Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar

Transkript

1 Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite kampüsünde ülke genelinden bir çok ö rencinin katlm ile gerçekle³mi³tir. Sorular prof. dr. Allabaren Ashlayarev 1 ve prof. dr. Nazar Agakhanov tarafndan hazrlanm³tr. SORULAR - ÇÖZÜMLER Soru ! saysnn 51 ile bölümünden kalan kaçtr? Çözüm: 10! = 9 K, K Z + ve K = m + 1'dir. 10! = 9 (m + 1) ise 10! = 10 m + 9 ise kalan 56 olur. 10! = 10 m + 9 = 51m (mod 51) Soru 0. Z + pozitif tamsaylar kümesini göstermek üzere A = { Z : = n 007n + 1, n Z + } B = { Z : = n + 007n + 1, n Z + } tanmlanyor. Buna göre A \ B (A fark B) kümesi kaç elemanldr? Çözüm: a A, b B olmak üzere a 007a + 1 = b + 007b + 1 ise (a b)(a + b) = 007(a + b) 'dir.a + b Z + oldu undan a b = 007, a = b bulunur. Buna göre A \ B = { , ,..., } olaca ndan s(a \ B) = 007 bulunur. 1 Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü Ö retim Görevlisi Member of National Committee of Russian Olympiads in Mathematics 1

2 Soru 0. {1,,,..., n} kümesinin iki elemanl altkümelerinin kaç tanesinin elemanlar toplam n'den büyük de ildir? Çözüm: Cevap n de erinin tek yada çift say olmasna göre de i³ir. Varsayalm n çift say olsun; O zaman iki elemanl alt kümeler ise (n ) + (n 4) olur.n = k ise (1, ), (, ),..., ( n, n ) (1, ), (, 4),..., ( n, n + ). (1, n 1), (, n ) k(k 1) k + k =. = n 4 n bulunur. n tek say ise; (1, )...., ( n 1 (1, n 1), n + 1 ) n = k + 1 ise bulunur. n + n = k 1 + k = k = ( n 1 ) Soru 0.4 Tam olarak 5 tane pozitif böleni olan 007'den küçük kaç tane say vardr? Çözüm:Varsayalm saymz N olsun ve N = p a 1 1.pa... pan n, a i pozitif tamsaylar ve p i asal saylar olmak üzere tanmlansn. Buna göre (a 1 + 1)(a + 1)... (a n + 1) = 5 = (4 + 1)(0 + 1) olacaktr. k Z +, (a k + 1) = 5 ise a k = 4 ve p 4 k < 007 olmas gerekir. Buna göre p k =, ve 5 de erlerini alr. Demek ki N = 4, 4, 5 4 olabilir. Yani N'nin alabilece i farkl de er vardr.

3 Soru 0.5 { +y y = 4, +y y = ise 1 + 9y kaçtr? Çözüm: Birinci denklemi ile ikinci denklemi ile geni³letip taraf tarafa çkarrsak y = 1 + y denklem sisteminden y = 6 + y + y = bulunur. Bulunan son e³itlik Birinci denklemde yerine konulursa y = 1 ise bulunur y = 10 Soru saysnn rakamlar yer de i³tirerek olu³turulan 6 basamakl saylardan kaç tanesinde 1 ve 'ün basamak de eri bütün çift saylarn basamak de erinden büyüktür? Çözüm: 1 ve 'ün basamak de erlerinin çift saylarn basamak de erlerinden büyük oldu u durumlar 'e ayrp inceleyece iz. 1 ve varsayalm ilk iki basamakta olsun; }{{} }{{} farkl durum ise!.4! = 48 farkl say! 4! vardr. lk basamakta 5 ve ikinci, üçüncü basamaklarda 1 ve olsun; 5 }{{} 1 }{{} 46!!!.! = 1 farkl say vardr. Birinci ve üçüncü basamaklarda 1 ve, ikinci basamakta 5 olsun; }{{} 15 }{{} 46!! varsa!.! = 1 farkl say olur. Demekki sorudaki ³art sa layan saylarn says = 7 olur. farkl durum ise, farkl durum Soru 0.7 1,,, 4, 5 ve 6 rakamlar kullanlarak olu³turulan rakamlar farkl 6 basamakl saylardan kaç tanesi tam karedir? Çözüm: Varsayalm saymz A 1 A A A 4 A 5 A 6 biçiminde 6 basamakl bir say olsun. Bu saynn basamaklar toplamnn 1 oldu u açktr. E er saymz mod 9 altnda incelersek kalan olacaktr. Ancak hiç bir tamsaynn karesi mod 9 altnda kalan veremeyece inden yazlan saylardan hiçbirinin tamkare olma olasl yoktur.

