Zemine gömülü bir borunun dinamik analizi

Transkript

1 Zemie gömülü bir boruu diamik aalizi Dyamic aalysis of a buried pipe Müge Balkaya, Meti O. Kaya, Ahmet Sağlamer İstabul Tekik Üiversitesi, İstabul, Türkiye ÖZET: Bu çalışmada, zemie gömülü bir boruyu temsil ede, elastik zemie otura bir kirişi titreşim aalizi Diferasiyel Döüşüm Yötemi (DTM) yardımıyla icelemiştir. DTM, lieer ve olieer problemlere kolaylıkla uygulaabile ve ayı zamada aalitik ve ümerik çalışmalar içi kullaışlı bir yötemdir. Bu yötemle, kısa yolda kesi souçlara ulaşmak mümküdür. Bu bildiride, bahsedile yötemi özelliklerii taıtmak amacıyla çeşitli problemler çözülmüş ve elde edile souçlar literatürde verile souçlarla karşılaştırılmıştır. Aahtar Kelimeler: Diferasiyel döüşüm yötemi, DTM, elastik zemi, titreşim, kiriş, boru ABSTRACT: I this paper, a simulatio method called Differetial Trasform Method (DTM) is employed to predict the vibratio of a beam (pipelie) restig o a elastic soil. DTM ca easily be applied to liear or oliear problems ad reduces the size of computatioal work. With this method, exact solutios may be obtaied without ay eed of cumbersome work ad it is a useful tool for aalytical ad umerical solutios. To make clear ad illustrate the features ad capabilities of the preseted method, differet problems have bee solved by usig the techique ad solutios have bee compared with those obtaied i the literature. Keywors: Differetial trasform method, DTM, elastic Soil, vibratio, beam, pipe GİRİŞ Elastik zemi üzerie otura kirişler, geotekik, mekaik, ulaştırma ve yapı mühedisliği gibi işaat mühedisliğii çeşitli dallarıda zemi-yapı etkileşimii modelleyebilmek amacıyla icelemiştir. Geotekik mühedisliğide, gömülü boru hatları, yüzeysel temeller ve kazıkları birer kiriş elema olarak modellediği çok sayıda çalışma vardır. Boru hatları gibi zemie gömülü yapıları tasarımı ve zemi içideki performası açısıda zemiyapı etkileşimi dikkatli bir biçimde icelemelidir. Zemi gömülü boruları dış etkilerde korur ve boruu ve zemii malzeme özelliklerie bağlı olarak boruya destek sağlar. Bu sayede, yapıda meydaa gelebilecek ve servis ömrüü azalmasıa ede olabilecek hasarlara karşı risk azaltılmış olur. Çevre zemide yeterli destek sağlaamadığı taktirde, boru hatları geellikle maruz kaldıkları dış yüklere ve deplasmalara karşı koyamazlar. Bu edele, gömülü boruları servis ömrüü uzatabilmek amacıyla, boruya etkiye zemi desteği ve yükleme koşulları dikkatli bir biçimde belirlemelidir. Boru-zemi etkileşimi oldukça karmaşık bir koudur ve bu kouda gerçekleştirilmiş çeşitli teorik ve deeysel çalışmalar mevcuttur. Bu problemi icelemesie ilişki e yaygı olarak kullaıla yaklaşım, boruyu bir kiriş, boruyu çevreleye zemii ise bir dizi yay olarak modellemektir. Bu basitleştirilmiş tek boyutlu model ilk olarak Wikler tarafıda ele alımıştır (Wikler, 867). Bilidiği gibi, Wikler modelie göre; herhagi bir oktadaki çökme, o oktadaki taba basıcıyla oratılıdır. Wikler modeli; qk w şeklide taımlamaktadır. Burada k yay sabiti, w ise çökmedir. Wikler zemi modeli temel mühedisliğide yaygı olarak kullaılmaktadır. Bu modelde zemi; birbirie yakı, acak aralarıda etkileşim olmaya bir dizi liear elastik yay olarak kabul edilmektedir (Wikler, 867; Filipic ve Rosales, ; Ayvaz ve Özga, ; Coşku, 3; Albert ve Kovacs, 3). Wikler modeli kullaılarak kirişleri titreşim, burkulma ve stabilite davraışı üzerie birçok araş- 3

