Transkript

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82 Geometri Notları Mustafa YAĞCI, Doğrunun Analitik İncelenmesi Geometri derslerimizden doğru nun ne idüğü hakkında bilginiz vardır. Tanımının olmadığını ve insanların sezgisine bırakıldığını sölemiştik. Arıca sonsuz farklı doğrunun varlığından bahsetmiştik. Doğruları birbirlerinden aırmak için onlara isimler vermiştik. d, l, k gibi. Bazen de üzerinde bulunan noktalarla AB, CD, XY doğrusu gibi. Şimdi de isimlendirdiğimiz bu doğruların birbirlerine göre konumlarını araştıracağız. Acaba birbirlerine paraleller mi, dik mi kesişiorlar? Yoksa çakışıklar mı, ani aslında anı doğrular mı? Sadece doğrular değil, noktaların da detalarına ineceğiz. Daha önce A ve B die isimlendirdiğimiz iki noktanın birbirlerine vea başka bir noktaa ne kadar uzaklıkta bulunduğunu araştıracağız. Bazen de bu noktaların bir doğrua olan uzaklıklarını hesaplaacağız. Noktalar bazen doğrusal vaziette bir araa gelecek ve bir doğru belirtecekler. Bu doğruların tüm özelliklerini içeren ve diğer hepsinden aıracak şekilde isimlendirilmelerini ani denklemlerini azmaı öğreneceğiz. René Descartes Fransız bir filozoftu. Tabii o zamanın filozofları bugünün matematikçileri gibidiler. Aslında bu her zaman da böle olmalıdı ama nedense bu aralar böle gitmior işler. La géométrie isimli eserinde René Descartes, cebirin ünlü problemlerini geometrik öntemlerle çözerek hak ettiği üne kavuşmuştu. Günümüzde kartezen geometri olarak bilinen matematik dalının mucididir ılının cak aında 8 aşında Anjou daki Jesuit college of La Flèche a kadını aptırmış ve 1612 e kadar burada okumuştur. Bu sıralarda Clavius un kitaplarından matematik de çalışmıştır. Bölelikle esas eteneğinin matematikte olduğunu keşfetmiştir. Saısız eser vermiştir da soğuk bir kış sabahı haata gözlerini ummuştur. İşte geometrik nesnelerin birbirlerile olan ilişkilerini ve birbirlerine göre konumlarını araştırdığımız geometrinin bu dalına analitik geometri denir. Eğer masaa atırılan şe doğru ise dersimiz doğrunun analitiği, çember ise çemberin analitiği, parabol ise parabolün analitiği, adını alacak. Saı doğrusu. Doğru ile doğru parçasının farkı sorulsadı aklınıza ilk gelen cevap ne olurdu? Böle bir soru karşısında benim aklıma ilk olarak, birinin ilksiz ve sonsuz olduğu ama diğerinin ilkli ve sonlu olduğu gelior. Yani, doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktaları bellidir ama doğrunun ne başlangıç noktası vardır, ne de bitiş. Eminim siz de benim gibi düşünmüşsünüzdür. Rakam ile saı arasında da benzer bir farktan söz etmek mümkündür. Bakın edioruz: Rakamlar sonlu miktardadır ama saılar sonsuz. Rakamların başı belli, sonu belli ama saıların değil. Şimdi bu benzetmeden ola çıkarak; doğrular ile saılar arasında bir ilişki kuracağız, bir eşleme apacağız. Bir nevi oun onuoruz. Tam olarak öle olmasa da (teşbihte hata olmaz), doğrunun sonsuz tane noktadan oluştuğunu düşünelim. İşte bu sonsuz nokta ile sonsuz tane saıı birebir eşleştireceğiz. Saı derken reel saı olduğunu da belirtelim. Çünkü sanal saıları bu doğru üzerinde göstermek mümkün değil, adı üstünde sanal, gerçek değil ani. Her farklı reel saıa farklı bir nokta alacağız. İşte, üzerine reel saıların küçükten büüğe doğru dizildiğini düşündüğümüz ama gerçekte var olmaan bu doğrua saı doğrusu dieceğiz. Aşağıda temsili bir resmi var: Tabii ki bizim sonsuza kadar çizecek halimiz ok, onun için uçlara ok koduk. Sıfır saısı saı doğ-

83 Mustafa YAĞCI rusunun tam ortasında bulunur (rası nerese?). 0 ın sağında pozitif reel saılar, solunda ise negatif reel saılar vardır. Her biri de gerçek büüklükleri ile orantılı olarak ani bo sırasına göre erleştirilmişlerdir. Yani 3 ün 0 a olan uzaklığı 3 birim, 4 ün de 4 birimdir. halde a nın da a birimdir. İşte, bir saının saı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığına, o saının mutlak değeri denir. Örneğin; a nın sıfıra olan uzaklığına a nın mutlak değeri denir ve a ile gösterilir. Üst şekilden de görüldüğü üzere a = a dır. Ama anı zamanda ( a) nın da sıfıra uzaklığının a olmasından ( a) nın mutlak değeri de a dır. halde a = a. Daha genel olarak; Herhangi bir reel saı ile o saının ters işaretlisinin mutlak değerleri her zaman anıdır. Analitik düzlem. Çakışık olmaan iki doğrunun bir düzlem belirttiğini bilioruz. Şimdi iki tane saı doğrusu haal edin. Bu iki saı doğrusunu, sıfıra denk gelen noktalarında dik kesişecek konuma getirin. Bu iki saı doğrusunun belirttiği düzleme analitik düzlem deriz. Artık doğruların isimleri de değişerek, eksen adını almışlardır. Hatta koordinat eksenleri. Bunlardan ata olanına ekseni, dike olanına da ekseni denir. Göreceksiniz ki birçok geometri problemi bile analitik düzleme atırılarak çok daha kolalıkla çözülebilir. René Descartes a sonsuz teşekkürler! Eksen adı verilen bu iki saı doğrusunun üzerindeki noktalar düzlem II III 0 nin elemanı olduğundan analitik 2 ile gösterilir. 2 = = {(, ) ve } I P( 0, 0) 0 IV Analitik düzlemde anda gösterildiği üzere ( 0, 0 ) ile gösterilen sonsuz tane nokta vardır. ( 0, 0 ) rastgele bir ikili değil, sıralı ikilidir. Birinci Doğrunun Analitik İncelenmesi bileşenine apsis, ikinci bileşenine de ordinat denir. İkisine birlikte noktanın koordinatları denir. Bir noktanın apsisi, o noktadan eksenine indirilen dikmenin ekseni üzerinde hangi noktaa karşılık geldiğini verir. Bir noktanın ordinatı ise, o noktadan eksenine bir dikme indirildiğinde ekseninde hangi saıa karşılık geldiğini gösterir. ve eksenleri bu üzden bazen sırasıla apsis ve ordinat eksenleri olarak da anılır. Apsis ve ordinat eksenlerinin kesiştiği noktaa başlangıç noktası dendiği gibi orijin de denir. Koordinatları (0, 0) dır. Genelde ile gösterilir. Eksenleri ve ile göstermek de mümkün. Analitik düzlemde eksenler, düzlemi 4 bölgee aırır. Bunlar üst şekildeki gibi birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü bölgelerdir. Hem apsisi hem de ordinatı pozitif olan noktaların bulunduğu bölgee birinci bölge, apsisi negatif ama ordinatı pozitif olan noktaların bulunduğu bölgee ikinci bölge, hem apsisi hem de ordinatı negatif olan noktaların bulunduğu bölgee üçüncü bölge ve apsisi pozitif olup, ordinatı negatif olan noktaların bulunduğu bölgee de dördüncü bölge denir. Dikkat edilecek olursa, bölgeler, noktaların koordinatlarının pozitif mi negatif mi olduğuna göre değişior, ani sıfırdan bahsedilmior. Apsisi vea ordinatı sıfır olan noktalar, kısacası eksen üzerindeki noktalar (tanıma göre) bölgelere girmezler. Apsis rdinat I II III IV Alıştırmalar 1. Bir noktanın eksenine olan uzaklığını, koordinatlarından hangisi daima gösterir? A) Apsisi B) rdinatı C) Apsisinin mutlak değeri D) rdinatının mutlak değeri E) Koordinatları toplamı 2. M(, ) noktasının eksenine olan uzaklığı kaçtır? A) B) C) D) E) + 2

84 Mustafa YAĞCI 3. eksenine 2 birim, eksenine 3 birim uzaklıkta bulunan bir nokta, analitik düzlemin hangi bölge vea bölgelerinde olabilir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi Doğrunun Analitik İncelenmesi 8. Üstteki soruda B köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 8, 12) B) ( 8, 14) C) ( 6, 8) D) ( 6,14) E) ( 14, 6) 4. A( a, b a) noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde ise B(ab, a b) noktası hangi bölgededir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi 9. rdinat ekseni üzerinde bulunan A noktasının orijine ve B(6, 2) noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre A noktasının ordinatı kaçtır? A B(6,2) 5. A(ab, a b) noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesinde ise B(a, b) noktası analitik düzlemin neresinde bulunur? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi 6. m bir reel saıdır. P( m 2, ( m) 2 ) noktası analitik düzlemin neresinde bulunur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Yandaki şekilde ABC bir paralelkenardır. AD = DC olup, C nin koordinatları (3, 8) ise paralelkenarın alanı kaç birimkaredir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 A D C B A) İkinci bölge B) İkinci bölge ve orijin C) İkinci bölge ve ekseninin negatif olmaan tarafı D) İkinci bölge ve ekseninin negatif tarafı E) İkinci bölge, ekseninin negatif tarafı, ekseninin pozitif tarafı ve orijin 11. Yandaki grafik bir mirasın ıllara göre tükenişini göstermektedir. Buna göre mirasın tamamı başlangıçta kaç milar liradı? (milar) (3,80) (4,60) (ıl) 7. Yandaki ABCD karesinin A köşesinin koordinatları nelerdir? A) ( 12, 6) B) ( 18,6) C) ( 16, 6) D) ( 16,8) E) ( 14, 6) A B -6 8 A) 100 B) 120 C) 140 D) 160 E) Üstteki soruda miras, kaçıncı ılın sonunda biter? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 3

