Cebir Notları. Fonksiyon Türevleri Mustafa YAĞCI,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir Notları. Fonksiyon Türevleri Mustafa YAĞCI,"

Transkript

1 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Fonksion Türevleri Giriş. İleri matematiğe girişin ilk adımlarının atıldığı şu anlarda, türev konusunun çok önem arz etmekte olduğunu atırlatarak, azami özen göstermenizi rica edeceğim. Ben de sizlere ardımcı olmak, ani anlaşılabilir olmak adına azımıza bir örnekle başlaaım: Eizde satmak için aldığımız bir mal var. Gelirimizi bu malı satarak sağlıoruz. Gün gelior gelirler etmior, tavsieler üzerine, daa çok satabilmek için gazetelere, televizonlara ilanlar verioruz, bakıoruz ki gerçekten reklam etkili bir şemiş, satışlar gitgide artıor. Sevinioruz, kaz gelecek erden tavuk esirgenmez misali, reklam giderlerimizi daa çok artırıoruz, satış gelirlerimizdeki artış reklam giderlerimizdeki artıştan kat be kat fazla Nazar değmesin! Biz, şimdi bu olaa matematiksel anlam kazandıracağız. Reklam giderlerine, satış gelirlerine dediğimizi farzede. Hikaee göre değeri ten çok daa ızlı büüdü için ile arasında birinci dereceden değil, en azından ikinci dereceden bir ilişki olduğunu sezip, + + olsun die. Hiç reklama para arcamasak da satıştan az da olsa bir gelir elde ettiğimiz için, i daima pozitif bir fonksiona eşitlediğimize dikkat edin. Sözgei, için f() oluor. Hemen orumlaalım: Reklam giderlerine lira arcarsak, satış gelirleri 8 lira oluor demek, ama bu er zaman 6 katı olur demek değil! O alde şunu merak edioruz:, in değil ama deki artış deki artışın acaba bir katı mı? Değilse bile, belli lere çok akın değerler de bir katı mı? Buna cevabımız evet! Artışı, alsak, + +,, ve + f( + ) f(,) 9,6 + 6, + 8,8 olur ki, iken,8 çıktı. te, in 8, katı çıktı. Peki, deki artış daa az olsadı n olurdu? Yani için / in kaça aklaştığını merak edioruz. Yazım kolalığı açısından die. + + ve + f( + ) f( + ) ( + ) +.( + ) , f( + ) f() olduğundan + 8 olur. Anlaacağınız ani için ( + 8) 8 çıkar. O alde iken e sıfıra çok akın bir artış aparsak, deki artış deki artışın 8 katı olacak. İşte bu 8 saısına f() kuralıla belirlenmiş f fonksionunun teki türevi diecek ve bunu f () 8 azarak göstereceğiz. Türevin matematiksel tanımı. f() kuralı ile tanımlı bir fonksionun a daki türevi f ( ) f ( a) f (a) a a olduğundan, a aldığımızda, a için die f ( a+ ) f ( a) f (a) olarak tanımlanır.

2 f() ile belirli fonksionun türevi f () ile gösterildiği gibi d, d, d ( f ( d )) ile de gösterilebilir. Örnek. f: f() + + fonksionunun em teki em de erangi bir reel saı değerindeki türevini bulalım. Çözüm: Önce teki türevini bulacağız. f ( ) f ( a) f (a) a tanımında a erine a azacağız, olacak bitecek. f ( ) f () f () + + ( + + ) + olup, / belirsizliğini gidermek için, kesirli ifadei çarpanlarına aırıp sadeleştire: ( + ) ( ) f () 8 çıkar. Şimdi de erangi bir reel değerine göre fonksionunun türevini bulalım. f ( a+ ) f ( a) f (a) tanımında a erine azacağız: f ( + ) f ( ) f () ( + ) + ( + ) + ( + + ) (+ + ) +. f fonksionunun türevinin kuralı ortaa çıktığından ilk soruu da artık bu kuralı kullanarak bulabiliriz. Bakın: f () + olduğundan f () Örnek. f: f() fonksionunun için türevini bulalım. f ( ) f ( a) Çözüm: Yine f (a) a tanımında a erine azacağız, olacak bitecek. a f ( ) f () f () olup, + ve, ani soldan it sağdan ite eşit olmadığından iti oktur, o alde fonksionun için türevi de oktur. Burada kanıtsız olarak şu ususu belirtmekte fada var: Bir fonksionun bir noktada türevi varsa, o fonksion mutlaka o noktada süreklidir ancak ukardaki örnekte görüldüğü gibi o noktada sürekli olduğu alde o noktada türevi olmaabilir. Türevlenebilirlik. Bir f() kuralıla belirlenmiş bir fonksionu a noktasında türevli ise süreklidir, sürekli ise de iti vardır ama bu önermelerin karşıtı doğru değildir. Yani, it varsa süreklidir diemeiz, olabilir de olmaabilir de, süreklise de türevinin olduğunu garanti edemeiz, olabilir de olmaabilir de. Türevi varsa süreklidir önermesinin karşıt-tersi de doğrudur: Süreksizse türev oktur. Anlaacağınız, örneğin, tamdeğer fonksionları da tamsaı değerlerinde süreksiz olduğundan bu fonksionların bu noktalarda türevsiz olduğunu söleebiliriz. Yetmedise başka örnek vere: İşaret fonksionu [sgn()] da da süreksiz de, o alde o da noktasında türevsizdir. Türevlenebilirlik, tek değişkenli reel değerli bir fonksion için kabaca o fonksionun sürekli ve grafiğinin "kırılmasız" olmasına karşılık gelen bir özelliktir. Böle bir f fonksionu ve bir a reel saısı için, eğer f ( a+ ) f ( a) iti varsa, o zaman f fonksionu a noktasında türevlenebilirdir denir. Eğer f er reel a değerinde türevlenebilirse, o zaman f fonksionu için sadece "türevlenebilir" ifadesi kullanılır. O Türevlenebilir bir fonksionun grafiği.