2 tırmacıı çalışmaları vardır. Doyle ve Pavlovich (98), Pavlovic ve Wylie (983), Eiseberger ve diğ. (986) tarafıda yapıla çalışmada ise elastik zemi üzerie kısme yada tamame otura kirişleri davraışı solu elemalar yötemiyle icelemiştir. Clastoric ve diğ. (986) değişke Wikler zemiie otura kirişler üzerie bir çalışma yapmıştır. Eiseberger ve Clastorik (987), değişke Wikler zemiie otura kirişleri burkulma ve titreşimlerii icelemiştir. Dig (993), değişke Wikler zemiie otura kirişleri titreşimlerie yöelik bir çalışma yapmıştır. Farghalay ve Zeid (995), Wikler zemii üzerideki ekseel yüklü kiriş-kütle-yay sistemii frekas deklemi ile ilgili bir çalışma yapmıştır. Buula beraber, boyutlu Wikler modelii iki büyük problemi vardır. Wikler modelie göre zemii temsil ede yaylar arasıda bir etkileşim söz kousu değildir. Bu kabul, zemii süreksiz bir ortam olduğu kabulüü de beraberide getirmektedir. Bu modeli bir diğer problemi ise; yay katsayısıı, kirişi rijitliği, geometrisi, zemi özellikleri ve davraışı gibi birçok parametreye bağlı olması ve ampirik bağıtılarda elde edilmesi gerekliliğidir. Bu edele, Wikler modeli zemii modellemek açısıda çok gerçekçi souçlar vermemektedir. Acak, Wikler modelide yapıla ve gerçekçi olmaya bu kabule rağme söz kousu yötem uygulamadaki basitliği edeiyle gömülü boru hatları, yüzeysel ve deri temeller, demiryolları gibi zemi-yapı etkileşimi problemleride yaygı olarak kullaılmaktadır. Wikler modelii eksikliklerii ortada kaldırmak amacıyla çeşitli iki parametreli zemi modelleri geliştirilmiştir (Filoeko-Borodich, 9; Pasterak, 95; Vlasov ve Leotiev, 966). Bu modellerde ilk parametre, Wikler modelide olduğu gibi yay rijitliğii temsil ederke, ikici parametre lieer-elastik yayları etkileşimii temsil etmektedir. Pasterak modelide kirişte eğilme ihmal edilirke, çökmei tamamiyle kirişi kayma deformasyoa bağlı olarak ortaya çıktığı kabul edilmektedir. Pasterak modeli, iki boyutlu modeller arasıda e yaygı olarak kullaılalarda biridir. Fraciosi ve Masi, 993 yılıda yaptıkları çalışmada iki parametreli elastik zemi üzerie otura bir Euler-Beroulli kirişii serbest titreşimii icelemiştir. De Rosa ve Maurizi (998), Pasterak zemii üzerideki Euler- Beroulli kirişii serbest titreşimie etkilerii araştırmıştır. Rao (3), Pasterak zemiie otura ari kirişleri yüksek gelikli tirteşim davraışları üzerie bir çalışma yapmıştır. De Rosa ve Maurizi (999) ve Filipich ve Rosales (), Pasterak zemii içideki kazıklı temelleri icelemiştir. Coşku (3), Pasterak zemiie otura, orta oktasıa harmoik bir titreşim etkiye solu uzuluktaki bir kirişi icelemiştir. Çeşitli zemi