MAK 210 SAYISAL ANALİZ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAK 210 SAYISAL ANALİZ"

Transkript

1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK Sayısal Analiz 1

2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik gibi mühendisliğin çeşitli alanlarında çok sık karşılaşılan denklemlerden biri de lineer olmayan denklem veya denklem sistemleridir. İki veya daha yüksek dereceden polinomlar veya trigonometrik, logaritmik, üstel gibi lineer olmayan terimler içeren denklemler lineer olmayan veya nonlineer denklemlerdir. x 3 + 2x 2 5 sinx = 0 veya x tanx = e x denklemleri tek bilinmeyenli lineer olmayan denklemlerdir. MAK Sayısal Analiz 2

3 TEK DEĞİŞKENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Tek değişkenli f(x)=0 denklemini çözmek için değişik yöntemler kullanılmaktadır. Bunlar iteratif yöntemler olup kökler için tahmini değerlerin alınmasını gerektirir. Bu yöntemlerin bir kısmı non-lineer denklem yerine lineer bir denklem kabul edip çözüme ulaşma esasına dayanır. Yaygın olarak kullanılan yöntemler şunlardır : Yarıya Bölme Lineer interpolasyon (Regula-Falsi) Basit iterasyon Newton-Raphson MAK Sayısal Analiz 3

4 Yarıya Bölme Yöntemi y = f(x) y R = f(x R ) y M = f(x M ) x L y L = f(x L ) x M x R Yarıya Bölme Yönteminin Grafik Gösterimi MAK Sayısal Analiz 4

5 Yarıya bölme yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Başlangıç için x L ve x R değerleri seçilir ve fonksiyonda yerine yazılır. 2) y L. y R < 0 ise bu aralıkta kök var demektir. Bu durumda aralık ikiye bölünür. x M = x L + x R 2 3) x M, fonksiyonda yazılarak y M bulunur. Eğer, a) y M TD ise aranan kök x M dir. İşlem sonlandırılır. b) y L. y M < 0 ise kök x L ve x M arasındadır. Bu durumda x R x M ve y R y M alınarak 2. adımdan itibaren işlemler tekrar edilir. MAK Sayısal Analiz 5

6 c) y L. y M > 0 ise kök x R ve x M arasındadır. Bu durumda x L x M ve y L y M alınarak 2. adımdan itibaren işlemler tekrar edilir. Aralığı yarıya bölme işlemini sonlandırmak için iki kriter kullanılabilir. y M TD veya x L x R TD. 3-a adımında bu kriterlerden biri veya her ikisi de kullanılabilir. Bu şartlardan birincisi ve/veya ikincisi sağlanıyorsa yarıya bölme işlemine son verilir. Aranan kök x M dir. MAK Sayısal Analiz 6

7 Lineer İnterpolasyon (Regula-Falsi)Yöntemi Bazı problemlerin yarıya bölme yöntemiyle çözümü çok uzun sürer. Çözümü hızlandırmak için lineer interpolasyon (Regula-Falsi) yöntemi kullanılabilir. Bu yöntemin yarıya bölme yönteminden tek farkı x M in hesaplanmasıdır. y = f(x) y R = f(x R ) x L x M y M = f(x M ) y L = f(x L ) x R Lineer İnterpolasyon Yönteminin Grafik Gösterimi MAK Sayısal Analiz 7

8 Çizilen doğrunun oluşturduğu üçgenin benzerliğinden faydalanarak x M şu şekilde yazılabilir : x M = x Ly R x R y L y R y L Örnek 4.1: f x = x 3 3.7x x 4.69 = 0 fonksiyonunun [1.5,2] aralığında kökün varlığını araştırınız, varsa kökü hesaplayınız (TD=0.05) Çözüm: Yarıya bölme yöntemini kullanarak çözersek: x L = 1.5 ve x R = 2 alarak y L = f 1.5 = y L. y M < 0 old. için ara kök var y R = f 2 = 1.01 MAK Sayısal Analiz 8

9 x M = x L + x R 2 = 1.75 y M = f 1.75 = > TD y L. y M < 0 x L = x M = 1.75 x M = = y M = f = y M < TD Tolerans değer sağlandığından aranan yaklaşık kök değeri x M = dir. Daha hassas bir sonuç için tolerans değer daha küçük tutularak yarıya bölme işlemine devam edilebilir. MAK Sayısal Analiz 9