85 Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi 13. Yandaki ABC karesinin çevresi kaç birimdir? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15 6 C A B 10 Alıştırmalar 16. C(6, 8) noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) C(1, 5) noktası, AB ikizkenar üçgeninin hipotenüsü üzerindedir. Buna göre Alan(AB) kaç birimkaredir? A C(1,5) B 17. a ve b birer tamsaıdır. A(a, b) noktasının orijine uzaklığı 10 birim ise bu şartları sağlaan kaç farklı A noktası vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) A) 8 B) 18 C) Yandaki şekilde CAB ve CA üçgensel bölgelerinin alanları sırasıla 4 ve 10 birimkaredir. A nın ordinatı 4 ise B nin apsisi kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Bir noktanın orijine olan uzaklığı. Bildiğin Pisagor Teoremi. D) 4 81 E) 32 Herhangi bir A(, ) alalım. Bu noktaı orijin ile birleştiren doğru parçasını çizelim. Bu doğru parçasının bouna d dielim, d i arıoruz. Bu noktadan eksenlere dikmeler indirerek, oluşacak dik üçgende Pisagor Teoremi ugularsak d = 2 + buluruz. Dikkat edin, (3, 4), ( 3, 4), (3, 4), ( 3, 4), (4, 3), (4, 3), ( 4, 3), ( 4, 3) noktalarının hepsinin orijine olan uzaklığı 5 birimdir. Hatta (5, 0), (0, 5), ( 5, 0) ve (0, 5) noktalarının da orijine olan uzaklıkları 5 birimdir. A 2 B d C(0,4) A(,) 18. A(5, 5), B(7, 1) ve C(6, 4) noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıla a, b ve c olsun. Bu değerlerin küçükten büüğe doğru, doğru sıralaması aşağıdaki şıkların hangisinde verilmiştir? A) a < b < c B) a = b > c C) a = b < c D) a < c < b E) c < a = b 19. A(10, p) noktasının orijine olan uzaklığı, B(5, 12) noktasının orijine olan uzaklığının 2 katı ise p nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 24 B) 7 C) 8 D) 10 E) rijine uzaklığı 5 birim olan tüm noktalar ne belirtir? A) 5 birim çaplı bir daire B) 5 birim arıçaplı bir daire C) 5 birim çaplı bir çember D) 5 birim arıçaplı bir çember E) rijine uzaklığı 5 birim olan iki paralel doğru 21. rijine uzaklığı 3 birim ile 5 birim arasında olan noktaların oluşturduğu bölgenin alanı kaç π birimkaredir? A) 9 B) 7 C) 8 D) 16 E) 25 4

86 Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi 22. Yandaki ABC üçgeni eşkenardır. C köşesinin orijine uzaklığı kaç birimdir? A) 3,2 B) 3,6 C) 4 D) 28 E) ekseni üzerinde, A(3,4) noktasına ve orijine uzaklıkları eşit olan noktanın apsisi kaçtır? A) 6 25 B) C) 4 A 4 B D) 6 C A(3,4) B 13 E) A( 2 + 1, 1 3 ) ve B( 2 1, ) noktalarına göre AB kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 4 E) P(2, 3) ve Q(5, ) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise in alabileceği değerler toplamı kaç olur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) P(2, 3) ve Q(k, 1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır? İki nokta arasındaki uzaklık. A( 1, 1 ) ve B( 2, 2 ) şeklinde iki farklı nokta verilmiş olsun. Bu noktalar arasındaki uzaklığın kaç birim olduğunu bulmaı öğreneceğiz. 2 1 A B d - - C Yan şekildeki gibi, bu noktalardan eksenlere birer dik indirelim. ABC gibi bir dik üçgen oluştuğuna dikkat ediniz. AC = 2 1 ve BC = 2 1 olduğundan ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısına göre, AB 2 1 = ( ) + ( 2 1) Alıştırmalar 24. A(1, 0) ve B( 4, 12) noktaları verilior. AB uzaklığı kaç birimdir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 13 E) A(2 3, 2) ve B(6 3, 3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 14 A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) M(2a, 4) ve N(3a + 2, 12) noktaları verilior. MN = 10 birim ise a nın alabileceği en büük değer kaçtır? A) 8 B) 4 C) 8 D) 4 E) K noktası, A(2, 1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olup, ekseni üzerindedir. K noktasının apsisi kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 5 E) K noktası, A(2, 1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olup, ekseni üzerindedir. K noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir? A) 2 B) 3 5 C) D) 3 14 E) K(3, p) noktası, A(2, 1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olduğuna göre p kaçtır? A) 2 B) 3 7 C) D) 3 E) 14 5

87 Mustafa YAĞCI rta nokta. Uç noktalarının 2 B koordinatları bilinen bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını E 0 bulmaı öğreneceğiz. 1 A 2 Doğru parçası [AB], bu 0 doğru parçasının orta noktası da E( 0, 0 ) olsun. 1 D F C A( 1, 1 ) ve B( 2, 2 ) noktalarından eksenine birer dik indirirsek oluşan ADCB dik amuğunda orta taban E nin ordinatını verir. Benzer şekilde eksenine dikler indirilirse de E nin apsisi bulunur. ( 0, 0 ) = ( , Alıştırmalar A(2, 4) ve B(4, 12) noktalarını uç kabul eden doğru parçasının orta noktasının koordinatları nelerdir? A) (3, 6) B) (3, 7) C) (3, 8) D) (3, 4) E) (6, 8) 34. AB doğru parçasının uçlarının koordinatları toplamı 40 ise orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 60 B) 70 C) 80 D) 10 E) A(2m, 3m) ve B(4, m 4) iken [AB] nin orta noktası dördüncü bölgede ise B hangi bölgededir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi 36. A( 4, 1), B(0, 1), C(2, 7) ise ABC üçgeninin A köşesinden geçen kenarortaının uzunluğu kaçtır? 11 A) 6 B) 5 C) 4 D) 2 2 ) E) Şekildeki A, B, C noktaları doğrudaş olup, AB = BC dir. AB üçgeninin alanı 1 birimkare ise C nin koordinatları nelerdir? Doğrunun Analitik İncelenmesi A) (3, 3) 2 4 B) (, ) 3 3 C) (1, 1) D) (2, 2) E) (2, 3) 38. Yandaki AB üçgeninde BC = 3 CA olduğuna göre, C noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) BC AC = 0 2 Doğrusallık şartı. Bir doğru parçasının orta noktalarını kullanırken kullandığımız bu metot, verilen üç noktanın doğrusal olma şartını da aslında geri planda içermektedir. Şeklimizde BCE CAD olduğundan 0 1 = şartını sağlaan A, C, B noktaları doğrusaldır. İlerde tekrar anlatılacak ve başka teknikler gösterilecektir. 39. Alıştırmalar A( 2, 0), B(0, 3), C(2, 6) noktaları doğrusal ise CA oranı kaçtır? CB A) B) B 2 C E 2 0 A D 2 A 1 C) 1 D) 2 E) 3 B d 8 A C C B 6 6

88 Mustafa YAĞCI 40. A(1, 8), B(5, 0) ve C(m + 3, m) noktaları doğrusal ise m kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Şekildeki ABCD dörtgeni bir kare ise E noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 6 C) 2 2 D) 7 E) Yandaki ABC dikdörtgeninin alanı 8 birimkare ise C noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 9 B) 8 C) 15 D) 7 E) 6 2 D( 4, 4 ) C( 3, 3 ) Analitik düzlemde paralelkenar olma şartı. Verilen dört P( 0, 0 ) nokta ne zaman bir A( 1, 1 ) B( 2, 2 ) paralelkenar belirtir? Paralelkenarın üç köşesi bellise dördüncü köşesinin koordinatları nelerdir? Takip edin, kanıtlaın = = = = = = D E 4 A 1-10 Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgenler de özel birer paralelkenar olduğundan bu şartı sağlarlar. -2 C A 5 C B B d 4 4 Doğrunun Analitik İncelenmesi Alıştırmalar 43. A(2, 4), B(4, 12), C(8, 1) noktaları bir ABCD paralelkenarının ardışık üç köşesidir. Buna göre D noktasının koordinatlarını bulunuz. A) (6, 3) B) (6, 9) C) (6, 12) D) (6, 15) E) (2, 9) 44. Yandaki ABCD bir eşkenar dörtgen ise B noktasının koordinatları toplamıla n nin toplamı kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 B(, ) 2 2 A(, ) 1 1 G(, ) 0 0 C(, ) 3 3 Köşe koordinatları verilen üçgenin ağırlık merkezinin koordinatla-rı. A( 1, 1 ), B( 2, 2 ) ve C( 3, 3 ) noktalarının belirttiği üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin kenarortalarının kesim noktası olduğunu bilioruz. halde ağırlık merkezi olan G( 0, 0 ) noktası bir kenarorta üzerindedir. BC kenarının orta noktası D olsun. [AD] üzerinde AG : GD = 2 : 1 şartını sağlaan G noktası aranan noktadır. Bunu çözmei öğrenmiştik zaten. Ağırlık merkezi G( 0, 0 ): =, 3 0 = Alıştırmalar A( 4, 1), B(0, 1), C(13, 6) ise ABC üçgeninin ağırlık merkezinin orijine uzaklığı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 2 5 C(3,n) D) 13 E) 13 3 A(4,3) B 7

89 Mustafa YAĞCI 46. A( 4, 1), B(0, 1), C(13, 6) ve ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olsun. AG kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 50 Doğrunun Analitik İncelenmesi üçgenlerinin alanları çıkartılırsa, ABC üçgeninin alanı bulunmuş olur. Alan(CDEF) = ( 3 2 )( 1 3 ) Alan(CDA) = 2 1 (3 1 )( 1 3 ) 47. A( 4, 1), B(0, 1), C(13, p) ve ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(m, 2) ise p + m toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A( 3, 1), B(0, 7) ve C(a, b + 1) olmak üzere, ABC üçgeninin ağırlık merkezi analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir. Buna göre C noktası hangi bölgededir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) ekseni üzerinde 49. A(p+1, 2p), B(0, p) ve C(2 p, 3p) noktalarını köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin apsisi, ordinatından kaç fazladır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Köşe koordinatları verilen bir üçgenin alanı. A( 1, 1 ), B( 2, 2 ) ve C( 3, 3 ) noktalarının belirttiği üçgensel bölgenin alanını bulmak için aşağıdaki işlemler apılır: 1 E A D Alan(AEB) = 2 1 (1 2 )( 1 2 ) Alan(BFC) = 2 1 (3 2 )( 2 3 ) olduğundan gerekli işlemler apılırsa; Alan(ABC) = 1 1 ( ) ( ) 2 2 çıkar. Fakat biz çözümümüzde çizimimize göre 2 < 1 < 3 ve 3 < 2 < 1 aldık, bu böle olmaabilirdi. nun için ifadei mutlak değer içine alarak, işimizi garanti altına alalım. rtaa çıkan bu formülün ezberi pek de kola görünmediğinden Sarrus Kuralı denen güzel bir metot öğreneceğiz. Üçgenin üç köşesinin koordinatlarını herhangi bir sırala alt alta azıp, en üste azdığımız koordinatı tekrar en alta azacağız. Aşağıdaki şekilden takip edin. Sonra anı önü gösteren oklarla belirtilen çarpmaları apıp çıkan sonuçları toplaacağız. Bu iki toplamın pozitif farkının arısı, bize üçgenin alanını verecektir. Alan ( ABC) = 1 2 = 2 1 ( ) ( ) B F 2 1 C 3 Analitik düzlemde çizilmiş her üçgeni ukarda gösterdiğim gibi üçgenin köşelerini taşıan bir dikdörtgen içine hapsetmek mümkündür. CDEF dikdörtgeninin alanından CDA, AEB ve BFC dik Alıştırmalar 50. A( 1, 3), B(0, 5), C( 1, 7) ise Alan(ABC) kaç birimkaredir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 14 8

