UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

Transkript

1 (a, b, c) r x = a y = b u a b UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM ÜN TE y y y y y y Uzay Uzayda Dik Koordinat Sistemi Uzayda Vektörler Uzayda İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış) Çarpımı Uzayda Doğru Düzlem Denklemleri

2 ...evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. unlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır. GLİLE

3 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzay epsi birden aynı düzlemde olmayan tüm noktaların kümesine uzay denir. Uzayda farklı iki nokta bir düzlemde ise; bu iki noktadan geçen doğrunun tüm noktalarıda bu düzlem üzerindedir. () () l ise () dir. Uzay n paralel yüz modeli Uzayda farklı iki noktadan yalnız bir doğru geçer. ¾ Uzayda bir l doğrusu bir düzleminin alt kümesi ise l doğrusu düzleminin l doğrusu dışındaki noktalarını iki bölgeye (İki yarı düzleme) ayırır. ar düzlem ar düzlem Uzayda herhangi bir doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır. Uzayda doğrusal (doğrudaş) olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir. ar düzlemlerin dayanak do rusu Uzayda bir düzlemi, kendisi dışındaki uzayın noktalarını iki farklı bölgeye ayırır. ¾ u bölgelere düzleminin belirttiği açık yarı uzaylar denir. u açık yarı uzaylardan biri ile düzleminin birleşimine düzleminin belirttiği kapalı yarı uzay denir. ¾ düzlemine de bu yarı uzayların dayanak düzlemi denir. Üst yar uzay ar uzaylar n dayanak düzlemi lt yar uzay Uzayda bir düzlemin dışında en az bir nokta vardır. Uzayda farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa, bu noktadan geçen bir ortak doğrusu vardır. () (Q) = Q LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

4 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Düzlem elirtme ksiyomları Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir. İki Doğrunun irbirine Göre Durumları Paralel olma durumu ; ynı düzlemde olup kesişmeyen doğrulardır. // Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. Kesişme durumu ; İki doğrunun yalnız bir ortak noktası varsa bu doğrulara kesişen doğrular denir. K l l = {K} ir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. Çakışık olma durumu ; En az ikişer noktası ortak olan doğrulara çakışık doğrular denir. Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir. ykırı olma durumu ; Farklı düzlemlerde olup kesişmeyen ve paralel olmayan doğrulara aykırı doğrular denir. "ukarıdaki son üç madde aslında ilk maddenin sonucudur." ekil I D ekil II ukarıdaki Şekil I ve Şekil II deki l ve l aykırı doğrulardır. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

5 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM İki Düzlemin irbirine Göre Durumu Paralel düzlemler : rtak noktası olmayan düzlemlerdir. Üç Düzlemin irbirine Göre Durumları Üç düzlem birbirine paralel olabilir. ( ) // ( ) ( ) ( ) = Ø ( ) // () // () Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir. Kesişen düzlemler : rtak noktaları bir doğru üzerinde olan düzlemlerdir. ( ) ( ) = Üç düzlem bir noktada kesişebilir. ve düzlemleri doğrusu boyunca kesişmiştir. Çakışık düzlemler : Tüm noktaları aynı olan düzlemlerdir. K ( ) ( ) ( ) = {K} Üç düzlem ikişer ikişer birbirine dik olabilir. ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 7

6 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Üç düzlemden ikisi paralel olup üçüncüsü diğer ikisini kesebilir. NT : yn düzlemde bulunan iki do runun do rultular farkl ise kesiflirler. Fakat, iki do ru parças n n do rultular farklı ise kesiflmeyebilirler. Örne in : K = { K } [] [D] = { } D Üç düzlem ikişer ikişer şekildeki gibi kesişebilir. Uzayda ise; Paralel doğrular bir denklik sınıfı oluşturur. Uzayda Doğrultu ir do ru parças n n do rultusu (tafl y c s ), üzerinde bulundu u do runun do rultusu ile ayn d r. ukarıdaki paralel yüz uzay modelinde l, l, l ve l doğruları herhangi biri ile temsil edilebilir. ukar daki [] do ru parças n n doğrultusu, do rusunun do rultusu ile ayn d r. Uzayda doğruların paralellik bağıntısının her bir denklik sınıfı bir doğrultudur. NT : ir do ru parças n n bafllang ç ve bitiş noktalar ayn ise buna nokta denir. Noktan n uzunlu u olmad için do rultusu da yoktur. Uzayda aykırı doğrular, farklı doğrultulardadır. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 8

7 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM d) Paralel doğru parçaları; [E] ve [D] paralel doğru parçalarıdır. [] ve [ED] paralel doğru parçalarıdır. E D ukarıdaki kare piramitte, a) ynı düzlemde olan doğru parçalarını b) ykırı doğru parçalarını c) Kesişen doğru parçalarını d) Paralel doğru parçalarını belirleyelim. a) ynı düzlemde olan doğru parçaları; [], [] ve [] aynı düzlemdedir. [], [D] ve [D] aynı düzlemdedir. [E], [D] ve [ED] aynı düzlemdedir. [], [E] ve [E] aynı düzlemdedir. [], [D], [DE] ve [E] aynı düzlemdedir. [] ve [D] aynı düzlemdedir. [E] ve [] aynı düzlemdedir. D F E ukarıdaki üçgen prizmada, b) ykırı doğru parçaları; [E] ve [] aykırıdır. [D] ve [E] aykırıdır. [] ve [E] aykırıdır. [E] ve [D] aykırıdır. a) ynı düzlemde olan doğru parçalarını b) ynı düzlemde olmayan doğru parçalarını c) ykırı doğru parçalarını d) Paralel doğru parçalarını e) Kesişen doğru parçalarını belirleyelim. c) Kesişen doğru parçaları; [E] ve [DE] kesişen doğru parçalarıdır. [] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. [E] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. [E] ve [ED] kesişen doğru parçalarıdır. [] ve [D] kesişen doğru parçalarıdır. a) ynı düzlemde olan doğru parçaları; [FD], [FE] ve [DE] aynı düzlemdedir. [], [] ve [] aynı düzlemdedir. [F], [FE], [E] ve [] aynı düzlemdedir. [FD], [F], [] ve [D] aynı düzlemdedir. [DE], [E], [] ve [D] aynı düzlemdedir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 9

8 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM b) ynı düzlemde olmayan doğru parçaları; Uzay ksiyomları : [DF] ve [E] aynı düzlemde değildir. [FE] ve [D] aynı düzlemde değildir. [] ve [E] aynı düzlemde değildir. [] ve [F] aynı düzlemde değildir. [] ve [D] aynı düzlemde değildir. [DE] ve [F] aynı düzlemde değildir. c) ykırı doğru parçaları; [F] ve [DE] aykırıdır. [E] ve [] aykırıdır. [D] ve [FE] aykırıdır. [] ve [FE] aykırıdır. [] ve [DF] aykırıdır. d) Paralel doğru parçaları; [DF] ve [] paralel doğru parçalarıdır. [FE] ve [] paralel doğru parçalarıdır. [] ve [DE] paralel doğru parçalarıdır. [F] ve [D] paralel doğru parçalarıdır. [F] ve [E] paralel doğru parçalarıdır. e) Kesişen doğru parçaları; [DF] ve [FE] kesişen doğru parçalarıdır. [DF] ve [F] kesişen doğru parçalarıdır. [F] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. [F] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. [D] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. [D] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. [] ve [E] kesişen doğru parçalarıdır. [] ve [] kesişen doğru parçalarıdır. Farkl iki noktadan bir tek do ru geçer. Do rusal olmayan farkl noktadan bir tek düzlem geçer. ir do ru ve bu do ru üzerinde bulunmayan bir nokta düzlem belirtir. Kesiflen farkl iki do ru bir düzlem belirtir. Paralel iki do ru bir düzlem belirtir. Farkl iki düzlem kesiflirse arakesitleri bir do rudur. ir do ru üzerinde bulunmad bir düzlemi keserse arakesiti bir noktad r. ir do runun farkl iki noktas bir düzlem üzerinde ise, bu do runun bütün noktalar da bu düzlem üzerindedir. Paralel iki düzlemden biri içindeki her do ru di er düzleme paraleldir. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem di erini de keser. Kesiflen iki düzlemin ikisine de paralel olan bir do ru bu düzlemlerin arakesit do rusuna da paraleldir. yn do ruya paralel olan iki do ru birbirine paraleldir. ir düzlemin kesiflen iki do rusuna kesiflme noktas nda dik olan do ru bu düzleme diktir. yn do ruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir. yn düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir. ir noktadan geçen ve bir do ruya dik olan yaln z bir düzlem vard r. Paralel düzlemlerden birine dik olan do ru di er düzlemlere de diktir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 0

