Cezalandırılmış Eğrisel Çizgi Regresyonunda Karışık Doğrusal Model Yaklaşımı. Linear Mixed Model Approach in Penalized Spline Regression

Transkript

1 üra S., otamış Ö. Cezaladırılmış Eğrsel Çzg Regresyoda Karışı Doğrsal Model Yalaşımı Semra üra,*, Öz otamış Hacettepe Üverstes, İstatst Bölümü, Beytepe/ANKARA Özet B çalışmada cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda arışı doğrsal model yalaşımı celemştr. B amaçla İstabl Saay Odası tarafıda yürütüle ürye' 5 Büyü Saay Krlş çalışmasıı 9 yılıa lş verler llaılmıştır. İşletmeler şgücü vermllğ ve atf arlılığı arasıda parametr olmaya lş cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo ve cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda arışı doğrsal model yalaşımı llaılara tahm edlmştr. R paet programıda arışı doğrsal model ç gelştrle lme paet llaılmıştır. Karışı doğrsal model yalaşımı llaılara tahm edle model hata areler ortalaması daha üçü blmştr. Aahtar Kelmeler: Karışı doğrsal model, cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo, parametr olmaya regresyo, ş gücü vermllğ, atf arlılığı Lear Mxed Model Approach Pealzed Sple Regresso Abstract I ths stdy, t was examed the lear mxed model approach the pealzed sple regresso. For ths prpose, the data for the year 9 whch s clded the rey s op 5 Idstral Eterprses stdy codcted by the İstabl Chamber of Idstry was sed. he oparametrc relatoshp betwee labor prodctvty ad retr o assets of the eterprses was estmated by sg pealzed sple regresso ad lear mxed model approach pealzed sple regresso. lme pacage whch s developed for lear mxed model R was sed. he mea sqare error of the model whch was estmated by sg lear mxed model approach s fod smaller. Keywords: Lear mxed model, pealzed sple regresso, oparametrc regresso, labor prodctvty, the retr o assets. Grş Parametr olmaya regresyo, (x, y ) ver çftler arasıda lş şel blmedğde yaygı olara llaıla br modeldr. B model llaılara düzgü (smooth) fosyolar olştrlablr. B fosyolar, ver ümes temsl ede düzgü br eğr olştrara bağımlı değşe ç daha y tahmler yapılmasıı sağlar. B edele b şleme düzleştrme (smoothg) adı verlr []. (Redpath, 8). Lteratürde çoğ ez düzleştrme yötemler olara taımlaa ço sayıda parametr olmaya regresyo yötem öerlmştr. Cezaladırılmış eğrsel çzg (pealzed sples ya da P-Sples) regresyo yötem de blarda brsdr. Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo yötem le arışı doğrsal modeller arasıda yaı br lş vardır. Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo model, arışı doğrsal modele bezetlere fade edleblr. Lteratürde arışı doğrsal model le cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo model arasıda * e-mal: stra@hacettepe.ed.tr 34

2 Nevşehr Üverstes Fe Blmler Esttüsü Dergs Clt () lşy celeye çalışmalar vardır. Cezaladırılmış eğrsel çzgler arışı doğrsal model gösterm taıtılmıştır []. oplamsal modellerde cezaladırılmış eğrsel çzgler llaılmıştır [3]. Parse vd. () ve Aerts vd. () arışı model yalaşımıı geelleştrlmş toplamsal modellere yglamışlardır [4, 5]. Rppert vd. (3), cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda arışı doğrsal model yalaşımıı celemşlerdr [6]. Karışı doğrsal modelde amaç, hem sabt etlere hem de rasgele etlere lş parametre estrmler elde edlmesdr. B amaçla öerle yötemlerde brs, hem sabt hem de rasgele etlere lş parametreler brlte estrlebldğ e y doğrsal yasız estrm (best lear based predctor, BLUP) yötemdr. B çalışmada cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo model arışı doğrsal modele bezetlp BLUP yalaşımı llaılara tahmler edlmştr.. Materyal ve Yötem.. Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo Verle x değerler ç y belee değer ve y le x arasıda lş geel olara y m (x) + ε () bçmde modelleeblr. Brada m (x) E( y/x x) olp regresyo fosyo adıı alır. Parametr olmaya regresyo fosyo m(x) bell br bçm olmadığı varsayılır. Parametr olmaya regresyo amacı, parametreler tahm etmete zyade doğrda m(.) fosyo tahm etmetr. κ <... < κ K, ( m (x ) κ <... < κ max (x ) ), düğüm otaları ümes ç Eş. () de K m(x) fosyo cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo olara m(x) bçmde fade edlr. Eş.() de K β + β x + b ( x - κ ) ε () (x κ ) +, (x κ x κ ), x > κ dır. Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda düğüm otaları κ K formülü le seçleblr. B formülde Km(/4 (terar etmeye x ler sayısı), 35) dr [7]. Ayrıca lteratürde düğüm otalarıı seçm ç bazı algortmalar da öerlmştr. Eş.() de β (β, β, b,..., b ) parametreler vetörüü tahm, K S( β ) y - X β + λβ D β (3) bçmde cezaladırılmış hata areler toplamı mmm yapılara blr ( λ ). Brada D matrs D x Kx I xk KxK 35

3 üra S., otamış Ö. bçmdedr. Eş. (3) de fadede λβ D β term pürüzlülü cezası (roghess pealty) olara, λ se düzleştrme parametres olara adladırılır. Eş. (3) de fosyo β ya göre türev alııp sıfıra eştlerse β 'ı tahm βˆ, βˆ - (X X + λd) X y (4) olara blr. Eş. (4) de λ ı seçm ç lteratürde brço yötem gelştrlmştr. Çapraz geçerll ve geelleştrlmş çapraz geçerll yötemler b yötemler çde e ço llaılalarıdır... Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda arışı doğrsal model yalaşımı Eş () de cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo model arışı doğrsal modele bezetlere gösterleblr. Ba göre Eş.() de model K y m(x ) β + β x + ( x - κ ) + ε (5) + bçmde fade edleblr. Eş.(5) de β, β vetörüü ve (... β, x değerlere lş regresyo atsayıları,, ) düğüm otalarıa lş regresyo atsayıları vetörüü K göstermetedr. Eş. (5) de fade matrs formda y X β + Z + ε (6) bçmde yazılablr. Eş. (5) de model hem sabt etler hem de rasgele etler brlte yer aldığı arışı doğrsal model fade etmetedr. Eş.(6) da sabt etlere lş tasarım matrs X ve rasgele etlere lş tasarım matrs Z X x, x Z (x (x κ ) + κ ) + (x (x κ κ ) + ) + bçmdedr. Eş. (6) da arışı doğrsal model göstermde β, sabt etlere lş parametreler vetörüü, se, rasgele etlere lş parametreler vetörüü ve ε rasgele hatalar vetörüü göstermetedr. Eş. (6) da ve ε belee değerler ve le ε arasıda varyas-ovaryas matrs, E ve ε Cov σ I (7) ε σ I ε bçmde oldğ varsayılsı. Ba göre Eş. (6) da arışı doğrsal modelde β ve parametreler vetörler brlte tahm e y doğrsal yasız estrc (BLUP) llaılara elde edleblr. Eş. (7) de bldğde y y ~ N(X β + Z, σ ε I), ~ N(, σ I) şelde ormal dağıldığı varsayılır [8]. ve y bleş yoğl fosyo, 36

4 Nevşehr Üverstes Fe Blmler Esttüsü Dergs Clt () f( ; y) f(y )f() dır. Eş. (8) de f( ; y) exp{ ( y X β Z ) ( y X β Z ) (8) log-olablrl fosyo L log (f(; y) (y X β Z) (y X β Z) + λ (9) olara elde edlr. Eş. (9) da düzleştrme parametres λ σ ε /σ oldğ görülmetedr. Eş. (9) da fade β ve ya göre türevler blp sıfıra eştlerse ( β, ) e y doğrsal yasız estrcs (BLUP) βˆ (C C + λd) C y ˆ () olara elde edlr. Brada C X Z ve D x Kx dr. Kestrm değerler vetörü se xk I KxK mˆ X βˆ + Z ˆ C(C C + λd) C y () olara blr. Eş. () de fade parametr olmaya m fosyo e y doğrsal yasız estrcs Rdge Regresyo göstermdr [6]. Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo arışı doğrsal model olara gösterm oldça yararlıdır. Çüü arışı doğrsal model olara fade edleble cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda estrmler arışı doğrsal model teors ve arışı doğrsal model ç gelştrle blgsayar programları llaılara elde edleblr. Ayrıca arışı doğrsal modelde estrle varyas oraı, σ /σ ε, eğrsel çzg regresyoda düzleştrme parametrese, λ, arşılı gelmetedr. B da düzleştrme parametres seçm öeml oldğ eğrsel çzg regresyoda düzleştrme parametres belrlemesde öeml olaylı sağlar. 3. Uyglama B çalışmada, cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımı le parametr olmaya regresyo fosyo estrme ç İstabl Saay Odası tarafıda yürütüle ürye' 5 Büyü Saay Krlş çalışmasıı 9 yılıa at verler llaılmıştır. İşletmelere at şgücü vermllğ ve atf arlılığı değşeler arasıda lş celemştr. Vermll, br üretm ya da hzmet sstem ürettğ çıtı le b çıtıyı yaratma ç lladığı grd arasıda lş olara taımlamıştır. Vermll br şletmede ayaları e ölçüde et llaıldığıı göstere br ölçüdür. B edele vermllğ ölçülmes ve vermllğ etleye fatörler belrlep otrol altıa alıması şletmeler ç oldça öemldr. İşgücü vermllğ se şletmeler üretm performaslarıda yleşmey ve gelşmey, dolayısıyla setörler reabet güçler yasıta öeml br göstergedr [9]. Vermll gösterges olara şgücü vermllğ alımıştır. İşgücü vermllğ İşgücü vermllğbrüt Katma değer/çalışa Sayısı bçmde hesaplamatadır. B çalışmada, şletmeler şgücü vermllğ bağımlı değşe, atf arlılığı (Döem Karı/Net Atf) se bağımsız değşe olara ele alımıştır. 37

5 Vermll üra S., otamış Ö. Bazı şletmelere lş verler es olması edeyle b şletmeler ver ümesde çıarılara 38 tae şletme aalze alımıştır. Şel de şgücü vermllğ ve atf arlılığıa lş saçılım grafğde b değşe arasıda parametr olmaya br lş oldğ görülmetedr Atf Karlılığı Şel. İşgücü vermllğ ve atf arlılı lş saçılım grafğ B çalışmada şgücü vermllğ ve atf arlılığı arasıda lş hem eğrsel çzg regresyo hem de eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımı llaılara celemştr. Eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımıı llama olaylı sağlamatadır. BLUP yalaşımıda eğrsel çzg regresyo arışı doğrsal modele bezetlere tahmler elde edldğ ç arışı doğrsal model ç gelştrle paet programları llaılara tahmler olaylıla elde edleblr. B çalışmada da tahmler R paet programıda arışı doğrsal model ç gelştrle lme paet llaılara elde edlmştr. Ayrıca eğrsel çzg regresyoda düzleştrme parametres seçm öeml br odr. Düzleştrme parametres seçm ç çapraz geçerl, geelleştrlmş çapraz geçerll vb. gb brço yötem gelştrlmştr. Aca eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımı llaıldığıda düzleştrme parametres seçm ç herhag br yöteme gere dylmaz. Çüü Eş.(9) da BLUP yötem le tahm edle varyas oraı ( σ σ ) düzleştrme parametres olara elde edlr. İl olara ε / cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda llaılaca düğüm sayılarıa arar verlmeldr. B ç Km(/4 (terar etmeye x ler sayısı), 35) formülüde yararlaılmıştır. Ba göre düğüm otalarıı sayısı Km(79., 35)35 olara blmştr. Düğüm otası sayısı belrledte sora R programıda yazıla odlar le b düğüm otaları ç X ve Z matrsler yede olştrlmştr. Karışı doğrsal model ç gelştrle lme paet programı llaılara Eş.(6) da arışı doğrsal model ç parametre estrmler elde edlmştr. Bla parametre estrmler yere yazılara Eş.() de estrm değerler, mˆ, blmştr. Düzleştrme parametres / σ ε λ σ.788 /.58.6 olara elde edlmştr. Daha sora b verler ç ayı düğüm otalarıda Eş.() de eğrsel çzg regresyo model llaılara mˆ değerler elde edlmştr. Eş.() de eğrsel çzg regresyo model ç düzleştrme parametres geelleştrlmş çapraz geçerll yötem le λ.8875 olara elde edlmştr. Eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımı llaılara yapıla düzleştrme ve eğrsel çzg regresyo llaılara yapıla düzleştrme Şel de gb elde edlmştr. 38

6 Nevşehr Üverstes Fe Blmler Esttüsü Dergs Clt () Şel. BLUP llaılara elde edle düzleştrme ve Eğrsel Çzg Regresyo (EÇR) le elde edle düzleştrme Şel de görüldüğü gb eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımı llaıldığıda daha y br düzleştrme elde edlmştr. Ayrıca her modele lş hata areler ortalaması HKO (y yˆ formülü llaılara hesaplamış ve ablo de gb elde edlmştr. ablo. Yötemlere lş HKO Kllaıla Düzleştrme Yötem HKO BLUP Yalaşımı,696 Eğrsel Çzg Regresyo,756 ) ablo de görüldüğü gb eğrsel çzg regresyoda BLUP yalaşımı llaıldığıda elde edle hata areler ortalaması daha düşütür. 4. Soç Eğrsel çzg regresyoda arışı doğrsal model yalaşımıı llaılması tahmlere lş hatayı azaltmıştır. Ayrıca very temsl ede daha y br düzleştrme elde edlmştr. Cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo arışı doğrsal model olara gösterlmes, arışı doğrsal model teorsde yararlaara tahmler elde edlmes sağlamıştır. B amaçla arışı doğrsal model ç gelştrle paet programlarıda yararlaılablmştr. Ayrıca cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo arışı doğrsal model olara gösterlmes sayesde düzleştrme parametres seçm ç herhag br yötem llaılmasıa gere almamıştır. Ayrıca celee ver ümes ç cezaladırılmış eğrsel çzg regresyoda arışı doğrsal model yalaşımı llaıldığıda elde edle hata areler ortalaması, cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo llaılara elde edle hata areler ortalamasıda daha üçü blmştr. Soç olara cezaladırılmış eğrsel çzg regresyo arışı doğrsal model olara gösterm araştırmacılara olaylı sağlamatadır. 39

7 üra S., otamış Ö. 5. Kayalar [] Redpath M., Comparg Kerel Smoothg, Sple Smoothg ad Smoothg Sples [] Brmbac B. A., Rppert D., Wad M. P., Commet o Shvely, Koh&Wood, Joral of he Amerca Statstcal Assocato, 94, , 999. [3] Coll B.A., Schwartz J., Wad M.P., Respratory Health ad Ar Pollto: Addtve Mxed Model Aalyses, Bostatstcs,, ,. [4] Parse H., Wad M. P., Rppert D., Rya L.,, Icorporato of Hstorcal Cotrols Usg Semparametrc Mxed Models, Joral of he Royal Statstcal Socety, Seres C, 5, 3-4,. [5] Aerts M., Claeses G., Wad M.P., Some heory for Pealzed Sple Geeralzed Addtve Models, Joral of Statstcal Plag ad Iferece, 3, ,. [6] Rppert D., Wad M.P., Carroll R.J., Semparametrc Regresso, Cambrge Uversty Pres, 3. [7] Yao F., Lee.C.M., O ot placemet for pealzed sple regresso, Joral of the Korea Statstcal Socety, 37, 59-67, 8. [8] üra S., Yarı Parametr Regresyo Modelde Etl Gözlem Aalz, Dotora ez, Hacettepe Üverstes Fe Blmler Esttüsü, Aara, 6,. [9] ezca N., Vermllğ Etleye Fatörler Aalz: ürye 5 Büyü Saay Krlş Üzerde Br Uyglama, Vermll Dergs, 3,. 4