90 Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi 51. A( 4, 1), B(0, 1), C(13, 6) iken ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olsun. GBC üçgensel bölgesinin alanı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 tan 45 o = 1 tan 60 o = 3 tan 90 o = Tanımsız tan 22.5 o = 2 1 tan 67.5 o = Yanda görülen ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 30 B) 36 C) 40 D) 42 E) 45 C(4,8) D B -3 6 A(1/2,-2) tan 15 o = 2 3 tan 75 o = tan 6 o = tan 42 o = tan 66 o = (+) α d Eğim = m d = Tanα Doğrunun Eğimi. Bir doğrunun eksenile aptığı pozitif önlü açının tanjantına o doğrunun eğimi denir. Hatta o açıa da eğim açısı adı verilir. tan 78 o = tan 9 o = tan 27 o = tan 63 o = Dar vea üstün dar açıların (3. bölgede) tanjantlarının pozitif olduğunu bildiğimizden, 1. ve 3. bölgede sonsuza uzaan doğruların eğimleri pozitiftir. Geniş ve üstün geniş açıların (4. bölgede) tanjantlarının da negatif olduğunu bildiğimizden, 2. ve 4. bölgede sonsuza uzaan doğruların eğimleri de negatiftir. Bu bölümde tanjantlarla haşır neşir olacağa benzioruz. halde derhal tanjantın tanımını hatırlaalım ve bazı özel açıların tanjantlarını kadedelim. Bunların nereden çıktığı bu azımızın konusu değil. Yeteri kadarını zaten açıklaacağız. Herhangi bir dik üçgende herhangi bir dar açının karşısındaki dik kenarın, komşusundaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir. tan 0 o = 0 tan 30 o 1 = 3 C α a A c B tan 81 o = tan 18 o 1 = tan 54 o 1 = tan 7.5 o = tan 37.5 o = tan 52.5 o = tan 82.5 o = Alıştırmalar 53. BC üçgeninin hipotenüsü üzerinde A(1, 3) noktası bulunmaktadır. CA = 3 AB ise tanα kaçtır? A) 4 3 B) 3 4 B C) 2 D) 1 E) 1 A(1,3) α C 9

91 Mustafa YAĞCI 54. Şekildeki d 1, d 2, d 3, d 4 doğrularının eğimleri sırasıla m 1, m 2, m 3, m 4 ise, bu eğimlerin küçükten büüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? A) m 1 < m 2 < m 3 < m 4 B) m 2 < m 1 < m 3 < m 4 C) m 2 < m 1 < m 4 < m 3 D) m 3 < m 4 < m 1 < m 2 E) m 4 < m 3 < m 1 < m ACB ikizkenar üçgeninin tepe noktası = doğrusu üzerindedir. m(cb) = 20 o ise m(acb) kaçtır? A) 30 o B) 35 o C) 40 o D) 45 o E) 50 o Doğru grafiklerinden eğimin bulunması. Eğer bir doğrunun eğim açısı bilinmez de sadece eksenleri kestiği noktaları bilinirse, eğimi, eğimin tanımı ardımıla bulunabilir. Doğrunun eksenini kestiği nokta a ve eksenini kestiği nokta da b olsun. a ile b değerlerini burada pozitif olarak aldık. halde şekildeki d doğrusunun eğimi tan α = a b olur. Eğer doğrumuzun eksenini kestiği nokta a ve eksenini kestiği nokta b ise (ine a ve b değerlerini pozitif olarak aldık), doğrunun eğim açısı geniş olduğundan eğimi negatif olur. Bu durumda eğim tan α = a b olur. Eğer d doğrusu eksenine koşut (paralel) ani eksenine dik ise, eksenile aptığı pozitif önlü açı oz (0 o ) olacağından eğimi sıfır olur. d 3 d2 d4 d1 A C B α -a b b = α a d d Sonuç olarak doğru denklemlerinin genel olarak ve ile gösterilen iki bilinmeene sahip olduğunu çıkardık. Arıca aralarındaki ilişki de birinci dereceden olmalı ki iki nokta arasındaki farklar sabit olarak artsın. Yoksa = 2 gibi bir ilişkide deki artış hızı deki artış hızıla anı olmazdı ve doğrua göre çok hızla artan bir fonksion ile karşıla Eğer d doğrusu eksenine paralel ani eksenine dik bir doğrusa, eksenile aptığı pozitif önlü açı dik olur ki bu da tanjantının tanımsız olması anlamına gelir. d k Doğrunun Analitik İncelenmesi a b c Yukardaki grafiklere göre; 1-1 e 60 o 75 o l f o n m a =, mb = 1, m c =, m d =, m e =, m f = 3 2, m k = 0, m l = tanımsız ve m n = 1 dir. Doğrunun genel denklemi. Öklid anlamında doğrunun, bildiğimiz manada dosdoğru nesneler olduğunu bilioruz. Yani (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) noktalarından geçen doğrunun elbet (5, 5) ten de geçeceğini sezioruz ve bilioruz. Hatta (6, 6) ve (7, 7) den de. Örnekleri çoğaltabiliriz. Genel olarak (t, t) şeklindeki tüm noktalardan geçecektir. Hatta bu t lerin tamsaı olma zorunlulukları da ok. Gerçek birer saı olsunlar eter. halde bu doğrunun özelliği i sine eşit olan noktalardan geçmesidir. Bu sebeple biz bu doğrua = vea = doğrusu deriz. Bunu gören de anlar ki bu doğru, i sine eşit olan noktalardan geçermiş. Benzer şekilde = 2 eşitliğini görenler de nin in 2 katı olduğunu ve doğrunun bu özelliği taşıan tüm noktalardan geçtiğini vea dolaısıla bunları içerdiğini anlar. 10

92 Mustafa YAĞCI şırdık ki biz bunlara parabol deriz. Daha daha hızlı büüen fonksionlarda var elbet. Toparlaalım: Doğru denklemleri birinci dereceden ve iki bilinmeenli olurlar. Genel olarak a + b + c = 0 azılır. Bu tarz bir azılıma doğrunun kapalı denklemi denir. Bir doğru, denklemini sağlaan tüm noktalardan ge- d çiordur. halde eksenini ve eksenini nerede -c -c b a kestiğini basit bir hesapla buluruz, bunlar şekilde azılmıştır. Kısacası denk- a + b + c = 0 lemde erine 0 azılırsa doğrunun eksenini kestiği noktaı, erine 0 azılırsa da doğrunun eksenini kestiği noktaı verir. Doğrunun kapalı denklemi d olur da açık denklemi olmaz mı? Var elbet! = m n -n + n şeklindeki bir azılıma m da doğrunun açık denklemi denir. Açık denklemler = m + n kapalı olanlara nazaran daha elverişlidir. Eksenleri kestiği noktaların vea eğimin çok daha rahat bir şekilde bulunmasına izin verir. Zaten bundan dolaı açık adını almıştır. e 0 verelim, = b olur. Buradan çıkan sonuç şudur: Açık denklemlerde sabit terim, doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. a + b = 0 denkleminin kökü de doğrunun eksenini kestiği noktanın apsisidir. Arıca şekilden görüldüğü üzere de açık doğru denklemlerinde in katsaısı bize direkt olarak doğrunun eğimini verir. Ne güzel! Bunu hemen kullanarak a + b + c = 0 doğrusunun eğimini de bulabiliriz. = + halini a c b b alacağından kapalı halde verilen doğru denklemlerinde eğim dir. a b 2 1 A B d 1 2 İki noktası bilinen doğrunun eğimi. Analitik geometri die bilinen geometrinin bu dalının iddialı olacak ama belki de en önemli teoremine Doğrunun Analitik İncelenmesi geldi sıra. Bir doğrunun üzerinde bulunan iki noktanın koordinatları biliniorsa, vea başka bir deişle, bir doğrunun geçtiği iki farklı nokta biliniorsa, doğrunun eğimini bu noktalar ardımıla bulmaı öğreneceğiz. Doğrunun üstünden geçtiği bu iki nokta A( 1, 1 ) ve B( 2, 2 ) olsun. Şekilden takip edin. AB doğrusunu çizelim. Bu doğrunun eksenile aptığı pozitif önlü açının ölçüsü, BAC açısının ölçüsüne eşittir. Bundan dolaı biz BAC açısının ölçüsünün tanjantını alacağız. b 5 3 α A(2, 3) 2 4 m = tan α = B(4, 5) BC AC m AB = m AC = tan α = 2 1 = 2 1 Verilen farklı en az 3 noktanın doğrusal olma şartı da ukarda-ki bu formülle bulunur. (2 nokta zaten daima doğrusaldır.) Bir örnek verelim: A, B ve C doğrusal ise 5 3 = 4 2 b a 3 2 Paralel doğruların eğimleri. İki doğru paralel iseler öndeş açıların eşitliği gereği her ikisinin de eksenile aptıkları pozitif önlü açılar eşit olacaktır. Eşit açıların tanjantları da eşit olacağından, paralel doğruların eğimleri eşittir. Teoremin tersi de doğrudur. Yani; eğimleri eşit olan iki doğru paraleldir. α = 0 m 1 = m 2 Dik doğruların eğimleri. İki doğru birbirine dik ise birinin eğim açısı diğerinden 90 o fazla olacaktır. Bunu şekil çizerek rahatlıkla görebilirsiniz. Aralarında fark 90 o olan iki açının tanjantlarının çarpımının da ufak bir hesapla her zaman 1 e eşit olduğunu buluruz. halde iki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı 1 dir. Yani eğimleri birbirlerinin çarpmaa göre terslerinin toplamaa göre tersleridir. Bu teoremin de tersi doğrudur. Yani, iki doğrunun eğimleri çarpımı d 1 ise doğrular birbirine diktir. 1 α = 90 m 1 m 2 = 1 a C(a, b) d 1 d 2 d 2 11

93 Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi 56. Alıştırmalar 1 A(, 3) ve B(1, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimi 2 kaçtır? 61. Şekildeki ABC bir amuk ise C noktasının apsisi kaçtır? A) B) 5 C) 3 C = B(6,5) A(7,2) A) 6 B) 5 C) 4 D) 2 E) 6 D) 2 E) A( 3, 1), B(0, 4), C(1, 0), D(5, k) noktaları verilior. AB doğrusunun eğimi CD doğrusunun eğimine eşitse k kaçtır? 62. Şekildeki ABCD dörtgeni bir paralelkenar ise C noktasının ordinatı kaçtır? -2 C D B 8 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A A(2a b, a 2b) ve B(2a + b, a + 2b) noktaları için AB doğrusunun eğimi kaçtır? A) 1 B) 2 C) 1 D) b a E) a b 63. Şekilde görülen karenin kenarları eksenlere paraleldir. Karenin doğrular üstünde olmaan köşelerinin ordinatı kaçtır? 9 = Yandaki ABC üçgeninin alanı 30 birimkare ise BC doğrusunun eğimi kaçtır? A) 5 B) 5 C) 5 1 D) 5 1 E) 2 5 A 4 B -2 C 13 A) 6 B) Taban köşeleri B( 1, 2) ve C(2, 3) olan ABC ikizkenar üçgeninin tepe köşesi = doğrusu üzerindedir. Buna göre A noktasının apsisi kaçtır? 15 C) 7 D) 2 B C A = E) ABC bir dikdörtgen olup, B köşesinin koordinatları (15, C B(15,3) 3) tür. Buna göre AC doğrusunun A eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) 5 C) 5 1 D) 5 1 E) 3 1 A) 3 1 B) 2 1 C) 1 D) 2 E) 3 Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi. Acaba bir doğru, sadece üstündeki bir noktala belli midir? Tabii ki değil. Mesela aklınızdan bir d nokta tutun ve o noktadan A(, ) 1 geçen doğruları haal edin. 1 Bir sürü doğru geçior değil α mi? Yalnız dikkat edin, o bir sürü doğrunun hepsi 12

