Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir."

Ayşe Şeker
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MODELLEME MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi tanımlamalara dayanır. Çünkü karmaşık olaylar ancak bu şekilde matematik ifadeler şeklinde getirilebilir. Bu ise iyi bir matematik bilgi ve tecrübeyi gerektirir. Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir. Sistemler için kullanılan genel bir modelleme tekniği yoktur. Bu nedenle sistemler için kurulacak model seçimi oldukça derin bilgi, deneyim ve tecrübeyi gerektirir. Gerçek dünyanın yapısındaki durumların çeşitliliği model kurucuların çalışmalarını etkilemektedir. Bu ise zaman/para gibi maliyet boyutunu da gündeme getirmektedir. Modelleme ile ilgilenen çoğu araştırmaların başta gelen amacı faaliyet şartları altındaki bir süreci kontrol etmektedir. Bu şartlar altında yapılacak hesaplamaların en kısa gerçek zamanda gerçekleştirilmesi beklenir. 1/

2 TİPİK MODELLEME UYGULAMALARI Ekoloji Çevre Bilimi: Ömür uzunluğu yönetimi ve kontrol; göl ve akarsulardaki bitkilerin kimyasal etkilerinin kontrolü; hava kirliliğinin önlenmesi; su dağıtımı ve kontrolü; orman büyüme yönetimi Medikal-Tıbbi: Görüntüleme ve kontrol için tıbbi araçlar; zeki organlar ( suni kalp, suni böbrek) Ev Araçları: Ev ısıtma ; havalandırma ve ısıtma kontrol; elbise temizlemede elektronik kontrol; nem kontrol ediciler; fırın sıcaklık kontrol Güç/Enerji: Güç sistemleri kontrol ve planlaması; petrol geri kazanma; yel değirmeni optimal kontrolü; denizaltı yer yüzü izleme optimal kontrolü; optimal güç dağıtımı ve güç üretim kontrol Ulaştırma- Taşımacılık: Sensör (elektrik algılayıcı) kullanılarak otoyolda araç trafik akışı kontrolü; otomobillerde otomatik hız kontrolü; raylı ulaşım sistemlerinde sevk kontrol; asansör ve yürüyen merdiven inşası İmalat: Kesme, delme, döküm, kaynak, paketleme, montajda donanımlı robotların kullanımı; kimyasal süreç kontrolü; tekstil imalatında gerginlik kontrolü; sıcak çelik taşıyıcılarda optik hız kontrol Uzay ve Askeri Araştırmalar: Füze yönetim ve kontrol; otomatik pilot; uzay aracı kontrol; izleme sistemleri; nükleer denizaltlıların seyri ve kontrolü 2/

3 ÇEŞİTLİ SİSTEMLERE AİT MODEL SINIFLARI Statik/ Dinamik Sistemler: Statik sistemler, basit doğrusal ifadeler ile kısmen doğrusal olmayan ifadeler ve cebirsel ifadelerin karışımından oluşurken; Dinamik sistemler, diferansiyel denklemler veya fark denklemleriyle tanımlanırlar. Sürekli Zamanlı/ Kesikli Zamanlı Sistemler: Sürekli zamanlı dinamik sistemler diferansiyel denklemlerle tanımlanırken, kesikli zamanlı dinamik sistemler fark denklemleriyle tanımlanırlar. Doğrusal/Doğrusal Olmayan Sistemler: Doğrusal dinamik sistemler,girdileri doğrusal çözümler olan diferansiyel veya fark denklemleriyle tanımlanırlar.doğrusal olmayan dinamik sistemleri tanımlayan denklemler ise bir veya daha fazla doğrusal olmayan terimlerden oluşurlar. Toplu/Dağıtılmış Parametreler: Toplu parametreli sürekli zamanlı dinamik sistemler adi diferansiyel denklemlerle tanımlanırken, dağıtılmış parametreli sürekli zamanlı dinamik sistemler ise kısmi türevli diferansiyel denklemlerle ifade edilirler. Zamana Göre Değişen/Değişmeyen Sistemler: Zamana göre değişen sistemler,bir veya daha fazla katsayısı zamana bağlı diferansiyel veya fark denklemleriyle tanımlanırlar Deterministik/Stokastik Sistemler: Deterministik sistemler belirli (kesin) parametre 3/ veya girdilere sahip iken stokastik sistemler bir veya daha fazla girdi veya parametresi olasılık özelliğine sahiptir.