3 O buğdaın fiatının (B), ekmeğin fiatına (E) göre db nasıl değiştiğini, ekmeğin fiatının buğdaın de de fiatına göre nasıl değiştiğini de verir. db 'da türevli olmaan bir fonksionun grafiği. Türevlenebilir Olmaan Fonksionlar Mutlak değer fonksionu noktasında türevli değildir. Nedeni, 'da türevi tanımlaan + itinin bulunamamasıdır. Diğer er noktada türevlidir. fonksionu da 'da türevli olmaıp başka er erde türevli olan bir fonksiondur. Bu fonksionun 'da türevlenebilir olmaışının nedeni + itinin, ani sonsuz olmasıdır. Dolaısıla mutlak değer fonksionunun grafiği noktasında kırıkken, fonksionunun grafiği 'da da kırılmasızdır. Türevin anlamı. Biraz önce f() + + fonksionunun türevinin f () + olduğunu bulmuştuk. Hatta f () 8 olduğunu da. Bunu şöle orumlamıştık: iken e sıfıra çok akın bir değişim ugularsak, deki değişim, deki değişimin 8 e çok akın bir katı olur. Ama bu er zaman 8 katı olur demek değildi, iken böle olur demekti. iken de e sıfıra çok akın bir değişim ugularsak, deki değişim, deki değişimin + e çok akın bir katı olur. Genel olarak, deki değişikliğin deki değişikliğin kaç katı olduğunu söler. Öle olmasa da d d ifadedeki d arfini değişim olarak algılarsanız ii olur. Bu ifade, matematikte nin e göre türevi demektir. Benzer şekilde deki değişikliğin, deki değişikliğin kaç katı olduğuna da, d d ani in e göre türevi cevap verir. Örneğin, Bu değerler pozitif olduğunda padadakinin fiatı arttığında padakinin de fiatının arttığını anlarız, negatif olduğunda padadakinin fiatı arttığında padakinin fiatının azaldığını anlarız. Peki a sıfır olursa? O zaman padakinin fiatı sabit demek olur. Eğer değişkenin biri ol (), diğeri de zaman (t) d ise, olun zamana göre nasıl değiştiğini ile, dt ani olun zamana göre türevine bakarak anlarız. Fizikte bu ifadee anlık ız die özel bir isim takılır ve v ile gösterilir. Hızın zamana göre türevini de verir ki, fizikte buna da anlık ivme dv dt denir ve a ile gösterilir. Türevin geometrik anlamı. Tanım olarak f() nin e göre türevi, idi. Şimdi bu f fonksionunun grafiğini çize. Üzerinde angi noktaı alırsak alalım, o noktada fonksionun türevini bulabile die sürekli bir şe çize ama. f(+ ) T f() θ O A θ f() B + C Bu fonksion üstünde ukardaki gibi A(, f()) ve B( +, f( + )) noktalarını işaretleim. Bir eğri üzerinde alınan değişik iki noktaı birleştiren doğru parçasına, o eğrie ait bir kiriş dendiğini atırlaarak, AB kirişinin eğiminin m AB tan (BTO) tan (BAC) tan θ o olduğunu görünüz. Şekilden için B nin eğri üzerinde devamlı A a aklaştığını ve sonunda böle bir durumda AB kirişinin, fonksiona A noktasında teğet olan bir doğrua dönüşeceğini fark ediniz.

4 İşte bu üzden, Bir fonksionun erangi bir noktasındaki türevi, fonksiona o noktada teğet olan doğrunun eğimidir demekte bir mazur oktur. O alde f () 8 eşitliği, bu anlamda, f nin üstünde apsisi olan noktadan f e çizilen teğetin eğimi 8 dir demek olur. f() O normal A teğet Yukardaki bilgi saesinde bir eğrinin üzerindeki bir noktadan eğrie çizilen teğetin ve normalin denklemi kolalıkla bulunabilir. A(, ) noktasından geçen ve eğimi m olan bir doğrunun denkleminin m.( ) olduğunu bilioruz. Teğetin eğimi m T f ( ) olduğundan, normalin eğimi de m N oldu- m T f '( ) ğundan teğetin denklemi m T ( ) ve normalin denklemi m N ( ) şeklindedir. Örnek. Denklemi f() + + olan eğrinin üzerindeki (, p) noktasından eğrie çizilen teğetin ve normalin denklemlerini bulunuz. Çözüm: (, p) eğrinin üzerinde olduğundan eğrinin denklemini sağlaması gerekir, o alde +. + p 8 tir. Teğetin eğimi m T f () 8 olduğundan teğet denklemi 8 8 ( ) ani 8 6 dır, arıca normalin eğimi m N olduğundan normalin denklemi de 8 ( ) ani dir. m T f '( ) 8 8 Görüldüğü gibi türevin, bir değişkenin bir diğer değişkene göre nasıl değiştiğini ve bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak gibi temel iki görevi vardır. Türev, bu bakımdan işletme, müendislik, gibi dallarda çok sık olarak kullanılır. Ancak türevin tanımından giderek bulunuşu biraz zaman almaktadır. Bundan dolaı türevle ilgili çalışma şekizi şimdi biraz değiştireceğiz. Şu ana kadar bir fonksionunun tü- revinin nasıl bulunduğunu gördük, şimdi bu gördüklerimi sürei kısaltmak adına kurallaştıracağız. Başlarken sadece polinom denklemler ve üslüköklü fonksionlar üzerinde duracak, sinüs, kosinüs, logaritma, gibi cebirsel olmaan fonksionlar üzerinde durmaacağız. Daa sonraları cebirsel olmaan fonksionlarında türev alma kurallarını verecek, bölelikle er türlü fonksionun türevini alabilir olacağız. En sonda ise gösterdiklerimizin türlü türlü ugulamalarına bakacağız, öle a, nerde kullanacağını bilmediğin bilginin ne önemi var! İşte oralarda türevin önemini daa ii idrak edeceksiniz. Kuralları. Önce üslü ve köklü fonksionların türevlerini almaı öğreneceğiz. Yazının bundan sonraki bölümünde f() fonksionunun türevi denilince, aksi belirtilmediği sürece nin e göre türevi anlatılmak istenmektedir. Hatta bu d bazen kısaca, vea f () azılarak gösterile- d cektir. f() a. n fonksionunun türevi. a ve n birer reel saı olmak üzere, a n ise n a n Aşağıda buna ait örnekler bulacaksınız:. ise,. ise,. ise,. ise / olduğundan,. ise / olduğundan 8 8, 6. ise / olduğundan, 7. ise olduğundan, 8. ise, 9. ise. A daki teğete A noktasında dik olan doğrua, eğrinin A daki normali denir. Kanıtsız olarak verdiğimiz bu teoremi ilerde kanıtladık, isteen türev tanımından da kanıtlamaa çalışabilir.

5 Uarı. Çok sık kullanıldıkları için aşağıdakileri emen afızanızı kadedin. ise, ise, a ise, (a ) a ise a. (a ) Sabitin türevinin sıfır olduğuna dikkat ettiniz değil mi? Benzer şekilde (sin 7 o ), (e ), (ln ),, (log 7), 7, Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() 7 7 () 7 o 7+ tan f () Toplam vea farkların türevi. Bir toplamın (vea farkın) türevi, toplamı (farkı) oluşturan fonksionların toplamın (farkına) eşittir. Yani, f() + g() () ise f () + g () (). Aşağıda buna ait örnekler bulacaksınız:. + ise 6,. + + ise + +,. + + ln ise +. Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() sin o f () Örnek. f() + ile tanımlı f fonksionunun + doğrusuna paralel olan teğetinin değme noktasını bulunuz. Çözüm: Paralelliğin sonucu olarak, + doğrusunun eğimi olduğundan teğetin eğimi de olur. Teğetin değme noktası (a, f(a)) ise eğimi f (a) olur. f () olduğundan f (a) a, dolaısıla a bulunur. O alde f(a) f() + olduğundan değme noktası (, ) dir. 6 Örnek. Denklemi f() olan eğrinin, apsisi olan noktasındaki teğetinin eğim açısının öl- çüsü kaçtır? Çözüm: f () olduğundan f () olur. Bu değer teğetin eğimi olduğundan eğim açısının ölçüsü o olmalıdır. Örnek. Hareket denklemi t t olan bir areketlinin arekete başladığı andan sanie son- raki ızını ve ivmesini bulunuz. Çözüm: Her zamanki gibi ızı v, ivmei de a ile d göstere. v ( t t ) t ve t dt olduğundan tam o andaki ız v 8 m/sn Soruda uzaklık anlamında olup metre cinsinden, t de zaman anlamında olup sanie cinsindendir.