94 Mustafa YAĞCI eksenile farklı farklı açı ölçüleri oluşturuorlar. Yani hepsinin eğimleri farklı. halde mantığın doğal sonucu olarak, bir doğrunun üzerindeki bir noktası ve eğimi biliniorsa, o doğrunun tek olduğunu dolaısıla denkleminin azılabileceğini anlıoruz. Şu an bilmioruz arı mesele, ama azılabileceğini analiz ettik. Geçtiği nokta A( 1, 1 ) ve eğimi m olsun. Doğru denklemlerinin birinci dereceden ve iki bilinmeenli olduğunu bilioruz. Yani = a + b şeklinde. in katsaısı zaten eğimdi. halde = m + b oldu. b i de bulursak denklemi azmış olacağız. Bir doğrunun bir noktadan geçtiğini biliorsak, o noktanın koordinatlarının denklemi sağlaması gerektiğini de bilioruz. A( 1, 1 ) denklemi sağlamalı. halde 1 = m 1 + b olduğundan b = 1 m 1 olur. Düzenleelim: = m + 1 m Yan şekildeki K noktasının ordinatı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) k doğrusu orijinde geçmekte ve d doğrusu buna dik durumdadır. tan α = 2 ise A noktasının ordinatı kaçtır? A) 2 3 B) 2 D) 2 5 Doğrunun Analitik İncelenmesi K -2-3 Α α k d 24 D) 3 E) 5 1 = m m 1 1 = m( 1 ) Alıştırmalar = 0 doğrusuna dik olan bir d doğrusu ( 6, 0) dan geçiorsa bu doğru eksenini hangi ordinatlı noktada keser? A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) Şekilde d doğrusu AC i dik kesmektedir. BC = 2 AB ise D noktasının apsisi kaçtır? A) 2 1 D) 3 4 B) 1 C) 2 3 E) 2 d A 3 B C D A( 2, 1) den geçen ve eğimi 2/3 olan doğru eksenini hangi apsisli noktada keser? A) 1 B) 2 C) 2 7 D) 3 1 E) Yandaki BA üçgeni dik ise A noktasının apsisi kaçtır? A) 4 B) 5 25 C) 3 D) 27/4 E) 15/2 B(3,4) A 67. d C( 3, p) noktasında k dik kesişen d ve k doğruları andaki şekilde -3 1 C(3,p) gösterilmiştir. Buna göre d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Aşağıdaki noktalardan hangisi d doğrusunun üzerindedir? A) ( 1, 1) B) ( 1, 2) C) (6, 0) D) (7, 1) E) (5, 2) -1 C A(2,7) d 13

95 Mustafa YAĞCI = 6 doğrusula ekseni üzerinde dik kesişen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = k doğrusu orijinden geçip, d doğrusuna diktir. A( 1, p) noktası k üzerinde ise p kaçtır? A) 2 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) = p + k doğrusu ile ekseni üzerinde dik kesişen AC doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? d A(-1, p) A) = p + k B) = p k 1 1 C) = + k D) = + k p p 1 E) = k p A 2 C 3-2 = 6 B 4 = p + k 77. Şekildeki iki doğru dik kesişiorlarsa, B noktasının apsisi kaçtır? A) D) 3 10 B) 3 14 E) 3 C) Doğrunun Analitik İncelenmesi [AB] nin orta dikmesi olan d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 = B) + 5 = 0 C) 2 = 12 2 D) = E) = Grafikteki d ve k doğrularından birinin denklemi = ise taralı alan kaç birimkaredir? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) Şekilde A, B, C noktaları doğrusal olup, BDC bir dik üçgendir. D noktasının apsisi 6 ise C noktasının apsisi kaçtır? A A A(-2,1) C k D 3 = C d d B = m + 5 B(4,0) B + 2 = -16 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) ABCD bir dikdörtgen olup, A köşesinin apsisi 2, B köşe-sinin ordinatı 4 ise CD kenarının denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 2 B) = 2 C) = 2 D) = E) = A D B -4 C 81. ABCD karesinin D köşesi = 2 doğrusu üzerindedir. C köşesinin apsisi 6 ise karenin bir kenarı kaç br.dir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 D A = 2 C B 14

96 Mustafa YAĞCI İki noktası bilinen doğrunun denklemi. Anen ukarda aptığımız analiz gibi, bir doğrunun üzerindeki iki noktasıla belli olduğu, en azından olması gerektiğini sezioruz. Çünkü çizimlerimiz o noktadan sadece ve sadece tek bir tane çizebileceğimizi gösterior. E iki noktası bellise, biz bu doğrunun eğimini bilioruzdur, eğimi ve geçtiği bir noktası bilinen doğru denklemlerini de azmaı öğrenmiştik. halde 1 = m( 1 ) eşitliğinde m erine azarsak, mutlu sona eri şeceğiz. A ( 1, 1 ) B ( 2, 2 ) P (, ) 1 = vea 1 1 = 2 ( 1 ) Bu eşitliklere şöle de ulaşabilirdik. Doğru üstündeki herhangi bir nokta (, ) olarak adlandırıl-sın. Yan şekildeki gibi A, B ve P noktalarının doğrusallığından =. Tabii bu eşitliği çok fazla tasvip etmioruz. Çünkü iki nokta bellise eğim bulunup, 1 = m( 1 ) formülünü kullanmak daha güzel gibi. 1 1 Doğrunun Analitik İncelenmesi (a + 1) + a 1 = 0 doğrusunun eğimi 2 ise a kaçtır? A) 3 2 B) 3 1 C) 3 2 D) 2 1 E) (p + 1) 2p + 5 = 0 doğrusu A(1, 1) noktasından geçiorsa bu doğrunun eğimi kaçtır? A) B) 8 5 C) D) 5 E) 12 7 = doğrusunun A( 1, 0) noktasına en akın noktasının ordinatı kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) Denklemi (m 1) + 2 m + 1 = 0 olan doğrunun eğimi 1 dir. Bu doğrunun koordinat eksenlerile oluşturduğu üçgenin alanı nedir? A) 4 1 B) 3 1 C) 2 1 D) 1 E) 2 3 Alıştırmalar 82. A( 4, 1), B(0, 1), C(2, 7) ise ABC üçgeninin A köşesinden geçen kenarortaının denklemi nedir? A) = 0 B) = 0 C) + = 7 D) = 0 E) = A( 2 1, 3) ve B(1, 3) noktalarından geçen doğrunun denklemini azınız? A) = B) = C) = D) = E) = A(p + 1, 2p), B(0, p) ve C(2 p, 3) noktalarını köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezi = doğrusu üzerinde ise p kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) A( 2, 7), B( 4, 2) ve C(3, 1) noktalarının belirttiği ABC üçgeninin BD kenarortaının denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 B A D C 15

97 Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi 90. D(0, 3), B(5, 0) olup, C noktasının apsisi A noktasının apsisinden 3 fazladır. ABCD bir paralelkenar olduğuna göre AC köşegeninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? D A C B 94. DEC ikizkenar üçgen olup, CEFB eşkenar dörtgendir. FBCD dörtgeninin çevresi 26 birim ise A nın ordinatı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 B A F C E 9 D A) + 1 = 0 B) 1 = 0 C) 3 3 = 0 D) = 0 E) 3 1 = Yandaki ABC eşkenar dörtgeninin B köşesinin koordinatları (6, 2) dir. Buna göre AC köşegeninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 10 3 B) = 9 2 C) = 7 2 D) = 9 4 E) = Şekilde d ve k doğrularının eksenlerle oluşturdukları dik amuk görülmektedir. Yamuğun alanı 20 br 2 ise k doğrusunun eksenini kestiği noktanın apsisi olan p kaçtır? A) 3 B) 2 5 p 2 C) 2 D) 2 3 C A 5 B d k E) 1 Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun denklemi. Artık c b bu soruu apmak için birkaç olumuz var. İster önce eğimi bulur a ve geçtiği bir noktaı alırız, istersek geçtiği iki noktası bilinen doğru denklemlerini kullanarak azabiliriz. + = 1 a b Formülümüz düzenlenirse, eşitliği de pedahlanır. b + a = ab Yani, doğrunun eksenini kestiği noktaı ile, eksenini kestiği noktaı ile çarpıp, bunların toplamını eksenleri kestiği noktaların çarpımlarına eşitleerek de doğrunun denklemini azabiliriz. m 1 = m rijinden geçen doğrunun denklemi. rijin dediğimiz şe nam-ı diğer başlangıç noktasıdır. Yani koordinatları (0, 0) olan nokta. Eğimi m olan ve (0, 0) dan geçen doğrunun denklemi azılırsa = m denklemine ulaşılır. 93. Yandaki grafik alara göre A ve B bitkilerinin bolarını cm. üzerinden göstermektedir. Buna göre 28. ada bu bitkilerin boları toplamı kaç cm. olur? (cm) (a) A) 52 B) 54 C) 59 D) 61 E) A B (7,10) Eksenlere paralel doğruların = a denklemi. (a, 1), (a, 2), (a, 3), = b b (a, 4), (a, 5), (a, 6), (a, 7),, (a, n), noktalarının ortak a özelliğini sorsam size ne dersiniz? Tüm noktaların apsisleri ani lerinin a olduğunu değil mi? İşte bu noktaların belirttiği bu doğrua biz de bunun için = a doğrusu deriz. Yani, bu doğru i a olan tüm noktaları taşıor manasına gelir. Yan şekildeki diğer doğru da anı sebepten dolaı = b doğrusu adını alır. 16

