TEMEL MATEMATİKSEL KAVRAMLAR «SAYI»

Transkript

1 TEMEL MATEMATİKSEL KAVRAMLAR «SAYI» Yrd. Doç. Dr. Müge YURTSEVER KILIÇGÜN Amerikan Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi (National Council of Teachers of Mathematics-NCTM) (2000)'ne göre, matematik programlarının köşetaşını sayılar oluşturmaktadır. Anaokulundan ortaöğretimin sonuna kadar önerilen matematik programları, daha çok sayılara odaklanmaktadır. Ayrıca çocuklar sayılara ve ona bağlı olarak işlemlere günlük yaşantılarında, oyun ve etkinliklerinde de sıklıkla gereksinim duymaktadırlar (Baroody, 2004). Nitekim okul öncesi eğitim kurumlarına çocuklar, bebeklikten itibaren edindikleri oldukça fazla matematiksel deneyim ve beceriyle gelmektedirler. Ancak çocukların, sayı sistemini daha derin anlamaları için zamana ve daha çok deneyime ihtiyaçları vardır (Curtis, Okamoto & VVeckbacher, 2009). Aslında küçük çocuklar günlük hayatlarında sayıları öğrenmeye yönelik birçok fırsat bulurlar. Oyunlarından, basamakları çıkarken ve inerken saymaya; ev telefonu numarasından, babaannesinin evinin ne kadar uzakta olduğuna; yaşından, saatin kaç olduğuna kadar günlük hayatta değişik biçimlerde sayılara ihtiyaç duyarlar. Benzer bir şekilde alışverişte, TV'de, caddede, otobüste, gazetede, kitapta, elbiselerinin üzerinde, asansöre bindiklerinde, araba plakalarında, cep ve ev telefonlarında rakamları görmektedirler. Dolayısıyla çocukların büyük bir kısmı çok erken yaşlarda sayı sözcükleri ve kavramları ile sık sık karşılaşmaktadırlar. 1

2 Emzirme döneminde annelerin bebekleriyle iletişimlerinden başlayarak 2-3 yaşlarında da ninni ve şarkılarda, hikayelerde ve oyunlarda (1, 2, 3! Başla!), günlük konuşmalarında ('İki kaşık, lütfen') sayı sözcüklerine aşinalıkları bulunmaktadır (Ben-gino & Ellis, 2004). Yine babalar çocuklarıyla özellikle yüksek sesle sayı saymakta, rakamların okunması ve yazılması ile yakından ilgilenmektedirler. Gözlemler, çoğu annebabanın çocuklarının anlamlı olmasa da sayıları öğrenmelerini önemsediklerini göstermektedir. Anne babaların bu çabalarını daha bilinçli hale dönüştürmede eğitimcilerin desteğine ihtiyaç vardır. Çocuğun yararını gözetecek şekilde anne babalara rehberlik etmede öğretmenin rolü ve sorumluluğu büyüktür. Bu işbirliği, matematik eğitiminde fırsatları kaçırmamak adına son derece önemlidir. Sayılarla ilgili çevreden gelen bu uyarıcılara çocukların da olumlu tepki verdikleri görülmektedir. Kendi kendilerine sayı saymakta; sayarken büyük keyif almaktadırlar. Ezbere sayma çocukların sayma becerilerinin ve sözcük dağarcıklarının gelişimi açısından önemlidir. Sayma çocuklar için yararlıdır, ancak anlamanın kanıtı değildir. (Baroody, 2004). Çocuk sayı saymayı bilse de sayıların taşıdığı anlamın farkında olmayabilir. Bununla birlikte sayma işlemi, çocukların matematiğe girişlerinin, sayı sistemini anlamalarının temel formları ve en erken kısmı olduğundan bu beceri desteklenmelidir (Polonsky, Freedman, Lesher & Morrison, 1995). 2

3 Bir Matematik Sembolünün İşlevi Matematiksel semboller nelerdir? Matematikte sembollerin işlevi nedir? Matematiksel sembollerle matematiksel fikirlere olan ilgimiz ve matematik yapma yaşantılarımız arasında nasıl bir ilişki vardır? Matematiksel semboller sadece kısaltmadan ibaret midir? Matematiksel sembollerin matematiksel fikirlerin ve kavramların kısaltması olduğu söylenebilir (Örneğin 4, 28, x, =). Ancak bunun matematikteki sembollerin, belirli bir kelime ya da ifadenin sadece kısaltma olduğu anlamına gelmediği dikkate alınmalıdır. Örneğin "Aralarında paylaşır" ifadesini bölme işleminin kısaltmasıymış gibi söylemek ve düşünmek cazip gelebilir. Çocuklar sıklıkla matematiksel sembolleri bu şekilde görürlermiş gibi görünür. Dokuz yaşındaki bir çocuk hesap makinesinde 28:4 işlemini yapıyorken, "yirmi sekiz dört ile arasında..." şeklinde kendi kendine konuşabilir. Tam bu noktada öğretmenine şu soruyu sorduğunda "Hesap makinesindeki hangi tuş paylaşırsa ifadesidir?" sanki her kelimenin onu ifade edecek bir tuşu ya da sembolü varmış gibi düşünür. 3

