Doğrusal Kodların Spektrum Ağırlık Fonksiyonlarının Hesaplanması

Transkript

1 Doğrusa Kodarın Spektrum Ağırık Fonksiyonarının Hesapanması Orhan Gazi 1, A. Özgür Yımaz 2 1 Eektronik Habereşme Mühendisiği Böümü, Çankaya Üniversitesi Bagat, 653, Ankara. e-posta: o.gazi@cankaya.edu.tr 2 Eektrik-Eektronik Mühendisiği Böümü, Orta Doğu Teknik Üniversitesi Bagat, 653, Ankara. e-posta: aoyimaz@eee.metu.edu.tr ABSTRACT We introduce a simpe method to evauate the eight spectrum functions of inear codes. Anaytica upper bounds for bit error probabiities of turbo codes and seriay concatenated codes are evauated for different intereaver engths. Anahtar Sözcüker: Ağırık sıraama fonksiyonu, şartı ağırık sıraama fonksiyonu, düzgün serpiştirici, seri bireşik kod, parae bireşik kod. 1. GİRİŞ Bireşik kodar ik oarak Forney tarafından 1966 yıında tanıtımıştır [1]. Forney sonsa (APP) oasııkarı kuanarak seri bireşik konvousyone kodarı (SBKK) çözümemiştir. Forney in çaışmasını takiben bir kaç tane APP agoritması geiştirimiştir. Bu agoritmaarın en biinenerinden birisi BCJR [2] agoritmasıdır ve de uzun zaman boyunca odukça karmaşık oduğu düşünümüştür. Bireşik kodar için yineemei çözümeme çaışmaarı 199 yıarının başarında tekrar hız kazanmaya başamıştır. Bu çaışmaarın sonucunda 1993 yıında Turbo kodar [3] geiştirimiştir. Turbo kodarın buunması kodama teorisi için bir dönüm noktası omuştur. Turbo kodar, parae bireştirimiş konvousyone kodar (PBKK) oarak ta biinmektedirer. Turbo kodarın keşfiye yineemei agoritmaar üzerine oan eğiim artmıştır ve de bireşik kod yapıarının yineemei çözümenmesi üzerine yapıan çaışmaarda bir artış gözenmiştir. Turbo kodarın icadından sonra seri bireşik konvousyone kodar (SBKK) icat edimiştir [4]. SBKK ar turbo kodara göre daha iyi performans sağayabimektedir. Daha sonra hem parae hemde seri yapıyı içeren hibrid bireşik kodar geiştirimiştir [5]. Turbo kodarın performansarı benzetim çaışmaarı ie ispat edise bie, anaitik oarak turbo kodarın şaşırtan performansarı ik oarak [6] çaışmasında açıkanmıştır. Bu çaışmada düzgün serpiştirici tanıtımış ve de düzgün serpiştirici kuanarak turbo kodar için anaitik performans sınırarı çizimiştir. Düzgün serpiştirici kuanarak anaitik peformans sınırarını çizme yöntemi SBKK ara da uyguanmıştır [6]. Düzgün serpiştirici ie bit hata oasııkarı için anaitik sınırar çizebimemiz için bireşik kodun spektrum ağırık fonksiyonarına ihtiyaç vardır. Spektrum ağırık fonksiyonarının hesabı özeike uzun veri sözcükeri için odukça zor bir iştir. Küçük oranardaki konvousyone kodarın spektrum ağırık fonksiyonarının hesapanması ie igii çaışma [7] de yapımıştır. Bu çaışmada ieri-geri agoritması spektrum ağırık fonksiyonunun hesapanması için kuanımıştr. Ayrıca Viterbi türü bir metod [8] de tanıtımıştır. Biz bu makaemizde spektrum ağırık fonksiyonarının hesapanması için basit ve de kuanışı bir metodu tanıtacağız ve de bu metodu kuanarak SBKK ar ie PBKK ar için bit hata oasııkarı için anaitik sınırar çizeceğiz Ağırık Sıraama Fonksiyonu (ASF) Ağırık