı le ayı olmayablr. Bu edele, zama sers çalışmalarıda kullaıla stokastk süreçler, durağa veya durağa olmaya süreçler geel br sııfıa attr. Taım 3... t, t,..., t 2 T ve,2,... olmak üzere X ( t), X ( t2 ),... X ( t ) rastgele değşkeler ortak dağılım foksyou, F( x, x2,..., x; t, t2,..., t ) P[ X ( t) x, X ( t2 ) x2,..., X ( t ) x ] olarak taımlası. Bu durumda, { X ( t) : t T} stokastk sürec durağa olması ç gerek ve yeter şart, F { x, x2,..., x; t + h, t2 + h,..., t + h} F{ x, x2,..., x; t, t2,..., th} olmasıdır.

24 Taım { X ( t) : t T} stokastk sürec durağa olması ç gerek ve yeter şart, E [ X ( t)] µ ; t T ç 2 Var [ X ( t)] σ ; t T ç γ ( t, t + h) γ ( h) ; t T ç olmasıdır; burada γ, X (t) rastgele değşkeler kovaryasıdır [Bhat, 984]. Aşağıda stokastk süreçler zama serler uygulaması olarak kullaıla e temel süreçlerde üçüe örekler le değlecektr. Durağa ve durağa olmaya süreçlere lşk bu örekler [Bhat, 984] de alımıştır: Örek 3... Beyaz Gürültü sürec Ortalaması ve varyası σ 2 > ola lşksz rastgele değşkeler br dzs beyaz gürültü sürec olarak adladırılmaktadır. Bu sürec kovaryas foksyou, 2 σ ; h γ ( h) ; h olarak taımlamaktadır. Bua göre, sürec kovaryas bakımıda durağa olduğuu söyleyeblrz. Eğer rastgele değşkeler ayı dağılıma sahp olduklarıı düşüürsek, o zama da sürec tam alamıyla durağa olduğuu söyleyeblrz. Örek Hareketl ortalamalar sürec Y, lşksz rastgele değşkeler br dzs ve E [ ], { } Y V 2 [ Y ] σ Y ;,,2,... olsu. k. derecede ağırlıklı hareketl ortalama, α (,,..., k ) ler k α ola sabtler olmak üzere X α Y Y... α Y + α + + k k olacak şeklde : } { X k sürecyle taımlaır.

25 Burada, E [ ] ; k, k +,... X k V[ ] ( α σ ; k, k +,... X 2 ) 2 Y ve k h 2 ( α mα m+ h ) σ Y ; h,,..., k γ ( + h, ) γ ( h) m ; h k, k +, k + 2,... dr. { X : k} sürec kovaryas bakımıda durağadır; burada γ, hareketl ortalamalar sürec kovaryasıdır. Örek Brc derecede otoregresf süreçler Zama serlerde kullaıla dğer br stokastk model de otoregresf modeldr. { Y }, ortalamalı ve sabt varyaslı lşksz rastgele değşkeler br dzs olsu. X α + Y ;...,,,,... X ve α br sabt olarak taımlası. Bu, { X } ç br drgeme lşksdr ve buda dolayı X + Y α X X α X 2 + Y Μ Μ Μ X α N + X N + Y N + yazablrz.

26 2 Böylece, X + Y α ( αx 2 + Y ) 2 α 2 + αy X + Y Μ N α X N N + α Y olur ve burada { X } durağa olmadığıı açıkça söyleyeblrz [Bhat, 984].

27 3 4. STOKASTİK SÜREÇLER Kısaca br stokastk süreç, zama boyuca devam ede ve olasılığı kurallarıa uya br olasılık sürecdr [Doob, 953]. X t rastgele değşke değer kümes S uzayı olsu. Ayı olasılık uzayı üzerde taımlamış ve S de değerler ala br { X t : t T} rastgele değşkeler topluluğua, durum uzayı S ve parametre uzayı T ola br stokastk süreç adı verlmektedr. Öreğ, ye br kahve markası taıtımıda öce, br üretc var ola markalara göre müşter davraışlarıı celemek stemektedr. Satışta A, B, C olmak üzere 3 farklı marka olduğuu ve müşterler br kısmıı uzu süre ayı markayı satı aldıklarıı, dğer kısmıı se her defasıda marka değştrdkler düşüelm. Bu durumda, daha y br marka taıtıldığıda, müşterler çoğu yüksek olasılıkla bu ye markaya yöelecek, yalızca brkaç müşter esk markaları kullaacaktır. Bu şeklde müşter davraışlarıı ölçmek ç, ye markaı taıtımıda öces ve sorasıı e y yasıtacak bçmde br aket hazırlamış olsu. Bu aket belrl br zama peryoduda uygulası ve buu soucuda müşterler marka değştrme davraışlarıa lşk tahmler şu şeklde olsu: Br ay çde A markasıı terch ede müşterler %6 ı br sorak ay boyuca ye A markasıı, %3 u B markasıı ve % u se C markasıı terch edecektr. B markasıı terch edeler %5 s A markasıı, %3 u B markasıı, %2 s se C markasıı terch edecektr. C markasıı terch edeler se %4 ı A markasıı, %4 ı B markasıı ve %2 s se ye C markasıı terch edecektr. Dolayısıyla, A,B ve C 3 farklı durum olmak üzere müşter davraışları br stokastk süreç olarak düşüüleblr. Eğer kahve markalarıı satı alaları sayısı le lglelecekse, bu durumda bu sayı da br stokastk süreç olarak fade edleblr. Yukarıda müşter davraışları ç marka değştrme modelde herhag br t zamaıdak müşter terch 3 kahve markasıda br olablr. Bu terchler kümes { A, B, C}, br rastgele deeye lşk örek uzaydır. Bu uzayı elemalarıı t zama parametres le dslee { X t : t T} rastgele değşkeler ales olarak da

28 4 taımlayablrz. Bu süreç, br stokastk süreç olarak adladırılmaktadır. Burada sürec t zamaıdak durumuu fade etmektedr [Bhat, 984]. X, t { X t : t T} stokastk sürec, sayılablr parametreye sahp se keskl-parametrel süreç, parametreler br aralık olarak fade edlyorsa sürekl-parametrel süreç olarak adladırılır. Geelde stokastk süreçlerde parametre uzayı zama olarak fade edldğde, eğer bu uzay sıralı t olarak taımlaırsa keskl-zama sürec, br aralık olarak taımlaırsa sürekl-zama sürec olarak da fade edleblr. X t rastgele değşkeler alableceğ tüm değerler durum uzayı olarak adladırılmaktadır. Bua göre, eğer durumlar solu ya da sayılablr sosuzlukta se keskl-durum sürec, sayılamaz se de sürekl-durum sürec olarak taımlamaktadır. Bu blglerde stokastk sürec keskl-zama ve keskl-durum uzayı, keskl-zama ve sürekldurum uzayı, sürekl-zama ve keskl-durum uzayı, sürekl-zama ve sürekl-durum uzayı olarak 4 şeklde oluşabldğ görülmektedr [Akyurt, 25]. Br stokastk keskl-durum sürecde şmdk durum X blmek üzere, sürec sorak durumu X +, X, X,..., X geçmş durumlarıda bağımsız se, bu süreç Markov Zcr olarak adladırılmaktadır. Bu süreçler zleye bölümde ayrıtılı olarak ele alıacaktır.

