SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

Transkript

1 TMMOB Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, 15. Türye Harta Blmsel ve Ten Kurultayı, 5 8 Mart 015, Anara. SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Leyla ÇAKIR* *Karadenz Ten. Ünverstes, Mühendsl Faültes, Harta Mühendslğ Bölümü, 61080, TRABZON. Özet Günümüzde blgsayar tenolojsnn gelşmesyle yaygın br ullanım alanı azanan Sayısal Yüsel Modeller (SYM), arazye dayalı analzler çn öneml br ver aynağıdır. Yeryüzünün sürel değşen topoğraf yüzeyn sayısal ve üç boyutlu olara fade eden SYM nn oluşturulmasında, topoğraf yüzey yeterl duyarlıta temsl edece, araz üzernde düzenl ya da düzensz şelde dağılmış onum ve yüsel vers blnen dayana notalarına htyaç vardır. Bu dayana notalarına bağlı olara uygun br hesaplama yöntem le oluşturulan SYM de, yen br ara notanın yüsel vers olaylıla elde edlmetedr. Yapılan çalışmada uygulama alanı olara fonsyonel br test yüzey ullanılmıştır. Oluşturulan yüzey, dağlar ve çuurdan oluşan engebel br araz görünümündedr. Bu test yüzey çn rastgele dağılımda 80 dayana notası ve 30 test notası belrlenere, polnomlar, multuadr enterpolasyon, ler beslemel yapay snr ağları (İBYSA) ve yapay snr ağlarının brlte ullanıldığı arma br yapı olan adaptf ağ tabanlı bulanı çıarım sstemler (ANFIS) yöntemler le yüzey temsl edece en uygun sayısal yüsel modeller oluşturulmuştur. Bu çalışmada, tüm yöntemlerde en y sonucu veren SYM lerden elde edlen statstsel değerler arşılaştırıldığında, ncelenen test yüzey çn sayısal yüsel model belrlemede ler beslemel yapay snr ağları ve ANFIS yöntemlernn polnomlar ve multuadr enterpolasyon yöntemlerne göre daha başarılı olduğu görülmüştür. Anahtar Sözcüler Yapay snr ağları, ANFIS, polnomlar, multuadr enterpolasyon 1. Grş 1950 l yılların sonlarına doğru ortaya atılan SYM ler, blgsayarda yapılaca şlemlere esas olma üzere yeryüzünün sayısal gösterm olara tanımlanır (Güler, 1983). Yeryüzünün sürel değşen topoğraf yüzeyn sayısal ve üç boyutlu olara fade eden SYM den, eğm ve baı hartaları, havza profller, drenaj ağı, görünürlü analzler gb pe ço ver elde edlmetedr. SYM nn oluşturulmasında, topoğraf yüzey yeterl duyarlıta temsl edece, araz üzernde düzenl ya da düzensz şelde dağılmış onum ve yüsel vers blnen dayana notalarına htyaç vardır. Bu dayana notalarına bağlı olara uygun br hesaplama yöntem le oluşturulan SYM de, yen br ara notanın yüsel vers olaylıla elde edlmetedr. Sayısal yüsel modelne onu olan yüzeylern yan topoğrafyanın matematsel anlamda brbrnden farlı özelller göstermes, uygulamacıları her çalışma çn farlı model ya da estrm yöntem belrlemeye yöneltmştr. SYM üretmnde ullanılan hesaplama yöntemler ço çeştl olup, olloasyon, polnomlar, multuadr ve rgng enterpolasyon yöntemlerne sılıla başvurulmatadır. Ayrıca brço mühendsl problemne etn çözümler sağlayan esne hesaplama yöntemler de, lneer ve lneer olmayan modellere uygulanablme yetenelernden dolayı SYM lern oluşturulmasında y br araç olara düşünüleblr. Bu çalışmada se fonsyonel br test yüzeynn modellenmesnde las ve esne hesaplama yöntemlernn doğrulularının arşılaştırılması amaçlanmıştır. Klas hesaplama yöntem olara polnomlar ve multuadr enterpolasyon, Esne hesaplama