İKİ ÖLÇÜTLÜ BEKLEMESİZ AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM GECİKME

Transkript

1 V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üiversitesi, Kasım 2005 İKİ ÖLÇÜTLÜ BEKLEMESİZ AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM GECİKME Tamer EREN Kırıale Üiversitesi Erta GÜNER Gazi Üiversitesi Özet Çizelgeleme problemlerii öemli bir sııfı belemesiz ısıtı ile araterize edilir. Yai işler ardışı maieler arasıda veya üzeride belemesizi süreli olara işleme zorudadır. Belemesiz aış tipi çizelgeleme problemie ilişi uygulamalara çeli, imya, gıda ve ilaç edüstrileride rastlamatadır. Bu çalışmada ii ölçütlü aış tipi çizelgeleme problemi belemesiz durumda ele alıacatır. Ele alıa ölçütler çizelgeleme problemide e ço ullaıla toplam tamamlama zamaı ve masimum gecimedir. NP-zor yapıda ola bu problemi ( F2 / o wait / α C + βtmax ) çözümü içi, tamsayılı programlama modeli suulmuştur. Ayrıca probleme uyarlaa NEH yötemi ile EDD, tabu arama ve rassal arama ile problemi büyü boyutlu çözümleri gerçeleştirilmiştir. Eiyi çözümleri tabu arama yötemi vermele birlite, uyarlaa NEH ve EDD yötemlerii basit yapısıyla bu tip problemlerde ullaılabileceği gösterilmiştir. Bu çalışma ile, belemesiz aış tipi çizelgelemede, toplam tamamlama zamaı ve masimum gecime ölçütleri ayı ada il defa ele alımıştır. Aahtar elimeler: Belemesiz Aış Tipi Çizelgeleme Problemi, İi Ölçüt, Toplam Tamamlama Zamaı, Masimum Gecime, Tamsayılı Programlama Modeli, Sezgisel Yötemler.. GİRİŞ Bir üretim sistemide geel amaç olara, işi zamaıda teslim etme, ara stoları mümü olduğuca azaltma, işi sistemdei alış süresii azaltma, maie ve işçiyi verimli ullama (maie ve işçi boş zamaıı azaltma), işi isteile alitede yapma, maie hazırlı zamalarıı azaltma, üretimde işçi maliyetlerii azaltma olara sıralaabilir. Bu amaçları gerçeleşmeside çizelgeleme faaliyeti olduça öemli bir role sahiptir. Çizelgeleme, bir iş ümesii bir zama süreci içide yapma içi işlere ayaları ataması faaliyeti olara taımlaabilir. Üretim sistemleridei bu amaçlar çizelgelemede ölçüt olara taımlaır. Karar vericiler üretim sistemide ayı ada birde fazla amacı optimize etme isteyebilir. Bu çalışmalar literatürde ço ölçütlü çizelgeleme problemleri olara taımlaır. Bu çalışmalarda, ölçütler geellile çelişe amaçlar olduğuda dolayı çözümü te ölçütlülere göre daha zordur (Ere 2004). Bu çalışmada da ii ölçütlü aış tipi çizelgeleme problemi belemesiz durumda ele alıacatır. Atölyede yapılaca işler ayı rotaya sahip ise, yai tüm işler ayı maieleri ayı sırada taip ediyorlar ise, bu ortam aış tipi olara adladırılır. Aış tipi problemlerii öemli bir sııfı belemesiz ısıtı ile araterize edilir. Yai işler ardışı maieler arasıda veya üzeride belemesizi süreli olara işlem görme zorudadır. Bu ısıt işlem teoloisii edisie özgü bir özelliğidir. Belemesiz aış sistemide esitisiz işlem zorululuğu dolayısı ile geretiğide bir işi işleme başlaması, bir işlemii verile bir maiede 23