4 OPTİMİZASYON (EN İYİLEME) ---Sınırlı kaynakları kullanarak, amaçlanan fonksiyon ve/veya fonksiyonlar için en iyi sonucun elde edilmesini hedefleyen optimizasyon kavramının matematiksel anlamı aşağıdaki gibi ifade edilmektedir ---Belli bir amaç fonksiyonunu, eldeki değişkenleri kullanarak minimize ya da maximize etmektir. Tüm bunlar gerçekleşirken, çeşitli kısıtlar söz konusu olabilir. Bu kısıtlar iki türlüdür: --Eşitlik kısıtları (equality constraints), ki bunlara her zaman uyulmak zorundadır. --Eşitsizlik kısıtları (inequality constraints), bunlar genelde aşılmaması gereken limitleri belirtir. 4/

5 OPTİMİZASYON MODELLERİNİN SINIFLANDIRILMASI Optimizasyon problemlerine ait modellerin pek çok çeşidi vardır. Temel olarak optimizasyon modelleri; karar değişkenlerinin sürekli veya kesikli olmalarına göre sınıflandırıldığı gibi, diğer bir açıdan amaç fonksiyonu ve kısıtların özelliklerine göre; -- doğrusal / doğrusal olmayan, -- kısıtlı/ kısıtsız, -- tek boyutlu/ çok boyutlu gibi çeşitli açılardan sınıflandırmalar yapılabilmektedir. 5/

6 6/

7 7/

8 DOĞRUSAL OLMAYAN KISITLI OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Genel kısıtlanmış doğrusal olmayan problemler max. / min. Z=f(x) kısıtlar g(x)<= 0 x 0 şeklinde tanımlanırlar. Burada negatif olmama koşulları x 0, verilen kısıtların parçasıdır. Ayrıca f(x) ve g(x) fonksiyonlarından en azından biri doğrusal değildir ve tüm fonksiyonlar sürekli ve türevlenebilir özelliğe sahiptir. DOĞRUSAL OLMAYAN KISITSIZ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Genel olarak kısıtsız doğrusal olmayan problemler max. / min. Z=f(x) şeklinde tanımlanırlar. Görüldüğü gibi her hangi bir kısıt bulunmamaktadır. --Kısıtsız Opt.teknikleri-Örnekler: «Doğrudan Arama ve Gradyan Yöntemleri» 8/

9 MATLAB da OPTİMİZASYON KOMUTLARI ***Optimizasyon problemlerinin bilgisayar ortamında etkin çözümü için MATLAB yazılım paketi içerisinde geliştirilen Komutlar aşağıda görülmektedir: Sürekli Kısıtsız Doğrusal Olmayan Minimizasyon Optimizasyon Teknikleri için: fminbnd, fminsearch, fminunc Sürekli Kısıtsız Doğrusal Olmayan Eşitlik Optimizasyon Teknikleri için: fzero, fsolve Sürekli Kısıtsız Türevlenemez Optimizasyon Teknikleri için: fminsearch Sürekli Kısıtlı Doğrusal Programlama Optimizasyon Teknikleri için: linprog Sürekli Kısıtlı Karesel Programlama Optimizasyon Teknikleri için: quadprog Sürekli Bağıl Kısıtlı Optimizasyon Teknikleri için: fmincon, lsqnonlin, lsqcurvefit Sürekli Kısıtlı Doğrusal En Küçük Kareler Optimizasyon Teknikleri için: lsqnonneg, lsqlin Sürekli Kısıtlı Doğrusal Olmayan Optimizasyon Teknikleri için: fmincon, fseminf, fgoalattain, fminimax 9/

10 FONKSİYONLARDA KONVEKSİLİK KONKAVLIK y= f(x) şeklindeki tek değişkenli fonksiyonun x bağımsız değişkeninin iki değeri x1 ve x2 için 0 <λ<1 olmak üzere f(x) fonksiyonu ; Şartını gerçekleştiriyorsa bu fonksiyon Konveks(içbükey) Fonksiyon dur. Eğer bu şartta <= yerine < işareti varsa bu takdirde f(x) fonksiyonuna Tam Konveks Fonksiyon adı verilir. Benzer şekilde f(x) fonksiyonu ; Şartını gerçekleştiriyorsa bu f(x) fonksiyonuna Konkav(dış bükey) Fonksiyon, yerine > işareti varsa bu takdirde f(x) fonksiyonuna Tam Konkav Fonksiyon adı verilir. 10/

11 FONKSİYONLARDA KONVEKSİLİK KONKAVLIK Şekil üzerinde Konveks ve Konkav lık durumlarını ele alırsak: Fonksiyon eğrisi; eğrinin her hangi iki noktasını birleştiren doğrunun altında kalıyor ise Konveks, üstünde kalıyor ise Konkav Fonksiyon olarak tanımlanır. Bu tanıma uymayan fonksiyonlar konveks ve konkav olmayan fonksiyonlar olarak tanımlanır. 11/

12 FONKSİYONLARDA KONVEKSİLİK KONKAVLIK Diğer bir ifadeyle; bütün x değerleri için; ise f(x) konveks bir fonksiyon; ise f(x) tam konveks bir fonksiyon; ise f(x) konkav bir fonksiyon; ise f(x) tam konkav bir fonksiyon olacaktır. 12/

Benzer belgeler

TİPİK MODELLEME UYGULAMALARI

TİPİK MODELLEME UYGULAMALARI MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi tanımlamalara