modellerii yaı sıra, uygulamada farklı kiriş modelleri de kullaılmaktadır. Bularda e yaygı olarak kullaıla modeller, Euler- Beroulli ve Timosheko kiriş modelleridir. Euler- Beroulli modeli ice kirişler içi çok uygudur. Acak bu model, kısa ve kalı kirişlerde iyi souçlar vermemektedir. Timosheko kiriş teorisi ise, kirişleri statik ve diamik davraışlarıı modellemekte yaygı olarak kullaıla bir diğer yötemdir. Timosheko modelide kirişleri titreşimi modelleirke eğilme ve kayma etkilerii her ikisii de ayı ada dikkate alaır. Timosheko kiriş teorisie göre, deplasmada öce kiriş ekseie dik ola düzlemsel bir kesit, şekil değiştirmede sora da düzlemselliğii korur, ama kiriş ekseie dikliğii kaybeder. Ayrıca Timosheko kiriş teoriside, kayma birim uzamalarıı ve yaal kayma gerilmelerii kesit boyuca sabit olduğu kabul edilmektedir. Wag ve diğ. (998), Gree foksiyou yardımıyla iki parametreli elastik zemie otura çeşitli üiform Timosheko kirişlerii serbest titreşim frekaslarıı, eğilme ve burkulma davraışlarıı icelemiştir. El-Mously (999), Pasterak zemiie otura Timosheko kirişlerii serbest titreşim frekaslarıı icelemiştir. Kargarovi ve Youesia (), Fourier Trasform tekiği yardımıyla, Pasterak zemiie otura ratgele dağılmış harmoik yükle yüklemiş uiform kesitli ve sosuz uzuluktaki Timosheko kirişlerii davraışları ü- zerie bir çalışma yapmıştır. Bu çalışmada, zemie gömülü bir boru hattıı temsil ede, elastik zemie otura bir kirişi serbest titreşim frekasları Diferasiyel Döüşüm Yötemi (DTM) yardımıyla elde edilmiştir. Aalizlerde Wikler ve Pasterak zemi modelleri kullaılmıştır. Kiriş modeli olarak ise sırasıyla Euler-Beroulli ve Timosheko modelleri ele alımıştır. Aalizlerde kullaıla Diferasiyel Döüşüm Yötemi, Taylor seri açılımıa dayaa ve diferasiyel deklemleri aalitik çözümlerii elde etmek içi kullaıla bir döüşüm tekiğidir (J.K. Zhou, 986). Bu yötemde, bir probleme ait diferasiyel deklemlere ve sıır koşullarıa belirli döüşüm kuralları uygulaarak deklemler, basit aalitik ifadelere döüştürülür. İcelee öreklere ait hareket deklemleri ve sıır şartları aşağıda verilmiştir. HAREKET DENKLEMLERİ VE SINIR ŞARTLARI İlk örek olarak Wikler zemii üzeride otura bir Euler-Beroulli kirişi ele alımıştır (Şekil ). Aaliz souçları, Che () tarafıda yapılmış ola çalışma souçlarıyla karşılaştırılmıştır. Bu probleme ait hareket deklemi aşağıda verilmiştir:

3 Model I: φ w φ EI kga I k t + φ ρ φφ (7) Şekil. Wikler Modeli w w EI + k( x) w + ρ A( x) () t Deklemde; k yay katsayısı, w çökme (m), ρ yoğuluk (kg/m 3 ), A kesit alaı (m ), E Youg Modülü (Pa) ve I eylemsizlik mometi (m ), x kiriş boyuca ölçüle yatay mesafe; t ise zamaı temsil etmektedir. Çalışmada kullaıla sıır koşulları aşağıdaki gibi verilmiştir: Sabit meset: w w x x, L () Kosol: w w x (3) x 3 w w xl () 3 Basit meset: w w x, L (5) x İkici örek olarak Pasterak zemii üzerie otura bir Timosheko kirişi icelemiştir (Şekil ). De Rosa (995), Pasterak zemiii iki farklı şekilde modellemiştir. Bu formlar Euler-Beroulli kirişi içi ayı