4 Soru 0.8 { + y + z = 7 y z = 4 ise y farknn en büyük de eri kaçtr? Çözüm: Denklem sistemini düzenlersek = 11 ve = 5, 5 bulunur. y farknn maimum olabilmesi için y = 0 alnrsa y = 0, 5(ma) bulunur. Soru 0.9 Bir kurba a 10 basamakl bir merdivenin önünde duruyor. Her defasnda e³it olaslkla rasgele 1 veya basamak zplyor (örne in; 1. basamaktan. veya. basama a zplyor). 5. ve 6. basamaklara mayn dö³enmi³tir (bast takdirde kurtulma ³ans yoktur). Buna göre en üst basama a ula³maya çal³an bir kurba ann kurtulma ³ans yüzde kaçtr? Çözüm: Basamaklar numaralandrp soruyu çözmeye ba³layalm. 0 noktas ba³lad nokta olmak üzere; (0 1 ),(0 ), (0 4 5), (0 4 6), (0 1 4), (0 1 5) rotalar kurba nn olas hareketleri olacaktr. Açkça görülmektedir ki kurba a her durumda ölmektedir. Soru 0.10 z z + 1 = 0 ise z z 007 i³leminin sonucu kaçtr? Çözüm: z z + 1 = 0 ise z + 1 z = ve z (z + 1 z z ) = oldu undan z + 1 = 0 z ve z 6 = 1 olacaktr. Buradan da z = ( 6 1) z 007 ( 6 1) 007 = 0 bulunur. Soru elemanl bir kümede kaç tane içine fonksiyon tanmlanabilir? Çözüm: çine fonkiyon olabilmesi için de er kümesinde bo³ta eleman kalmamas gerekir. Buna göre tüm fünksiyonlarn saysn bulup bundan birebir fonksiyon saysn çkarrsak isteneni elde etmi³ oluruz. 5 5 ; tüm foksiyonlarn saysdr, 5! ise birebir fonksiyonlarn says oldu una göre 5 5 5! = 005 olur. Not 0.1 De er kümesinde en az bir tane, tanm kümesinin hiçbir eleman ile e³lenmemi³ elemanlar bulunan fonksiyona çine Fonksiyon denir. Soru 0.1 Bir çubuk, büyük parçann uzunlu unun küçük parçann uzunlu una oran, çubu un uzunlu unun büyük parçann uzunlu una orannn iki katna e³it olacak ³ekilde iki parçaya bölünüyor. Küçük parçann uzunlu unun çubu un uzunlu una oran nedir? Çözüm: Uzunlu u birim olan bir çubu u e er çubu u ksa taraf k ve uzun taraf k diye ikiye ayrrsak k k = k ve buradan da = k + k olacaktr. Buna göre k oran k = k k+k = bulunur. Soru = denkleminin kaç tane reel kökü vardr? Çözüm: Verilen e³itli i düzenlersek; + = = 0 olur. 0 oldu una göre denklemi = 0 ve + 1 ( + 1 ) + 1 = 0 olarak yazlabilir. E er denklemde + 1 = A de i³ken de i³imini yaparsak denklem A A 1 = 0 ve A = 1± 5 bulunur. buradan da A de erini yerine koyarsak (diskriminant)'n 0'dan küçük oldu unu görmek zor de ildir. Demek ki soruda verilen sistemi sa layan bir reel kök yoktur. 4