2 T. Ere, E. Güer tamamlaması ile taip ede işlemi diğer maiede heme başlamasıı sağlayaca şeilde gecitirilebilir. Belemesiz aış sistemie ilişi uygulamalara çeli, imya, gıda, ilaç edüstrileri gibi bir ço edüstride rastlamatadır (Ere ve Güer, 2005). Çizelgeleme problemleride e ço ilgileile ölçüler olara toplam tamamlama zamaı ile masimum gecime ölçütleri gösterilebilir. Toplam tamamlama zamaı ile sipariş çevrim hızı artmata ve yei siparişleri daha ere alıması sağladığı gibi yarı ürü stolarıda da azalma görülmetedir. Firmalar müşterileri ihtiyaçlarıı zamaıda arşılama veya e az gecime ile müşterileri istelerie cevap verme isteyebilir. Bu da masimum gecime ölçütü ile taımlaır (Ere, 2004). Bu çalışmada ele alıa ii ölçütlü belemesiz aış tipi çizelgeleme problemii amaç fosiyou, toplam tamamlama zamaı ve masimum gecimei ağırlılı toplamıı eüçülemesidir. Belemesiz aış tipide yapıla toplam tamamlama zamaı ilgili Adiri ve Pohoryles (982); Raedra, ve Chauhuri, (990); Va der Vee ve Va Dal (99); Gagadhara ve Raedra, (993); Aldowaisa ve Allahverdi, (998, 2004); Bertolissi (999,2000); Allahverdi ve Aldowaisa (2000); Aldowaisa (200) ve Shyu ve diğerleri (2004). Masimum gecime ölçütü ile ilgili olara ta Dileepa (2004) ve Wag ve Cheg (2005) i yaptıları çalışmalar bulumatadır. Ele alıa ii ölçülü aış tipi çizelgeleme problemi NP-zor yapıdadır. Bu problemi çözme içi tamsayılı programlama modeli geliştirilmiş ve 20 işe problemi çözümleri yapılmıştır. Daha büyü boyutlu problemleri çözme içi NEH yötemi probleme uyarlamış ayrıca tabu arama ve rassal arama ile 000 işe adar ola problemleri çözümü yapılmıştır. Bu ii ölçütlü problem icelemelerimize göre belemesiz aış tipi çizelgelemede il ez ele alıa bir problemdir. Çalışmaı iici bölümüde ele alıa belemesiz ii ölçütlü ii maieli aış tipi çizelgeleme problemi taımlaacatır. Üçücü bölümde ise problemi optimal çözümlerii bulma içi tamsayılı programlama modeli verilecetir. Problem içi öerilece sezgisel yötemlerde dördücü bölümde bahsedilecetir. Beşici bölümde de deeysel souçlar suulacatır. So olara altıcı bölümde ise yapıla çalışmaı souçları ve daha sora yapılabilece çalışmalar haıda bilgi verilecetir. 2. PROBLEMİN TANIMLANMASI Atölyeye gele iş sıfırıcı zamada işlem içi hazırdır. Gele işler ( =,2,..., ) öce birici maie M de sora ise iici maie M 2 de işlem görmetedir. p i ; işii i maiesidei işlem zamaıı ve d ise işii teslim tarihii göstermetedir. T C ve = max{ C d,0} dır. Masimum gecime T = max{ C d,0} T ise işii tamamlama zamaıı ve gecimesii göstermetir. max = olara ifade edilmetedir. Ele alıa problem, belemesiz ii-maieli aış tipi çizelgelemede toplam tamamlama zamaı ve masimum gecimei ağırlılı toplamıı eüçüleme problemi ( F2 / o wait / α C + βtmax ) olara taımlamatadır. Modelde ullaıla varsayımlar; hazırlı zamaları biliiyor ve işlem zamaıa dahil edilmiştir, başlaa bir iş maiada bitiriliyor, maiaları çizelgeleme periyodu süresice bozulmayacağı ve bir maiede ayı ada birde fazla işi yapılamayacağı abul edilmiştir. Belemesiz aış tipide geretiğide birici maiedei iş aydırılmata ve iş biter bitmez iici maiede işlem görmetedir. 3. ÖNERİLEN TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ Öerile tamsayılı programlama modeli 2 +7 değişeli 9 ısıtlıdır (: iş sayısı).. Parametreler : İş sayısı =,2,..., i: Maie sayısı i =, 2 p : Birici maiede işii işlem zamaı =,2,..., p : İici maiede işii işlem zamaı =,2,..., 2 d : işii teslim tarihi =,2,..., 2. Karar değişeleri Z : Eğer işi. sırada işlem görme içi çizelgelemişse, asi halde 0, =,2,..., =,2,..., X : İici maiede (-). sıradai işi bitimi ve. sıradai işi başlagıcı arasıdai boş zama, =,2,..., S :. sıradai işi birici maiedei başlama zamaı, =,2,..., 232