9 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda önlü Doğru Parçaları ¾ Uzunluğu birim olan vektöre birim vektör denir. Uzunluğu, doğrultusu ve yönü olan doğru parçasına yönlü doğru parçası denir. aşlangıç ve bitimi aynı olan yönlü doğru parça- larının denklik sınıfına sıfır vektörü denir. 0 ya da ile gösterilebilir. Vektörler ile çalışırken denklik sınıflarının temsilci elemanlarını kullanırız. [] Doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri farklı olan u ve v için u = v dir. ¾ Uzaydaki tüm vektörler kümesi v ile gösterilir. Uzayda, vektörlerde toplama ve skalerle çarpma işlemleri ve özellikleri düzlemdekine benzerdir. aşlangıç ve bitiş noktaları aynı olan yönlü doğru parçaları üzerindeki yön ve doğrultu keyfidir. önlü doğru parçaları, başlangıç ve bitiş noktalarının belli olmasından dolayı ışından farklıdır. [ Işının başlangıç noktası, yönü ve doğrultusu belli olup bitiş noktası yoktur. ¾ önlü doğru parçaları üzerinde bağıntısı, " + D + ve D nin doğrultuları, yönleri aynı ve uzunlukları eşittir." biçiminde tanımlanır. bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Uzayda Vektörlerin Lineer ağımlı ya da Lineer ağımsız lma Durumu Uzayda doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır yani, biri diğerinin bir reel katı olarak yazılabilir. ¾ ir noktası ve bir v verildiğinde v = olacak şekilde bir tek noktası vardır. b v c d ¾ ve noktası verildiğinde v = olacak şekilde bir tek v vardır. ukarıdaki uzay modelinde, aveb lineer bağımlıdır. a v c ve d lineer bağımlıdır. b nü bir pozitif reel sayı ile çarparak a nü elde edebiliriz. c nü bir negatif reel sayı ile çarparak d nü elde edebiliriz. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

10 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır. ani biri diğerinin bir reel katı olarak yazılamaz. aveb lineer bağımsızdır. a Uzayda üçten fazla vektör her zaman lineer bağımlıdır. b Uzayda Dik Koordinat Sistemi Uzayda bir noktası ve { u, v, w} dik birim vektörleri ile oluşturulan sisteme dik koordinat sistemi denir. u w v u = (,0,0) = e v = ( 0,,0) = e w = ( 0,0, ) = e ¾ Uzayda u, v, w verildiğinde, w = k. u+ p. v olacak şekilde k R, p R bulunabiliyorsa bu üç vektöre lineer bağımlı vektörler, bulunamıyorsa lineer bağımsız vektörler denir. {, u, v, w} ya da dik koordinat sistemi şeklinde gösterilir. Uzayda lineer bağımsız vektörler ikişer ikişer birbirine dik ise bu sisteme dik koordinat sistemi denir. Uzayda bir noktanın yer vektörünün bileşenleri ile bu noktanın koordinatı aynıdır. Örneğin; birim a Örneğin; (,, 5) = = (, 5, ) yazılabilir. b birim ukarıdaki uzay modelinde, a ile b nün doğrultuları aynı, yönleri terstir. b =. a olup a ile b lineer bağımlıdır diyebiliriz. NT : Uzayda bütün yer vektörlerinin kümesi R ile gösterilir. Demek ki (a, b, c) sıralı üçlüsü aynı zamanda başlangıcı orijin ve bitimi (a, b, c) olan bir vektörü göstermektedir. halde, noktası = = ( abc,, ) yazılabilir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

11 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM (a, b, c) noktasını dik koordinat sisteminde göstererek = nü gösterelim. (0, 0, ) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. c (0, 0, ) = = (a, b, c) b a 5 (, 0, 0) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (,, 0) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (,, 0) (, 0, 0) (0,, 0) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. 6 (0,, ) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (0,, ) (0,, 0) LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

12 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 7 0 (, 0, 5) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (0, 0, ) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (, 0, 5) 5 (0, 0, ) 8 (, 0, 0) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (,, 5) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. 5 (,, 5) (, 0, 0) 9 (0,, 0) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (,, ) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (0,, 0) (,, ) LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

13 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM (,, ) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. (,, ) NT : Koordinatlarının üçünün birden sıfır olmadığı noktayı belirlerken önce dikdörtgenler prizmasını çizip sonra koordinat eksenlerini çizmek daha kolay bir yoldur. Örneğin; Önce kenar uzunlukları birim, 5 birim, birim olan dikdörtgenler prizmasını çizelim. 5 (,, ) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. Şimdi de koordinat eksenlerini çizelim. (, 5, ) 5 (,, ) 5 (,, 5) noktasını dik koordinat sisteminde gösterelim. Uzayın analitik modeli incelendiğinde uzayda sekiz farklı bölge olduğu görülür. (,, 5) 5 LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

14 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda İki Vektörün Öklid İç Çarpımı (Skaler Çarpım) dik koordinat sisteminde, = (a, b, c) ve = (d, e, f) vektörleri için, Uzayda, = (,, ) ve = ( kk, +, ) veriliyor. G, = 5 olduğuna göre, k değerini bulalım. G, = a. d + b. e + c. f ifadesine uzayda Öklid iç çarpımı denir. R, R ve k R için,. G, = G, (Simetri özelliği). Gk. +, = kg, + G, (. yere göre lineerlik) G, = 5 ise iç çarpım tanımından,. k. (k+) +. = 5 yazılabilir. k k + 8 = 5 k = 8 k = bulunur. G, + k= G, + kg, (. yere göre lineerlik). G, > 0,(! 0) G, = 0 + = 0 (Pozitif tanımlılık özelliği) Uzayda iki vektörün iç (skaler) çarpımı bir reel sayıdır. Uzayda, = f,, p ve = ( 6,, ) veriliyor. G, iç çarpımını bulalım. ¾ Öklid iç çarpımı ile birlikte R e Öklid uzayı denir. G, = G, f ( ) p (9 8) = bulunur. Uzayda, = (,, ) ve = (,, 5) veriliyor. G, Öklid iç çarpımını bulalım. Uzayda G,= 6 olduğuna göre, G, iç çarpımını bulalım. G, =. + ( ). +. ( 5) = 8 5 = 0 bulunur. G,=. G, =. 6 = 7 bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

15 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 5 Uzayda ir Vektörün Uzunluğu Uzayda = (a, b, c) vektörünün uzunluğu = a + b + c şeklinde gösterilir. İrdeleme : (0, 0, c) Uzayda yukarıda verilen ve için G, iç çarpımını bulalım. = (0,, ) ve = (, 0, ) olup G, = = bulunur. (a, 0, 0) a + b = (a, b, c) c (a, b, 0) (0, b, 0) a + b Taralı dik üçgende Pisagor teoremi ile, a b = a + k + c ise = a + b + c bulunur. c 6 Uzayda iç çarpım yardımı ile bir vektörün uzunluğu hesaplanabilir. D = (a, b, c) verilsin. G, = a + b + c olup = a + b + c bulunur. halde, = G, yazılabilir. ukarıdaki birim küplerden yapılmış yapıda ve D nin konum vektörlerini bulalım. dan ye x ekseninde pozif yönde birim, y ekseninde 0 birim, z ekseninde negatif yönde birim öteleme yapılmıştır. halde, = (,0, ) bulunur. D den ye x ekseninde negati yönde birim, y ekseninde pozitif yönde birim, z ekseninde negatif yönde birim öteleme yapılmıştır. Uzayda = (,, ) vektörünün uzunluğunu bulalım.. ol: = + + = br bulunur.. ol: = G, olup = halde, D = (,, ) = 69 & = birim bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 7