98 Mustafa YAĞCI Alıştırmalar 95. = 0, = 0, = 3 ve = 2 doğrularının sınırladığı bölgenin alanı kaç br 2 dir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) = + 2, = 3 ve = 5 doğrularının oluşturduğu taralı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 3 B) 2 7 C) 4 D) 2 9 E) 8 Analitik düzlemde iki doğrunun durumu. Hadi bir haal kuralım. Herkes aklından bir düzlemde iki doğru düşünsün. Durun tahmin edeim: Ya ikisini üst üste düşündünüz, çakışık bir vaziette ani, a paralel a da kesişen bir biçimde değil mi? Bu işi bırakıp müneccim mi olsam acaba? İki doğru her zaman bu üç durumdan birini sağlar. İtirazı olan varsa aksine bir örnek göstersin. Şimdi doğruların grafiklerine bakarak değil de denklemlerine bakarak, çakışık mı, paralel mi oksa kesişen mi olduklarını söleebilmei öğreneceğiz. Doğrularımız aşağıdaki gibi olsunlar: a b c d 1 : a 1 + b 1 + c 1 = 0 d 2 : a 2 + b 2 + c 2 = = = olursa, iki doğrunun hem eğimleri a2 b2 c 2 hem de eksenleri kestiği noktalar anı olacağından doğruların aslında anı doğruu simgelediklerini anlarız. Böle doğrulara çakışık doğrular dieceğiz. a1 b1 c1 = olursa, ilk eşitlik gereği doğruların a 2 b 2 c2 eğimlerinin eşit olduğunu anlarız. Eğimlerinin eşit olması bizi eğim açılarının eşitliğine götürür. Bu da doğruların paralelliği demektir. Sabit terimleri oranı farklı olduğundan çakışık olamaacakları da çıkarılır. = 5 = + 2 = 3 a b Doğrunun Analitik İncelenmesi 1 1 ise eğimleri farklı olur. halde ne çakı- a2 b2 şık ne de paralel olur bu doğrular. Tek bir şans kalıor: Bir noktada kesişmeleri. Ve bu da gerçekleşir. Alıştırmalar 97. = 3 1 ve m n 1 = 0 denklemleri anı doğrunun ise m + n =? A) 11 B) 9 C) 7 D) 5 E) = 0 ve a = 0 doğrularının tek noktada kesişebilmeleri için a hangi değeri almamalıdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) = 0 ve a + 2 b = 0 doğrularının paralel oldukları ama çakışık olmadıkları bilinior. Buna göre a kaç olmalı, b kaç olmamalıdır? A) a = 6, b 4 B) a = 4, b 2 C) a = 4, b 2 D) a = 4, b 2 E) a = 4, b 2 Noktanın doğrua olan uzaklığı. Gele gele analitik geometrinin en önemli formüllerinden birine geldik. Koordinatları verilen bir noktanın, denklemi verilen bir doğrua olan uzaklığını hesaplamaı öğreneceğiz. Bilindik ÖSS geometrisi kurallarıla kanıtlanabilen ama uzun bir kanıtı var, onun için bu kanıtı size alıştırma olarak bırakıorum. Artık aşağıdaki formülü adınız gibi ezberlein demekten başka ol da kalmıor. Noktamız P( 1, 1 ), doğrumuz da a + b + c = 0 olsun. Noktanın doğrua olan uzaklığına da h dielim. Bu arada uzaklık denilince en kısa uzaklık olarak algılamalısınız, onu da belirteim. P( 1, 1) h d a + + h= 2 2 a + b 1 b1 c 17

99 Mustafa YAĞCI Burada diğer bir önemli nokta da, formülün ugulanabilmesi için, denklemi kapalı hale getirmemiz gerektiğidir. Lütfen buna dikkat edin! Alıştırmalar 100. P(1, 2) noktasının = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Koordinatları A(n, 2) olan noktaların = 0 doğrusuna uzaklıkları 4 birimdir. Bu koşula uan n değerlerinin toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Yandaki şekle göre, A(3, 4) noktasının = m doğrusuna uzaklığı 3 birim ise m kaçtır? A) B) C) 23 D) 15 8 A(3, 4) 3 = m E) 10 3 Doğrunun Analitik İncelenmesi vereceğiz. Lütfen bu formülü de adınızı söleebildiğiniz hızda söleebilior olun. Beni kızdırmaın! tan α = m2 m1 1+ m m Bu formülün arka planında aslında başka şeler de atıor. Mesela m 1 = m 2 olduğunu düşünün. tan α formülü sıfıra eşit oluor. Bu da bize bu iki doğrunun sıfır derecelik bir açı belirttiğini ani doğruların birbirlerine paralel olduklarını anlatıor. Benzer şekilde m 1 m 2 = 1 olması halinde de formülün padası sıfır olduğundan ani ifade tanımsız olduğundan, diğer andan tan 90 o nin de tanımsız olduğunu bildiğimizden doğruların birbirlerini dik kestiğini anlarız. 1 Alıştırmalar 104. = + 3 ve = 0 doğruları arasındaki dar açı kaç derecedir? A) 15 o B) 30 o C) 45 o D) 60 o E) 75 o = 0 ve = 3 5 doğruları arasındaki dar açının tanjantı kaçtır? A) 5/4 B) 6/7 C) 7/9 D) 9/11 E) 11/ Şekildeki iki doğru birbirlerine dik olup A noktasının doğrua olan uzaklığı 20 birimse A noktasının ordinatı olan p kaçtır? A(-5, p) = 2 3 ve = doğruları arasındaki geniş açı kaç derecedir? A) 105 o B) 120 o C) 135 o D) 150 o E) 165 o A) 4 B) 3 C) 3 8 α d d D) 3 E) 2 9 İki doğrunun belirttiği açı. Kesişen iki doğru daima bütünler iki açı çifti belirtir. Yani, şekildeki d 1 ile d 2 doğrularının belirttiği açının ölçüsüne α diebileceğimiz gibi 180 o α da diebilirdik. Bu açıları bulmanın formülü de trigonometri içerdiğinden bunu da kanıtsız olarak 107. = ile = a + 5 doğruları arasındaki açı 45 o ise a aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 2 1 D) 4 7 B) 2 3 E) 2 5 C) 2 45 = = a

100 Mustafa YAĞCI 108. A(3, 5), B( 2, 1) ve C(, 0) noktaları için BAC dik üçgeni anda çizilmiştir. Buna göre kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Paralel iki doğru arasındaki uzaklık. Şimdi de paralel iki doğru arasındaki uzaklığı hesaplamaı öğreneceğiz. d 1 : a + b + c 1 = 0 ve d 2 : a + b + c 2 = 0 ise h= c 1 a c Bunun da başka bir olu var b Paralel doğrular arasındaki uzaklık her erde sabit olduğundan d 1 doğrusu üzerinde bir nokta alıp, bu noktanın d 2 doğrusuna olan uzaklığını bulmak, aslında paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmaktır. Siz ine e bu formülü de ezberlein! 2 Alıştırmalar 109. = 2 3 ve = 2 8 doğruları üzerinde birer kenarı bulunan bir karenin alanı kaç birimkaredir? A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) Tabanı = 0 doğrusu üzerinde, tepesi de = 0 doğrusu üzerinde bulunan bir eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç birimdir? B h A h C d 1 d2 (, ) h h l1 Merak edenler için verelim: d 1 : a 1 + b 1 + c 1 = 0 Doğrunun Analitik İncelenmesi Açıorta doğrularının denklemleri. İki doğru eğer paralel değillerse kesişirler. Bölelikle iki ters açı çifti oluşur. Bu açıların açıortaları da birer doğru olduğundan denklemleri merak edilebilir. d 2 : a 2 + b 2 + c 2 = 0 olsun. l 1 ve l 2 açıorta doğruları olduğundan üzerlerinde alınan herhangi bir (, ) noktasının d 1 ve d 2 doğrularına olan uzaklıkları eşittir. Bir noktanın bir doğrua olan uzaklığı formülünü kullanırsak a h= d1 d2 l2 1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 a b 2 1 = a b eşitliğine erişiriz ki çıkan değerler d 1 ve d 2 doğrularının açıortalarının denklemlerini verir. Alıştırmalar = 0 ve = 0 doğrularının açıorta denklemlerini bulunuz? A) = 0, = 0 B) + 1 = 0, = 0 C) = 0, = 0 D) = 0, = 0 E) = 0, = = 0 ve = 0 doğrularının açıortalarının birinin denklemi nedir? 2 2 A) = 0 B) = 0 C) = 4 D) = 0 E) = 0 A) 3 B) 4 C) 6 D) 10 E) = 0 ve k = 0 doğrularının arasındaki uzaklığın 1 birim olabilmesi için k nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 114. Yandaki BA bir dik üçgen olup, AN iç açıortadır. A noktasının koordinatları (4, 3) ise N noktasının apsisi kaçtır? N A(4,3) B A) 9 B) 7 C) 8 D) 10 E) 17 19

101 Mustafa YAĞCI 19 A) 5 12 B) AC dik üçgeninin köşe koordinatları an şekilde verilmiştir. CB iç açıorta ise a kaçtır? C) 2 D) 2 5 A(0,8) B(0,3) 14 E) 5 C(a,0) Doğrunun Analitik İncelenmesi A) 1 B) 7 C) 11 D) 13 E) m 3 + 4m 6 = 0 doğru demetinin geçtiği ortak sabit noktanın koordinatları nedir? A) (1, 0) B) ( 2, 2) C) (0, 1) D) (5, 1) E) (4, 4) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Doğru demeti. İki vea daha çok doğru noktadaş ise adına doğru demeti denen bir şekil oluştururlar. Doğru demeti denklemleri ve dışında bir bilinmeen içerirler. Bu bilinmeen değiştikçe doğrular değişir ama hep bir nokta sabit kalır. d 1 + k d 2 = 0 (k ) Bir doğru demetinin geçtiği ortak sabit noktaı bulmak için k değişkenine canımızın istediği 2 farklı değer veririz. Bölelikle demet içinden hangisi olduğunu bilmediğimiz ama kesinlikle bu demet içinde olduğunu bildiğimiz iki doğru denklemi elde ederiz. Bu doğruların kesiştiği noktanın bulunması, bize doğal olarak tüm demetin geçtiği ortak sabit noktanın koordinatlarını verecektir. Doğruların parametrik denklemi. Doğru denklemlerinde görülen ve leri bir üçüncü değişken cinsinden ani bir parametre kullanarak azmaa doğrunun parametrik denklemi denir. Örneğin, = doğrusu (t, t) olarak, = 2 doğrusu (t, 2t) olarak gösterilebilir. Parametrik gösterimlerde her zaman ilk bileşen i, ikinci bileşen i verir. Bunun için A(2 + t, 3t + 1) noktalarının geometrik eri demek, parametrik denklemi (2 + t, 3t + 1) olan doğru demektir. Çözümü şöle apacağız: = 2 + t t = 2 = 3t + 1 = 3( 2) + 1. Alıştırmalar 116. = 2 5 ve = + 1 doğrularının kesiştiği noktanın koordinatlarının toplamı kaçtır? 118. = 2t 1 ve = 3t + 2 dir. t değiştikçe A(, ) noktasının geometrik erinin denklemi nedir? A) = 0 B) = 6 C) = 0 D) = 0 E) = = 0, = 3 + 7, 2 + m = 0 doğruları anı noktada kesişiorlarsa m kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Parametrik denklemi; = 2t + 1, = t 2 olan doğrunun eğimi kaçtır? A) 2 1 B) 2 1 C) 8 1 D) 2 E) (m 1) +(m + 1) 2m = 0 doğrularının geçtiği sabit noktanın apsisi kaçtır? A) 2 B) 2 1 C) 2 7 D) 1 E) A(m + 1, m) ve B(m 1, 2) noktalarının orta noktası C dir. m değiştikçe C noktasının geometrik erinin denklemi ne olur? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 20

102 Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi 123. Şekilde d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar belirtilmiştir. Buna göre taralı dörtgenin alanını bulunuz. A) 2 B) 2 5 D) 2 7 E) 4 C) Şekilde d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar belirtilmiştir. Buna göre taralı dörtgenin alanını bulunuz. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) Şekildeki k doğrusuna ( 3, 0) noktasından bir dik indirilior. Doğruların arakesiti olan P noktasının eksenine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 1 B) P d C) 2 D) A d d k k E) 2 5 k 127. Şekilde taralı üçgensel bölgenin alanı a cinsinden nee eşittir? A) 2a + 6 B) 2a 3 C) a + 6 D) 2a + 3 E) 3a Şekilde kesişen doğruların denklemleri verilmiştir. Taranan üçgensel bölgelerin alanları toplamı kaç br 2.dir? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 18 A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) Şekildeki doğrular ekseni üzerinde kesişiorlarsa a kaçtır? = -12 A C 4 - a = 4a B 3-2 = 12 = ekseni üzerindeki 2-3 = 4m A noktasında kesişen A 10-4 = 40 iki doğrunun eksenile oluşturduğu B C ABC üçgensel bölgesinin alanı kaç birimkaredir? +2 = 4a+6 = 5 + 2a A) 6 B) 4 C) 3 D) 1 E) Yandaki taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 16 B) 18 B C) 20 D) 21 E) 24 = + 4 A C = Yandaki grafikte, üç doğrunun kesişimile oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? = 6 = /2 = 2 21

103 Mustafa YAĞCI A) 18 B) 23 C) 24 D) 27 E) Grafikteki iki doğru ekseni üzerinde anı noktada kesişmektedirler. ABC üçgensel bölgesinin alanı kaç birimkaredir? A C = = -10 B Doğrunun Analitik İncelenmesi A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) A(0, 2), B(6, 4) ve C(2, 8) noktalarını köşe kabul eden üçgenin çevrel çember merkezinin koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisidir? 36 A) 7 B) 5 38 C) 5 39 D) 5 E) A) 2 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 DĞRUNUN DÜZLEMDE AYIRDIĞI BÖLGELER 133. Şekildeki iki doğrunun eksenile oluşturdukları taralı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 9 B) 12 C) 14 D) 15 E) Yandaki şekilde CD = 2 C = 2 B = 2 A olup, (ECD) üçgeninin alanı 2 ise E noktasının apsisi kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar grafikte gösterilmiştir. Taralı dörtgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? 17 A) 5 19 B) 5-4 A C B 27 C) 4 D) 5 E) = 4 E 3 + = 9 2 D d k Birinci dereceden iki bilinmeenli eşitsizlikler. = m + n denklemini nasıl orumlamamız gerektiğine değinmiştik. Tekrar hatırlatalım. Öle bir (, ) noktası düşünün ki; si inin m katının n fazlası olsun. Eğer bu şartları sağlaan bir nokta bulursak, bu noktanın doğrunun üzerinde olduğunu sölüorduk. Peki, bu şartları sağlaan kaç farklı nokta bulunabilir? İstediğimiz kadar çok. İşte bu = m + n doğrusu, si inin m katından n fazla olan tüm noktaları üzerinde taşıan bir doğrudur. Peki, sağlamaan noktalar nerede o zaman? Bu doğrunun üzerinde olmadığı kesin. halde a üstünde a altında, vea a sağında a solunda. Peki üstünde olmaan kaç nokta var? nlar da istediğimiz kadar çok, hatta istemediğimiz kadar çok! Peki bu doğrunun üzerinde olmaan noktalar doğrusal mı? Haır, dağınık bir şekildeler. Yani bir bölge oluştururlar. İşte bu doğrunun üst bölgesi analitikte > m + n, alt bölgesi de > m + n olarak gösterilir. Bir doğrunun üst bölgesini denklemle anlatmak isteen, önce doğrunun açık denklemini azacak, sonra da = işaretini >, alt bölge için de < apacak. Eğer üst bölgee doğru üzerindeki noktalar da dahilse noktalar da dahilse, alt bölgee doğru üzerindeki işaretini kullanacağız ABC bir ikizkenar amuktur. Üst tabanının denklemi = 2 ve AB kenarının denklemi 2 + = 8 ise amuğun alanı kaç birimkaredir? C B = 2 A Yok eğer böle apmak istemiorsanız, şunu apın: Önce doğrunun denklemini çizin. Eşitlik varsa düz çizgi, eşitlik oksa kesik kesik çizin. Sonra doğrunun üstünde olmaan bir nokta seçin. Eşitsizliği sağlıorsa, doğru bölgeden seçmişsinizdir, sağlamıorsa anlış bölgeden. 22

104 Mustafa YAĞCI < m + n > m + n < m + n > m + n Uarı. a + b + c = 0 doğrusu ve A( 1, 1 ) ile B( 2, 2 ) noktaları verilsin. Eğer (a 1 + b 1 + c 1 ) (a 2 + b 2 + c 2 ) < 0 ise A ile B noktaları doğrunun farklı taraflarındadır. Eğer (a 1 + b 1 + c 1 ) (a 2 + b 2 + c 2 ) > 0 ise A ile B noktaları doğrunun anı taraflarındadır. 138., 1, Alıştırmalar 3 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Grafikteki taralı bölgei belirtmek için 3, koşullarına ek olarak aşağıdakilerden hangisi verilmelidir? Doğrunun Analitik İncelenmesi 3 A) + 0 B) + 0 C) D) E) Yandaki taralı bölgei ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir? A) > + 1, 3 0 B) + 1, C) + 2, > 0 D) , E) + 0, < Şekildeki taralı düzlem parçası aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisinin çözüm kümesidir? A) ( 1) 0 B) ( 1) 0 C) ( 1) 0 D) ( 1) 0 E) ( 1) Yanda taranan bölge hangi eşitsizlik sisteminin çözümüdür? A) , B) , C) , D) , E) + 1 0, Şekildeki taralı düzlem parçası aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisinin çözüm kümesidir? A) ( + 2) ( + 2) 0 B) ( + 2) ( 2) 0 C) ( + 2) ( 2) 0 D) ( + 2) ( 2) 0 E) + > 2,

105 Mustafa YAĞCI 144. A(2, 4), B(3, 10) noktaları = 2 + m doğrusunun farklı bölgelerinde ise m erine azılabilecek tamsaıların toplamı kaçtır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) A(2, 0), B( 2, 1) noktaları + + m = 0 doğrusunun anı bölgelerinde ise m erine azılabilecek tamsaıların toplamı kaçtır? A) 3 B) 6 C) 1 D) 2 E) A(1, 1), B( 1, 1) noktaları + m = 0 doğrusunun farklı bölgelerinde ise m erine azılabilecek tamsaıların adedi kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Simetri. Tam olarak tanımı nedir, bilmiorum, hatta tanımı var mıdır, onu dahi bilmiorum. Bildiğim bir şe var ki, A nesnesinin B nesnesine göre simetriğinin C nesnesi olabilmesi için kabaca 3 şart var: i. A, B, C doğrusal olmalılar. ii. AB = BC olmalı. iii. A ile C anı nesne olmalı. Yorumlamaa üçüncüden başlaalım. Demek ki bir şein herhangi bir şee göre simetriği hep kendi cinsindendir. Yani bir nokta nın bir şee göre simetriği ine bir nokta, bir doğru nun da herhangi bir şee göre simetriği ine bir doğru dur. İkinci şartın anlatmak istediği de noktalar vea doğrular nee göre simetriklerse, ona eşit uzaklıkta ve zıt taraflarında olmalılar. Bu zıt tarafta olmak ani B nin ortada kalması da birinci şartın anlatmak istediği şelerden biri. Diğeri de doğrusal olma mecburietleri. Bunun ne demek istediği zaten aan bean ortada. Yazılanlara bakınca ana görüntüsü gibi bir şe olsa gerek simetri. Vea bir şei bir doğru bounca katlaınca, katlama ekseninin her iki tarafında kalan parçalar tam olarak birbirlerini karşılıorlarsa(örtüorlarsa), bu şekillere simetrik şekiller katlama eksenine de simetri ekseni denir. Doğrunun Analitik İncelenmesi Mesela A, H, I, M,, T, U, V, Y, X harfleri birer simetri eksenlerine sahiptir. Hepsini tam ortalarından bouna dik kesen bir doğru çizdiğimizde, o doğrunun solunda ve sağında kalan parçalar birbirlerinin simetrikleriler. Bazı harflerin de ata simetri eksenleri vardır. Mesela B, C, D, E, H, I, K,, X harfleri. Bu harfleri enine tam ortadan kesen bir doğru çizersek, doğrunun üstünde ve altında kalan parçalar birbirlerinin simetrikleri olacaktır. Dikkat ettiseniz bazı harflerin hem dike hem de ata simetrikleri var. H, I,, X gibi Bazen de eğik simetri eksenleri olur. Mesela harfi eğik simetri eksenine de sahip, hem de çok fazla harfini hatasız bir çember gibi farzedin, tüm çapların çemberi simetrik iki aa böldüğünü hatırlaın Yani çember ve dairenin istediğimiz kadar çok, farklı simetri ekseni vardır. Değinmişken diğer geometrik cisimlere de el atalım. Acaba hangisinin simetri ekseni var, hangi-sinin ok? Size bir ipucu vereim: Düzgen n- genlerin her zaman n tane simetri ekseni olur. Çember zaten çok çok büük n ler için düzgün n- gen gibi düşünülebileceğinden, kim ne kadar isterse o kadar saıda farklı simetri ekseni vardır. Yukarda görüldüğü üzere düzgün üçgenin (eşkenar üçgen) 3, düzgün dörtgenin (karenin) 4, düzgün beşgenin 5 farklı simetri ekseni vardır. Düzgün olmaan hiçbir n-genin n tane simetri ekseni olamaz. Arıca hiçbir n-genin de n den fazla simetri ekseni olamaz. 24

106 Mustafa YAĞCI Eşkenar üçgenden başka düzgün üçgen olmadığından, eşkenar üçgenden başka 3 farklı simetri ekseni olan üçgen oktur. İkizkenar üçgende 1 tane (tepeden tabana inen ükseklik) simetri ekseni vardır. Çeşitkenar üçgenlerin ise simetri ekseni oktur. Kareden başka düzgün dörtgen olmadığından kareden başka hiçbir dörtgende 4 farklı simetri ekseni oktur. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin 2 tane, deltoit ve ikizkenar amuğun da 1 tane simetri ekseni vardır. Paralelkenarın ise hiç oktur. Peki, insanın kendisinin simetri ekseni var mıdır? Fazla eşelemezsen, vardır diebiliriz. Bodan tam ikie bölen bir doğru çizdiğinizi haal edin, tam o. Ama enden ani göbekten geçen doğru simetrik bölmez, hataa düşmein. Başka ne örnekler verebiliriz günlük haattan, bir düşünelim bakalım Mesela, acaba açık du-ran bir tavla kutusunun simetri ekseni var mıdır, varsa kaç tanedir? Arıca, azdığınız defterde, okuduğunuz kağıtta, tuttuğunuz kalemde durum ne, bunları da düşünün, sonra gelin bir bir bana sorun Örneğin, harfleri incelediğimiz gibi siz de rakamları inceleebilirsiniz... Artık az çok simetrik olmak ne demek, simetri ekseni ne demek anlamış olmalısınız Haattaki, harflerdeki, geometrideki simetri derken, geldik analitik geometrideki simetrie Şimdi ufak ufak noktanın noktaa, noktanın doğrua, doğrunun noktaa, doğrunun doğrua fi-lan simetriklerini bulmaı öğreneceğiz. Tabi önce güzel doğrularla başlaacağız. Güzelden kastımız, koordinat eksenleri ve bunlara paralel doğrular. Noktanın Noktaa Göre Simetriği. En kolalarından biri. Simetrinin tanımı gereği A noktasının B noktasına göre simetriği de bir noktadır. noktaa C dielim. Yine simetrinin tanımı gereği AB = BC ve A, B, C noktaları doğrusal olmalı. Yahu bu B noktası, o zaman, düpedüz AB doğru parçasının orta noktası!. Doğrunun Analitik İncelenmesi Alıştırmalar 147. A(1, 4) noktasının B(2, 2) noktasına göre simetriği C dir. C noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) A(2, 3) noktasının B(4, 1) noktasına göre simetriği olan noktanın eksenine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) A(3 m, m) noktasının C e göre simetriği B(2, 1 3m) dir. C nin m = 0 doğrusu üzerinde olması için m kaç olmalıdır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) A(4, 0) noktasının B noktasına göre simetriği şekildeki C noktasıdır. C nin orijine uzaklığı 5 birim ise AC üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 Özel doğrulara göre simetri. Aşağıda verilen bağıntıları tek tek kanıtlaınız. C B 5 A 4 A(, ) B(a, b) A'(, ) E( 1, 1 ) = A( 1, 1 ) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği C(, ) ise 1 = a + 2, 1 + = 2 b dir. Bildiğin orta nokta koordinatlarını bulmakla anı şe. Fazla söze gerek ok. D( 1, 1 ) C( 1, 1 ) A( 1, 1 ) B( 1, 1 ) 25

