Matemati in Emekleme Ça Üzerine

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matemati in Emekleme Ça Üzerine"

Transkript

1 Mtemti in Emekleme Ç Üzerine E flitlik, enzerlik, yk nl k, uzkl k gii her s l kl insn n günlük yflm nd kullnd kvrmlr yn zmnd mtemti in önemli kvrmlr d r d. Günümüzün mtemti i unlr enzer do l kvrmlr üzerine kurulmufltur. Bu nedenden, mtemtik ilimi her zmn vrolmufltur diyeiliriz. lkel insn, m rs n n duvr n resim çizerken soyut ir eflitlik kvrm n shipti. Çizdi i hyvn resmiyle gerçek hyvn rs nd ir iliflki kurr, iki ve üç oyutlu iki de iflik nesneyi efllefltirirdi. Üstelik çizdi i geyik herhngi ir geyi in resmiydi. Herhngi ir geyik, genel ir geyik gii düflünceler soyutlmy giden ilk d mlrd r. lkel insn soyutlmy, doly s yl mtemtikçileflmeye öyle flld. Bu evreden x ir geyik olsun evresine geçmek için küçücük ir d m gerek. Bu küçücük d m insnl n inlerce y l n lm flt r. lkel insn n m r duvrlr n çizdi i geyi in, gerçek geyik gii, dört y, iki gözü, ir urnu vrd. Gerçekten, ilinçli olrk sy sy p symd klr n ilmiyoruz m, sözsüz ve yz s z d ols ir tür sy kvrm n ship olduklr pç k. Hyvnlrd d vrd r ilkel ir sy kvrm. Hyvnlr n sy kvrm üzerine oldukç rflt rm yp lm fl ve ilimsel yz yz lm flt r. Örne in, krglr n dörde kdr syildikleri söylenir. 71

2 lkel insn küçük sy lr ynyn koyrk üyük sy lr elde edeilece ini ir süre sonr uldu. Örne in ugün sy lr yzmk için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 rkmlr n kulln r z. On rkm kullnd m zdn sy sistemimize onluk sistem deriz. Onluk sistemin neden öür sistemlerden dh kulln fll ve yyg n oldu unu nlmk oldukç koly: ki elimizin on prm vr. kilik sistemde yln zc iki rkm (tercihen 0 ve 1 rkmlr ) kulln l r. Bu sistemde 0 ile 9 rs ndki sy lr s rs yl flöyle yz l r: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, Görüldü ü gii u sistemde 2 ve 2 den üyük rkmlr kulln lmz. Her sy 0 ve 1 rkmlr yl yz l r. 2 yerine 10, 3 yerine 11, 4 yerine 100 yz l r. Befllik sistemdeyse 5 ve 5 ten üyük rkmlr kulln lmz. Her sy 0, 1, 2, 3 ve 4 rkmlr yl yz l r. Örne in, 5 yerine 10, 6 yerine 11, 25 yerine 100 yz l r. Onirlik sistemde on ir rkm vrd r: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, #. Bu sitemde, 10 yerine #, 11 yerine 10, 12 yerine 11, 21 yerine 1#, 22 yerine 20, 110 yerine #0 yzr z. Bütün sy lr ilk ir, ilk efl, ilk on iki, ilk yirmi sy y kullnrk ifde eden toplumlr d vrd. Sy lr ve mgeleme Gücü dl yz m zd u kvimlerden örnekler verece iz. Ç - m zdn ve Bt uygrl ndn d örnekler vereiliriz. Frns zlr 70 e soixnte-dix, yni ltm fl-on derler. Demek ki Frns zlr n tlr ir zmnlr ltm fll k sistemi kullnm fllr, yetmifli dillerine dh sonr eklemifller. Frns zlr 80 için qutrevingts, yni dört-yirmi derler. Bundn d Frns zlr n t- 72