16 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ol : E F G = 8 birim = 5 birim 5 Taralı dik üçgende Pisagor teoremi ile, D 8 5 G = birim ukarıdaki dikdörtgenler prizmasındag,g iç çarpımını hesaplayalım. = 5 + = birim bulunur. nün konum vektörü = ( 5, 0, ) 5 nalitik uzayda izometrik çizimi yapılan ve birim yapılardan oluşmuş yapıda,, noktaları işaretlenmiştir. una göre, G, iç çarpımını hesaplayalım. G nün konum vektörü G = (0,8,0) G 8 G, G = = 0 bulunur. nün konum vektörü = (,, ) nün konum vektörü = (,, ) olup G, =.( ) +. + ( ).( ) = + + = bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 8

17 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 5 E D F G andaki şekilde bir kenar uzunluğu birim olan küp verilmiştir. E D 6 G F G = 6 birim = birim = birim una göre, GGE, E skaler (iç) çarpımını bulalım. una göre, GE,G Öklid (iç) çarpımını bulalım. E nün konum vektörü E = (0,, ) E nün konum vektörü E = (,6, ) 6 E E GE nün konum vektörü GE = (,, 0) olup G nün konum vektörü G = (, 6, ) 6 GE G GGE, E = 0. +.( ) + ( ). 0 = 6 bulunur. öylece, GE, G = ( ).+ 6.( 6) + ( ).( ) = = 9 bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 9

18 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda İki Nokta rasındaki Uzaklık Uzayda (a, b, c) ve (d, e, f) noktaları arasındaki uzaklık, = d(, ) = ( a d) + ( b e) + ( c f) ile Örneğin : 5 D d(, ) = G, ile hesaplanabilir. ukarıdaki dikdörtgenler prizmasında noktasından noktasına giderken, Pratik ilgi Uzayda ve noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için noktasından noktasına giderken yapılan ötelemelerin bileşkesinden faydalanabiliriz. + şağıdaki örnekleri inceleyiniz. Örneğin : 5 5 birim sola, birim yukarıya, birim arkaya gidilmiştir. halde, noktası uzayın sol arka üst bölgesindedir. öylece = (, 5, ) olup = = ( ) + ( 5) + = 5 birim bulunur. ukarıdaki dikdörtgenler prizmasında noktasından noktasına giderken, öne a a sa a birim sağa, birim aşağıya, birim öne doğru gelinmiştir. halde, noktası uzayın sağ ön ve alt bölgesindedir. öylece, = (,, ) olup = = + + ( ) = 9 birim bulunur. Uzayda (6,, ) ve (,, ) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım.. ol : = d(, ) = ( 6 ) + ( ( ) ) + ( ( ) ) = = birim bulunur.. ol : = = ( 6,, ) = (,, ) olup = = G, = ( ).( ) + ( ).( ) + ( ).( ) = birim bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 0

19 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM E K D 6 F G T Şekildeki küpte = 6 birim K = birim GT = birim E D K F G Şekildeki dikdörtgenler prizmasında = birim = birim K = birim G = birim ukarıda verilenlere göre, KT uzunluğunu bulalım. ukarıda verilenlere göre, K uzunluğunu bulalım. K G E K D 6 F G T 6 K noktasından T noktasına giderken, E F D noktasından K noktasına giderken, yukar K 6 birim sağa arkaya birim yukarıya 6 birim arkaya öteleme yapılmıştır. halde, yukar 6 K 6 arkaya sa a K noktası uzayın sağ arka üst bölgesindedir. öylece, = ( 6, 6, ) olup KT = KT = ( 6) = 7 br bulunur. T sola birim sola birim yukarıya birim arkaya öteleme yapılmıştır. halde, K noktası uzayın sol arka üst bölgesindedir. öylece, K = (,,) olup K = K = ( ) + ( ) + = birim bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

20 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda ir Vektörü irimleştirmek Uzayda her! 0 vektörü biçiminde birimleştirilebilir. ifadesine yönündeki birim vektör denir. ifadesine ile zıt yönde birim vektör denir. Uzayda İki Vektör rasındaki çı Uzayda iki vektör arasındaki açı, bu vektörlerin başlangıç noktalarının bir P noktasına taşınması ile oluşan açı olarak tanımlanır. Merkezi P olan birim çemberin, bu açının kenarları arasında kalan yayının uzunluğuna iki vektör arasındaki açının ölçüsü denir. Pratik ilgi br P br K: yönündeki birim vektör. K br K ¾ ve vektörleri arasındaki açının ölçüsü a ise ve nin iç çarpımı, G, =..cosa, 0 a < π r 0 < a < & G, > 0 r < a < r & G, 0 r i = & G, = 0 K: ile zıt yönlü birim vektör., 0) vektörü yönündeki birim vek- = (, törü bulalım. = (,,0) & = = br olup yönündeki birim vektör I = =f,, 0p bulunur. = (,,0) ukarıdaki dikdörtgenler prizmasında ve arasındaki açıyı bulalım. ve nün başlangıç noktalarını aynı noktaya taşıyalım. öylece bu vektörler arasındaki açı 90 bulunur. =,, 0 LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

21 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda ir Vektörün aşka ir Vektör Üzerine Dik Üzdüşümü nün üzerindeki, a) Dik izdüşüm vektörünün uzunluğu, G, = b) Dik izdüşüm vektörü, G, =. şeklindedir. G, Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış) Çarpımı azen uzayda iki vektör verildiğinde bu iki vektöre dik olan vektöre ihtiyaç duyarız. Uzayda ve nin vektörel çarpımı x şeklinde gösterilir. = (x, y, z ) ve = (x, y, z ) olmak üzere, x = (y. z z. y, z. x x. z, x. y y. x ) ¾ Sağ el kuralı ile saat yönünün tersi pozitif yön olarak kabul edilir. İki vektörün vektörel çarpımı bu iki vektöre de diktir. x Uzayda = (,, ) nün = (,, ) üzerindeki izdüşüm uzunluğunu ve izdüşüm vektörünü bulalım. NT : = (,, ) İzdüşüm uzunluğu, G, = = = (,, ) 8 8 = + + ( ) 5 birim = (x, y, z ) ve = (x, y, z ) olsun. e e e x = x y z x y z. satıra göre determinantı açarsak, İzdüşüm vektörü G, 5 =. =.(,, ) olup G, (y. z y. z )e (x. z x. z )e + (x. y y. x )e = (y. z y. z, x. z x. z, x. y y. x ) şeklinde yazılabilir = f,, p bulunur LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

22 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda = (,, 0) ve = (,, ) veriliyor. x vektörel (dış) çarpımını hesaplayalım. = (,, ) ve! 0 olmak üzere, x = 0 olacak şekilde nü bulalım. e e e x = 0 = (8 0)e ( 0)e + ( ( 6))e = 8e e + 8e = (8,, 8) bulunur. halde, x = (8,, 8) vektörü ve vektörlerine diktir. = ( abc,, ) diyelim. x = 0 ise e e e = (0, 0, 0) a b c e ( c b) e ( c a) + e b ( a) = (0, 0, 0) a k c b = 0, c a = 0, b + a = 0 c = b c = a a = b b = k dersek a = k ve c = k olup = ( k, k, k) bulunur ki bu vektörde, Karşılaştırma : Uzayda iki vektörün iç çarpımı bir reel sayıdır. Uzayda iki vektörün vektörel (dış) çarpımı bir vektördür. ile lineer bağımlıdır. x = 0 olduğundan, ile lineer bağımlıdır. halde, de ile aynı doğrultudadır. = (,, ) olduğundan, Vektörel Çarpımın Özellikleri er,, ve k R için, = ( k, k, k) şeklindedir.. x = 0 + ile lineer bağımlı ya da veya sıfırdır.. x = x. x( + ) = x + x. ( + )x = x + x 5. ( k. ) x = xk (. ) = k.( x ) Pratik ilgi ir determinantta bir satır diğer satırın bir reel katı ya da bir sütun diğer sütünun bir reel katı ise determinantın değeri sıfırdır. x = 0 ise ya ile lineer bağımlı ya da = 0 veya = 0 dır. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası

23 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 5 Uzayda ve için, x = (,, 5) olduğuna göre, x vektörünü bulalım. Uzayda, _ = (,7, ) b b = (, 5, ) ` vektö rleriveriliyor. b = (6,, ) b a una göre, ( + )xifadesini bulalım. x = x olduğundan, x = (,, 5) bulunur. + = ( 7,, ) + (, 5, ) + = (,, )olup x = (,, 5) =(6,, ) + = (,,) nün iki katı olduğundan + ile lineer bağımlıdır. x = (,, 5) halde, ( + ) x = 0 = (0,0,0) bulunur. 6 Uzayda, = ( 05,, ) = (,, ) vektörlerine dik olan vektörleri bulalım. ve ne dik olan vektör x ya da x dür. Uzayda, = (,, 7) = (,, 7) olduğuna göre, x vektörel çarpımını bulalım. x x halde, 7 = = olduğundan, 7 ile lineer bağımlıdır. halde, x = 0 = (0,0,0) bulunur. e e e x = = e e + e = ( 0,, ) x = x = (0,, ) bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

24 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda ir Noktanın ir Doğruya lan Uzaklığı 0. sınıftan hatırlayalım. Düzlemde; (x 0, y 0 ) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı, (x 0, y 0 ) (PP 0 u) = P 0 P PP. u.sin 0 i... u = d(, ) = Uzayda ise; ax + by + c 0 0 a + b ax + by + c = 0 ir P noktasının, doğrultmanı u olan bir l doğrusuna uzaklığı, P 0 doğru üzerinde bir nokta olmak üzere,. ve. eşitlikler eşitlenirse, PPxu = PP. u.sini 0 0 PP 0 dik üçgeninde sinq = PPxu = PP 0 0. u. P P PP 0 olup PP 0 P P PPxu 0 = bulunur. u P 0 P x u u P 0 P = PPxu 0 u. ol : spat : (x 0, y 0, z 0 ) d = (a, b, c). ol : P K(x, y, z ) x x a = y y = z z b c P 0 P x u u ukarıdaki şekil dikkatlice incelenirse K vektörü ile d (doğrultman) vektörü arasındaki açının kosinüsü K ile d vektörlerinin skaler çarpımı ile kolayca bulunup buradan dik üçgen yardımı ile sinüs değerine ge- (PP 0 u) = P 0 PPxu... 0 çiş yapılabilir. öylece sina = K eşitliğinden bulunabilir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

25 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Ö E T (,, 5) noktasının, x y 6 z l : = + = Uzayda noktasının, üzerindeki bir noktası P ve doğrultmanı u olan l doğrusuna uzaklığı doğrusuna uzaklığını bulalım. P x u l doğrusu üzerinde P 0 (, 6, ) noktası seçelim. P u (,, 5) = d(, l) = P xu u ile hesaplanabilir. P 0 (, 6, ) = d(, l) = u = (,, ) Pxu 0 olup P 0 = P 0 = (, 8, ) ve u = (,, ) Pxu= 0 u e e e 8 ukarıdaki çıkarımlar hesaplanırken; P xu= P ve P xu= u P xu = P. u.sini P.sini = (Pu) =. P. u.sini (Pu) =. P x u ifadelerinden yararlandığımızı düşünelim. = 0e + e 6e = (0,, 6) olduğundan, NT : = d(, l) = ( 6) + + P = birim bulunur. 9 D K P noktasının [] na uzaklığı P = P noktasının [] na uzaklığı PK = P x P x LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 7

26 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda Lineer ağımsız ve Üzerine Kurulu lan Paralelkenarsal ölgenin lanı Uzayda Lineer ağımsız,, Üzerine Kurulu Paralelyüzlünün acim esabı x sin sin T. = T. = _..sinab b ya da ` b x b a x =..sina ukarıdaki gibi,, üzerine kurulu paralelyüzlünün hacmi, det(,, ) ya da G x, NT : ifadelerinden biri ile hesaplanabilir. Uzayda iki vektörün vektörel çarpımının uzunluğu bu iki vektörün boyları ile arada kalan açının sinüs değerinin çarpımına eşittir. x =..sina Uzayda = (,,5), = (,,) ve = (0,,) vektörleri üzerine kurulu paralelyüzlünün hacmini hesaplayalım. Uzayda = (,, ) ve = (,, ) vektörleri üzerine kurulu paralelkenarsal bölgenin alanını hesaplayalım. x = (0,, ) = (,, ) = (,, 5) Taralı paralelkenarsal bölgenin alanı x olup x = = a8 ( + ), ( ), ( + ) k = (,, ) halde, paralelkenarsal bölgenin alanı, = br bulunur. 5 det(,, ) = 0 = (8 ) ( 0) + 5( 0) = = 7 halde paralelyüzlünün hacmi, det(,, ) = 7 = 7 br bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 8

27 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda Doğru ve Düzlem Denklemleri Uzayda Doğru : Uzayda bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (p, q, r) olan doğrunun vektörel denklemi, P u = (x, y, z) P l doğrusunun vektörel denklemi, = P + k.u k. u (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + (kp, kq, kr) eşitliğinden, _ x = x + kp 0 b b y = y + kq parametrik denklemi elde edilir. 0 ` b z = z + kr 0 b a x x 0 = kp, y y 0 = kq, z z 0 = kr k lerin eşitlenmesi ile, halde, P = k. u yazılabilir. öylece, P = ( x x, y y, z z ) k. u = ( kp, kq, kr) denklemleri ile, P = k. u olup x x 0 = kp, y y 0 = kq, z z 0 = kr k lerin eşitlenmesi ile, x x y y z z = = = k elde edilir. p q r Uzayda (,, ) noktasından geçen ve u = (, 5, 6) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel, parametrik ve kapalı denklemlerini bulalım. (,, ) u = (, 5, 6) taslak çizimi yukarıdaki gibi olan doğru üzerinde değişken bir P(x, y, z) noktası alalım. u = (, 5, 6) x x y y z z = = = k p q r kapalı denklemi elde edilir. P // u olup (,, ) P(x, y, z). ol : Uzayda bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (p, q, r) olan doğrunun denklemleri aşağıdaki gibi de bulunabilir. Doğru üzerinde bir nokta (x, y, z) olsun. u = (p, q, r) P(x 0, y 0, z 0 ) (x, y, z) P // u olup P ile u lineer bağımlıdır. P = k. u vektörel denklemi yazılabilir. (x, y +, z ) = ( k, 5k, 6k) eşitliğinden x = k, y + = 5k, z = 6k _ x = k+ b b y = 5k `Parametrik denklem z = 6k+ b a Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile x y z = + = 5 6 kapalı denklemi elde edilir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 9

28 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda (,, ) ve (,, 5) noktalarından geçen doğrunun vektörel, parametrik ve kapalı denklemlerini bulalım. Uzayda (,, 6) noktasından geçen ve u = (, 5, 0) vektörüne paralel olan doğrunun denklemini bulalım. (,, ) (,, 5) = (,,9) vektörü l doğrusunun bir doğrultmanı (doğrultman vektörü) olarak alınabilir. halde, = (,, 9) // u olup (,, 6) u = (, 5, 0) (x, y, z) (,, ) P(x, y, z) P // olup P = k. vektörel denklemi, _ x = k b b y = k `Parametrikdenklem z+ = 9k b a Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile x y z = = + kapalı denklemi bulunur. 9 Vektörel denklemi = k. u yazılabilir. (x +, y, z 6) = (k, 5k, 0) _ x+ = k b b y = 5k `Parametrikdenklem z 6 = 0 b a Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile x + y =, z = 6 kapalı denklemi bulunur. 5 Uzayda herhangi bir doğru üzerindeki noktaların konumlarını, yer vektörleri ve parametre değerlerine göre gösterelim. 5 G F u p + u p + u p + u p p u p u p u u : l doğrusunun doğrultman vektörüdür. D ukarıda ayrıtlları birim, birim, birim olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun bir köşesini dik koordinat sisteminin başlangıcı kabul edersek doğrusunun denklemini bulalım. E LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 50