3 max V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üiversitesi, Kasım 2005 T : masimum gecime T = max{ C d,0} 3. Yardımcı değişeler A : Birici maiede. sıradai işi işlem zamaı A Z B : İici maiede. sıradai işi işlem zamaı B Z C : * max = İici maiede. sıradai işi tamamlama zamaı C = = X + = B = = = = p p =,2,...,,2,..., = () 2,2,..., = (2) =,2,..., (3) veya C = X + B ve C = C + X + B = 2,3,..., * d :. sıradai işi teslim tarihi d Z 4. Tamsayılı programlama modeli Amaç fosiyou: Mi Kısıtlar: Z = α = C + β T max = = d =,2,..., (4) = =,2,..., (5) Z = S A X = S + A = S + A C Tmax * C d = =,2,..., (6) S =,2,..., (7) X = 2,3,..., (8) =,2,..., (9) ()-(4) olu delemler Z : 0 ve diğer tüm değişeler pozitif tamsayı Kısıt (5),. pozisyoa sadece bir te işi atamasıı, ısıt (6), her bir işi sadece bir ez çizelgelemesii ifade etmetedir. Kısıt (7), birici maiedei. sıradai işi işleme başlama zamaıı öcei işleri bitiş zamaıda büyü veya eşit olması geretiğii göstermetedir. Kısıt (8), iici maiedei (-). sıradai işi tamamlaması ile. sıradai işi başlaması arasıdai maiei boş beleme zamaıı ifade etmetedir. Kısıt (9),. masimum gecimeyi ifade etmetedir. 4. SEZGİSEL YÖNTEMLER Verile tamsayılı programlama ile aca üçü boyutlu problemler çözülebilmetedir. Halbui uygulamalarda daha büyü boyutlu problemleri çözme gereebilir. Buu içi aış tipi çizelgeleme problemleride ço ullaıla NEH yötemi (Nawaz vd. ) probleme modifiye edilmiştir. Ayrıca meta sezgisel yötemlerde ola tabu arama yötemi ve rassal arama yötemi de ullaılmıştır. İl olara Glover (986) tarafıda ortaya atıla tabu arama yötemi, bu çalışmada ele alıa problemi çözümüde ullaıla sezgisel yötemlerde biridir. Tabu arama yötemi, eiyi veya eiyiye yaı çözümleri bulma içi çözüm uzayıı araştırır. Tabu arama yötemi ombiatoryal problemlerde ullaıla sezgisel optimizasyo teileride biridir. Tabu arama, seçile herhagi bir başlagıç çözümü ile aramaya başlar. Mevcut çözümü taımlaa bir hareet meaizmasıa göre omşuluğu oluşturulur ve bu omşulu içide e iyi amaç değerie sahip ola çözüm eğer tabu sııfıa girmiyorsa yei mevcut çözüm olara seçilir. Yötemde tabu sııflarıı belirlemesi içi ısa döemli hafıza (tabu listesi) ullaılır. Belli bir iterasyo seviyeside veya iyileşme olmadığıda arama durdurulur. Tabu arama yötemii probleme uyarlaması şu şeildedir: Başlagıç çözümü seçimi: E üçü işlem zamaı (SPT), e üçü teslim tarihi (EDD) uralları ile Johso (954) ve probleme uyarlaa NEH yötemide eüçü değeri vere başlagıç çözümü olara seçilmiştir. Komşu arama strateisi: Komşu arama strateisi olara bitişi iş çiftlerii yer değiştirilmesi (API) ullaılmıştır. API strateisi ile her iterasyoda (-) tae omşu üretilmetedir. 233