yöntem olara da İBYSA ve ANFIS yöntemler ullanılmıştır. Çalışmada ullanılan yöntemler aşağıda açılanmatadır.. YÖNTEMLER.1.Polnomlarla Enterpolasyon Bu yöntem, en yaygın ullanılan yöntemlerden brdr. Yöntemn amacı, araz yüzeyn te br fonsyonla fade etmetr. (x,y,z) oordnatları le blnen dayana notalarının oluşturduğu araz yüzey sırasıyla n. dereceden ortogonal olmayan polnomlar ullanılara aşağıda gb, n n = j N ( x, y) a x y (1) j = 0 j = 0 fade edleblr (İnal vd., 003; Mcchell, 1986; Yanala, 00). Burada a j, polnomun blnmeyen atsayılarını; n, * Sorumlu Yazar: Tel: +90 (46) Fas: +90 (46) E posta: lcar@tu.edu.tr (LEYLA ÇAKIR)

2 SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI yüzeyn derecesn göstermetedr. Polnomsal fadelern çözümünde dayana nota sayısının gereğnden fazla olması durumunda polnom blnmeyen atsayıları, en üçü areler yöntemne göre hesaplanır. Bu atsayılar bulundutan sonra, çalışma bölgesnde herhang br enterpolasyon notasının yüsel değer, açıncı derece polnom ullanılacasa, o polnoma at eştlğe göre hesaplanır. Br uygulama bölges çn polnomlarla enterpolasyon uygulamasında açıncı dereceden br polnom ullanılacağı, polnom derecesnn brnc dereceden başlatılıp sırasıyla arttırılara dengeleme sonuçlarının analz edlmesyle belrlenr. Bu analz aşamasında, model ve estrlen parametreler çn anlamlılı ve uyuşumsuz ölçü testlernden yararlanılır (Asoy, 1984; Kona, 1994; Öztür ve Şerbetç,199; Wolf and Ghlan, 1997; Şmşe, 199)... Multuadr Enterpolasyon 1971 de Hardy tarafından önerlen bu yöntemn amacı dayana notalarının tümünü aynı anda ullanara araz yüzeyn te br fonsyonla fade etmetr. Bu yöntemde öncelle çalışma bölgesnde tüm dayana notaları ullanılara br trend yüzey geçrlr. Trend yüzey olara m. dereceden br polnom uygulanması durumunda polnomun blnmeyen atsayıları dayana notalarının z değerlerne bağlı olara en üçü arelere göre çözümlendten sonra dayana notalarında artı yüsel değerler aşağıda gb hesaplanır. z = z P ( x, y ) () Bu yöntemde topoğraf yüzey, atsayıları tanımlanmış nc dereden yüzey denlemlernn toplamı olara belrlenmetedr. Hardy bu yüzey Multuadr Yüzey olara tanımlamatadır. Multuadr yüzeyn en genel eştlğ, n z = c [ Q ( x, y, x, y ) ] (3) = 1 bçmndedr. Burada Δz, y ve x n fonsyonları olan n sayıda Q yüzeylern toplamından oluşur. Çalışmada Q yüzey olara yapralı daresel hperbolod serler ullanılmıştır. Bağıntıda c atsayıları, her br Q yüzeynn şaretn ve eğmn belrler (Güler 1983, Hardy 1971). c atsayıları n sayıda dayana notasının (x,y,δz ) değerlernden yararlanara hesaplandıtan sonra (x 0,y ) oordnatlarıyla blnen herhang br enterpolasyon notasının 0 z değer aşağıda eştlten hesaplanır. n 0 = ( 0, 0 ) + 0 = ( 0, 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + δ = 1 z P x y z P x y c x x y y (4) eştlte geçen δ geometr parametres ullanıcı tarafından belrlenen sabt br sayı olup yüzeyn düzgünlüğünü veya esnlğn göstermetedr Yapay Snr Ağları (YSA) İnsan beynnn üstün özelller, blm adamlarını üzernde çalışmaya zorlamış ve beynn öğrenme yolu le yen blgler türeteblme, yen blgler oluşturablme ve eşfedeblme gb yetenelern herhang br yardım almadan otomat olara gerçeleştrme amacıyla YSA yı blgsayar sstemlernde gelştrmeye yönlendrmştr. (Öztemel 003). Böylece YSA, deneysel blgnn depolanmasını ve ullanıma uygun hale getrlmesn sağlayan, bast brmlerden oluşan paralel olara dağıtılmış br şlemc olara tanımlanablr (Hayn, 1994). YSA nın temel şlem elemanı, byoloj olara nsan beynnde nöronlara arşılı gelen yapay snr hücresdr. θ (Eş) x1 1 x u f y M xm Grş M m Ağırlılar Toplam fonsyonu Atvasyon fonsyonu Çıış Şel 1. Yapay snr hücres model

