13. Ders. Mahir Bilen Can. Mayı 25, : α nın eş-kökü

Transkript

1 13. Ders Mahir Bilen Can Mayı 25, Kök Sistemlerine Bir Örnek Hatırlayacağımız üzere basit kökler kümesi = {α 1,..., α l } Φ ya karşılık gelen temel baskın kökler olan ω 1,..., ω l leri aşağıdaki gibi tanımlamıştık: α Φ h α = 2t α B(t α, t α ) : α nın eş-kökü burada t α h α yı α(x) = B(t α, x) ile her x h için tanımlanmaktadır. E, h içerisinde Φ nin reel gereni olsun. Bu durumda nın eş-kökleri E için bir baz vermektedir. E nin {h α α } kümesine dual olan bazı, temel baskın kökleri içermektedir. Diğer bir ifade ile, ω i (h αj ) = δ ij bütün i, j = 1,..., l. Eğer χ, β Φ iki kök ise, β(h χ ) = ( ) 2t χ B(t β, h χ ) = B t β, B(t χ, t χ ) = 2B(t β, t χ ) 2(β, χ) = B(t χ, t χ ) (χ, χ) = β, χ (Cartan tamsayıları) Bu da bize ω i (h αj ) = ω i, α j = δ ij eşitliğini vermektedir. Ayrıca biliyoruz ki herhangi χ, β Φ için, β üzerinden elde edilen χ-teli {β rχ,..., β + qχ} Φ şeklinde verilmektedir. Hatta, β rχ ve β + qχ yi h χ de hesapladıktan sonra, β(h χ ) = r q Z elde ederiz. 1

2 İki basit kök olan α i ve α j arasındaki açı geniş açı olduğundan dolayı α i α j basit kök değildir. Aslında kök bile değildir. Bu yüzdendir ki, α i nin α j üzerinden elde edilen kök teli α j de başlar ve aşağıdaki gibi verilir; α j, α j + α i, α j + 2α i,... dolayısıyla da, α i (h αj ) = q = α i, α j. Buna ek olarak, ω 1,..., ω l, h için baz oluşturduğundan, ( ) l α i, α j i,j=1 (Cartan matris) matrisi temel basit köklerden basit köklere bir baz değişim matrisi vermektedir. Örnek 1.1. g = sl(3, C) durumunu düşünelim. g deki köşegen matrisler bize maksimal değişmeli altcebirini vermektedir ve bunu h ile göstereceğiz. Ayrıca, bu iki boyutlu altvektör uzayı matrisleri ile üretilmektedir. diag(1, 1, 0) ve diag(0, 1, 1) h üzerinde, i = 1, 2, 3 için i ninci kordinat fonksiyonelini ε i ile ve ε i nin köşegen matris diag(x 1, x 2, x 3 ) üzerindeki değerini de x i ile gösterelim. Şimdi, α 12 := ε 1 ε 2 ve α 23 := ε 2 ε 3 olarak tanımlansın. Açıkça görülmektedir ki, = {α 12, α 23 } h için bir baz vermektedir (doğrusal bağımsız olduklarından). h e karşılık gelen kök uzay ayrışımını hesaplamak için, H h üzerine α 1 karakteriyle etki eden A sl(3, C) matrislerine bakmamız gerekmektedir. Diyelim ki, olsun. a 11 a 12 a 13 x a 21 a 22 a 23 ve H = 0 x 2 0 a 31 a 32 a x 3 2

3 O zaman, x a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 [H, A] = 0 x 2 0 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a x 3 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 0 (x 1 x 2 )a 12 (x 1 x 3 )a 13 = (x 2 x 1 )a 21 0 (x 2 x 3 )a 23 (x 3 x 1 )a 31 (x 3 x 2 )a 32 0 x x x 3 Sonuç olarak, bütün H h için [H, A] = α 12 (H)A = (x 1 x 2 )A eşitligi sağlanır ancak ve ancak 0 a 12 0 Benzer bir şekilde, bütün H h için [H, A] = α 23 (H)A = (x 2 x 3 )A eşitliği sağlanır ancak ve ancak 0 0 a 23 ve bütün H h için [H, A] = (α 12 + α 23 )(H)A = (x 1 x 3 )A eşitliği sağlanır ancak ve ancak 0 0 a 13 Şimdi α 12 ve α 23 ü düşünelim. Daha önceki hesaplamalardan biliyoruz ki bütün H h 3

4 için elimizde [H, A] = α 12 (H)A = (x 2 x 1 )A eşitliği ancak ve ancak a , bütün H h için elimizde [H, A] = α 23 (H)A = (x 3 x 2 )A eşitliği ancak ve ancak, 0 a 32 0 bütün H h için elimizde [H, A] = (α 12 + α 23 )(H)A = (x 3 x 1 )A eşitliği vardır ancak ve ancak a Buna ek olarak E ij, 0, 1 matrisi olsun öyle ki ij-ninci girdisi 1 ve diğer yerler 0. Eğer h = diag(1, 1, 0), diag(0, 1, 1) ve g ij = span(e ij ) olarak tanımlarsak, g = sl(3, C) için: kök uzayı ayrışması elde ederiz. g = h g 12 g 13 g 23 g 21 g 31 g 32 Şimdi kökleri α ij = ε i ε j şeklinde tanımlayalım. Buna karşılık gelen kök sistemi ise α 23 α 13 α 12 figürü ile verilir. Özet olarak, = {α 12, α 23 } basit kökler kümesini, Φ + = {α 12, α 23, α 13 = α 12 + α 23 } pozitif kökler kümesini, ve Φ = {α 21, α 32, α 31 } ise negatif kökler kümesini vermektedir. 4

5 1.1 sl(n, k) nın Killing Formu = {α 12, α 23 } ya karşılık gelen eş-kökleri bulabilmek için, h üzerindeki Killing formunu tanımlamamız gerekmektedir. Öncelikle, gl(k n ) nin Killing formunu anlamaya çalışalım. Bunun için de kutuplaşma (polarizasyan) numarasını kullanalım. İlk olarak X gl(k n ) için B(X, X) i hesaplayalım; ad X ad X(M) = [X, [X, M]] = [X, XM MX] = X 2 M 2XMX + MX 2 (ad X) 2 in izini hesaplamak içinse, herhangi bir gl(k n ) bazı için ona karşılık gelen matrisi hesaplamamız gerekir. E ij ler bizim gl(k n ) için bazımız olsun. Bu bazı kullanarak basit bir hesaplamayla, kolaylıkla gösterebiliriz ki B(X, X) = Tr(ad X ad X) = 2n Tr(X 2 )+2(Tr(X)) 2 dir. Sonra da bunu aşağıdaki formülde yerine yazarak, B(X, Y ) = 1 (B(X + Y, X + Y ) B(X, X) B(Y, Y )), 2 B(X, Y ) = 2n Tr(XY ) + 2 Tr(X) Tr(Y ) eşitliğini elde ederiz. Sonuç olarak, bunu sl(n, k) e kısıtlarsak, sl(n, k) için, B(X, Y ) = 2n Tr(XY ) Killing formunu elde etmiş oluruz. sl(n, k) nin Killing formunun h = diag(x 1, x 2,..., x n ) e kısıtlamasının B(diag(x 1,..., x n ), diag(y 1,..., y n )) = 2n şeklinde verildiğini gözlemleyebiliriz. n x i y i. i=1 5

6 Ayrıca tanım gereği, elimizde eşitliği vardır. α 12 (diag(x 1, x 2, x 3 )) = B(t α12, diag(x 1, x 2, x 3 )) = x 1 x 2 = 6(ax 1 + bx 2 + cx 3 ) Dolayısıyla, t α12 = 1diag(1, 1, 0) ve t 6 α 23 = 1 diag(0, 1, 1) olarak hesaplanır. Bu da bize 6 h α12 = diag(1, 1, 0) ve h α23 = diag(0, 1, 1) matrislerini verir. Şimdi {ω α12, ω α23 } kümesi temel baskın ağırlıkları içeren baz olsun, öyle ki {h α12, h α23 } kümesine dual. O zaman, ω α12 = ε (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) ω α23 = ε 1 + ε (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) olarak hesaplayabiliriz. Bunları ayrıca α 12 ve α 23 cinsinden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: ω α12 = 2α 12 + α 23 3 ω α23 = α α Temel Weyl Odası α 23 α 13 ω α23 ω α12 α 12 Daha önce de bahsettiğimiz üzere, ω i i α i ler cinsinden yazmak mümkündü, hatta bu ifadeleri Cartan matris ( α i, α j ) l i,j=1 inin tersi ile de verebiliriz. Diğer taraftan, eğer i j ise, α i, α j alsında α j üzerinden geçen α i -teli uzunluğunun negatifidir. 6

7 Bunu bizim örneğimize uygulayacak olursak, α 12, α 23 = 1 α 12, α 12 = 2 α 23, α 23 = 2 α 23, α 12 = 1 eşitliklerini elde ederiz. ( 2-1 ) ( 2 1 ) Sonuç olarak, aradığımız Cartan matrisi şeklinde verilmektedir ve tersi References [1] Knapp, A. Lie Groups, Beyond an Introduction [2] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 7