29 5 5. MARKOV ZİNCİRLERİ 5.. Grş Moder olasılık teors çalışmaları, geçmşte yapıla deeyler souçlarıı gelecektek deeyler etkledğ rastgele (stokastk) süreçler üzere yoğulaşmıştır. Bu yaklaşımda, geçmşte ver olarak alıa souçları gelecektek souçları etkledğ düşüülmektedr [Grstead ve Sell, 997]. Bu düşücede yola çıkarak, 97 yılıda A. A. Markov ked adıyla aıla br stokastk süreç üzere çalışmaya başlamış, çalışmalarıı gelecektek souçları yalızca şu adak souçta etklemes üzere kurmuştur [Akyurt, 25]. Markov sürec olarak taıa bu yaklaşım güümüzde fzk, byolojk, sosyal blmlerde ve hatta mühedslk, tcar gb br çok alada uygulama mkaı bulmuştur ve bu uygulamalar her geçe gü artmaktadır. Bu sebeple, Markov süreçler, stokastk süreçler teorsde çok geş ve öeml br bölüm teşkl etmektedr. Markov süreçler, halhazırda sürece lşk değerler bldğde, sürec gelecektek değerler geçmşte koşullu olarak bağımsız olduğu süreçlerdr [Çılar, 997] Temel Kavramlar ve Geel Blgler { :,,2,...}, solu ya da sayılablr sosuz durum uzayıa sahp br stokastk X süreç olsu. Aks belrtlmedkçe, sürec durum uzayıı egatf olmaya tamsayılar kümes ola S {,,2,...} le göstereceğz. X se, sürec aıda durumuda olduğu söyler. Süreç durumudayke br sorak döemde j durumuda olma olasılığı P j le gösterlr.,,...,,, j sürec durumları ve olmak üzere P } P { X + j X, X,..., X, X } P{ X + j X j

30 6 özellğ sağlaya X { X : N} stokastk sürece Markov Zcr (MZ) adı verlmektedr. Bu taıma göre, br MZ, herhag br ç, şmdk durum X verldğde, sorak durum X + X, X,..., X geçmş durumlarıda koşullu olarak bağımsız olduğu, br başka deyşle Markov özellğ sağladığı rastgele değşkeler dzsdr [Ross, 996]. P j, durumuda j durumua br döemde (br-adımlık) geçş olasılığı olarak taımlamaktadır. Dolayısıyla, br-adımlık geçş olasılığı zama parametresde bağımsız olduğuda, ya MZ homoje olduğuda, MZ durağa geçş olasılığıa sahp olduğu söyler ve şu şeklde de yazılablr [Akyurt, 25]: P ;, j S { X + X } P(, j) P j Taım 5.2.., j S ç elemaları P j ler ola br P P P Μ P Μ P P P Μ Μ P P P 2 2 Μ 2 Μ Μ... Μ matrs ele alalım. a) Herhag k, j S ç P j b) Her S ç P özellkler sağlaya P matrse S durum uzayı j j üzerde br Markov matrs (geçş matrs) der [Ross, 996]. Teorem X { X : N} br MZ olsu. Herhag m, N ; m ve, 2,..., m S ç P { X +, X + 2 2,... X + m m, X } P P... P 2 m m dr.

31 7 Souç S durum uzayı üzerde MZ π başlagıç olasılık dağılımı verls. Ya, P { X } π (), ( S ç) olsu. O zama m N ve,, 2,... m S ç P { X, X,..., X m m} ( ) p p... p 2 m m π....(5.) olur. Bu soucu sözle fade edecek olursak; her m ç X,..., X X m ortak dağılımı, π başlagıç dağılımı ve P geçş matrs bldğde hesaplaablr. Taım Herhag br -adımlık geçş olasılığı, m N olmak üzere, MZ durumuda j durumua P{ X ( ) j X m } Pj ; j S ve N m+, ( ) ( ) olarak taımlamaktadır. Burada, P [ P ] olup, özel olarak ç P I dır [Çılar, 997]. j Teorem Chapma-Kolmogorov deklemler -adımlık geçş olasılıklarıı hesaplayablmek ç br metot verr: ( m+ ) ( ) ( m) Pj Pk Pkj ; m, N ve, j S k dr. ( m+ ) İspat: P P X j X } { j m+ k P{ X m+ j, X k X } k P { X m+ j X k, X } P{ X k X }

32 8 k ( m) ( ) k P kj P -adımlık geçş olasılıkları () P j ler matrs () P le gösterrsek, P P P ( m+ ) ( m) ( ) olur. Böylece ( ) ( ) ( 2) P P. P P. P. P... P dr [Ross, 996]. İzleye Örek 4.3.-Örek [Çılar, 997], Örek [Akyurt, 25; Hoel ve ark., 25], Örek [Akyurt, 25] de alımıştır Markov Zcrler Üzere Bazı Örekler Örek Beroull sürecde başarıları sayısı N, herhag br deemede başarı olasılığı p ola tae Beroull deemesdek başarıları sayısıı gösters. P { N + j N, N,... N } P{ N + j N } olduğuda { N : N} br MZ dr.

33 9 Gerçekte } { }, { } N { N P N j N P j N P P j + + } { }, { N P N j N N P + } { } { } { N P N P j N N P + { } j N N P + { } j X P +, ; ; ; j j q j p yazılablr. Dolayısıyla, } : { N N durum uzayı N S ola br MZ dr. Bu MZ geçş matrs aşağıdak gb yazablrz: Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ q p q p q P Bu MZ de -adımlık geçş olasılıkları şöyledr: } { } N { m ) ( j N N P j N P P m m m j + + { } j N P j q p j j j j + + +,..., ; )! )!( (!

34 2 Örek Bağımsız Deemeler Sürec X,...,, X X ler ortak dağılımı, P{ X π ( k); k,,2,... k} ; k < ola bağımsız keskl rastgele değşkeler olsu. olduğuda X,..., +, X, X X de bağımsız P{ X + j X, X,... X } P{ X + j } ve X, + X de bağımsız olduğuda P{ X + j X } P{ X + j } dır. Dolayısıyla, P{ X + j X, X,..., X } P{ X + j X } olduğuda { X : N} br MZ dr. Bu MZ durum uzayı, S {,,2,...} N dr ve P j P{ X + + j X } P{ X j} π ( j) olduğuda geçş matrs,

35 2 π () π () π () π () P Λ Λ Λ Λ Λ Λ π (2) Λ π (2) Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ bçmde yazılablr. Bu MZ de m ç P m P dr. Örek Bağımsız Rastgele Değşkeler Toplamı Y, Y2,... ler olasılık dağılımı { p k ; k,,2,...} ola bağımsız ve ayı dağılımlı keskl rastgele değşkeler olsu. X ; Y Y;,2,... olarak taımlayalım. Bu durumda, X + X + Y+ dr ve Y +, X, X,..., X de bağımsız olduğuda P { X + j X, X,..., X } P{ X + Y+ j X, X,..., X } + P{ X j X } dr. Dolayısıyla, { X : N} br MZ dr. Bu MZ geçş olasılıkları, P{ X + j X } P{ X + Y+ j X } P{ Y + j X } (5.2)

36 22 p P{ Y k} P{ Y+ j X } p j X k dr. Dolayısıyla, Eş. 5.2 de P{ X + j X } p j X ; j X {,,2,...} yazablrz. Bua göre, durum uzayı S {,,2,...} olmak üzere { X : N} MZ geçş matrs aşağıdadır: P p p p2... p p... p Örek Rastgele Yürüyüş Model Br MZ durum uzayı,, µ, µ 2, µ 3,... tamsayıları le, olasılıkları da, P ;, + p P, < p < le fade edlrse, bu MZ e rastgele yürüyüş model der. Burada, br sorak peryottak (döemdek) durumu br öcek peryoda (döeme) bağlı olduğu açıktır, bu sebeple Markov özellğ sağlamış olur. Bu model braz daha geel br bçm zleye paragrafta verlmştr. A, A2,... ler ortak olasılık foksyou f ola tamsayı değerl bağımsız rastgele değşkeler ve X, A lerde bağımsız, tamsayı değerl br rastgele değşke olsu. X X + A A olarak taımlaırsa, { X ; } dzse br rastgele yürüyüş der. Bu durumda p j X ler, durum uzayı tamsayılar ve geçş foksyou P(, j) f ( j ) ola br MZ oluşturur. Buu doğruluğuu kaıtlamak ç X ı dağılımıı π le gösterelm.