10 Basit İterasyon Yöntemi Basit iterasyon yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Verilen f x = 0 fonksiyonu x = g(x) formunda yazılır. 2) İterasyon başlangıcı için tahmini bir x 0 başlangıç değeri alınır ve g(x) de yerine yazılarak x 1 değeri bulunur. x 1, g(x) de tekrar yazılarak x 2 bulunur. Bu işlem n defa tekrarlandığında n. iterasyon için genel denklem; x n+1 = g(x n ) olur. 3) İterasyona x n+1 x n < TD oluncaya kadar devam edilir. Bu şart sağlanıyorsa aranan kök x n+1 dir. MAK Sayısal Analiz 10

11 Örnek 4.2: Aşağıdaki denklemin en küçük pozitif kökünü bulunuz. f x = x 3 x 3 = 0 Çözüm: Verilen denklem üç değişik tarzda x = g(x) haline getirilebilir : 1) x = x 3 3 = g(x) 3 2) x = x + 3 = g x 3) x = 3 x 2 1 = g(x) Başlangıç değerini sıfır (x 0 = 1.5) alarak her üç denklemle basit iterasyon uygulandığında elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. MAK Sayısal Analiz 11

12 Başlangıç değeri aynı olmasına rağmen her zaman yakınsama olmadığı ve üç halden sadece birisinin sonuç verdiği görülmektedir. Yani verilen fonksiyon x=g(x) formunda yazılırken gelişigüzel değil, uygun bir tarzda yazılmalıdır. Aksi halde yakınsama sağlanamaz ve çözüme ulaşılamaz. Uygun x=g(x) formu yakınsama kriterini sağlayan formdur. Dolayısıyla yukarda yazılan üç değişik ifadeden sadece yakınsama kriterini sağlayan ikinci form sonuç vermektedir. MAK Sayısal Analiz 12

13 İter(n) x n+1 = x 3 n 3 3 x n+1 = x n + 3 x n+1 = 3 x n MAK Sayısal Analiz 13

14 Yakınsama Şartı Basit iterasyonun genel ifadesi olan x n+1 = g(x n ) denkleminde gerçek kök (x r ) yazılırsa x n+1 = g(x r ) olacaktır. Bu iki ifade taraf tarafa çıkartılırsa x n+1 x r = g(x n ) g(x r ) elde edilir. Bu ifadenin sağ tarafı (x n x r ) terimi ile çarpıp bölünürse ve ortalama değer teoremi göz önüne alınırsa x n x r x n+1 x r = g x n g x r = g x n g x r (x x n x r x n x n x r ) r = g (x s )(x n x r ) MAK Sayısal Analiz 14

15 yazılabilir. Burada x s değeri, x n ve x r aralığında bir x değeridir. Mutlak hata e ile gösterilirse x n+1 x r = g x s. (x n x r ) e n+1 e n e n+1 = g x s. e n Sonucuna ulaşılır. Yakınsama olabilmesi için hatanın iterasyon süresince azalması gerekir. Yani n + 1. Adımdaki hatanın daha küçük olması gerekir (e n+1 < e n ). Bu ise ancak çarpanın mutlak değerce 1 den küçük olması ile sağlanır. Bu şart g (x s ) < 1 yakınsama kriteri olarak bilinir. MAK Sayısal Analiz 15

16 Örnek 4.3: Yukarıdaki soruda yakınsama kriterini irdeleyiniz. Çözüm: Verilen denklem üç değişik tarzda x = g(x) halinde yazılmıştı. Her durumda g(x) fonksiyonunun türevini alıp kök civarında inceleyelim. 1) x = x 3 3 g x = 3x 2 g (x s ) > 1 3 2) x = x + 3 g x = 1 3 g (x s ) < 1 3 (x+3) 2 3) x = 3 x 2 1 = g x g x = 6x x g (x s) > 1 Bu türevlerden sadece ikincisi pozitif x değerleri için daima 1 den küçüktür. Dolayısıyla ikinci yazılış tarzı kesin olarak yakınsama şartını sağlamaktadır. Birincisi (x > 0.58) için daima birden büyük, sonuncusu da genelde birden büyük bazı x değerleri için ise birden büyük olmaktadır. Dolayısıyla bunlar basit iterasyonda sonuç vermeleri beklenmemelidir. MAK Sayısal Analiz 16

17 Yakınsama şartının yakınsamayı nasıl etkilediği geometrik bir şekil üzerinde basitçe gösterilebilir. (Basit iterasyonda yakınsama ve ıraksama olayının geometrik açıklaması) y y x 2 x 1 x 0 x Monoton yakınsama x 0 x 1 x 2 x Monoton ıraksama MAK Sayısal Analiz 17