3 lr n n, ltm fll k sistemin yn s r yirmilik sistemi de kullnd klr nlfl l yor. Türkçemiz de u konud ilginç ir geliflme göstermifle enzer. On ir (10+1), on iki (10+2), on üç (10+3) gii sy lr kck olursk, tlr m z n onluk sistemi kullnd klr nlfl - l r. Öte yndn, on, yirmi, otuz, k rk, elli sy lr n n ir, iki, üç, dört, efl sy lr yl herhngi ir ses enzerli i yoktur. Am ltm fl, yetmifl, seksen ve doksn sy lr n n lt, yedi, sekiz ve dokuzl ses enzerli i vrd r. Altm fl lt dn, yetmifl yediden, seksen sekizden ve doksn dokuzdn türemifl elli ki. Demek ki izim de ir zmnlr ltm fll k sistemimiz vrm fl. Bugün hem onluk, hem ltm fll k sistemi içeren ir sy sistemini kulln yoruz. Birzdn görece imiz gii Billiler de un enzer ir sistem kulln yorlrd. Bundn d sy sistemimizin Mezopotmy dn geldi i kn s n kp l yorum. Konunun uzmnlr n n ne düflündüklerini ilmiyorum. Türkçe nin sy sistemine iliflkin ikinci ir gözlem, ltm fl ve yetmifl sy lr n n yp s yl seksen ve doksn sy lr n n yp s rs ndki yr ml ilgili: Altm fl ve yetmifl, lt ve yediden yn yp de iflikli ine u ryrk türemifl. Oys seksen ve doksn n yp lr de iflik. Bundn d flu ç kilir: 80 ve 90 sy lr n 60 ve 70 sy lr ndn çok dh sonr keflfetmifliz. 1 Çok z ildi imiz ve günümüzü pek z etkilemifl oln Aztek ve My uygrl klr n symzsk, Yunn öncesi uygrl klrdn dördü mtemtikte küçümsenemeyecek ilerlemeler kydetmifllerdir: Hintliler Çinliler Billiler M s rl lr 1 Doç. Dr. Yusuf Gürsey den edindi im ilgiye göre, ltm fl ve yetmiflteki m fl ve mifl sonekleri, Mo olc on sy s ndn türemifl ve seksen ve doksndki en ve n sonekleri Türkçe on sy s ndn türemifl. 73

4 Üzerine en z ildi imiz Hint mtemti idir. Çok üyük sy lrl ilgilendiklerini iliyoruz. Anck u üyük sy lrl ir ifle yrd klr ndn de il, dinsel nedenlerle ilgilenirlerdi. Epik fliirlerinden irinde (Llitvistv) 53 rkml ir sy vrd r! Bugün kimi mtemtikçi, ir, iki, üç gii sy kvrmlr n n 5 milyr, 3 trilyon gii kvrmlrdn dh somut kvrmlr olduklr n svunur. Ne demek istediklerini irz sezinliyorum sn yorum. Örne in üç sniyenin ne demek oldu unu hepimiz fl yukr iliriz. Otuz y l d izim için ir nlm ifde eder. Oys 1 milyr sniye? 1 milyr sniyeyi lg lmk pek koly de il. Hespld m, 1 milyr sniye 30 y l ediyor fl yukr. Yni 30 y l = 1 milyr sniye eflitli i öyle ildi imiz s rdn eflitliklerden de il. Sol trftki terimin nlm n lg lyiliyoruz, m s trftki terim ize çok ync. Milyr lg lmn n ir flk yolu d ortlm yflm n 2,5 milyr sniye oldu unu düflünmektir. Do du unuz ndn 2,5 milyr sniye sonr 75 yfl nd olcks n z. Çin mtemti ine de gin ilgimiz irz dh fzl. Onlrd d üyük sy mistisizmi vrd. Pisgor un (MÖ ) eflek teoremini 2 ve sihirli kreleri 3 iliyorlrd. Am Pisgor un eflek teoreminin kn t ndn hersizdiler. Kn t Pisgor (temsili resim) kvrm n Eski Yunnl Tles ( Ö ) ulmufltur. Çinliler, Pisgor un eflek teoremini kn tlmy gereksinim ile duymdn, deneyle ulmufllrd. 4 Bunun yn s r üçgenin ve koflutgenin lnlr n iliyorlrd. Biz de ull m u lnlr. 2 Pisgor ve Sy lr fll kl yz y k n z: s.xx 3 Sihirli Kreler yz lr n k n z: s.xxx-xx 4 Çinliler u deneye dynn yöntemle do ru olmyn teoremler de kn tlm fllrd r. Asl Sy lr fll kl yz m zd Çinlilerin ynl fl teoremlerine ir örnek verece iz. Bkz. s. xxx. 74

5 Bilindi i gii yoktn ir fley vrolmz. Mtemtikte de elitsiz (ksiyomsuz) teorem kn tlnmz. Bir ilgiye vrmk için ir tk m vrsy mlr n trt flms z kul edilmesi gerekmektedir. Bu vrsy mlr genellikle öylesine do ld r ki, mtemti e ync irisi u vrsy mlr n yr m n vrmz ile. Afl d d irtk m vrsy mlr kullnc z. Bunlrdn iri dikdörtgenlerin ln yl ilgili: Uzunlu u, geniflli i oln ir dikdörtgenin ln dir. Bu önermeyi, kn tlmdn, elit olrk kul edece iz. Bflk vrsy mlrd d ulunc z. lk olrk ir koflutgenin ln n ull m. ABCD, oyutlr fl dki gii oln ir koflutgen olsun: A B D C A nokts ndn DC do rusun ir dik inelim: A B D E C fiimdi de DAE üçgenini kesip koflutgenimizin s n yp flt rl m: A B E C D E Afl dki gii ir flekil elde ederiz: 75