29 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 6 (, 0, 0) ve (0,, 0) olup G F D E (, 0, 0) (0,, 0) = (,, 0) vektörü l doğrusunun doğrultu vektörü olup ukarıda ayrıtları birim, birim, birim olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun bir köşesini dik koordinat sisteminin başlangıcı kabul edersek G doğrusunun denklemini bulalım. = (,, 0) P(x, y, z) G(0, 0, ) ve (0,, 0) olup (, 0, 0) P // olup P = k. eşitliğinden, G G(0, 0, ) (x, y, z) = ( k, k, 0) _ x = k b b y = k `Parametrik denklem z = 0 b a Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile x y =, z = 0 kapalı denklemi bulunur. (0,, 0) G = (0,, ) vektörü l doğrusunun doğrultu vektörü olup halde, G(0, 0, ) G = (0,, ) x : = y, z = 0 P(x, y, z) GP // G olup GP = k. G eşitliğinden, Dikkat edilirse ve eksenlerini kesen doğru denkleminde z = 0 oluyor. (x, y, z ) = (0, k, k) LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

30 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM x = 0 y = k z = k _ b b `Parametrik denklem b a Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile Uzayda İki Doğrunun irbirine Göre Konumu Uzayda doğrultman vektörleri, u = (p, q, r) ve v = (p ı, q ı, r ı ) olan y z =, x = 0 kapalı denklemi bulunur. halde, l : l : x x y y z z = = ve p q r x x y y z z = = doğruları verilsin. p q r G ¾ uvev lineer bağımlı ise doğrular paralel ya da çakışıktır. y : = z, x = 0 u v Dikkat edilirse ve eksenini kesen doğru denklemlerinde x = 0 oluyor. u v p q r u durumda = = yazılabilir. p q r 7 ¾ uvev lineer bağımsız ise doğrular kesişir. u Uzayda (,, ) noktasından geçen ve u = (, 5, 0) ne paralel olan doğruyu dik koordinat sisteminde gösterelim. v (,, ) 5 u LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

31 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM l : l : x + y z = = + x y z = + = a doğrularının birbirine dik durumlu olması için a nın değerini bulalım. P(,, ) noktasından geçen ve v = (,, ) ne paralel olan doğrunun denklemini bulalım. Doğru üzerinde bir T(x, y, z) noktası alalım. v doğruya paralel olduğundan, l doğrusunun doğrultmanı v = (,, ) l doğrusunun doğrultmanı v ( a,, ) = l l Gv, v = 0 olmalıdır. a +. + ( ). ( ) = 0 a = 0 a = bulunur. PT // v olur. PT = T P = ( x, y+, z ) PT // v x y z & = + = bulunur. v = (,, ) P = (,, ) l : l : x y z = = + x + y z = + = m doğruları arasındaki açı 60 olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamını bulalım. l : x y z = + = Verilen doğruların doğrultman vektörleri, v = (,,) vev = (,, m) dir. İki doğru arasındaki açı ile doğrultmanları arasındaki açı aynı olduğundan, Gv,v = v. v.cosa Gv, v =. + ( ). +. m = 5 + m o 5 + m = + ( ) m.cos m = m. 0 + m = m m + m = m m 0m 0 = 0 m 0m 0 = 0 m + m = 0 bulunur. (,, ) noktasından geçen, v = (a,, ) nü doğrultman vektörü kabul eden ve x eksenine dik olan doğrunun denklemini bulalım. Doğrunun x eksenine dik olabilmesi için doğrultman vektörünün birinci bileşeni yani a = 0 olmalıdır. halde doğru denklemi, x = 0, y + z = olur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

32 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 5 7 v = (, a, ) nün, x + y z = = 8 6 doğrusuna paralel olması için a nın değerini bulalım. Uzayda eksenine birim uzaklıktaki noktaların koordinatlarını (geometrik yerini) bulalım. ir vektörün bir doğruya paralel olması demek o doğrunun doğrultman vektörüne paralel olması demektir. v = (, a, ) : x + = y = z 8 6 eksenine birim uzaklıktaki noktalar kümesi yarıçapı birim olan bir silindirik yüzeydir. 8 Doğrunun doğrultmanı u= (,8, 6) olduğundan, v // u a & = = eşitliğinden 8 6 a = bulunur. (,, 0) noktasından geçen ve eksenine paralel olan doğrunun grafini çizip denklemini bulalım. (,, 0) 6 Uzayda (,, ) ve (, 0, ) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. l doğrusu eksenine paralel olduğundan doğrultman vektörü u = ( 0, 0, ) = ( 00,, ) = ( 00,, ) =... alınabilir. u = (0, 0, ) = a, 0, k = (,, ) olur. u durumda noktasından geçen ve ne paralel olan doğrunun denklemi, x y z = = + bulunur. (,, 0) halde, l doğrusunun denklemi, x y z = = = k ya da 0 0 x =, y =, z = k bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 5

33 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 9 Uzayda İr Düzlemİn Parametrİk ve Kapalı Denklemİ. adım : (0, 5, ) Uzayda koordinat sistemi seçilir. 5 ukarıda (0, 5, ) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım. l doğrusu x eksenine paralel olduğundan doğrultman vektörü u= (,0,0) alınabilir. (0, 5, ) u = (, 0, 0) halde, l doğrusunun denklemi, x y 5 z = = = k ya da 0 0 x = k, y = 5, z = bulunur.. adım : Uzayda bir P noktası belirlenir. P noktasına lineer bağımsız u ve v taşınır. 0 v P u (, 0, ) ukarıda (, 0, ) noktasından geçen ve y eksenine paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım. l doğrusu y eksenine paralel olduğundan doğrultman vektörü u= (0,,0) alınabilir. (, 0, ) u = (0,, 0). adım : P, u, v nün belirlediği düzlem modeli çizilir. v P u halde, l doğrusunun denklemi, x y 0 z = = = k ya da 0 0 x =, y = k, z = bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 55

34 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. adım : u düzlem modeli üzerinde keyfi bir x noktası seçilir ve P nün u ve v cinsinden eşiti yazılır. 6. adım : u ile v nün vektörel çarpımının u ve v ne dik olduğunu hatırlayalım. u xv= u, u xv= v P v k.v k.u halde, P de uxv ne diktir. ( P = uxv) u öylece, GP, uxv= 0 düzlemin kapalı vektörel denklemi olur. P = k. v + k. u Ö E T Uzayda bir P noktasından geçen ve lineer bağımsız u, v ne paralel olan düzlemin parametrik denklemi, düzlem üzerinde değişken bir nokta olmak üzere, 5. adım : P, ve P arasındaki bağıntı yazılır. P v u v P u k, k birer reel sayı = P + k. v + k. u u, v düzlemin birer doğrultu vektörleri P ir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektöre düzlemin normal vektörü denir ve N ile gösterilir. N= u, N= v yani N // uxv ( N= uxv alınabilir.) P + P = olup düzleminin parametrik denklemi, = P + k. v+ k. u dir. Uzayda P noktasından geçen ve normali N olan düzlemin kapalı denklemi GP, N= 0 şeklindedir. Düzlemin = P+ k. u+ k. v parametrik denkleminden N= uxv olmak üzere GP, N= 0 ka- palı denklemi elde edilebilir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 56