18 y y 2 = g(x) y y 2 = g(x) x 0 x 2 x 1 x x 2 x 0 x 1 x Salınımlı yakınsama Salınımlı ıraksama MAK Sayısal Analiz 18

19 Newton-Raphson Yöntemi Yöntem, seçilen noktadaki teğetin eğiminden yararlanarak köke yakın bir başka noktanın bulunması esasına dayanır. y y = f(x) f(x 0 ) f(x 1 ) x 2 θ x 1 x 0 x Newton-Raphson yönteminin grafik gösterimi MAK Sayısal Analiz 19

20 Newton-Raphson yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Verilen f x = 0 fonksiyonunun türevi alınır. 2) İterasyon başlangıcı için tahmini bir x 0 başlangıç değeri alınır. Genel iterasyon denklemi : x n+1 = x n f(x n ) f (x n ) kullanılarak yeni x değerleri bulunur. 3) İterasyona x n+1 x n < TD 1 ve/veya f(x n+1 ) < TD 2 oluncaya kadar devam edilir. 4) Tolerans değeri sağlanıyorsa aranan kök x n+1 dir. MAK Sayısal Analiz 20

21 Burada dikkat edilmesi gereken nokta, fonksiyonun türevi ele alınan nokta için sıfır ise iterasyon formülünün tanımsız hale geleceğidir. Genelde Newton- Raphson yöntemi daha hızlı sonuç verir. Ancak bu yöntemin de yetersiz kaldığı veya sonuç vermediği bazı durumlar vardır. Örnek 4.5: Aşağıdaki denklemin en küçük pozitif kökünü bulunuz. f x = 3x + Sinx e x Çözüm: Newton-Raphson yöntemi için fonksiyonun türevi f = 3 + Cosx e x genel iterasyon denkleminde yazılırsa MAK Sayısal Analiz 21

22 x n+1 = x n 3x n + Sinx n e x n 3 + Cosx n e x n elde edilir. İterasyona x 0 = 0 ilk değeri ile başlanırsa ve x değerinin radyan olduğu göz önüne alınırsa elde edilecek iterasyon değerler n = x n = olacaktır. Aranan kök değeri x = tür. MAK Sayısal Analiz 22

23 Örnek 4.6: Aşağıdaki verilen denklemin (0,1) aralığındaki kökünü tüm yöntemlerle hesaplayınız (TD = 10 3 ). f x = e x 3x Çözüm: a) Yarıya bölme yöntemiyle elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Buna göre 10 defa yarıya bölme sonunda çözüm x = olarak bulunmuştur. MAK Sayısal Analiz 23

24 İterasyon x L x R x M y L y R y M E E E MAK Sayısal Analiz 24

25 b) Regula-Falsi (lineer interpolasyon) yöntemine göre elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aynı tolerans değerine 6 bölme işlemi sonunda ulaşılmış ve çözüm x = olarak bulunmuştur. İterasyon x L x R x M y L y R y M MAK Sayısal Analiz 25

26 c) Basit iterasyon ile: Denklemden x aşağıdaki gibi çekilir ve sıfır başlangıç değeri ile iterasyon yapılırsa aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi 12. iterasyon sonunda çözüm değeri x = olarak elde edilir. İterasyon x n x MAK Sayısal Analiz 26

27 d) Newton-Raphson yöntemi ile: verilen fonksiyon ve türevi f x = e x 3x f x = e x 3 x n+1 = x n f(x n) f (x n ) iterasyon denkleminde yazılarak sıfır başlangıç değeri ile iterasyon yapılırsa aşağıdaki tablo değerleri elde edilir. Görüldüğü gibi çok kısa bir sürede verilen tolerans değer sağlanmaktadır. Burada bulunan çözüm değeri x = dir. MAK Sayısal Analiz 27

28 İterasyon x n x E-05 MAK Sayısal Analiz 28

29 LİNEER OLMAYAN DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Buraya kadar ele alınan yöntemlerle tek bir nonlineer denklemin çözümü üzerinde durulmuştur. Ancak denklem ve bilinmeyen sayısı birden fazla olabilir. Bu bölümde de n bilinmeyenli n adet nonlineer denklemden oluşan bir nonlineer denklem sisteminin çözümü ele alınacaktır. Böyle bir denklem sistemi aşağıdaki gibi kapalı formda yazılabilir. f 1 x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f 2 x 1, x 2, x 3,, x n = 0.. f n x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f i x i = 0 (i, j = 1,2,3,, n) MAK Sayısal Analiz 29