4 Matematiksel semboller kısaltma değildir. Çocuklar bir sembolü; somut yaşantılar, resimler ve dille ilişkilendirmeyi öğrenmek zorundadırlar. Bir sembol bağlantıların oluşturduğu bir ağı temsil eder. Matematiksel semboller kullanıldığı duruma bağlı olarak farklı anlamlara sahip olabilirler. Matematikteki bir sembolü bir kavramı ifade etme yolu olarak kullanmayı ve bu kavramın da bağlantıların oluşturduğu bir ağı ifade ettiğini düşündüğümüzde; sembol çeşitli kurallara göre onu manipüle etmemizi sağlayan bir araç halini alır. Semboller olmadan görsel olarak kavramı manipüle etmemiz imkânsızdır. Matematiğin sembolleri çeşitli kavramlar arasındaki ilişkileri keşfetmemizi ve onları ifade etmemizi mümkün kılar. Örneğin ne zaman 4+2=6 ifadesini sembollerle yazdığımızda, aslında dört, iki, altı, toplama, eşitlik kavramları arasındaki ilişkiyi ifade ediyoruzdur. Her bir kavram, belirli bir sembolle ifade ettiğimiz karmaşık bağlantılar ağını oluşturmaktadır. 4

5 Matematiksel semboller kullanıldığı duruma bağlı olarak farklı anlamlara sahip olabilirler. Bir sembol birçok bağlantıdan oluşan komplike (karmaşık) bir ağı temsil edebilir ve aynı zamanda çok çeşitli dil kullanımıyla ilişkilendirilebilir. Örneğin bu semboller çok farklı yaşantılarla bağlanabilir, bir zarla 4 atmak ve diğer zarla 2 atarak 6 elde etmek, bir oyunda 4 kareye sahipken 2 kare daha alarak 6 kareye ulaşmak, 4 TL'ye satılan bir ürünün 2 TL zamlanmasıyla ürünün 6 TL olması gibi. Sayılar için kullanılan semboller, toplama için kullanılan sembol ve eşittir sembolü kullanıldıkları durum ve şekle bağlı olarak farklı anlamlara sahiptir. Bu farklı bağlamlara uygun olması için de birçok ve geniş dil desteğine gereksinim vardır, eder, toplama, sayma, ekleme vb. tüm bunları bir araya getirirsek, çok basit görünen 4+2=6 ifadesi şaşırtıcı bir şekilde bağlantıların karmaşık ağlarını temsil etmektedir. Aynı zamanda bu matematiğin çok güçlü olma ve anlaması zor alanlardan olma nedenidir. 5

6 Sıfır sembolü Sıfır kavramını anlamayı örnek olarak düşünün. Biçimsel olarak matematik dilinde kelime olarak "sıfır" ve sembol olarak "0" ifadeleri vardır. Bazen 0 sembolünü "hiçbir şey" ya da "yokluk" ifade etmek için de kullanırız. Bir çocuk oyun oynarken 6 taş kazanmış, 6 taş kaybetmişse geriye hiçbir taş kalmaz: 0 taş kalır, hiç taş kalmaz. Sınıftaki çocuklar yaşlarına göre sınıflandırılırken, o sınıfta 7 yaşında bir çocuk yoksa, 7 yaşındaki çocuklar kümesi "boş kümeyi" ifade eder. içinde hiçbir şey yoktur. Kümenin eleman sayısı sıfırdır. 206 sayısındaki sıfır burada hiç onluk olmadığını göstermektedir. Zaten biz sayıyı iki yüz altı olarak okurken de sıfırdan bahsetmeyiz bile! Sayı doğrusundaki 0, yoklukla ilişkilendirilemez, sıfır noktası doğru üzerindeki en önemli noktadır. Termometredeki 0 da, sıcaklığın "olmadığı" anlamına gelmez. 6

7 Örneklerde de görüldüğü üzere sıfır kavramını anlama matematiği yeni öğrenen çocuklar için önemli bir zorluk oluşturur. Bu kavram resimlerin, dilin, gerçek hayatla ilgili durumların karmaşık ve çeşitli ağıyla sembolün ilişkilendirilmesi ve birbirleriyle bağlantı içinde olmasını içermektedir ve 0 sembolü bağlantıların ağını bize ifade eder. O (Sıfır) ve 10 (On) Sayıları Çocukların anlamakta güçlük yaşamamaları için 1-9 arası sayılar öğretildikten sonra "0" ve "10" sayıları öğretilmelidir. Çocuk 10 sayısı ile ilk kez karşılaştığında basamak fikri ile de tanışmış olur. 10 sayısının öğretimi 1 den 9'a kadar olan sayıların öğretimine benzer olarak öğretilebilir (Aktaş-Arnas, 2004). 7