37 23 O zama P { X,..., X } P{ X, A,..., A } P { X } P{ A }... P{ A } π ( ) f ( )... f ( ) π ( ) P(, )... P(, ) π ( ) p... p yazablrz. Böylece Eş. 5. sağlamış olur. Bu MZ e göre, tamsayılar üzerde br parçacığı hareket ettğ düşüelm. Bu parçacık, de e zama olursa, asıl orada olduğua bakılmaksızı, f ( j ) olasılığı le j durumua sıçrar. Özel br durum olarak, f ( ) p, f ( ) q ve f ( ) r ola br bast rastgele yürüyüş model düşüelm. Burada, p, q ve r egatf olmaya ve toplamları e eşt ola değerlerdr. Bua göre, geçş foksyou, (, j) p P j p; j + q; j r; j ; d. h. şekldedr.

38 24 Br parçacığı böyle br rastgele yürüyüş modele sahp olduğuu düşüelm. Eğer bu parçacık verle br gözlemde durumuda se, o zama br sorak gözlemde p olasılığı le + durumua, q olasılığı le durumua sıçrayacaktır ve r olasılığı le ayı durumuda kalacaktır. Örek Kumarbazı İflası Problem Br kumarbazı her oyuda br para brm kazama olasılığı p, br para brm kaybetme olasılığı da p le taımlası. Kumarbaz oyuu acak k şartla bırakır; ya eldek para sıfıra düşecektr (flas) ya da N para brme ulaşacaktır. Bu durumda MZ geçş olasılığı şu şeklde oluşacaktır: P ;, + p P,,2,3,..., N P P NN Yukarıdak deklem rastgele yürüyüş modelyle ve N durumları harcde uyuşmakta, fakat oyu ya da N durumua grdğde br daha burada çıkamamaktadır, bu k duruma yuta durum der. Öreğ, br kumarbazı elde zamaıda (başlagıçta) 2 Türk Lrası (TL) kadar para vardır. Bu kumarbaz her seferde TL yatırableceğ br oyu oyadığıda, kazaırsa yatırdığı TL y ve br o kadar parayı daha alıyor, kaybetme durumuda se yatırdığı para ger verlmyor. Para 4 TL ye ulaştığıda ya da bttğde se oyu soa eryor. Dkkat edlecek olursa t + oyu sora elde ola para mktarı, t. oyuda sora eldek kala para mktarıa bağlıdır. Bu da bu durumu br MZ olduğuu göstermektedr. Oyuu kuralları da zama çde değşmedğde MZ durağadır. Aşağıda gösterle geçş matrsde, durum olarak taımlaa, elde bulua paradır:

39 25 p p P p p. p p Geçş matrsde, p p olduğu görülmektedr, ya ya da 4 TL para 44 brme ulaşıldığıda oyu btmektedr, durum değşmemektedr. Dğer durumlarda se kaybetme olasılığı p, kazamaı olasılığı se p olduğu görülmektedr Durumları Sııfladırılması Taım Eğer de j ye solu adım souda ulaşılablyorsa, j durumu ulaşılablrdr. Ya,, j S olmak üzere ( ) P > olacak şeklde varsa j j ( ) P > olacak şeklde varsa j j ( de j ye ulaşılablr); ( j de ye ulaşılablr); ( ) ( m) P > olacak şeklde ve P > olacak şeklde m varsa j j ( ve j letşml) dr; br başka deyşle karşılıklı olarak ulaşılablrdr. j Karşıt olarak, ( ) ç P se de j ye ulaşılamaz j ( ) ç P se j de ye ulaşılamaz j ( ) ( ) ( ) ( ) ç P ya da P ya da hem P hem de P se, ve j letşml değldr. j j j j İletşml durumları bazı özellkler aşağıda verlmektedr:

40 26 () ; j ) Yasıma özellğ: Pj δ j ç ; j 2) Smetr özellğ: Eğer j se, o zama j 3) Geçşllk özellğ: Eğer j ve j k se, o zama k dr [Bhat, 984]. Taım Br durumuu peryodu d, P olacak şeklde bütü tamsayılarıı e büyük ortak böle olarak taımlamaktadır. d se, duruma aperyodk durum der [Bhat, 984]. ( ) Teorem Eğer j se, o zama d ( ) d( j) dr. Ya, bu teoreme göre, letşml durumlar ayı peryot değere sahptr [Ross, 996]. Taım MZ de j ye döemde lk geçş olasılığı taımlaır: () fj aşağıdak gb f ( ) j p b j ; p j E { j} f ( ) bj ; 2,3,... Taım ( ) f j f j değere MZ de j ye ede-souda geçş olasılığı veya de j ye her adımda geçş olasılığı der. Taım j de başlaya sürec j ye ede-souda ger döme olasılığı ola f se, j ger döüşlüdür [Çılar, 997]. jj Taım ger döüşlü olmak üzere, durumua lk ger döüş ç gereke ortalama geçş sayısı,

41 27 ( ) f µ le gösterlr. Ayı durumlara lk ger döüş ç gereke geçşler sayısı tekrarlama zamaı ve µ de, durumuu ortalama tekrarlama zamaı olarak adladırılır. µ de yararlaarak, br ger döüşlü br durumu etksz ya da etkl ger döüşlü olarak asıl sııfladırıldığıı açıklayalım: a) ger döüşlü br durum olmak üzere, durumuu etksz ger döüşlü olması ç gerek ve yeter şart, µ olmasıdır. b) ger döüşlü br durum olmak üzere, durumuu etkl ger döüşlü olması ç gerek ve yeter şart, µ < olmasıdır. Solu durum uzaylı br MZ ç µ ( S ) soludur. Böylece, yalızca durum uzayı sayılablr sosuz olduğuda durumlar etksz ger döüşlü olablr. Taım Eğer f < se ye geçşl durum der. Ya, süreç durumudayke poztf br olasılıkla bu duruma ede souda ger döüş yapamıyorsa, durumu geçşldr. geçşl se µ dır [Bhat, 984]. Ger döüşlü ya da geçşl gb durumları sııfladırılmasıa başka br krter () P olasılıkları kullaılarak verleblr: Teorem durumu ger döüşlü se ( ) P, geçşl se ( ) P < dur. İspat: j durumudak br süreç, olasılıkla ye j ye ger döüyorsa, j ger döüşlüdür. Markov özellğ le süreç j ye ger döüşte sora ye j de başlayacak, ye olasılıkla j ye tekrar ger döecektr. Bu tekrarlaışta, olasılıkla