35 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Doğrultu vektörleri u = (,, ) ve v = (,, ) olan düzlemin parametrik ve kapalı denklemlerini bulalım. Uzayda (, 5, ) noktasından geçen ve N = (,, 6) ne dik olan düzlemin denklemini bulalım. N = (,, 6), düzlem üzerinde değişken bir nokta olsun. (, 5, ) P u = (,, ) v = (,, ) düzlemi üzerinde değişken bir (x, y, z) noktası alalım. N = (,, 6) P(0, 0, 0), düzleminin parametrik denklemi, P + P = ya da = P+ k. u+ k. v = P + k (,, ) + k (,, ) şeklinde yazılabilir. N= uxv olmak üzere, GP, N = 0 eşitliğinden kapalı denklemi bulalım. (, 5, ) (x, y, z) = N olduğundan, G, N = 0 olmalıdır. = = ( x, y+ 5, z ) ve N= (,, 6) G, N = 0 eşitliği ile : (x ) (y + 5) + 6(z ) = 0 x y + 6z 7 = 0 kapalı denklemi elde edilir. e e e N = uxv= = 9e 7e 5e = ( 9, 7, 5) olup Uzayda (,, ), (,, 0) ve (0,, ) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulalım. N= (9, 7, 5) düzlemin normalidir. halde, GP, N = 0 olacağından, (,, 0) (0,, ) P = ( xyz,, ) ve N = (9, 7, 5) ile (,, ) : 9x 7y 5z = 0 düzlemin kapalı denklemi elde edilir. u = ve v = nü bulalım. u = = (,, ) ve v = = (, 6,) Düzlemin normalini (normal vektörünü) bulalım. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 57

36 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ol : e e e N = uxv= = 7e + e + 7e 6 halde, N = ( 7,, 7) P(x, y, z) (,, ) düzleminin denklemini bulalım. Düzlem üzerinde değişken bir P(x, y, z) noktası ile N= P olacağından, GNP, = 0 olmalıdır. N=( 7,, 7) ve P = P = ( x, y, z + ) nden, düzleminin denklemini, GNP, = 0 eşitliği ile, 7(x ) + (y ) + 7(z + ) = 0 : 7x y 7z 0 = 0 bulunur.. ol : Uzayda,, noktalarından geçen düzlem denklemini bulmak için ve vektörlerine dik olan bir N vektörü aranır. öylece = Nve = N olacağından skaler çarpım ile çok miktarda N vektörleri elde edilmiş olur ki bunlardan herhangi birini seçerek düzlem denklemi kolayca yazılabilir. ekseni üzerinde (, 0, 0) ve düzleminde değişken bir P(x, y, z) noktası alalım. (, 0, 0) P(x, y, z) ekseni düzlemine dik olduğundan, = = (,0,0) nü düzleminin bir normali olarak alabiliriz. P = ( xyz,, ) olsun. halde, P = olup GP, = 0 eşitliğinden, düzleminin denklemi, x + 0y + 0z = 0 x = 0 bulunur. N (x, y, z ) SNUÇ : (x, y, z ) (x, y, z ) N= ve N= dolayısı ile N () x = 0 düzlemi : x x y y z z x x y y z z x x y y z z LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 58

37 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 5 6 düzleminin denklemini bulalım. düzleminin denklemini bulalım. ekseni üzerindeki bir (0,, 0) noktası için, düzleminin bir normali olarak düşünülebilir. düzleminde rastgele seçilen bir P(x, y, z) noktası için, ekseni üzerinde bir (0, 0, ) noktası için, düzleminin bir normali olarak düşünülebilir. düzleminde rastgele seçilen bir P(x, y, z) noktası için, N = (0,, 0) (0, 0, ) N = (0, 0, ) P(x, y, z) P(x, y, z) (0,, 0) P(x, y, z) P(x, y, z) = (0,,0) ve P = ( xyz,, ) P = olup GP, = 0 eşitliği ile düzleminin denklemi, 0. x +. y + 0. z = 0 y = 0 bulunur. = = (0,0,) ve P = P = ( xyz,, ), = P olup G, P = 0 eşitliği ile, düzleminin denklemi, 0. x + 0. y + z = 0 z = 0 bulunur. SNUÇ : SNUÇ : y = 0 düzlemi z = 0 düzlemi LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 59

38 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM 7 9 Uzayda x + y + 5z 60 = 0 şeklinde verilen denklemi yorumlayalım. : x =, : y =, : z = 5 denklemleri ile verilen düzlemlerin grafiğini uzayda gösterelim. x = 0, y = 0 için z = x = 0, z = 0 için y = 5 y = 0, z = 0 için x = 0 olup 0, 5, düzlemin eksenlerinden ayrılan parçadır. Uzayda : x = denklemi x eksenini (, 0, 0) noktasında kesen ve düzlemine paralel bir düzlem belirtir. 5 0 x = 8 x + y = denklemi düzlemde ve uzayda ne belirtir? y = düzlemi y eksenini (0,, 0) noktasında kesen ve düzlemine paralel bir düzlem belirtir. Düzlemde : x + y = denklemi (0, ) ve (6, 0) noktalarından geçen bir doğru belirtir. y y = 6 x x + y = Uzayda ise : x eksenini (6, 0, 0) ve y eksenini (0,, 0) noktalarında kesen ve z eksenine paralel olan bir düzlem belirtir. z = 5 düzlemi z eksenini (0, 0, 5) noktasında kesen ve düzlemine paralel bir düzlem belirtir. z = LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 60

39 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM NT : c y b x + y + z = düzleminin koordinat eksenlerini kestiği noktalar,, olsun. una göre, üçgensel bölgesinin alanını bulalım. a b x a Uzayda yukarıdaki düzlemin denklemi x y z + + = dir. a b c a + x y b = x = 0, y = 0 z = olup (0, 0, ) y = 0, z = 0 x = olup (, 0, 0) x = 0, z = 0 y = 6 olup (0, 6, 0) yazılabilir. (0, 0, ) 0 6 (, 0, 0) (0, 6, 0) Uzayda koordinat eksenlerini eşit parçalara ayıran ve (,, ) noktasından geçen düzlemin denklemini bulalım. = = ( 0,, ) = = ( 60,, ) olup a a a ve üzerine kurulan paralelkenarsal bölgenin alanının yarısı üçgensel bölgesinin alanına eşittir. halde, () =. x yazılabilir. x y z Düzlemin denklemi, + + = olup a a a x+ y+ z Denklem düzenlenirse = olup a x + y + z = a yazılabilir. (,, ) noktası bu denklemi sağlar. + + = a a = 6 olup düzlemin denklemi x + y + z = 6 bulunur. e e e x = 0 = 7e + 8 e e 6 0 () =. x = = br bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

40 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM x y + z = 0 ve x + y z + = 0 düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini bulalım. x + y z = = + doğrusunun 6x + ay z + 7 = 0 düzlemine paralel olması için a nın değerini bulalım. x = k diyelim. Denklemler düzenlenip taraf tarafa toplanırsa, / y + z = k + y z = k k k + 5 y =, z = olup k ler eşitlenirse arakesit doğrusunun denklemi y + z 5 x = = = k bulunur. Doğrunun doğrultmanlarından biri, v= (,, ) ve düzlemin normallerinden biri de N= (6, a, ) dir. Doğru düzleme paralel ise v= N olur. halde, GvN, = ( ). a + ( ). ( ) = 0 a + = 0 a = 5 a = 5 bulunur. 0,, 5 u = (,, ) (,, ) noktasından geçen ve N = (,, ) vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulalım. NT : x + y + z + D = 0 Düzlemi gözönüne alındığında, x + y + z + D > 0 ifadesine açık üst yarı uzay denir. x + y + z + D 0 ifadesine kapalı üst yarı uzay denir. x + y + z + D < 0 ifadesine açık alt yarı uzay denir. x + y + z + D 0 ifadesine kapalı alt yarı uzay denir. Düzlemin içinde bir nokta P(x, y, z) olsun. P = N olur. P = P = (x, y +, z ) GP, N = 0 olup. (x ) +. (y + ) + ( ). (z ) = 0 x 6 + y + z + 6 = 0 x + y z + = 0 bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