8 Tolchinsky'e göre (2003), 4 yaşındaki çocuklar, 0'ın dolaylı anlamının 'hiçbir şey' olduğunu bilirler. Ancak yokluğu ve hiçbir şey olmadığını ifade etmek için sıfır rakamını kullanmaya ve yazmaya isteksiz davranırlar. Daha sonra boşluğu temsil etmesi için "0" rakamını kullanmayı öğrenirler. Çocukların 'hiçbir şeyin olmamasını açıklamak için sıfırı bir araç olarak açıklamaya ihtiyaçları vardır. Bunun için örneğin, 10 dan başlayıp teker teker azaltarak en sonunda kümede hiçbir şeyin kalmaması olarak çocukların görmesi sağlanabilir (Mcdonald, 2007). Bu türden etkinliklerin sık tekrarlanması çocukların öğrenmelerini kolaylaştırır. Ayrıca 0 sayısını öğrenmesi için çocuğa "Kaç tane?" sorusu sorulmalı ve kümede hiçbir nesne bulunmadığında çocuk 0 demesi için cesaretlendirilmelidir (Aktaş- Arnas, 2004). 0 (sıfır) bir sayma sayısı değildir ve saymaya onunla başlanmaz. Eğer onunla başlanırsa, en azından günlük işlerde, sürekli yanlış miktar elde edilir. Bu kuralın çocuk tarafından bilinmesi gereklidir. 1 den başlayarak sayması için çocuğa rehberlik edilmelidir. Sıfırı anlamak Yapılan araştırmalarda sıfırın bir sayı olarak görülmediği belirlenmiştir. Örneğin bir grup çocuğun doğum günlerinin sayısının aylara göre dağılımı gösteren bir tablo verildiğinde ve hangi ayda en az doğum günü bulunduğu sorulduğunda; bazı kişilerin hiçbir doğum günü içermeyen bir ayda en az doğum günü bulunduğunu kabul etmekte zorlandıkları görülmüştür. Sıfırla ilgili bu problemin nedenlerinden birisi sembolü için 'hiç' kelimesinin kullanımının yaygın oluşudur. Sıfırın bir hiç olduğuna dair düşüncenin bu şekilde düzeltilmesi, sayıların sayma özelliğinin gereğinden fazla vurgulanmasının doğal sonuçlarından biridir. 8

9 Eğer elinizde sıfır sayıda elemanı olan bir küme varsa, elbette ki elinizde hiçbir şey olmayacaktır. Ancak sıfır hiçten öte hiçbir şey değil midir? Sıralama özelliğini göz önünde bulundurduğumuzda, sıfır (sayı doğrusu üzerindeki bir noktanın etiketi gibi) en az diğer sayılar derecesinde bir statüye sahiptir. Aslında bu durumda sıfır, anlamlı ve önemli bir sayıya dönüşmektedir. Sayı doğrusunda 1'den önceki noktayı temsil etmekte ve bazen başlangıç noktası olabilmekte; sayı doğrusunda pozitif ile negatif sayıları ayıran noktayı temsil etmekte; bir alışveriş merkezindeki giriş katı göstermekte; dijital saatlerde gece yansını ifade etmekte; termometredeki donma noktasını göstermektedir. Örneğin bir sınıftaki elbise askıları bir sayı doğrusu gibi etiketlendi; her bir askıda bir çanta asılı olup, birinci askıdaki çantada bir blok, ikincisinde iki blok şeklinde devam ederek hazırlandı. Fotoğraftaki askı 0 ile etiketlenen askıyı göstermekte olduğundan çanta boş olarak asılmıştır. Bu çanta sıfır blok içeren çantadır. Burada sıfırın iki durumunun bir araya geldiğini görmekteyiz; konumu belirten sıfır (sıralama sayısı olan sıfır) ve beraberinde hiçbir şey içermeyen bir çanta (sayma sayısı olan sıfır). Buradan da anlaşılacağı üzere sembol ile dili bağlamayı içeren sıfır kavramı; yalnızca bir 'hiç', bir şeyin yokluğu veya boş kümeyi değil, aynı zamanda sayıların sıralandığı durumları da içermektedir. 9

10 Bir sayı gerçekten nedir? Örneğin üç nedir? Gözlerimizi kapatalım ve üç sayısına ilişkin bir resim düşünelim. Bir üçgenin içinde düzenli üç nokta görüyorum. Üç meyveden oluşan bir küme görüyorum: Bir elma, bir portakal ve bir muz. Bir doğru üzerinde üç nokta. Bir üçgen, üç kenarı olan bir şekil. 3 sembolünü. Parmaklarıyla üçü gösteren birini. Bu resimler ya üç elemanlı bir küme olarak (noktalar, üçgenin kenarları, parmaklar, şekerler vb.); ya da, daha az ihtimalle, sadece 3 sembolü olarak ifade edilmektedir. Sayılar, sayı sembolleri ve rakamlar Üç sayısı için kullandığımız sembol (3) üç sayısı değildir. Bu sembol bizim 'üç' kavramını simgelememizi, manipüle etmemizi ve diğer sayılarla bağlantısını kurmamızı sağlar. Farklı dillerdeki alfabelerde ve el yazmalarında farklı semboller ve farklı kelimeler kullanılmakta, fakat üç kavramını oluşturan bağlantıların ağı aynı kalmaktadır. 10

11 Örneğin, Roma rakamında III, 3 sayı sembolüyle temsil edilen aynı sayıyı göstermektedir. Eğer bir sayı ile onu temsil eden sembolü ayırt etmek istiyorsak, 3 sayı sembolüne başvurabiliriz. Sayı sembolleri, kâğıt üzerine çizilen ve sayıları göstermeye ve manipüle etmeye yarayan işaretlerdir. Sayının temsil edilesini sağlar. Örneğin 3, 26, 819 gibi. Burada bahsedilebilecek bir diğer önemli kavram ise rakamdır. Bizim sayı sistemimizde sadece on rakam vardır: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Rakam kelimesini, örneğin, 819 sayı sembolünde 8'e, 1'e ve 9'a atıf yapmak için kullanırız. 11

12 Üçlü Nesnelerin Kümesi ve Birebir Eşleme Üç kavramı söz konusu olduğunda birçok yetişkinin zihninde çoğunlukla üç elemanlı bir küme imajı oluştuğu açıktır. Bir öğretmen öğrencilere 3 sayısını içeren bir problemi açıklamaya çalıştığında muhtemel kullanacağı yöntem, üç nesnenin yan yana gelerek oluşturduğu birlikten (üç tane sayma pulu, üç tane oyuncak veya üç tane parmak gibi) bahsetmektir. Doğal olarak, çocukların kendi oluşturdukları problemlerde de sayılar bu şekilde -üç çocuk, üç oyuncak, üç şeker, üç ayı gibi üçlü nesnelerin kümesi şeklinde- yorumlanmaktadır. Bu noktada şu önerilebilir: 'üç', bütün bu üç nesneye sahip kümelerin ortak özelliğidir. Bu sayede üç, üç nesneli kümelerin örneklerinden soyutlanan bir kavram olarak görülür. Üç nesneli bir kümenin her bir elemanı ile başka nesnelerle oluşturulmuş üç nesneli bir kümenin her bir elemanını bire bir eşleme ile ifade edilmesi, bu soyutlama sürecine önemli bir katkı sağlayacaktır. Bu yöntem, ister görsel ister uygulama anlamında ele alınsın, öğrencilerin iki küme arasındaki üç kavramının ortak bir özellik olduğuna dikkat çekmek için tasarlanmıştır. 12

13 Bire bir eşleme kavramının, denklik ve dönüşüm kavramları ile iç içe olduğu açıktır. Örneğin, bir çocuk 3 kupa bardaktan oluşan bir kümeyi bardak altlığı ile bire bir olacak şekilde, eşlediğinde, eşleme işlemi çocuğunun odağının bardaklar ile bardak altlıkları arasındaki farklılık yerine ortak özelliğine, yani üç tane olmasına yönlendirilmesini sağlar. Sıfat mı, isim mi? Aşağıdaki diyalogta öğretmenler sayı kavramını anlamanın bir diğer önemli kısmına işaret etmektedir: Öğretmen: Üç bir sıfat mıdır yoksa isim mi? Öğrenci A: Bir sıfat olmalı, çünkü üç şeyden bahsedilmektedir. Üç elma, üç muz gibi. Üç ifadesi kümeyi tarif etmektedir. Öğrenci B: Bence her ikisi de olabiliyor. Üç bir sayıdır. Üç beşten azdır. Üç on ikinin çarpanıdır. Üç bir asal sayıdır. Üç ile başlayan bir cümle kurduğumuzda üç isim olabiliyor. Üç, bu şekilde sıfat durumundan isim duruma geçince, artık üç şeye sahip küme kavramından bağımsız hale gelir; artık kendine has bir duruma sahip olur. Biz artık üç kavramının varlığından, muhtemel ilişkilendirilecek küme kavramından bağımsız olarak bahsedebilir duruma geliriz. Sayı kavramının öğrenilmesi sürecinde sıfat olan sayı kavramından isim olan sayı kavramına geçiş önemli bir basamaktır. 13

14 Nominal, sayma ve sıralama Aslında buraya kadar sunulan bakış açısına göre, sayı kavramı gelişimi daha çok basit bir süreç olarak algılanmakta ve üç kavramını oluşturan somut yaşantılar, dil, resimler ve sembolü arasındaki bağlantı ağının karmaşık yapısının farkında olunmadığı görülmektedir. Şu ana kadar 3 sembolünü, üç şeye sahip kümelerin somut örnekleri ile ilişkilendirilmesinden bahsettik. Bu, sayıların sadece sayma yönüne işaret etmektedir. Örneğin üç ayıdan, üç parmaktan, üç çocuktan ve üç nesneye sahip herhangi bir kümeden bahsederken, sayıların sayma yönünü kullanmaktayız. Ancak üç şeye sahip kümelerin dışında, 3 sembolünü başka nelerle ilişkilendirebiliriz? 3 numaralı otobüsün üzerinde yer alan 3 bir etikettir. Sayıların bu şekilde kullanılabilmesi onların nominal yönlerinin bulunmasından ötürüdür. Bu şekilde kullanılan sayılar farklı türdeki nesnelerin etiketlenebilmesi için ve diğer nesneler arasında ayırt edilebilmesi için kullanılır. 3 numaralı otobüsü üstündeki 3 sembolü, binmek istediğimiz otobüsü bilmemizi sağlarken, farklı sayılara sahip otobüslerin arasından ayırt edebilmemize olanak sağlar. Sayı sembolleri nesnelerin etiketleri olarak kullanıldığında işleme tabi tutulması çok zor olan sayılar halini alırlar. Şöyle ki; otobüsün üstündeki 3, kesinlikle üç tane otobüsün varlığından bahsetmemektedir (üç tane otobüs aynı zamanda durağa gelmiş olsa bile!). Buna ek olarak, 3 numaralı otobüsün geldiğini gördüğümüzde, bundan önceki otobüsün 2 numaralı olmasını veya sonrakinin 4 numaralı olmasını bekleyemeyiz. 14

15 Sayının nominal yönünün kullanıldığı başka durumlara örnek olarak telefon numaraları ve televizyon kanallarını verebiliriz. Temel olarak, sayılar, bütün çevremizde etiketleme aracı olarak kullanılmaktadır. Örneğin saatlerdeki 3 herhangi üç nesneden oluşmuş bir küme değil midir? Kapısında 3 yazan evde oturmaktayım, ancak 3 tane evden oluşmuş bir kümede değil. Gazetenin 3 numaralı sayfası üç elemanlı bir küme belirtir mi? Bu durumlar 3 numaralı otobüs durumu ile aynıdır. Otobüsün üstünde yer alan sembol, bu otobüsü diğer otobüslerden ayırt edebilmemizi sağlar. Ancak yukarıdaki öğretmenlerin verdikleri yanıtların ötesinde 3 sayısının bir başka çok önemli özelliği daha bulunmaktadır. Bu özellik sayının sıralama yönüyle ilişkilidir. Sayılar yalnızca nesneleri etiketlemek için değil, onları aynı zamanda sıraya kaymak için de kullanılır. 3 numaralı oda, 3 numaralı kat, saatteki 3 sayısı, kitabın 3 numaralı sayfası gibi kullanım alanlarında 3 bir sıralama aracı olarak kullanılır, çünkü burada bir sıraya koyma durumu söz konusudur: Bu numaralı nesneler 2 ile 4 numaralı nesneler arasında yer almaktadır. 3 numaralı sayfadan önceki sayfa değişmez olarak 2 numaralı sayfadır ve sonraki sayfa da 4 numaralı sayfadır. Bu türden sayılar sıralama sayılandır, çünkü sayfalara bir sıra verir ve diğer sayfalar birlikteliğinde belirtilen sayfanın nerede karşımıza çıkacağını bize söyler. 15

16 3 sayısının sıralama özelliği ile kullanılması esnasında, sayma sayısı bakış açısıyla bir 'üç kavramı' bulunmadığı gözden kaçmamalıdır. 3 numaralı sayfa üç sayfadan oluşan bir küme belirtmez, aslında tek bir sayfadan oluştuğunu ifade eder. Bu sayfanın üç kişinin, üç nesnenin yer aldığı bir fotoğrafı veya üç kelimeyi, üç cümleyi içermesi gerekmez. Öyleyse bu sayfa neden 3 ile etiketlenmiştir? Bunun nedeni gayet basittir, çünkü 2 ile 4 numaralı sayfalar arasında yer almaktadır. Sayıların sıralama özelliğini, örneğin bir kitaptaki bir sayfayı bulmada, bilmediğimiz bir binadaki bir odanın yerini tespit etmede, takvimdeki bir tarihi belirlemede, (kriket oyununda) düşecek olan bir sonraki kale için sıranın bizde olduğuna karar vermemizi sağlamada kullanırız. Sayıların sıralama özelliğini matematiksel anlamda en çok somutlaştıran kavram sayı doğrusudur. 16

17 Özetle 'Sayı nedir?' sorusunun yanıtı; sayıların, nesnelerin birbirinden ayırt edilebilmesi için etkilenmelerinde (nominal yönünü), nesnelerin sıralanabilmesi için onlara birer sıra verilmesinde (sıralama yönü) ve nesneler ile oluşturulan kümelerde kaç tane nesne olduğunun ifade edilmesinde (sayma yönü) kullanıldıklarının bilinmesidir. Sembolleri Sayı Doğrusu ile İlişkilendirmek Sayıların sıralama özelliğinin önemli olmasının anlamı, sayıların anlaşılmasında sayılar için kullanılan semboller (sayı sembolleri) ile sayı doğrusu veya sayı şeridi üzerinde yer alan sayıların ilişkisinin anlaşılmasının çok önemli bir role sahip olmasındandır. Sayı şeridinde, tahtada veya yerde oynanan oyunlarda (sek sek oyunu gibi) olduğu gibi, kareler veya boşluklar sayı sembolleri ile etiketlenir. Daha karmaşık olan sayı doğrusunda ise boşluklar yerine noktalar sayı sembolleri ile etiketlenir. 17

18 Sayı kavramının öğrenilmesinde daha etkili olabilecek yöntem ise sayı doğrusunun dikey olarak kullanılması olabilir. Bu sayede yukarı gidildikçe sayılar büyür, aşağı inildikçe sayılar küçülür. Bu sayı doğrusunun her iki durumu da (yatay ve dikey) özellikle sayıların sıralama özelliğini vurgulayan bir sayı gösterim şeklidir. Üç sayısı sayı doğrusu üzerinde bir noktayı, sayı şeridindeki bir kareyi temsil ederken, üç nokta kümesini veya üç kareden oluşan bir kümeyi ifade etmemektedir. Buradaki asıl özelliği iki ile dört arasında yer almasıdır. İlişkiler Ağı 'Üç nedir?' sorunun yanıtının apaçık ve basit olmaktan çok uzak olduğu görülmektedir. Üç gibi bir sayının; 3 sembolü, 'üç' kelimesi, nesnelerin oluşturduğu kümeler gibi sayıların sayma özelliği kullanılarak oluşturulan somut durumlar ve sayıların sıralama özelliği kullanılarak oluşturulan sayı doğrusu veya sayı şeridi gibi sayı gösterim şekilleri arasındaki bağlantıların bir ağını içermektedir. Böylece çocuklar çok küçük yaşta çok büyük bir zorlukla karşılaşmaktadırlar. Öyle ki; matematiğin içeriğinde yer alan her konuda devam eden, bir sembolün çok geniş bir alanda farklı durumları temsil etmesi bu zorluğun temel sebebidir. Bu farklılık üç şekerden oluşan bir küme ile üç tabaktan oluşan bir kümenin arasındaki gibi değil, şu sorular arasındaki farklılıklar gibidir: «Bugün kaç sayfa kitap okudun?» ile «Hangi sayfada kaldın?» her iki soruda da «üç» yanıtı verilebilir ancak verilen bu yanıtların tamamen farklı anlamda olduğu göz önünde bulundurulmalıdır. Birisinde sayma sayı (sayfa sayısı), diğerinde ise sıralama sayısı (sayfanın üzerindeki sayı) kullanılmaktadır. 18

19 Elbette ki bir kelimenin iki farklı anlamı olduğundaki durumuna benzer bir şekilde ('yaz'; mevsim olarak ve 'yaz'; yazma eylemi olarak), bir sembolün farklı anlamları birbirinden tamamen ilintisiz veya gelişigüzel değildir. Bir sayının sayma ve sıralama özellikleri sayma kavramında bir araya gelmektedir. Ancak bu bağlantılar basit algı seviyesinde olanlar için anlamsız gelebilir. Bu sebeple öğretmenin çocuğun bu bağlantılan kurmasında ve tutarlı bir işlem ağı inşa etmesinde çok önemli görevleri bulunmaktadır. Ancak bütün mesele sayıların sayma ve sıralama özelliğinden ibaret değildir. Bir öğretmenin, öğrencileriyle konuşurken kulak misafiri olarak duyulan, şu cümlesindeki sayı kullanımlarını göz önünde bulunduralım: 'Dördüncü sınıfta okuyan dokuz yaşında olan üç öğrenci vardır.' Bu cümle, küçük yaştaki çocuklardan bile sayı sembolleri ve kelimeler ile farklı durumlar arasında ne şekilde bağlantı kurmalarını beklediğimizi göstermektedir. Sekiz kelimeden oluşan basit bir cümlede öğretmen, sayılan üç farklı şekilde kullanmıştır. 'Üç çocuk' 3 sayma sayısına, 'dördüncü sınıf 4 sıralama sayısını işaret etmektedir. Dokuz', ölçme bağlamında kullanıma bir örnektir. 19

20 Sayılar hakkındaki daha sonraki deneyimler için temel oluşturma Sayılar hakkındaki daha sonraki deneyimlerin inşa edilebilmesi adına küçük yaştaki çocukların öğretmenlerinin bu deneyimlerin temellerini oluşturmaları ve bağlantıların ağını geliştirmeleri önemli görülmektedir. Bu yönden bakıldığında, sayıların yalnızca sayma özelliği ile ilişkilendirilmesi, sayılara yönelik son derece kısıdı bir bakış açısını içermektedir. Örneğin, öğrenciler daha sonraki öğrenim yaşantılarında birçok öğrenci için büyük bir gizem kaynağı olan negatif sayılarla karşılaşacaklardır. Ancak, sayıların sıralama özelliği ve bu özellikle bağlantılı sayı doğrusu resmi sayı kavramı öğretiminde en güçlü yöntem olarak kullanılmışsa, sayı kavramına ilişkin bakış açısı negatif sayılarla bağlantı kurulacak şekilde genişletilebilir. Bundan sonra yapılacak şey ise sayı doğrusunu sıfırın diğer tarafına doğru uzanıp, oluşan yeni noktalar için uygun etiketler kullanmaktır. Bir mağazanın asansöründeki düğmeler 3, 2, 1, 0 olarak sırasıyla 3'üncü, 2i'nci, 1 'inci ve zemin katı ifade etmektedir. Zemin kat için sayısını kullanmak matematiksel anlamda ne kadar uygundur! Bu sıralama sayılarının gerçek yaşam bağlamında kullanımına ilişkin apaçık bir örnektir. Aslında sayıların sıralama özelliği sıfırın altında olacak şekilde genişletildiğinde, 5 yaşındaki çocukların bile uygun bağlamlar dahilinde (sayı doğrusu, sıcaklıklar, bir kitabın sayfa numaraları, bir asansörde aşağı yukarı hareketler gibi) negatif sayıları ifade edebildikleri gözlenebilmektedir. Bir öğretmen 5 yaşındaki bir öğrencisiyle sayı doğrusu kullanırken yaşadığı deneyimi şu şekilde ifade etmiştir: Duvara sıfırdan başlayarak yukarı doğru 10'a kadar artan dikey bir sayı doğrusu koydum. İleri ve geri doğru bazı hesaplamalar yaptık. 3'te duruyoruz ileriye doğru iki say; Nereye gelirsin? gibi. Sıfırın altında olacak şekilde bazı noktalar koydum ancak bunları etiketlemedim. Daha sonra, "1'de duruyoruz geriye doğru üç sayalım," diye sordum. Öğrencilerim bunun büyük zevkle yaptılar, fakat bir kız öğrencim beni çok şaşırttı: Ulaştığımız nokta eksi ikidir! Bunu nereden öğrendiğini bilmiyorum. Ancak diğerleri de bu yöntemi sorunsuzca uygulamaya başladılar. Hatta bir öğrencim sıfırın üzerindeki sayılar için geçerli olan örüntünün sıfırın altındaki sayılar için de geçerli olduğunu ifade etti. 20

21 Sayma özelliğinin fazla vurgulanması Küçük yaştaki çocuklar sayılarla çalışırken, sayma pulları ve blokları ile işlem yaparken veya kümelerdeki nesneleri sayarken, sıralama özelliğinin söz konusu olduğu durumlarda, yapabildikleri kadar sayı doğrusu üzerinde ileri-geri hareketler yapmaları için fırsatlar sunulmalıdır. Bu sayede öğrenciler sembolü ile 'üç' kelimesini ilişkilendirmeyi de, bir noktaya verilen etiket veya nesnelerle oluşturulmuş kümelerin yerini belirleyebilme kadar öğrenebilirler. Sayıların sadece nesnelerin oluşturduğu kümeleri ifade etmediği gerçeğini mutlaka vurgulanmalıdır. Matematiksel kavramları; somut durumlar, semboller, dil ve resimler arasında örülü bağlantıların bir ağı olarak ifade etmiştik ve problem olan şeyin; bir kavramı anlamanın birçok farklı durumla bağlantılı bir sembolü içermesi olduğunu vurgulamıştık. En basit ve en temel düzeyde görünen sayı kavramlarının bile bu duruma dayanan, aynı sayı sembolünün farklı birçok durumda kullanılmasının, problemli bir yanı vardır. Sayma özelliğinin sıralama özelliğinin göz ardı edilmesine yol açacak kadar aşırı vurgulanması ve öne çıkması tartışması, genel uygulanabilirlik ve okul öncesi öğretmenlerinin yükledikleri önem noktalarında sorunlara yol açabilmektedir. Bu durumda içerisinde bağlantıyı barındıran matematik kavramlarında, bu bağlantılara eşit derecede önem vermemiz gerekirken, yalnızca bir bağlantıya ağırlık vermek tehlike yaratır. Eğer bir kavram hakkındaki çocuğun zihninde sadece bir bağlantı baskın ise, daha sonra zihnindeki var olan ağ ile bağlantılı olmayan yeni deneyimlerin inşa edilmesi zor olabilir. Örneğin, eğer sayıların nesnelerden oluşan kümeleri ifade eder düşüncesi ilk yıllarda sürekli olarak desteklenmiş ve baskın olan bağlantı halini almışsa, daha sonra karşılaşılan negatif sayıların gizemli ve anlaşılmaz gelmesi şaşırtıcı olmamalıdır. Çünkü -3'ü nesnelerin bir kümesi olarak düşünemeyiz! Eğer daha önceki öğrenilenlerle yeni öğrenilenler ilişkilendirilemiyorsa, gerçekten anlama değil ezbere dayalı bir öğrenme gerçekleşmiştir. 21

22 Özümseme, yeniden yapılandırma ve uyma Piaget ve çalışma arkadaşlarının tarafından ortaya konulan anlayarak öğrenme; (i) yeni bilgilerin var olan bağlantıların ağına özümseme süreci; (ii) yeni bilginin var olan bağlantıların ağına bağlanmaya hazır olmadığında, bu bilginin ağa uyma süreci ve (iii) bu yeni bilginin yeniden yapılandırılma süreci dahilinde işler (Inhelder ve Piaget, 1958). Skemp (19713) Piaget'nin fikirlerinin özellikle matematik konuları ve şemaları için -biz buna 'bağlantıların ağı' diyoruz- ne derece önemli olduğunu göstermiştir. Çocukların birçoğu, özellikle matematik alanında, yeniden yapılandırmayı anlamlı bir şekilde başarmada sorun yaşamakta ve kendileri için çok az anlamlı olan kuralların ve işlemlerin ezberlenmesine dayalı son derece kısıtlı ve yetersiz bağlantı ağı ile öğrenimlerine devam etmektedir. İlk yıllardaki sayılarla ilgili deneyimlerin sayı doğrusu kullanılarak yapılan etkinliklerle sağlanmasının önemini vurgulamamızın nedeni, sayıların sadece sayma amacıyla kullanılmadığı daha ileri seviyelerde anlayarak öğrenmelerine temel oluşturabilmesindendir. Öğretmenler yeni matematiksel deneyimler edindiğinde gerekli olan yeniden yapılandırma sürecinin farkında olmalarının oldukça önemli olmasının yanı sıra ustaca yönelttikleri sorularla öğrencilerin var olan bağlantılar ağını yeniden düzenlemeye yardıma olabilirler. Bu sayede çocuklar ezbere dayalı öğrenmek yerine anlayarak öğrenirler. 22

23 Saymayı anlama Küçük yaştaki çocukların sayı kavramına ilişkin kavrayışları, sayma deneyimleri ile yakından ilişkilidir. Çocukların sayma üzerine hem evdeki hem de kreşteki ilk deneyimleri; hazırlama, eşleştirme ve karşılaştırma içeriklerine sahiptir. Okulun ilk yıllarındaki birçok etkinlik çocukların materyallerin hazırlanmasına katılabilmelerine olanak sağlar ki; bu durum çoğunlukla saymayı içerir. Örneğin, alışveriş oyunlarına hazırlık amacıyla, çocuklar oyundaki hayalı dükkândan bir şeyler alabilmeleri için beş lirayı veya beş pul gibi nesneler üzerinden beşe kadar sayabilmeli. Benzer şekilde, çocukların sayıları eşleştirmeyi yapabilmeleri için birçok fırsat bulunmaktadır. Örneğin beslenme saatinde olan on tane çocuk ve on tane muzu saydıktan sonra, her bir muzu bir çocukla eşleştirebilirler. Bunun gibi, çocuklar kendilerinin sahip olduklarıyla diğer çocukların sahip olduklarının eşit olup olmadığına bakmak için çoğu kez sayma eylemine başvururlar. Örneğin, her bir grupta üç öğrenci olduğunu kontrol etmek için, ya da her bir çocuğun üç tane veya üçten daha az meyvesi olup olmadığını kontrol etmek için sayarlar. 3 ve 4 yaşındaki çocukların, oyun alanındaki kaydırakta aynı anda sadece üç kişinin oynayabileceğini biliyorlar. Diğerlerinin bu esnada kaydırağı sürekli kontrol ettiklerini ve sayı ikiye düşer düşmez kaydırakta oynayabilmek için olabildiğince hızlı bir şekilde harekete geçtiklerini gözlemleyebiliriz. Eğer iki kişi aynı anda ulaşırsa kendi aralarında bir sıralama yaparlar, çünkü bu durumda kaydırakta dört kişi olduğunu ve buna müsaade edilmediğini bilirler! Matematiksel bir perspektiften baktığımızda, sayıları kümelerin tanımlama aracı veya noktalar için birer etiket olarak görebiliriz; ancak daha somut olarak küçük yaştaki çocuklar için sayılar, sayarken kullanılan kelimelerdir. 23

24 Sayma nedir? Öğrenenin anlamlı bir şekilde sayabilmesi için ne tür bağlantılar kurulmalıdır? Sayma öncesi deneyimler Saymayı öğrenme, ilk olarak çocukların evde edindikleri deneyimlere dayanmaktadır. Burada sayma için üç çeşit ön koşul deneyim önemlidir. Listenin en başında, nesneleri kümelere sınıflamaya ve kategoriye ayırmaya dayanan düşünce bulunmaktadır. Belli bir ortak özelliğe sahip nesneleri sayma, bu özelliğe sahip olmayan nesneleri ayırt edebilme becerisini gerektirir. Bu, eşitlikler oluşturulması hususunda ilk deneyimlerden biridir: bir anlamda aynılık kavramı (aynı renk, aynı boy, aynı aile gibi) üzerine oluşturulmuş nesnelerden oluşan bir kümenin tanımlanması olarak düşünülebilir. Küçük çocukların oyunları, sınıflamaya ve kategorize etmeye dair birçok örnek durum içerir. Blokları, oyuncak hayvanları, model arabaları, bebekleri farklı kümelere ve kategorilere ayırırlar. Diğer yandan ailelerinde olan ile olmayanlar arasında, çocuklar ve yetişkinler arasında, kızlar ve erkekler arasında ayrım yaptıklarında ise kategorize etmektedirler. Aslında kategorize etme dil gelişiminin kalbinde yer alır ve deneyimlerimizi anlamlı hale getirmek adına yaptığımız çok temel bir eylemdir. Burada dikkat çekmek istediğimiz nokta, bu sürecin saymanın öğrenilmesinde ilk aşama olmasıdır. Bir kümedeki elemanları tanımlamak ve diğerlerinden ayırmak, sadece seçilen nesnelerin sayılabilmesi diğerlerinin göz ardı edilmesine olanak tanır. Bu, şuna benziyor: 'Bugün sınıfımızda kaç tane çocuk var?', denildiğinde çocuklar yetişkinlerin sayılmayacağını biliyorlar. Ya da kaç tane erkek çocuğun olduğu sorulduğunda, kızları saymıyorlar. Düşündüğünüzde, bu şekilde hareket etmenin öğrenilmesi küçük bir çocuk için oldukça karmaşık olmalıdır. Burada iki aşama var: Önce çocukları iki kategoriye ayırmalı, sonra saymalılar. 24