diferasiyel deklemle ifade edilebilmektedir. Acak, bu şartlar daha kısa ve kalı ola Timosheko kirişi içi kullaılamaz. Elde edile souçları karşılaştırılabilmesi açısıda, De Rosa (995) tarafıda yapıla adladırmalar dikkate alıarak aalizler Model I ve Model II şartlarıa göre yapılmıştır. Bu kou ile ilgili detaylı bilgi De Rosa (995) tarafıda yapıla çalışmada elde edilebilir. Her iki durum içi de ilk deklem ayıdır. Model II: φ w φ w EI kga I k t + φ ρ w (8) Pasterak zemii üzerie otura Timosheko kirişi içi kosol ve sabit meset-basit meset durumua ait iki farklı sıır şartı icelemiştir. Kosol: w φ x (9) w φ φ, xl () Sabit meset-basit meset w φ x () φ w xl () Wikler zemiie otura Euler-Beroulli kirişii titreşim aalizi iceleirke: w iωt ( x t) W ( x) e, (3) Deklem (3), deklem () de yerie koulursa hareket deklemi aşağıdaki şekli alır: EI kw ρaω W + () Bezer şekilde, Pasterak zemiie otura Timosheko kirişii serbest titreşim aalizi içi çözüm aşağıdaki şekilde verilebilir: wxt (, ) W( xe ) iωt (5) φ ( xt, ) Φ ( xe ) iωt (6) Şekil. Pasterak Modeli Deklem (5) ve (6), sırasıyla Model I içi deklem (6) ve (7) de; Model II içi deklem (6) ve (8) de yerie koulursa hareket deklemlerii yei şekli aşağıdaki gibi olur: w φ w kga A k w t ρ w (6) kga A W k W dφ ρ ω + w (7) 5

4 Model I: d Φ EI kga I k + Φ + ρωφ φφ (8) x W kl w ξ, W, α, L L EI kl φ kw L sφ, s w π EI π EI (6) Model II: d Φ + Φ + ρω Φ w EI kga I k (9) kg AL ρaω L c, r, χ cr, µ E I EI Bu parametrerler kullaılarak deklem 7-9 u boyutsuz şekli şu şekilde yazılabilir: / 3 BOYUTSUZLAŞTIRMA Wikler zemiie otura Euler-Beroulli kirişii boyutsuz parametreleri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: x W ξ, W, L L kl ρa λ, ω ω () EI k Bu parametreler kullaıldığıda deklem () aşağıdaki hale döüşür: d W + λ( ω ) W Boyutsuz sıır koşulları: Sabit meset: () W ξ, () Kosol: W ξ (3) χ d W d χ Φ + ξ µ α (7) Model I: d Φ r + χ r + ( µ χr π r sφ ) Φ (8) Model II: d Φ r + ( r r sw ) ( r ) d χ ξ π µ χ + Φ (9) Bu durumda boyutsuz sıır koşulları: Kosol: W Φ ξ (3) Φ, dφ ξ (3) Sabit Meset-Basit Meset: W Φ ξ (3) dφ W ξ (33) ξ () 3 3 Basit Meset: W ξ, (5) De Rosa (995) e göre Pasterak zemiie otura Timosheko kirişii boyutsuz parametreleri aşağıda verile şekildedir: DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİNİN TANITIMI Diferasiyel döüşüm yötemi, Taylor serisi açılımıa dayaa bir döüşüm yötemidir. Bu yötemde belirli döüşüm kuralları uygulaır ve diferasiyel deklemler ve sıır koşulları esas foksiyou diferasiyel döüşümü ola bir dizi dekleme döüşür. Elde edile deklemleri çözümü problemi soucuu verir. DTM çözümleride kullaıla teoremler Tablo - de verilmiştir. 6