4 T. Ere, E. Güer Tabu listesi uzuluğuu belirlemesi: Tabu listesi uzuluğu iş sayısı e göre belirlemiş ve tamsayı değer alımıştır. Tabu aramaı adımları toplu olara Tablo de verilmiştir. Tablo. Tabu arama parametreleri Parametreler Değerleri Başlagıç çözümü Mi{EDD, SPT, Johso, NEH} Tabu listesi uzuluğu 2 Komşu arama strateisi API Durdurma riteri iterasyoda iyileşmeme 2 e e yaı 5. DENEYSEL SONUÇLAR Yapıla çalışmada bütü deeysel testler Petium IV/2 GHz 52 RAM apasiteli işisel bilgisayar ullaılmıştır. Sezgisel yötemler C++ Builder ile programlamıştır. Deeysel tasarım Fisher (976) i çalışmasıa göre tasarlamıştır. İşlem zamaları ile 00 arasıda düzgü dağılımda üretilmiştir. Teslim tarihleri P(-τ-R/2) ve P(-τ+R/2) aralığıda alımıştır. P p + { p } = 2 mi olma üzere, τ=0.25, 0.50, 0.75 ve R=0.25,0.50,0.75,.00 olara 2 durumda icelemiştir. Buradai τ ve R, teslim tarihi sılığı ve aralığıı göstermetedir. Geel olara gecime ile ilgili problemlerde bu değerleri artması ile problemleri daha da zorlaştığı görülmetedir. Her problem τ ve R i ombiasyolarıda 0 değişi problemle çözülmüştür. Her problemde =0,2,4,6,8 ve 20 olma üzere 6 farlı iş grubu içi ele alımıştır. Optimal çözümler içi parametreler Tablo 2 de verilmiştir. = = Tablo 2. Problemi deeysel seti Parametreler Değerleri Ağırlı değerleri (α,β) (0.25,0.75);(0.50,0.50);(0.75,0.25) Iş sayısı 0,2,4,6,8,20 τ 0.25,0.50,0.75 R 0.25,0.50,0.75,.00 Çözüle problem 0 Toplam problem =260 Tablo 3 de problemi 20 işe adar çözüm souçları verilmetedir. Tabloda da görüldüğü gibi τ ve R değerleri sırasıyla (0.50,.00), (0.75,0.75) ve (0.75,.00) değerleride problem daha zor çözülmetedir. Uyarlaa NEH yötemi tabu arama, rassal arama ve EDD yötemlerii optimal souçlar ile arşılaştırıldığıda çözüm alitesi Tablo 4 de gösterilmiştir. Görüldüğü gibi tabu arama başta olma üzere tüm sezgiseller iyi souç vermiştir. Çözüm alitesi şu formülle hesaplamıştır. Sezgisel çözüm - Optimal çözüm Çözüm alitesi = - Optimal çözüm Büyü boyutlu problemleri deeysel seti Tablo 2 dei veriler ullaılmış. Sadece iş sayıları 00,200,,000 olma üzere 0 durumda iceleere toplam 3600 problem çözülmüştür. Tablo 5 de de eiyi sezgisel çözüm soucu referas alıara sezgiseller birbiriyle arşılaştırılmıştır. Tabu arama tüm problemlerde eiyi çözüm vermiştir. Rassal aramaı ise iyi souç vermediği görülmüştür. Büyü boyutlu problemlerde çözüm alitesi şu şeilde bulumuştur: Sezgisel çözüm soucu - Bulua eiyi sezgisel çözüm soucu Çözüm alitesi = - Bulua eiyi sezgisel çözüm soucu 234

5 V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üiversitesi, Kasım 2005 Tablo 3. Tamsayılı programlama çözüm süreleri (α,β) (α,β) (α,β) τ R Tablo 4. Sezgiselleri çözüm aliteleri (α,β) (0.25;0.75) (0.50;0.50) (0.75;0.25) NEH Tabu Rassal EDD NEH Tabu Rassal EDD NEH Tabu Rassal EDD Ort SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada belemesiz ii ölçütlü aış tipi çizelgeleme problemi ele alımıştır. İcelee ölçütler toplam tamamlama zamaı ve masimum gecimedir. Bu problem içi tamsayılı programlama modeli geliştirilmiş ve 20 işe adar optimal souçlar bulumuştur. Ayrıca NEH yötemi probleme uyarlamış, EDD yötemi ile geliştirile tabu arama ve rassal arama yötemiyle 000 işe adar olaa problemleri çözümü gerçeleştirilmiştir. Buda sorai çalışmalarda diğer performas ölçütleri ullaılara, belemesiz aış tipi çizelgeleme problemleri icelebilir. 235