6 dv dir. Diğer andan a ( t ) t olduğundan o andaki ivme a 6 m/sn dt olur. Bir çarpımın türevi. u f(), v g() ve w () kuralı ile belirli fonksionlar verildiğinde u v ise u v + v u olur. Bunu bir çarpımın türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, artı, ikincinin türevi çarpı birinci die akılda tutarız. Türev alma konusunda çok önem arz eden bu teoremi kanıtlaarak başlaalım: Teorem. [f() g()] f ( ) g ( ) + g( ) f ( ). Kanıt: Yine türev tanımını kullanacağız. d [f() g()] f ( + ) g( + ) f ( ) g( ) d g( + ) g( ) f ( + ) f ( ) f ( + ) + g( ) f ( ) g ( ) + g( ) f ( ) Benzer şekilde; u v w ise u v w + u v w + u v w olur. Bunu da üçlü çarpımın türevi, birincinin türevi çarpı diğerleri, artı, ikincinin türevi çarpı diğerleri, artı, üçüncünün türevi çarpı diğerleri şeklinde aklınızda tutabilirsiniz. İkili çarpımın türevini kullanarak bunu da raatlıkla kanıtlaabilirsiniz. Üçlü çarpımın kanıtı: u v w eşitliğini (u v) w gibi düşüneceğiz. (u v) w + w (u v) (u v + v u) w + w (u v) u v w + u v w + u v w Örnek. n ise n n olduğunu kanıtlaınız. Çözüm: Kanıtımız biraz önce kanıtladığımız çarpımın türevi teoremini ve tümevarımı kullanacak. n için doğru olduğu su götürmez. O alde n ise n n önermesini doğru kabul ederek n+ ise (n + ) n olduğunu gösterebilirsek işimiz bitmiş olacak. n+ n n n- + n n n + n (n + ) n Ama bu kanıt sadece n doğal saıları için teoremin doğruluğunu kanıtladı bize, a n rasonelse? 6 Korkmaın, o zaman da sağlar ama şu an ki bilgilerle onu bu şekilde kanıtlaamaız, kapalı fonksionların türevi konusunda onu da kanıtladık. Örnek. ( + ) ( ) ise nedir? Çözüm: İki ol göstere. Birinci ol. Çarpımın türevinin kuralını ezberlemiştik: ( + ) ( ) + () ( + ) toplamı düzenlenirse + bulunur. İkinci ol. + olduğundan + bulunur. Örnek. a bir reel saı olmak üzere, a n için değerini çarpımın türevi kuralını kullanarak bulunuz. Çözüm: n + n n a olduğundan n a n olur. Örnek. ise değerini çarpımın türevi kuralını kullanarak bulunuz. Çözüm: Bu ifadei ikili çarpım gibi de düşünebiliriz, üçlü çarpım gibi de. Birinci ol. die + olur. İkinci ol. die + + olur. Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() 7 ( + ) ( 7 + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f () Örnek. doğrusu f fonksionunun grafiğine (, b) noktasında teğettir. g() f () ile tanımlı g fonksionunun apsisi olan noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? Çözüm: (, b) noktası f fonksionunun üzerinde olduğundan b ani b dir. Yani f() miş. Diğer andan f fonksionunun teğetinin eğimi, doğrusunun eğimi olacağından İnanmaan vea sabredemeen türev tanımını kullanarak kanıtlaabilir.

7 f () dir. g fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi de g () olduğundan g () kuralını bulup, erine azmalıız. g() f () g () f () + f() f () g () f () + f() f () + 6 Bir bölümün türevi. u f() ve v g() ile belirli fonksionlar verildiğinde, u u v v u ise v v olur. Bunu, bir bölümün türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, eksi, ikincinin türevi çarpı birinci, bölü, ikincinin karesi die akılda tutarız. Bölüm türevi de çarpım türevi kadar önemlidir. Çarpıma aptığımız kanıtın anısını ugulaarak bu eşitliği kanıtlamanızda fada var. + Örnek. ise değerini bulunuz. + Çözüm: Hemen bölüm türevi kuralını ugulaalım: ( + ) ( + ) ( ) ( + ). ( + ) Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() f () Bölüm türevinde pratik bir ol. Göstereceğimiz bu ol ikinci dereceden polinom denklemlerin bölümlerinin türevlerile ilgilidir. Diğer dereceden ifadelere de ugulanabilir, onu size alıştırma olarak bırakalım. a + b+ c ise değerini bir esaplaalım d + e+ f bakalım: (a+ b)( d + e+ f ) (d+ e)( a + b+ c) ( d + e+ f ) çıkar. Ben sizin erinize düzenledim: ( ae bd) + ( af dc) + ( bf ec) ( d + e+ f ) çıktı. Matris ve determinant konusunu bilir misiniz bilmem. Bilenler ae bd, af dc ve bf ec değerlerinin nelerin determinantı olduğunu emen anlamışlardır. Bilmeenlere de kn ml ta- k l m n nımını vererek 6, olaı iza ede: Türevin paında a b nin katsaısı, in kat- d e a c b c saısı., sabit terim ise oluor. Bu d f e f saıların nasıl seçeceğini anlatacak deği, değerinden bunu anlaamaacak adam olduğuna inanmıorum. + Örnek. ise değerini bulalım Çözüm: ( + ) 7 6 olduğundan, esap apılırsa ( + ) bulunur. Uarı. Birinci dereceden polinom denklemlerin bölümlerile ilgili pratik kuralı da daanamaarak veriorum: a b a+ b c d ad bc ise. c+ d ( c+ d) ( c+ d) a + b Örnek. f() denklemi ile belirli eğrinin (, ) noktasındaki teğeti, denklemi + + olan doğrua dik olduğuna göre a ile b i bulunuz. Birinci pa, ikinci pada manasında kullanılmıştır. 7 6 İlerde bu ifadee ikinci mertebeden determinant dieceğiz.

8 a+ b Çözüm: f() olduğundan ani a + + b 8 dir. Bu kenarda beklesin. + doğrusunun eğimi / olduğundan bu doğrua dik olan doğrunun eğimi tür. Buradan anlaşılıor ki, f (). a + a 6b f () olduğundan f () (+ ) a+ a 6b ani a 6b 6 olur. İlk bulduğumuz eşitlikle bunu birlikte çözersek a ve (+ ) b / olarak bulunur. Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() f () Parçalı fonksionların türevleri. Parçalı fonksion die nee dediğimizi biliorsunuz değil mi? Değişik aralıklarda değişik fonksionmuş gibi davranan fonksionlara. Şimdi böle fonksionların türevlerine örnekler vereceğiz., < Örnek. f:, f() +, <, olarak tanımlanıor. Buna göre f ( ), f () ve f (7), f () ve f () değerlerini bulunuz. Çözüm: Fonksionun içinde bulunduğu aralıkta davrandığı kurala göre türevler alacağız. (, ) [, ) [, ) f() + f () 8 Yukardaki tablodan da anlaşılacağı üzere; f ( ) ( ) 7, f (), f (7) 8 7 6, ve için fonksionun kuralları belli ama bu noktalarda fonksion süreksiz olduğundan türevi oktur. 8 Burada şöle bir soru akla gelebilir: O noktalarda, örneğin de fonksion sürekli olsadı, angisinin kuralına göre türev alacaktık? Söleeim: Eğer türev kuralları anı değilse (ki burada ve olarak farklılar), ine türev oktur diecektik, bitecekti. Aşağıdaki tablou doldurunuz. f f () f () f (), f(), >, f() + 8, > Türev almada zincir kuralı. nin türevinin olduğunu bilioruz. Ama ( ) nin türevi için ( ) diemeiz. Çünkü gerçekte 6 + olduğundan 6 olmalıdır. ( ) nin türevini alırken ifadei açacağımıza değişken değiştirerek de çözebiliriz. Şöle ki: u olsun. u d olup, u u du ( ) çıkar. Bu ifadei u nun e göre türevile çarparsak, ki bu u dir, d du. ( ) 6. du d Şimdi burada aptığımız işlemleri genelleeceğiz: u f(), g(u) g(f()) olduğunda d d du vea u u d du d Bu kurala türev almada zincir kuralı denir. Bunu akılda tutmak için eşitliğin sağ tarafındaki du ların sadeleştiğini düşünürüz. Örnek. ise nedir? 7 + Çözüm: derken nin e göre türevi nin kastedildiğini bilioruz, ani soruluor. d d 7 + u olsun. u / olur ki; d du olur. Diğer andan + du u d olduğundan, d d du ( + ) d du d u