5 Tablo. Hareket deklemleri içi kullaıla DTM teoremleri Orjial Foksiyo ( x) g( x) h( x) Döüşüm Foksiyou f ± F( k) G( k) ± H( k) f ( x) λg( x) F( k) λg( k) ( x) g( x) h( x) f ( x) k Fk GlHk ( l) l d g ( k )! f ( x) ( x) x + F( k) G( k + ) k! f Fk () δ ( k ) if k if k Tablo. Sıır koşulları içi kullaıla DTM teoremleri x x Orjial Döüşüm Orjial Döüşüm f () F f df d f () 3 d f () 3 df F F d f () F ( 3) 3 d f () 3 k k F ( k) kf( k) k( k ) F( k) kk ( )( k ) Fk 5 DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE GERÇEKLEŞTİRİLEN ANALİTİK ÇALIŞMA Çalışmaı bu kısmıda ilk olarak Wikler zemiie otura Euler kirişii modelleye deklem () i DTM formu yazılacaktır. Bu aşamada W yerie W kullaılacaktır. Tablo de verile kurallar uyguladığıda deklem aşağıdaki şekle döüşür: ( k )( k )( k 3)( k ) Wk λ( ω ) Wk (3) Yukarıdaki deklem üzeride gerekli düzelemeler yapıldığıda, aşağıdaki ilişki ortaya çıkar: λω ( ) W( k) W( k + ) ( k + )( k + )( k + 3)( k + ) (35) Tablo de yararlaarak sıır koşulları aşağıdaki şekilde yazılabilir: Sabit Meset: W() W() (36) W( k) (37) k kw ( k) (38) Kosol: W() W() (39) kk ( ) Wk () kk ( )( k ) Wk () Basit Meset: W() W() () W( k) (3) k kk ( ) Wk () Pasterak zemiie otura Timosheko kirişii modelleye ikici öreğe ait DTM çözümleri ise χ( k + )( k + ) W( k + ) χ ( k + ) Φ ( k + ) + ( µ α) W( k) (5) r k k k χr k W k...( µ χr π r sφ ) Φ ( k) ( + )( + ) Φ ( + ) + ( + ) ( + ) +... r ( k+ )( k+ ) Φ ( k+ ) + ( χr π r sw )( k+ ) W( k+ ) ( µ χr ) Φ ( k) W ( k + ) χ ( k )( k ) k k µ α χ + Φ + + W k + + Φ + χ r ( k+ )( k+ ) µ χ π Φ ( k ) [ r ( k ) W( k )......( r r sφ ) ( k)] Φ k+ χr π r s k+ W k+ + r ( k+ )( k+ ) µ χr Φ k [... w... ] (6) (7) (8) (9) (5) şeklide yazılabilir. Deklem (9), Model I i; Deklem (5) ise Model II yi temsil etmektedir. Hesaplamalarda kullaıla sıır koşulları aşağıdaki şekilde yazılabilir: Kosol: W () Φ () (5) kw ( k) Φ ( k) (5) 7

6 kφ ( k) (53) Sabit Meset-Basit Meset: W () Φ () (5) Wk (55) kφ ( k) (56) Model I içi kosol sıır şartıı temsil ede DTM çözümleri aşağıda verimiştir. Hesaplamalarda χ, r.5, α, S Ø olarak alımıştır. W () Φ () (57) W() c, () c Φ (58) Burada deklem (57) sol sıır şartıı temsil etmektedir. W () ve Φ () değerleri bilimeyelerdir (deklem 58). Bu durumda, k,3,... içi W () ve Φ () değerleri µ, c ve c ciside elde edilebilir. Çalışmada bu değerler, Mathematica programı yardımıyla hesaplamıştır. W() c W c µ (3).6667 ( ) W c µ () ( ) c Φ () Φ c + µ (3) (59 ) Φ 8 c + µ M () ( ) burada c ve c sabitlerdir. Tüm W () i ve Φ ( i) terimlerii sıır şartı taımlarıda yerie koyarsak, öreği deklem (5) ve (53) de, aşağıdaki deklem elde edilir: ( ) ( ) A c + A c, j,,3,.. (59) j µ j µ burada A ( ) j j ( ) µ, A µ µ ü poliomlarıdır. Deklem (59) matris formuda yazılırsa: A ( µ ) A ( µ ) c A( µ ) A( µ ) c elde edilir. (6) Deklem (6) da elde edile özdeğer deklemi aşağıdaki şekildedir: A ( µ ) A ( µ ) A ( µ ) ( µ ) (6) A Deklem (6) çözüldüğüde, µ µ j j,,3,.. deklemi elde edilir. Burada µ j, ye bağlı j. özdeğerdir. i değeri aşağıdaki deklemde elde edilir. ( ) j j µ µ ε (6) burada ε toleras parametresi olarak taımlamıştır. Deklem (6) çözüldüğüde µ j j. özdeğer ola µ j elde edilir. Geellikle kompleks formdadır ve µ j aj + ibj şeklide yazılabilir. Saal kısım ola b j küçük bir değer olduğuda bu değer ihmal edilebilir. Bu durumda j. doğal frekas elde edilir. Bu çalışmada 5 olarak alımıştır. 