3 LEYLA ÇAKIR Şel 1 de görüldüğü gb, yapay snr hücres, grşler, ağırlılar, toplam fonsyonu, transfer fonsyonu ve çıış olma üzere beş temel öğeden oluşmatadır. Yapay snr hücresnn görev, önce snrlerden veya dış dünyadan aldığı grş tabaasında 1,x brço blgy (x m),..,x başa nöronlara letmetr. Her br grş vers, endne at br ağırlığa sahptr. Ağırlılar ( 1,,, ), m grş değerlern çıış değer üzernde önemn ve etsn belrleyen uygun atsayılardır. Br nöron modelnde, nörona gelen her grd vers end ağırlığı le çarpılıp çarpım sonuçları toplanmata, buna θ bas değer de elenere elde edlen u çıış değer, atvasyon fonsyonuna gönderlmetedr. Böylelle u çıtı değernn matematsel model aşağıda gb oluşturablr: m = m m + θ = + θ = 1 u x x x x (5) Burada m grş sayısı olma üzere x,. şlem elemanının grş,,. şlem elemanından nıncı şlem elemanına olan ağırlı değern göstermetedr. Sonuç olara y çıış değer, m = = + θ = 1 y f ( u ) f ( x ) (6) bçmnde fade edleblr. Formülde geçen f, atvasyon fonsyonudur (Elmas, 003). Bu snr hücreler, rastgele değl de atmanlar halnde gruplandırılara yapay snr ağlarını oluştururlar. Genel olara br ağda üç atman bulunur. Bunlar, grd, ara (gzl) atman ve çıtı atmanıdır (Şel ). Bazı ağlarda gzl atman hç olmayacağı gb, bazılarında da brden fazla sayıda olablr. Ağın grd ve çıtı atmanlarında, probleme at verler bulunmatadır. Br yapay snr ağında ara atman sayısı ve ara atmanlarda nöron sayısı, her probleme göre denemeyanılma yolu le performans rterlerne baılara belrlenr. Bas Bas x z y Grd Katmanı Ara Katman Çıtı Katmanı Şel. İBYSA mmar yapısı Yapay snr ağlarında ço çeştl ağ yapıları vardır. Bu çalışmada, ler beslemel yapay snr ağları ullanılmıştır. Şel de görüldüğü gb İBYSA atmanlarında blg aışı grş atmanından çıış atmanına doğru te yönlü bağlantılarla gerçeleşmetedr. Buna göre br atmanda bütün nöronlar br üst atmanda tüm nöronlara bağlıdır. Aynı atmanda bulunan nöronlar arasında bağlantı urulamaz. YSA larda amaçlanan, örne grd çıtı ver setnde lşlendrmey tanımlayara seçlen eğtm algortmalarıyla nöronlar arasında ağırlı verlernn optmal değerlernn belrlenmesdr. Böylece ağ, test verler çn çıış değer üreteblr. İBYSA ların eğtmnde genellle ger yayılım algortması ullanılmatadır. Bu algortma hataların çıış atmanından grş atmanına doğru azaltılmasını amaçlamatadır. Bu algortmada ağın ürettğ çıtı le belenen değerler arşılaştırılara elde edlen hatanın abul edleblr br düzeye nmes çn ağın ağırlı ve eş değerlernn teratf olara değştrlr. Bu şlem ağın performans ölçütü E nn mnmze edlmesyle gerçeleştrlr. 1 1 E = t ç = (7) Q Q ( q q ) ( ε q ) q= 1 q = 1 Eştlte q ç ağın q ürettğ çıtıyı, t belenen çıtı değern, ε se hata değern göstermetedr. Bu apsamda, performans fonsyonunu mmmum yapaca şelde çeştl gerye yayılım algortması gelştrlmştr. Bu çalışmada Levenberg Marquardt algortması ullanılmıştır.