5 Soru , 0.5, 0.40, 0.45, 0.50 de erlerinden hangisi yada hangileri bir dik üçgende hipotenusun çevreye oran olabilir? Çözüm: Varsayalm elimizde, kenarlar AB = b, BC = a ve hipotenus uzunlu u AC = a + b bir ABC üçgeni olsun. Soruda istenen oran olacaktr. Buna göre a +b a +b +a+b a + b a + b + a + b < a + b a + b + a + b = 0, 5 a + b a a + b + a + b > + b a + b + a + b a (AO GO + b a a + b + b ) 1 ise 1+ = 1 = 1, 41 1 = 0, 41 olacaktr. Ve istenilen oran 0, 41 ile 0, 50 arasndadr. Bu aral a sadece 0, 45 de eri dü³er. Soru 0.16 (1,,, 4, 5, 6) altlsndan ba³layarak her defasnda ard³k iki bile³eni 1 artrarak sonlu sayda i³lem sonra a³a da verilen altllardan hangisine yada hangilerine ula³labilir? (99, 100, 10, 10, 110, 11) (99, 101, 10, 104, 106, 108) (99, 100, 101, 10, 10, 111) (99, 100, 10, 106, 107, 108) Çözüm: lk olarak (99, 100, 10, 10, 110, 11) altlsn ele alalm. E³it art³ gösteren ve ard³k olan elemanlar ikili gruplandracak olursak (110, 11) ikilisi çkta kalacaktr. O halde ard³k iki elemana birer ekleyerek bu altl elde edilemez. (99, 100, 101, 10, 10, 111) altlsn ele alrsak bu seferde benzer biçimde (10, 111) ikilisi açkta kalacaktr. (99, 101, 10, 104, 106, 108) altlsndada benzer olarak (99, 104, 106, 108) açkta kalr. Sonuncu altldaysa (99, 100, 10, 106, 107, 108) grubunda, (10, 108) açkta kalr. Demek ki verilen gruplarn hiçbirisi elde edilemez. Çözüm II: lk verilen altlnn elemanlar toplam 1 olacaktr. Her hamlede ard³k iki bile³eni artracak dahi olsak elde edece imiz toplamlar; 1,, 5, 7, 9,... biçiminde olacaktr. Yani toplamlar daima tek say olacaktr. Ancak istenilen dört altlnn da elemanlar toplam çift say de erleridir. Demek ki hiçbiri elde edilemez. Soru y = y + + y ³artn sa layan kaç tane (, y) tamsay ikilisi vardr? Çözüm: + y = y + + y ise + y y y = 0 ve buradan da ( y) + ( 1) + (y 1) = olur. Her bir tamkare toplam pozitif olaca ndan istenen (, y) ikilileri (1, ), (, ), (, 1) olacaktr. 5

6 Soru 0.18 Her reel says için ( +1).P () = ( )P () e³itli ini sa layan kaç tane P () polinomu vardr? Çözüm: Varsayalm P () = a n + b. n 1 + B() ve B() (n ). dereceden bir polinom olsun Buna göre ( + 1)(a. n + b. n+1 ) = ( )(a.( + 1) n + b.( + 1) n 1 ) ise a. n+ + b. n+1 = a. n+ + n+1.( a + b + a(n + 1)) ve b = a + b + a.(n + 1) olacaktr. Buradan da n = 0 bulunur. Demek ki P () sabit polinom, P () = 0 olmaldr. Sorunun yant bir polinomdur. Soru 0.19 n 1 1 says 9 ile bölünebilecek biçimde, 9'dan küçük kaç tane n do al says vardr? Çözüm: a 8 1(mod9) oldu u Küçük Fermat Teoremi'nden açktr. n = k 4 alrsak k (mod9) ve (k ) 8 1 0(mod9) bulunur. Buradan; 1 4 1(mod9) 8 4 5(mod9) 4 16(mod9) 9 4 7(mod9) 4 (mod9) (mod9) 4 4 4(mod9) (mod9) (mod9) 1 4 1(mod9) 6 4 0(mod9) 1 4 4(mod9) 7 4 (mod9) (mod9) ise; 1, 16,, 4, 0, 5, 7 de erleri istenen de erlerdir. Çözüm: n 1 1 0(mod9) ise denkli i her iki tarafn n 7 ile çarparsak n 8 n 7 0(mod9) ve n 8 n 7 (mod9) olacaktr. n < 9 oldu undan Küçük Fermat Teoremi'ne göre n 7 1(mod9) olacaktr. n = 1, 7, 16, 0,, 4, 5 oldu u görülecektir. Soru , 5, 644, 689, 75 saylarndan hangisi bir n do al saysnn karesinin son üç basama olabilir? Çözüm: Bir do al saynn karesi (mod8) altnda yanlzca 0, 1, 4 kalanlarn verecektir. Halbuki 69, 5, 75 saylar (mod8) altnda 5 kalan verece inden bu de erler olamazlar. Ama 644, 689 de erleri olabilir. n saysnn son üç basama nn n =... 1 olmaldr. n = için n = olur, n =... 1 için n = olur ancak 644 olamaz, n = ise 689 = ise n = k yazabiliriz. Buna göre (n 17)(n + 17) = 100(10k + 4) ve n = 117 dolays ilede n = 100k olur. Buna göre istenen cevap 689 olur. 6