sıraama fonksiyonu kod sözcükeri hakkında bigi taşır ( beiri bir Hamming ağırığındaki kod sözcükerinin sayısı), A(X) = n x=d min A x X x Bu ifade de ki A x Hamming ağırığı x oan kod sözcükerinin sayısını ifade etmektedir. X ise bir değişkendir Girdi Çıktı Ağırık Sıraama Fonksiyonu (GÇASF) ASF kod sözcükeri hakkında bigi verir. Girdi veri sözcükeri hakkında herhangi bir bigi vermez. GÇASF ise hem kod sözcükeri hakkında hemde kod sözcükerini ouşturan veri sözcükeri hakkında bigi içerir. A(W, X) = A,x W X x,x

2 Bu ifade de A,x Hamming ağırığı oan veri sözcükeri tarafından üretien Hamming ağırığı x oan kod sözcükerinin sayısını vermektedir. W ve X ise görecei değişkenerdir Girdi Fazası Ağırık Sıraama Fonksiyonu (GFASF) GFASF kod sözcükerindeki pariti biterinin Hamming ağırıkarı hakkında bigi içerir. A(W, Z) =,z A,z W Z z, Bu ifadede ki A,z Hamming ağırığı oan veri sözcükeri tarafından üretien parity ağırığı z oan kod sözcükerinin sayısını beirtir Şartı Ağırık Sıraama Fonksiyonu (ŞASF) ŞASF ise Hamming ağırığı oan veri sözcükeri tarafından üretien kod sözcükerindeki Hamming ağırığı z oan parity sözcükeri hakkında bigi verir. A (Z) = z A,z Z z 1.5. Spektrum Ağırık Fonksiyon Katsayıarı Arasındaki İişkier Spektrum ağırık fonksiyonarının katsayıarı arasındaki iişkier aşağıda özetenmiştir. GFASF-GÇASF A,z = A,x z=x ASF-GFASF A x = x=+z A,z ASF-GÇASF A x = i=x A,i 1.6. Spektrum Ağırık Fonksiyonarı Arasındaki İişkier Spektrum ağırık foksiyon katsayıarında oduğu gibi spektrum ağırık fonksiyonarı arasında da benzer iişkier vardır ve de bu iişkier aşağıdaki gibi özetenmiştir. GÇASF-ŞASF A(W, X) = W A (X) ŞASF-GFASF A (Z) = 1 A(W,Z)! W W = ASF-ŞASF A(X) = A(W, Z) W =X Z=X 2. Bireşik Kodarın Spektrum Fonksiyonarı Bireşik kodar üç değişik yo izenerek ouşturuabiirer. Seri bireştirme metodu ie, parae bireştirme metodu ie ya da hem seri hem de parae bireştirme metodu ie, en son ifade edien metod hibrid tekniği oarakta biinmektedir. Bireşik kodarın spektrum ağırık fonksiyonarı bir kez buunduktan sonra kodarın performansarı için anaitik üst sınırar çizmek mümkün omaktadır. Bireşik kodar doğrusa kodar oarak düşünüebiirer. Doğrusa kodarın performans üst sınırarı için matematikse ifadeer mevcuttur ve de bu ifadeer bireşik kodar için de kuanıabiirer. Bireşik kodarın spektrum fonksiyonarı hesapanabiir ve de anaitik performans sınırarının çizimesi amacı ie kuanıabiir. PBKK un düzgün serpiştirici kuanıarak anaitik anaizi [6] çaışmasında yer amaktadır. Düzgün serpiştirici kuanarak bireşik kodarın bit hata performansarı için anaitik performans sınırarını çizebimek önemi bir geişmedir. Örgü sonandırmaya tabi tutuan konvousyone kodar bok kodar gibi düşünüebiir. Ve de bok kodar için yapıan çaışmaar örgü sonandırımış konvousyone kodara da uyguanabiir. Bireşik kodarın spektrum fonksiyonarını takip eden böümerde anatacağız Parae bireşik kodun GÇASF Serpistirici KK 1 KK 2 Şeki 1: Parae bireşik kod. CC1, CC2 parça kodardır. Bu kodar bok, konvousyone ya da bunarın kombinezonu oabiirer. Düzgün