4 SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI.4. Adaptf Ağ Tabanlı Bulanı Çıarım Sstem (ANFIS) 1993 yılında Jang tarafından ortaya atılan ANFIS, yapay snr ağlarının paralel hesaplayablme ve öğrenme ablyet le bulanı mantığın uzman blgsn ullanara sonuçlar çıarablme özelllernn brleşmnden oluşur. Sugeno bulanı çıarım sstemne dayalı br modeldr. Şel 3 de görüldüğü gb grş ve br çıış değerne sahp ANFIS yapısında 5 adet atman vardır. x y A 1 x Π 1 A N 1 A 1 1 f 1 Σ f y B 1 B Π N A x y f 1. Katman.Katman 3.Katman 4.Katman 5.Katman Şel 3. ANFIS yapısı 1.Katman: Bulanılaştırma atmanıdır. Bu atmanda her br aresel düğüm (A, B) b ulanı ümey temsl etmetedr. Katmanda her br düğümün çıışı, grş değerlerne ve ullanılan üyel fonsyonuna bağlı olara üyel derecesn göstermetedr. Bu atmanda üyel fonsyonu parametreler öncül parametreler olara smlendrlr. 1. atmandan elde edlen üyel dereceler A ( x ) ve B ( y ) bçmnde gösterlr. µ µ.katman: Kural atmanıdır. Bu atmanda Π le etetlenmş her br düğüm ural sayısını göstermete olup, 1. atmandan gelen üyel derecelernn çarpımını fade etmetedr. Burada her br düğümün çıışı aynı zamanda uralın ağırlığı olara abul edlr ve aşağıda gb hesaplanır. O = = µ ( x). µ ( y ) (8) A B 3.Katman: N le etetlenmş sabt düğümlern oluşturduğu bu atman normalzasyon atmanı olara da smlendrlr. Bu atmanda her br düğüm,. atmandan gelen tüm düğümler grş değer olara abul etmete ve her br ağırlığı normlandırmatadır. 3 O = = =, = 1, + 1 (9) 4.Katman: Bu atmanda her br düğümün çıtısı 3.atmandan elde edlen normlandırılmış ağırlı le brnc derece polnomun bastçe çarpımı olara hesaplanır. Bu atmanda (p,q,,r ) polnom parametreler. uralın soncul parametreler olara smlendrlr. O = f = ( p x + q y + r ) (10) 4 5.Katman: Bu atmanda sadece br düğüm vardır ve le etetlenmştr. Bu atmanda ANFIS sstemnn genel çıış değer hesaplanır ve durulaştırma le bulanı değerden esn değere dönüştürülür. f 5 O = f = f = 1 1 f + f = (11) Bu çalışmada ANFIS sstem çn model parametrelernn belrlenmesnde gerye yayılım yöntem ve en üçü areler yöntemlernn brleşmnden oluşan Hbrd öğrenme algortması ullanılmıştır (Jang, 1993, Şen, 001)

5 LEYLA ÇAKIR Bu çalışmada uygulama alanı olara 100m*100m l alanda tanımlı (1) eştlğnde verlen fonsyonel br test yüzey ullanılmıştır (Frane, 1979 ). Oluşturulan yüzey, dağlar ve çuurdan oluşan engebel br araz görünümündedr. Test yüzeynn fonsyonla fade edlmes bze notaların gerçe yüsel değerlern hesaplamayı sağlar. Böylece dayana ve test notalarına at gerçe hatalar elde edlmetedr. Uygulamada öncelle rasgele dağılımda 80 nota dayana notası ve 30 test notası belrlenmştr. Bu notaların yüzey üzernde dağılımı ve yüzeyn perspetf görünümü Şel3 de görülmetedr. Uygulamalara at tüm hesaplamalar MATLAB programlama dlnde hazırlanmıştır. (9 