6 SAYISAL ÖRNEKLER Çalışmada, çeşitli sıır şartlarıa ait çözümleri elde etmek amacıyla Mathematica programı kullaılmıştır. İlk örekte, zemie gömülü bir boruyu temsil e- de Wikler zemiie otura Euler-Beroulli kirişii farklı sıır şartları içi titreşim aalizi icelemiştir. Elde edile souçlar Che () tarafıda DQEM yötemiyle yapıla çalışmaı souçlarıyla karşılaştırılmıştır. Che, çalışmasıda IEAρλ kabul etmiştir. Tablo 3 te, basit mesetli bir kiriş içi her iki çalışmada elde edile ilk üç doğal frekas değerleri, kesi souçlar ile karşılaştırılmıştır. DTM yötemiyle yapıla hesaplamalar ile kesi souçlar arasıda çok büyük bir uyum olduğu belirlemiştir. Tablo ve Tablo 5 te sırasıyla sabit mesetli ve kosol kirişler içi elde edile ilk beş doğal frekas değerleri suulmuştur ve yie kesi souçlar ile oldukça uyumlu souçlar elde edildiği görülmüştür. İkici örekte, gömülü bir boruyu modelleye Pasterak zemiie otura bir Timosheko kirişi icelemiş ve hesap souçları De Rosa (995) tarafıda yapıla çalışma souçları ile karşılaştırılmıştır. Şekil 3 te basit mesetli bir kirişi α, r.5, 8

7 S w S φ ve.5 içi ilk boyutsuz frekas değerleri görülmektedir. Model I ve II arasıdaki fark, küçük χ değerleri içi daha belirgidir. Büyük χ değerleri içi µ, Euler-Beroulli sıır durumua karşılık gelir. Şekil te ayı eğriler α ola kosol kiriş içi verilmiştir.bu durumda da küçük χ değerleri içi fark daha yüksektir. Tablo 6-9 da, kosol kiriş içi K TR, sabit meset-basit meset içi K TR ola sıır durumları içi boyutsuz frekaslar verilmiştir. Tablolarda Model I ve Model II içi ilk beş doğal frekas değeri verilmiştir. Diğer souçlara bezer şekilde, çok yakı souçlar elde edilmiştir. Tablo 6. Sabit Mesetli-Basit Mesetli (KTR) (Model I) χ r.5 α Sφ DTM M. A. De Rosa Tablo 7. Sabit Mesetli-Basit Mesetli (KTR) (Model II) χ r.5 α S w DTM M. A. De Rosa Şekil 3. Basit Mesetli kiriş (α ve r.5). χ i foksiyou şeklide ilk boyutsuz frekas. Tablo 8. Kosol (KTR) (Model I) χ r.5 α Sφ DTM M. A. De Rosa Tablo 9. Kosol (KTR) (Model II) χ r.5 α S w DTM M. A. De Rosa Şekil. Kosol kiriş (α ve r.5). χ i foksiyou şeklide ilk boyutsuz frekas. Tablo 3. Wikler zemiie otura basit mesetli bir kirişi doğal frekasları Yötem ω ω ω3 DTM DQEM Kesi Souç Tablo. Wikler zemiie otura sabit mesetli bir kirişi doğal frekasları Yötem ω ω ω3 ω ω5 DTM DQEM Tablo 5. Wikler zemiie otura kosol kirişi doğal frekasları Yötem ω ω ω3 ω ω5 DTM DQEM SONUÇLAR Bu çalışmada, DTM yötemi kullaılarak elastik zemie otura bir boruyu temsil ede Euler- Beroulli ve Timosheko kirişlerii serbest titreşim frekaslarıı belirlemek hedeflemiştir. Yapıla hesaplamalar soucuda yukarıda tarif edile problemleri çözümüde DTM yötemii kullaılabileceği belirlemiş ve elde edile souçları, örek makaleleri souçları ile çok yakı olduğu görülmüştür. REFERANSLAR Wikler, E., 867. Die lehre vo der elastizität ud festigkeit Filipich, C.P. ve Rosales, M.B.,.A further study about the behaviour of foudatio piles ad beams i a Wikler Pasterak soil, Iteratioal Joural of Mechaical Scieces. 36. Ayvaz, Y. ve Özga, K.,. Applicatio of modified vlasov model to free vibratio aalysis ofbeams restig o elastic foudatios., Joural of Soud ad Vibratio. 55 (),

8 Coşku, İ., 3. The respose of a fiite beam o a tesioless Pasterak foudatio subjected to a harmoic load, Europea Joural of Mechaics A/Solids, 5 6. Albert, P. ve Kovacs, M., 3. Modellig of reiforced soil, Periodical Polytechica Ser. Civ. Eg. 7(), Doyle, P.F. ve Pavlovic, M.N., 98. Vibratio of beams o partial elastic foudatios, Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics. 3, Pavlovic, M.N. ve Wylie, G. B., 983. Vibratio of beams o o-homogeous elastic foudatios, Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics., Eiseberger, M., Yakelevsky, D.Z., Clastorik, J., 986. Stability of beams o elastic foudatios, Comput. Struct., 35. Clastorik J, Eiseberger M, Yakelevsky D.Z., Adi, MA., 986. Beams o variable Wikler foudatio. Joural of Applied Mechaics ASME, 53, Eiseberger M, Clastorik J., 987. Vibratios ad bucklig of a beam o variable Wikler elastic foudatio. Joural of Soud ad Vibratio;5:33. Dig, Z., A, 993. Geeral Solutio to Vibratios of Beams o Variable Wikler Elastic Foudatio, Computers ad Structures. 7, Farghaly, S.H. ve Zeid, K.M., 995. A exact frequecy equatio for a axially loaded beam-mass-sprig system restig o a Wikler elastic foudatio, J. Soud Vib., Filoeko-Borodich, 9. Some approximate theories of elastic foudatio. Ucheyie Zapiski Moskovskogo Gosudarstveogo Uiversiteta, Mekhaica. 6, 3 8 [i Russia]. Pasterak, P.L., 95. O a ew method of aalysis of a elastic foudatio by meas of two foudatio costats, Gos.Izd. Lip. po Strait i Arkh. Moscow (i Russia), Vlasov, V.Z., Leotiev, U.N., 966. Beams, plates, ad shells o elastic foudatio. Jerusalem: Israel Program for Scietific Traslatios (traslated from Russia) Fraciosi C., Masi A., 993. Free vibratios of foudatio beams o two-parameter elastic soil, Computers ad Structures, 7, 9 6. De Rosa M.A, Maurizi M.J., 998. The ifluece of cocetrated masses ad Pasterak soil o the free vibratios of Euler beams-exact solutio, Joural of Soud ad Vibratio, (), Rao, G.V., 3. Large-amplitude free vibratios of uiform beams o Pasterak foudatio, Letter to the Editor, Joural of Soud ad Vibratio, 63, Wag, C.M. Lam, K.Y., He, X.Q., 998. Exact solutios for Tiomosheko beams o elastic foudatios usig Gree s fuctios, Mech. Struct. Mach. 6, 3. El-Mously, M., 999. fudametal frequecies of timosheko beams mouted o pasterak foudatio, Joural of Soud ad Vibratio. 8(), Kargarovi, M.H., Youesia, D.,. Dyamics of Timosheko beams o Pasterak foudatio uder movig load, Mechaics Research Commuicatios, 3, Zhou, J.K., 986. Differetial trasformatio ad its applicatio for electrical circuits, Huazhog Uiversity Press, Wuha, PR Chia. Che, C.N.,. Vibratio of prismatic beam o a elastic foudatio by the differetial quadrature elemet method, Comput. Struct, 77, 9. De Rosa M.A Free vibratio of Timosheko beams o two-parameter elastic foudatio. Computers ad Structures, 57(),