107 Mustafa YAĞCI A( 1, 1 ) noktasının; eksenine göre simetriği: B( 1, 1 ) eksenine göre simetriği: D( 1, 1 ) rijine göre simetriği: C( 1, 1 ) = doğrusuna göre simetriği: E( 1, 1 ) = doğrusuna göre simetriği: F( 1, 1 ) = a doğrusuna göre simetriği : A (2a 1, 1 ) = b doğrusuna göre simetriği : A ( 1, 2b 1 ) Alıştırmalar 151. A( 1, 2) noktasının eksenine göre simetriğinin koordinatlarını bulunuz. A) (1, 2) B) (2, 1) C) ( 1, 2) D) ( 2, 1) E) (1, 2) 152. M( 3, 4) noktasının eksenine göre simetriği analitik düzlemin hangi bölgesindedir? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 2. vea A(4, 2) noktasının orijine göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz. A) ( 2, 4) B) ( 4, 2) C) (4, 2) D) (2, 4) E) ( 4, 2) 154. A(1, 3) noktasının birinci açıorta doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz. A) ( 1, 3) B) (3, 1) C) ( 1, 3) D) ( 3, 1) E) (1, 3) 155. A(m + 1, 1 3m) noktasının ikinci açıorta doğrusuna göre simetriği analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir. Buna göre m kaç olabilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Doğrunun Analitik İncelenmesi 156. A(5, 2) noktasının = 7 doğrusuna göre simetriği olan B noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 5 B) 8 C) 10 C) 12 E) A(5, 2) noktasının = 1 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. A, B ve orijinden oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 5 B) 6 C) 8 C) 10 E) A(, ) noktasının eksenine göre simetriği B ve B nin eksenine göre simetriği C( 5, 2) noktasıdır. A noktasının koordinatlarını bulunuz. A) (3, 2) B) (5, 2) C) ( 2, 3) D) (3, 4) E) (4, 5) 159. A( 2, 1) noktasının = 1 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nelerdir? A) (3, 2) B) (4, 1) C) (3, 3) D) (3, 4) E) (4, 5) 160. A( 3, 1) noktasının eksenine göre simetriği B, = doğrusuna göre simetriği ise C dir. Buna göre BC doğrusunun denklemini azınız. A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) + 1 = 0 E) = (2 m) + (m 1) + 6 = 0 doğruları sabit bir P noktasından geçmektedirler. P noktasının orijine göre simetriğinin koordinatlarını bulunuz. A) (4, 4) B) (2, 2) C) ( 2, 2) D) ( 4, 4) E) (6, 6) 26

108 Mustafa YAĞCI 162. A( 2, 3) noktasının eksenine göre simetriği B, B nin orijine göre simetriği ise C dir. BC doğrusunun denklemini bulunuz. A) = 0 B) = 2 C) 3 = 2 D) = 0 E) = = 0 doğrusunun orijine göre simetriği olan doğru 3(n 1) + 2(m 2) + 5 = 0 doğrusu ise m n çarpımı kaçtır? A) 2 B) 0 C) 1 D) 1 E) A(2, 3) noktasının + 1 = 0 doğrusuna göre simetriği B dir. B noktasının + = 0 doğrusuna göre simetriğinin 3 a = 0 doğrusu üzerinde olması için a kaç olmalıdır? A) 1 B) 5 C) 2 D) 5 E) m bir reel saıdır. (m + 2) + (2m 1) + 5 = 0 doğrularının geçtiği sabit nokta A dır. A nın + = 0 doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları nelerdir? A) ( 2, 1) B) (2, 1) C) (1, 2) D) ( 1, 2) E) ( 2, 1) 166. a 2 b < 0 ve 2 < 0 olmak üzere A(a, ) noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesinde ise B(a, b) noktasının ikinci açıorta doğrusuna göre simetriği hangi bölgededir? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) rijinde 167. A(3, 1) noktasının = 2 doğrusuna göre simetriği B dir. B nin orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 3 B) 5 C) 10 D) 12 E) Doğrunun Analitik İncelenmesi = 1 doğrusunun ikinci açıorta doğrusuna a b göre simetriğinin kapalı denklemini azınız. A) a b + ab = 0 B) a + b ab = 0 C) b a + ab = 0 D) b a ab = 0 E) a b ab = Birinci ve ikinci açıorta B A doğruları anda çizilmiştir. C M(3, 2) noktasının orijine D M(3, -2) göre simetriğinin eksenine göre simetriği, analitik E düzlemin anda gösterilen hangi bölgesindedir? A) A B) B C) C D) D E) E 170. d 1 ve d 2 doğrularının ikisi de ekseni üzerindeki A noktasından geçmektedirler. d 1 doğrusunun denklemi = a + 2a ise d 2 doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = a 2a B) = a + 2a C) = a 2a D) = /a + 2a E) = /a 2a 171. Analitik düzlemde simetri eksenleri + 2 = 0 ile + = 0 doğruları olan dikdörtgenin bir köşesinin koordinatı (2, 0) olduğuna göre diğer üç köşesinin apsisler toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) A( 1, 4) noktasının + = 0 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. B nin = 3 doğrusuna göre simetriği 2 = + a doğrusu üzerinde ise a kaçtır? A) 8 B) 12 C) 10 D) 8 E) 12 A B C d d

109 Mustafa YAĞCI Bir noktanın bir doğrua göre simetriği. Bir A noktasının bir d doğrusuna göre simetriği alt şekildeki şartları sağlaan A noktasıdır. Yani, d doğrusu [AA ] nın orta dikmesi olmalıdır. k P A( 1, 1) A' d: a + b + c = 0 A noktasının koordinatlarını aradığımızı unutmaın. Peki nei bilsedik A noktasının koordinatlarını bulabilirdik? AP = PA olduğundan P noktasının koordinatlarını. Peki, P noktasının koordinatlarını nasıl bulabiliriz? P noktası rastgele bir nokta değil ki, d ve k doğrularının kesim noktası! Peki, bu kesim noktasını bulabilmek için nee ihtiaç var? d ve k doğrularının denklemlerine. d doğrusunun denklemi zaten belli, o zaman k doğrusunun denklemini bulalım. Şimdi nee ihtiaç var? Üstünde bir nokta bilindiğinden eğimine. Peki, k doğrusunun eğimini nasıl buluruz? d doğrusula dik kesiştiğinden d nin eğiminin tersinin ters işaretlisidir. Peki, d nin eğimini bulabilir miiz? Pek tabii ki halde soru çözüldü. Şimdi bu dediklerimizi tersten apalım: 1) Verilen d doğrusunun eğimini bul. 2) Buradan k doğrusunun eğimini bul. 3) k doğrusunun denklemini az. 4) d ve k doğru denklemlerini ortak çöz, P i bul. 5) rta nokta formülünden vea noktanın noktaa göre simetriğinden, A noktasını bul. Noktanın doğrua göre simetriğinin hesapları, nerdese analitik geometrinin tüm önemli noktalarına dem vurmakta. Herhangi bir anda herhangi bir noktanın herhangi bir doğrua göre simetriğini hesaplamaı unutmamaa garet edin ki, analitik geometrii de unutmamış olun! derim ben, bilmem dinler misiniz? Alıştırmalar 173. A(1, 2) noktasının = 0 doğrusuna göre simetriği B dir. Buna göre AB kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Doğrunun Analitik İncelenmesi 174. A(2, 4) noktasının = 0 doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları nelerdir? A) ( 6, 1) B) (6, 2) C) (3, 1) D) (5, 2) E) (3, 2) 175. A(1, 2) noktasının = m + n doğrusuna göre simetriği B(5, 4) ise m n çarpımı kaçtır? A) 1 B) 5/2 C) 2 D) 3 E) A( 1, 1) noktasının = 3 1 doğrusuna göre simetriği olan noktanın apsisi kaçtır? A) 2 B) 11/3 C) 13/6 D) 15/4 E) 20/ Dik koordinat sisteminde A( 2, 3) noktasının = 1 doğrusuna göre simetriği ile B noktasının = 0 doğrusuna göre simetriği çakışık ise B nin koordinatları nelerdir? A) ( 2, 3) B) (3, 2) C) ( 6, 8) D) ( 7, 8) E) ( 8, 6) Bir doğrunun bir noktaa göre simetriği. Bir nesnenin bir şee göre simetriğini anı nesneden olduğunu ama farklı pozisonda bulunabileceğine değinmiştik. Bir doğrunun bir şee göre simetriği de ine bu sebeple bir doğrudur. Şimdi bir doğrunun verilen bir noktaa göre simetriğini bulmaı öğreneceğiz. 3 farklı ol göstereceğiz. bize verilen d doğrusunun üzerinde olan iki nokta alacağız ve noktanın noktaa göre simetriği kurallarından l doğrusunun üzerinde bulunan iki noktanın koordinatlarını bulmuş olacağız. İki noktası bid A( 1, 1) l Birinci ol. Bir d doğrusu-nun bir A noktasına göre simetriği, bu doğru üzerinde alınabilecek tüm noktaların A a göre simetriklerinin üzerinde bulundukları l doğrusudur. halde 28