42 28 j ye yapıla grşler sayısı sosuz olacak ve böylece beklee değer de sosuz olacaktır. Dğer tarafta, j geçşl olduğuu düşüelm. Bu durumda, süreç her defasıda f poztf olasılıkla j ye tekrar ger dömeyecektr. Böylece, varışları jj sayısı geometrk dağılıma sahp olacak ve beklee değer göre, j ger döüşlü olması ç gerek ve yeter şart, f jj olacaktır. Bua E[ j ye varışları sayısı X j] olmasıdır. I ; X j ; d. d. olarak taımlaırsa, I, j ye yapıla varışları sayısıı göstermektedr. Burada E [ I X j] E[ I X j] P ( ) jj elde edlr. Yukarıdak teoremde de görülmektedr k, geçşl br durum yalızca solu sayıda zyaret edleblr. Burada şu souç çıkmaktadır: Solu duruma sahp br MZ bütü durumları geçşl olamaz. Terse, durumları,,..., M olduğuu ve bütü bu durumları da geçşl olduğuu düşüelm. O zama solu br zama sora ( T da sora) durumua hç zyaret olmayacak, br zama ( T de sora) sora durumua hç zyaret olmayacaktır. Bu şeklde devam edlrse, solu br T Max T, T,..., T } { 2 M

43 29 zama sora hçbr duruma zyaret olmayacaktır. Fakat, süreç T zamaıda sora bazı durumlarda olduğuda br çelşk olacaktır. Bu da durumlarda e az br ger döüşlü olması demektr [Ross, 996]. Teorem Eğer döüşlüdür [Bhat, 984]. j ( ve j letşml) ve ger döüşlü se, o zama j de ger Teorem Eğer j ve j ger döüşlü se f dr [Ross, 996]. j Taım durumuu yuta br durum olması ç gerek ve yeter şart, P olmasıdır. () Taımda da açıkça görülmektedr k, yuta durum se f P dr. Bu durumda µ dr ve bu da etkl ger döüşlü br durum olduğuu gösterr [Bhat, 984]. N j (t) le t zamaıa kadar j ye yapıla grşler sayısıı gösterelm. Eğer j ger döüşlü ve X j se, o zama süreç j ye grş yaptığıda { N j ( t) : t }, ( ) { f jj, } varışlar arası dağılımıa sahp br yeleme sürecdr. Eğer X, j ve j ger döüşlü se, o zama { N j ( t) : t }, { fj, } başlagıç varışlar arası dağılımıa sahp geckmel yeleme sürecdr [Ross,996]. ( ) Taım A N br küme olsu. Eğer A kümes dışıdak durumlara A ı çdek durumlarda ulaşılamıyorsa, A kümese kapalı küme der. Taım Eğer br kapalı küme kedsde başka hçbr kapalı öz altkümes yoksa, bu kümeye drgeemez küme der.

44 3 Taım Eğer br MZ de bütü durumları oluşturduğu küme keds, ya S, drgeemezse, bu zcre drgeemez zcr der. Br MZ drgeemez bütü durumlarda brbre ulaşılablr [Çılar, 997] Lmt Teoremler Teorem Eğer ve j letşml se, o zama ) P{lm N ( t) / t / X } t j µ jj ( k ) 2) lm P j / / µ jj k 3) Eğer j aperyodk se, o zama lm P j / µ jj 4) Eğer j peryodu d se, o zama lm P jj d / µ jj ( ) ( d ) dr [Ross, 996]. Etkl ya da etksz ger döüşlü durumları sııfladırılmasıa başka br krter de olasılıkları kullaılarak verleblr: π j d ( j) jj Teorem π lm P olmak üzere j π > se j durumu etkl ger döüşlüdür. j π se j durumu etksz ger döüşlüdür [Ross, 996]. j Teorem Eğer X, solu duruma sahp drgeemeye aperyodk br MZ se, o zama π '. P π ' π '.

45 3 deklem sstem tek ve poztf br çözümü vardır. π ( π, π,..., π ) verldğde ' 2 s lm P aşağıdak gb olacaktır: lm P π π2... πs π π... π π π2... πs 2 s Burada da aşağıdak deklem yazılablr: π j lm P j π ( π, π,..., π ) şeklde verle bu vektör, sürec lmt dağılımı olarak adladırılır ' 2 s [Akyurt, 25]. Taım Eğer P j P Pj ; j se { P j : j } olasılık dağılımıı MZ ç durağa olduğu söyler. Eğer X ı olasılık dağılımı P j P{ X j} ; j durağa se, o zama P { X j} P{ X j X } P{ X } P j P j P dr ve tümevarımla

46 32 P { X j} P{ X j X - } P{ X } P P j P j elde edlr. Burada şu souç çıkmaktadır: Eğer başlagıç olasılık dağılımı durağa se, o zama ç X ler ayı dağılıma sahptr. { X : } br MZ olmak üzere, her br ve m ç X, X +,..., X + m ayı ortak dağılıma sahp olacaktır. Dğer br fadeyle, { X : } durağa br süreç olacaktır. Teorem İdrgeemez aperyodk br MZ aşağıda verle k sııfta bre attr: ) Bütü durumlar ya geçşl ya da etksz ger döüşlü se, bu durumda, j ç ( ) ke P dır ve durağa dağılım söz kousu değldr. j 2) Bütü durumlar etkl ger döüşlü se, π lm P > olması demektr k, j bu durumda { π : j,,2,...} durağa br dağılımdır ve başka durağa dağılım yoktur [Ross, 996]. j ( ) j

47 Durumları Sııfladırılması ve Lmt Dağılımlarıa İlşk Bazı Örekler Örek Durum uzayı S {,2,3,4,5 } ve geçş matrs P ola MZ ç a) Durumları sııfladıralım. b) Başlagıçta 5 durumuda bulua MZ 3 adımda durumua lk geçş olasılığıı bulalım. Çözüm: a) Şekl 5.. Örek 5.6. ç durumlar arası geçş dyagramı {,2,3} kapalı küme, etkl ger döüşlü ve peryodk { 4,5} geçşldr.

48 34 (3) 5 b) f? YOL: OLASILIK: (.4)(.2)() (.4)(.3)(.4) (.4)(.4)(.4).64 (3) f Örek Durum uzayı S {,2,3,4,5 } ve geçş matrs aşağıda verle MZ ç a) Durumları sııfladıralım. b) Başlagıçta 4 durumuda bulua zcr 3 durumua ede souda geçş olasılığıı bulalım. c) Başlagıçta 4 durumuda bulua zcr 3 durumua ortalama lk geçş zamaıı bulalım. Çözüm: a) Şekl 5.2. Örek ç durumlar arası geçş dyagramı

49 35 {,2,3} kapalı küme,etkl ger döüşlü ve aperyodktr. { 4,5} geçşl durumdur. b) f 34? m yol f (.4) (.6)(.4) (.6) (.4) k k (.6) (.4) ( k ) f 43 k f ( k ) 43 k (.6) k (.4) (.4)[ + (.6) + (.6) (.4) ] c) E[ T] k. f 43 k ( k ) k k.(.6) k (.4) p Örek X, durum uzayı S {,2,3 } ve geçş matrs.4 P ola MZ lmt dağılımıı (π ' olasılık vektörüü) bulalım.