41 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda İki Düzlemin irbirine Göre Durumları : x + y + z + D = 0 : x + y + z + D = 0 Denklemleri ile verilen iki düzlemde, Uzayda ir Noktanın ir Düzleme Uzaklığı P(x 0, y 0, z 0 ) noktasının x + y + z + D = 0 düzlemine uzaklığı, P = (x 0, y 0, z 0 ). D = = = ise düzlemler çakışıktır. D R. D = =! ise düzlemler paraleldir. D PR = d(p, ) = x + y + z + D D Q P. N = (,, ) ve N = (,, ) olmak üzere, GN, N = 0 ise düzlemler diktir. R N RQ = GRP, N. N N ifadesi RP nün N normali üzerinde dik izdüşüm vektörü olup bu vektörün uzunluğu,. { N, N } lineer bağımsız ise ve düzlemleri kesişir. u iki düzlemin denklemini sağlayan herhangi bir nokta R iken düzlemlerin ara kesit doğrusunun denklemi, = R + k ( N x N ) şeklindedir. GRP, N RQ = uzunluğu P noktasının düzlemine uzaklığını gösterir. N halde, GPN, x + y + z + D = yazılabilir. N + + LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

42 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM (,, ) noktasının x + y + z + = 0 düzlemine uzaklığını bulalım. NT : ir düzlemden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu düzleme paralel iki düzlemdir.. ol : (,, ) P x + y + z + = 0 d(, ) = P = = birim bulunur ( ) ukarıda ve düzlemler düzlemine eşit iki uzaklıkta bulunan iki düzlemdir.. ol : Düzlemin normali N = (,, ) ve düzlem üzerindeki bir nokta Pf,, p Q (,, ) N = (,, ) P,, 5 P = P =f,, 0p olup K NT : Uzayda iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzlemidir. P nün N üzerindeki izdüşüm uzunluğu aradığımız K uzunluğuna eşittir. halde, GP, N K = N = K = birim bulunur. : [] nın orta dikme düzlemidir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 6

43 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda İki Düzlem rasındaki Uzaklık Uzayda (,, ) ve (, 5, ) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerinin denklemini bulalım. : x + y + z + D = 0 : x + y + z + D = 0 Paralel düzlemleri arasındaki uzaklık, P ve noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri aşağıdaki gibi düzlemidir. (,, ) K K PK = d(, ) = D D + + ile bulunur. (, 5, ) halde, düzleminin normali olarak alınabilir. N = = = (, 8, ) [] nın orta noktası, Kf,, p = K(,, ) olup NT : Kesişen ya da çakışık iki doğru arasındaki uzaklık sıfırdır. Uzayda da kesişen ya da çıkışık iki düzlem arasındaki uzaklık sıfırdır. Örneğimiz şu hale geldi : "Normali N= (, 8,) ve bir noktası K(,, ) olan düzlemin denklemini bulalım." N = (, 8, ) K (,, ) P (x, y, z) öylece düzleminin denklemi, : x y + z = 0 ve : x y + z + 5 = 0 düzlemleri arasındaki uzaklığı ad(, ) k bulalım. GKP, N = 0 olduğundan, (x ) 8(y ) + (z ) = 0 x + 8y z 6 = 0 bulunur.. ol : d(, ) = = 5 = birim bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 65

44 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ol : düzlemi üzerinde bir nokta alalım. K(,, 0) x y + z = 0 : x + y + 5z + = 0 ve : 6x + y + 0z + = 0 düzlemleri arasındaki uzaklığı bulalım. halde, K(,, 0) Düzlem denklemlerine dikkatlice bakılırsa = olduğu dolayısıyla denklemlerin çıkışık iki düzlem belirttiği görülür. halde, d(, ) = 0 bulunur. P x y + z + 5 = 0 Örneğimiz bir noktanın bir düzleme uzaklık problemine dönüştü, K(,, 0) Uzayda İki Düzlem rasındaki çı Kesişen iki düzlemin ara kesit doğrusuna dik olan düzlemde oluşan iki açıdan dar olanına bu iki düzlem arasındaki açı denir. P KP = d(k, ) = = birim bulunur. x y + z + 5 = 0 : x y + z 7 = 0 ve : x + 5y + z = 0 ( ) ( ) Kesişen iki düzlem arasında iki açı oluşur. u açılardan biri dar, diğeri geniş açıdır. Dar olanına bu iki düzlem arasındaki açı denir. Uzayda, : x + y + z + D = 0 : x + y + z + D = 0 düzlemleri arasındaki açı bu düzlemlerin normal vektörleri arasındaki açıdır. düzlemleri arasındaki uzaklığı bulalım. Düzlemler paralel olmadığından aralarındaki uzaklık sıfırdır. halde, d(, ) = 0 dır. N N GN, N halde, cosq = N. N şeklindedir. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 66

45 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM NT : Normalleri dik olan iki düzlem birbirine diktir. Normalleri lineer bağımlı olan iki düzlem arasındaki açının ölçüsü 0 dir. Uzayda, : x y + z 5 = 0 ve : x y + nz + = 0 düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, n değerini bulalım. düzleminin normali N = (,, ) düzleminin normali N = (,, n) olup ( ) ( ) N = N diyebiliriz. halde, N = N & G N, N = 0 eşitliği ile () ( ) +. n = 0 n = 5 bulunur. Uzayda, : x 5y + z + = 0 ve : ax + y bz = 0 düzlemleri birbirine paralel olduğuna göre, a va b değerlerini bulalım.. Durum : Uzayda ir Doğru İle ir Düzlemin irbirine Göre Konumları Uzayda doğru düzleme çakışık veya paralel değilse düzlemi bir noktada keser. düzleminin normali N = (, 5, ) düzleminin normali N = (a,, b) dir. K () = {K} Düzlemler birbirine paralel olduğundan düzlemlerin normal vektörleri lineer bağımlıdır. (Paraleldir.) halde, N ile N lineer bağımlı olup N = k. N olup (, 5, ) = k(a,, b) ise 5 = = eşitliğinden, a b a = 5 ve b = bulunur. 5 K noktasının koordinatlarını bulmak için doğrunun parametrik denklemleri düzlem denkleminde yerine yazılır ve parametre bulunur. : x + y + z + D = 0 düzlemi ile l : x x y y z z = = = k doğrusu verilsin. p q r x = x 0 + pk, y = y 0 + qk ve z = z 0 + rk Parametrik denklemleri düzlem denkleminde yerine yazılır ve k parametresi bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 67

46 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. Durum : Uzayda bir doğru bir düzleme paralel ise doğrunun doğrultman vektörü düzlemin normal vektörüne diktir. l () N // u x x y y z z halde, = = doğrusu, p q r N u x + y + z + D = 0 düzlemine dik ise u = (p, q, r) ile N = (,, ) lineer bağımlıdır. l // () ise N = u olup GN, u = 0 yazabiliriz. öylece, p q r = = yazılabilir. halde, x + y + z + D = 0 düzlemi ile x x y y z z = = doğrusu paralel ise p q r N = (,, ) ve u = (p, q, r) dik olup GN, u = 0 eşitliği ile l : x y z = + = doğrusu 5 : 8x my + nz 9 = 0 düzlemine dik olduğuna göre, m ve n sayılarını bulalım. p + q + r = 0 eşitliği elde edilir. Düzlemin normali, N = (8, m, n) ve doğrunun doğrultmanı u = (, 5, ) olup doğru düzleme dik ise doğrultman düzleme paraleldir.. Durum : u = (, 5, ) N = (8, m, n) Uzayda bir doğru bir düzleme dik ise doğrunun doğrultmanı düzlemin normaline paraleldir. (Normal ile doğrultman lineer bağımlıdır.) N u l () u ile N lineer bağımlıdır. P halde, u = k. N eşitliği ile, 5 = = orantısı ile, 8 m n m = 0 ve n = 8 bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 68