serpiştirici yakaşımı kuanarak PBKK un GÇASF katsayıarı aşağıdaki gibi buunabiir.,x = x 1,x 2 x 1 +x 2 =x A C 1,x 1 A C 2,x 2 (N ), bu eşitikteki A C 1,x 1 ve A C 2,x 2 ifadeeri parça konvousyone kodar KK 1 ve KK 2 nin GÇASF katsayıarı omaktadır, A C p,x ise parae bireşik kodun GÇASF katsayıarıdır. N serpiştiricinin uzunuğu,, x ise veri ve de kod sözcükerinin Hamming ağırığı omaktadır. Düzgün serpiştirici kuanarak, parae bireşik kodarın ŞASF aşağıdaki ifade ie buunmaktadır, (Z) = ACC1 (Z).A CC2 (Z). ) C p kodunun GFASF şöye ede ediir, A C p (W, Z) = k =1 W A C p (Z) p 1 p 2

3 bu ifadede k veri dizierinin uzunuğunu beirtmektedir. Eğer bok kodar bireşik kod da parça kodar (KK 1 bir (n, k) bok koddur) oarak kuanımışsa, parça kodun kod sözcüğü için GFASF A C 1 (W, Z) = [A C 1 (W, Z)] ifadesiye hesapanır. Parae bireşik kodarın spektrum fonksiyonarı biiniyorsa, en yüksek bit hata oasııkarı için anaitik sınırar aşağıdaki ifade ie hesapanmaktadır, (e) k =1 k W A C (Z) W =Z=e RcE b /No. (1) Bu ifade daha faza basiteştirierek (2) deki şekiye veriebiir, 1 = D m erfc( m R ce b ) (2) 2 N o m bu ifadedeki R c kod oranı omaktadır, N o ise AWGN kana için bit enerjisinin gürütü miktarına oranıdır. D m ifadesi ise şöye ede ediir, D m = k A,z. (3) z+=m E b Veri sozcukeri Kod sozcukeri KK 1 Serpistirici KK 2 x Şeki 3: Seri bireşik kod. KK 1, KK 2 parça kodar. N serpiştiricinin uzunuğunu beirtir. seri bireşik kodun GÇASF katsayıarı A Cs,x Hamming ağırıpı oan veri sözcükerinin ürettiği Hamming ağırığı x oan kod sözcükerinin sayısını ifade eder. A Cs,x = N = A Co, ACi,x ), bu ifadedeki dış kod sözcükerinin Hamming ağırığını ifade eder x ise iç kod sözcükerinin Hamming ağırığını gösterir. Bireşik kodarın GÇASF ede edidikten sonra denkemer (2) ve (3) kuanıarak bit hata oasııkarı için üst sınırar çizmek mümkün omaktadır. Şeki 4 te SBKK ar için farkı uzunukta şerpiştiricier için bit hata oranarı için üst sınırar çizimiştir SBKK ar icin anaitik ust sinirar N=1 N=2 N=1 N= PBKK ar icin anaitik ust sinirar N=1 N=1 N=2 N= (e) (e) Eb/No Şeki 2: Parae bireşik kod bit hata oasııkarı için üst sınırar. KK 1, KK 2 üretici matriksi (1, 5/7) okta oan parça konvousyone kodardır Seri bireşik kodarın GÇASF Seri bireşik kodun GÇASF A C s (W, X) parça kodarın ŞASFs çarpımarının normaize edimiş şekiye ede ediir. A C s (W, X) = N = A co (W ) A ci ) (X) Eb/No Şeki 4: Seri bireşik konvousyone kodun bit hata oasıığı için anaitik üst sınırar. Parça kodarın üretici matriksi (1, 5/7) okta dır. Serpiştiricinin uzunuğu N dir Hibrid Bireşik Kodar Seri ve de parae kod yapıarı kombine edierek hibrid kodar üretiirer. Şeki 5 te parae bireşik kod içeren bir hibrid yapı gösterimektedir. Rc p = k/n 1, Rc o = k/p, Rc i = p/n 2 ifadeeri parae konvousyone kod, dış ve de iç kodar için sırası ie kod oranarını göstermektedir. Sistemde uzunukarı N 1 ve N 2 oan iki tane serpiştirici mevcuttur. Hibrid kodun kod oranı R c = k/(n 1 + n 2 ) eşitiği ie buunur. Hibrid kodun GÇASF katsayıarı aşağıdaki gibi buunurar.