30 Böyle bir denklem sistemini çözmek, yani her denklemi sağlayan x j değerlerini bulmak için aşağıdaki metotlar izlenebilir : Grafik yöntem ile çözüm Bilinmeyenlerin yok edilerek, denklem sayısının bire indirildiği bilinen yöntemlerle çözüm Tek denklem için kullanılan yöntemlerden biri seçilerek tüm denklemlere uygulanarak elde dilen çözüm Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi ile çözüm MAK Sayısal Analiz 30

31 Basit İterasyon Yönteminin Kullanımı Verilen denklem sisteminde her denklemden bir değişken çekilerek x = g(x) formunda yazılır. x 1 = g 1 x j x 2 = g 1 x j x n = g n x j bilinmeyenler için uygun başlangıç değeri kabul edilir, sırayla yukarıdaki denklemlerde yazılır ve yeni x değerleri bulunur. Bu bakımdan yöntemin işleyişi Gauss-Seidel yöntemine benzer. Bütün bilinmeyenler için tolerans değeri sağlanıncaya kadar iterasyona devam edilir. MAK Sayısal Analiz 31

32 Yakınsama şartı: Bu yöntem basit olmasına rağmen gerçekleşmesi oldukça zor olan yakınsama şartına sahiptir. Bütün g fonksiyonlarının bütün değişkenlere göre türevlerinin kök civarındaki mutlak değerleri toplamı 1 den küçük olmalıdır. Bu şart matematiksel olarak şeklinde ifade edilir. g 1 + g g n x 1 x 1 x 1 < 1 g 1 + g g n x 2 x 2 x 2 < 1. g 1 + g g n x n x n x n < 1 MAK Sayısal Analiz 32

33 Örnek 4.7: Aşağıdaki verilen x 2 + y 2 = 4 y + e x = 1 Eğrilerin kesim noktalarından birini basit iterasyon yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Verilen çember ve üstel fonksiyon eğrileri çizilirse kesim noktalarının konumu yaklaşık belli olacaktır. Bundan yararlanarak ilk değerlerin seçimi yapılabilir. Basit iterasyonu uygulamak üzere verilen fonksiyonlardan bir değişkeni çekerek tekrar yazalım: x = ln (1 y) y = 4 x 2 Sağ yarı düzlemdeki kesim noktasını bulmak için y 0 = 1.7 değeri ile iterasyona başlanırsa 1. denklemden x 0 ve 2. denklemden y 1 değeri MAK Sayısal Analiz 33

34 x 0 = ln 1 y 0 = y 1 = 4 x 02 = Kesim noktaları ile başlangıç değerlerinin tahmini olarak hesaplanır. Açıktır ki sağ yarı düzlemdeki kök değeri bulunacağından ikinci denklemdeki eksi işaretli değer dikkate alınacaktır. Bulunan değerlerle iterasyona devam edilirse aşağıdaki tablo değerleri elde edilir. x = ln(1 y) y = 4 x Dört ondalık hanenin değişmediği son tablo değerleri aranan çözüm değerleridir. MAK Sayısal Analiz 34

35 Genelleştirilmiş Newton-Raphson Yöntemi n bilinmeyenli n adet non-lineer denklem verilmiş olsun : f 1 x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f 2 x 1, x 2, x 3,, x n = 0.. f n x 1, x 2, x 3,, x n = 0 f i x i = 0 (i, j = 1,2,3,, n) f 1 x 1 f 1 x 2 f 1 x n f 2 x 1 f 1 x 1 f 2 x n f 3 x 1 f 1 x 1 f 3 x n f n x 1 f n x 2 f n x n x x 1 x 2 x 3 x n = f 1 f 2 f 3 f n x değerleri sistemin çözümünden elde edilir. MAK Sayısal Analiz 35

36 Yönteminin uygulanmasında izlenecek adımlar şunlardır: 1) Verilen fonksiyonların her değişkene göre türevi alınır. 2) x j ler için ilk tahmin değerleri alınır. 3) Bu x j değerleri fonksiyonlarda ve türevlerinde yazılarak b ve A matrisi elemanlarının sayısal değerleri hesaplanır. 4) Lineer denklem sistemi çözülür ve x j ler bulunur. 5) Yeni x j ler hesaplanır: (x j ) yeni = (x j ) eski + x j (j = 1,2,, n) 6) Her j değeri için (x j ) yeni (x j ) eski < TD ise çözüm vektörü (x j ) yeni değerleridir. Değilse MAK Sayısal Analiz 36