9 (7 + ) ( + ) Zincir kuralıla birlikte f() in türevinin kuralı bilinince f(nesne) nin türevini nasıl bulunacağı anlaşılmış oluor: [f(g())] f (g()) g () İlerde bileşke fonksionların daa büük mertebeden türevlerinin nasıl alınacağını da anlattık. f() ( + ) + + f () Örnekler. g () ise g () g () ( + 8) 6 ise 6 ( + 8) ( ) ise ( ) ( ) g () ise g () g( ) + ise ( + ) + ise g () g( ) g ( ) ise ( + ) + ( + ) Zincirleme türev alma kuralı değişken saısından bağımsızdır. Yani değişkeni u cinsinden, u değişkeni t cinsinden, t değişkeni m cinsinden, m değişkeni de cinsinden verilmişse, değişkenini cinsinden azabilir ve türevini alabiliriz. d d du dt dm... d du dt dm d azmakta bir mazur oktur. Örnek. u, u t +, t d + ise d değeri nedir? d d du dt Çözüm:.. olduğundan d du dt d d d ( t) ( ) u + ( + 6) ( + ) t + ( + 6) ( + ) ( + ) + Aşağıdaki tablou doldurunuz. d Yüksek mertebeden türevler. ifadesinin d nin e göre türevi demek olduğunu belirtmiştik. Bu ifade ( ) şeklinde de azılabilir. d d d Örneğin, ( + 7) azılımından ( + 7) in d d e göre türevi anlaşılmalıdır. Eğer ( t + 7t) dt olsadı, (t + 7t) nin t e göre türevi anlaşılmalıdı. Benzer şekilde ( t + 7t) azılımı da (t d d + 7t) nin e göre türevi olduğunu anlatır. d d ifadesinin ne anlattığını sanırım artık anlamış olmalısınız: nin e göre türevinin t e dt d d d göre türevi demek olur. azılımı da d d nin e göre türevinin e göre türevi anlamına gelir ki, buna biz nin e göre ikinci türevi d der ve vea ile gösteririz. d Örneğin, ise + 8 ve ( ) olur. Hatta ( ) 6 olduğunu da söleebiliriz. Daa da ileri giderek olduğunu da. Anlaacağınız üs olarak koduğumuz türev işareti bize ifadenin kaçıncı türevini almamız gerektiğini söler. Tabi, büük n saıları için bir ifadenin n ninci türevini azarken karışıklık aşanabileceği için bunu (n) olarak gösteririz. Buna ardışık türevler dendiği de olur. Yüksek mertebeden türev azılımlarını aşağıdaki tabloda gösterdik: 9

10 Fonksion f() Türevleri,,,, (n) n d d d d,,,, n d d d d f (), f (), f (),, f (n) () D, D, D,, D n Açık ve Kapalı fonksionlar. Bir f fonksionunda in görüntüsü olsun. Fonksion kuralı doğrudan doğrua f() biçiminde verilmişse, bu tür fonksionlara açık fonksion denir. Örneğin, +, sin + 9, gibi fonksionlar açıktır. Anlaacağınız, değeri cinsinden verilmiş olacak. Uarı. f () azılımı f() in karesi demektir. f() in ikinci türevi, f () () azılarak gösterilir. Benzer durum ve () azılımlarında da var! Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() Gıcıklık parala değil a, bazen nin e göre değil, in e göre em de ilk değil, ikinci vea üçüncü türevini sorarlar. Aklınızda olmasa da notlarınızda bulunsun: d, d d d d d d d d d, d d d d d d d d d d Arıca, bileşke fonksionlar için de ikinci ve üçüncü türev kurallarını kadede. İlk türevini öğrenmiştik zaten. u g() olmak üzere; [f (u)] u f (u) [f (u)] (u ) f (u) + u f (u) [f (u)] u u f (u) + (u ) f (u) + u f (u) Bu eşitliklerin epsini çarpımın türevi kuralından kanıtlaabilirsiniz, dolaısıla bunları da ezberlemenize gerek oktur. Fonksion kuralı, dolalı olarak ani ile arasında f(, ) biçiminde vea buna dönüştürülebilen bir bağıntı ile verilmişse, bu tür fonksionlara kapalı fonksion denir. Örneğin, +, 7, sin() cos() gibi fonksionlar kapalıdır. Bazı kapalı fonksionlar açık alde azılabilir fakat bazıları azılamaz. Demek istediğimiz şudur: + şeklindeki bir denklemde ne i cinsinden, ne de i cinsinden azmak mümkündür. Şu ana kadar açık fonksionların ve kapalı olsa da açık ale gelebilenlerin türevlerini almaı öğrendik, şimdi de açık alde azılamaan kapalı fonksionların türevlerini almaı öğreneceğiz. Kapalı fonksionların türevleri. + 7 gibi açık bir fonksionun e göre türevi alınırken apılan iş, er iki tarafın da e göre türevini almaktır, bölelikle + 6 bulunur. Bu fonksion bize açık değil de + 7 şeklinde verilsedi de er iki anın e göre türevini türevini alsadık olurdu. Şöle ki: + 6 olurdu ki + 6 çıkardı. Yani denklem kapalı da olsa açık da olsa, eşitliğin er iki anının e göre türevi alınır ve çıkan denklemden çözülür. Bir de pratik kural. Verilen ifadede tüm verilenler bir tarafa toplandıktan, ani f(, ) aline getirildikten sonra, önce bu ifadenin sabit gibi düşünülerek e göre türevi alınır, sonra sabit düşünülerek e göre türevi alınır. Bu iki ifade birbirine bu sırala bölünerek işareti değiştirilir. Kısacası, f (, ) f (, ) formülüle de bulunabilir. Örnek. + eşitliği ile belirli kapalı fonksionda nin e göre türevini bulunuz.