6 T. Ere, E. Güer Tablo 5. Büyü boyutlu problemleri çözüm souçları ve süreleri Çözüm alitesi CPU zamaları (s) NEH Tabu Rassal EDD NEH Tabu Rassal EDD < < < < < < < < < <0. 7. KAYNAKÇA ADIRI, I., POHORYLES, D., 982, Flowshop/No-Idle or No-Wait Schedulig to Miimize the Sum of Completio Times, Naval Res. Logistic Quart., ALDOWAISAN, T., ALLAHVERDİ, A., 998, Total Flowtime i No-Wait Flowshops with Separated Setup Times, Computers & Operatios Research, 25, ALDOWAISAN, T., ALLAHVERDİ, A., 2004, New Heuristics for M-Machie No-Wait Flowshop to Miimize Total Completio Time, Omega, 32, ALLAHVERDİ, A, ALDOWAISAN, T., 2000, No-Wait ad Separate Setup Three-Machie Flowshop with Total Completio Time Criterio, Iteratioal Trasactios i Operatioal Research, 7, ALDOWAISAN, T., 200, A New Heuristic ad Domiace Relatios for No-Wait Flowshops with Setups, Computers & Operatios Research 28, BERTOLISSI, E. A., 999, Simple No-Wait Flow-Shop Schedulig Heuristic for the No-Wait Flowshop Problem, Proceedigs of the 5th Iteratioal Coferece o Computer-Aided Productio Egieerig, CAPE'99, Durham, UK, April 9-2. BERTOLISSI, E., 2000, Heuristic Algorithm for Schedulig i the No-Wait Flow-Shop, Joural of Materials Processig Techology, 07, DILEEPAN, P., 2004, A Note o Miimizig Maximum Lateess i a Two-Machie No-Wait Flowshop, Computers & Operatios Research 3, EREN, T., 2004, Ço Ölçütlü Aış Tipi Çizelgeleme Problemleri içi Çözüm Yalaşımları, Gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Dotora Tezi. Aara. EREN, T., GÜNER, E., 2005, Belemesiz Aış Tipi Çizelgeleme Problemi: Toplam Gecimei Eüçülemesi, 4. İstatisti Kogresi, Atalya, 2-5 Mayıs. FISHER, M. L., 976, A Dual Algorithm for the Oe-Machie Schedulig Problem, Mathematical Programmig,, GANGADHARAN, R., RAJENDRAN, C., 993, Heuristic Algorithms for Schedulig i the No-Wait Flowshop, It. J. Prod. Eco. 32 (3), GLOVER, F., 986, Future Paths for Iteger Programmig ad Lis to Artificial Itelligece, Computers ad Operatios Research, JOHNSON, S. M., 954, Optimal Two-ad Three-Stage Productio Schedules with Setup Times Icluded. Naval Res Logist,, NAWAZ, M., ENSCORE, E. E., HAM, I., 983, A Heuristic Algorithm for the M-Machie, N-Job Flow- Shop Sequecig Problem, Omega,, RAJENDRAN, C., CHAUHURI, D., 990, Heuristic Algorithms for Cotiuous Flowshop Problem, Naval Res. Logistic 37 (5), SHYU, S. J., LIN, B. M. T., YIN, P.Y., 2004, Applicatio of At Coloy Optimizatio for No-Wait Flowshop Schedulig Problem to Miimize the Total Completio Time, Computers & Idustrial Egieerig, 47, Va Der VEEN, J. A. A., Va DAL, R., 99, Solvable Cases of the No-Wait Flowshop Schedulig Problem, Joural of the Operatioal Research Society, 42, WANG, X., CHENG, T. C. E., 2005, A Heuristic Approach for Two-Machie No-Wait Flowshop Schedulig with Due Dates ad Class Setups, Computers & Operatios Research, (Basımda). 236