13. TUB TAK ULUSAL LKÖ GRET M MATEMAT K OL MP YATI SINAVI 2008

Transkript

1 3. TU TK ULUSL LKÖ GRET M MTEMT K OL MP YTI SINVI ylnd ypln Tüitk lkö retim Mtemtik Olimpiytlrnn çözümleri verilmi³tir. Her ir çözüm en elementer yöntemler kullnlrk yplmsn özen gösterilmi³tir. Kitpçk 3 ölümden lu³mktdr. Çktn Seçmeli Srulr, Klsik Srulr ve Grkler. Grkler sru rlrn de il kitpç n en snun (grph. 0 gii) yerle³tirilmi³tir. Çktn Seçmeli Ksm SORULR - ÇÖZÜMLER Sru. üçgeninde G [], F [G], [G], E [G], [F ]//[], [F E]//[], GF F ve E 3 ise kç irimdir? Çözüm. [Grph.0] G, GE ise E + 3'tür. F F G ve [F ]//[] ldu und, G GF 'dir. e³itli inden G G G GF G elde edilir. urdn d, G 2 e³itli i ulunur. enzer içimde, G GF E'den e³itli inden 2 G GF G GE 2 G elde edilir. urdn d, G 2 elde edilir. un göre, 2 ( + )'den ulunur. Sru.2 iririnden frkl x, y gerçel sylr x x y y e³itli ini s lyrs, x + y kçtr?

2 Çözüm. Verilen e³itli i düzenlersek, x x y y x 2 y x 2007y (x + y) 2008(x y) x, y iririnden frkl irer reel sy ldu un göre x y 0'dr. Elde etti imiz e³itli in her iki trfn x y ile ksltrsk x + y 2008 lcktr. Sru.3 li ile urcu'nun zlr siyh, zlr eyz lmk üzere tplm 70 tne tpu vrdr. li'nin tplrnn 'u ve urcu'nun tplrnn 7 'si siyh ise, urcunun eyz tp sys, li'nin eyz tp sysndn kç fzldr. Çözüm. li'nin tplrnn sysn 9x dersek, unlrn 5x tnesi siyh 4x tnesi eyz lcktr. urcunun tplrnn sys 7y ise, 7y tnesi siyh ve 0y tnesi eyz lur. un göre, tüm tplrn sys 9 x + 7 y 70 lcktr. Tplrn sys irer tmsy lc n göre, (enklem ir iyfnt denklemi ldu undn Euclide lgritms'd kullnlilirdi.) 4 ve 2 için denklemin s lnc n görmek zr de ildir. u durumd, urcu'nun eyz tp sys, li'nin eyz tp sysndn, e³itli inden 4 fzl ldu u görülecektir. 0y 4x Sru.4 E üçgenin de [E], [E] nktlr kiri³ler dörtgeni lrk seçilsin. [] [] {F }, s(ê) 2 ve s(âe) 33 ise, s(âf ) kç derecedir? Çözüm. [Grph.02] E üçgeninde d³ çemer özelli inden, s(â) s(âe) + s(ê) ldu u çktr. un göre, s(â) lcktr. kiri³ler dörtgeninde yyn gören çevre çlrn e³itli inden, s( ) s( ) 2 lur. F çs, F üçgeninin ir d³ çs ldu un göre, s(âf ) s( F ) + s( F ) e³itli inden, s(âf ) lrk ulunur. Sru.5 Frkl n sy çemer üzerinde, her sy iki km³usunun çrpmn e³it lck ³ekilde dizileildi ine göre n en fzl kç lilir? Çözüm.[Grph.03] lk iki sy ve lmk üzere ve lsun. un göre, 2