50 36 Çözüm: π '. π ' P ( π π π ) ( π π π ) π π 5π π π π π π + π π π.5π +.5π 3. 3π π π 45π π π π π π '. ( π π 2 π 3 ) π + π 2 + π 3 π k alarak π 2 + π 3.3π +.5π 5 deklemler çözdüğümüzde, 2 3 π 8.25k ve k 2 π buluur. π + π + π k k k 2 3 π. 77, π. 625, π 3. π, π, π ) (.77,.625,.298) ( 2 3 olarak buluur Potasyel ve Ede-Souda Geçş Olasılıkları Matrsler Hesaplaması C, kapalı kümeler (ger döüşlü ya da yuta durumları kümes) ve D se bütü geçşl durumları kümes göstermek üzere, P geçş matrs aşağıdak gb ayrıştırmamız mümküdür: P C D C D K L Q

51 37 Taım r j, de başlaya MZ j ye yaptığı ortalama geçşler sayısı olmak üzere, R [ r j ] matrse, X sürec Potasyel matrs adı verlmektedr. r j ; f j ; f j > R matrs elde edlmes ç aşağıdak tabloyu kullaablrz: Çzelge 5.. r j durumlara göre değer f, de j ye ede souda geçş olasılığı olmak üzere, [ ] j etmek ç aşağıdak tabloyu kullaablrz: F matrs elde f j

52 38 Çzelge 5.2. f j durumlara göre değer Örek X, durum uzayı S {,2,...,7} ve geçş matrs,.5.8. P ola br MZ olsu. a) Durumları sııfladıralım. b) R matrs hesaplayıp yorumlayalım. c) F matrs hesaplayıp yorumlayalım.

53 39 Çözüm: a) Şekl 5.3. Örek 5.7. ç durumlar arası geçş dyagramı C {,2} kapalı küme, etkl ger döüşlü ve aperyodktr. C 2 {3,4,5} kapalı küme, etkl ger döüşlü ve peryodktr ( d 2 ) D {6,7} geçşl durumdur. K b) P geçş matrs P L Q olacak şeklde aşağıdak gb ayırablrz: Q S ( I Q)

54 4 Bu durumda,. R Öreğ, r 77 : 7 de başlaya MZ 7 durumua ortalama.75 kez geçş yapar c) B C C G SB f 66, r r67.25 f 67, r r76.5 f 76, r f 77. r Bu durumda,... F

55 4 Öreğ, f tür [Çılar, 997]. : 6 da başlaya MZ 6 durumua ede souda geçş olasılığı

56 42 6. ENTROPİ VE İLGİLİ KAVRAMLAR 6.. Grş Olasılık, br tek olayı ortaya çıkışıa at belrszlğ ölçerke, etrop, br olaylar topluluğua at belrszlğ ölçer [Karl ad Taylor, 975]. Br başka deyşle, etrop, br ssteme at belrszlk düzey ölçümüdür. Herhag br olayı ortaya çıkma olasılığı, bell sevyede bu olayı gerçekleşp gerçekleşmeyeceğ hakkıda belrszlğ göstergesdr. Öreğ; br para atışıda yazı ya da tura gelp gelmeyeceğ, br zar deeyde 3 gelp gelmeyeceğ br belrszlk taşır [Grftoğlu, 25]. Bu kou üzere çalışmalar yapa Shao a göre, br olay hakkıda blg edlmes, o olayı belrszlk çermes halde söz kousu olablr. Bua göre, ortaya çıkma olasılığı yüksek olayları meydaa gelmes fazla blg getrmemekte, akse, olasılığı düşük olayları oluşması daha fazla blg taşımaktadır [Özkul, 2]. Souçlarıı olasılığı le lşkledrlmş belrszlk Olasılıklı belrszlk olarak adladırılır. Olasılıklı belrszlk durumuda belrszlğ ölçütü olarak olayı gerçekleşme olasılığı dkkate alıır. Bu durumda farklı olasılık dağılımlarıı olarla lşkledrlmş farklı belrszlklere sahp olduğu söyleeblr. Olasılıkları yoğulukları arttıkça lgl olasılık uzayıı belrszlğ azalır. Öreğ; yazı ya da tura ç (.5,.5) olasılık dağılımıı etrops, br pyagoda kazamaı (,.99999) olasılık dağılımıı etropsde çok daha fazladır [Grftoğlu, 25]. Taım 6... X rastgele değşke alableceğ değerler x, x,... x } ve bu değerlere karşılık gele olasılıklar { 2 p ( x ) p( X x ) p ;,2,... olsu.

57 43 X rastgele değşke etrops, H ( X ) H ( p) c p log p dr. Burada, c, poztf keyf br sabttr ve logartma tabaı 2 olduğuda geellkle c olarak alıır. Ayrıca, log olarak kabul edlmektedr [Karmeshu ve Pal, 23] Etrop Foksyouu Temel Özellkler Br rastgele değşke alableceğ değerler x ve x 2 olsu. Aldığı bu k değer olasılıklarıı eşt olmadığı, ya P( X x) p, P( X x2 ) p olduğu durumda, H ( p) p log p ( p)log( p) etrop foksyou elde edlr. H ( p) etrop foksyou, kokav br foksyodur ve p ya da p ke H ( p) değer alır. Zate bldğ gb, olasılığı ya da olması durumuda rastgelelk, dolayısıyla da belrszlk yoktur. Bezer olarak, etrop foksyou maksmum değer p.5 de alır k; bu durumda belrszlk maksmumdur. Etrop foksyou, X rastgele değşke aldığı değerlere değl, sadece olasılıklarıa bağlıdır. Ayrıca, etropy log beklee değer olarak da taımlamak p( x) mümküdür. p ( x) olduğuda log p( x) dır. Dolayısıyla, H ( X ) dır [Grftoğlu, 25]. p Taım (Shao Etrop Ölçütü) ç p ve olmak üzere, p p, p,..., p ) br olasılık dağılımı olsu. Bu dağılım ç Shao etrop ölçütü, H ( 2 ( p) p l p dır [Grftoğlu, 25].

58 Etrop Foksyouu Ekstremumu H ( p) p l p.....(6.) etrop foksyou, p, p,..., p ) olasılıklarıa bağlı çok değşkel br ( 2 foksyodur ve burada p, p,..., p ) değşkeler arasıda ( 2 p p p...(6.2) + 2 koşulu vardır. Eş. 6. ve Eş. 6.2 altıda koşullu ekstremumuu celemek ç Lagrage yötem kullaablrz. Lagrage foksyou, L p l p λ ( p ) (6.3) şekldedr. Bu foksyo Eş. 6. ve Eş. 6.2 altıda ekstremuma sahpse Eş. 6.3 ü kısm türevler sıfıra eşt olmalıdır. Koşullu Ekstremum u varlık teoreme göre, bu foksyou kısm türevler sıfıra eşt olduğu oktalar, krtk oktalardır. Acak, etrop foksyou kokav br foksyo olduğuda elde edle krtk oktalar etrop foksyouu maksmze edecek değerler olacaktır. Krtk oktaları elde etmek amacıyla kısm türev alıdığıda, L p (l p + ) λ l p λ l p + λ l p λ p e λ elde edlr. Böylece, λ değer aşağıdak gb buluur: λ p p2... p e değerler Eş. 6.2 de yere yazarsak, e λ + e λ e λ. e λ

59 45 e λ λ l λ l dr. Bulua λ değer p de yere koulmasıyla da p e λ e l + ;,2,... krtk oktaları bulumuş olur. Krtk oktaları etrop foksyouda yere yazılması le H ( p) l( ) l( ) l (6.4) fades elde edlr. Eş. 6.4, Eş. 6. foksyouu Eş. 6.2 altıda maksmum değer olarak taımlaablr. Bu durumda, H ( p) etrop foksyou maksmum değere, ya, tüm olasılıkları eşt olduğu U (,,..., ) le fade edle keskl düzgü dağılım hale ulaşır [Grftoğlu, 25] Bleşk Etrop X ve Y, ayı olasılık uzayı üzerde taımlamış k rastgele değşke olsu. p p x, y ) P( X x, Y y ) ;,2,..., ve j,2,..., m j ( j j olmak üzere, X ve Y rastgele değşkeler bleşk etrops, H m ( X, Y ) m j olarak taımlaır. p j log p j