4 A H,h = N 2 = h 1 +h 2 =h,h 1 A Co, ACi,h 2 (N1 )2 ) bu ifadede A H,h, ACp,h 1, A C o,, AC i,h 2 Hibrid, parae, dış ve de iç kod için GÇASF katsayıarıdır. İç kod yineemei kodardan seçiebiir [5]. C o N 2 N 1 C p C i Şeki 5: Hibrid bireşik kod. h 1 h 2 F (W, Z) matriksinin her eemanı bir poinomdur ve de bütün eemanarının topamı konvousyone kodun GFASF A(W, Z) yi verir. A(W, Z) = i,j F i,j (W, Z) F (W, Z) matriksinin (2, 3) koordinatarındaki eeman ise örgü çizegesi durum 2 den başayıp durum 3 te biten kod sözcükerinin GFASF nu verir. Bizim kuanacağımız konvousyone kodar her zaman için örgü sonandırma işemine tabi tutuacakardır (Diğer bir deyişe örgü çizegeeri durum dan başar ve de durum da sonanırar). Bundan ötürü F (W, Z) nin (,) bögesindeki eemanı konvousyone kod hakkındaki bütün bigiyi taşımaktadır, yani kodun GFASF nu F, (W, Z) dir. 3. Spektrum Ağırık Fonksiyonarının Hesapanması Herhangi bir kodun spektrum fonksiyonunu bumak için iki yo izenebiir. İk izenecek yoda, beiri bir uzunuk değeri için var oan bütün veri sözcükeri üretiir, ve de bu veri sözcükeri kodayıcıdan geçirierek kod sözcükeri ede ediir. Daha sonra ede edien kod sözcükerinin ve de onarı üreten veri sözcükerinin Hamming ağırıkarı hesapanır. Aynı Hamming ağırığa sahip veri sözcükerinin ürettiği kod sözcükerinin sayısı buunuarak spektrum fonksiyonar ouşturuurar. İkinci metod ise bizim burda önericeğimiz poinom metodudur. Bu metodu bir örneke açıkayaım. Örnek: Üretici matriksi (1, 5/7) okta oan konvousyone kodun GFASF nu buaım. Konvousyone kodayıcı üç şekide gösteriebiir, bunar bok çizenek, durum çizeneği ve de durum geçiş matriksidir. Şeki 6 da durum ve de bok çizenekeri gösterimiştir. Durum çizeneğindeki bigier durum geçiş matriksine aşağıdaki gibi aktarımıştır. Durum çizeneğinin her daındaki bigi W Z z şekinde bir poinom ie ifade edimiştir bu poinomdaki W ve Z göstermeik değişkenerdir, ve z ise veri ve de pariti sözcükerinin Hamming ağırık değereridir. T (W, Z) matriksinin (i, j) koordinatındaki eemanı durum çizeneğindeki i daından j daına geçişteki bigieri taşır. 1 W Z T (W, Z) = W Z 1 W Z Z W k uzunuğundaki veri sözcükeri için, bok geçiş matriksi F (W, Z) şöye tanımanmıştır: F (W, Z) = T (W, Z) k Şeki 6: Üreticisi (1, 5/7) okta kod için durum makinesi. 4. Spektrum Ağırık Fonksiyonarının Hesapanması Küçük uzunuktaki veri sözcükeri için bie doğrusa kodarın GFASF hesabı odukça güç bir iştir. GFASF hesaparı için geneike Matab kuanıır. İki poinomum çarpımı şu şekide yapıabiir. Önce poinom katsayıarı değişkenerin artan kuvveterine göre sıraanır, ede edien bu iki katsayı vektörünün konvousyonei hesapanır, sonuç vektöründeki katsayıar kuanarak tekrar bir poinom yazıır. Eğer poinomumuz iki değişken içeriyorsa bu durumda iki boyutu konvo-