11 Çözüm : Özellikle açık ale gelebilen bir fonksion verdik ki işlemlerimizin sağlamasını apabile. Şimdi er iki tarafın e göre türevini alalım. Dikkat edin, burada e bir sabit saı gibi davranıp türevine demeeceğiz, e bir fonksion gibi davranmalıız, ki zaten öle olduğundan olmalıdır. Çözüm : + eşitliğini + aline getire. Önce i sabit bir saı gibi düşünüp, e göre türev alalım: 6. Şimdi de i sabit bir saı gibi düşünüp, e göre türev alalım:. Bunları bu sırala birbirine bölüp, ters işaretlisini alırsak; buluruz. 6 + Örnek ise nedir? Çözüm : Şimdi tamamen kapalı 7 olan bu fonksionda nin e göre türevini bulacağız. Her iki tarafın e göre türevini bir alalım bakalım eşitliğinden bulunur. + Çözüm : Formülü kullanacağız. f (, ) +. f (, ) + Örnek. + 7 eğrisine üzerindeki (, ) noktasından çizilen teğetin eğimini bulunuz. Çözüm: Teğet eğiminin nin e göre türevi olduğunu artık adınız gibi biliorsunuz. Her iki tarafın e göre türevi alınırsa, bulunur ki ve değerleri erlerine azılırsa bulunur. 8 Örnek. + denklemi ile belirli eğrie, üzerindeki (, ) noktasından çizilen teğet ve normal denklemlerini bulunuz. Çözüm: Teğetin eğimini bulmak için e göre türev alalım: + olduğundan / çı- kar. Noktamız (, ) olduğundan m T / olarak bulunur. Teğet denklemi ise (/).( + ) düzenlenirse olarak bulunur. Normal denklemini azmak için de önce normalin eğimini bulalım. m N / olduğundan normal denklemi de ( /).( + ) düzenlenirse / olarak bulunur. Örnek. ( ) + anının da türevini alınız. Çözüm: ( ) + ( ) + Aşağıdaki tablou doldurunuz. f(, ) eşitliğinin er iki Daa önce n fonksionunun n doğal saıları için türevinin n n olduğunu kanıtlamış ve ilerde n rasonel olduğunda da doğru olduğunu iddia etmiştik. Şimdi bunu kanıtlama vakti geldi. n nin q p gibi bir rasonel saı olduğunu düşünüoruz. Teorem. p q ise p p q. q p q Kanıt: ise q p olur. Eşitliğin er iki anının e göre türevi alınırsa, q q p p p p q q p q p q p p q p ( q ) q p q p q q p + p p q p 7 Açık alde azılamaan kapalı fonksion manasında

12 Mustafa Yağcı Eğrilerin parametrik denklemleri. Bir eğrinin üzerindeki er (, ) noktasının apsisile ordinatı ani ile si arasındaki ilişkie, eğrinin denklemi dendiğini bilioruz. Örneğin, +,, +, ep birer eğri denklemidir. Bazen ile arasında doğrudan bir ilişki verilmez, bunun erine bu değerlerin er ikisi de adına parametre dediğimiz bir üçüncü değişken cinsinden, ani dolalı olarak verilir. İşte böle bir parametree bağlı olarak verilen ve değerlerile kurulan denkleme eğrinin parametrik denklemi deriz. Şöle bir şedir ani: A insanı B insanından cm uzundur deneceğine şöle denmiş: A insanı C den cm uzun ama B insanı C den cm uzun. A nın B den cm uzun olduğunu bizim bulmamız istenir. Bunu da sanırım epiniz bulabilirsiniz. Bir de matematiksel örnek vere: t + ve t eşitliklerinden t ler çekilir + ve eşitlenirse elde edilir ki, parametreden kurtulmuş oluruz. Başka bir örnek daa vere: + cos θ ve sin θ ise ile arasındaki bağıntıı bulmaa çalışalım. cos θ ile sin θ arasında aklımıza gelen ilk ilişki, kareleri toplamının olduğudur, er iki eşitlikten bu değerleri çeker de erlerine azarsak, ( ) + ( ) buluruz ki ine parametreden kurtulmuş oluruz. Tabii ki parametreden kurtulmak er zaman bu kadar kola olamaacağı için, parametrik denklemlerle işlem apmaı da bilmeliiz. Parametrik fonksionların türevleri. (t) ve g(t) şeklinde iki fonksion verildiği zaman 8 nin e göre türevi zincir kuralından ararlanılarak bulunur. Şöle ki: d d d dt d dt Formülü akılda tutmak için dt lerin sadeleştiğini düşünebilirsiniz. Örnek. t t + ve t + t olduğuna göre t noktasında eğrie çizilen teğetin eğimi kaçtır? 8 Burada t parametredir. Çözüm: t için ve 8 olduğundan, eğrie üzerindeki (, 8) noktasından çizilen teğetin eğiminin sorulduğunu anlıoruz. Tabi, bu işimize aramıor, sadece neler olup bittiğini anlaın die bulduk. d d dt t + d d t t dt olur. olup, t için d 9 d 7 Bir fonksionun tersinin türevi. Bir f :, f() fonksionunun bire-bir ve örten ise tersinin olduğunu ve f() f () azılabildiğini bilioruz. Bir fonksion ile tersinin türevleri arasındaki ilişkii şöle bulabiliriz: f () eşitliğinin er iki tarafının e göre türevini alırsak; (f ) () olur ki, bu da (f ) () f ( ) demek olur. Toparlarsak, f(a) b olan bire-bir ve örten f ve f - fonksionları için, (f ) () vea (f ) (b). f ( ) f ( a) Örnek. f:, f() + fonksionu verildiğine göre (f ) () kaçtır? Çözüm: f(a) b ise f (b) a olduğunu bilioruz. Diğer andan (f ) (b) formülünün kullanılması için b verilmiş olup, (f ) () ün f ( a) sorulduğunu anlıoruz. O alde f(a) a + olduğundan a olması gerekir ve bundan dolaı (f ) () dir. f () die f (), f () dolaısıla (f ) () olur. Örnek. f :, f() + fonksionu verildiğine göre (f ) () kaçtır? Çözüm : (f ) () olduğundan (f ) () f ( ) dir. Şimdi bunu cinsinden azmak gere-

13 kecek. + olduğundan ( ) / olur. Yerine azarsak, (f ) () ( ) ( ) buluruz ki, buna pek gözümüz alışık olmadığından düzenlersek, (f ) () ( ) olduğu çıkar. Ters fonksionların türevlerinin kuralı, bize, bir fonksionun tersinin türevini bulmak için önce fonksionun tersinin kuralını bulup, daa sonra türevinin almamıza iç de gerek olmadığını sölüor. Yapılması gereken iş, f fonksionunun b için türevi sorulduğunda, f fonksionunda b e gidenin türevini bulup, çarpmaa göre tersini almak olmalıdır. Ama tabii ki beğenmeen önce fonksionun tersini alır, sonra da türevini, kefe kalmış bir şe. Örneğin, aşağıdaki örnekte öle aptım. Örnek. f : + (, ) olmak üzere f() fonksionu verilior. (f ) () ve (f ) () değerlerini esaplaınız. Çözüm: f () + olduğundan (f ) () olur. O alde (f ) () CEBİRSEL OLMAYAN FONKSİYON TÜREVLERİ Fonksionlar çoğu kez cebirsel ve cebirsel olmaan fonksionlar die sınıflandırılır. Bu bölümde cebirsel olmaan; trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksionların türevlerini göreceğiz. Bundan önceki bölümde türevle ilgili görülen tüm tanım ve teoremler elbet bu bölüm için de geçerli olacaktır. Trigonometrik fonksion türevleri. Altı farklı trigonometrik oran olduğunu bilioruz. Şimdi sırasıla bunların türevlerini almaı öğreneceğiz. sin ve cos fonksionlarının türevini tanım ardımıla aptıktan sonra tan, cot, sec, csc fonksionlarının kanıtlarını türev teoremlerile apacağız: Teorem. f() sin ise cos. f ( + ) f ( ) Çözüm: f () sin( + ) sin.sin cos( + ) sin cos( + ) cos cos Teorem. f() cos ise sin. f ( + ) f ( ) Çözüm: f () cos( + ) cos sin sin( + ) sin sin( + ) sin sin Teorem. f() tan ise sec. sin Kanıt: (tan ) ( ) olduğundan bölümün türevi kuralından ardım istenirse, cos cos cos sin ( sin ) cos sec. cos Teorem. f() cot ise csc. cos Kanıt: (cot ) ( ) olduğundan ine sin bölümün türevi kuralından ardım istenirse, sin ( sin ) cos cos sin sin csc.

