YANIT YÜZEYİ METODU VE BİR UYGULAMA. Mustafa Agah TEKİNDAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 YANIT YÜZEYİ METODU VE BİR UYGULAMA Mustafa Agah TEKİNDAL YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 009 ANKARA

2 Mustafa Agah TEKİNDAL ın YANIT YÜZEYİ METODU VE BİR UYGULAMA adlı bu tezin Yüksek Lisan tezi olarak uygun olduğunu onaylıyorum. Prof. Dr. Hülya BAYRAK.. Tez Danışmanı, İstatistik Anabilim Dalı Bu çalışma jürimiz tarafından oy birliği / oy çokluğu ile İstatistik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Hasan BAL.. İstatistik Anabilim Dalı, G.Ü. Prof. Dr. Hülya BAYRAK.. İstatistik Anabilim Dalı, G.Ü. Doç. Dr. Handan ANKARALI.. Biyometri Anabilim Dalı, D. Ü. Tarih : 0/06/009 Bu tez ile G. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamıştır. Prof. Dr. Nail ÜNSAL.. Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

3 TEZ BİLDİRİMİ Tezin içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Mustafa Agah TEKİNDAL

4 iv YANIT YÜZEYİ METODU VE BİR UYGULAMA (Yüksek Lisans Tezi) Mustafa Agah TEKİNDAL GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 009 ÖZET Deney düzenleme yöntemlerinde, deney yürütücünün ihtiyaçlarına cevap verebilmek için; geliştirilmekte olan tasarımın sınırlarını bilmek, bu sınırlar dahilinde tasarım değişkenlerinin tasarıma etkilerini anlamak ve analitik olarak en uygun çözümü bulmak tasarımcı için son derece önem taşır. Fakat tasarımı tanımlayan değişkenler ile tasarımın kalitesini ölçmekte kullanılacak olan değerlendirme ölçütü arasında analitik bir bağıntı ifade edilemez ise optimum çözüme ulaşmak başka yöntemlerin kullanılmasını gerektirebilir. Böyle durumlarda değerlendirme ölçütünün tasarım değişkenlerindeki değişmelere karşı duyarlılığını görmek ve hatta gerekli bağıntıları deneysel yoldan elde etmek için Yanıt Yüzeyi Yöntemi kullanılır. Ayrıca bu yöntemler sistemin yanıtlarının yanı sıra tasarımın hedeflerine varıp varmadığını izlemek için belirlenmiş olan değerlendirme ölçütünün; kontrol edilemeyen ve tasarım parametrelerinde istenmeyen sapmalara yol açan bozuntulardan etkilenme seviyesi hakkında da bilgi sağlamaktadır. Bu bilgilerin kullanımıyla tasarımcı bozuntu gürültü etkilerinin asgariye indirilmesini sağlayacak emin tasarım Robust Design yapma imkanına kavuşabilmektedir.

5 v Yanıt yüzeyi yöntemlerinde model regresyon analizi yardımıyla oluşturulur. Bir faktörün ana etkisinin veya interaksiyon etkisinin yanıt değişkeninin değerlerinde ne derecede önemli bir etkiye sahip olduğuna regresyon katsayılarıyla karar verilir. Yanıt yüzeyleri yöntemlerinde ilk adım yanıt değişkeni üzerinde etkisi olduğu düşünülen faktörleri ve sahip oldukları düzeyleri belirlemektir. Regresyon modelini oluşturmak için kurulacak olan deneme düzenlerini genellikle bu iki kriter belirler. Bu çalışmada yanıt yüzeyi yöntemlerinden k deneme düzenleri, k kesirli deneme düzenleri ve 3 k deneme düzenlerinin teorik yapısından bahsedilmiş ve ekmek yapımı sırasında fitik asit miktarına etkili olabilecek faktörler arasında etkileşimler ile, bu faktörlerin fitik asit miktarına ne derece etkili oldukları yanıt yüzeyi metodu kullanılarak en uygun model araştırılmıştır. Bilim Kodu : k k Anahtar Kelimeler :Yanıt yüzeyi, faktoriyel deneme düzenleri, 3 faktoriyel deneme düzenleri, Central composite deneme düzeni, Bo-Behnken Deneme Düzeni Sayfa Adedi : 06 Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hülya BAYRAK

6 vi RESPONSE SURFACE METHODOLOGY AND AN APPLICATION (M.Sc. Thesis) Mustafa Agah TEKİNDAL GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 009 ABSTRACT Eperimental arrangement in the methods, the eperiment to the needs of a player to be able to answer, under development to know the limits of design, within the limits of design variables to understand the impact on design and analytical as to find the best solution is etremely important for designers. But the design variables defining the design will be used to measure the quality of the evaluation criteria, a correlation between the analytical epression is not to reach the optimum solution may require the use of other methods. In such cases the design of evaluation criteria to see the sensitivity to changes in variables, and even necessary way to obtain eperimental relations "Response Surface Method" is used. Moreover, this method of the system response as well as the design does not have to have targets to monitor that have been set for the evaluation criteria, control and design parameters can not be identified to the unwanted effect of causing the scrap level to provide information about. Designers use this information to scrap "noise" will be sure to minimize the design effect "Robust Design" are able to do.

7 vii In response surface methodology models are built by the help of regression analyze. Regresion coefficients are used to find out main and interaction effects of factors on response. To decide most suitable eperimental design these two criteia are used. In this study, k factorial eperimental design, k fractional factorial eperimental design and 3 k eperimental design are mentioned theoretically and applied to data during bread making can be effective on the amount of slip acid by the interaction between factors, to what etent these factors influence the amount of slip acid method by using the response surface has been investigated the most appropriate model. Science Code : k Key Words : Response surface methodology, factorial eperimental k design, 3 factorial eperimental design, Central composite eperimental design, Bo-Behnken eperimental design Page Number : 06 Adviser : Prof. Dr. Hülya BAYRAK

8 viii TEŞEKKÜR Yoğun çalışma temposuna rağmen benden yardımlarını, desteğini, sabrını ve bilgisini esirgemeyen değerli hocam Prof. Dr. Hülya BAYRAK a ve her zaman yanımda olup destekleri ile beni cesaretlendiren ve umut veren aileme sonsuz teşekkür ederim. Tez döneminde gösterdikleri hoşgörü ve desteklerinden dolayı arkadaşlarıma teşekkür ederim. Mustafa Agah TEKİNDAL

9 i İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR... viii ÇİZELGELERİN LİSTESİ... iii ŞEKİLLERİN LİSTESİ...v. GİRİŞ.... DENEYSEL MODELİN OLUŞTURULMASI Doğrusal Regresyon Modelleri Çoklu Regresyon Modelinin Varsayımları Doğrusal Regresyon Modelindeki Parametrelerin Kestirimi Gözlem değerlerine göre Ortalamadan sapmalara göre Matrisler yardımıyla çözümü En küçük kareler tekniğinin bazı özellikleri Çoklu Regresyonda Hipotez Testleri Regresyon Modelinin Anlamlılığının Sınanması Kısmi Regresyon Katsayılarının Anlamlılığının Sınanması Model Uygunluğunun Test Edilmesi... 7

10 Sayfa.5.. Artıkların analizleri FAKTORİYEL TASARIMLAR Faktoriyel Deney in Avantajı İki Faktörlü Faktöriyel Deney Parametre Tahmini Sabit Yanıt Modelinin İstatistiksel Analizi k ve 3 k FAKTÖRİYEL TASARIMLAR Temel Bilgiler Deneme Düzeni Regresyon modelleri Faktöriyel Tasarım Tek Tekrarlı ve Paralel Ölçümlü k Denemeleri k Denemelerine Merkez Noktaların Eklenmesi k Denemelerinde Blok Kullanımı k 3 Çok Etkenli Tasarımlar k KESİRLİ FAKTÖRİYEL TASARIMLAR Temel Bilgiler k Yarı-Kesirli Faktöriyel Tasarım... 58

11 i Sayfa 5.3. ¼ Kesirli Faktöriyel Tasarımlar Tarama İçin Plackett-Burman Deneme Düzeni EN DİK ARTIŞ VE AZALIŞ YÖNTEMLERİ Giriş En Dik Artış ya da Azalış Yolunun Belirlenişi En Dik Artış/Azalışın Hesaplanmasında İzlenecek Adımlar İnteraksiyon ve Model Eğriselliğinin Varlığı Durumu İKİNCİ DERECEDEN YANIT YÜZEYLERİ Giriş Durağan Noktaların Hesaplanması Durağan Noktasının Yapısı (Kanonik Analizi) Ridge Analizi Birden Fazla Yanıt Değişkeninin Optimizasyonu Central Composite Deneme Düzeni Ortogonal central composit deneme düzeni Rotatable central composit deneme düzeni Non Central Composite Deneme Düzeni Bo-Behnken Deneme Düzeni TAGUCHİ ROBUST REGRESYON ANALİZİ...8

12 ii Sayfa 8.. En Küçük En İyidir En Büyük En İyidir Hedef En İyisidir UYGULAMA ve SONUÇ Central Composite Deneme Düzeni Uygulaması Bo-Behnken Deneme Düzeni Uygulaması KAYNAKLAR...03 ÖZGEÇMİŞ...06

13 iii Çizelge ÇİZELGELERİN LİSTESİ Sayfa Çizelge.. Çoklu Regresyonda modelin anlamlılığının sınanmasında kullanılan varyans analizi çizelgesi Çizelge. Saflık hatasına giriş modelinin anlamlılığının sınanmasında kullanılan varyans analizi çizelgesi.3 Çizelge.3. Yanıt yüzeyleri yönteminde yapay değişken oluşturulması.. 5 Çizelge 3.. Her bir kare toplamı için serbestlik dereceleri.. 40 Çizelge 3.. İki faktörlü faktöriyel deney varyans analizi tablosu, sabit yanıt modeli.4 Çizelge 4.. deneme düzeni için varyans analizi çizelgesi..46 Çizelge 4.. Etkilerin hesaplanması için standart sıralamalar...47 Çizelge 4.3. İlk tasarım matrisi..49 Çizelge 4.4. A nın temel etkisi.5 Çizelge 4.5. Çizelge Dizaynında hesaplanan etkilerin lineer gösterimi Faktöriyel dizaynının artı ve eksilerle gösterimi Çizelge 5.. İki yarı kesirli tasarımdan 3 tasarımı oluşturma Çizelge 5.3. dizaynının IABCEBCDFADEF ile yeniden eşlendirilmesi IV Çizelge Faktör ve 8 tane gözlem içeren plackett-burman deneme düzeni...63 Çizelge Faktör ve 8 tane gözlem içeren deneme sıralarının rasgele düzenlendiği plackett-burman deneme düzeni...64

