POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,"

Transkript

1 POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x + a x a x + poliomu kısaca P x = a0 + a x + ax + a x ax dir. Yai, Buradaki P x ile gösterilir. a,a x,a x,a x,...,a x 0 ifadeleri poliomu terimleri, a 0,a,a,...,a gerçel sayılarıa poliomu katsayıları deir. doğal sayısıa a terimii derecesi deir. x Derecesi e büyük ola terimi derecesie, poliomu derecesi deir ve der P( x ) biçimide yazılır. Derecesi e büyük ola terimi katsayısıa, baş katsayı deir. Değişkee bağlı olmaya terime de sabit terim deir. Not: R Reel katsayılı poliomları kümesi [ x] Q Rasyoel katsayılı poliomları kümesi [ x] Z Tam katsayılı poliomları kümesi [ x] Soru: P(x) = x 5x + + 7x poliomuu, a) Derecesii, ( der P ( x ) = ) b) Baş katsayısıı, (-5) c) Sabit terimii yazıız. ( ) Soru: Aşağıdaki tabloyu verile öreklerde yararlaarak dolduruuz. Foksiyo Poliom mu? ( E / H ) Poliomu Derecesi Poliomu Baş Katsayısı Poliomu Sabit Terimi Poliomu Katsayılar Toplamı f ( x) = 8x + x 0, E 8 0, 7,8 + f ( x) = x x f ( x ) = 0 f ( x ) = f ( x) = x + 5x + H f ( x) = 7 + x = + + f x x x

2 Uyarı: Z Q R olduğuda Z[ ] Q x [ x] R [ x] dir. Bular gibi Z, Z, Q... kümeleri de yazılabilir. 5 Soru: Q kümesii buluuz. 5 5 { a0 a 5 a 5 a 5... a 5 : ve a0, a, a,..., a } Q = N Q TANIMLAR: P(x) = a + + poliomuda, 0 ax + a x + a x +... a x. 0 a 0 ve a a a... a a 0 = = = = = = ise Sabit poliomu derecesi sıfırdır. P x poliomua sabit poliom deir.. a a = a = a =... = a = a 0 = ise 0 = Sıfır poliomuu derecesi yoktur ( taımsızdır). P x poliomua sıfır poliomu deir. Soru: Aşağıdaki ifadelerde hagileri taımlı oldukları kümelerde bir poliomdur? Poliom olaları derecesi, baş katsayısı ve sabit terimi edir? P x = x + x R 7 5 P ( y) = y y ; Q y 7 y P ( a) = 5 a ; Z a 5 a) ; [ x] b) [ ] c) [ ] P = 5 ; Z d) 4 e) P ( 5 t ) = ; R [ t] P( x) = m x + 4 x poliomu sabit poliom ise m + =? Soru: Çözüm : Sabit poliom olabilmesi içi 0 m =, = 4 m + = buluur. m = ve ( ) + 4 = 0 olmalıdır. Burada

3 Soru: b + P( x) = a. x. x c + poliomu sıfır poliomu ise a + b c =? Soru: 4 m P x = 5x x + 4 ifadesii bir poliom olabilmesi içi m i alabileceği pozitif tamsayı değerlerii toplamıı buluuz? Soru: P ( x, y) = x y xy + 5y x ise, Çözüm: P, =? P ( x, y) iki değişkeli reel katsayılı bir poliomdur. x = ve y = içi (, ). ( ).. ( ). 5. ( ) P = + de P (, ) = 9 buluur. Soru: Aşağıdakilerde hagisi bir poliom değildir? 5 a. P( x) = x + x + 6 b. K x = d. H( x) x ( x) 4 c. Q x y = x y+ xy xy+, = e. R( x) = x + x x Soru: 4 P ( x) = x a + 5x a poliomuu derecesi e fazla kaç olabilir? Çözüm : 4 P ( x) = x a + 5x a ifadesii bir poliom belirtmesi içi 4 N ve a N olmalıdır. a + 4 N a = { 0,, 6,} değerlerii alabilir. a + a N a olmalıdır. Her iki kümei kesişimide a = 6 a = olur.

4 4 Burada da 0 a = P x = x 5x der P x = 0 a = 6 P x = x 5x der P x = 0 der P x =. N içi kaç olur? (4) Alıştırmalar P x = x + x + x + bir poliomdur. Bua göre bu poliomu derecesi e çok P x, y = x y + x y xy + 4 poliomuu derecesi kaçtır? (6). 4. Aşağıda verile bağıtıları poliom olup olmadıklarıı irdeleyiiz. = + + (H) a. P ( x) = x + 5x (E) b. Q( x) x x 4 c. R ( x ) = 5 (E) d. K ( x) x T x = x + x + (H) e. = (H) x 4. P ( x) = ( a ) x + ( b + ) x + a. b + poliomu sabit poliom olduğua göre, P 5 =? (-) İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ Dereceleri ayı ve ayı dereceli terimlerii katsayıları eşit ola iki polioma eşit poliomlar deir. Karşıt olarak ta, iki poliom birbirie eşit ise dereceleri ayı ve ayı dereceli terimlerii katsayıları eşittir. = ve P x a0 a x ax a x... ax Poliomları içi 0 0 Q x = b0 + b x + b x + b x b x P x = Q x a = b, a = b, a = b, a = b... a = b dir.

5 5 Soru: P( x) =. x + x + c. x + ve = Q( x) ise a + b + c + d =? P x Q( x) = a. x b. x +. x d poliomları veriliyor. Çözüm : Q( x) P x = ise, = =.. +. P x x x c x Q x a x b x x d = a ( b ). c = c = = b = 0 = d d = 6 Soru: P ( x) = ( a + ) x + bx + ( c ) x + ve a + b + c + d =? Q x = x + x + d poliomları eşit ise, 5x A B Soru: = + x x x + eşitliğideki A ve B değerlerii buluuz. BİR POLİNOMUN BİR GERÇEL SAYI İÇİN ALDIĞI DEĞERLER Bir P ( x ) poliomuda, a R olmak üzere x = a içi P ( x) i aldığı değer P ( a ) dır. Soru: 5 4 P( x) = x x. x + 40 poliomuu, x = içi aldığı değeri buluuz. Çözüm: 5 4 x = P = ise, P ( ) = 0 olarak buluur.

6 6 Soru: 6 5 = + ise P x x x P x + =? Soru: Bir P ( x ) poliomu içi Çözüm: ( ) 4 + = + ise? P x x x P x = = x + dersek, Q ( x) = x ( Q ( x) Q x ifadesi Q( x)' i tersidir.) P ( x + ) poliomuda x yerie ( ) ( ) x yazarsak, P x + = x. x + 4 de P x = x 5x + 8 olarak buluur. Soru: Aşağıda verile poliomları katsayılar toplamıı ve sabit terimlerii buluuz P x 9 = x 7x + 9x + 5 P x + = x 8x + 4 P x = x + 6x 9 Soru: P ( x) = x + x + poliomu içi P ( 0) ve ( ) poliomu sabit terimi ve katsayılar toplamı ile karşılaştırıız. P değerlerii buluuz. Bu değerleri Souç: Bir P ( x ) poliomuda; Sabit terimi bulmak içi P ( 0) değeri, Katsayılar toplamıı bulmak içi P ( ) değeri buluur. Soru: P ( x ) + P( x) = x x veriliyor. terimii buluuz. Soru : P ( x ) = x + 4x 5 olmak üzere, ( ) Çözüm : P x poliomuu katsayılar toplamı 5 ise, sabit P x + poliomuu sabit terimii buluuz. P ( x + ) poliomuu sabit terimi istediğide P ( x + ) poliomuda x yerie sıfır yazılarak, ( ) P buluur.

7 7 Yai bizde istee P ( ) dir. Bua göre P ( x ) poliomuda P ( ) x = x = yazılmalı i bulmak içi P ( x ) poliomuda burada da istee cevap x = P = 5 olur. Uyarı: Bir poliomda değişkeleri yerie sıfır yazarsak o poliomu sabit terimii buluruz. Ayı şekilde verile bir poliomu katsayılar toplamıı bulmak içi o poliomda x yerie yazmamız yeterli olacaktır. Soru : P ( x) ( x 4x kx 5) = + + poliomuu katsayılar toplamı 64 ise, k =? (4) Soru : P ( x + ) = x ( a + ) x + a poliomu veriliyor. ise, sabit terimi kaçtır? (7) P x poliomuu katsayılar toplamı Soru: P ( x + ) = 9x 6x + ise, P ( x ) =? Soru: P ( x + ) = x 4x + ise, P =? Soru: P ( x) + P( x) = 4x 7x 5 ise, P =? Soru: P x x x x P x = + = + ise,? Çözüm : = dersek, P ( x x) ( x x) x x a + = + de, a a P a + = a + olur. Burada Q a = a + Q a = a de

8 8 ( ) P a + =. a + ise, P a = a + 7 P x = x + 7 olarak buluur. Uyarı : Bir P ( x) Q( x) = eşitliğii her iki tarafıda da uygulamak şartı ile istediğimiz gibi değişke değiştirebiliriz. Uyarı : P ( x ) poliomuda çift dereceli terimleri katsayıları toplamı; P P Ç T ( ) + P( ) P =, ( ) P ( ) P = olduğua dikkat ediiz. P x = a0 + a x + ax + a x ax olarak düşüüp verile değerleri yerie koyuuz.) ( Alıştırmalar. P ( x) = x x + ise, P x x x x. 6 4 P =? (7) = + + ise, P =? (5). P ( x, y) = x y xy + x y + ise, = ise, P x x x x 4. P, =? () P =? () 5. P ( x) = x + ax + b poliomuda P ( ) = ve P ( ) = ise, P =? ()

9 9 6. P ( x + ) + Q( x ) = x olmak üzere, P ( ) = 4 ise, Q =? () P x + = x x + olduğua göre, 7. a. P ( ) =? () b. P ( 5 ) =? (7) P x = x 7x + ) c. P ( x ) =? ( P x = x 5x + 7 ) d. P ( x ) =? ( 8. P ( 4x ) = 6x 8x + 4 ise,? P x = ( x + ) 9. P ( x ) = 6x x + ise, P 5 =? () 0. + = + ise, P ( x ) =? ( P ( x) 5 P x x x x 4 = x ). P ( x) ( 4x x 7x ) 5 = + + poliomuu sabit terimi kaçtır? (). P ( x, y) ( x 5y 4) 5 = + poliomuu katsayılar toplamı kaçtır? (). P ( x ) = x x + a poliomu veriliyor. P ( x) ve P x + poliomlarıı katsayılar toplamıı buluuz. P x poliomuu sabit terimi 9 olduğua göre, 4. P ( x) = 4x 5x + ( k ) x + ve Q( x) ( m ) x ( t ) x x ( ) veriliyor. P ( x) Q( x) 5. = olduğua göre, m. t?. k = = poliomları P x = x + 4x 5x poliomuu çift dereceli terimlerii katsayılar toplamı a, çift dereceli terimleri katsayıları toplamı b olduğua göre, a b =?

10 0 POLİNOMLARDA İŞLEMLER POLİNOMLARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA R [ x] de toplama işlemi [ x] [ x] ( P ( x), Q( x )) poliom ikilisie P ( x) Q( x) R R de R [ x] e bir foksiyodur. Bu foksiyo poliomu karşılık getirilir. P x = a0 + a x + ax + a x a x m Q x = b0 + b x + b x + b x b x bm x olduğua göre m P( x) ± Q( x) = a ± b + a ± b. x + a ± b. x a ± b. x b. x dir. 0 0 Bua göre, P ( x) Q( x) poliomuu derecesi P ( x ) ve derecesi küçük olmaya poliomu derecesie eşittir. m Q x poliomlarıda Soru: 4 P( x) = x x x + 5 ve Q( x) = 4. x 5x x poliomları içi, a. P ( x) + Q ( x) b. P ( x) Q( x) c.. Q( x). P( x) poliomlarıı buluuz. Çözüm : a. P ( x) + Q( x) = x 4 + 4x + ( 5) x + ( ) x + ( 5 ) 4 P x + Q x = x + 4x 8x x + 4 buluur. b. P ( x) Q ( x) = x 4 4x + ( + 5) x + ( + ) x + ( 5 + ) 4 P x Q x = x 4x + x x + 6 buluur. c.. Q( x). P( x) = ( x 4 x x + 5 ) ( 4. x 5x x ) 4. Q( x). P( x) = ( x 6x 4x + 0 ) + ( x + 5x + x + ) 4. Q x. P x = x x + 9x x + buluur.

11 Uyarı: Toplam ve çıkarma işlemii soucuda elde edile poliomu derecesi, işleme gire poliomlarda büyük dereceli ola ile ayı derecelidir. POLİNOMLARDA ÇARPMA P ( x). Q( x ) poliomuu bulmak içi P ( x ) poliomuu her bir terimi her bir terimi ile ayrı ayrı çarpılır ve elde edile poliomlar toplaır. Q x poliomuu Soru: P ( x) = x x 5 ve Q x = x x poliomlarıı çarpımıı buluuz. Çözüm : 5 4 P x. Q x = x x 5. x x = x x 6x + x 0x + 5x 5 4 P x. Q x = x x 6x 7x + 5x elde edilir. Uyarı : Her ikisii derecesi sıfırda farklı ola iki poliomu çarpımıı derecesi buları dereceleri toplamıa eşittir. Soru: x a. x b ( x x ).( m. x ) + + = + ise a b =?. = 8 ise, Soru: P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi, der P( x). Q ( x ) = 5 ve der P ( x) Q( x) der Q( x ) =? Çözüm : der P( x) = a ve der Q( x) = b olsu. der P x. Q x = der P x + der Q x = a + b = 5

12 . = + =. + = a + b = 8 der P x Q x der P x der Q x der P x der Q x a + b = 8 = = = = a + b = 5 Burada a der P( x) ve b der Q( x) olarak buluur. POLİNOMLARDA BÖLME Taım: P ( x ), Q( x) R [ x] ve Q( x) 0 olmak üzere P ( x) poliomuu demek, P ( x) = Q( x). B( x) + K ( x) olacak biçimde R [ x] de bir B ( x ) poliomu ile dereceside küçük ola bir K ( x ) poliomu bulmak demektir. Q x poliomua bölmek Q x i P(x) : : K(x) Q(x) B(x) derp( x) derq ( x) olmak üzere, P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi, P ( x) = Q( x). B( x) + K ( x), derk ( x) < derq( x) ve derp( x) = derq( x) + derb ( x) koşullarıı sağlaya; P ( x ) poliomua bölüe Q ( x ) poliomua böle B ( x ) poliomua bölüm K ( x ) poliomua kala deir. Eğer K ( x ) = 0 ise P ( x ) poliomu, Q ( x ) poliomua tam bölüüyor deir. Bölmei Yapılışı Bölme işlemi yapılırke aşağıdaki sıraı izlemesi uygudur;. Bölüe ile böle, x i azala kuvvetlerie göre sıralaır.. Bölüei solda ilk terimi (e büyük üslü terim), bölei solda ilk terimie bölüür.. Elde edile bölüm, bölei bütü terimleri ile çarpılarak ayı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölüei altıa yazılır. 4. Bu çarpım bölüede çıkarılır. 5. Geri kala terimler farkı yaıa yazılır. 6.Bulua poliom içi yukarıdaki işlemler sıra ile uygulaır.

13 7. Kalaı derecesi, bölei dereceside küçük olaa kadar işleme devam edilir. Soru: = + poliomuu Q( x) P x x x x 0 7 = + x poliomua bölüüz. Çözüm : + x x x 0x 7 x x 4x 0x 7 4x 6x 4x 7 4x + 6 x +x B ( x) ( Bölüm Poliomu ) K ( x) ( Kala Poliomu ) Soru: P x x x 5 Q x = poliomuu = x poliomua bölüüz. Uyarı : P x der = der P ( x) der Q( x) Q x dir. Soru: Aşağıdaki tabloda verile boşlukları dolduruuz. Poliom der[p(x)] der[q(x)] P(x)+Q(x) P(x).Q(x) der[p(x)+q(x)] der[p(x). Q(x)] 7 5 = P x x x x 4 = + 5 Q x x x P( x) = ( x + x + ) 5 Q( x) = ( x x + 5)( x )

14 4 Soru: P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi? der P x = der P x. Q x = 6 ve ( x) P = der Q x 6 ise, Soru: P( x) ve Q( x ) iki poliomdur. P( x) i derecesi Q( x ) i derecesii katıda eksiktir.. Q( x) P x P x poliomuu derecesi ise, Q( x ) poliomuu derecesi kaçtır? HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME Bir P(x) poliomuu ( a. x b) Aşağıdaki örekleri iceleyiiz. + ile bölümüde kolaylık sağlaya bir yötemdir. Örek: P ( x) = x + x 5 poliomuu Q( x) x = poliomua Horer yötemi ile bölüüz. Çözüm :. x = 0 x = -5 P(x) i katsayıları = = = = 6 Ayı işlemler tekrar edilir. Bölüm : B(x) = x + 7 Kala : K(x) = 6

15 5 6 5 Soru: P ( x) = x 5x + x + 4x + 7 poliomuu Q( x) x = poliomua bölüüz. Çözüm: B x = x x 6x 0x 6x Bölüm : 5 4 Kala : 57 4 Soru: P ( x) = 4x + 5x + x poliomuu Q( x) x = poliomua bölüüz. Çözüm: / x =. x olduğuda kalaı soludaki sayıları (4,,6,6), bölei baş katsayısı ola ile tekrar bölüür ve bölümü katsayıları (,,,) buluur. Bölüm : B(x) = x +x +x + Kala : K(x) =

16 6 Alıştırmalar 4. P ( x) = x x 4x + 5 poliomuu Horer yötemi ile Q( x) ( x )( x ) bölüüz. = + poliomua 4. P ( x) = x x + x + ax + b poliomuu ( x ) ile tam bölüebilmesi içi a, b =? (-4,). 5 x + x x x bölümüü buluuz. ( x + ) 4. P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi + Q( x) =? der P x (4) der P x. Q x = 6 ve P x der = Q x ise, 5. P ( x ) bir poliom olmak üzere, der P ( x ) = 6. =? ise, der x P ( x ) (0) 6. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom ve a N olmak üzere, der P ( x) = a +, der Q( x) = a + ve der P ( x) + Q( x) = 5 ise, a =? (4) 7. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom olmak üzere,? der Q x = () der P x = der Q x. = 0 ise, ve der P ( x) Q ( x) P ( x) = x + x + px + qx + t poliomu ( ) 50 x ile tam bölüdüğüe göre, p =? ( ) 9. der P ( x ) = 6, der Q( x ) = 8 olmak üzere P ( x ) ve 4 6 ( + ). ( ) + ( ). ( + ) der x x P x x Q x değerii buluuz. (40) Q x poliomları verilmiştir. Bua göre,

17 7 BÖLMEDE KALANIN BULUNMASI. Bir P ( x ) poliomuu ( a. x b) ile bölümüde kala, K b = P a dir. P(x) ax -b : : B(x) K (. ). P x = a x b B x + K b a. x + b = 0 x = içi a b b b P = a. b. B + K ise, a a a b P = K olur. a Yai, P ( x ) poliomuu ( a. x b) b b yazılır. ( a. x b = 0 x = dır.) a a ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda x yerie P x poliomuu ( x a). yazılır. ( x a = 0 x ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda = a dır. ) x yerie ( a ) p P x poliomuu ( x a. x b), ( p) p yerie ( a. x b). > ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda p p + yazılır. x a. x b = 0 x = a. x + b dir.) x Soru: P ( x) = 4x x + 5 poliomuu ( ) x + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x + = 0 x = ise, P = K ( x) = P = 7 4 dir. Soru: P ( x) = ( m ) x + ( m + ). x poliomuu ( ) e olmalıdır? Buluuz. x + ile tam olarak bölüebilmesi içi m

18 8 9 = poliomuu P x x 4. x 5. x Soru: x + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x + = 0 x = yazılır. 9 9 ( 9 ) ( 9 ) 9 P x =. x + 4. x + 5. x + = K x = 8 dir. P x x x 5x 4 Soru: = + poliomuu ( x x ) + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x x x x + = 0 = P x = x. x x 5x + 4 ifadeside Burada x yerie x yazarsak, K x = x. x. x 5x + 4 = x 8x + 6 ifadeside x yerie tekrar x yazarsak, K x = x 8x + 6 = 7x + 5 elde edilir. Uyarı: Bir P(x) poliomuu ( x a)( x b) ile bölümüde kala P ( x ) ( x a) B ( x ) : : K B ( x ) ( x b) : M ( x ) : K = ( ). + ve B ( x) ( x b). M ( x) K P x x a B x K = ( ). ( ). + + P x x a x b M x K K... = + olup, P x = x a x b M x + x a K + K buluur. Burada istee kala. K x = x a K + K olur.

19 9 4 Soru: P ( x) = x x 4x + 5 poliomuu Q( x) ( x ).( x ) kalaı buluuz.. Yol: Q x = x x = x x + ifadeside = poliomua bölümüde gibi kala buluabilir. x x da x x + = 0' = yazılarak bir öceki örekte olduğu ( ) P x = x x 4x + 5 K x = x x 4x + 5 de, K x = 9x 5x + 5 K x = 9 x 5x + 5 ise, x 7 K x = + olarak buluur..yol :. P x = Q x B x + K x şeklide yazarsak, = ( ).( ). + ( + ) P x x x B x ax b (Böle ikici derecede bir poliom olduğuda kala e fazla birici derecede olabilir.) x = içi P ( ) = ( ).( ). B( ) + ( a + b) a + b = 9 x = içi P = ( ).( ). B + ( a + b) a + b = olarak buluur. Taraf tarafa çözüm yapılırsa, a + b = a = ve b = 7 a + b = 9 = + olur. olur. K ( x) x 7.yol: Horer yötemi ile; K = 9 K = B x = x + 6x + 8 Bölüm: =. + 9 Kala: K ( x) ( x ) K ( x) = x + 7

20 0 Uyarı: Bir P ( x ) poliomuu ( x a) ile bölümü yapılırke, Horer yötemi kez peş peşe uygulaır. Soru: Bir P ( x ) poliomu içi P ( x + ) = x 4x + 5 olduğu biliiyor. Bua göre ( x ) ile bölümüde kalaı buluuz. P x i + Soru: P ( x, y) ( 4x y 5x y 4xy ) = + iki değişkeli poliomuu açılımı yapıldığıda, katsayıları toplamı 4 oluyor. Bua göre =? P x = x + 4x 5x poliomuu çift dereceli terimleri katsayıları toplamı a, tek Soru: dereceli terimleri katsayıları toplamı b ise a b =? Soru: P ( x ) poliomu ( ) ( x ) ile bölümüde kalaıı buluuz. (5) x ile bölümüde kala 5 olduğua göre, ( 7 ) P x poliomuu Soru: P ( x ) ve Q ( x ) birer poliomdur. P ( x) + Q ( x) poliomuu ( ) 5, P ( x + ) Q ( x + ) poliomuu x ile bölümüde kala olduğua göre, P ( x + ) ( x + ) ile bölümüde kala edir? m m+ Soru : P ( x) = ( x 4) + ( x + ) 7 poliomuu göre, m =? x ile bölümüde kala i x ile bölümüde kala 7 olduğua P x = x + x x x + poliomuu Soru : edir? ( x + 4 ) 5 x ile bölümüde elde edile kala

21 . Bir [ x] P x R poliomu içi P ( x ) Alıştırmalar + = x 4 ise, P ( x ) =? 4. P ( x ) + P( x + ) = 6x 4x + 6 olduğua göre katsayılar toplamıı buluuz. P x poliomuu çift dereceli terimlerii. Bir P ( x ) poliomu içi, P ( x) =. P( x) + x tür. Bua göre P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz. 4. Bir P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde kala ( x 5x ) ( x + x + ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz. 5. Z olmak üzere, ise P i e büyük değerii buluuz. + ise.p x poliomuu P x = 5. x + x + gerçel katsayılı ikici derecede bir poliom 6. P ( x ) poliomu ( ) hagisi ( x 5) ile kalasız bölüebilmektedir? A) P ( x ) + B) P ( x + ) + x C) P ( x ) + x D) P ( x ) E) P ( x ) + x + + x x ile kalasız bölüebilmektedir. Bua göre aşağıdaki poliomlarda 5 7. P ( x) = x x x + 4x + 7 poliomuu ( x ).( x ) kalaı buluuz. 8. P ( x ) poliomuu ( x 4) ile bölümüde kala 5, göre 4.P( x) poliomuu ( x 4 ).( x ) + çarpımı ile bölümüde elde edile + ile bölümüde kalaı buluuz. 9. Q ( x ) poliomuu katsayılar toplamı, Q( x ). P ( x 4) = ( x + ). Q( x ). ( x ) ve. bölümüde kala ( 9x m) dir. Bua göre P ( ) Q( 0 ) =? x + ile bölümüde kala dir. Bua P x poliomuu sabit terimie eşittir. P x Q x poliomuu ( x x) 0. P ( x) = x 4x 5 poliomu veriliyor. P ( x) poliomuu ( ) edile kalaı buluuz.. P ( x ) = 8x 7x 4x + k 5 poliomu veriliyor. P ( x ) poliomuu bölümüdeki kala ise, P ( x ) poliomuu ( ) ile x + ile bölümüde elde x + ile x + ile bölümüde elde edile kalaı buluuz.