14 Teorem. f() sec ise sec tan. Kanıt: (sec ) ( ) cos (cos ) ( ).cos.( sin ) sin cos cos sec tan Teorem. f() csc ise csc cot. Kanıt: (csc ) ( ) sin (sin ) ( ) sin (cos ) cos sin sin csc cot Zincir kuralına göre sin(g()) in türevi de sin(g()) cos(g()) g () olur. Benzer şekilde tanımdan vea türev kurallarından diğer trigonometrik oranların türev kurallarını da çıkarabilirsiniz. Bilmeniz gerekenleri aşağıda listeledik: u g() olmak üzere;. sin cos sin u u cos u. cos sin cos u u sin u. tan sec tan u u sec u. cot csc cot u u csc u. sec sec tan sec u u sec u tan u 6. csc csc cot csc u u csc u cot u Hatırlatma. Yukardaki türev formüllerinde dikkat edilirse azılımları c arfile başlaanların (cos, cot, csc) türevleri ile başlamaktadır. Örnek. sin ile belirli fonksion için değerini esaplaınız. Çözüm: Soru sin u apısında olduğundan, cos Örnek. cos ile belirli fonksion için değerini esaplaınız. Çözüm: Soru cos u apısında olduğundan, ( sin ) Örnek. sin (cos ) ile belirli fonksion için değerini esaplaınız. Çözüm: Soru sin u apısında olduğundan, ( sin ) cos(cos ) Örnek. sin ile belirli fonksion için değerini esaplaınız. Çözüm: Soru u apısında olduğundan, sin cos Örnek. cos ile belirli fonksion için değerini esaplaınız. Çözüm: Soru u apısında olduğundan, ( sin ) cos Örnek. ile belirli fonksion için 7 tan değerini esaplaınız. 7 Çözüm: Soru u apısında olduğundan, (tan ) 7 7 Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() + sin sin( + ) cos cos( + + ) +.tan tan ( ) cot cot sin sec sec (/) cos + csc csc sec f ()

15 Ters trigonometrik fonksionların türevleri. Trigonometrik fonksionların bire-bir ve örten oldukları aralıklarda terslerinin olduğunu bilioruz. Sözgei, sin: [, ] [, ] fonksionunun tersi arcsin: [, ] [, ] ve sin o arcsin o. Teorem. arcsin ise. Kanıt: arcsin ise sin olur. Her iki tarafın e göre türevini alırsak, cos olur ki bulunur. cos sin ise sağdaki şekilden cos olduğu görülür. O alde olduğu kanıtlanmış cos olur. Zincir kuralına göre u g() için arcsin u ise u olduğunu da not edin. u Şimdi de diğer ters trigonometrik fonksionların türevlerinin kurallarını vere, onları da not edin. u g() olmak üzere; 7. arcsin arcsin u u u 8. arccos arccos u u u 9. arctan + arctan u u. + u. arccot + arccot u u + Hatırlatma. Yukardaki türev formüllerinde dikkat edilirse ine azılımları c arfile başlaanların fonksionların terslerinin (arccos, arccot) türevleri ile başlamaktadır. Örnek. arcsin( + + 7) fonksionunun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru arcsin u formatında olduğundan, ( + ). ( + + 7) Örnek. arccos(cos ) fonksionunun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru arccos u formatında olduğundan, ( sin ) ( sin ). cos sin Örnek. arctan fonksionunun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru u formatında olduğundan, + arctan Örnek. sin ( + arccot ) fonksionunun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru sin u formatında olduğundan, ( ) cos ( + arccot ) + Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() arcsin arcsin( + ) arccos arccos( + + ) + arctan arctan ( ) arccot arccot f () Logaritmik fonksionların türevleri. ln fonksionunun türevinin kuralı dir. ln log e olduğunu bilioruz. Taban buradaki gibi e değil de ugun bir a reel saısı ise loge ln log a. ln log a ln a ln a e

16 olur ki burada sabit bir saı olduğundan, ln a log a ln ln a ln a olur. Sonuç olarak logaritmik fonksionları türev kuralları için aşağıdaki listei oluşturabiliriz: u g() olmak üzere;. ln ln u u u. log a ln a log a u u ln a u Tabii ki, üstteki eşitliklerin epsi ugun koşullar altında, demek istediğim aslında ln olmalıdı, siz onu öle görün. Örnek. ln fonksionunun türevini bulunuz. Çözüm: Soru ln kalıbında zannedip de cevaba demein sakın. ln bir reel saı olduğundan fonksion bir sabit fonksiondur, onun için türevi sıfırdır. Örnek. ln( + 8 ) ile tanımlı fonksionda nin e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru ln u kalıbında olduğundan, ( + 8) + 8 Örnek. log ( + 8 tan ) ile tanımlı fonksionda nin e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru log a u kalıbında olduğundan, (6 + 8 sec ) ln + 8 tan Örnek. sin(ln ) ile tanımlı fonksionda nin e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru sin u kalıbında olduğundan, cos (ln ) + + a Örnek. ln( + + a) ile belirli eğrinin apsisli noktasındaki normali ekseni ile o lik açı aptığına göre a kaçtır? Çözüm: Normal ile teğet birbirlerine dik olduğundan, normal eksenile o lik açı apıorsa teğet ekseni o lik açı apar. O alde teğetin eğimi tan o olmalıdır. Anlaacağınız f () miş. f () (6 + ). olduğun- dan f () olmalıdır, o alde a. 8+ a Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() ln ln( + ) ln log log ( + + ) ln(sin ) ln(ln ) (arctan log ) f () Üstel fonksionların türevleri. f() fonksionunun türevi f () dir, ancak f() için f () değildir. Değişkenin üs olarak bulunduğu (, +7,, gibi) fonksionlara genel anlamda üslü (vea üstel) fonksionlar dendiğini bilioruz. e bağlı üstel fonksionların türevlerini alırken genel olarak önce eşitliğin er iki anının e tabanına göre logaritması (ln i) alınır, daa sonra eşitliğin er iki anının e göre türevi bulunur. a in türevi. Şimdi a gibi üstel fonksionların türevini almaı öğreneceğiz. Sölemee gerek var mı bilmiorum, burada tabii ki a saısı den farklı bir reel saıdır. a eşitliğinin er iki tarafının ln ini alırsak, a ln ln a ln a çıkar. Şimdi de er iki tarafın e göre türevini alalım: ln ln a ln a ln a a ln a 6

17 Mustafa Yağcı e in türevi. Üstte a gördüğümüz ere e azacağız. a a ln a olduğunu kanıtlamıştık. O alde e e ln e e. Şimdi öğrendiğimiz bu bilgileri de eski listemize eklee: Örnek. a ise a ln a olduğunu kanıtlaınız. ) olur ki soru e u forma- Çözüm: (a ) ( tına döner. e ln (ln a) a a e ln a ln a a {} ve u g() olmak üzere;. a a ln a a u u a u ln a. e e e u u e u 7 Örnek. + ile belirli fonksionun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru u kalıbında olduğundan, 7 ( + 7) + ln Aşağıdaki tablou doldurunuz. f() + + e f () Örnek. sin ile belirli fonksionun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru u kalıbında olduğundan, cos sin ln + Örnek. e ile belirli fonksionun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru e u kalıbında olduğundan, ( + ) e + Örnek. e ile belirli fonksionun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Soru e u kalıbında olduğundan, ( ) e e Örnek. türevini bulunuz. Çözüm: Soru e u kalıbında olduğundan, ( e ) e ile belirli fonksionun e göre e ) e e ( e ( e + ) Örnek. e + e e eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. Çözüm: Eşitliğin er iki anının e göre türevini alırsak; e + e e e + e e e Bunun için (, ) noktasındaki teğet eğimi için e m T e olup, teğetin denklemi de ( ) ( ) ani + bulunur. e tan arctan e e + e +9 e sin e Logaritma ardımıla türev alma. u (), v g() olmak üzere u v vea f () f () f () f n () gibi ifadelerin e göre türevleri alınırken logaritmadan ararlanırız. Yapılacak iş, önce eşitliğin er iki anının ugun logaritmasını alıp daa sonra türevi bulmaktır. Aşağıdaki örnekleri inceleiniz. Örnek. ise değerini bulunuz. Çözüm: Eşitliğin er iki anının e tabanına göre logaritmasını (ani ln ini) alalım. ln ln ln Şimdi er iki tarafın e göre türevini alalım 9. ln + (ln + ) 9 ln + ile ln ( + ) değerlerini karıştırmaın! 7

18 (ln + ) Örnek. (sin ) tan ise değerini bulunuz. Çözüm: Anı işlemleri tekrarlıoruz. (sin ) tan ln tan ln (sin ) Şimdi er iki tarafın e göre türevini alalım: sec ln (sin ) + cos tan sin (sec sin ln(sin ) + cos ) sin cos (sin ) tan (sec ln(sin ) + ) Örnek. ile belirli fonksionunun logaritmadan ararlanarak türevini bulunuz. Çözüm: ln ln ln ln Şimdi er iki tarafın e göre türevini alalım: Örnek. ( + ) ( + ) ile belirli fonksionunun logaritmadan ararlanarak türevini bulunuz. Çözüm: Yine er iki anın ln ini alalım: ln ln [ ( + ) ( + ) ] ln + ln ( + ) + ln ( + ) ln + ln ( + ) + ln ( + ) Şimdi de er iki anın e göre türevini alalım: eşitliği düzenlenir ve erine değeri azılırsa; ( + ) ( + ) 8 ( + + ) + + Örnek. denklemi ile belirli kapalı fonksionun e göre türevini bulunuz. Çözüm: Her iki tarafın ln ini alalım: ln ln ln ln Şimdi de er iki anın e göre türevini alalım: ln + ln + eşitliğinden çekilirse; ( ln ) ( ln ) bulunur. Fonksion kapalı olduğundan bu sefer i cinsinden çekip erine azamadığımıza dikkat edin. 8 Aşağıdaki tablou logaritma ardımıla türev alarak doldurunuz. f() (cos ) cot ( ) +.( ) 6 f () Türevin ite ugulanışı (L Hospital kuralı). f ( ) a ifadesinde vea belirsizliği g( ) varsa, bu it erine f() ile g() türevlenebilir ve f ( ) g () olmak üzere, a alınabilir. g ( ) Bir başka ifadele, f ( ) f ( ) a a. g( ) g ( ) Bu kurala L Hospital Kuralı denir. f ( ) Eğer a ifadesi ala vea belirsizliği şeklindese, L Hospital Kuralı bir kez daa g ( ) ugulanabilir, atta bu işleme belirsizlik ali giderilincee değin devam edilebilir. Örnek. + 6 kaçtır? Çözüm: belirsizliğini fark etmişsinizdir. + 6 Örnek. ( + 6) ( ) +. 6 kaçtır? Çözüm: Yine belirsizliği var. ( ) ( )...

19 Örnek. tan kaçtır? Çözüm: Yine belirsizliği var. tan (tan ) ( ) + tan. ln Örnek. + kaçtır? Çözüm: Bu sefer belirsizliği var. + cos + 7 ln + + ln e e e sin e e 8 ln ln + (ln ) ( ) + +. e Örnek. + kaçtır? Çözüm: Yine belirsizliği var. e + ( e ) + ( ) + e olur, dikkat edilirse ala belirsizliği var, e + ( e ) () + + e +. Aşağıdaki eşitlikleri doğrulaınız. Soru sin sin Yanıt 8 6 9

20 Çıkmış ÖYS soruları fonksionun türevi aşağıdakilerden angisidir? A) (6 9 + ) B) ( ) C) (6 9 + ) D) ( ) E) (6 9 + ) 968 ÜSS. cot fonksionunun türevi aşağıdaki ifadelerden angisidir?. f() ln ( + 7) fonksionunun türevi angisidir? A) B) ( 7) + C) D) () tg cos E) ÜSS f ise f ( ) ün değeri ne olur? A) B) D) E) 7. t t olur? + t t A) B) C) 6 C) olursa, t için d d D) E) 6 97 ÜSS nin değeri ne 97 ÜSS A) tg B) tg C) D) E) sin cos sin 969 ÜSS 8. a, b, c reel saıları arasında a < b < c şeklinde olup, f : ; f : [( a)( b)( c)] fonksionunun değişkenine göre türevi f '() dir. Aşağıdaki önermelerden angisi anlıştır?. f() fonksionunun apsisli noktasında, türevinin değerini, varsa bulunuz? A) B) C) D) E) Türevi oktur 97 ÜSS. f : f() sin fonksionunun için türevi aşağıdakilerden angisidir? A) B) C) D) ± E) için türev oktur 97 ÜSS A) f '(a) > B) f ''(a) < C) f '(c) > D) f ''(c) < E) f '(b) < 976 ÜSS 9. f () cos fonksionu, aralığı verilior. f( ) f() f (u) şartını sağlaan u saısı aşağıdakilerden angisidir? A) D) arccos B) arcsin E) arccos C) arcsin arccos 977 ÜSS

21 Mustafa Yağcı. f () 8 - olduğuna göre f "( ) in değeri nedir? A) 8 B) C) D) E) 978 ÜSS. < a < b ve [a, b] için f () > olduğuna göre (a, b) için aşağıdakilerden angisi doğrudur? A) f() f(b) B) f() > f(b) C) f() < D) f() > E) f() > f(a) 986 ÖYS. f():, f() + olduğuna göre, f() + f () ün değeri nedir? A) B) C) D) E) ÖYS f() fonksionu + olarak tanımlı olduğuna göre f () değeri kaçtır? 6. d ( l n(cos)) aşağıdakilerden angisidir? d A) tan B) sec C) cot D) E) sin cos 99 ÖYS 7. d (sin d ) aşağıdakilerden angisidir? A) 8.sin 6 B) 8.cos 6 C) 6.(sin + cos ) D) 6.(sin cos ) E) 6.cos 99 ÖYS 8. f( ) + ise f '(l) + f() kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 99 ÖYS 9. f() ln ( ) ise f - () + (f - ) () kaçtır? A) B) C) D) E) 989 ÖYS A) B) C) D) E) 99 ÖYS. d e ( e ) in kısaltılmışı aşağıdakilerden d angisidir?. cos f() ln( ) olduğuna göre, f kaçtır? A) + + B) C) D) E) f() ( ).( t) f () olduğuna göre, t kaçtır? 99 ÖYS A) l n B) l n C) l n D) l n E) l n 99 ÖYS. 6.sin t 6.cos t denklemi ile verilen f() fonksionun apsisli noktadaki türevinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 99 ÖYS A) - B) C) D) E) 99 ÖYS