110 Mustafa YAĞCI lindiğinden, l nin denklemini azmak hiç de zor olmaacak. Üst şekilden bunu görebilirsiniz. İkinci ol. luşan kelebekten dolaı d ile l doğrularının daima birbirlerine paralel olduğunu anlarız. Bu da bize farklı bir çözüm apabileceğimizi anlatır. Paralellikten dolaı l doğrusunun eğimini bilioruz saılır. Dolaısıla d üzerinde 2 değil sadece 1 nokta alsak da eter. Üçüncü ol. Bu ol en güzeli ve kullanmanızı istediğim tek ol. A( 1, 1 ) a + b + c = 0 a + b +??? = 0 a + b + d = 0 Bir kere bir doğrunun bir şee göre simetriğinin bir doğru çıkacağını bilioruz. Hatta bu şe, bir nokta ise ilk doğrua paralel bir doğru, o halde cevap olarak bulacağımız doğrunun eğimi, verilen doğrunun eğimi ile eşit olmalı. Verilen nokta, ani A, verilen doğru ile cevap olan doğrunun tam ortasında bulunduğundan, A dan geçen ve bu iki doğrua da paralel olan bir doğru çizilebilir ve sabit terimi ani??? azan er bulunur. Şimdi doğrular arasındaki uzaklıklar eşit olduğundan??? ile c arasındaki fark kadar??? ine ekler ve cevabı bulmuş oluruz. Örnek. + 6 = 0 doğrusunun A(3, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz = 0 Çözüm: Verilen doğruu ve cevap olan doğruu çizelim. Bir de (3, = 0 (3, 2) = 0 2) noktasından geçen bunlara paralel doğruu. Üç doğru birbirlerine paralel olduğundan eğimleri eşit olmalı ani üçünün de denklemi ile başlamalı. Nele bitmeli, onu arıoruz zaten. rtadaki doğru (3, 2) noktasını taşıdığından, (3, 2) noktası ortadaki doğrunun denklemini sağlamalı, o halde ortadaki doğru 1 = 0 doğrusudur. Doğruların aralarındaki uzaklık eşit olduğundan ilk iki doğru arasında sabit terim 7 azaldığından, son iki doğru arasında da sabit terim 7 azalacaktır. Bundan dolaı cevabımız 8 = 0. Doğrunun Analitik İncelenmesi Alıştırmalar = 0 doğrusunun A(1, 4) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) + 1 = 0 B) + 9 = 0 C) = 0 D) + 3 = 0 E) + 5 = = 0 doğrusunun A(1, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = = 0 doğrusunun A(-1, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) = 0 B) = 0 C) 3 2 = 0 D) = 0 E) = 0 Doğrunun doğrua göre simetriği. d doğrusunun l doğrusuna göre simetriği d doğrusu ise, l doğrusu d ve d doğrularının belirttiği açıların açıortaı olmak zorundadır. Düşünüş öntemi çok kısa olmasına rağmen, çözümleri bir o kadar uzun ve sıkıcıdır. İki doğrunun arasındaki açıların eşitliğinden de gidilebilir. Ki tavsiemiz budur. Bazı sorularda bazı pratik öntemler mevcut ama hepsinde sağlamadıklarından onları burada azmaalım. Derste dinlediklerinizle etinin Alıştırmalar 181. = doğrusunun eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 2 6 B) = 2 6 C) = D) = E) 2 =

111 Mustafa YAĞCI 182. = doğrusunun eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 2 6 B) = 2 6 C) = D) = E) 2 = = doğrusunun birinci açıorta doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 2 6 B) = 2 6 C) = D) = E) 2 = = doğrusunun ikinci açıorta doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 2 6 B) = 2 6 C) = D) 2 = + 6 E) 4 = = doğrusunun = 3 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = B) = C) = D) = 5 E) 2 = 6 Doğrunun Analitik İncelenmesi 187. = doğrusunun + = 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 3 = 0 B) 3 3 = 0 C) = 0 D) = 0 E) = = 0 doğrusunun = 0 doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Dik koordinat sisteminde = 0 ve = 0 doğruları d doğrusuna göre simetrik olduklarına göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 3 B) = 2 C) = 2 D) = 2 E) = Dik koordinat sisteminde = doğrusunun ve = 2 doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 3 B) = 2 C) = 7 D) 2 11 = 0 E) 3 13 = = 0 doğrusunun = 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 4 D) = 0 E) = 0 Simetrinin başka marifetleri. Simetrinin günlük haatta da bir sürü derdimize derman olduğu erler vardır. Simetri bilen biri bir çok şeden tasarruf sağlaabilir. Örnekleri derslerimizde bolca verdik. Ama tavsie etmem. Benim gibi kilo alırsınız. Mesela aşağıda bir erden bir ere gitmek için kullanmamız gereken en kısa ol ile ilgili bir örnek var: 30

112 Mustafa YAĞCI Koordinatları verilmiş A ve B B(c, d) noktalarını birer kö, eksenini de bir ırmak gibi düşünün. A A(a, b) köündesiniz. Köünüzde bir arışma apılıor. Kim ırmaktan su içtikten sonra en erken B P(n, 0) A'(a, -b) köüne varacak? Herkes, eğer hızlarında değişiklik olmazsa ırmağa ilk varanın, B e de ilk varacağını düşünür. Ama bu köde kazların aağı öle değil! Tavşan kaplumbağadan hızlıdır ama her zaman tavşan kaplumbağaı geçemez değil mi? Daha hızlı olmaktansa daha kısa olu tercih etmek daha fadalıdır çoğu zaman. Şimdi dediklerimi ii dinlein. A köünün ırmağa göre simetriğine şekildeki gibi A köü dielim. Simetrik nesnelerin simetri eksenine eşit uzaklıklarda olduğuna değinmiştik, hatırlaın. Demek ki ha A köünden B e gitmişsin, ha A köünden. Peki, A köünden B köüne en kısa ol ne? Bu iki köü birleştiren doğru parçası. halde ırmaktan su içeceğin er, tam bu A B doğru parçasının eksenini kestiği er ani P noktası olmalıdır. Her zamanki gibi hızlı o-lan değil, zeki olan kazandı! Hikaenin analitikçesi: AP + PB en az ise A, P ve B doğrusaldır. Toplamın en küçük olduğu durum gibi, farkın en büük olduğu durum da var. Şimdi bunu öğrenelim: AP BP en çok ise A, B ve P doğrusal olur. Bunun sebebi de P noktasının A ve B ile anı doğru üzerinde bulunmamaları halinde ABP di-e bir üçgen oluşturacakları ve üçgen eşitsizliğinden AP PB farkının her halükarda AB den küçük olacağıdır. A B P 192. ekseni üzerindeki bir P noktası için PA PB farkı en büük oluorsa, bu P noktasının apsisi kaç olur? Doğrunun Analitik İncelenmesi A) 1 B) 0 C) 1 D) 4 E) B noktası ekseni üzerinde olup ABD dik üçgendir. BC + CD toplamının alabileceği en büük değer kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Dik koordinat sisteminde A(4, 2) ve B(6, 4) noktaları ile ekseni üzerinde değişken bir P noktası alınıor. PB PA farkı en büük olduğunda P noktasının apsisi kaç olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) P noktası = + 2 doğrusu üzerinde hareket etmektedir. AP uzunluğu en kısa olduğunda P noktasının apsisi kaç olur? A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) 3 A(-2, 3) A(0, 1) B B(2, 1) P D(5, p) C A P B = + 2 A(4, 3) Alıştırmalar 191. A(1, 3) ve B(8, 4) noktaları verilior. ekseni üzerindeki B(8, 4) A(1, 3) bir C noktası için AC + CB toplamı en küçük oluorsa, C noktasının apsisi kaç olmalıdır? C A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) A noktasının koorinatları (6, 4), B noktasının koordinatları ise (6, 3) ise 2 = 2 doğrusu üzerinde AP + PB toplamını en küçük apan P noktasının ordinatı kaç olur? - 2 = 2 A) 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 B A(6, 4) P 31

113 Mustafa YAĞCI 197. A noktasının koordinatları (1, 3), B noktasının koordinatları ise (4, 6) ise ekseni üzerinde AP + PB toplamını en küçük apan P noktasının apsisi kaç olur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) = doğrusu üzerindeki değişken bir P noktası PB PA farkını en büük apmaktadır. A(2, 4) ve B(3, 2) ise P noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 1 B) 4 C) 7 D) 10 E) = 3 doğrusu üzerindeki değişken bir P noktası PB PA farkını en büük apmaktadır. A(1, 3) ve B(9, 7) ise P noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) A noktasının koordinatları (1, 3), B noktasının koordinatları P A ise (5, 3) tür. = + 4 doğrusu üzerinde B hareket eden bir P noktası için AP + PB toplamı en küçük kaç olur? P A = B A = 3 B P = + 4 Doğrunun Analitik İncelenmesi 202. Dik koordinat sisteminde A( 6, 5) ve B(3, 3) noktaları A ile ekseni üzerinde de- Q ğişken bir P noktası ve = 2 doğrusu üzerinde değişken P bir Q noktası alınıor. B AP + PQ + QB toplamının alabileceği en küçük değer kaç br.dir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) Dik koordinat sisteminde şekildeki gibi A, B, B(-1, 9) C, D noktaları ile değişken bir P noktası C(-3, 2) alınıor. PA + PB + PC + PD toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 15 B) 18 C) 20 D) 21 E) Köşeleri A( 2, 5) B( 4, 2) ve C(, 0) olan ABC ücgeninin cevresinin minimum olması için kaç olmalıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 16/3 E) P = 2 A(3, 10) D(4, -3) A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) A noktasının koorinatları (1, 1), B noktasının koordinatları ise (5, 4) tür. = doğrusu üzerinde hareket eden bir P noktası için AP + PB toplamı en küçük olduğunda PB uzunluğu, PA uzunluğunun kaç katı olur? A) 1/5 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 5 = P A B 32

114 Cevap Anahtarı 1.D 21.D 41.D 61.A 81.D 101.A 121.D 141.B 161.E 181.D 2.C 22.D 42.B 62.C 82.D 102.B 122.B 142.C 162.C 182.B 3.E 23.A 43.D 63.C 83.A 103.A 123.D 143.D 163.B 183.E 4.C 24.D 44.D 64.C 84.A 104.E 124.C 144.B 164.A 184.D 5.B 25.B 45.E 65.A 85.E 105.C 125.C 145.A 165.D 185.C 6.B 26.D 46.E 66.C 86.B 106.C 126.E 146.B 166.C 186.B 7.E 27.A 47.D 67.D 87.C 107.A 127.A 147.E 167.E 187.A 8.B 28.A 48.D 68.D 88.A 108.B 128.D 148.C 168.E 188.D 9.E 29.D 49.A 69.E 89.A 109.A 129.B 149.A 169.D 189.A 10.E 30.D 50.B 70.B 90.A 110.E 130.C 150.B 170.C 190.C 11.C 31.B 51.D 71.C 91.A 111.C 131.D 151.C 171.C 191.D 12.B 32.C 52.E 72.E 92.B 112.A 132.A 152.A 172.D 192.D 13.E 33.D 53.E 73.D 93.C 113.E 133.D 153.E 173.B 193.D 14.B 34.E 54.D 74.C 94.A 114.D 134.A 154.D 174.B 194.B 15.A 35.D 55.E 75.D 95.A 115.C 135.A 155.A 175.C 195.D 16.D 36.E 56.C 76.E 96.E 116.D 136.C 156.E 176.A 196.C 17.C 37.D 57.D 77.B 97.B 117.B 137.B 157.C 177.D 197.A 18.C 38.E 58.B 78.A 98.E 118.A 138.C 158.B 178.A 198.C 19.A 39.D 59.C 79.D 99.C 119.D 139.D 159.B 179.A 199.E 20.D 40.D 60.D 80.B 100.A 120.A 140.B 160.E 180.E 200.E

115 Eğlence Başlıor!... NKTANIN ANALİTİĞİ Afiet lsun

116 Eğlence Başlıor!... NKTANIN ANALİTİĞİ Afiet lsun

117 Eğlence Başlıor!... NKTANIN ANALİTİĞİ Afiet lsun

118 Eğlence Başlıor!... NKTANIN ANALİTİĞİ Afiet lsun