x / 100 ) + (9 y / 100 ) (9 x / ) 9 y / z( x, y ) = 0.75 exp exp (9 x /100 7) + (9 y /100 3) exp 4 0. exp (9 x / 100 4) (9 y / 100 7) * 50 ) (1) : Dayana notası + : Test notası Şel 3. Test yüzeynn eşyüselt eğrl planı ve perspetf görünümü Test yüzeyn polnomlarla modellemede, polnom dereces brden başlanara sırayla arttırılmış ve yüzey çn hesaplanan statstsel sonuçlar rdelenere değerlendrmeler yapılmıştır. Polnom atsayılarının anlamlılığını test etme çn statstsel t test ullanılmıştır. t test çn tablo değer %95 güven aralığında hesaplanmıştır. Buna göre, test yüzey çn yapılan değerlendrmelerde ortogonal olmayan yednc derece polnom yüzeynn dayana ve test notalarına daha y yaınsadığı görülmetedr. Test yüzeynn multuadr enterpolasyon yöntem modellenmesnde trend yüzey olara lneer yüzey, δ parametresnn değer de sıfır alınmıştır. İBYSA le test yüzeynn modellenmesnde se ağ mmars oluşturuluren grd blgs olara yatay onum (x,y) vers, çıtı blgs olara da (z) yüsel değer ullanılmıştır. YSA da uygun ağ parametreler yan öğrenme algortması, gzl atman sayısı, gzl atmanlarda hücre sayısı, öğrenme oranı gb parametreler değştrlere deneme yanılma stratejs le en uygun ağ mmars bulunmaya çalışılmıştır. Yapılan denemeler sonucunda belrlenen parametreler: Levenberg Marquardt öğrenme algortması, öğrenme oranı 0.0 ve momentum atsayısı 0.9, eğtm performansı çn hedeflenen hata değer 10 5, epo sayısı 1000 olan ara atmandır. İBYSA nın mmars :10:3:1 bçmndedr. Bu fadeye göre grd atmanında nöron (x,y), brnc ara atmanda 10 nöron, nc ara atmanda 3 nöron ve çıtı atmanında br nöron (z) bulunmatadır. Oluşturulan İBYSA nın ara atmanlarında atvasyon fonsyonu olara sırasıyla hperbol tanjant sgmod, logartm sgmod ve lneer fonsyonların daha y sonuçlar verdğ gözlenmştr. ANFIS le trend yüzeynn modellenmesnde İBYSA yöntemne benzer olara dayana notalarının yatay onum (x,y) değerler grd, yüselğ değerler çıtı olara ssteme grlmştr. Oluşturulaca ANFIS modelnde x ve y değerlern alt ümelere ayırma çn ullanılaca üyel fonsyonu tp ve üyel fonsyonlarının sayısı, deneme yanılma yöntemyle en az aresel ortalama hatası esas alınara, ayrıca eğtm hatası le test hatası arasında farın ço yüse çımadığı seçeneler date alınara belrlenmştr. Grd verler çn üyel fonsyon türü gauss; x ve y değerler çn beş alt üme ayrılara elde edlen yüzeyn daha y sonuç verdğ gözlenmştr. Sonuçta uygulama alanında en y sonucu veren tüm yöntemlerden elde edlen statstsel değerler aşağıda Tablo 1 de gösterlmştr. Tablo 1. Uygulama yüzeyne at test notalarında elde edlen statstsel sonuçlar