14 iv Çizelge Sayfa Çizelge 7.. Central Composit deneme düzeni...76 Çizelge 7.. Üç faktörlü Bo-Behnken deneme düzenleri...80 Çizelge 9.. Ekmeğin fitik asit miktarına kepek miktarı, maya miktarı ve fermantasyon süresinin etkileri..87 Çizelge 9.. Çizelge 9.3. Çizelge 9.4. Çizelge CCD regresyon analizi çizelgesi CCD varyans analizi çizelgesi BBD regresyon analizi çizelgesi BBD varyans analizi çizelgesi..97

15 v ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil.. ε nun değerlerinin dağılımı hakkında varsayımların gösterilmesi...9 Şekil.. Artıkların normal dağılıma uyum grafiği...9 Şekil.3. Yanıt değişkenin %95 düzey grafiği Şekil.4. Doğrusal modele ilişkin yanıt yüzeyi grafiği Şekil.5. Karesel modele ilişkin yanıt yüzeyi grafiği....7 Şekil.6. Doğrusal modele ilişkin contour grafiği. 8 Şekil.7. Karesel modele ilişkin contour grafiği...9 Şekil 3.. A ve B faktörünün interaksiyonlarının gösterimi...3 Şekil 3.. Faktör sayısı ve oransal etkinlik arasındaki ilişki Şekil 3.3. İki faktörlü faktöriyel deneyin genel gösterimi..33 Şekil 4.. deneme düzeni Şekil 4.. Temel etkiler Şekil 4.3. İki faktör interaksiyonu...5 Şekil 4.4. Üç faktör interaksiyonu.. 5 Şekil 5.. İkiye parçalanmış 3 dizaynı Şekil 7.. Minimum noktayı test etmek için kullanılan. derece yanıt yüzeyi grafiği.. 7

16 vi Şekil Sayfa Şekil 7.. Maksimum noktayı test etmek için kullanılan. derece yanıt yüzeyi grafiği Şekil 8.. çapraz düzen Şekil 8.. Yanıt yüzeyi metodu algoritması Şekil 9.. CDD de artıkların normal dağılım grafiği Şekil 9.. CDD de artıkların veri setindeki sınır değerleri Şekil 9.3. CDD de Hedef en iyidir modeli yanıt grafiği Şekil 9.4. CDD de Hedef en iyidir modeli contour grafiği Şekil 9.5. CDD de En küçük en iyidir modeli yanit grafiği Şekil 9.6. CDD de En küçük en iyidir modeli contour grafiği.. 9 Şekil 9.7. CDD de En büyük en iyidir modeli yanıt grafiği Şekil 9.8. CDD de En büyük en iyidir modeli contour grafiği..94 Şekil 9.9. BDD de Artıkların normal dağılım grafiği Şekil 9.0. BBD de artıkların veri setindeki sınır değerleri Şekil 9.. BDD de hedef en iyidir modeli yanıt grafiği..97 Şekil 9.. BDD de hedef en iyidir modeli contour grafiği Şekil 9.3. BDD de en küçük en iyidir modeli yanıt grafiği Şekil 9.4. BDD de en küçük en iyidir modeli contour grafiği Şekil 9.5. BDD de en büyük en iyidir modeli yanıt grafiği... 00

17 vii Şekil Sayfa Şekil 9.6. BDD de en büyük en iyidir modeli contour grafiği

18 viii SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Kısaltmalar Açıklama BBD CCD Bo-behnken deneme düzeni Central compozite deneme düzeni E ( MS ) A A nın kareler ortalamasının beklenen değeri E ( MS ) AB AB nin kareler ortalamasının beklenen değeri E ( MS ) B B nin kareler ortalamasının beklenen değeri E ( MS E ) Hata nın kareler ortalamasının beklenen değeri MS AD İlave edilmiş terim kareler ortalaması MS E Hata kareler ortalaması MS PE Saflık hatası kareler ortalaması MS LOF Uyum yokluğu kareler ortalaması MS R Regresyon kareler ortalaması R SS A Belirlilik katsayısı A nın kareler toplamı SS AB AB nin kareler toplamı

19 i SS AD İlave edilmiş terim kareler toplamı SS B B nin kareler toplamı SS Block Bloklar için kareler toplamı SS E Hata kareler toplamı SS LOF Uyum yokluğu kareler toplamı SS PE Saflık hatası kareler toplamı SS R Regresyon kareler toplamı SS subtotal Alt toplam kareler toplamı SS T OA OFAT SD SNR Kareler toplamı Ortogonal dizim Tek zamanda tek faktör Serbestlik derecesi Gürültü oranı

20 . GİRİŞ Faktöriyel denemeler, bütün araştırma alanlarında uygulanabilmekle beraber, biyoloji özellikle tarımsal uygulaması yaygındır. Çünkü biyolojik olaylar birden çok faktörün etkisi altındadır. Bu nedenle, gerçeğe daha çok yaklaşmak için herhangi bir biyolojik olayda etkileri birlikte incelemek gerekir. Faktöriyel denemelerde birden çok faktörün değişik seviyeleri, aynı anda incelenmekte ve bir faktörün durumu, diğer faktör veya faktörlerin değişik seviyelerinde ele alınabilmektedir. Denenen kombinasyonlardan hiç birisi en iyisi olmayabilir. Başka bir deyişle en yüksek verimi sağlayan kombinasyon denenenlerin arasında veya dışında bulunabilir. Bu nedenle faktöriyel denemelerde, çok sayıda faktör kombinasyonuna ihtiyaç vardır. Ancak böyle denemeler yapmak pahalı olduğu gibi, çok da zaman alır. Ayrıca faktör sayısı arttıkça tüm kombinasyonların denenebilmesi için gerekli olan homojen deneme materyalini bulmak da zorlaşır. Bu nedenle en uygun faktör kombinasyonunu bulmak için bütün kombinasyonları içeren denemelerin yürütülmesini gerektirmeyen istatistik yöntemleri geliştirilmiştir. Bu yöntemler temelde, daha önce yapılan çalışmalardan veya benzer denemelerden yararlanarak nispeten sınırlı bir deneme alanı tasarlamak ve yalnız bu alandaki noktaları belirleyecek kombinasyonlarla ilk denemeyi yürütmektedir. Bu deneme sonuçlarından ilk önce en yüksek verimi sağlayan faktör seviyelerine ait nokta tahmin edilmekte, sonra gerçek optimum noktanın olduğu yere ulaşacak şekilde veya ilk deneme sonuçlarına ait. derece yanıt yüzey fonksiyonunun katsayılarından yararlanıp (steepest ascent yöntemi) ardı ardına denemeler yapılarak söz konusu nokta ( en yüksek verimi sağlayan kombinasyon) bulunmaya çalışılmaktadır []. Bu tez çalışmasının amacına yönelik olarak yapılmış olan bazı araştırmaların özetleri aşağıda verilmiştir. Deney düzenleme yöntemleri bilimsel araştırmalarda ve endüstride bir çok farklı amaçla kullanılır. Bütün deneme düzenlerinde temel amaç üzerinde durulan yanıt değişkenine etkisi olabileceği düşünülen faktörlerin dikkate alınması ve böylelikle

21 denemenin hatasının minimuma indirilmesidir. Bilimsel araştırmalarda ise araştırmacılar ilgilenen bağımlı değişken üzerine etkisi olduğu düşünülen faktörlerin etkisinin istatistiksel olarak anlamlılığı ortaya koymaya çalışırlar. Böyle bir amaçla yola çıkan bir araştırmacının aklına gelecek iki temel soru vardır. Birincisi çalışmalarına en uygun deneme düzeninin nasıl oluşturulacağı, ikincisi ise deneyin sonuçlarının nasıl analiz edileceğidir. Yanıt yüzeyi yöntemlerinde model, regresyon analizi yardımıyla oluşturulur. Bir faktörün ana etkisinin veya interaksiyon etkisinin yanıt değişkeninin değerlerinde ne derece önemli bir etkiye sahip olduğuna regresyon katsayıları yardımıyla karar verilir. Yanıt yüzeyleri yöntemlerinde ilk adım yanıt değişkeni üzerinde etkisi olduğu düşünülen faktörleri ve sahip oldukları düzeyleri belirlemektir. Regresyon modelini oluşturmak için kurulacak olan deneme düzenlerini genellikle bu iki kriter belirler []. k İki düzeyli faktörler içeren deneme düzenleri faktöriyel deneme düzenleri olarak adlandırılırlar ve sonucunda oluşacak model genellikle ana etkileri ve birinci dereceden interaksiyon etkilerini içerir. Bu modeller birinci dereceden modeller olarak adlandırılırlar. Bu model aşağıdaki Eş.. deki gibi sembolize edilebilir. y β + β + β + β + ε (.) 0 Bir k faktöriyel denemeyi parçalara bölerek daha az sayıda veriden birinci k p dereceden bir model oluşturmak mümkündür. Bu tür denemeler parçalanmış faktöriyel denemelerdir. Ayrıca çok sayıda faktörden ve az sayıda veriden yararlanarak veri seti için en önemli olan faktörleri ortaya koyan Plackett- Burman deneme düzeni de k faktöriyel deneme düzenlerindendir. Birinci dereceden bir modelde optimum noktaya ulaşmak için en dik artış ya da azalış yöntemi kullanılır. Faktör düzeyi üç olan deneme düzenleri karesel yapıda olup, karesel ilişkileri ve ikinci dereceden interaksiyon terimlerini de içerebilirler. Bu modeller ise ikinci

22 3 dereceden modeller olarak adlandırılırlar. İkinci dereceden bir model aşağıdaki Eş.. deki gibi sembolize edilebilir. y β + β + β + β + β + β + ε (.) 0 En yaygın olarak kullanılan üç düzeyli faktörler içeren başlıca deneme düzenleri; Central Composit ve Bo Behnken deneme düzenleridir. İkinci dereceden bir modelin optimum noktası ise Ridge analizi yardımıyla elde edilir [3]. Doğan ve Okut (003) yeni ürün geliştirme sürecinde Yanıt yüzeyi metodunun seçenekleri adlı çalışmasında, yanıt yüzeyini tanımlarken Yanıt yüzeyi metodu.derece deneysel dizaynlarda ve optimizasyon sürecinde yeni ürün geliştirirken kritik bir süreçtir şeklinde bahsedilmiştir. Çalışmada belirtilen şekilde, Gıda sektöründe başarılı bir ürün geliştirmek oldukça zor, pahalı ve zaman gerektiren bir süreçtir. Yanıt Yüzeyi Metodu pek çok bilginin deneylerde kullanılabilir hale gelmesine yardım eder. Deney yürütücünün yanıt değişkenini belirlemeden test etmesi mümkün değildir. Yanıt, yanıt yüzeyi analizinde formülün ve sürecin optimizasyonunu sağlar. Ayrıca bu yaklaşımların farklı avantaj ve dezavantajları vardır şeklinde belirtilmiştir [4]. Fusel yağından elde edilen isaoomly alcohal ın enzimatik esterleşmesinde yanıt yüzeyi metoduyla optimizasyon adlı çalışmasında, Güvenç ve arkadaşları (006) yanıt yüzeyi bir yada daha fazla yanıt ölçümü ve girdi değişkeni ve gözlem arasındaki deneysel çalışmaları optimize etmekte kullanılmıştır. Yanıt yüzeyi kritik soruların çözümünde örneğin kısmi olarak yanıtı etkileyen girdi değişkenleri üzerinde farklı noktaların incelemesinde, faktörlerin ürüne eş zamanlı olarak farklı şekilde kullanımlarında ve faktörlerin aralığının yanıtın farklı bölgelerinde ürünü maksimize etmekte kullanılır şeklinde bahsetmiştir [5].