5 usyone işemi kuanıır (yani conv2 matab fonksiyonu). Eğer poinomarımızda n tane değişken varsa bu durumda n boyutu konvousyone kuanıır (yani convn). Uzunuğu k oan veri sözcükeri için bok geçiş matriksini (i.e. T (W, Z) k ) hesapamak için şu yo takip ediir. T (W, Z) matriksinin her eemanı p p matrik şekinde ifade ediir. Burdaki p rasgee bir değerdir. Büyük p değereri daha iyi sonuçar üretirer. Ama orta düzeyde bir p değeride yeteridir. T (W, Z) nin her eemanı matriks oarak ifade edidikten sonra, matriksin kuvveti aınabiir. T (W, Z) in kuvvetini aırken norma matriks çarpma işemi uyguanır. Matrikserin eemanarını çarparken, 2 boyutu konvousyone işemini kuanacağız, çünkü biz T (W, Z) eemanarını matriks oarak ifade ettik, poinom çarpımıda konvousyone ama işemine denk geir. Yanız her iki boyutu konvousyone ama işemi sonucunda sonuç matriksinin boyutarı iki katına çıkar, bu yüzden çarpım sonuç matriksi eski boyutarına kırpıır. Örnek: T 2,1 (W, Z) = W Z eemanı matrik oarak aşağıdaki gibi ifade edimiştir: T ( W,Z) (2, 1) = W W 1 W 2 W 3 W 4 W 5 1 Z Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 [3] C. Berrou, A. Gaavieux, and P. Thitimajshima, "Near Shannon Limit Error-Correcting Coding and Decoding: Turbo Codes", Proceeding of IEEE Internationa Communications Conference 93. [4] S. Benedetto, D. Divsaar, G. Montorsi, F. Poara, "Seria Concatenation of Intereaved Codes: Performance Anaysis, Design, and Iterative Decoding.", IEEE Transactions on Information Theory, Vo. 44, No. 3, May [5] D. Divsaar and F. Poara, "Seria and hybrid concatenated codes ith appications", Proceedings of the Internationa Symposium on Turbo Codes and Reated Topics, pp. 8-87, Brest, France, 3-5 September, [6] S. Benedetto, G. Montorsi, "Unveiing Turbo Codes: Some Resuts on Parae Concatenated Coding Schemes", IEEE Transactions on Information Theory, Vo. 42, No. 2, March [7] J. Conan, "The Weight Spectra of Some Short Lo-Rate Convoutiona Codes", IEEE Transaction on Communications, Vo. Com-32, N. 9, September [8] H. Lajos, T. H. Lie and B. L. Yeap, Turbo Coding, Turbo Equaisation and Space-Time Coding for Transmission over Fading Channes, John Wiey and Sons. Şeki 7: W Z poynomunun matriks gösterimi. 5. SONUÇLAR Spektrum ağırık fonksiyonarının hesapanmaarı esnasında pratikte karşımıza çıkacak zorukardan kurtumak için spektrum ağırık fonksiyonarının hesabı için basit bir yöntem önerdik ve de bu yöntemi kuanarak seri ve de parae bireştirimiş konvousyone kodarın değişik serpiştirici uzunukarı için spektrum ağırık fonksiyonarını hesapadık. KAYNAKLAR [1] G. D. Forney, Jr., Concatenated Codes, M.I.T. Press, Cambridge, MA, USA, [2] L. R. Bah, J. Cocke, F. Jeinek, and J. Raviv, "Optima decoding of inear codes for minimizing symbo error rate", IEEE Trans. Inf. Theory, Vo. IT-2, March 1974, pp