6 SAYISAL YÜKSEKLİK MODELLERİNDE KLASİK VE ESNEK HESAPLAMA YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Yöntem mn (m) ort (m) mas (m) m 0 (m) R Polnom Multuadr İBYSA ANFIS SONUÇLAR Brço probleme alternatf çözümler üreten esne hesaplama yöntemler, farlı alanlarda genş br ullanım alanına sahptr. Bu çalışmada, esne hesaplama yöntemlernden İBYSA ve ANFIS, las yöntemlerden de polnomlar ve multuadr enterpolasyon le SYM üretlere yöntemlern arşılaştırılması amaçlanmıştır. Esne hesaplama yöntemlernde ullanılan parametreler denemeler sonunda ullanıcı tarafından belrlendğ çn hesaplama süres açısından las yöntemler le ıyaslandığında daha fazla zaman alan yöntemlerdr. Uygulama yüzeyne at test notaları çn, Tablo 1 de statstsel değerler ncelendğnde polnomlar, multuadr, İBYSA ve ANFIS yöntemler çn aresel ortalama hata değerler sırasıyla ±0.86m, ±0.70m, ±0.55m ve ±0.5m olup belrll atsayı değerlernde de , , ve gb sonuçlar elde edlmştr. Tüm yöntemlerden statstsel değerler arşılaştırıldığında esne hesaplama yöntemlernn daha y sonuçlar verdğ görülmetedr. Kaynalar Asoy, A., (1984), Uyuşumsuz ölçüler test, Harta Dergs, 93, Elmas, Ç., (003), Yapay snr ağları (Kuram, Mmar, Eğtm, Uygulama), Seçn Yayıncılı. Anara, 19 ss. Frane, R., (1979), A Crtcal comparson of some methods for nterpolaton of scattered data, Araştırma raporu, Naval Postgraduate School Monterey, Calforna. Güler, A., (1983), Sayısal araz modellernde enterpolasyon yöntem le denemeler, K.T.Ü. Araştırma ve İnceleme Yayınları Dzs, Genel Yayın No:, Faülte Yayın No:19, Trabzon, s. Hardy, R. L., (1971), Multquadrc equatons of topography and other rregular surfaces, J. of Geophyscal. Research, 76, Hayn, S., (1999), Neural netors a comprehensve foundaton, Prentce Hall Publsh., Ne Jersey, 84 s. İnal, C., Turgut, B. ve Yğt, C., Ö., (003), Loal alanlarda jeot ondülasyonlarının belrlenmesnde ullanılan enterpolasyon yöntemlernn arşılaştırılması, Selçu Ünverstes Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğnde 30.Yıl Sempozyumu, Em, Konya, Bldrler Ktabı, Jang, J., S., R., (1993), ANFIS: Adaptve netor based fuzzy nference systems, IEEE Transactons on Systems, Man ve Cybernetcs, 3, Kona, H., (1994),Yüzey ağlarının optmzasyonu, Dotora Tez, Karadenz Ten Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Trabzon. Mcchell, C., A., (1986), Interpolaton of scattered data: dstance matrces and condtonally postve defnte functons, Const. Approx.,, 11. Öztemel, E., (003), Yapay snr ağları, Papatya Yayınev, İstanbul, 3 ss. Öztür, E. ve Şerbetç, M., (199), Dengeleme hesabı, Clt III, K.T.Ü. Basımev, Trabzon, 558 ss. Şen, Z., (001), Bulanı mantı ve modelleme leler, Blge Yayıncılı, İstanbul. Şmşe, M., (199), Jeodez ağlarda uyuşumsuz ölçülern belrlenmes, Harta Dergs, 108, Wolf, H. ve Ghlan, C., D., (1997), Adjustment computaton: statstcs ve least squares n surveyng ve GIS, John Wley ve Sons Inc., Ne Yor, 564 s. Yanala M., (00), Sayısal araz modellernde yüsel enterpolasyonu, Harta Dergs, 18, s.