22 . f() e tan olduğuna göre, f() f değeri aşağıdakilerden angisidir? A) e B) e C) e - D) e E) e 996 ÖYS. < < olmak üzere, arcsin fonksionun noktasındaki türevinin değeri kaçtır? + (arcsin θ sin - θ) A) B) C) D) E) 998 ÖYS CEVAP ANAHTARI B C E E E 6 B 7 C 8 D 9 D E C C B D E 6 A 7 B 8 B 9 D B A D C

Cebir Notları. Fonksiyon Türevleri Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Fonksiyon Türevleri Mustafa YAĞCI, www.mustafaagci.com, Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@aoo.com Fonksion Türevleri Giriş. İleri matematiğe girişin ilk adımlarının atıldığı şu anlarda, türev konusunun çok önem arz etmekte olduğunu

Detaylı

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1 TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1 ..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların

Detaylı

2.2 Bazıözel fonksiyonlar

2.2 Bazıözel fonksiyonlar . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen

Detaylı

Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık.

Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme ugun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. MATEMATİK SORU BANKASI tamamıla Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbie Kurulu

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;

6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere; log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu f()= 6 ise f ı ()=6. 6 =6 5 Cevap: 6 5 TÜREV TÜREV Bu bölümde fonksionların türevlerinin nasıl alınacağını öğrenmee başlıoruz. = f() fonksionunun türevi f ı (), d(f()) vea d ile gösterilebilir. d d Kurallar

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Fonksiyonların Grafikleri... 378

Fonksiyonların Grafikleri... 378 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

DERS 1: TEMEL KAVRAMLAR

DERS 1: TEMEL KAVRAMLAR DERS : TEMEL KAVRAMLAR Dersin Amacı: Diferansiel denklemlerin doğasını kavramak, onları tanımlamak ve sınıflandırmak, adi diferansiel denklemleri lineer ve lineer olmama durumuna göre sınıflandırmak, bir

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ

NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme "Dik Koordinat Sistemi" denir. Dik Koordinat Sisteminin belirttiği

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? 99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki

Detaylı

ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = =

ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = = ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ DIM 0. m(ë) 0 0 7 ise.m(ë ) 80 60 8 0.m(ë) m(ë) 8 0 8 7 99 7 66 60. m(ë) m() 8 60 08 dir. 08 R 80 08. R 80 radandır. 99 8 6. 60 06 9 8 60 0 79 8 6 79 8 6 7. irim çemberin üzerindeki

Detaylı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı ) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4

Detaylı

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği

Detaylı

EZGİ GÜLERYÜZ

EZGİ GÜLERYÜZ Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam vea Farkın Türevi...

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

FONKSİYONUN TANIMI ve FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

FONKSİYONUN TANIMI ve FONKSİYON ÇEŞİTLERİ KONU: Fonksionlar FONKSİYONUN TANIMI ve FONKSİYON ÇEŞİTLERİ. A,, kümesinden B a, b, c, d kümesine tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiondur?,a,,b,,c,,d,a,,d,,a,a,,b,,c,,d,b,, c,,d,a,,b,,c,,a.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 12. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI TÜREV MATEMATİK. Türev Alma Kuralları Türevin Uygulamaları

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 12. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI TÜREV MATEMATİK. Türev Alma Kuralları Türevin Uygulamaları ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI TÜREV MATEMATİK Türev Alma Kuralları Türevin Ugulamaları ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK FONKSİYONLAR - I

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK FONKSİYONLAR - I ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK FONKSİYONLAR - I ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ISBN 978 65 7-56 - Dizgi ÇAP Dizgi

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)

Detaylı

9 B ol um Türevin Uygulamaları

9 B ol um Türevin Uygulamaları 2 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

C E V A P L I T E S T ~ 1

C E V A P L I T E S T ~ 1 C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin

Detaylı

TÜREV ALMA KURALLARI TÜREVİN UYGULAMALARI - I TÜREVİN UYGULAMALARI - II ANALİZ TESTLERİ

TÜREV ALMA KURALLARI TÜREVİN UYGULAMALARI - I TÜREVİN UYGULAMALARI - II ANALİZ TESTLERİ ÖÜ ÜV eğişim ranı, rtalama ve nlık Hız...7 ürev lma uralları... Parçalı ve utlak eğer Fonksionların ürevi...9 ürev ve üreklilik... gulama estleri...7 ÖÜ ÜVİ G - rtan ve zalan Fonksionlar...6 kstremum oktalar...6

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

Sürekliliği tanımlamak için önce yakınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir.

Sürekliliği tanımlamak için önce yakınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir. Genel olarak matematikte, özel olarak da matematiksel iktisatta, fonksionlar üzerine konulan en önemli kısıtlama sürekliliktir. Kabaca, bir fonksion tanımlı olduğu bir o noktasında sürekli ise, o a akın

Detaylı

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 3 HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 2 EŞ-ANLI DENKLEM SİSTEMLERİ Bu bölümde analitik ve grafik olarak eş-anlı denklem sistemlerinin

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

5. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

5. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 5. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 3 DOĞRUSAL OLMAYAN FONKSĠYONLAR VE ĠKTĠSADĠ UYGULAMALARI Bu bölümde öğrencilere ekonomi

Detaylı

a 2 = b 2 +c 2 a 2 +b 2 =c 2

a 2 = b 2 +c 2 a 2 +b 2 =c 2 1.1. ELİPS 1.2. HİPERBOL 1.3. ORTAK özellikler =-a 2 /c =a 2 /c K =-a 2 /c B(b,0) K =a 2 /c Asal Eksen Uzunluğu: AA =2a Yedek Eksen Uzunluğu: BB =2b p A'(-a,0) F'(-c,0) p p Odak Uzaklığı: FF =2c Dış Merkezlik:

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi

Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi www.mustafaagci.com.tr, 11 Ceir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Paraol ile Eğrilerin Kesişimi P araol İle Doğrunun Birirlerine Göre Durumları. Aslında sadece paraol ve doğru çifti için değil,

Detaylı

3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi

3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi 3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsaılı Diferansiel Denklemi (n). (n) + (n-). (n-) + + 2. +. + = Q() Değişken dönüşümü apalım. Diferansiel denklemi sabit katsaılı ( erine t bağımsız değişkeni )

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT TÜREV ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Türev. Kazanım : Türev kavramını örneklerle açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ TANIM: a, b, c R ve a olmak üzere, f : R R, = f ( ) = a + b + c fonksionuna, ikinci dereceden bir bilinmeenli fonksion denir. { } (, ) : = f ( ) R kümesinin

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK :

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK : MC www.matematikclub.com, 6 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Özel Tanımlı Fonksionlar. Tam değer fonksionu: Tanım: Tamsaı ise kendisi, tamsaı değilse kendinden önce gelen ilk tamsaı (kendinden

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar - I

DERS 2. Fonksiyonlar - I DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

alalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay

alalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay 1 DİK (KARTEZYEN) KOORDİNAT SİSTEMİ: Bir O noktasında dik olarak kesişen ata ve düşe doğrultudaki iki saı eksenini ele alalım. O noktasına, u eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif saılar,

Detaylı