6 A B E Koflutgenimiz dikdörtgen oldu m ln de iflmedi. Doly s yl koflutgenimizin ln yukrdki dikdörtgenin ln n, yni ye eflittir. fiimdi ir üçgenin ln n hesplyiliriz. ABC, fl d oyutlr gösterilen üçgen olsun: E Bu üçgenin ir eflini ters çevirip yukrdki üçgene yp flt rl m: Afl dki koflutgeni elde ederiz: 76

7 Bu koflutgenin ln, irz önce de hespld m z gii, dir. Am yn zmnd, ln n hesplmk istedi imiz üçgenin iki kt d r. Demek ki üçgenimizin ln nin yr s, yni /2 dir. Üçgenin ln n öylece ulduk. Bunu yndki flekilde de göreiliriz. lkokul çocuklr n n ile nlyilecekleri u kn tlr ne yz k ki ço u çocuk ilmez. Oys ol nüstü güzellikteki u kn tlr erken yfllrd görmek ütün ir yflm de ifltireilir. Cimnstik derslerinde hz rol ve rht geçmenin ö retildi i ir e itim sisteminden düflünmesini ö retmesi ekleneilir mi? Evet, ilkokullr m zd prmk kdr çocuklr skercilik ö retiliyor. Bense çocuklr m z n düflünmesini istiyorum. M s rl lr gelelim. M s rl lr ç lr n n en iyi mühendisleri, kimygerleri ve doktorlr yd. Pirmitleri Ö 3000 ile 2000 y llr rs nd ypm fllrd r. Yp ln ölçümlere göre u pirmitlerin ç lr rs nd yln zc 1/27000 lik ir frk vrm fl. Birkç y l öncesinin sviçre stleriyle krfl lflt r lilecek ir do ruluk derecesi. Bir y l n 365 gün oldu unu y d olms gerekti ini ilk uln M s rl lrd r. Dikdörtgenin ve trpezin lnlr n hesplms n d iliyorlrd. M s rl lrdn geri mi klc z, oyutlr yndki flekildeki gii oln ir ABCD trpezinin ln n iz de hesplyl m. A B c D C 77

8 A B B den DC ye do ru AD ye ir koflut çekelim. c Böylece ir ABED koflutgeni ve ir BCE üçgeni elde ettik. E D C Demek ki trpezimizin ln koflutgenin ve üçgenin lnlr - n n toplm n eflit. Bu lnlr dh önce hesplm flt k. ABED koflutgenin ln = c BCE üçgeninin ln = ( )c/2 Bu iki ln toplyl m: ABCD trpezinin ln = c + ( )c/2 = ( + )c/2. M s rl lr trpezin ln n izim uldu umuz gii ulmm fllrd. Çünkü kn t nedir ilmiyorlrd ve - en önemlisi- üçgenin ln n ynl fl hespl - c c yorlrd. Örne in yndki ikizkenr üçgenin ln n c/2 olrk hespl yorlrd. Oy- s irz önce de gördü ümüz gii gerçek ln /2 dir. Yni M s rl lr n hespld klr ln gerçek lndn dh üyüktü. Yr çp r oln ir direnin ln M s rl lr göre 256r 2 /81 idi. Gerçek ln, herkesin ildi i gii, r 2 dir. 256/81 sy s fl yukr 3,1605 oldu undn, yni den üyük oldu undn, M s rl lr ir kez dh gerçek lndn dh üyük ir ln ulmufllr. M s rl lr ln ölçümlerini Nil k y lr nd tr m ypn köylülerden vergi toplmk için kulln rlrd. M s rl lr n lnlr gerçek lndn dh fzl oldu undn, toplmlr gereken vergiden her zmn dh fzl vergi toplrlrd. Belki de eski M s r, ilimi devlet ç krlr n hizmet ettiren ilk devletti. M s r ilimi üzerine ilinenlerin ço u Ahmes dl ir din dm n n yzd ppirüsten ö renilmifltir. Kynkç [10] kz. Bugün ngilizlerin elinde oln u ppirüsün Ö 2000 ile 1800 y llr rs nd yz ld sn l yor. 78