60 46 p m j p j P( X x ) ;,2,..., ; p p p + 2 q j pj P( X x j ) ; j,2,..., m ; q q q + 2 m olmak üzere, X ve Y rastgele değşkeler bağımsızlık koşuluu sağlaması edeyle fade elde edlr: p p q yazılablr. Bu durumda, brleşk etrop formülüde aşağıdak j j H m ( X, Y ) m j p q j log( p q ) j m j p q (log p j + log q ) j m m pq j log p j j m p q j logq ( q j )( p log p ) ( p )( q m j j j q H ( X ) + j p H ( Y ) m j j logq j ) p m q j j ve olduğuda H ( X, Y ) H ( X ) H ( Y )......(6.5) m + m dr. Böylece, etrop toplamsallık özellğ spatlamış olur [Grftoğlu, 25] Koşullu Etrop X ve Y bağımlı k rastgele değşke olsu. Y rastgele değşke değer y j verldğde, X rastgele değşke hakkıdak belrszlğ mktarıı göstermek ç

61 47 H m ( j j j X y ) p( x y )log p( x y )...(6.6) etrops taımlaır. Eş. 6.6 dak bütü y ler üzerde ortalama alıdığıda H m m ( X Y) q( y ) p( x y )log p( x y j) j j j j elde edlr ve koşullu olasılık taımıda p x, y ) p( x y ) q( y ) yazılırsa, bu durumda koşullu etrop, H m m ( X Y) p( x, y )log p( x y j) j j ( j j j olarak buluur. Bezer şeklde, H m ( Y X) m j p( x, y j )log q( y j x ) dr [Grftoğlu, 25] Zcr Kuralı X ve Y k rastgele değşke olmak üzere H ( X, Y ) H ( X ) H ( Y X )....(6.7) m + m dr. Zcr kuralıı bazı souçları aşağıdak gb verleblr: Souç X ve Y rastgele değşkeler bağımsız se, ya, P ( Y X) P(Y) se H ( X, Y ) H ( Y ) m m olur ve Eş. 6.7,

62 48 H ( X, Y ) H ( X ) H ( Y ) m + m olarak Eş. 6.5 e döüşür. Souç (5.6.) eştlğ le verle zcr kuralı ayı zamada H ( X, Y ) H ( Y ) H ( X Y )...(6.8) m m + m olarak da yazılablr. Eş. 6.7 ve Eş. 6.8 de H ( X ) + H ( Y X ) H ( Y ) H ( X Y ) m m + m elde edlr. Souç X rastgele değşke Y rastgele değşke tamame açıklıyorsa, br başka deyşle, P ( Y X ) se, X var olduğuda Y kes vardır ve bu durumda H ( X, Y ) H ( X ) m olur [Grftoğlu, 25] Jayes Maksmum Etrop Presb Shao, etrop ölçütüü maksmum yapmayı ve ortalama değer kısıtlarıyla eşzamalı tutarlı dağılımı seçmey öerr. p x, x2,..., x değerler sırasıyla p, p2,..., olasılıkları le ala br X rastgele değşke ele alısı. Maksmum p Etrop Presb, p (,2,... ) ve olması dışıda X rastgele değşke hakkıda hç br şey blmedğmzde, tekdüze dağılımı bzm blgmz e tatm edc temslcs olduğuu varsaya Laplace ı ülü yetersz sebep lkes doğal br uzatısıdır. Jayes e göre, eğer maksmum etropde daha az etrops ola br dağılım seçlrse, etropdek bu drgeme, blçl ya da blçsz kullaılmış ola bazı lave blgde gelmş olablr. Acak böyle blgler verlmedğde, etrops az ola dağılımı kullamak doğru olmayacaktır. Böylece, sadece maksmum etropye sahp ola dağılım kullaılmalıdır [Grftoğlu, 25].

63 Etrop ve Markov Zcrler, j S ç olasılığı p ve verlmşke j koşullu olasılığı da p ( j) olmak üzere, Markov süreçler ç etrop H (S) le gösterlr ve p j H ( S) p p ( j)log 2 p ( j) olarak taımlaır. j

64 5 7. MARKOV ZİNCİRİ ÜZERİNE YAPILAN BAZI ÇALIŞMALAR Bu bölümde, MZ üzere yapıla bazı çalışmalar celeerek, MZ hag blm dallarıda kullaıldığı, yapıla çalışmalarda asıl br yol zledğ ve bu çalışmalarda elde edle souçlar üzerde durulmuştur. MZ uygulamalarıa br yaklaşım olarak Rüzgar (23) ı çalışması verleblr. Bu çalışmada amaç, mevcut durumlarda hareketle, alacakları tahsl edlme oralarıı Markov zcrler yardımıyla belrlemektr. Buda yola çıkarak, br şletmeye at br yıllık alacak kayıtları celemş ve br yıl çdek aylık alacak sayıları tespt edlmştr. Peş, (),,2,.2 ay vadel ve br yılda uzu vadel alacaklar olmak üzere 4 durum taımlamış ve p j,. aydak alacağı j. ayda tahsl edlme oraı olacak şeklde geçş matrs oluşturulmuştur. Daha sora, bu matrs dege durumu celemş ve buu soucuda şletme alacaklarıı yüzde kaç olasılıkla hag ay tahsl edebleceğ bulumuştur [Rüzgar, 23]. MZ uygulamalarıa dğer br yaklaşım olarak Alp (27) çalışması verleblr. Bu çalışmada amaç, eğtme ye başlaya br öğrec eğtm hag aşamasıa kadar devam edebleceğ olasılıklarla belrleyerek, eğtm yede stele bçmde plalaablmes sağlamaktır. Buda yola çıkarak, Mll Eğtm Bakalığı tarafıda yayılaa Türkye Eğtm İstatstkler ktapçığıdak verler kullaılmış ve okul öces eğtm, lköğretm, ortaöğretm, yükseköğretm ve yükseköğretmde mezuyet olmak üzere 5 durum taımlamış ve hem kız-erkek öğrecler ç hem de tüm öğrecler ç ayrı ayrı Markov matrsler oluşturulmuştur. Oluşturula bu matrsler kullaılarak geel tahmlerde buluulmuş, kız ve erkek öğrecler arasıdak farklılıklar değerledrlmştr. Öreğ, eğtme ye başlaya kız öğrecler ortaöğretmde ve üverstede mezu olma olasılıklarıı erkek öğreclerde daha yüksek olduğu görülmüştür [Alp, 27]. Yavuz (992) u yapmış olduğu çalışmada se değşk meşçere (Ağaç türü, yaş, gelşme çağı ve kapalılık bakımıda çevresde farklılık göstere e az br hektar