22 . P( x) Q( x ) x x = + poliomu veriliyor. P ( x ) poliomuu ( ) ise Q(x) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz.. Bir Bua göre 4. x ile bölümüde kala 4 P x poliomuu ( x + x) ile bölümüde bölüm ( x + x) ve kala ( x ) P x poliomuu ( x + x) ile bölümüde kalaı buluuz. P x x 7 x 8 4x x 6 edile kalaı buluuz. = ise P x poliomuu ( ) + tür. x + ile bölümüde elde P ( x) = ( 4 x) + ( 4 x) poliomu =? x ile bölüdüğüde kala 7. olduğua göre 6. P ( x) + P ( x + ) = x + 6x ise, ( ) 5 7. P ( x) = x 4x + ve Q( x) x x Q P =? (7) P x poliomuu katsayılar toplamıı buluuz. = poliomları veriliyor. Bua göre, 8. P ( x ) ve. = 0 Q x birer poliomdur. der P ( x) Q ( x ) 5 ( ) der P P x. x Q x + =? () ve ( ) P P x der = 5 Q ( Q x ) ise,. = 0 ve 9. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom, der P ( x) Q ( x) derp ( x) derq( x ) = ise, der Q( x ) =? () 0. P x x 4x x + = + ise,? P x = ( x + 9 ). P ( x) = x x + 4x + olmak üzere, P ( x ) poliomuu ( ) kaçtır? (58). (8) P x x x x x = dir. P x poliomuu ( x x). ( x + ). P( x ) = x + x + c koşuluu sağlaya x ile bölümüde kala ile bölümüde kala kaçtır? P x poliomuu buluuz. ( x + x + ) 4. Bir P ( x ) poliomuu, ( x + ) ile bölümüde elde edile bölüm Q ( x ), kala tür. Q ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kala 5 dir. Bua göre P ( x ) poliomuu ile bölümüde elde edile kala edir? (5x + 7 ) x 4

23 5. bir P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde kala, ( ) Ayı P ( x ) poliomuu x x ile bölümüde elde edile kala K ( x ) ise, P x poliomu ( 9) 6. x ile bölüdüğüde 7 poliomuu ( x + ) ile bölümüde kala kaçtır? () x + ile bölümüde kala dir. x + kalaıı vermektedir. P ( x) 7. P ( x ) bir poliom olmak üzere, P ( x) + P ( x + ) = x + 4 ise, 8. P ( x) P( x ) = x + koşuluu sağlaya P ( x + ) poliomuu ( 7) x ile bölümüde kala kaçtır? P =? ( 7 ) K 4 =?. x P x poliomuu sabit terimi 5 dir. Bua göre

24 Dosya adı: Dizi: Şablo: POLİNOMLAR KONU ANLATIMI C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET C:\Users\TOLGA\AppData\Roamig\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: Kou: Yazar: TOLGA KURTYEMEZ Aahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :4:00 Düzeltme Sayısı: So Kayıt: :4:00 So Kaydede: TOLGA Düzeleme Süresi: 0 Dakika So Yazdırma Tarihi: :4:00 E So Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: Sözcük Sayısı: 4.0(yaklaşık) Karakter Sayısı:.977(yaklaşık)

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4) Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

6. x. 1 x = x denkleminin çözüm kümesi A) 3 2 B) 1 C) 1 2. x x

6. x. 1 x = x denkleminin çözüm kümesi A) 3 2 B) 1 C) 1 2. x x İkinci ereceden enklem Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar TEST-. + 9 = ) C) ise ) E) 6.. = denkleminin çözüm kümesi ile 6 + m + = 0 denkleminin çözüm kümesinin kesişimi bir elemanlı ise, m gerçel sayısının

Detaylı

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0 MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı