Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Transkript

1 Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

2 Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmuştur. Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması koşulu ile özgürce kullanılabilir, çoğaltılabilir ve değiştirilebilir. Creative Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne adresinden ulaşabilirsiniz. A. Talha Yalta TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

3 Ders Planı Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri 2

4 Ders Planı Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri 1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri 2

5 Dizey Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri Dizey Dizey cebiri kullanmaksızın k değişkenli bir bağlanım modeliyle uğraşmak son derece karmaşık bir iştir. Burada, doğrusal bağlanım modelini dizey yaklaşımı ile ele alabilmek için gerekli temel altyapı sunulacaktır. M N boyutlu bir dizey (matrix), M satır ve N sütun biçiminde düzenlenmiş sayılar ya da öğelerin dikdörtgen bir dizgesidir. a 11 a A = [a ij ] = a 21 a a ij burada A dizeyinin i inci satırı ve j inci sütununda görülen öğeyi anlatmaktadır.

6 Sayıl Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri 2 3 boyutundaki bir dizeye örnek: [ ] A 2 3 = Sayıl Sayıl (scalar), tek bir gerçek sayıdır ve 1 1 boyutunda bir dizey kabul edilir. Sayıla örnek: B 1 1 = [5]

7 Satır ve Sütun Yöneyleri Tanımlar Dizey Türleri Sütun Yöneyi Tek bir sütunu ve M sayıda satırı olan dizeye sütun yöneyi (column vector) denir. Sütun yöneyine örnek: A 4 1 = Satır Yöneyi Tek bir satırı ve N sayıda sütunu olan dizeye satır yöneyi (row vector) denir. Satır yöneyine örnek: B 1 4 = ˆ

8 Altdizey Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri Altdizey M N boyutundaki bir A dizeyinin r sayıda satırı ile s sayıda sütununun dışındaki tüm öğeleri silinirse elde edilen r s boyutlu dizey, A ya ait bir altdizey (submatrix) olur. Örnek olarak, aşağıda verilen A dizeyinin üçüncü satırıyla ikinci sütununu silersek A nın 2 2 boyutundaki bir B altdizeyini bulmuş oluruz: A 3 3 = B 2 2 = [ ]

9 Kare Dizey ve Köşegen Dizey Tanımlar Dizey Türleri Kare Dizey Satır sayısı sütun sayısı ile aynı olan dizeye kare dizey (square matrix) denir. Kare dizeye örnek: A 3 3 = Köşegen Dizey Asal (sol üst köşeden sağ alt köşeye uzanan) köşegeninde en az bir sıfırdan farklı öğe bulunan ve bu köşegen dışı tüm öğeleri sıfır olan dizeye köşegen dizey (diagonal matrix) denir. Köşegen dizeye örnek: B 3 3 =

10 Sayıl Dizey ve Birim Dizey Tanımlar Dizey Türleri Sayıl Dizey Köşegeni üzerindeki öğelerinin hepsi aynı olan köşegen dizeye sayıl dizey (scalar matrix) denir. Birim Dizey Köşegeni üzerindeki öğelerinin hepsi 1 olan köşegen dizeye birim dizey (identity matrix) denir ve I ile gösterilir. Sayıl dizeye örnek: σ A 3 3 = 0 σ σ 2 Birim dizeye örnek: I 3 3 =

11 Tanımlar Dizey Türleri Bakışımlı Dizey ve Eşit Dizeyler Bakışımlı Dizey Asal köşegeni üzerindeki öğeleri, asal köşegeni altındaki öğelerinin bakışımı olan dizeye bakışımlı dizey (symmetric matrix) denir. Devriği kendisine eşittir. Eşit Dizeyler A ve B gibi iki dizeyin boyutları aynıysa ve karşılıklı öğeleri birbirine eşitse (a ij = b ij ), bu dizeyler eşittir. Bakışımlı dizeye örnek: A 3 3 = Eşit dizeylere örnek: =

12 Boş Dizey ve Boş Yöney Tanımlar Dizey Türleri Boş Dizey Bütün öğeleri sıfır olan dizeye boş dizey (null matrix) denir ve 0 ile gösterilir. Boş dizeye örnek: = Boş Yöney Bütün öğeleri sıfır olan satır ya da sütun yöneyine boş yöney (null vector) denir ve 0 ile gösterilir. Boş yöneye örnek: = [ ]