3 Üçüncü syy, c dersek c ve c lur. ördüncü sy d ise d ve d lur. e³inci sy e ise e ve e lur. ltnc sy f ise f ve f lur. Yedinci sy g ise g un göre, çemer etrf verilen k³ullrl, ve g lur. nck u sy ilk sy ile çk³r.,,,,, lmk üzere, n 6 de erini lilir. Sru.6 Ynyn yzlm³ rkmlrndn zlrnn rsn + i³reti kyulrk lu³turuln ir tplm de erlerinden hngisi lmz? 44, 53, 89, 375, 486 Çözüm rkmlrnn zlrnn rsn + i³reti kyrk lu³turc mz her tplmn 9 ile ölüneilece i çktr. Verilen sylr incelenirse, unlrdn sdece 375 sysnn 9 ile klnsz ölnemedi i görülecektir. un göre, istenen sy 375 lmldr. E er i³lemi irz dh ilerletirsek; de erlerini hesplyiliriz , , , Sru.7 ve tnl ir ymu unun kenr üzerinde P, P 2, P 3, P 4 ve kenr üzerinde Q, Q 2, Q 3, Q 4 nktlr, //P Q //P 2 Q 2 //P 3 Q 3 //P 4 Q 4 // ve (Q P ) (P Q Q 2 P 2 ) (P 2 Q 2 Q 3 P 3 ) (P 3 Q 3 Q 4 P 4 ) (P 4 Q 4 ) lck ³ekilde seçiliyr., P Q 2 ise, kçtr? Çözüm. [grph.04] ve ³nlrnn kesi³im nkts E lsun. yrc, E EP Q ç-ç enzerli i ve (E) m irimkre lsun. un göre, (E) EP Q ( P Q )2 4 3

4 , m (EP Q) 4 ise (Q P ) 3m ve () m + 5 3m 6m irimkredir. enzer içimde E E ç-ç enzerli i ldu undn,, ifdesinden ise 4 lur. Sru.8 ldu un göre, ifdesinin e³iti kçtr? + 2c 2c (E) E 6m m 2 ( )2 ( ) c 2c c 2 0c c Çözüm. Srud verilen kesirlerin pydlr c lck ³ekilde e³itlenirse, + 2c c 2 2c + 2c 4c 2 () Srud istenen ifde de (2) yerine kyulurs, cev ulunur c ulunur. (2) 5c (5c 2 + 2) 2 Sru.9 e³ tne 2 smkl iririnden frkl d l synn tplmnn lilece i kç frkl de er vrdr? Çözüm. ki smkl sylrn en küçü ü ve en üyü ü 99 sylrdr. stenen sylr iririnden frkl ldu un göre, ulilece imiz en küçük tplm ve en üyük tplm lrk ulunur. un göre, e³ synn tplm 60, 6, 62,, 485 lilir. emek ki, k³ulu s lyn frkl duru vrdr. Sru.0 Kenr uzunlu u ln kresinin srsyl,,,, kenrlr üzerinde 3 ³rtn s lyn,,, nktlr seçiliyr.,, ve d rulrnn snrld krenin ln kçtr? 4

5 Çözüm. [grph.05] K L enzerli inden (K) ( L) (3 2 )2 9 4 lur. ( L) 4x ise ( LK) 5x'tir. enzer ³ekilde, (K ) (N ) (M ) (L ) 4x ve (NK ) (MN ) (LM ) (KL ) 5x lur. () S ise ( ) S ve 3x 5 3 ten S 39 x'tir. (KLMN) 39x (4 5x + 4 4x) 3x ulunur. ise ve 39x 'den x 39 lur. un göre, () 2 (KLMN) 3 x 'tür. Sru. 000'den küçük kç n d l sys için n 2 + 8n 85 ifdesi 0 ile tm ölünür? Çözüm. fde 0 ile tm ölüneildi ine göre, ifdeyi n 2 + 8n 85 0 k, k Z ³eklinde yziliriz. un göre, n 2 + 8n k (n + 4) 2 0 (k + ) yziliriz. Görüldü ü gii, e³itli in sl trf n d ls sys için tmkredir. un göre, (k + ) çrpn t d l sylr için, k + 0 t 2 lmldr. (n + 4) t 2 e³itli inden n t ve n < 000 için t de eri [, 9] rl nd ir tmsy de eri lcktr. u durumd 9 tne n d l sys için n 2 + 8n 85 ifdesi 0 ile tm ölünür. Sru.2 ³ehri ³ehrinin 60 km tsnddr. 'dn ir r ve 'den ikinci ir r yn nd d uy d ru yl çkyrlr. ir süre snr irinci r ikinciye yeti³iyr. irinci rnn hz 0 km/st, ikinci rnn hz 8 km/st dh fzl lsyd, irinci r, ikinci ry, yn yerde fkt st dh erken yklyckt. irinci rnn hz kç km/st'tir? 5

6 Çözüm. [grph.06] Hzlr srsyl V, V 2 ve hz frk V V 2 V km/st lsun. irinci r t st snr ikinciye 'de yeti³mi³ ise, V t 60 ve t 60 V 'dir. (V + 0) (V 2 + 8) V V V + 2'dir. (V + 2)(t ) 60'tn V 2 + 2V 20 0, (V + 2)(V 0) 0 ve V 0 km/st ulunur. V t 60 ldu undn 0 t 60 ve t 6 sttir. kinci durumd ki zmn 6 5 st lcktr. V 2 6 (V 2 + 8) 5 ifdesinden V 2 40 km/st lur. un göre, V 2 V V e³itli inden, V 40 0 ve V 50 km/st ulunur. Sru.3 ikizkenr üçgeninde ve s(â) 50 'dir. u üçgenin kenr ve kenrrty üzerinde, srsyl, ve 'den frkl N ve M nktlr M N M lck içimde lnm³tr. M N çs kç derecedir? Çözüm. [grph.07] üçgeninde ldu undn, [] kenrrty hem yükseklik hem de çrtydr. ve [] [] ldu undn M (K..K) ve M M 'dir. M MN verildi inden, M MN M ve M, MN, M N üçgenleri ikizkenr üçgenlerdir. üçgeninde S(Â) y + z snucu ulunur. N üçgeninde, 2x+2y+2z 80 e³itli inden x+y+z 90 ve x ise S( MN) x 25 ulunur. Sru.4 Kenr uzunlu u n irim ln ir küün yüzleri ynyr, ve küp, n 3 det irim küp lck ³ekilde prçlnyr. Kç n 2 de eri için, tek yüzü ynm³ irim küplerin sys, hiç ynmm³ irim küplerin sysn e³it lur? Çözüm. [grph.08] Tek yüzü ynm³ ln küpler yrt n 2 irim ln kre tnl küplerdir. Küpün 6 yüzünde tek yüzü ynm³ 6 (n 2) 2 tne küp vrdr. Hiç ynmm³ küpler ise ³ekildeki [grph.08] küpün içinde kln ir kenr (n 2) irim ln küptür. un göre, (n 2) 3 6 (n 2) 2 lc ndn (n 2) 2 (n 8) 0 e³itli inden n de eri 2 vey 8 ulunur. n 2 için 6 (2 2) 0 lc ndn tek yüzü ynm³, 0 det küp ve içeride ynmm³ (2 2) 3 0 det küp vrdr. n 8 için tek yüzü ynm³ 6 (8 2) 3 26 ve ynmm³ (8 2) 3 26 küp vrdr. Sru.5 hmet thty, herhngi ikisinin frk iki e³it rkmdn lu³n ir sy lmyck ³ekilde, en fzl kç iki smkl sy yzilir? Çözüm. hmet, en üyü ünün frk ile en küçü ünün frk en çk 0 lck ³ekilde rd³k 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20 vey 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 5, 52, 53, 54 6

7 örneklerinde ldu u gii en çk tne iki smkl sy yzilir. un göre, {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20} kümesinin iki smkl sylrdki tümleyeni {2, 22,, 99} lcktr. kümesinin hngi elemnn seçersek seçelim, kümesindeki ir elemnl rsndki frk 'in kt lcktr. un göre, li'nin yzilece i en üyük küme en fzl elemnl lcktr. Sru.6 Kre ³ekinde ir k dn üzerine irim yrçpl ir çemer nsl çizilirse çizilsin, özde³ ir çemerin dh, ilk çemerle en fzl ir nktd kesi³erek çizileilmesi için k dn kenr uzunlu unun en z kç irim lms gerekir? Çözüm. [grph.09] En uç durum irim yrçpl özde³ çemerin krenin ir kö³esinden geçen km³u iki kenr te et lmsdr. u durumd,,,, kö³eleri için 4 tne özde³ çemer vrdr. [] [] {O} lmk üzere, ilk çemerimiz O merkezli irim yrçpl çemerdir. H dik üçgeninde 2 H 2 + H 2 e³itli inden 2 irim ve O irimdir. u durumd, krenin kenr uzunlu u en z 2 (2 + 2) 2 ( 2 + ) lcktr. Sru.7 x, y, z gerçel sylr x z 2 2 z (3) y x 2 2 x (4) z y 2 2 y (5) e³itliklerini s lyrs, x + y + z tplmnn lilece i en küçük de er nedir? Çözüm. Srud verilen [3], [4] ve [5] e³itliklerindeki de i³kenler ln x, y, z de erlerinin tplmnn en küçük lms için u üç de erinde negtif de erler lms gerekir. u durumd, [3], [4] ve [5] e³itlikleri, x, y, z gerçel sylr x z 2 + 2z (6) y x 2 + 2x (7) z y 2 + 2y (8) lcktr. E er [6], [7] ve [8] e³itliklerinde, e³itli in her iki trfnd eklenirse, x 2 + 2x + y + 'den, (x + ) 2 y + için x, y, y 2 + 2y + z + 'den, (y + ) 2 z + için y, z, z 2 + 2z + x + 'den, (z + ) 2 x + için z, z lrk ulunur. un göre (x + y + z) min 3 lrk ulunur. Çözüm II. Vrsylm x y z lsun. un göre, x y ise, z 2 +2z x 2 +2x ve (z +x) 2 lcktr. enzer içimde, (z + y) 2 ve (x + y) 2 lcktr. u üç ifde trf trf tplnrs, x + y + z 3 ldu u görülecektir. 7

8 Sru.8 Ö retmen, thty 8 pzitif tmsy yzyr, ve etül u sylrdn ikisinin 2'ye, üçünün 3'e, dördünün 4'e, e³inin 5'e, ltsnn 6'y, yedisinin 7'ye ve sekizinin 8'e ölündü ünü söylüyr. etül en z kç ht ypm³tr? Çözüm. Sylrn sekiz tnesi 8 ile tm ölüneiliyrs, Her ir sy, 8k, 8k 2, 8k 3, 8k 4, 8k 5, 8k 6, 8k 7, 8k 8 k i Z frmtnd lcktr. u sylrn hepsinin 2 ve 4 ile ölüneildi i çktr. Sylrdn lt tnesi 6 ile klnsz öleneiliyr ldu un göre u lt sy 3 ilede klnsz ölüneilir. u durumd etül en z, 3 ht ypm³tr. E er u durumu örneklemek istersek, sylrn liliriz. un göre, Tümü 8 ile klnsz ölüneilir. 8 hriç di er yedi tnesi 7'ye 8 ve 56 hriç di er lt tnesi 6'y 8, 56, 68, 840, 680, 2520, 3360, , 56 ve 68 hriç di er e³ tnesi 5'e tm ölünür. Sru.9 çs dik ln dik üçgeninde [] kenrrtynn uznts ile []'ye nktsnd dik ln ir d d rusunun kesi³me nkts E'dir. s(âe) 8 ve 2 ldu un göre, E kç irimdir? Çözüm. [grph.0] s(âe) 8 ldu undn, E dik üçgeninde lur. üçgeni ikizkenr ldu undn, s(âe) s() s() lcktr. [E]'nin rt nktsn K diyelim. E dik üçgeninde, K K KE ldu undn s(âek) s(êk) 8 ve s(âk) 'dir. u durumd, s(âk) s(âk) 36, K 2 ve lur. E 2 K Nt.20 (Sru.9) u çözüm > için d rudur. E er, < ise E 24 lcktr. 8

9 ise ³n ile nktsndn []'ye çizilen dikme prlel lc ndn E nkts ulunmz. Sru ve ( + )(2 + )( 4 + ) ise kçtr? Çözüm. ( + )( 2 + )( 4 + ) e³itli inin iki trfnd ( ) ile çrprsk, 9 0 ise 9 0 ( ) ( )( + )( 2 + )( 4 + ) lur. un göre, 8 ulunur lc ndn, istenen cevp lcktr. Sru.22 n ve n+ pzitif tmsylrnn her ikisininde rkmlrnn tplm 53'e ölüneiliyrs, n en z kç smkldr? Çözüm. n sysnn rkmlr tplm 06 ve n+ sysnn rkmlr tplm 53 lck ³ekilde iki tmsy ulmy çl³lm. un göre, n + için ldu undn, n sysnd yziliriz. un göre n sysnn smklr tplm 06 lc n göre, k 9 06 e³itli inden k tmsy de eri 6 lrk ulunur. un göre, n sys ve n + sysd n lrk ulunur. emek ki, n sys en z 2 smkl lcktr. 9

10 2 Klsik Ksm SORULR - ÇÖZÜMLER Sru 2. dik üçgeninde s(ĉ) 90 lmk üzere, ile içte et çemerinin merkezini gösterelim. ve nktlrndn geçen d runun kenr ile kesi³im nkts N lsun. + ve N 2 ise N kç irimdir? Çözüm. [grph. ] ç te et çemerin [] ve [] kenrlrn de me nktlr srsyl E ve F lsun. F E kresinin kenr uzunluklr r lsun. E dik üçgeninde x, E y ve s( N) s(ĉn) α lsun. [] üzerinde F G E y lrsk, F G E (K..K.) e³li inden m( GF ) α ve G x lur. + e³itli inde G + G yzlm. + G + G, G y+r ldu undn, y+r+ G +y+r e³itli inden G x lur. G G x ldu undn s( G) s( G) β ve G üçgeninde d³ ç özeli inden, β + β α yni 2α β lur. nkts iç te et çemerin merkezi ldu undn, ve s() 2β α'dr. dik üçgeninde, s( ) s( ) β s( ) + s(â) 90 ise 2α + α 90 e³itli inden, α 30 lur. N dik üçgeninde, s( N) 30 ve N 2 ldu undn N lur. N üçgeninde, s( N) 2β α 30 ve s( N) α 30 ldu undn N N 4 ulunur. 0

11 Sru x + 3 y z 2 denkleminin pzitif tmsylr kümesindeki tüm çözümlerini ulunuz. Çözüm. 4 x + 3 y z 2 e³itli inden, 3 y z 2 2 2x (z 2 x )(z + 2 x ) e³itli ini elde edeiliriz. ve irer tmsy lmk üzere, z 2 x 3 ve z + 2 x 3 + lsun. (z + 2 x ) (z 2 x ) e³itli inden 2 x+ 3 (3 ) elde edilir. 2 x+ sys x > 0 için 3 ile ölünemez. u yüzden, 0 lmldr. u durumd, 2 x+ 3 e³itli i elde edilir. 2k lmk üzere, 2k ise, 2 x+ 3 2k ve 2 x+ (3 k )(3 k +)'dir. u e³itli in s lnilmesi için, m ve n tmsylr lmk üzere, 3 k 2 m, 3 k + 2 n lmldr. Yni, k için, 3 2, ve 2k 2 lmldr. 2 ise 2 x+ 3 2 'den x 2 ulunur. 2 x+ 3 e³itli inde, tek ir tm sy lsun. un göre, e³itli inde 3 2'dir. nck, 2 x+ (3 )( ) ifdesinde tek syd terim vrdr. Yni tek sydr. emek ki, 2 x+ 2( ) lcktr. z 2 x 3 ve z + 2 x 3 + için 0, 2, x 2 ulmu³tuk. un göre, z e³itli inden z 5 ulunur. 4 x + 3 y z 2 e³itli inde, x 2 ve z 5 yzrsk, y 5 2 e³itli inden y 2 ulunur. O hlde, verilen denklemin (x, y, z) (2, 2, 5) lck ³ekilde, tek çözümü vrdr.

12 Sru 2.3 ir ms üzerindeki 24 tne rdktn, tm lrk 3 tnesi ters çevrilmi³tir. Her i³lemde herhngi 4 rd çevireiliyruz. En fzl 00 i³lem yprk ütün rdklr düz hle getireilirmiyiz. Çözüm. üz rdklr + ve ters rdklr ile gösterelim. ³lngçt tplm 2 (+) + 3 ( ) 8 ve 8 2(md4) lcktr. Her i³lemde ir rdk ters çevrildi inde (+) ( ) 2 vey ( ) (+) 2 ldu undn tplmdki de i³im 2 vey 2'dir. un göre, her i³lemde 4 rd n çevrilmesinde, (md4) (md4) (md4) (md4) (md4) durumlrndn iri lu³ur. 24 rd nd düz durum gelmesi için, lmldr. un göre, 24 (+) 0(md4) 8 2(md4) (9) 4k 0(md4), k Z (0) sisteminde [9] ve [0] ifdelerini tplyp (md4) ltnd incelersek hiçir zmn 0 klnnn lmyc n görmek zr de ildir. emek ki, 24 0(md4) durumu lu³turulmz. Snuç lrk, verilen k³ullrd ütün rdklr düz hle getirilemez. 2

13 2 75 F - F - G E grph. 02 E grph e 4x x y f 5x d K 5x 2 4x N 3x L 4x grph. 05 c 2 5x grph. 0 M 5x M 4x x grph. 03 z grph _ K N E 5 z y e 4 5 f 4 d β β c V V2 60 km V 2.t V K 60 km O H grph. 09 β x grph. 06 P4 4 P3 Q3 P2 Q2 P Q ( V 2 + 8)( t -) grph. 04 3m 3m 3m 3m 3m m E r r α G N F r grph. y { x r α α y n 2 n grph. 08 Q