7 Soru , 44, 458, 79 de erlerinden hangisi yada hangileri için n +n+1 ifadesi bir asal saydr. Çözüm: Çözümü basamak basamak inceleyelim; n = 1 için n + n + 1 = olur. o halde n = k + 1 formuna bakarsak n + n + 1 = (k41) + (k + 1) + 1 = 9k + 9k + olur. Demek ki 9k + 9k + olur. 41 says k + 1 formundadr. Demek ki n = 41 için n + n + 1 asal olamaz. n = için n + n + 1 = 7 olur. O halde n = 7k + formuna bakarsak, n + n + 1 = (7k + ) + (7k + ) + 1 = 49k + 5k + 7 olur. Buradan da 7 49k + 5k + 7 olur. 44 says 7k + formundadr. O halde n = 44 için n + n + 1 asal olamaz. n = için n + n + 1 = 1 olur. O halde n = 1k + formuna bakarsak, n + n + 1 = (1k + ) + (1k + ) + 1 = 169k + 91k + 1 olur. Demek ki 1 169k + 91k + 1 olur. 458 says 1k + formundadr. O halde n = 458 için n + n + 1 asal olamaz. n = 79 için ise n = (70 1) ³eklinde yazarsak; olur. n + n + 1 = (70 1) + (70 1) + 1 = = Demek ki hiçbiri verilen formu asal yapmaz. Soru 0. n Z + olmak üzere +y+z = n ve, y, z {0, 1,, } olarak veriliyor. f fonksiyonu ise n tolamn veren (, y, z) üçlülerinin saysn vermektedir. Öyle ki; f(1) =,f() = 6 ise f(n)'in alabilece i en büyük de er kaçtr? Çözüm: +y+z = 5 toplamn veren üçlüler (0,, ), (1, 1, ), (1,, ) de erlerinin kombinasyonlar olaca ndan toplam 1 tanedir. +y+z = 6 toplamn veren üçlüler (1,, ), (,, ), (0,, ) de erlerinin kobinasyonu olaca ndan toplam 10 tane olur. + y + z = 4 toplamn veren üçlüler (1, 0, ), (0,, ), (1, 1, ) de erlerinin kombinasyonu olaca ndan toplam 1 tanedir. Benzer biçimde + y + z = içinde 10 farkl çözüm bulunabilir. Demek ki f(n) ma = 1'dir. Soru y y + y = 1 e³itli ini sa layan kaç (, y) reel say ikilisi vardr? Çözüm: Dikkat edilirse f() = + + ve g() = y y + y fonksiyonlarndan f() monoton artan ve g() monoton azalandr. O halde bu iki fonksiyon sadece tek bir noktada kesi³ir. Bu nokta da (, y) = (, ) noktasdr. Demekki e³itli in tek reel çözümü vardr. 7