37 (x j ) yeni = (x j ) eski (j = 1,2,, n) alarak 3. adımdan itibaren aynı işlemlere devam edilir. Örnek 4.8: Bir önceki örnekte verilen x 2 + y 2 = 4 y + e x = 1 eğrilerin kesim noktalarından birini genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi ile bulunuz (TD=0.05). Çözüm: Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi için fonksiyonlar ve fonksiyonların gerekli türevleri yazılırsa MAK Sayısal Analiz 37

38 f 1 = 4 x 2 y 2 f 2 = 1 y e x f 1x = 2x f 2x = e x f 1y = 2y f 2y = 1 Başlangıç değerleri olarak x 0 = 1 ve y 0 = 1.7 seçilir ve yukarıdaki ifadelerde yerlerine konursa f 1 = 0.11 f 2 = f 1x = 2 f 2x = f 1y = 3.4 f 2y = 1 Sayısal değerler elde edilir. Bu değerlere göre Jacobien matrisi de içeren denklem sistemi çözülürse x y = x = y = MAK Sayısal Analiz 38

39 değerleri elde edilir. Buna göre yeni kök değerleri x 1 = x 0 + x = y 1 = y 0 + y = olarak hesaplanır. x ve y değerleri mutlak değerce verilen tolerans değerden küçük olduğu için iterasyona son verilir. Bulunan son değerler aranan kök değerleridir. Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi, iki bilinmeyenli iki denklem halinde daha basit olarak ifade edilebilir. İki bilinmeyenli lineer olmayan denklemler f 1 x, y = 0 f 2 x, y = 0 ise yöntemin birinci aşamalı olarak MAK Sayısal Analiz 39

40 f 1x f 1y x f 2x f 2y y = f 1 f 2 yazılabilir. Bu sitem çözülürse x = f 1y f 2 f 1 f 2y f 1x f 2y f 1y f 2x y = f 1f 2x f 2 f 1x f 1x f 2y f 1y f 2x elde edilir. Bunların ilk tahmin değerlerine ilave edilmesi ile yeni x ve y değerleri elde edilir. Yani iterasyon denklemleri aşağıdaki formda da yazılabilir x i+1 = x i + x = x i f 1y f 2 f 1 f 2y f 1x f 2y f 1y f 2x y i+1 = y i + y = y i f 1f 2x f 2 f 1x f 1x f 2y f 1y f 2x MAK Sayısal Analiz 40

41 Örnek 4.9: Aşağıdaki denklemin [1,6] arasındaki kökünü 0.01 toleransla f(x) = x 3 4x 15 a) Yarıya bölme b) Basit iterasyon c) Newton-Raphson yöntemleriyle hesaplayınız. Çözüm: a) Yarıya bölme yöntemini kullanarak çözüm: x L = 1 ve x R = 6 alarak y L = f 1 = 18 y R = f 6 = 177 y L. y R < 0 olduğundan arada kök var. MAK Sayısal Analiz 41

42 Yeni Yeni BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) x M = x R + x L 2 = 3.5 y M = f 3.5 = > TD y L. y M < 0 x R = x M = 3.5 x M = = 2.25 y M = f 2.25 = 12.6 y M > TD y L. y M > 0 x L = x M = 2.25 x M = = y M = f = y M > TD y L. y M > 0 x L = x M = MAK Sayısal Analiz 42

43 Yeni BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) x M = = y M = f = > TD Yeni Yeni x M = x M = y L. y M < 0 x R = x M = = y M = f = > TD y L. y M < 0 x R = x M = = y M = f = > TD y L. y M > 0 x L = x M = MAK Sayısal Analiz 43

44 Yeni BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) x M = = y M = f = < TD Tolerans değer sağlandığında aranan yaklaşık kök değeri x M = dir. Daha hassas bir sonuç için tolerans değer daha küçük tutularak yarıya bölme işlemine devam edilebilir. b) Basit iterasyonla çözümde verilen denklemden x çekilerek 3 x = 4x + 15 veya iterasyon denklemi olarak 3 x n+1 = 4x n + 15 yazılabilir. Başlangıç olarak 2 değeri ile başlayıp iterasyonla sonuca yaklaşım MAK Sayısal Analiz 44

45 Aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi mümkündür. Tolerans değerini sağlayan değeri aranan kök değeridir. n 3 x n+1 = 4x n c) Newton-Raphson yöntemi için fonksiyonun türevi alınırsa f x = 3x 2 4 MAK Sayısal Analiz 45

