KAFES YAPILARIN MODİFİYE EDİLMİŞ YAPAY ARI KOLONİ ALGORİTMASI İLE OPTİMİZASYONU

Transkript

1 XVIII ULUSAL MEKANİK KONGRESİ Ağustos 2013, Celal Bayar Ünverstes, Mansa KAFES YAPILARIN MODİFİYE EDİLMİŞ YAPAY ARI KOLONİ ALGORİTMASI İLE OPTİMİZASYONU S Özgür Değertekn 1, Mehmet Ülker 2, M Sedat Hayaloğlu 1 1 Dcle Ünverstes, Mühendslk Fakültes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, 21280, Dyarbakır 2 Fırat Ünverstes, Mühendslk Fakültes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, 23119, Elazığ ÖZET Bu çalışmada, kafes yapıların optmzasyonunda modfye edlmş yapay arı kolon algortması (MABC) kullanılmıştır Yapay arı kolon algortması (ABC); arı kolonlerndek çalışma mekanzması ve arıların nektar elde etmek çn zledkler stratejlern taklt edlmesn esas alan sezgsel optmzasyon yöntemdr Optmzasyon problemnn formülasyonunda; deplasman ve gerlme sınırlayıcıları altında mnmum ağırlıklı kafes yapı nın elde edlmes amaçlanmaktadır Yöntemn etknlğ daha önce standart yapay arı kolon algortması ve farklı sezgsel optmzasyon yöntemleryle kullanılarak optmum tasarımı yapılmış 200 elemanlı, 29 tasarım değşkenl kafes yapı üzernde test edlmştr Yapılan kıyaslamalar; modfye edlmş yapay arı kolon algortmasının, standart yapay arı kolon algortması ve dğer optmzasyon yöntemlerne göre daha y br tasarım elde ettğn göstermştr Anahtar Kelmeler: Kafes yapılar, Modfye edlmş yapay arı kolon algortması, Optmzasyon GİRİŞ Sezgsel optmzasyon yöntemler son yıllarda farklı mühendslk problemlernn çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır Bu yöntemlern ana felsefes; ele alınan problem le doğadak br süreç veya yaşam bçm arasında benzerlk kurmaktır Son yrm yılda gderek artan br şeklde rağbet gören sezgsel optmzasyon yöntemlernn en önemller arasında genetk algortmalar, tabu arama, tavlama benzeşm, armon arama, parçacık küme optmzasyonu ve yapay arı kolon algortması sayılablr Genetk algortmalar; doğada güçlü breylern hayatta kalması esasını hesaplamalı yöntemlere uygulamaktadır [1] Tabu arama; nsan beynnn kısa ve uzun sürel hafıza çalışma 196

2 mekanzmalarını taklt etmektedr [2,3] Tavlama benzeşm; katı csmlerdek tavlama şlem le optmzasyon problemler arasında benzeşm kurmaktadır [4] Armon arama; müzsyenlern en y armony bulmak çn uyguladıkları şlemler optmzasyon problemlernde optmum çözümü bulmaya uygulamaktadırlar [5] Parçacık küme optmzasyonu; hayvan sürülernn davranışları le optmzasyon problemler arasında benzerlk kurmaktadır [6] Yapay arı kolon algortması; yukarıda sayılan yöntemlerden daha sonra gelştrlen nspeten yen br sezgsel optmzasyon yöntem olup arı kolonlerndek çalışma mekanzması ve arıların nektar elde etmek çn zledkler stratejlern taklt edlmes esasına dayanır Yöntem lk olarak nümerk optmzasyon problemler çn kullanılmış [7] ve kısa sürede farklı uygulama alanları bulmuştur [8-10] Bu çalışmanın amacı, standart arı kolon algortması (ABC) üzernde brtakım değşklkler yaparak modfye edlmş arı kolon algortması (MABC) adı verlen daha güçlü ve daha hızlı br yöntem gelştrmektr Yöntemn etknlğn test etmek çn lteratürde standart ABC ve farklı sezgsel optmzasyon yöntemleryle optmze edlmş 200 elemanlı, 29 tasarım değşkenl düzlem br kafes yapı kullanılmış ve elde edlen sonuçlar kıyaslanmıştır OPTİMUM TASARIM PROBLEMİ Kafes yapıların optmzasyon problem şu şeklde formüle edleblr: ng 1 mk mn W ( ) L [, 2,, burada 1 ng k1 ] k l k (2) u, =1,2,,ng tasarım değşkenlern çeren br vektör, (1) ; nc tasarım değşkenne at enkest değer, ng tasarım değşkenlernn sayısı (kafes yapıdak grup sayısı), ve enkestlern alableceğ en küçük ve en büyük değerler, mk ; k ncı gruptak toplam eleman sayısı, W() kafes yapının ağırlığı, ρk ve Lk ; nc gruptak k ncı elemana at özgül ağırlık ve uzunluk değerlerdr Normalze edlmş tasarım sınırlayıcıları şu şeklde fade edleblr: s nl g nl ( ) 1 0, 1 n nm, 1 l nl (3) nu d d jl g jl ( ) 1 0, 1 j ndof, 1 l nl (4) d ju bu bağıntılarda g s nl () ve () sırasıyla eleman gerlme ve düğüm deplasman g d jl sınırlayıcılarına at fonksyonlar, nl l nc yükleme durumunda n nc elemandak gerlme değer, nu herhang br elemandak gerlmenn alableceğ en büyük değer, d jl l nc yükleme durumunda j nc serbestlk dereces çn düğüm noktasındak deplasman değer, l u d ju XVIII Ulusal Mekank Kongres 197

3 herhang br düğüm noktasındak deplasmanın alableceğ en büyük değer, nl yükleme durumu sayısı, ndof serbestlk dereces sayısıdır Optmzasyon sürec sonunda (3) ve (4) bağıntılarıyla verlen sınırlayıcıları sağlayan farklı kafes yapılardan mnmum ağırlıklı olan nha optmum tasarım olarak tayn edlr Bu süreçte, (3) ve (4) bağıntılarıyla verlen sınırlayıcıları sağlamayan tasarımlar elenr Bu eleme şlem çn daha önce kafes yapıların optmzasyonuna başarıyla uygulanmış br seçm mekanzması kullanılmıştır [11] Bu seçm mekanzması şu kuralları çerr: a Sınırlayıcıları sağlayan kafes yapı tasarımları, sınırlayıcıları sağlamayanlara terch edlr, b Sınırlayıcıları çok küçük br değerde (optmzasyon sürecnn başında 0,01 optmzasyon sürecnn sonunda 0,001 mertebesnde) sağlamayan tasarımlar sınırlayıcıları sağlıyor olarak kabul edlr, c Sınırlayıcıları sağlayan k kafes yapı tasarımı arasında daha haff olan kafes yapı tasarımı terch edlr, d Sınırlayıcıları sağlamayan k kafes yapı tasarımı arasında sınırlayıcıları daha az hlal eden tasarım terch edlr Bu seçm mekanzmasında (a) ve (d) kuralları optmzasyon şlemnn sınırlayıcıları sağlayan tasarımlara yönelmesn sağlamakta, (c) kuralı sınırlayıcıları sağlayan tasarımlar çnde daha y (daha haff) olan tasarıma yönlendrme yapmakta, (b) kuralı se global optmumun sınırlayıcılara at sınır değerlere yakın olması olasılığını araştırmaktadır Burada önemle vurgulanması gereken nokta, (b) kuralı uygulanmakla brlkte optmzasyon sürec sonunda tayn edlen optmum tasarım her zaman çn sınırlayıcıları sağlayan tasarım olacaktır Çok düşük değerde dah olsa sınırlayıcıları sağlamayan tasarımın optmum tasarım olarak atanması kabul edlmeyecektr MODİFİYE EDİLMİŞ ARI KOLONİ ALGORİTMASI (MABC) Herhang br arı kolonsnde şç arılar, gözcü arılar ve kaşf arılar olmak üzere üç ayrı arı grubu bulunmaktadır İşç arılar, çevredek besn kaynaklarından en y nektarları toplayarak kolonnn bulunduğu kovana getrmekle sorumludurlar Daha fazla nektar toplayan şç arılar bu durumu kovan çevresnde daha fazla dans ederek bell ederler Gözcü arılar, şç arıların danslarını gözlemleyerek fazla mktarda nektar toplayan şç arıların besn kaynaklarına yönelrler Kaşf arılar se, arı kovanı yakınında olablecek nektar kaynaklarını rastgele olarak araştırırlar Standart arı kolon algortması (ABC) üç aşamadan oluşmaktadır Brnc aşamada; yapay arı kolons rasgele olarak üretlr Kolondek her br besn kaynağı ( ), (=1,2,,ntb); ng boyutunda br vektörle temsl edleblr Burada; ntb besn kaynağı sayısı (kolondek arı sayısı), ng se tasarım değşken sayısıdır Rasgele oluşturulan kolondek arıların lk yarısı şç arı, knc yarısı se gözcü arı olarak görevlendrlr İknc aşamada; daha y br besn kaynağı bulmak amacıyla kolonnn lk yarısını oluşturan her br şç arı mevcut nc konumunu aşağıdak denklem kullanarak değştrr: new j old j old j ( j kj bu denklemde, k 1,2,, neb ve j 1,2,, ng ) (5) rasgele seçlen ndsler olup k olmalıdır neb kolondek şç arı sayısını, j tasarım değşkenn, j se [-1,1] aralığında değşen rasgele br reel sayıdır İşç arının mevcut konumu değştkten sonra yen konumundak besn XVIII Ulusal Mekank Kongres 198

4 kaynağına at nektar mktarı hesaplanır Eğer yen konum çn nektar mktarı br öncek konuma at nektar mktarından büyükse, şç arı yen konuma yerleşr Aks halde şç arı öncek konumuna ger döner Tüm şç arılar çn bu şlemler tamamlandıktan sonra şç arılar mevcut konumlarına at blgler ve nektar mktarlarını arı kovanı önündek dans alanında gözcü arılarla paylaşırlar Daha uzun süre dans alanında kalan şç arı gözcü arılara, nektar mktarının fazla olduğunu ve bulduğu yen besn kaynağının daha y olduğu mesajını verr Gözcü arılar şç arıların verdkler mesajları dkkate alarak aşağıda verlen olasılık değerne göre besn kaynaklarını seçerler: p neb n1 obj obj n burada obj nc çözüme at amaç fonksyonudur Bu değer nc konumdak besn kaynağına at nektar mktarıyla orantılıdır Her br şç arıya at olasılık değerler hesaplandıktan sonra, gözcü arılar seçtkler şç arıların konumunu şu şeklde değştrrler: new lj old old ) (7) lj lj ( lj j bu bağıntıda l 1,2,nob ve 1,2,, neb rasgele seçlen ndsler, lj (6) [-1,1] aralığında değşen rasgele br reel sayı, nob gözcü arı sayısıdır (nob=neb) Eğer yen besn kaynağına at nektar mktarı öncek besn kaynağına at nektar mktarından fazla se, gözcü arı yen besn kaynağına at konuma yerleşr Aks halde öncek konumuna ger döner Bu şlemler her br gözcü arı çn tekrarlanarak knc aşama tamamlanır Bu şeklde hem şç arılar hem de gözcü arılar daha y besn kaynaklarını araştırarak kolonnn mevcut durumunu daha y br sevyeye çıkarmayı amaçlamaktadırlar Son aşamada se kolonde bell sayıda denemeye rağmen daha y br besn kaynağı bulamayan şç veya gözcü arı konumunu terk ederek kâşf arıya dönüşür Gözcü veya şç arılara daha y br besn kaynağı bulmaları çn müsaade edlen deneme sayısı lmt değer (lv) olarak adlandırılır Kaşf arı tarafından kaynağı şu şeklde elde edlr: j j bu besn kaynağının yerne geçecek yen besn rand 0,1)( ) j=1,2,,ng (8) burada j mn j mn ve j ma ( j ma j mn sırasıyla j nc tasarım değşkennn alableceğ en büyük ve en küçük değerlerdr Üçüncü aşamanın tamamlanması le yapay arı kolon algortmasındak br terasyon btrlmş olur Yukarıda br terasyon çn açıklanan şlemler maksmum terasyon sayısı kadar tekrarlanarak optmzasyon şlem btrlr Kafes yapıların optmzasyonu le yapay arı kolon algortması yöntem arasındak benzeşm şu şeklde kurulablr: arı kolonsndek şç ve gözcü arıların toplam sayısı optmzasyon süresnce kullanılacak kafes yapı sayısını, besn kaynağındak nektar mktarı kafes yapı tasarımına at amaç fonksyonunun değern göstermektedr Bu çalışmada, yukarıda açıklanan standart ABC nn performansını arttırmak çn önerlen MABC yöntemnde lave olarak şu stratejler kullanılmıştır: XVIII Ulusal Mekank Kongres 199

5 Standart ABC de mevcut besn kaynağından yen besn kaynağına gdlrken rasgele olarak sadece br tasarım değşken değştrlmektedr Buna karşın önerlen MABC de tüm tasarım değşkenler değştrlmektedr İknc modfkasyon; mevcut besn kaynağı le yen besn kaynağının kıyaslanması konusundadır Standart ABC de yen besn kaynağı le öncek besn kaynağı karşılaştırılmaktadır MABC de se yen besn kaynağı le kolondek en az nektar mktarına sahp besn kaynağı kıyaslanmaktadır Son modfkasyonunda se eğer en y besn kaynağındak arı lmt değer boyunca bell br gelşm göstermyorsa ble bu arının kaşf olarak atanmaması hususudur Brnc ve knc modfkasyon optmzasyon sürecnn hızlandırılması amacıyla uygulanan stratejler olup üçüncü stratej se en y tasarımın koruma altına alınmasına yönelktr KAFES YAPILARIN MODİFİYE EDİLMİŞ YAPAY ARI KOLONİ ALGORİTMASI İLE OPTİMİZASYONU Bu çalışmada önerlen MABC şu adımlardan oluşmaktadır: Adım 1: Algortmaya at parametrelern kolondek arı sayısı (ntb) ve lmt değerlern ata İterasyon sayacını sıfırla t=0 değer (lv) Adım 2: Farklı kafes yapıları çeren başlangıç kolonsn rasgele olarak üret Kolondek br kafes yapı tasarımındak her br tasarım değşken en büyük ve en küçük sınır değerler arasında aşağıdak bağıntı le üretlr: j j mn j j ( ma ma rand 0,1)( ) =1,2,,ng, j=1,2,,ntb (9) Kolondek kafes yapı tasarımları açık br şeklde aşağıdak matrs formunda gösterleblr j ntb ntb 2 1 ng 2 ng ntb ng =1,2,,ng, j=1,2,,ntb (10) Matrstek her br satır kolondek br kafes yapı tasarımını gösterr Tasarımlar amaç fonksyonu değerlerne göre artan bçmde lk sıradan ntb nc sıraya kadar sıralanırlar Burada ntb kolondek toplam arı sayısıdır (Toplam kafes yapı sayısı) Kolonnn lk yarısı şç arılar (neb), knc yarısı se gözcü arılar olarak (nob) belrlenr Adım 3: Kolondek kafes yapıların analzn yaptırarak, eleman kuvvetlern ve düğüm deplasman değerlern tespt et (2)-(4) denklemler yardımıyla W () amaç fonksyonunu hesapla Kafes yapıları amaç fonksyonu değer küçükten büyüğe olacak şeklde sırala Bu durumda kolondek en y tasarım lk sırada ( W ( eny ) ), en kötü tasarım se ( W ( enkötü )) en son sırada olacaktır XVIII Ulusal Mekank Kongres 200

6 Adım 4:Tasarım sayacını arttır, t=t+1 Adım 5: Kolonnn lk yarısından r W ( r ) amaç fonksyonu değerne sahp br kafes yapı tasarımını rasgele seç ( ; r=1,2,,neb) Denklem (5) kullanarak bu kafes yapıyı değştr Yen kafes yapıyı analz ederek, amaç fonksyonunu ( ) hesapla W ( yen Adım 6: Eğer W ( enkötü ) se, yen tasarım en kötü tasarımın yern alır Aks halde öncek tasarım aynen kalır Kolondek kafes yapılar amaç fonksyonu değerlerne göre tekrar sıralanır W ( yen ) Adım 7: 5 ve 6 adımlar kolonnn lk yarısındak tüm kafes tasarımlar çn tekrarlanır Adım 8: 5 ve 6 adımdan elde edlen blgler kolonnn knc yarısı le paylaşılır p olasılığı le kolonnn lk yarısından br kafes tasarım seçlr Denklem (6) maksmzasyon problemlerne uygundur Bu çalışmada se amaç kafes yapı ağırlığını mnmze etmektr Bu amaçla denklem (6) şu şeklde modfye edleblr: p neb 1 W ( ) n1 1 W ( n ) =1,2,,neb (11) Adım 9: Denklem (7) le kafes yapı tasarımında değşklk yapılarak yen br tasarım elde edlr Eğer W( yen ) W ( enkötü ) se, yen tasarım en kötü tasarımın yerne geçer Aks halde öncek tasarım aynen kalır Kolondek kafes yapılar amaç fonksyonu değerlerne göre tekrar sıralanır Adım 10: 8 ve 9 adımlar kolonn knc yarısındak her tasarım çn tekrarlanır Adım11: Kolondek en y tasarım dışındak herhang br tasarım lv lmt değer boyunca gelşme göstermyorsa, bu tasarımdan vazgeçlr Denklem (8) kullanılarak rasgele yen br tasarım üretlr Sınırlayıcıları sağlayan mnmum ağırlıklı kafes yapı tasarımı mevcut optmum tasarım olarak kaydedlr Adım12: Önceden belrlenen kafes yapı analz süresnde kolondek mevcut optmum kafes yapı tasarımından daha haff br tasarım elde edlmemşse, optmzasyon sürec btrlr Mevcut optmum nha optmum tasarım olarak atanır Aks halde adım 4 e gdlerek şlemlere devam edlr TEST PROBLEMİ Bu çalışmada öne sürülen MABC yöntemnden elde edlen sonuçları kıyaslamak çn lteratürde armon arama (HS) [12], çok sevyel tavlama benzeşm (CMLPSA) [13], hbrd paracık küme karınca kolon optmzasyonu (HPSACO) [14] ve standart yapay arı kolon algortması (ABC) [9] yöntemleryle optmze edlmş 200 elemanlı, 29 tasarım değşkenl düzlem kafes yapı kullanılmıştır Yöntemn kend çndek tutarlılığını tespt etmek amacıyla, rasgele üretlmş farklı başlangıç tasarımları çn gelştrlen program 20 sefer cra edlmş ve 20 farklı nha kafes yapı tasarımı elde edlmştr Bu tasarımlardan en ağır ve en haff olanlarına at değerler le 20 farklı tasarım çn hesaplanan ortalama ağırlık ve standart sapma değerler Tablo da sunulmuştur ) XVIII Ulusal Mekank Kongres 201

7 200 Elemanlı Kafes Yapı Yapıların optmzasyonunda test problem olarak yaygın olarak kullanılan 200 elemanlı düzlem kafes Şekl 1 de verlmştr Şekl elemanlı kafes yapı Kafes yapı Tablo 1 de verlen 29 eleman grubundan oluşmaktadır Malzeme çn elastste modülü ve özgül ağırlığı değerler sırasıyla GPa ve 7835 kg/m 3 dür Optmzasyon şlemnde sınırlayıcı olarak sadece gerlme sınırlayıcısı kullanılmış olup bu değer hem basınç hem de çekme durumu çn 6895 MPa dır Tasarım değşkenlernn alableceğ mnmum enkest değer cm 2 olarak belrlenmştr Kafes yapıya etk eden üç farklı yükleme durumu mevcuttur I Yükleme Durumunda: 1,6,15,20,29,34,43,48,57,62 ve 71 no lu düğüm noktalarına 4448 kn luk yük poztf X doğrultusunda etk etmekte, II Yükleme Durumunda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 28,29 30, 31, 32, 33, 34,36, 38, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 73, 74 ve 75 no lu düğüm noktalarına XVIII Ulusal Mekank Kongres 202

8 4448 kn luk yük negatf Y doğrultusunda etk etmekte, III Yükleme Durumunda: I ve II yükleme durumları beraber etk etmektedr MABC de ntb ve lv değerler 80 ve 1500 olarak atanmıştır Bu çalışmada ler sürülen MABC den elde edlen ve lteratürde hazır bulunan HS [12], CMLPSA [13], HPSACO [14] ve ABC ye [9] at sonuçlar Tablo 2 de verlmştr Tasarım değşken Tablo elemanlı kafes yapı çn tasarım tasarım değşkenler Eleman numarası Tasarım değşken Eleman numarası 1 1,2,3, ,83,85,86,88,89,91,92, 103,104,106,107,109,110,112, ,8,11,14, ,116,117, ,20,21,22,23, ,122,125,128, ,25,56,63,94,101,132, ,134,135,136,137, ,170, ,29,32,35, ,143,146,149, ,7,9,10,12,13,15,16,27, 28,30,31,33,34,36, ,121,123,124,126,127,129, 130,141,142,144,145,147,148, 150, ,40,41, ,154,155, ,46,49,52, ,160,163,166, ,58,59,60,61, ,172,173174,175, ,67,70,73, ,181,184,187, ,45,47,48,50,51,53,54, 65,66,68,69,71,72,74, ,159,161,162,164,165,167, 168,179,180,182,183,185,186, 188, ,78,79, ,192,193, ,84,87,90, ,197,198, ,96,97,98,99, , ,105,108,111,114 XVIII Ulusal Mekank Kongres 203

9 Tasarım değşken (cm 2 ) Tablo elemanlı kafes yapı çn optmum tasarım sonuçları HS [12] CMLPSA [13] HPSACO [14] ABC-AP [9] Bu çalışma MABC enkötü MABC eny Ağırlık (kg) Ortalama ağırlık (kg) N/A N/A N/A N/A Standard sapma (kg) N/A N/A N/A N/A 2901 Sınırlayıcı hlal yüzdes (%) Yok Yok Yok Analz sayısı Tablo 1 den elde edlen sonuçlar ncelendğnde HS [12], CMLPSA [13] ve HPSACO [14] le elde edlen tasarımlar MABC ye kıyasla daha haff olmakla brlkte tasarım sınırlayıcısını XVIII Ulusal Mekank Kongres 204

10 sağlamadıkları tespt edlmştr Bu durumun göz önüne alınmasıyla MABC le elde edlen tasarımın en y tasarım olduğu görülmektedr MABC; kg ağırlığındak tasarımı kafes yapı analz sonunda elde etmş, buna karşın standart ABC [9] kg ağırlığındak tasarımı analz sonunda elde etmştr Bu durumda MABC, standart ABC ye [9] kıyasla sadece daha haff tasarım elde etmekle kalmamış aynı zamanda hesaplama süresnde de çok büyük oranda br tasarruf sağlamıştır SONUÇLAR Yapılan kıyaslamalar; öne sürülen yapay arı kolon algortması le dğer optmzasyon yöntemlerne ve standart yapay arı kolon algortmasına göre daha y kafes yapı tasarımı elde edldğn göstermektedr Öneml br sonuç olarak; modfye edlmş arı kolon algortmasının optmum kafes yapıyı, standart arı kolon algortmasından çok daha az kafes yapı analz sonucunda elde ettğ dolayısıyla çok daha az hesaplama süres gerektrdğ belrlenmştr Ayrıca, modfye edlmş arı kolon algortması kullanılarak elde edlen 20 farklı kafes yapı çn hesaplanan standart sapma değernn, ortalama ağırlığa kıyasla oldukça küçük olduğu (% 025 mertebesnde) tespt edlmştr Bu durum modfye edlmş arı kolon algortmasının farklı başlangıç tasarımları çn ble yaklaşık olarak global optmum veya global optmuma yakın sonuçlara yakınsayabldğnn göstergesdr Tüm bu sonuçlar öne sürülen yöntemn kafes yapı optmzasyonunda kullanılablecek güçlü br sezgsel optmzasyon yöntem olduğunu kanıtlamaktadır KAYNAKLAR [1] Holland, JH, Adapton n Natural and Artfcal Systems The Unversty of Mchgan Press, Ann Arbor,1975 [2] Glover, F, Tabu Search-Part I ORSA Journal on Computng 1(3) , 1989 [3] Glover, F, Tabu Search-Part II ORSA Journal on Computng 2(1) 4-32, 1990 [4] Krkpatrck, S, Gelatt, CD, Vecch, MP, Optmzaton by smulated annealng Scence ,1983 [5] Geem, ZW, Km, JH, Loganathan, GV, A new heurstc optmzaton algorthm: harmony search Smulaton 76(2) 60-68, 2001 [6] Kennedy, J, Eberhart, R, Partcle swarm optmzaton IEEE nternatonal conference on neural networks , 1995 [7] Karaboga, D, An dea based on honey bee swarm for numercal optmzaton Techncal report-tr06, Ercyes Unversty, Engneerng Faculty, Computer Engneerng Department, 2005 [8] Karaboga, D, Akay, B, A modfed artfcal bee colony (ABC) algorthm for constraned optmzaton problems Appled Soft Computng 11(3) , 2011 [9] Sonmez, M, Artfcal bee colony algorthm for optmzaton of truss optmzaton Appled Soft Computng 11(2) , 2011 [10] Degertekn, SO, Optmum desgn of geometrcally non-lnear steel frames usng artfcal bee colony algorthm Steel and Composte Structures 12(6) , 2012 [11] Kaveh, A, Talathar, S, A partcle swarm ant colony optmzaton for truss structures wth dscrete varables Journal of Constructonal Steel Research XVIII Ulusal Mekank Kongres 205

11 [12] Lee, KS, Geem, ZW, A new structural optmzaton method based on the harmony search algorthm Computers and Structures [13] Lambert, L, An effcent smulated annealng algorthm for desgn optmzaton of truss structures Computers and Structures, [14] Kaveh, A, Talatahar, S, Partcle swarm optmzer, ant colony strategy and harmony search scheme hybrdzed for optmzaton of truss structures Computers and Structures, XVIII Ulusal Mekank Kongres 206