47 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM x y + z = 0 düzlemi ile x y z = + = doğrusunun arakesit (kesişim) noktasının koordinatlarını bulalım. x y z 5 l : = + = doğrusunun : x + y + 7z + = 0 düzlemine uzaklığını bulalım. l doğrusunun doğrultmanı u= (,, ) x y z = + = doğrusunun parametrik denklemleri, x = k +, y = k ve z = k + olup : Düzleminin normali N= (,,7) dür. GuN, = 0 u = N dir. P(k +, k, k + ) halde, l doğrusunun düzlemine paralel olduğunu söyleyebiliriz. N u P noktasının koordinatlarını düzlem denkleminde yazarak k parametresini bulalım. (k + ) (k ) + k + = 0 eşitliğinden, P k = değeri elde edilir. u değer P noktasında yerine yazılarak, P(,, ) bulunur. l doğrusu üzerinde bir K(,, 5) noktası seçelim. K(,, 5) P x + y + 7z + = 0 öylece, K noktasının düzlemine uzaklığı dk (,) = + ( ) = 6 br bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 69

48 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM ukarıda a : doğru ile düzlem arasındaki açıdır. l : x y z = + = + doğrusu k : 5x + y z 9 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre, k değerini bulalım. GN, u= N. u.cos( 90 o a) cos(90 a) = sina olduğundan, p + q + r sina = + +. p + q + r eşitliği elde edilir. ir doğru bir düzleme paralel ise doğrunun doğrultmanı düzlemin normaline diktir. l // u = N dir. l doğrusunun doğrultmanı, u = (,, k) düzleminin normali, N= (5,, ) olup u = N & G u, N= 0 eşitliği ile, k( ) = 0 k = bulunur. x + y + z = 0 düzlemi ile x = y = z doğrusu arasında kalan açının sinüs değerini bulalım. x + y + z = 0 düzleminin normali, N = (,, ) ve x 0 y 0 z 0 = = Uzayda ir Doğru İle ir Düzlem rasındaki çı x + y + z + D = 0 düzlemi ile x x y y z z = = = k doğrusu verilsin. p q r doğrusunun doğrultmanı, u = (,, ) olup GN, u = + + =! 0 olduğundan, doğru düzlemi keser. N = (,, ) p + q + r 0 ise dgu, N! 0isen doğru ile düzlem bir noktada kesişir. 90º u = (,, ) N = (,, ) 90º u = (p, q, r) o GN, u= N. u.cos(90 a) + + = 6..sina sina = bulunur. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 70

49 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM l doğrusu üzerinde bir P noktası ve l doğrusu üzerinde bir Q noktası için GPQ,ux v = 0 ise doğrular aynı düzlemdedir. = (,, ), = (,,)ve = (5,, ) nin lineer bağımlı olup olmadığını inceleyelim. P u x v Q u v, ve nin lineer bağımsız olması için, GPQ,uxv! 0 ise doğrular farklı düzlemdedir, bu tür doğrulara aykırı doğrular denir. gerek ve yeter şart det( ),, 0 olmasıdır. halde, det( ),, = ifadesinin sonucuna bakılır. 5 Determinantı. satıra göre açarsak, det( ),, =. ( + ). ( 5). ( + 0) = Gu, v= 0 ise doğrular diktir ya da dik konumludur. = 60 ani det( ),, 0 olduğundan, u, ve lineer bağımsızdır. v = (,, ), = (0,,)ve = (,, 6) nin lineer bağımlı olup olmadığını inceleyelim. NT : Uzayda, u, v ve w vektörlerinin lineer bağımsız olması için gerek ve yeter şart, det( u, v, w) 0 dır. det( u, v, w) = 0 ise u, v, w lineer bağımlıdır. = olup determinant özelliğinden, det(,, ) = 0 dır. halde,, ve lineer bağımlıdır. LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 7

50 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM Uzayda İki Nokta rasındaki İlişki : Nokta () Nokta () = Uzayda İki Doğru rasındaki İlişki : Do ru Do ru yn düzlemde yn düzlemde de il (yk r d rlar) rtak noktaya sahip rtak noktaya sahip de il (Paraleldirler) rtak nokta tek (Kesi irler) rtak nokta tek de il (Çak rlar) Uzayda İki Düzlemin rasındaki İlişki : Düzlem Düzlem rtak noktaya sahip rtak noktaya sahip de il (Paraleldir) rtak do ru tek (Kesi irler) rtak do ru tek de il(çak rlar) Uzayda ir Doğru ve ir Düzlem rasındaki İlişki : Do ru Düzlem rtak nokta tek (Kesi irler) rtak noktaya sahip rtak nokta tek de il (Do ru düzlemdedir) rtak noktaya sahip de il (Do ru düzleme paraleldir) LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası 7

51 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM TEST. Uzayda (,, 5) ve ( 5,, 5) noktaları veriliyor. una göre, aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ( 7, 6, ) ) ( 7, 6, 5) ) (7, 6, 5) D) (7, 6, 5) E) ( 7, 6, 0). R uzayında herhangi bir a = ( x, x, x ), b = ( x, yz, ), c = ( m, mm, ) vektörleri ile (x + y + z = ) ve b= ( a c) olacak şekilde veriliyor. una göre, Ga, b skaler (iç) çarpımının değeri aşağıdakilerden hangisidir? ) m ) m ) m D) 0 E) m. = (,, 5) = ( 7,, ) = ( p, q,) r una göre, p + q + r kaçtır? ) 0 ) ) D) E) 5. = (,, ) ve = (, 5, ) veriliyor. una göre, aşağıdakilerden hangisidir? ) (, 7, ) ) (, 7, ) ) (,, ) D) (,, ) E) (7,, ) 6.. ukarıda birim küplerden oluşmuş yapıda nün konum vektörü aşağıdakilerden hangisidir? ) (,, ) ) (,, ) ) (,, ) D) (,, ) E) (,, ) ukarıda birim küplerden oluşmuş yığında verilen, ve noktalarının koordinatları toplamı kaçtır? ) 8 ) 9 ) 0 D) E) 7 LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası. E D

52 UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM TEST 7. R te aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? ) Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme dik olan yalnız bir tane doğru çizilebilir. ) ir doğrunun bir düzleme dik izdüşümü nokta olabilir. ) İki düzlemin yalnız bir ortak noktası olabilir. D) Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir. E) İki düzlem birbirine dik ise bu düzlemler üzerindeki doğrularda birbirine dik olabilir. 0. R te aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir. ) Farklı iki düzlem kesişirse arakesit bir doğrudur. ) Farklı iki noktadan yalnız bir tane doğru geçer. D) ir düzlem üzerinde sonsuz sayıda doğru vardır. E) ykırı doğrulara paralel bir düzlem yoktur.. Uzayda = (,, ) ve = (, 0, ) veriliyor. una göre, x vektörel (dış) çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? ) (6,, ) ) (6,, ) ) ( 6,, ) 8. R te aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? D) ( 6,, ) E) (6,, ) ) ir doğrudan ve üzerinde olmayan bir noktadan yalnız bir düzlem geçer. ) Dik kesişen iki doğruyu içine alan sonsuz tane düzlem vardır. ) Kesişen iki doğrudan bir düzlem geçer. D) Paralel iki doğrudan bir düzlem geçer. E) İki farklı düzlem uzayı en fazla bölgeye ayırır.. D ukarıdaki analitik uzayda,, ve D noktaları veriliyor. I. (0,, ) 9. ir düzlemdeki farklı üç doğru için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Üç doğru bir noktada kesişebilir. ) Üç doğru paralel olabilir. ) Üç doğru dört noktada kesişebilir. D) Üç doğru ikişer ikişer farklı noktalarda kesişebilir. E) Üç doğru düzlemi 6 bölgeye ayırabilir. II. = (,, ) III. D(, 6, 0) IV. = ( 0,, ) V. D = ( 06,, ) una göre, yukarıdakilerden kaç tanesi doğrudur? ) ) ) D) E) 5 7 LS Geometri Konu nlatımlı Soru ankası E.. E