13 Ders Planı Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Tanımlar Dizey Türleri 2

14 Dizey Toplamı ve Farkı Dizey Toplaması ve Çıkarması A ve B dizeylerinin toplamı ya da farkı, karşılıklı öğelerinin toplamı ya da farkı alınarak elde edilir. Bu dizeylerin toplama ya da çıkarma için uyumlu olabilmeleri için boyutları aynı olmalıdır. Dizey toplamasına örnek: 3 4 A B 3 2 = =

15 Dizey Çarpımı Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Bir Dizeyin Bir Sayıl ile Çarpımı ya da Bölümü Bir A dizeyini λ R sayılı ile çarpmak ya da bölmek için, dizeyin bütün öğeleri λ ile çarpılır ya da λ 0 a bölünür. Dizeyler Çarpımı Boyutu M N olan A ve boyutu N P olan B dizeylerinin AB çarpımı, M P boyutunda ve aşağıdaki gibi bir C dizeyi olur. c ij = N a ik b kj i = {1, 2,..., M} j = {1, 2,..., P} k=1 Diğer bir deyişle C nin i inci satır ve j inci sütun öğesi, A nın i inci satırındaki öğelerinin B nin j inci sütunundaki karşılıklı öğeleri ile çarpılıp, çarpımların toplanması ile bulunur.

16 Dizeyler Çarpımının Özellikleri Dizeyler çarpımı işlemi aşağıdaki özellikleri taşır: 1 Dizey çarpımı değişmeli olmak zorunda değildir. Kısaca dizeylerin çarpım sıralaması önemlidir: AB BA 2 AB ve BA nın sonuç dizeyleri aynı boyutta olmayabilir: A K L B L K = C K K B L K A K L = D L L 3 A 1 K satır yöneyiyle önden çarpılan B K 1 sütun yöneyi bir sayıl olur. 4 A K 1 sütun yöneyiyle önden çarpılan B 1 K satır yöneyi bir dizey olur. 5 Dizey çarpımı birleştiricidir: (AB)C = A(BC) 6 Dizey çarpımı toplama bakımından dağıtıcıdır: A(B + C) = AB + AC

17 Dizey Devriği Alma Dizey Devriği Alma M N bir A dizeyinin A ile gösterilen devriği (transpose), A nın satır ve sütunlarına yer değiştirterek, yani A nın i inci satırını A nün i inci sütunu yaparak elde edilen N M dizeyidir. A 3 2 = A 2 3 = [ Bir satır yöneyinin devriği sütun yöneyi olup, bir sütun yöneyinin devriği de satır yöneyidir. ]

18 Devrik Dizeyin Özellikleri Devrik dizey dönüşümünün bazı özellikleri şunlardır: 1 Devrik bir dizeyin devriği ilk dizeydir: (A ) = A 2 İki dizey toplamının devriği, devriklerin toplamıdır: (A + B) = A + B 3 Dizey çarpımının devriği, bu dizeylerin devriklerinin ters sırada çarpımıdır: (ABCD) = D C B A 4 Birim dizey I nın devriği kendisidir: I = I 5 Bir sayılın devriği kendisidir. λ bir sayıl olsun: λ = λ 6 λ bir sayıl olsun: (λa) = λa = A λ = A λ 7 A dizeyi eğer A = A olacak şekilde kare dizeyse, A bakışımlı bir dizey olur.

19 Bir Dizeyin Belirleyeni Her kare dizey A için, belirleyen (determinant) diye bilinen ve A şeklinde gösterilen bir sayıl vardır. Bir dizeyin belirleyeninin hesaplanması, iyi tanımlı bir dizi işlem ile gerçekleştirilir. Örnek olarak 2 2 boyutundaki bir dizeyin belirleyeni, asal köşegen üzerindeki öğelerin çarpımından diğer köşegen öğelerinin çarpımının çıkartılması ile bulunur. Herhangi bir derecedeki belirleyenin açılımında, terimler dönüşümlü olarak + ve işaret alırlar. 3 3 bir belirleyenin açılımında 6 terim bulunur. Genel olarak, N N bir belirleyenin açılımında N! terim vardır. Buna göre, 5 5 bir dizeye ait belirleyenin açılımında = 120 terim bulunur.