9 M s rl lr n onluk sy sistemi vrd. iri, onu ve yüzü simgeliyordu. Gemi ç ps n nd rn ir simge ini, k r k ir sop onini, sol kn ir kufl d yüzini simgeliyordu. Örne in 343 yzmk için M s rl lr, yzrlrd. Çrpm ve ölme ifllemlerindeyse ikilik sistem kulln rlrd. Diyelim 7 13 ü hesplmk istiyorlr. Önce 13 ü ikinin ktlr n n toplm olrk yzrlrd : 13 = Sonr 7 yi s rs yl 1 le, 2 yle, 4 le, 8 le çrprlrd : Sonr d, 7 13 = 7 ( ) = (7 1) + (7 4) + (7 8) = = 91 eflitliklerini kullnrk çrp mlr n yprlrd. Görüldü ü gii, yp ln ifllem, çrpmdn çok irkç toplmy enziyor. Bölmeyi de un enzer ir yöntemle yprlrd. 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 gii 1/n içiminde yz lilen sy lr yziliyorlrd. Öte yndn 2/5 gii kesirli sy lr kolyl kl yzm yorlrd. 2/5 yerine, örne in, 1/3 + 1/15 yzrlrd. 1/n içiminde yz lilen kesirli sy lrdn flk kullnildikleri tek kesirli sy 2/3 tü. Billilerin (fl yukr Ö 2000) sy sistemleri onluk sistemle ltm fll k sistemin ir kr fl m yd. simgesi iri, simgesi onu simgeliyordu. kiyi olrk, dokuzu, olrk yz yorlrd. simgesi yirmiyi, simgesiyse elliyi simgeliyordu. Elli ir için 79

10 ellidokuz için kulln yorlrd. Altm fl geldiklerinde unun öyle süremeyece ini nld lr. Altm fl için yeni ir simge yrtcklr n, ir için kullnd klr simgeyi kullnd lr. Yni simgesi hem iri, hem de ltm fl simgeliyordu. Simgenin hngi sy y simgeledi i nck kulln ld lmd nlfl liliyordu. Örne in, sy s, ( ) + (2 60) + 4 = 3724 sy s n simgeliyordu. Kimi zmn d simgelenen sy y nlmk pek koly olmuyordu. Örne in, simgesi, (2 60) + 23 = 143 sy s n simgeleyeildi i gii, ( ) + (23 60) = 8580 sy s n, htt, ( ) + 23 = 7223 sy s n d simgeleyeiliyordu. Bu zorluk s f r sy s n n yoklu- undn kynkln yor. S f r sy s n n tm ne zmn ulundu- u üzerine çeflitli söylentiler vr. Billilerden sonr ulundu u kesin. Ö 700 y l nd [24] y d çok dh sonr, ikiin y l sonr ulunmufl olilir. Bugün zmn irimlerinde Billiler gii 60 l k sistemi kulln r z. Örne in, yukrdki sy s n, yni ugün kullnd m z onluk sistemde 3724 sy s n 3724 sniye olrk düflünürsek, 1 st 2 dkik 4 sniye olrk yzr z; ynen Billiler gii: 1 s 2 4. Bugünkü st sistemimizi Billilere orçluyuz. 80

11 Yz n n fl nd mtemti in do l ir ilim oldu unu ç tltm flt m. Evet, mtemtik do ld r. Ne denli soyut olurs olsun, mtemtik insnlr n uluflu de ildir. Mtemtik insnlrdn ms zd r. Mtemtik ypmk demek do n n yslr n, zekâs n nlmy çl flmk demektir. Fizik, kimy gii de il, kendine özgü, mflk yöntemlerle ypr u ifli mtemtik. Mtemtik do n n özünde vrd r ve mtemtikçiler insnlrdn ms z oln u mtemti i ulmy, keflfetmeye çl fl rlr. Mtemtik icd edilmez, keflfedilir. sy s, çeflitli sonsuzluk kvrmlr, kümeler kurm, topoloji, sy lr kurm, htt mnt k, sözün k ss mtemtikte her fley, m her fley do n n özünde ulunur. Mtemtikteki konulr, kvrmlr izim nl m z n ir ürünü de ildirler, izim d fl m zd d, izden ms z olrk vrd rlr. Bu yüzden evrenimizde yflyn ve ir tür mtemtik gelifltirecek kerte k ll oln her yrt k izim ildi imiz mtemti- i önünde sonund ulur. Çünkü ir tek Mtemtik vrd r: Do n n mtemti i 5. Bu yzd klr m evrensel olrk kul edilmifl düflünceler de ildir, kn tlnmlr d pek ols de ildir gii geliyor n. Mtemtikle içli d fll oln ço u kifli enim gii düflünür. Ünlü mtemtikçi Hrdy nin u konud yzd klr n ktry m. Bkz. kynkç [20] de 22 nci ölüm.) Fiziksel gerçekle mddi dünyy ; gecesi gündüzü oln, depremleri oln, y ve günefl tutulmlr oln dünyy ; fiziksel ilimlerin nltmy çl flt dünyy kstediyorum. [...] Benim için ve sn r m ço u mtemtikçi için mtemtiksel gerçek diye tn mlyc m flk ir gerçek vrd r. Bu mtemtiksel gerçe in niteli i hkk nd gerek mtemtikçiler gerek felsefeci- 5 Bu konu, çok dh genifl olrk, Mtemtik ve Do dl kit mdki Mtemtik ve Do fll kl yz d ele l nm flt r. (Bkz. Mtemtik ve Do, stnul Bilgi Üniversitesi Yy nlr 2001, s.21.) 81

12 ler rs nd herhngi ir uzlflm yoktur. Bz lr n göre zihinsel dir ve onu ir k m iz yrt r z; di erleri ise onun izim d fl m zd ve izden ms z oldu u kn s ndd r. Mtemtiksel gerçe in ne oldu unu, innd r c ir flekilde ç klyilecek ir kimse metfizi in en zor prolemlerinin ço unu çözmüfl olurdu. [...] Benim innc m göre, mtemtiksel gerçeklik izim d fl m zdd r; izim ifllevimiz onu ulup ç krmk y d gözlemektir; sptld m z vey tumturkl sözlerle yrtt m z söyledi imiz teoremler, gözlemlerimizden ç krd - m z sonuçlrdn irettir. Bu görüfl Efltun dn u yn ir çok ünlü filozof trf ndn d enimsenmifltir. Hrdy, yn kit n 24 üncü ölümünde mtemtiksel gerçeklikle fiziksel gerçekli i krfl lflt r yor: [...] mtemtiksel nesneler çok dh göründükleri giidirler. Bir iskemle vey ir y ld z hiç de göründü ü gii de ildir; üzerlerinde ne kdr çok düflünürsek, görüntüleri de, duyulr - m zdn kynklnn ir sis içinde, o ölçüde netli ini kyeder, uln klfl r. Bun krfl l k, 2 vey 317 nin duyulrl iliflkisi yoktur; yk ndn inceledi imiz ölçüde özellikleri dh d errklfl r. [...] Öte yndn pür mtemtik, tüm idelizmin çrp p tt ir kyd r. 317 ir sld r; iz öyle düflünüyoruz diye, vey kf yp m z flu y d u flekilde oldu u için de- il; çünkü öyledir, çünkü mtemtiksel gerçe in yp s udur. 82

Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel

Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] =

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz. 4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

Fonksiyonlara Genel Girifl

Fonksiyonlara Genel Girifl Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: Fonksiyonlr Fonksiyonlr Genel Girifl. Tn m. Fonksiyon kvrm n n mtemti in en önemli kvrmlr nn iri olu unu söylemek fonksiyon kvrm n üyük hks zl k olur. Fonksiyon, mtemti

Detaylı

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,

Detaylı

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c

Detaylı

Hiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri)

Hiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri) Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye

Detaylı

Matematiğin Emekleme Çağı Üzerine

Matematiğin Emekleme Çağı Üzerine Mtemtiğin mekleme Çğı Üzerine li Nesin şitlik, enzerlik, ykınlık, uzklık gii her sğlıklı insnın günlük yşmınd kullndığı kvrmlr ynı zmnd mtemtiğin önemli kvrmlrıdır d. Günümüzün mtemtiği unlr enzer doğl

Detaylı

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor. .BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine

Detaylı

FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle

Detaylı

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 : SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d

Detaylı

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz

Detaylı

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka) PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV

Detaylı

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn

Detaylı

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir. GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde

Detaylı

Veri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4

Veri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4 Test / 0 soru soru Bir zr t ld nd üste gelen sy n n tek oldu u ilindi ine göre, sy n n sl sy olm Bir çift zr t ld nd üste gelen sy lr n toplm n n 0 oldu u ilindi ine göre, zrlrdn irinin olm soru soru Bir

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji

Detaylı

KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX

KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX TR KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX 2 www.electrolux.com 1x 1x 2x 3x Ø 10 3x Ø 6x70 6x Ø 2,9x9,5 13x Ø 3,5x6,5 1x 1x Type 14 1x 3 4 www.electrolux.com SX BACK R1 FRONT RX R1 ( ) SX BACK Y FRONT RX 3 x Ø 10mm

Detaylı

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu PERSONEL SEÇĐMĐNĐN ANALĐTĐK HĐYERARŞĐ PROSESĐ YÖNTEMĐYLE GERÇEKLEŞTĐRĐLMESĐ ÖZET Orhn ADIGÜZEL Glolleşmenin neden olduğu ilgi ve teknolojideki gelişmeler, işletmeleri ve kurumlrı dh kliteli insn kynğın

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0. Tnıtım Bhçe Mh. Soğuksu Cd. No:73 MERSİN www.srtnitim.com info@srtnitim.com Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.532 592 60 05 çık hvdki prestijiniz 1 Tnıtım ,Büfe Durk Rket 118 x 178 cm Gintbord

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k. 58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n geçmiflte bir seri olrk tn mlm flt k. Tn mlr n mstl m: 2i1 3 5 i x x x sin x ( 1) x i0 ( 2 i 1)! 3! 5! 2i 2 4 i x x x cos x ( 1)

Detaylı

SAYIM FORMÜLERİ (31 Mart saat 24 itibarıyla durumu) SAYIM ÇEVRESİ KONUT AİLE (EV HALKI) KİŞİ. Doğum tarihi. Çalışan kişi aile üyesi olarak ikamet eder

SAYIM FORMÜLERİ (31 Mart saat 24 itibarıyla durumu) SAYIM ÇEVRESİ KONUT AİLE (EV HALKI) KİŞİ. Doğum tarihi. Çalışan kişi aile üyesi olarak ikamet eder HIRVATİSTAN CUMHURİYETİ DEVLET İSTATİSTİK KURUMU SAYIM FORMÜLERİ (31 Mrt st 24 itibrıyl durumu) Formüler P-1 İşbu formüler kpsmındki bütün bilgiler resmi sır olup sdece isttistik mçl kullnılcktır. 1. Soydı

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle

Detaylı

Kontak İbreli Termometreler

Kontak İbreli Termometreler E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü

Detaylı

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri

Detaylı

ÇÖZÜM SORU. Küpün yan yüzünü açal m. En k sa yol, do rusal uzakl k oldu undan, Bir dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar a, b, c dir.

ÇÖZÜM SORU. Küpün yan yüzünü açal m. En k sa yol, do rusal uzakl k oldu undan, Bir dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar a, b, c dir. GMTR eginin bu sy s nd Uzy Geometi, isimlein ln ve Hcimlei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ve ptik yoll, soul m z n çözümü içinde t ltmy mçld

Detaylı

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR

Detaylı

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:4, Syı:2, 2014,57-69/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:4, No:2,2014,57-69 TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ ÖZET Emine

Detaylı

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın 0.1.010 trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve 011 01 Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır. u kitb n her hkk skl d r ve

Detaylı

VORTEKS TÜPÜNDE AKIŞKAN OLARAK KULLANILAN HAVA İLE OKSİJENİN SOĞUTMA SICAKLIK PERFORMANSLARININ DENEYSEL İNCELENMESİ

VORTEKS TÜPÜNDE AKIŞKAN OLARAK KULLANILAN HAVA İLE OKSİJENİN SOĞUTMA SICAKLIK PERFORMANSLARININ DENEYSEL İNCELENMESİ TEKNOLOJİ, Cilt 7, (24), Syı 3, 415-425 TEKNOLOJİ VORTEKS TÜPÜNDE AKIŞKAN OLARAK KULLANILAN HAVA İLE OKSİJENİN SOĞUTMA SICAKLIK PERFORMANSLARININ DENEYSEL İNCELENMESİ ÖZET Hüseyin USTA* Kevser DİNCER**

Detaylı

Bu ürünü kullanmadan önce verilen talimatları dikkatlice okuyun ve daha sonra tekrar faydalanmak üzere saklayın.

Bu ürünü kullanmadan önce verilen talimatları dikkatlice okuyun ve daha sonra tekrar faydalanmak üzere saklayın. KLİMA Duvr Monte Tip İçİndekİler Güvenlik Önlemleri...Tr- İç Ünite ile ilgili Genel Bkış ve Çlıştırm...Tr- Uzktn Kumnd ile ilgili Genel Bkış ve Çlıştırm...Tr- Bkım ve Temizleme...Tr- Türkçe Sorun Giderme...Tr-

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

OKS DENEME SINAVI II

OKS DENEME SINAVI II OKS DENEME SINVI II TÜRKÇE TEST 1. Bu bölümde cevplyc n z soru sy s 25'tir. 2. Cevplr n z cevp kâ d n z n Türkçe için yr ln k sm n iflretleyiniz. 1. 1. S n ftki olylr hrfi hrfine bbs n nltt. 2. Sözlerimi

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Hft SYISL ÇÖZÜMLEMEDE HT KVRMI Syısl Çözümleme GİRİŞ Syısl nliz, mtemtik problemlerinin bilgisyr yrdımı ile çözümlenme tekniğidir Genellikle nlitik olrk

Detaylı

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü 6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK

Detaylı

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN 1)KESĐK PĐRAMĐT: Bir pirmit, tbn prlel bir düzlem ile kesildiğinde, tbn düzlemi ile kesit üzei rsınd kln kısım kesik pirmit denir. KESĐK PĐRAMĐDĐN YANAL YÜZ ALANI: Bir düzgün kesik pirmidin nl lnı, lt

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

3MUTLU L K Ö R E T M. Güzel. Dilimizi. Gelifltirelim

3MUTLU L K Ö R E T M. Güzel. Dilimizi. Gelifltirelim Dinleme Okum 3MUTLU Dilimizi Güzel Gelifltirelim L K Ö R E T M Konuflm Yzm Görsel Okum Görsel Sunu Slih KARAGÖZ GÜZEL Kit n Ad : Güzel Dilimizi Gelifltirelim / lkö retim 3 Yzn : Slih KARAGÖZ GÜZEL Her

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 6

TYT / MATEMATİK Deneme - 6 . Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h

Detaylı

İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK

İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK Mtemtiğe Giriş... 1 Temel Kvrmlr... 9 Doğl Syılrd Bölme İşlemi... 65 EBOB - EKOK... 93 Rsyonel Syılr... 111 Bsit Eşitsizlikler... 131 Mutlk Değer... 151 Çrpnlr Ayırm... 169

Detaylı

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Gzi Üniv Müh Mim Fk Der J Fc Eng Arch Gzi Univ Cilt 20, No 1, 95-106, 2005 Vol 20, No 1, 95-106, 2005 İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Ergün ERASLAN

Detaylı

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere,

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere, 1. ve b pozitif tmsy lrd r. + b = 13 oldu un göre, + 3b toplm n n en büyük de eri kçt r? 5. ve b pozitif tmsy lrd r. Yndki bölme iflleminde, n n lbilece i en büyük de er kçt r? b 8 b 8 ) 4 ) 8 ) 34 ) 37

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

Tablo 1: anket sorularına verilen cevapların % de dağılımı Anket soruları. % c. % a. % b

Tablo 1: anket sorularına verilen cevapların % de dağılımı Anket soruları. % c. % a. % b PROJENİN ADI: Kimy Öğretiminde Alterntif Öğretim Metodu PROJE AMACI: Kimy öğretiminde lterntif uygulm olrk nimsyon sunumu tekniğinin uygulnilirliğini örneklerle göstermek ve dh iyi nsıl öğreteilirim sorusun

Detaylı

KÜRESEL AYNALAR. 1. Çukur aynanın odağı F, merkezi M (2F) dir. Aşağıdaki ışınlar çukur aynada yansıdıktan sonra şekillerdeki gibi yol izler.

KÜRESEL AYNALAR. 1. Çukur aynanın odağı F, merkezi M (2F) dir. Aşağıdaki ışınlar çukur aynada yansıdıktan sonra şekillerdeki gibi yol izler. . BÖLÜ ÜRESEL AYNALAR ALŞRALAR ÇÖZÜLER ÜRESEL AYNALAR. Çukur ynnın odğı, merkez () dr. Aşğıdk ışınlr çukur ynd ynsıdıktn sonr şekllerdek b yol zler. / / 7 / / / / / 8 / / / / / 9 / / / / N 0 OPİ . Çukur

Detaylı

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir.

Geometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir. Mtemtik üns, 2004 Güz Geometi Köflesi Mustf Y c gcimustf@hoo.com iklik Mekezi i üçgenin üç üksekli i dim tek noktd kesifli. u nokt üçgenin diklik mekezi deni. = iklik mekezi genelde ile gösteili. Üçgen

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl I / 7 Ksım 011 Mtemtik Sorulrının Çözümleri 1 1 1 1. 1. + + 1 1. + 3 6 1 3 1 + 3 6 3 1. + + 1 1 1 6+ + 3 1. 1 13 1. 1 13. 5.10 +

Detaylı

MATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ

MATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ ÇIRKLIK VE YYGIN EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK VE MESLEK MTEMTİĞİ 2 YZRLR Cfer Tyyr DEMİRHN Cndn Dilek ÖZBEK DEVLET KİTPLRI LTINCI BSKI..., 2012 MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI YYINLRI... : 4348 DERS KİTPLRI DİZİSİ...

Detaylı

ÇOCUK HAKLARINA DA R SÖZLEfiME

ÇOCUK HAKLARINA DA R SÖZLEfiME ÇOCUK HAKLARINA DA R SÖZLEfiME Her çocuk için S l k, E itim, Eflitlik, Korum NSANLI IN GEL fi M ÇOCUK HAKLARINA DA R SÖZLEfiME Ç NDEK LER 2 Önsöz 3 I. K s m, Mdde 1 41 5 2. K s m, Mdde 42 45 18 3. K s

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 2

TYT / MATEMATİK Deneme - 2 TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı

Detaylı

Koniklerin Simetrileri, Odak Noktalar ve Do rultmanlar Ali Nesin* / Engin Yard mc ** /

Koniklerin Simetrileri, Odak Noktalar ve Do rultmanlar Ali Nesin* / Engin Yard mc ** / Mtemtik Düns, 005 Yz Kpk Konusu: Koniker Konikerin Simetrieri, dk Noktr ve Do rutmnr i Nesin* / nesin@igi.edu.tr Engin Yrd mc ** / enginrdimci@hoo.co.uk Bir önceki z d, düzemde, do rutmn denien ir do rusun

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI TARIM VE KÖYİŞLERİ BAKANLIĞI PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: ELEKTRİK TEKNİSYENİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI TARIM VE KÖYİŞLERİ BAKANLIĞI PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: ELEKTRİK TEKNİSYENİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğerlenirme ve çıköğretim Kurumlrı ire şknlığı KİTPÇIK TÜRÜ TRIM VE KÖYİŞLERİ KNLIĞI PERSONELİNİN UNVN EĞİŞİKLİĞİ SINVI 29. GRUP: ELEKTRİK

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

YENĠÇAĞA ĠLÇESĠ VE DEREKÖY DE GELENEKSEL KADIN KIYAFETLERĠ VE SÜSLEMELERĠ

YENĠÇAĞA ĠLÇESĠ VE DEREKÖY DE GELENEKSEL KADIN KIYAFETLERĠ VE SÜSLEMELERĠ Ant Ġzzet Bysl Üniversitesi Sosyl Bilimler Enstitüsü Dergisi Journl of Socil Sciences Cilt / Volume: 2008-2 Syı / Issue: 17 YENĠÇAĞA ĠLÇESĠ VE DEREKÖY DE GELENEKSEL KADIN KIYAFETLERĠ VE SÜSLEMELERĠ Ftm

Detaylı

Yarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c.

Yarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c. Syıl Devreler (Lojik Devreleri) Tümleştirilmiş Kominezonl Devre Elemnlrı Syıl itemlerin gerçekleştirilmeinde çokç kullnıln lojik devreler, klik ğlçlrın ir ry getirilmeiyle tümleştirilmiş devre olrk üretilirler

Detaylı

İLKÖĞRETİM TEMATİKTİK. 8. Sınıf. Ders Kitabı. Yazar. Mehtap CANPEKEL

İLKÖĞRETİM TEMATİKTİK. 8. Sınıf. Ders Kitabı. Yazar. Mehtap CANPEKEL İLKÖĞRETİM MTEM TEMTİKTİK 8. Sınıf ers Kitı Yzr Mehtp NPEKEL u kitp, Millî Eğitim knlığı, Tlim ve Teriye Kurulu şknlığı nın 8..009 trih ve 8 syılı kurul krrıyl 00-0 öğretim yılındn itiren 5 (eş) yıl süreyle

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSİZLİĞİ (THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI www.selin.wordpress.om 7 Şut 009 Bu ders notund re-rrngement inequlity konusu ele lınrk olimpiyt sınvınd çıkmış zı eşitsizlik

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır

Detaylı

Ç NDEK LER. Güç Kontaktörleri. Güç Kontaktörleri

Ç NDEK LER. Güç Kontaktörleri. Güç Kontaktörleri Güç Kontktörleri Ç NDEK LER FC0M FC0M FCD FCD FCD FCD FC0D FCD FC0D FCD Kompnzsyon Kontktörleri FCDK FCDK FCD FC0D FC0D FC0D FC0D FC00D FCD FC0D FCDK Güç Kontktörleri Özellikler Kullnım Sınıflrın Göre

Detaylı

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y ORAN ORANTI TANIM Anı irimden iki çokluğun iririle krşılştırılmsın orn denir. ornınd ve nı irimden olduğu için nin irimi oktur. ÖRNEK - 1 ve tmsıdır. = ve + = 0 olduğun göre, kçtır? A) 1 B) C) 0 9 D) 1

Detaylı

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI 6.1. SĐSTEM... 6/ 6.. YÜKLER... 6/4 6..1. Düşey Yükler...

Detaylı

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

Uygarl klar aras nda bende en çok hayranl k uyand ran Eski

Uygarl klar aras nda bende en çok hayranl k uyand ran Eski Pisagor ve Say lar Uygarl klar aras nda ende en çok hayranl k uyand ran Eski Yunan uygarl d r. Matematikte, ilimde, felsefede ve sanatta ak l almaz ir düzeye eriflmifllerdir. Ne var ki, sa n n do umunu

Detaylı

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü 0-05 Güz ULUDĞ ÜNİESİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EEM0 Elektrik Devreleri Lorturı I 0-05 DENEY Whetstone Köprüsü Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Deney Sonuçlrı (0/00)

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı

Detaylı

2009 Soruları. c

2009 Soruları. c Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı

Detaylı

MATEMATİK.

MATEMATİK. MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl

Detaylı

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? () 1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının

Detaylı