65 5 büyüklüğüdek br ormalık ala) modellerde belrl br döem ç çap kademeler arasıdak geçş olasılıklarıı zamala değşmedğ ve meşçere br sorak duruma geçş daha öcek durumlarda bağımsız, yalızca mevcut duruma bağlı olduğu varsayıldığıda Markov özellğ sağladığı görülmüş ve buda yola çıkarak da değşk yaşlı br meşçerede büyüme MZ le aalz amaçlamıştır. Ülkemzde değşk yaşlı Doğu Lad meşçerelere at deeme alaı bulumaması edeyle meşçere smülasyo model gelştrlmştr. Ala ve Ala2 olmak üzere k deeme alaı belrlemş ve smülasyo souçlarıda, j,3,4,5, (çap kademeler) olmak üzere her k ala ç geçş matrsler elde edlmştr. Ayrıca, durumlar arası ortalama lk geçş zamaları, öreğ, ağaçları buluduğu. çap kademesde 23. çap kademese lk geçş ortalama süres, Ala meşçeres ç 254 yıl ve Ala2 ç 93 yıl olarak bulumuştur. Ala ve Ala2 meşçereler 5 yıl sora dege dağılımıa çok yakı br dağılıma ulaştığı görülmüştür [Yavuz, 992]. Akyurt (25) u MZ üzere yaptığı çalışmada se öcelkle, Türkye dek sgorta sstemde zorulu trafk sgortası olarak ble Karayolları Motorlu Araçlar Zorulu Mal Sorumluluk Sgortası sstem Markov özellğe sahp olduğu gösterlmştr. Devlet İstatstk Esttüsü, TRAMER ve Emyet Müdürlüğü de alıa verler (24 ve 25 yılları ç TRAMER hazırladığı basamaklar arası geçş göstere tablo, 24 yılıdak trafğe kayıtlı araç ve otomobl sayısı, 24 yılıdak kazaya karışa araç ve otomobl sayısı, 25 yılı prmler ve drmler) kullaılarak,.basamak, 2.basamak,,7. basamak olmak üzere ssteme at 7 durum taımlamış ve geçş matrs oluşturulmuştur. Daha sora, lmt dağılımı elde edlmş, ortalama olarak 3 adım souda zcr kararlı hale ulaştığı görülmüştür. 24 yılı başlagıç yılı olarak kabul edldğde Türkye dek lerk beş yıl ç otomobller yüzdelk basamak dağılımıı tahm yapılmıştır. Öreğ; 25 yılıda brc basamaktak otomobl sayısı toplam otomobl sayısıı %,962 s kadar olacaktır, daha açık br fade le.. otomobl çde 9.62 adet. basamakta yer alacaktır. Ayrıca, ortalama lk geçş zamaları da elde edlmştr. Bua göre, öreğ; 4. basamakla trafğe çıka br otomobl tekrar 4. basamağa dömes ç gerekl döem sayısı ortalama olarak 35 dr [Akyurt, 25].

66 52 Markov süreçler kullaıldığı br başka ala da kuyruk sstemler tasarımıdır. Buu şu şeklde açıklayablrz: Yolcuları br havaalaıdak kuyruğa rastgele varışlarıı düşüelm. Kuyruktak yolcu sayısı ve yolcuları bekleme zamaları, yolcu memuyet, bekleme odası dzayı, bako persoel, vb. ç krtk parametrelerdr. Bu yaklaşımlar altıda, varış zamalarıda gözlee değşkeler (sıra sayısı, vb.) br MZ olarak fade edleblr. Böyle modeller aalzde doğa tekkler, havaalaı, baka, vb. yerlerde daha öcek çoklu kuyruk hzmet vere bakolarda çok, tek kuyruk çoklu hzmet vere bakoları kullaımıa öcülük etmştr. Mühedslk, sgortacılık ve tcarette stok modeller öemldr. Öreğ, mühedslkte, rastgele zamalarda, rastgele su mktarıı grdğ ve sulama ç suyu devamlı ger çekldğ br baraj düşüülürse, buda yola çıkarak oluşturula model br Markov model olarak fade edleblr [Mey ve Tweede, 25]. Bularda başka, MZ, perakedecler stok sevyes belrlemesde, üretcler üretm programlama ve plalama gb belrszlk altıdak durumlarıı celemesde, üretm süreçler optmzasyou ve kotrolüde, haberleşme ağlarıda, güvelrlk çalışmaları gb alalarda kullaılmaktadır [Y ve ark., 22].

67 53 8. MARKOV ZİNCİRİNİN TÜRKİYE DE MEYDANA GELEN DEPREMLER ÜZERİNE UYGULANMASI 8.. Uygulamaı Amacı ve İçerğ Bu bölümde, Türkye de meydaa gele depremler statstksel aalz temele dayalı br metot ola MZ kullaılarak ssmk rsk tahm edlmes amaçlamıştır. Bu amaçla, Nava ve ark. (25) ı Japoya ç yapmış olduğu çalışmaı br bezer, öcek bölümlerde teork alt yapısı oluşturula aalzler ve tekkler yardımıyla Türkye ç yapılmış ve elde edle souçlar değerledrlmştr Uygulama Verler ve İşleyş Ssmk rsk değerledrlmes geellkle büyük ve yıkıcı depremlerle lgl olduğuda Türkye doğusuda batısıa, kuzeyde güeye her br bölge göz öüe alıarak, M M r olacak şeklde br M r eşk büyüklüğüü seçlmes gerekmektedr. Yapıla araştırmalar soucuda, ba yapısı zayıf ola Doğu Aadolu Bölges de meydaa gele 4 büyüklüğüde br depremde ble brçok saı öldüğü ve br çoğuu da evsz kaldığı görülmüş ve bua dayaarak da bu çalışmada bütü bölgeler ç eşk değer M 4 olarak alımıştır. r Çalışmamızda, ( ) Kuzey- ( ) Doğu koordatlarıda bulua Türkye Boğazç Üverstes Kadll Rasathaes ve Deprem Araştırma Esttüsü Ulusal Deprem İzleme Merkez de alıa 9-26 yılları arasıda magtüdü M 4ola deprem verler kullaılmıştır. Ssmk rsk hesaplaablmes ç öcelkle, depreme lşk bu verler aşağıdak gb derlemş ve EK- de gösterlmştr. Öreğ, tarhde ve saat : da meydaa gele deprem ç öcelkle..9 de e kadar 53 gü geçtğ bulumuş ve 9 yılı 365 gü 53 çektğde bu ver olarak odalık sayıya çevrlmştr. 365

68 tarhde ve saat 2:32 de meydaa gele deprem ç se,..9 de.5.9 e kadar 3 gü geçtğ bulumuş, verle saat güe çevrlerek gü elde edlmş ve 9 yılı 365 gü çektğde bu ver olarak odalık sayıya çevrlmştr. 365 Sora, CBS dek Deprem bölgeler hartası [Özme ve ark., 997], Bütüleştrlmş Homoje Deprem Katalogu dak Türkye ve yakı çevres ç deprem etklğ hartaları [Kalafat ve ark, 26] ve Türkye fay hatları ( Kuzey Aadolu,Doğu Aadolu,Batı Aadolu) göz öüde buludurularak, Türkye, ENLEM 39.5 se.bölge, ENLEM<39.5 ve BOYLAM 3 se 2. Bölge, ENLEM<39.5 ve BOYLAM 36 se 3. Bölge, ENLEM<39.5 ve 3<BOYLAM<36 se 4. Bölge olacak şeklde 4 bölgeye ayrılmıştır. Harta 8.. Türkye bölgelere ayrılması Br deprem katalogu ve başlagıç zamaı verldğde, her br t zama aralığıda, r. bölge durumu ola s r, M r eşk değerde büyük ya da eşt büyüklüktek depremler yokluğuu ve varlığıı belrtecek şeklde, sırasıyla, ve değerler alablmektedr. Bu çalışmada, Türkye 4 bölgeye ayrıldığıda karşılaşılablecek

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2 l Ta rr ım ı Ekooms Kog rres 6-8 - Eylül l 2000 Tek rrdağ TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ (980-998) (TRANLOG MALİYET FONKİYONU UYGULAMAI) Yaşar AKÇAY Kemal EENGÜN 2. GİRİŞ Türkye tarımı

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

GRİ MARKOV KESTİRİM MODELİ KULLANILARAK DÖVİZ KURU TAHMİNİ

GRİ MARKOV KESTİRİM MODELİ KULLANILARAK DÖVİZ KURU TAHMİNİ Joural of Ecoomcs, Face ad Accoutg (JEFA), ISSN: 48-6697 Year: 4 Volume: Issue: 3 CURRENCY EXCHANGE RATE ESTIMATION USING THE GREY MARKOV PREDICTION MODEL Omer Oala¹ ¹Marmara Uversty. omeroala@marmara.edu.tr

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI DAĞILIMLAR İÇİN EN ÇOK OLABİLİRLİK VE FARKLI KAYIP FONKSİYONLARI ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN PERFORMANSLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Gülca GENCER

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Olablrlk Oraı Yöteme Dayalı, Yaısal Homoje Olmaya Varyas Testler Pyasa Model İç Karşılaştırılması Flz KARDİYEN

Detaylı

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Sülema Demrel Üverstes B Türe E Sarııar e Blmler Esttüsü Dergs - (00 - lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Bahr TÜREN E SRIPINR Sülema Demrel Üverstes

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda, Begül ARKANT tarafıda hazırlaa bu çalışma 3/07/008 tarhde aşağıdak jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes

Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda, Begül ARKANT tarafıda hazırlaa bu çalışma 3/07/008 tarhde aşağıdak jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BAĞIMLI GÖZLEMLERLE BOOTSTRAP YÖNTEMİ Begül ARKANT İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 008 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları MEÜ. Mühedslk Fakültes Jeoloj Mühedslğ Bölümü MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALAR Prof. Dr. Hüsey Çeleb Ders Notları Mers 007 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 Brkaç ülü sözü İstatstk! Matematğ

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lsas Tez

Detaylı

PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI

PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI Süleyma Demrel Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs Y.2008, C.3, S.2 s.335-350. Suleyma Demrel Uversty The Joural of Faculty of Ecoomcs ad Admstratve Sceces Y.2008, vol.3, No.2 pp.335-350. PORTFÖY

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455 İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ A Uygulamalı Blmler ve Mühedslk ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY A Appled Sceces ad Egeerg Clt/Vol.: 3-Sayı/No: : 5-63 (202 ARAŞTIRMA

Detaylı

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi Yüzücü Yıl Üverstes, Zraat Fakültes, Tarım Blmler Dergs (J. Agrc. Sc.), 008, 18(1): 1-5 Araştırma Makales/Artcle Gelş Tarh: 10.06.007 Kabul Tarh: 7.1.007 Lojstk Regresyoda Meydaa Gele Aşırı Yayılımı İcelemes

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 WEİBULL DAĞILIMII ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİ İSTATİSTİKSEL TAHMİ YÖTEMLERİİ KARŞILAŞTIRILMASI Flz ÇAKIR ZEYTİOĞLU* ÖZET Güümüzde

Detaylı

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği Akademk Blşm 11 - III. Akademk Blşm Koferası Bldrler 2-4 Şubat 2011 İöü Üverstes, Malatya Bağıl Değerledrme Sstem Smülasyo Yötem le Test Edlmes: Kls 7 Aralık Üverstes Öreğ Kls 7 Aralık Üverstes, Blgsayar

Detaylı

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi Yüksek Mertebede Sstemler İç Ayrıştırma Temell Br Kotrol Yötem Osma Çakıroğlu, Müjde Güzelkaya, İbrahm Eks 3 Kotrol ve Otomasyo Mühedslğ Bölümü Elektrk Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes,34369, Maslak,

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STRES DAYANIKLILIK GÜVENİLİRLİĞİNİN MASKELİ VERİLERE DAYALI TAHMİNİ Demet SEZER DOKTORA TEZİ İstatstkAablm Dalı Aralık-03 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ

Detaylı

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl: 11 Sayı: Güz 01 s. 19-35 ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA Cası KAYA 1, Oza KOCADAĞLI Gelş: 30.05.01 Kabul: 14.1.01

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Pamukkale University Journal of Engineering Sciences

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Pamukkale University Journal of Engineering Sciences Pamukkale Üverstes Mühedslk Blmler Dergs Pamukkale Uversty Joural of Egeerg Sceces Kabul Edlmş Araştırma Makales (Düzelememş Sürüm) Accepted Research Artcle (Ucorrected Verso) Makale Başlığı / Ttle Karayolu

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Koşullu (Şartlı Olasılık 5.6. ayes Teorem 5.7. ağımsızlık: 5.8. Olasılık Foksyoları 5.8..

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri Bakacılar Dergs, Sayı 58, 006 Grş Operasyoel Rsk İler Ölçüm Modeller Çalışma k bölümde oluşmaktadır. İlk bölümde operasyoel rskler ölçülmes kapsamıda hag ler ölçüm modeller kullaılması gerektğ, söz kousu

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Clt/Vol.:0-Sayı/No: : 455-465 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE İKİ PARAMETRELİ WEIBULL DAĞILIMINDA

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ lt: 9 Sayı: s -7 Ocak 7 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖÜMÜNDE AŞIMA MARİSİ YÖNEMİ (MEHOD OF RANSFER MARIX O HE ANALYSIS OF HYDRAULI PROBLEMS) Rasoul DANESHFARA*,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOĞRUSAL OLMAYAN POISSON REGRESYON M. Kazım KÖREZ YÜKSEK LİSANS İSTATİSTİK Aablm Dalı Ağustos- KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS DOĞRUSAL OLMAYAN

Detaylı

POISSON REGRESYON ANALİZİ

POISSON REGRESYON ANALİZİ İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl:4 Sayı:7 Bahar 005/ s. 59-7 POISSON REGRESYON ANALİZİ Özlem DENİZ * ÖZET Herhag br olayı belrlee br süreç çersde yaıla deemeler soucuda meydaa gelme sayısı,

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır.

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır. UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ Posson: H o: Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmektedr. H a : Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmemektedr. Böyle br hpotez test edeblmek çn, önce Posson dağılım parametres

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Politeknik Dergisi, 2015; 18 (1) : Journal of Polytechnic, 2015; 18 (1) : 35-42

Politeknik Dergisi, 2015; 18 (1) : Journal of Polytechnic, 2015; 18 (1) : 35-42 Poltekk Dergs, 015; 18 (1) : 35-4 Joural of Polytechc, 015; 18 (1) : 35-4 Atakya Bölgesde Rüzgâr Gücü Yoğuluğu ve Rüzgâr Hızı Dağılımı Parametreler İstatstksel Aalz İlker Mert *, Cuma Karakuş ** * Dezclk

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract YKGS2008: Yazılım Kaltes ve Yazılım Gelştrme Araçları 2008 (9-0 ekm 2008, İstabul) Yazılım Ürü Gözde Geçrmeler Öem, Hazırlık Sürec ve Br Uygulama Öreğ The Importace of the Software Product Revews, Preparato

Detaylı

9. Ders. Đstatistikte Monte Carlo Çalışmaları

9. Ders. Đstatistikte Monte Carlo Çalışmaları 9. Ders Đstatstkte Mote Carlo Çalışmaları Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve bu modeller geçerllğ sıamada kullaıla bazı blg ve yötemler

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI Ahmet ERGÜLEN * Halm KAZAN ** Muhtt KAPLAN *** ÖZET Arta rekabet şartları çersde karlılıklarıı korumak ve

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı

Detaylı