46 iterasyon denklemi x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Başlangıç değeri 2 ile aşağıdaki sonuçları verecektir. n x n Bu sonuçlara göre aranan kök dir. MAK Sayısal Analiz 46

47 Verilen denklemin söz konusu aralıktaki gerçek kökü 3 tür. Buna göre sonuca en hızlı yaklaşan Newton-Raphson yöntemi olmuştur. Örnek 4.10: Bir akışkanın boru içindeki akışında meydana gelen basınç kaybı P = 0.5fρV 2 L D (Q = V πd2 4 ) olup burada ρ: yoğunluk, V: akışkan hızı, Q: akışkan debisi, L: boru boyu, D: boru çapı olup pürüzsüz kabul edilebilecek borudaki akışa ait sürtünme katsayısı f için 1 f = 2log Re f ve Reynolds sayısı Re = VD v bağıntıları verilmektedir. Burada v akışkanın viskozitesidir. v = m 2 /s MAK Sayısal Analiz 47

48 ρ = 1000 kg m 3, Q = m 3 s ve L = 1000 m olduğuna göre basınç kaybının N m 2 yi geçmemesi için boru çapı ve sürtünme katsayısı ne olmalıdır? Sonuçları hatayla bulunuz. Çözüm: Sayısal değerler P = 0.5fρ 16Q2 π 2 D 4 L D ifadesinde yazılırsa f = 21932D 5 (1) denklemi bulunur. İki bilinmeyen içeren bu denklemin çözülebilmesi için ikinci bir denkleme ihtiyaç vardır. Gerekli ikinci denklem sürtünme katsayısı denkleminde Re sayısı ifadesi konursa MAK Sayısal Analiz 48

49 2.51 = 2log 1f Re f = 2log Q D πd 2 v f ve sayısal değerlerin kullanılmasıyla 1f = 2log 1.314x10 3 D f (2) elde edilir. (1) ve (2) nolu denklemler eşzamanlı çözülebileceği gibi tek denkleme indirgenerek de çözülebilir. (1) denklemi (2) de yazılıp düzenlenirse; MAK Sayısal Analiz 49

50 1f = 2log x f f İterasyon x f veya f = x olmak üzere x = 2log x10 4 x basit iterasyon yöntemi ile çözülürse elde edilecek değerler aşağıda sıralanmıştır. Yakınsama sonuçlarına göre; sürtünme katsayısı f = , boru çapı D = m bulunur. MAK Sayısal Analiz 50

51 Örnek 4.11: Şekildeki P yükü 5 m uzunluğunda bir ip ve yaya asılı olarak dengededir. Yayın uzamamış serbest uzunluğu 5 m, yay katsayısı k=10 N/m olduğuna göre bu denge durumunda θ açısını uygun bir yöntemle hesaplayınız. (P=10 N) 5 m 5 m A θ F 1 l B P k=10 N/m F 2 C MAK Sayısal Analiz 51

52 Çözüm: B noktasında yatay kuvvetlerin dengesinden F 1 cosθ = F 2 ve yay kuvveti F 2 = k(l 5) yazılabilir. Düşey kuvvetlerin dengesinden de F 1 sinθ = P elde edilir. Bu denklemler düzenlenirse P = k l 5 tgθ l = 10 5cosθ Yazılabilir. Bu denklemler kolayca tek denkleme indirgenebilir. Sayısal değerleri yerine koyup bu işlem yapılırsa P = cosθ 5 tgθ MAK Sayısal Analiz 52

53 veya tgθ 1 cosθ = 0.2 elde edilir. Newton- Raphson yöntemini kullanalım. Buna göre kökü bulunacak fonksiyon ve türevi f = sinθ f = cosθ 1 cosθ cosθ 1 cosθ cosθ sinθ sinθ cos 2 θ = 1 cos 2 θ cosθ olarak elde edilir. Newton-Raphson yöntemi iterasyon ifadesi MAK Sayısal Analiz 53

54 θ n+1 = θ n f f Başlangıç değeri olarak 1 radyan alındığında elde edilen iterasyon değerleri tabloda verilmiştir. Buna göre sonuç θ = rad = dir. n θ n MAK Sayısal Analiz 54

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek

5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek Boyut analizi, göz önüne alınan bir fiziksel olayı etkileyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir. Akışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde

Detaylı

5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek

5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek Boyut analizi, göz önüne alınan bir fiziksel olayı etkileyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir. kışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ Arş. Gör. Emre DEMİRCİ 1 4.1: Aşağıdaki verilen fonksiyonun belirten aralıklarda

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Erciyes Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ-201 Nümerik Analiz Dersi Final Sınavı