20 Belirleyenin Özellikleri Belirleyenin özellikleri aşağıdaki gibidir: 1 Belirleyeni sıfır olan dizeye tekil dizey (singular matrix) denir. Bir tekil dizeyin tersi bulunamaz. 2 A nın herhangi bir satırındaki tüm öğeler sıfırsa, belirleyeni de sıfır olur. 3 A ile devrik A nın belirleyenleri aynıdır: A = A 4 A dizeyinin herhangi iki satır ya da sütunu yer değiştirirse, A nın işareti değişir. 5 A nın iki satır ya da sütunu aynıysa, belirleyeni sıfır olur. 6 A nın bir satır ya da sütunu başka bir satır ya da sütununun bir katı ya da doğrusal bir birleşimiyse, belirleyeni sıfırdır. 7 A nın bir satır ya da sütunundaki tüm öğeler bir λ sayılı ile çarpılırsa, A da λ ile çarpılır. 8 İki dizeyin çarpımının belirleyeni dizeylerin ayrı ayrı belirleyenlerinin çarpımına eşitir: AB = A B

21 Bir Dizeyin Derecesi Bir Dizeyin Derecesi Bir dizeyin derecesi (rank), belirleyeni sıfır olmayan en büyük alt dizeyinin boyutudur. Örnek olarak, aşağıda verilen dizeyin 1. satırının 2. ve 3. satırların doğrusal bir birleşimi olduğu görülmektedir: A 3 3 = Buna göre, A tekil bir dizeydir ve A = 0 olmaktadır. Diğer taraftan, A nın derecesi 2 dir çünkü 2 2 boyutlu altdizeylerinden birinin belirleyeni sıfırdan farklıdır: [ ] 4 5 B 2 2 = 2 1

22 Minör Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Minör N N boyutundaki bir A dizeyinin i inci satırı ile j inci sütunu silinirse, kalan altdizeyin belirleyenine a ij öğesinin minörü (minor) denir ve M ij ile gösterilir. Örnek olarak aşağıda verilen dizeyi ele alalım: a 11 a 12 a 13 A 3 3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Burada a 11 in minörü şudur: M 11 = a 22 a 23 a 32 a 33 = a 22a 33 a 23 a 32

23 Eşçarpan Dizey ve Ek Dizey Eşçarpan N N boyutlu bir A dizeyinin a ij öğesinin eşçarpanı (cofactor) şöyle tanımlanır: c ij = ( 1) i+j M ij Bir başka deyişle eşçarpan işaretli bir minördür ve işareti de (i + j) toplamı çiftse artı, tekse eksidir. Eşçarpan Dizeyi A nın eşçarpan dizeyi (cofactor matrix), a ij öğelerinin yerine eşçarpanları koyularak elde edilir ve (cof A) ile gösterilir. Ek Dizey Ek dizey (adjoint matrix), eşçarpan dizeyinin devriğidir ve (adj A) ile gösterilir.

24 Ters Dizey Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar Dizey Tersi Hesaplama A tekil olmayan ( A 0) bir dizeyse, A 1 ters (inverse) dizeyi şu şekilde bulunur: A 1 = 1 A (adja) Dizey tersi hesaplama işleminin adımları aşağıdaki gibidir: 1 A nın belirleyeni hesaplanır. 2 A nın a ij öğelerinin yerine eşçarpanları koyularak eşçarpan dizeyi (cof A) elde edilir. 3 Eşçarpan dizeyin devriği alınarak ek dizey (adj A) bulunur. 4 Son olarak ek dizeyin tüm öğeleri A ya bölünür.

25 Dizeylerde Türev Alma Dizeylerde türev almaya ilişkin iki önemli kural şunlardır: 1 Eğer a 1 N boyutunda bir satır yöneyi ve x de N 1 boyutlu bir sütun yöneyi ise, aşağıdaki eşitlik geçerlidir: (a x) x = a 2 Eğer A N N boyutunda bir kare dizeyse, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir: (x Ax) x = 2Ax = 2x A

26 Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev Ödev Kitaptan Appendix B Rudiments of Matrix Algebra okunacak. Önümüzdeki Ders Doğrusal Bağlanım Modeline Dizey Yaklaşımı