23 4 Ortagonal dizim (OA) Taguchi nin sağlam tolerans tasarım stratejisinin parçasıdır. OA nın çabası yanıt için optimum değerin bulunmasıdır, ancak optimum değeri faktör koyarak bir bölgenin içine sınırlar. Böylece tasarımın maliyeti daha pahalı olur çünkü daha çok deneysel deneme gerekir. OA optimum bölgeyi deney bölgesinin dışında arar. Tasarım ne zaman bir yanıt değişkeninden fazlasını içeriyorsa, özellikle amaç yanıt ile ters düştüğü durumlarda OA kolayca optimum değeri aramaz. Örneğin amaç, yanıtı maksimum yapmak istiyorsa yada tam tersi olarak yanıtı minimum yapmak istiyorsa veya yanıt için hedef en iyisi ise o istenen yanıtı almak için düzeyi belirlemeye rehberlik etmez, bundan ziyade giriş faktörlerinin bölgesini test eder. Bu direktifleri belirlemek için, deney yapanlar kendi konusundaki bilgi düzeyine güvenmelidir. Schmindt ve Lounsby (99) Taguchi dizaynının zaaflarını incelediler ve tek zamanda tek faktör (OFAT) yaklaşımını benimsediler. Bunun sonucunda kaynakları aşırı miktarda kullandıkları için sonuçlar, deneyde test edilen faktör aralığında sınırlı kaldığını ve yaklaşımlarının faktör sınırlarının yerleştirilen deneysel bölgenin dışında optimum yanıtı aramasını engelliyemediklerini belirtmişlerdir [6]. Lucas (994) Yanıt yüzeyi metodunun Taguchi analizlerini üretebildiği yollara dikkat çekti. Lucas kesin sınıflandırılmış Yanıt yüzeyi metodunun, Taguchi nin iç ve dış düzeninden (Metodundan) nasıl daha etkili ve ekonomik olduğunu gösterdi. İlaveten, Taguchi metodunun uyum iyiliği testi için eksik olduğunu söylemiştir [7]. Lawson ve Modrigel (994) da yanıt yüzeyi metodunun giriş ve çıkış faktör dizaynlarının optimizasyonlarında diğer optimizasyon teknikleri çizgisel olmayan optimizasyon, dinamik programlama ve Monte Carlo simülasyon gibi oldukça etkili olduğunu söylemiştir [8].

24 5 Yanıt yüzeyi metodu, deney tasarımcısına ekstra bir avantaj sağlar, çünkü araştırmacının istenilen çıktı yanıt değerlerine daha yakın hareket eden giriş (girdi) değerlerini seçmesini sağlar [9]. Özler (006) çalışmasında bileşenlere tolerans tahsis etmek için geliştirilmiş olan bazı istatistiksel yöntemler açıklamıştır. Bu yöntemler, toleranslar arasındaki ilişkilerin (eklenebilir ve olasılıksal) belirlenmesinde ve maliyet-tolerans ilişkilerinin modellenmesi ve optimizasyonunda kullanılmaktadır. Maliyet-tolerans ilişkilerinin modellenmesi ve optimizasyonunda, esas olarak üretim süreçlerinin optimizasyonunda kullanılan istatistik ve matematik tekniklerin bir bütünü olan yanıt yüzeyi yöntembilimi (response surface methodology) yaklaşımı kullanılarak optimum bileşen toleranslarının nasıl bulunabileceği ile ilgili literatürde yapılan çalışmalar açıklanmıştır. Literatürde, bazı maliyet-tolerans modelleri önerilmekle beraber, bir çok endüstriyel problemde, her bir bileşen için maliyet-tolerans ilişkisinin gerçek fonksiyonel yapısı bilinmemektedir. Bu nedenle, Jeang (999) ve Kim and Cho (000), tolerans belirleme problemine istatistiksel bir çözüm yöntemi olarak, yanıt yüzeyi yöntembiliminin (response surface methodology) kullanımını önermiştir. Yanıt yüzeyi yöntembilimi, bir çıktı değişkeni ile bir kaç girdi değişkeni arasındaki ilişkilerin modellenmesinde kullanılan istatistiksel ve matematiksel tekniklerin bir kombinasyonudur. Yanıt yüzeyi yaklaşımında, çıktı değişkeni ile girdi değişkenleri arasındaki bilinmeyen, muhtemelen oldukça karmaşık yapıdaki gerçek ilişkiye birinci veya ikinci dereceden bir polinom ile yaklaşım yapılmaktadır şeklinde tanımlamıştır [0]. Bu tez çalışmasında yanıt yüzeyi metodu tanımlandı ve tasarımlara ait özellikler belirtildi. Çalışmada tasarımın kuruluş metotları üzerinde duruldu. Bu amaç doğrultusunda uygulaması yapıldı. Yanıt yüzeyi metodu kuruluş metotlarına ilişkin teoremler verildi ve bunların daha anlaşılır olması için gerçek bir veri seti üzerinden CDD ve BDD i uygulanarak karşılaştırma yapıldı.

25 6. DENEYSEL MODELİN OLUŞTURULMASI.. Doğrusal Regresyon Modelleri Yanıt yüzeyleri yönteminde, (RSM) (gerçek) regresyon modeline (en yakın) olan (yaklaşık) regresyon modelinin oluşturulması amaçlanır. Uygulamada genellikle gerçek regresyon modelleri bilinmez. Oluşturulacak olan model gözlem değerlerine dayalı olarak oluşturulur ve bu model ampirik bir modeldir. Yanıt yüzeyleri yönteminde çoklu regresyon analizi yönteminin kullanılması gerekmektedir []. Örneğin 3 bağımsız değişken söz konusu olduğu zaman birinci yanıt yüzeyi modeli şu şekildedir. Y β o + β + β + β + ε (.) 33 şeklinde ifade edilir. Örneklem yanıt yüzeyi modeli ise; Y bo + b + b + b3 3 + e (.) biçimindedir. Eş.. de; Y yanıt değişkeni (bağımlı değişken) i tahmin edicileri (bağımsız değişkenler) β o regresyon denklem sabitini β, β, β 3 Kısmi regresyon katsayıları (Bilinmeyen parametreler) (örneklem regresyon denklemiyle kestirimleri elde edilir.) ε hata

26 7 Şu durumda 3 iken Y nin aldığı ortalama değeri gösterir. b, b, b 3 ise regresyon katsayılarıdır. Örneğin b, ve 3 değişkeni aynı kaldığında değişkeninin bağımlı değişken Y ye etkisini gösterir. Bu nedenle kısmi regresyon katsayısı olarak da nitelendirilir. Böylece b diğer değişkenlerin etkisi arındırıldıktan sonra bağımsız değişkendeki bir birimlik değişimin bağımlı değişkende yaratacağı değişiklik miktarını verir []. Y yanıt değişkeni üzerine etkisi olduğu düşünülen k tane regresyon tahmincisini içeren çoklu regresyon modeli eş.3 teki gibidir, Y β o + β + β β k k + ε (.3) k tane regresyon tahmin edicisi için çoklu doğrusal regresyon modeli olarak adlandırılır. Y β o + β + β + ε (.4) birinci dereceden yanıt yüzeyleri modeline interaksiyon terimleri eklenerek model daha karmaşık bir hale getirilebilir. İki tahmin edicinin bulunduğu ve interaksiyon terimi içeren birinci dereceden yanıt yüzeyi modeli, Y β o + β + β + β + ε (.5) şeklindedir. Eş..5 standart regresyon modeli olarak adlandırılabilir. Benzer şekilde. dereceden yanıt yüzeyi modellerini de oluşturmak mümkündür. tahmin edici değişken içeren ikinci dereceden yanıt yüzeyi modeli. Y β o + β + β + β + β + β + ε (.6) şeklindedir [].

27 8.. Çoklu Regresyon Modelinin Varsayımları Doğrusal Regresyon Modeli bazı varsayımlara dayanır. Bunlardan bazıları ε rassal değişkeninin dağılımı, bazıları ε ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişki ve bazıları da bağımsız değişkenlerin kendi aralarındaki ilişkisi hakkındadır. i) ε i rassal değişkendir; herhangi bir dönemde ε i nin alabileceği değer şansa bağlıdır. ε +arasında değerler alır, ε nun belli bir anda alabileceği her değer belli bir olasılığa bağlıdır. ii) Herhangi bir dönemde ε i nin aritmetik ortalaması 0 dır. in her değeri için ε çeşitli değerler alabilir. Bunlardan bazıları 0 dan büyük bazıları 0 dan küçüktür. Ancak ε nun olabileceği bütün değerleri düşünürsek herhangi bir değeri için bunların aritmetik ortalaması 0 dır. ii) ε i nin varyansı her dönemde aynıdır. ε i nin kendi ortalamasına göre varyansı in bütün değerleri için aynıdır. Başka bir deyişle in bütün değerleri için ε lar kendi ortalamaları etrafında ayrı dağılımı gösterirler. iv) ε i değişkeni normal dağılıma sahiptir. ε nun (her değeri için) değerleri kendi etrafında simetrik bir dağılım gösterirler. ε nun değerlerinin dağılımı hakkında yukarıda verilen 4 varsayım şu ifadeyle özetlenebilir ve Şekil. deki gibi gösterilebilir.

28 9 y i ε N (0, σ ε ) E [ Y ] b0 + b b k k n i Şekil.. ε nun değerlerinin dağılımı hakkında varsayımların gösterilmesi v) Farklı gözlemlerin rassal terimleri (ε i ve ε j ) birbirinden bağımsızdır. Yani oto korelasyon yoktur. vi) ε i bağımsız değişkenlerden bağımsızdır. vii) Bağımsız değişkenlerin aralarında tam bir doğrusal ilişki (çoklu bağıntı) yoktur.3. Doğrusal Regresyon Modelindeki Parametrelerin Kestirimi Regresyon katsayılarının tahmininde en yaygın olarak en küçük kareler tekniği kullanılır. Konuyu daha pratik açıklayabilmek için bağımsız değişken sayısının olduğu. dereceden bir yanıt yüzeyi düşünülsün. Bu durumda Y ile ve arasındaki gerçek ilişki; Y β o + β i + β i + ε i (.7)

29 0 kestirimde bulunulan ilişki ise; i i i o i e b b b Y (.8) şeklinde gösterilir. EKK yönteminin aslı örnek hata terimleri e lerin kareler toplamını minimum yapan β ların değerlerinin kestirimidir []. Aşağıda 3 yöntem yardımıyla regresyon katsayılarının tahmininin bulunması açıklanmıştır..3.. Gözlem değerlerine göre ( ) o b b b Y e (.9) f(b o, b, b ) 0 3 b e b e b e o (.0) kısmi türevleri alınarak + + o i b b nb y + + o b n b b y + + o b b b y (.) şeklinde ifade edilir. Cramer kuralıyla katsayı tahminleri aşağıdaki gibi elde edilir. O o b b o b (.) n n Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ y n y y i o Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ (.3)

30 .3.. Ortalamadan sapmalara göre ( i ) i i ( i ) i i ( yi ) y i yyi (.4) olarak açıklandığında katsayı tahminleri b b ( i yi )( i ) ( i yi )( i ) i ( )( ) ( ) i i i i ( i yi )( i ) ( i yi )( i i ) ( )( ) ( ) i i i i (.5) Olarak tanımlanabilir. Özetlenirse; b o yi b i + b i i i i yi b i i + b i y b b (.6) şeklindedir [3] Matrisler yardımıyla çözümü Y i β o + β i + β i β k ik + ε (.7) belirtilen eşitlik gözlem değerleri yardımıyla Eş..8 de ifade edilir y β + ε (.8) bu eşitlikte;

31 y y y,.. y k X n... n k k.,.. nk β o ε β β, ve ε ε.... β k ε k (.9) n gözlem alınan birey sayısı, p ise tahmin edilecek olan parametre sayısı olmak üzere; y yanıt değişkeninin gözlem değerlerini gösteren n boyutlu vektör, tahmin edicilerinin düzeylerini gösteren np boyutlu matris, β regresyon katsayılarını belirten p boyutlu vektör ve ε ise hata terimlerini belirten n boyutlu vektördür. ( ) ( y) ˆβ (.0) Yukarıdaki eşitlik β katsayıları için en küçük kareler tahmin edicisidir. Bu eşitlik yardımıyla hata terimini minimum yapan β tahmin edicileri kolaylıkla tahmin edilebilir. Diğer yöntemlerden farklı olarak yanıt yüzeyleri yönteminde oluşturulacak olan modelin tahmininde tahmin edici değişkenlerin gerçek değerleri yerine kodlanmış değerleri de kullanılabilir. Kodlanmış değerler şu şekilde ifade edilir. X i [ ma( ωi )] + min( ϖi ) [ ma( ϖ )] + min( ϖ )/ ωi / (.) i i ϖ i her bir tahmin edici değişkenin doğal düzeyleridir [] En küçük kareler tekniğinin bazı özellikleri En küçük kareler tekniğinde βˆ nın özellikleri kısaca βˆ yansız kestiricisi

32 3 E ( ˆ) β E( ' ) E ' y [( ) y ( β+ ) ] E [( ' ) y( β + ε )] β (.) dır []. Çünkü E ( Σ 0) ve ( ) I. (.3) Böylece βˆ, β nın yansız bir kestiricisidir []. Bir başka ifadeyle, β değerlerinin kovaryans matris (b b) boyutlu olup köşegene göre simetrik bir matristir []. Var(bo) kov(bbo ). Var kov(b j).. kov(bkbo) kov(b b ) var(b )... kov(b o k b ).. var(b... ) kov(bobk ) kov(b bk )... var(bk ) ĵ () (.4) Genellikle j tahmin edilmeye çalışılır. Bu parametrenin tahmininin gelişiminde hata kareler toplamı göz önünde bulundurulur. SS E n ( yi ŷi ) i n i e e e i e y ŷ y βˆ ( y ˆ β)( y β) SS ˆ E

33 4 yy βˆ y y ˆ β + β ˆ βˆ y y ˆ β y + β ˆ β SS E y y p β (,5) olur []. ĵ SSE (,6) n p olarak tahmin edilir. Bu eşitlik ile elde edilecek olan değer ĵ değerinin yansız bir tahminidir. Buradaki SS E hata kareler toplamı, p ise bağımsız değişken sayısıdır []..4. Çoklu Regresyonda Hipotez Testleri Çoklu regresyon modeli içinde kullanılan parametrelerin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını yani model içinde kullanımının yanıt değişkeninde anlamlı bir değişime neden olup olmadığını, test etmek amacıyla kullanılan bir çok hipotez testi mevcuttur. Bu testlerin uygulanabilmesi Σ i hata değerlerinin birbirinden bağımsız olarak ortalaması 0 ve varyansı σ olan normal dağılıma sahip olması gerekir [4]..4.. Regresyon modelinin anlamlılığının sınanması Regresyon modelinde birden çok (k) sayıda değişkenin yanıt değişkenini açıklayıp açıklamadığını test etmek amacıyla yapılan testlerdir. Uygun hipotez takımı aşağıdaki gibidir []. H H β β β... β 0 : 3 k 0 β β β... β 0 (en az bir β 0 ) (.7) : 3 k j

34 5 Yukarıda belirtilen hipotez takımı için H 0 hipotezinin reddedilmesi bağımsız değişkenlerde en az birinin modele istatistiksel olarak anlamlı bir katkı sunduğu şeklindedir. Hipotez testinde kullanılacak olan kareler toplamı SS T n ( yi y) i σ (.8) iki bileşenden oluşur, bunlar modelden (regresyondan kaynaklanan kareler toplamı ve hatadan kaynaklanan kareler toplamıdır. Sembolik ifade etmek gerekirse, SS SS + SS şeklinde ifade edilebilir []. T R E α anlam düzeyinde H 0 hipotezinin testi, basit doğrusal regresyonda verilen varyans analizi çizelgesinin genelleştirilmesi ile yapılır. Çizelge.. Çoklu Regresyonda modelin anlamlılığının sınanmasında kullanılan varyans analizi çizelgesi Değişim Kaynağı Kareler Toplamı SD Kareler Ortalaması F o Regresyon Hata SS ˆ β X Y R n i Yi n SS E Y Y X Y k SS / k R MS R SS / n k MS βˆ n-k- E ( ) E MS R / MS E Toplam SS T Y Y n yi n- n i Varyansların oranı F dağılımına sahip olduğundan hesaplanacak F istatistiği;

35 6 R F SS E SS / / k MS ( n k l) MS E R (.9) olacaktır. Bu değer F α, (tablo değeri) ile karşılaştırılarak H 0 ın testi yapılır. < F : k, n k : k n k F α ise H 0 kabul edilir, yani bağımsız değişkenin modele katkısı önemsizdir, denklem anlamlı değildir. F α ise H 0 reddedilir, doğrusal regresyon modeli anlamlıdır ve dolayısıyla > F : k, n k parametreler bütünüyle ele alındığında formüle edilen ilişkinin gerekli olduğu şeklinde açıklanabilir[5]..4.. Kısmi regresyon katsayılarının anlamlılığının sınanması Kısmi Regresyon Katsayılarının tek tek test edilmesindeki amaç her biri kısmi regresyon katsayısının model içinde ne kadar önemli olduğunun test edilmesidir. Test edilen katsayının anlamlılığına göre o değişken modele alınır yada modelden atılır. Böylelikle en etkili modelin oluşturulması sağlanmış olur. Regresyon modeline bir değişkenin eklenmesi regresyon kareler toplamında bir artışa neden olur ve hata kareler toplamını düşürür. Modele bir tahmin edici alınacağı zaman anlamlılığına bakılması gereken bir başka değer ise belirlilik katsayısıdır. Belirlilik katsayısı yanıt değişkenindeki değişimin yüzde ne kadarının tahmin edicilerden kaynaklandığını ortaya koyan bir istatistiktir []. R SS SS R T SS SS E T Y Y ˆ β X Y n yi i Y Y n (.30)

36 7 Formülüyle hesaplanır. Eş..30 da görüldüğü gibi modele yeni alınan bir değişken regresyon kareler toplamını artıracağı için belirlilik katsayısını da arttıracaktır. Kısmi regresyon katsayılarının test edilmesinde kullanılan hipotez takımı; H : β 0 j 0 H : β 0 şeklinde formüle edilir. j β j 0 hipotezi Xbağımsız j değişkeninin yanıt değişkeni üzerinde etkili olmadığını ifade eder. Tek bir katsayıyı test etmek için kullanılan t istatistiği aşağıdaki gibidir. t b j j ( b ) j t b j S ( b ) j (.3) Eş..3 de b j nin standart hatası s(b j ) varyans-kovaryans matrisinin köşegen elemanlarında hesaplanmış olan var(b j ) den yararlanılarak j ( b ) s( ) şeklinde bulunur []. j b j.5. Model Uygunluğunun Test Edilmesi Modelin oluşturulmasından sonra uygunluğunun sınanması iki amaçla yapılır. Birincisi oluşturulmuş modelin gerçek modele ne kadar yakın olduğunun test edilmesi, diğeri ise en küçük kareler varsayımlarından herhangi birinin ihlal edilip edilmediğinin test edilmesidir. Burada bir modelin uygunluğunun sınanmasında kullanılan bazı yöntemlerden bahsedilmiştir [].

37 8.5.. Artıkların analizleri Artıkların analizi modelin uygunluğunun test edilmesi oldukça önemli bir konumdadır. Artıkların varsayımdan gerçekleşmesinde modelin tüm yeterliliği ile ilgili kılavuz bilgiler sağlar [6]. Bir modeldeki artıklar. z i y yˆ i,,, n (.3) i i Şeklinde hesaplanır. Eş..3 de y i ölçülen yanıt değeri, ŷ i ise tahmin edilen yanıt değeridir. Artıkların aynı zamanda gözlem değerlerinin regresyon doğrusundan olan uzaklıklarıdır []. Artıkların normal dağılıma uygunluğu varsayımı, artıkların normal olasılık grafiğinin çizilmesi ile test edilebilir. Şekil. de örnek verilmiştir. Artıklar grafikteki doğrunun etrafında toplanmaları normallik ön şartı yerine geldiğinin bir göstergesidir. Bu varsayım yerine gelmediği duruda verilerin dönüştürülmesi (transformation) yöntemine başvurulur. Bir başka yaygın olarak kullanılan grafik ise artık değerlerine karşın yanıt değişkeninin tahmin değerlerinin ( ŷ i ) grafiğinin çizilmesidir. Bu grafikte ise artık değerlerinin % 95 güven aralığı içinde yer alması beklenir,şekil.3 deki gibi [7].

38 9 Artiklarin Normal Dagilima Uyumu (yanit y degiskeni) Yuzdelik Artiklar Şekil.. Artıkların normal dağılıma uyum grafiği 4 Artiklarin Duzey Grafigi (Yanit y degiskeni) 3 Artiklar Degerlerin duzeyi Şekil.3. Yanıt değişkenin %95 düzey grafiği

39 0.5.. Standardize edilmiş artıklar Standardize edilmiş artıkların ortalaması sıfır ve varyansı sabittir. Bu yüzden bu değerler sapan gözlemlerin bulunmasında kullanılabilir. e d e i i i, i,,, n (.33) σˆ MS E Değerlerin çoğunun 3 d + 3değerleri arasında değişmesi gerekmektedir. Bu değerlerin dışında kalanlar aykırı gözlemler olarak adlandırılır [] Student t ye dönüştürülmüş artıklar r i σˆ e i ( h ) ii, i,,, n (.34) H ii Genel Hat Matrisinin köşegen elemanları olmak üzere Genel Hat Matrisi ( X X ) X H nn X ( ) (.35) Şeklinde ifade edilir. Hesaplamalar sonucu elde edilen student t ye dönüştürülmüş olan artıklar n-p- serbestlik dereceli t dağılımına göre kıyaslanır. Eğer t çizelge değeri r i değerinden daha büyükse bu gözlemin denkleme etkisi vardır, t çizelge değeri r i değerinden daha küçükse bu gözlemin denkleme etkisi yoktur şeklinde yorumlar [8,].

40 .5.4. Etkili gözlemlerin belirlenmesinde kullanılan istatistikler Modelden çıkarıldıklarında denklemin parametrelerinde istatistiksel olarak önemli değişiklikler meydana getiren gözlemler etkili gözlemler olarak nitelendirilir. Kimi durumlarda parametre tahminleri veri setinin geneline göre etkili gözlemler içeren bir alt kümeden daha çok etkileniyor olabilir. Bu etkili gözlemlerin yerini tespit etmek ve modeldeki yerini ölçmek gerekir []. En Küçük Kareler sonuçları üzerinde bir veri noktasının olası etkisi, diğer noktalara göre X-uzayındaki, pozisyonu ile hesaplanır. Genellikle bir veri noktası, X- uzayındaki veri noktalarının merkezinden uzaklaştıkça, regresyon sonuçlarını etkileme olasılığı da aynı oranda artar. Bu durumda sonucu olumsuz yönde etkilediği tespit edilen değişken veri setinden çıkartılmalıdır [9]. Etkili gözlemlerin tespit edilmesi için kullanılan yöntemlerden bazıları aşağıda gösterilmiştir. Leverage Tanıları Bu tekniğin uygulanmasında hat matrisinin köşegen elemanlarından yararlanılır. p h i > n İse veya p h i > 3 n h i : i.hat matrisi İse. gözlemin etkili gözlem olduğuna karar verilir. Burada p p + hat matrisinin iz vektörü ve n gözlem sayısıdır [0].

41 Cook Uzaklığı Bu teknik de tahmin edilen katsayılar üzerine etkili olan gözlemlerin belirlenmesi için kullanılır. O i r i hi p ' h O i : Cook uzaklığı i (.36) şeklinde bir uzaklık hesaplanır. Eş (.36) da r i standardize edilmiş i. artığı gösterirken, p p + ile gösterilir. Eğer Cook uzaklığı F aso p, n p, çizelge değerinden daha büyük değerler alıyorsa o gözlemin etkili gözlem olduğuna karar verilir [0] Uyum yokluğunun test edilmesi Uyum yokluğu, seçilen model verileri yararlı bir şekilde nitelendirmediği zaman ortaya çıkar. Uyum yokluğunun olup olmadığına bağımsız değişkenler için yanıt değişkeninin aldığı değerler tekrarlı bir şekilde elde edildiği durumdaki gözlenen hata ile eğrinin uyumundaki hata karşılaştırılarak karar verilir. Uyum yokluğunun mevcut olması bulunan modelin tahmin edici özelliğinin istatistiksel bir anlamlılığa sahip olmadığını gösterir. Bu sorunun düzeltilmesinde kullanılan yöntem vardır. Bunlardan birincisi verilerin dönüştürülmesi diğeri ise modelin genişletilerek daha karmaşık ve daha fazla sayıda verinin elde edilmesidir. Yanıt değişkeninin her biri X i bağımsız değişkeni için aldığı m tane değeri gösteren n i tane gözleme sahip olduğumuzu varsayılır. y ij yanıt değişkeninin j. Gözlem, i. Tahmin edici değişken için aldığı değerleri, n bütün gözlem değerlerinin toplamının göstersin. Varyans analizi çizelgesinde yer alan artık kareler toplamının iki bileşeni vardır. SS E SS PE SS LOF

42 3 SS PE saflık hatasından (pure error) kaynaklanan kareler toplamını, SS LOF uyum yokluğundan (lack of fit) kaynaklanan kareler toplamıdır []. Çizelge.. Saflık hatasına giriş modelinin anlamlılığının sınanmasında kullanılan varyans analizi çizelgesi. Değişim Kaynağı Sabit Kareler Toplamı SD Kareler Ortalaması F o n y SS / k R MS R İlave edilmiş terim Saflık Hatası SS PE ˆ θ ' Z' y ny m ni i j ( y ij y ) i p- SS / p AD MS AD n-m SS PE /( n m) MS PE MS LOF / MS PE Uyum Yokluğu SS LOF m i n ( y i i yˆ ) i m-p SS / m p LOF MS LOF Toplam m ni y ij i j n Uyum yokluğunun test edilmesi için kurulacak olan kontrol hipotezi uyum yokluğu vardır biçimindedir. Kontrol hipotezinin reddedilmesi durumunda oluşturulan modelin veri setini iyi bir şekilde temsil ettiğine karar verilir [5]..6. İkinci Derece Modellerin Oluşturulması Kareli terimler içeren bir model ikinci dereceden regresyon modeli olarak isimlendirilir. Aşağıda verilen eşitlik ikinci dereceden terimler içeren bir regresyon denkleminin β regresyon katsayıları için en küçük kareler tahmin edicisidir. b ( ' ) ' y (.37)

43 4 Eş..37 yardımıyla hata terimini minimum yapan β bağımsız değişkenleri kolaylıkla tahmin edilebilir. n gözlem alınan birey sayısı, p ise tahmin edilecek olan parametre sayısı olmak üzere kullanılacak olan matris ve vektörler şu şekildedir []. y y y.. y k, ε ε ε.. ε k.. X,.... n n n n n n β o β β, ve.. β k (.38) Eş..38 de, y yanıt değişkeninin gözlenen değerlerini gösteren n boyutlu vektör, tahmin edicilerin düzeylerinin gösteren n p boyutlu matris, β regresyon katsayılarını gösteren p boyutlu vektör ve ε ise hata terimlerini gösteren n boyutlu vektördür [7]..7.Nitelik Bildiren Bağımsız Değişkenlerin Kullanımı Yanıt yüzeyi yöntemlerinde kullanılan tahmin edici değişkenler genellikle nicelik bildiren değişkenler olmasına rağmen nitelik bildiren değişkenleri kullanmak da mümkündür. Nitelik bildiren değişkenlerin farklı düzeylerinin modele dahil edilmesi için genellikle yapay (dummy, indicator) değişkenler kullanılır. Regresyon modeline nitelik belirten tahmin edici değişkenin düzey sayısının eksiği kadar yapay değişken eklenir [8].

44 5 Üç düzeyi olan bir nitelik belirten değişken için oluşturulacak olan yapay değişkenler Çizelge.3 te verilmiştir. Çizelge.3 e bakarak şu yorumlar yapılabilir; birinci yapay değişkenin 0 ve ikinci yapay değişkenin 0 olduğu durum gerçekte b,nitelik belirten tahmin edici değişkenimizin birinci düzeyini göstermektedir. Çizelge.3. Yanıt yüzeyleri yönteminde yapay değişken oluşturulması YAPAY DEĞİŞKENLER Nitelik Belirten Tahmin Edici Değişkenin Düzeyleri 0 0 Tahmin Edici Değişkenin Birinci Düzeyi 0 Tahmin Edici Değişkenin İkinci Düzeyi 0 Tahmin Edici Değişkenin Üçüncü Düzeyi.8.Yanıt Değişkeninin Transformasyonu Sıklıkla veri(miktar veya adet) transformasyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir. i) Transformasyon teknikleri populasyon içinde verinin sırasını korurlar yani artan fonksiyonlardır. Orijinal ölçekte büyük olan veri değerleri transformasyondan sonra yine büyüktür, ancak verilerin aralıkları değişebilir. ii) Veri noktaları arasında yeni değerler sokulmasından kaynaklanan küçük farklar vardır. Verilerin büyüklük sırası değişmediği için ortanca değerler yine ortanca değerlere dönüştürülmüş olur. iii) Bunlar sürekli fonksiyonlardır.burada orijinal veri gurubunda birbirine yakın değerler alan noktaların transformasyondan sonrada yine birbirine yakın olacağının yada en azından kullanılmakta olan ölçekle alakalı olacağını garanti eder. iv) Bunlar düzgün fonksiyonlardır. Kullanılan fonksiyonların her düzeyinin türevleri vardır. Bu ihtiyaç fonksiyonlarının keskin köşelerinin olmamasını garanti eder [].

45 6 Genellikle veri transformasyonuna üç ana nedenle başvurulur. Yanıt değişkeninin varyansını sabitlemek, yanıt değişkeninin normal dağılıma yaklaştırmak ve oluşturulan modelin verilere uygunluğunu artırmaktır. Yanıt yüzeyleri yönteminde veri transformasyonuna artıkların analizinde bazı önşartlar yerine gelmediğinde başvurulur. Artıkların varyanslarının eşit olmadığı durumda tahmin denkleminin doğal logaritmasını almak yada Bo ve Co tarafından 964 yılında geliştirilen eşitliği kullanmak yararlı olacaktır []. λ y λ 0 ( λ ) y λy λ (.39) y ln y λ 0 Eş..39 da λ değişebilen değerler alan transformasyon parametresidir..9.yanıt Yüzeyleri Grafiği Yanıt Yüzeyleri grafiği ikiden fazla faktörün düzeylerinin yanıt değişkeni üzerine etkisinin üç boyutlu olarak gösteriminde kullanılan grafiklerdir. Eğer ikiden fazla faktör varsa, diğer faktörlerin düzeyleri sabitlenerek asıl ilgilenilen faktörlerin değerlerini görmek de mümkündür. Faktörler ve yanıt değişkeni için oluşturulan model doğrusal bir modelse yanıt yüzeyi grafiği doğrusal bir şekil alırken, karesel terimler içeren bir modelse eğrisel bir şekil alacaktır. Şekil.4 ve Şekil.5 de tane modelin yanıt yüzeyi grafiği örnekleri verilmiştir.

46 7 Yanit Degiskenine Ait Plot Hold Values C C A B Şekil.4. Doğrusal modele ilişkin yanıt yüzeyi grafiği Yanit Degiskenine Ait Plot Hold Values C C A B 60 Şekil.5. Karesel modele ilişkin yanıt yüzeyi grafiği

47 8.0.Contour Grafiği Contour grafiği yanıt yüzeyi yöntemlerinin sonuçlarını en iyi şekilde ortaya koyan grafiklerden bir tanesidir. X ve Y eksenlerinde faktörler yer alırken eksenlerin içinde kalan bölgeler ise yanıt yüzeylerinin aldıkları değerleri gösterir. Yanıt yüzeyi grafiğine benzer olarak, eğer üçüncü bir faktör varsa düzeyi sabitlenerek grafiğe eklenebilir ve oluşturulan regresyon modeli doğrusal ise eksenler arasındaki bölge doğrusal çizgilerle ifade edilirken, karesel bir ilişki söz konusu ise daireler şeklinde ifade edilir. Şekil.6 ve Şekil.7 de tane modelin contour grafiği örnekleri verilmiştir. Contour Grafigi B C9 < > A Şekil.6. Doğrusal modele ilişkin contour grafiği

48 Contour Grafigi C8 < >.0 B A Şekil.7 Karesel modele ilişkin contour grafiği

49 30 3.FAKTORİYEL TASARIMLAR Faktoriyel deney iki veya daha fazla faktör ve düzeylerinin çeşitli kombinasyonlarının yanıt değişkeni üzerindeki etkilerinin araştırıldığı deneydir. Faktoriyel deney kullanmanın bazı nedenleri vardır. Bunlardan ilki faktoriyel deneyin ana etkilerin tahmininde çok daha etkili olmasıdır. Bir başka ve çok önemli neden faktörler arasındaki etkileşimlerin hesaplanabilmesidir. Etkileşim etkileri deney sonuçlarını genel olarak belirlemede çok önemli yer tutar. Örnek: Nitrojenin sadece potasyum ile birlikte kullanıldığında yetiştirilen ürünün veriminin arttığı bilgisi gübre kullanıcıları için çok önemli bir bilgidir. Örnek: Son zamanlarda AIDS hastalığı için geliştirilen tedavilerde ilaçların tek tek kullanılması yerine bunların birlikte kullanıldığında daha etkili oldukları gözlenmiştir. Faktoriyel deneyde, faktörlerin ve bu faktörlere ait faktör düzeylerinin seçimi çok önemli bir safhadır. Zaman ve maliyet sınırlaması altında derin bir alan bilgisi gerektirir.deney ünitelerine faktör düzeylerinin atanması araştırmacının kontrolü altındadır. Faktör düzeyleri nitel veya nicel olabilir. Nicel faktörler genellikle sıcaklık, ilaç dozu gibi sürekli değişkenlerden oluşturulur. Nitel faktörler ise genellikle sıralanmış sayı değerleri ile gösterilseler de çoğunlukla sayısal olarak oluşturulmazlar. Örnek: Cinsiyet ve sınav zamanı gibi iki bağımsız faktörün olduğu bir deneyde, cinsiyet (erkek,kadın), sınav zamanı (sabah,öğle,akşam) olmak üzere farklı düzeylere sahiptirler. Bu faktör düzeyleri nitel olup ayrıca cinsiyet için (,), sınav zamanı için (,,3) şeklinde de tanımlanabilir. Faktoriyel deney faktör düzeylerinin tüm mümkün kombinasyonlarında eşit sayıda tekrar içerir.

50 3 Faktoriyel deney iki veya daha çok faktörün etkilerinin araştırıldığı deneydir. Genel olarak faktoriyel deney en fazla bu tip deneyler için etkilidir. Faktoriyel deney ile anlatılmak istenen deneyin her tekrarında faktör düzeylerinin tüm mümkün kombinasyonlarının araştırıldığıdır. Mesela a düzeye sahip A ve b düzeye sahip B faktörü için her tekrar ab sayıda işlem kombinasyonlarını içerir [8]. Yanıt değişkenindeki değişim olarak tanımlanan faktör etkisi faktör düzeyindeki değişim ile açıklanır. Bu genellikle esas yanıt olarak adlandırılır. Esas yanıt deneydeki ana faktörlerin ilgisini gösterir. Bazı deneylerde bir faktörün düzeyleri arasında yanıtta meydana gelen farklılık başka bir faktörün tüm düzeylerinde aynı olmayabilir. Bu gerçekleştiğinde faktörler arasında bir etkileşimden söz edilebilir [5, 8]. Etkileşimi göstermenin başka bir yolu daha vardır. Her iki deney faktörünün de nicel olduğunu düşülsün. Böylece iki faktörlü faktoriyel deney için regresyon modeli aşağıdaki gibi yazılır. Y β o + β + β + β + ε (3.) Eş 3. de Y yanıtı, β lar parametreleri, değişkeni A faktörünü, değişkeni B faktörünü ve ε da hata terimini gösterir. ve değişkenleri (-,+) aralığında kodlanmıştır. ise ve arasındaki etkileşimi gösterir. Regresyon modelindeki parametre tahminleri yanıt tahminlerine dönüşür. [5, 8, ] 3..Faktoriyel Deney in Avantajı Her biri iki düzeye sahip A ve B gibi iki faktöre sahip olduğumuzu düşünülsün. Faktör düzeylerini A +, A ve B +, B olarak gösterilsin. Her faktör üzerindeki bilgi, Şekil 3. de gösterildiği gibi faktörler bir kez değiştirilerek elde edilir. Değişen A faktörünün etkisi + A B A B ve değişen B faktörünün etkisi A B A B ile

51 3 bulunur. Deneysel hatanın varlığından dolayı her işlem kombinasyonun da iki gözlem yapılması arzu edilir ve ortalama yanıtlar kullanılarak faktör etkileri tahmin edilir. Sonuç olarak altı gözleme ihtiyaç duyulur [5, 8,, 7]. Şekil 3.. A ve B faktörünün interaksiyonlarının gösterimi Eğer bir faktoriyel deney uygulanırsa ekstra bir işlem kombinasyonu Burada dört gözlem kullanılır. A nın etkisi için iki tahmin A + B + alınır. + A B A B ve A B A B benzer olarak B nin etkisi için de iki tahmin olacaktır. Elde edilen bu esas yanıt tahminleri tek faktörlü deneyden elde edilenler ile aynı doğruluktadır. Fakat burada dört gözleme ihtiyaç duyulur buda bize faktoriyel deneyin tek faktörlü deneye göre oransal etkinliğinin (6/4).5 olduğunu gösterir. Şekil 3. de görüldüğü gibi genellikle faktör sayısı arttığında oransal etkinlik de artar [8]. Şekil 3.. Faktör sayısı ve oransal etkinlik arasındaki ilişki

52 33 Etkileşimin olduğu farz edilirse, eğer tek faktörlü deney A B + ve A + B nin A B den daha iyi yanıtlar verdiğini gösterirse, mantıksal olarak A + B + nın daha iyi olduğu sonucuna ulaşılır. Bununla birlikte eğer etkileşim varsa bu sonuç ciddi bir hata olabilir. Özet olarak faktoriyel deney önemli avantajlara sahiptir ve tek faktörlü deneyden daha etkilidir. Ayrıca etkileşimlerin varlığında yanlış sonuçlara ulaşmamak için faktoriyel deney kullanılması gereklidir. Sonuç olarak faktoriyel deneyler bir faktör etkisinin diğer faktör düzeylerinde tahmin edilmesinde kullanılır ve geçerli sonuçlar elde edilir [8]. 3..İki Faktörlü Faktöriyel Deney Tasarım iki faktörlü faktöriyel deneyin genel haline özel bir örnektir. Gözlenen yanıtların y ijk ile gösterildiği i. düzeyde i,,..., a A faktörü, j. düzeyde j,,...,b B faktörü ve k. tekrarlı k,,..., n iki faktörlü faktöriyel deneyin genel gösterimi, Şekil 3.3 de görülmektedir. abn gözlem rassal olarak seçildiğinden bu deney bir tam rasgele deneydir [8, ]. Şekil 3.3 İki faktörlü faktöriyel deneyin genel gösterimi

53 34 En basit yapıdaki faktöriyel deneyler sadece iki faktör yada işlem kümeleri içerirler. a düzeye sahip A faktörü, b düzeye sahip B faktörü ve deneyin her tekrarı ab işlem kombinasyonlarını içerir. Deney n tekrara sahiptir. Faktöriyel deneydeki gözlemler bir model ile ifade edilir. Faktöriyel deney için model yazmanın birkaç yolu vardır. Yanıt modeli; yijk µ + τ + β + ( τβ) + ε i j ij ijk i,,..., a j,,..., b k,,..., n (3.) Eş. 3. de µ genel ortalama etkisi, τ i A faktörünün i. düzeyinin etkisi, β j B faktörünün j. düzeyinin etkisi, (τβ) ij τ i ve β j arasındaki etkileşimin etkisi, ε ijk rassal hata terimidir. Her bir faktör sabit farz edilir ve işlem etkileri genel ortalamadan sapmalar olarak tanımlanırsa da a i b τ i 0 ve β j 0 (3.3) j dır. Benzer olarak etkileşim etkileri de sabit a i b ( τβ ) ( τβ) 0 (3.4) ij j ij dır. Çünkü deney n kez tekrarlanır ve abn gözlem vardır [, 8]. Faktöriyel deney için bir başka mümkün model ortalama modeldir

54 35 yijk µ + ε ijk ijk i,,..., a j,,..., b k,,..., n (3,5) ij. hücrenin ortalaması µ + ij µ + τ i + β j (τβ) ij (3.6) Bir başka model olarak daha önce gördüğümüz regresyon modeli de kullanılabilir. Regresyon modelleri deneyde bir veya birden daha çok faktörün nicel olması durumunda kullanılır. A faktörünün etkilerinin eşitliğinin testinde H H 0 τ τ... τ 0 en az birτ 0 i a B faktörünün etkilerinin eşitliğinin testinde H H 0 β β... β 0 en az birβ 0 j a Etkileşimlerin etkilerinin testinde H H 0 ( τβ) en ij 0 tüm i, j için az bir( τβ ) ij 0 (3.7) [,8]. 3.3.Parametre Tahmini İki faktörlü faktoriyel model için artıklar Eş. 3.8 deki gibi olur. e ijk y yˆ (3.8) ijk ijk

55 36 Eş. 3.8 de y ˆ ijk yij şeklindedir. ( ij y ij inci hücredeki gözlemlerin ortalamasıdır). Bu durumda artık; e ijk y y (3.9) ijk ijk şeklinde olacaktır. İki faktörlü model; yijk µ + τ + β + ( τβ) + ε i j ij ijk i,,..., a j,,..., b k,,..., n (3.0) şeklindedir. Eş. 3.0 dan; EKK yöntemini kullanarak +a+b+ab kadar denklem elde ederiz. Bu denklemleri kullanarak toplam +a+b+ab kadar parametre tahmini yapacağız. Burada amacımız hataları minimize etmek olduğundan; L n b a k j i e ijk n b a k j i ( y yˆ ) (3.) ijk ijk buradan µ tahmini için; L µ µ n b a k j i ( ( µ + τ + β + ( τβ ) y ijk i j ij )) (3.) çözmek gerekir. Benzer şekildeτ, β,( τβ içinse; i j ) ij L τ τ i n b i k j ( y ( µ + τ + β + ( τβ ) ijk i j ij )) i,,....,a β j L β j n a k i ( y ( µ + τ + β + ( τβ) ijk i j ij )) j,,....,b

56 37 ( τβ) ij L ( τβ) ij n k ( y ijk ( µ + τ + β + ( τβ) i j ij )) (3.3) j,,..., b j,..., b şeklinde olacaktır. Eş. 3.3 den µ için olanı alacak olursak ; L µ µ n b a k j i ( ( µ + τ + β + ( τβ ) y ijk i j ij )) n b a ^ L ( y ijk ( ˆ µ + ˆ τ i + ˆ β j + ( τβ ) µ k j i ij )) L µ n b a ( y abn ˆ µ + bn ˆ τ + an ˆ β + n ijk i j k j i i j j i a b b a ^ ( τβ ) ij )) 0 a b b a ^... i j ij i j j i µ : y abn ˆ µ bn ˆ τ an ˆ β n ( τβ ) 0 (3.4) şeklinde µ için olan normal denklem elde edilir. Diğerleri için benzer şekilde işlem yapıldığında; b b ^.. ij j j τ i : yi bn ˆ µ bn ˆ τ i n ˆ β j n ( τβ ) 0 i,,..., a (3.5) a a β j : y an ˆ n ˆ j i an ˆ.. µ τ β j n ( τβ) 0 j,,..., b (3.6) i i ^ ij. i j ij ^ ( τβ ) : y n ˆ µ n ˆ τ n ˆ β n ( τβ) 0 i,,..., a j,,..., b (3.7) ij şeklinde olacaktır. ij

57 38 Dolayısıyla Eş. 3.7 den +a+b tanesi lineer bağımlı olacaktır. Bunun sonucunda bu denklem sisteminin tek çözümü olmayacaktır. Bu sorunu ortadan kaldırmak için ek kısıtlara ihtiyaç duyulur. Bu kısıtları; a i ˆ τ 0 i b j ˆ β j 0 a i ( ^ τβ ) ij 0 j,,..., b b j ( ^ τβ ) 0 i,,..., a (3.8) ij şeklinde yazılabilir. Eş. 3.8 de son iki denklemlerden tanesi lineer bağımlıdır. Dolayısıyla buradan toplamda a+b+ tane lineer bağımsız denklem elde edilir. Böylece toplam denklem sayısı parametre sayısına eşit olur(+a+b+ab). Parametre tahminleri; µ y ˆ... τ i y i.. y i,,..., a ˆ β j y. j. y... j,,..., b ^ (... τβ ) i yij. yi.. y. j. y i,,..., a j,,..., b (3.9) şeklinde bulunacaktır. Dolayısıyla Eş. 3.9 denklem sisteminden a+b+ tanesi lineer bağımlı olacaktır [8, 5].

58 Sabit Yanıt Modelinin İstatistiksel Analizi y i.. A faktörünün i. düzeyindeki tüm gözlemlerin toplamı,. j. y B faktörünün j. düzeyindeki tüm gözlemlerin toplamı, y i. j. ij. hücredeki tüm gözlemlerin toplamı ve y... tüm gözlemlerin genel toplamını gösterir. Bu ifadelerin matematiksel gösterimleri y y y y i... j. ij.... b j k n k a a n i k y b n ijk y y n ijk ijk i j k y ijk y i.. y. j. y. j. bn yij. yij. n y... y i.. bn y... abn i,,..., a j,,..., b i,,..., a j,,..., b (3.0) Genel düzeltilmiş kareler toplamı a b i j k bn a n i ( y ( y i.. ijk y y ) ) a i j k + an b b j n ( y. j. [( y i.. y y ) ) + ( y + n a. j. b i j y... ( y ij. ) + ( y y i.. ij. y y. j. i.. y.... j. + y ) + y +... a ) + ( y b n ijk i j k y )] ( y ijk ij. y ) ij. (3.) Eş. 3. in sağ tarafındaki 6 çapraz çarpım sıfırdır. Sağ taraf, kare toplamı genelin parçalanmış halidir. İlk terim A faktörü için kare toplamı, ikinci terim B faktörü için kare toplamı, üçüncü terim AB etkileşimi için kare toplamı, dördüncü terim ise hata için kare toplamı değerlerini verir. Sağ taraftaki son terimden, hata kare toplamı elde etmek için ( n )olması gerektiği görülür. Elde edilen eşitlik Eş. 3. de verilmiştir. SS SS + SS + SS + SS (3.) T A B AB E

59 40 Çizelge 3.. Her bir kare toplamı için serbestlik dereceleri Etki Serbestlik derecesi A a- B b- AB Etkileşimi (a-)(b-) Hata ab(n-) Genel abn- Genel s.d. olan abn- şöyle elde edilir. a ve b düzeylerine sahip A ve B faktörlerinin s.d. leri (a-) ve (b-) dir. Etkileşim s.d. de, (ab-) olan hücreler içi s.d. den A ve B nin s.d. nin farkıdır. ab--(a-)-(b-)(a-)(b-). Her ab hücresinin içinde n tekrar arasında n- s.d. vardır. Buda hata için ab(n-) s.d. anlamına gelir. Bu s.d. nin toplamı da genelin s.d. ni verir. Her bir kare toplamını kendi s.d. ne bölümü ortalama kareleri verir. Ortalama karelerin beklenen değerleri E( MS E( MS E( MS A B bn τ i SS A i ) E σ + a a an β j SS B j ) E σ + b ( b ) AB a b n ( τβ) ij SS AB i j ) E σ + ( a )( b ) ( a )( b ) a b SS E( MS ) σ ab( n ) E E E (3.3)

60 4 Eğer yokluk hipotezleri doğruysa A, MS B MS AB ve E MS, MS tahminleri σ yi verir. Bununla birlikte A ve B faktörü veya AB etkileşimi etkileri arasında fark varsa A, MS B MS AB ve E MS, MS de büyük olacaklardır. Sonuç olarak esas etkilerin ve bunların etkileşim etkilerinin önem testinde ortalama kare değerleri ortalama hata kare değerine bölünür. Bu oranların büyük olması verinin yokluk hipotezini desteklemediği anlamına gelir. Genel model yeterli ve hata terimi ε ijk dağıldığı varsayılır, her bir ortalama kare oranı, sabit varyans σ ile bağımsız ve normal MS A MS E, MS B MS E, MS sırası ile a-, b-, (a-)(b-) ve hata için ab(n-) s.d. ne sahip F dağılımına uyarlar. Test işlemi Çizelge 3. deki varyans analizi tablosunda özetlenmiştir. AB MS E Çizelge 3.. İki faktörlü faktöriyel deney varyans analizi tablosu, sabit yanıt modeli Kaynak Simge SD Kareler ortalaması F değerleri A SS a- A MS A SS A a F 0 MS MS A E B SS b- B MS B SS B b F 0 MS MS B E AB SS (a-)(b-) AB MS AB SS AB ( a )( b ) F 0 MS MS AB E Hata SS E ab(n-) MS E SS E ab( n ) Toplam SS T abn- Genel kare toplamı için hesaplama formülü SS T a b n i j k y ijk y... abn (3.4) Esas etkiler için hesaplama formülleri;

61 4 SS A a y bn i i.. y... abn ve SS B b y. an j j. y... abn (3.5) Etkileşim etkisi için hesaplama formülü iki aşamada elde edilir. İlk olarak ab hücre toplamları arasındaki kare toplamları bulunur. SS subtotal n a b i j y ij y... (3.6) abn Bu kare toplamı elde edilmesidir. SS vess A B yide içerir. İkinci aşama ise etkileşimin kare toplamının SS AB SS SS SS (3.7) subtotal A B Hata için kare toplamı da SS E SST SS AB SS A SS B veya E T subtotal [5, 7, 8]. SS SS SS (3.8)

62 43 4. k ve 3 k FAKTÖRİYEL TASARIMLAR 4..Temel Bilgiler Faktöriyel tasarımlar, çeşitli faktörler içeren denemelerde sıkça kullanılır. Bu tasarımların birçok özel durumları vardır. Bunlardan en önemlisi her biri düzeyli k tane faktör içeren tasarımlardır. Düzeyler sıcaklık, basınç ve zamanın iki değeri olan sayılabilir değerler olabildiği gibi; iki makine iki operatör ada faktörün yüksek yada düşük düzeyleri gibi sınıflama düzeyinde olabilir. Böyle bir tasarıma k faktöriyel tasarım denir. Bu tasarımlar üzerindeki varsayımlar () faktörler sabittir, () tasarımlar tam rasgeledir, (3) normallik varsayımı sağlanır. Çok faktörlü bir faktöriyel denemede, k faktöriyel tasarımı deneysel çalışmanın ilk aşamalarında oldukça faydalıdır. Bu şekilde yapılan bir deneme düzeni gözlem sayısının en küçük olmasını sağlar. Böyle bir denemede tane düzey kullanılacağından düzeylerin yanıt değişkeni üzerindeki etkisinin lineer olduğu varsayılır. Burada her bir deneme kombinasyonu için n> kez tekrar yapılır [3]. 4.. Deneme Düzeni k deneme düzenlerinin içinde en basit olanıdır. Sadece tane düzeyli faktör içerirler. Faktörlerin düzeyleri düşük veya yüksek olarak adlandırılabilirler. Genellikle yüksek düzey + düşük düzey ise - simgesi ile gösterilir. Bu deneme düzenlerinde faktörler nicelik belirteceği gibi (sıcaklık, basınç vb.), nitelikte belirtebilir (iki farklı metot, iki farklı hammadde gibi). A ve B gibi iki tane iki düzeyli faktörün kombinasyonunda elde edilecek yanıt değişkeni sayısı dörttür. Faktör düzeylerinin denemedeki kombinasyonları Şekil 4. de verilmiştir. Bu şekilde a köşesi A faktörünün yüksek seviyesi ile B faktörünün

63 44 düşük seviyesi arasındaki kombinasyonu, b köşesi A faktörünün düşük seviyesi ile B faktörünün yüksek seviyesi arasındaki kombinasyonu, ab her iki faktörün yüksek düzeyleri arasındaki kombinasyonu, (I) köşesi her iki faktörün düşük seviyelerinin kombinasyonu gösterir. Şekil 4. den yararlanarak A, B faktörünün ana etkileri ve AB interaksiyon etkisi için formüller türetilebilir [8,, 3]. Yüksek (+) b ab B Faktörü Düşük (-) (I) a Düşük (-) A Faktörü Yüksek (+) Şekil 4.. deneme düzeni A faktörünün ana etkisi kendisine göre karenin pozitif tarafındaki değerler ile negatif tarafındaki değerlerin ortalamaları arasındaki farktır. A y A + y A

64 45 ab + a b + ( I ) n n [ ab + a b ( I )] (4.) n B faktörünün ana etkisi kendisine göre karenin pozitif tarafındaki değerler ile negatif tarafındaki değerlerin ortalamaları arasındaki farktır. B y B + y B ab + b a + ( I ) n n [ ab + b a ( I )] (4.) n AB interaksiyon etkisi sırasıyla sağdan sola ve soldan sağa doğru iki köşegen üzerindeki karşılıklı değerlerin ortalamaları arasındaki fark ile elde edilir. ab + ( I ) a + b AB n n [ ab + ( I ) a b ] (4.3) n Bir ana etkinin değeri pozitif çıkıyorsa, o ana etkinin değeri arttıkça yanıt değişkeninin değerinin artacağına, negatif çıkıyorsa, ana etkinin değeri arttıkça yanıt değişkenin değerinin azalacağına karar verilir. Hesaplanan bu ana etkilerinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmayacağını test etmek için varyans analizi kullanılır. A, B, AB etkiler için kontrastlar hesaplanır. KontrastA KontrastB KontrastAB ab + a b ( I ) ab + b a ( I ) ab + ( I ) a b (4.4)

65 46 Eş. 4.4 deki kontrastlardan yararlanarak kareler toplamı elde edilebilir. Varyans analizi çizelgesi aşağıdadır. Çizelge 4.. Değişim Kaynağı A deneme düzeni için varyans analizi çizelgesi Kareler Toplamı SD Kare ler Ortala ması [ ab + a b ( I)] SS A 4n MS A F o MS / MS A E B AB Hata Toplam [ ab + b a ( I)] SS B 4n [ ab + ( I) a b] SS AB 4n SS MS B AB E SST SSA SSB SSAB 4(n-) E y SS 4n- T... yijk i j k 4n MS / MS MS MS AB / MS E MS B E Toplam etkileri hesaplamak için bir başka yol standart sıralamayı belirten bir başka çizelge oluşturmaktır. Standart sıralamalar Çizelge 4. de verilmiştir. Çizelge 4. den yararlanarak A ana etkisinin kontrastı bulunacak olursa; A sütunundaki işaretler dikkate alınır ve ilgili kombinasyonlarla çarpılır [8, 5]. KontrastA ab + a b (I) (4,5) olarak bulunur. Diğer etkilerde benzer şekildedir.

66 47 Çizelge 4.. Etkilerin hesaplanması için standart sıralamalar Faktör Faktörlerin Etkileri Düzeylerinin I A B AB Kombinasyonları (I) a b ab Regresyon modelleri k faktoriyel denemelerinden elde edilen etkileri, yanıt değişkenin değerlerini tahmin etmek için kullanılacak olan regresyon modeline dönüştürmek mümkündür. İki bağımsız değişkenin ana etkilerini ve bu iki faktör arasındaki interaksiyonu içeren birinci sıralı bir model: Y β o + β + β + β + ε (4.6) şeklindedir. Eş. 4.6 modelinin tahmini ise; yˆ bo + b + b + b + e (4.7) dir. Eş. 4.7 de ve faktörlerin kodlanmış düzeylerini gösterir. İki düzeyli faktörler şeklinde oldukları için düşük olan düzey -, yüksek olan düzey ise + ile ifade edilir.

67 48 Eş. 4.7 de modelde model sabiti o b bütün gözlemlerden elde edilen değerlerin ağırlıklı ortalaması, b ve b katsayıları ilişkili faktörün ana etkisinin değerinin yarısına eşittir. Çünkü regresyon katsayıları bir değişkenin bir birimlik artışa karşı oluşturacağı etkiyi gösterirken ana etkiler iki birimlik artışın (- den +) üzerine kurulmuştur. Regresyon katsayılarının matrisler yardımıyla da hesaplamak mümkündür. deneme düzeni için matrisler aşağıda verilmiştir. 4 3 y y y y y β β β β 4 3 ε ε ε ε ε (4.8) Eş. 4.9 dan yararlanılarak b katsayı matrisi hesaplanır. ( ) ( ) y b (4.9) [8] Faktöriyel Tasarım Her biri iki düzeyli olan A, B ve C faktörleri göz önüne alınsın. Bu 3 faktöriyel tasarım olarak adlandırılır. 8 tane işlem kombinasyonu vardır. Geometrik olarak bir küp ile gösterilebilir. 3 tasarımında toplam 8 tane deneme kombinasyonu vardır. Her bir deneme kombinasyonu 3 farklı gösterim vardır. Bunlar +,-; (), a, b, c,...; ya da,0 olarak gösterilir.

68 49 Çizelge 4.3. İlk tasarım matrisi İşlem A B C Değişken A B C () a b ab c ac bc abc 3 tasarımında 8 işlem kombinasyonunda toplam 7 serbestlik derecesi kullanılmaktadır. Bunların 3 tanesi ana etkilere 4 tanesi de etkileşimleri etkileri içindir. A ana etkisinin tahmini için; B ve C nin düşük düzeyleri göz önüne alınsın. Dolayısıyla [a-()]/n şeklinde olacaktır. B nin düşük C nin yüksek düzeyleri göz önüne alındığında [ac-c]/n şeklinde olacaktır. Diğerler benzer şekilde yapıldığında A nın ana etkisi []. A [ a () + ab b + ac c + abc bc] (4.0) 4n şeklinde olacaktır. Eş. 4.0 daki eşitlik Şekil 4. de verilen küpün sağ yüzünde 4 işlem kombinasyonu arasında bir kontrast gibi yorumlanabilir. A etkisi, Anın yüksek düzeyinin ortalaması ile düşük düzeyinin ortalaması arasındaki fark olarak da yorumlanabilir. A y A y + A a + ab + ac + abc () + b + c + bc 4n 4n (4.) buradan

69 50 A [ a + ab + ac + abc () b c bc] (4.) 4n olacaktır. Benzer şekilde B ve Cnin etkileri de aşağıdaki gibi bulunur. B y + y B B [ b + ab + bc + abc () a c ac] 4n C y C y + C [ c + ac + bc + abc () a b ab] 4n [3, 8]. (4.3) (4.4) Şekil 4.. Temel etkiler İki faktörlü etkileşim etkileri benzer şekilde hesaplanabilir.

70 5 Çizelge 4.4. A nın temel etkisi B TOPLAM A NIN ETKİSİ YÜKSEK(+) [( abc bc) + ( ab b)] n DÜŞÜK(-) [( ac c) + ( a ())] n FARK [ abc bc + ab b ac + c a + ()] n [8,, 3]. AB etkileşim etkisi bu farkın yarısı kadardır. [ abc bc + ab b ac + c a + ()] AB (4.5) 4n benzer şekilde AC ve BC etkileşim etkileri de; AC [() a + b ab c + ac bc + abc] 4n (4.6) BC [() + a b ab c ac + bc + abc] 4n (4.7) şeklinde yazılabilir. Eş. 4.5, 4.6, 4.7 yi geometrik olarak göstermek gerekirse;

71 5 Şekil 4.3. İki faktör interaksiyonu şeklinde verilebilir. C nin iki farklı düzeyi için AB etkileşim etkisinin ortalama farkı ABC etkileşim etkisi olarak tanımlanır. AB ([ abc bc] [ ac c] [ ab b] + [ a ()]) 4n [ abc bc ac + ac + c ab + b + a ()] 4n (4.8) bu ifade geometrik olarak; Şekil 4.4. Üç faktör interaksiyonu Şeklinde gösterilebilir. Bu eşitliklerdeki köşeli parantezler içindeki ifadeler kontrastları vermektedir. Bu kontrastlar kullanılarak aşağıdaki tablo oluşturulabilir. [8, ].