Erciyes Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ-201 Nümerik Analiz Dersi Final Sınavı Erciyes Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ-201 Nümerik Analiz Dersi Final Sınavı (30)1.a) İki reel sayının mantissa ları (gövde kısımları) eşit ve mantissa1 = mantissa2

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir.

bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir. 37 Newton-Raphson Yöntemi İle Çözüme Ulaşma Bu yöntem özellikle fonksiyonun türevinin analitik olarak elde edilebildiği durumlarda kullanışlıdır. Fonksiyonel ilişkinin ifade edilmesinde daha uygun bir

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik İkiye Bölme / Yarılama Yöntemi Genel olarak f x = 0 gerek şartını sağlamak oldukça doğrusal olmayan ve bu sebeple çözümü

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

HİDROLİK. Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

HİDROLİK. Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU HİDROLİK Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Ders Hakkında Genel Bilgiler Görüşme Saatleri:---------- Tavsiye edilen kitaplar: 1-Hidrolik (Prof. Dr. B. Mutlu SÜMER, Prof. Dr. İstemi ÜNSAL. ) 2-Akışkanlar Mekaniği

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 1- GİRİŞ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 Mühendislikte, herhangi bir fiziksel sistemin matematiksel modellenmesi sonucu elde edilen karmaşık veya analitik çözülemeyen denklemlerin

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

NÖ-A NÖ-B. Adı- Soyadı: Fakülte No:

NÖ-A NÖ-B. Adı- Soyadı: Fakülte No: Şube Adı- Soyadı: Fakülte No: NÖ-A NÖ-B Kimya Mühendisliği Bölümü, 2016/2017 Öğretim Yılı, 00323-Akışkanlar Mekaniği Dersi, Dönem Sonu Sınavı Soru ve Çözümleri 05.01.2017 Soru (puan) 1 (20) 2 (20) 3 (20)

Detaylı

1. Aşağıda verilen fiziksel büyüklüklerin dönüşümünde? işareti yerine gelecek sayıyı bulunuz.

1. Aşağıda verilen fiziksel büyüklüklerin dönüşümünde? işareti yerine gelecek sayıyı bulunuz. Şube Adı- Soyadı: Fakülte No: NÖ-A NÖ-B Kimya Mühendisliği Bölümü, 2016/2017 Öğretim Yılı, 00323-Akışkanlar Mekaniği Dersi, 2. Ara Sınavı Soruları 10.12.2016 Soru (puan) 1 (20) 2 (20) 3 (20) 4 (20) 5 (20)

Detaylı

ÇÖZÜM 1) konumu mafsallı olup, buraya göre alınacak moment ile küçük pistona etkileyen kuvvet hesaplanır.

ÇÖZÜM 1) konumu mafsallı olup, buraya göre alınacak moment ile küçük pistona etkileyen kuvvet hesaplanır. SORU 1) Şekildeki (silindir+piston) düzeni vasıtası ile kolunda luk bir kuvvet elde edilmektedir. İki piston arasındaki hacimde yoğunluğu olan bir akışkan varıdr. Verilenlere göre büyük pistonun hareketi

Detaylı

AKM 205 BÖLÜM 8 - UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205 BÖLÜM 8 - UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 205 BÖLÜM 8 - UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ Doç.Dr. Ali Can Takinacı Ar.Gör. Yük. Müh. Murat Özbulut 1. Yoğunluğu 850 kg/m 3 ve kinematik viskozitesi 0.00062 m 2 /s olan yağ, çapı 5 mm ve uzunluğu 40

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

NÖ-A NÖ-B. Şube. Alınan Puan. Adı- Soyadı: Fakülte No: 1. Aşağıda verilen fiziksel büyüklüklerin eşit olduğunu gösteriniz. 1/6

NÖ-A NÖ-B. Şube. Alınan Puan. Adı- Soyadı: Fakülte No: 1. Aşağıda verilen fiziksel büyüklüklerin eşit olduğunu gösteriniz. 1/6 Şube NÖ-A NÖ-B Adı- Soyadı: Fakülte No: Kimya Mühendisliği Bölümü, 2015/2016 Öğretim Yılı, 00323-Akışkanlar Mekaniği Dersi, Bütünleme Sınavı Soru ve Çözümleri 20.01.2016 Soru (puan) 1 (20) 2 (20) 3 (20)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

ÇEV-220 Hidrolik. Çukurova Üniversitesi Çevre Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Demet KALAT