8 Soru = 0 denklemini sa layan kaç reel kök vardr. Çözüm: f () = = 10( ) ise bu denklemi düzenlersek f () = 10 ( + 1) ( + 1) > 0 elde edilir. Bu bilgi ³ nda f() fonksiyonu artandr ve eksenini tek bir noktada kesmektedir. O halde denklemin tek çözümü vardr. Soru y + z + t 8( + y + z + t) 60 e³itsizli ini sa layan kaç tane (, y, z, t) tamsay dörtlüsü vardr? Çözüm: Denklemi düzenlersek; ise e³itsizli i sa layan de erler; + y + z + t 8 8y 8z 8t 60 ( 4) + (y 4) + (z 4) 4 + (t 4) 4 (, y, z, t) Çözüm Says (, y, z, t) Çözüm Says (5, 5, 5, 5) 1 (4,,, ) 4 (4, 4, 4, 4) 1 (, 4, 4, 4) 4 (,,, ) 1 (6, 4, 4, 4) 4 (,, 4, 4) 6 (,, 4, 5) 1 (, 4, 4, 4) 4 (4, 4,, 5) 1 (, 5, 5, 5) 4 (5, 5,, 4) 1 (4, 5, 5, 5) 4 (,, 5, 5) 6 (5, 4, 4, 4) 4 (6, 4, 5, 5) 6 (5,,, ) 4 TOPLAM: 89 Bu e³itsizli in toplam 89 çözüm vardr. kesri,, 4, 5 de erlerinden hangi- Soru 0.6, y, z pozitif reel saylar ve yz > ise y+z+yz yz sine e³it olabilir? Çözüm: f() = 7(yz) 15yz + 50 fonksiyonunu ele alalm; 7 > 0 ve = < 0 oldu unu görebiliriz. O halde, f() = 7(yz) 15yz + 50 > 0 olur. 7(yz) > 15(yz ) 7(yz) > 15(yz ) (yz) > 5 yz e³itsizliklerini elde ederiz. Aritmetik - Geometrik Ortalama e³itsizli inden y + yz + z (yz) ise y+yz+z yz y + yz + z (yz) > 5 yz > 5 demek ki verilen saylardan hiçbirine e³itlik sa lanamaz. 8

9 Soru < α < 90 ve tan α = /4 olmak üzere bir dar açsnn ölçüsü α olan bir dik üçgenin, hipotenüse ait yüksekli in hipotenüse oran nedir? Çözüm: Varsayalm elimizde bir ABC üçgeni bulunsun ve bu üçgende tan α = 4 ise tan(α + α) = tan α 1 tan α ise tan α = u de i³ken de i³tirmesini yaparsak elde edece imiz ikinci derece denklemin kökleri u 1 = 1 ve u = olaca ndan tan α = 1 ve tan α = de erleri elde edilir. Bu noktadan sonra hipotenüs üstünden alaca mz bir H noktas (hipotenüse ait yüksekli in aya ) alnrsa ve alanlarn e³itli i kullanlrsa istenilen orann /10 oldu u kolaylkla bulunabilir. Soru 0.8 ABCD d³bükey dörtgendir. m(abd) = m(dbc) = 0, m(bca) = 4 ve m(acd) = 69 ise, CAD açsnn ölçüsü nedir? Çözüm: Soruda verilen ³ekli çizdikten sonra, BC kenarn d³a do ru uzatp bir K noktas alalm. m(dck) = 69 olacaktr. Buradan, m(bac) = 98 bulunur. DB açortay, DC d³ açortay olmaldr. Benzer biçimde BA kenarn d³a do ru uzatp bir M noktas belirlersek, m(mad) = m(dac) olacaktr. E er bu açlardan birine α dersek, α = 8 ve α = 41 olacaktr. Bu da zaten istenilen aç de eridir. Soru 0.9 Bir ABC üçgeninde AB = 5, AC = 6 ve BC = 7 birim olarak veriliyor. [AC] do ru parçasnn üzerinde, P B uzunlu u birim cinsinden tamsay olacak ³ekilde kaç farkl P noktas vardr? Çözüm: A(ABC) = [u (u a) (u b) (u c)] 1/ ve yarçevre u = 9 ise, A(ABC) = 6 6 olur. E er AC kenar üzerine B noktasndan bir dik indirirsek, 6 6 = 6 h h = 6 bulunur. Buradan, 6 P B 7 ise uzunluk 5, 6, 7 de erlerini alabilir. Ancak, e er P noktasn A noktasna ta³rsak nokta says artacak ve 4 olacaktr. O halde, istenilen cevap 4 olmaldr. Soru 0.0 ABC üçgeninde, AC = birim, BC = 4 birim ve m(acb) = 10 'dir. Bu üçgenin d³nda, ACB açsnn iç bölgesinde, bir D noktas ADB üçgeni e³kenar olacak ³ekilde i³aretleniyor. CD do rusu AB kenarn E noktasnda kesiyorsa, EB uzunlu u kaç birim olur? 9

10 Çözüm: ABCD dörtgeninin etrafna çevrel çemberi çizildi inde ³eklin bir kiri³ler dörtgeni oldu unu görmek zor de ilidir. CE açortay oldu undan AE = 7 ve EB = 4 7 olarak bulunur. Çözüm II: AB = BD = DA olarak veriliyor. Buna göre; AB = cos 10 olaca ndan AB = 7 olarak bulunur. m(abc) = α olmak üzere, AC = = 4 + ( 7) 4 7 cos α ise cos α = bulunur. Sinüs teoremini kullanrsak, sin α = 7 sin 10 ise sin α = 1 14 bulunur. ve ise bulunur. Buradan, DC = cos(α + 60 ) cos(α + 60 ) = cos α 1 sin α cos(α + 60 ) = 7 14 DC = ise DC = 6 birim bulunur. m(dcb) = β olmak üzere, 7 14 ( 7) = cos β ise β = 60 olarak bulunur. EB = k ise, açortay teoremini kullanarak, 7 k = 4 k k = 4 7 olarak bulunur. Soru 0.1 A 1 A A A 4 A 5 bir düzgün n gendir. ise n de eri kaçtr? A 1 A + A 1 A = A 1 A 5 Çözüm: (graph01 0 ) A 4 K = olacak ³ekilde bir do ru parças çizelim. A ve K noktalarn birle³tirelim, m(a 1 A K) = m(a 1 KA ) = β 10

11 buluruz. O halde, A 1 A = A 1 K = y olur. Elimizde, KA 5 = kalr. Yani, A 4 A 5 K üçgeni bir e³kenar üçgendir.buna göre, α = 60 ise α = 0 ve β = 140 olur. Buradan, 180 β = = 40 ise bulunur. Demek ki n de eri 9 olacaktr = 9 Soru 0. Bir ABC üçgeninde AD, BC kenar üzerinden alnan A kö³esine ait bir uzunluktur. E noktas AC üzerinde bir noktadr. Öyle ki, AB EC = BD DC e³itli i vardr. E er AB = ve AE = 5 1 ise AD uzunlu unu bulunuz. Çözüm: ekli çizdikten sonra varsayalm, EC = k ve AD =, BD = a ve DC = b olsun. Soruda, ( 5 + 1) k = a b.e³itli i zaten verilmi³. Açortay teoreminden = ( 5 + 1)( k) a b = ( 5 + 1)( 5 1) + ( 5 + 1) k a b ise = olarak bulunur. = (5 1) + ab ab = 4 Matemati i kullanmayan bilimler, ele aldklar konularda ancak d³ yapy inceleyebilirler; çünkü matematikle dile getirdikleri, ancak birtakm ba ntlardr; bu ba ntlar ise özle ilgili unsurlar arasnda de il, d³ görünü³le ilgili noktalar arasnda olabilece inden, bir varl n özünü, onun aslnda ne oldu unu bize vermekten acizdirler. O halde matematik, tabiat bilimleri, tarih gibi ki³ili in içlerine nüfuz edip, onu derin bir sezgi ile kavrayabilen bir disiplinin önünde çok a³a niteliktedirler. Mustafa Kemal ATATÜRK 11

12 A 1 A y + y A A 4 A 5 A 1 α α A β y + y A α α β α y β α α A 4 A 5 A 1 α α A β y y α β A β α β β. α α K 4α β 4α α A 4 A 5 graph.01 graph.0 graph.0