ÇEV-220 Hidrolik. Çukurova Üniversitesi Çevre Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Demet KALAT ÇEV-220 Hidrolik Çukurova Üniversitesi Çevre Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Demet KALAT Borularda Türbülanslı Akış Mühendislik uygulamalarında akışların çoğu türbülanslıdır ve bu yüzden türbülansın

Detaylı

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır. DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Alınan Puan NOT: Yalnızca 5 soru çözünüz, çözmediğiniz soruyu X ile işaretleyiniz. Sınav süresi 90 dakikadır. SORULAR ve ÇÖZÜMLER

Alınan Puan NOT: Yalnızca 5 soru çözünüz, çözmediğiniz soruyu X ile işaretleyiniz. Sınav süresi 90 dakikadır. SORULAR ve ÇÖZÜMLER Gıda Mühendisliği Bölümü, 2016/2017 Öğretim Yılı, Bahar yarıyılı 0216-Akışkanlar Mekaniği Dersi, Dönem Sonu Sınavı Soru Çözümleri 30.05.2017 Adı- Soyadı: Soru (puan) 1 (20) 2 (20) 3 (20) 4 (20) 5 (20)

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

VENTURİMETRE DENEYİ 1. GİRİŞ

VENTURİMETRE DENEYİ 1. GİRİŞ VENTURİMETRE DENEYİ 1. GİRİŞ Genellikle herhangi bir akış esnasında akışkanın tabakaları farklı hızlarda hareket ederler ve akışkanın viskozitesi, uygulanan kuvvete karşı direnç gösteren tabakalar arasındaki

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

ÇEV207 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ KİNEMATİK-1. Y. Doç. Dr. Güray Doğan

ÇEV207 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ KİNEMATİK-1. Y. Doç. Dr. Güray Doğan ÇEV207 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ KİNEMATİK-1 Y. Doç. Dr. Güray Doğan 1 Kinematik Kinematik: akışkanların hareketlerini tanımlar Kinematik harekete sebep olan kuvvetler ile ilgilenmez. Akışkanlar mekaniğinde

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

SORU 1) ÇÖZÜM 1) UYGULAMALI AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1

SORU 1) ÇÖZÜM 1) UYGULAMALI AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1 SORU 1) Şekildeki sistemde içteki mil dönmektedir. İki silindir arasında yağ filmi vardır. Sistemde sızdırmazlık sağlanarak yağ kaçağı önlenmiştir. Verilen değerlere göre sürtünme yolu ile harcanan sürtünme

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ Makine Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Termodinamik ve Isı Tekniği Anabilim Dalı Akışkanlar Mekaniği Genel Laboratuvar Föyü Güz Dönemi Öğrencinin Adı Soyadı : No : Grup

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 13 Parçacık Kinetiği: Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 13 Parçacık

Detaylı

Borularda Akış. Hesaplamalarda ortalama hız kullanılır.

Borularda Akış. Hesaplamalarda ortalama hız kullanılır. En yaygın karşılaşılan akış sistemi Su, petrol, doğal gaz, yağ, kan. Boru akışkan ile tam dolu (iç akış) Dairesel boru ve dikdörtgen kanallar Borularda Akış Dairesel borular içerisi ve dışarısı arasındaki

Detaylı

Akışkanların Dinamiği

Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü kütlenin korunumu, enerjinin korunumu ve momentumun korunumu prensibe dayanır.

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET

GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Akışkanların Dinamiği

Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü kütlenin korunumu, enerjinin korunumu ve momentumun korunumu prensibe dayanır.

Detaylı

Newton un II. yasası. Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un II. yasası. Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Newton un II. yasası Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Bir cisme F A, F B ve F C gibi çok sayıda kuvvet etkiyorsa, net kuvvet bunların

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. . HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 2- İTERATİF YÖNTEMLER Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Akışkanlar dinamiğinde, sürtünmesiz akışkanlar için Bernoulli prensibi akımın hız arttıkça aynı anda

Detaylı

TEMEL MEKANİK 4. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

TEMEL MEKANİK 4. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü TEMEL MEKANİK 4 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü Ders Kitapları: Mühendisler İçin Vektör Mekaniği, Statik, Yazarlar:

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

5. BORU HATLARI VE BORU BOYUTLARI

5. BORU HATLARI VE BORU BOYUTLARI h 1 h f h 2 1 5. BORU HATLARI VE BORU BOYUTLARI (Ref. e_makaleleri) Sıvılar Bernoulli teoremine göre, bir akışkanın bir borudan akabilmesi için, aşağıdaki şekilde şematik olarak gösterildiği gibi, 1 noktasındaki

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı