BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ

Transkript

1 BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Prof.Dr.Necdet BİLDİK CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ OCAK, 2012

2 BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ 1.1. BİLİM NEDİR? Genel geçerlik ve kesinlik nitelikleri gösteren yöntemli ve dizgisel bilgi. Belli bir konuyu bilme isteğinden yola çıkan, belli bir ereğe yönelen bir süreci Evrenin ya da olayların bir bölümünü konu olarak seçen, deneysel yöntemlere ve gerçekliğe dayanarak yasalar çıkarmaya çalışan düzenli bilgi. Türlü duygusal yaşantıların mantıkça bir örnek düşünce dizgesine uydurulması için gösterilen çabalara verilen ad. Neden, merak ve amaç besleyen bir olgu olarak günümüze kadar birçok alt dala bölünmüş, insanların daha iyi yaşam koşullarına kavuşmasına, var olmayan olguları bulmasına ve yeni şeyler öğrenmesine ön ayak olan genellemedir. Sanat tarafından temelleri atılmış olan ve her aşamada sanat ve yaratıcılıkla beslenerek insanların hayat koşullarını iyileştirmek için yapılan çalışmaların bütünüdür.

3 Temelde, deney ve gözleme dayalı bilgi bütünüdür. Araştırma bulgularına dayanarak, neden-sonuç niteliğinde ilişkiler bulmaya çalışan, olay ve olguları yöntemlere dayalı olarak çözümleyip genellemelere ulaşmaya çalışan sistematik bilgiler bütünüdür. Her türlü düzenden yoksun duyu verileri ile düzenli düşünceler arasında uygunluk sağlama çabasıdır. Gözlem ve gözleme dayalı akıl yürütme yoluyla dünyaya ilişkin olguları birbirine bağlayan yasaları bulma çabasıdır TEKNOLOJİ NEDİR? Teknoloji (Latince texere fiilinden türetilmiştir; örmek, oluşturmak (construct ) anlamına gelir ). İnsanın bilimi kullanarak doğaya üstünlük kurmak için tasarladığı rasyonel bir disiplindir (Simon, 1983, s.173 ).

4 Somut ve deneysel anlamda temel olarak teknik yönden yeterli küçük bir grubun örgütlü bir hiyerarşi yardımıyla bütünün geri kalanı (insanlar, olaylar, makineler vb. ) üzerinde denetimi sağlamasıdır (McDermott, 1981, s.142 ). Bilimin uygulamalı bir sanat dalı haline dönüşmesidir. Uygulamalı sanat terimi Fransız sosyolog Jackques Ellul tarafından kullanılmış ve kısaca technique olarak isimlendirilmiştir. O, teknolojiyi bir technique uyarınca yapılmış bir makine olarak görmüş ve bu technique nin ancak küçük bir bölümünün makine tarafından ifade edilebildiğinden bahsetmiştir. Belirli bir teknik sayesinde sadece makinenin değil, bu makineye ait öğretimsel uygulamalarında gerçekleştirilebileceğinden söz etmiştir. Sonuç olarak davranış bilimi ile öğretim teknolojileri arasındaki ilişki, doğal bilimlerle mühendislik teknolojisi arasındaki ya da biyoloji ile Sağlık teknolojisi arasındaki ilişkiyle benzer hatta aynıdır (Saettler, 1968, ss. 5-6 ). Sistemler, işlemler, yönetim ve kontrol mekanizmalarıyla hem insandan hem de eşyadan kaynaklanan sorunlara, bu sorunların zorluk derecesine, teknik çözüm olasılıklarına ve ekonomik değerlerine uygun çözüm üretebilmek için bir bakış açısıdır (Finn, 1960, s.10 ).

5 Bilim ve Teknolojinin farklılığını belirtmek için ilk nükleer denizaltıyı yapan ve serbest bir eğitim eleştirmeni olan Amiral Hyman Rickover şöyle söylüyor: Bilim ve Teknoloji birbirine karıştırılmamalıdır. Bilim doğadaki görüngülerin (fenomenlerin ) gözlenerek, zaten var olan doğru ve gerçeklerin ortaya çıkarılması ve bu gözlemler sonucunda elde edilen verilerin düzenlenerek gerçeklerin ve bunlar arasındaki ilişkilerin ortaya konulduğu teorilerin oluşturulmasıdır. Teknoloji asla bilim için bir otorite olamaz. Teknoloji insan aklını ve vücudunu güçlendirmek, üstün kılmak için geliştirilecek aletler, teknikler ve yöntemler üzerinde durur. Bilimsel yöntem insan faktörünün tamamen dışlanmasını gerektirir, şöyle ki; gerçeği arayan kimse, kendinin ya da diğer insanların hoşlanacağı veya sevmeyeceği şeylerle, popülist değerlerle ve herhangi bir çıkar uğruna çalışmaz. Diğer yandan teknoloji fikir (bilim) değil de hareket olduğundan, eğer insani değerler göz ardı edilirse tamamıyla tehlikeli bir sonuca da yol açabilir (Knezevich & Eye, 1970, s.17 ).

6 İnsanlık tarihi matematiğin tarihi ile birlikte başlamıştır. Eğer matematik tarihi içerisinde gelişmemiş olsa idi bu gün muhtemelen insanlık da yerinde sayıyor olacaktı. Matematik; aklın kullanımında önemli bir araç olup hem aklı disipline etmekte önemli bir oynar hem de bütün bilimlerin yol göstericisi rolündedir. Sonuçta matematiğin gelişmesi insan aklının gelişmesine neden olmaktadır. Günümüz ileri teknolojisine ancak matematik sayesinde ulaşılabilmektedir. Örneğin uzaya ve gezegenlere gidiş, uydular aracılığı ile dünyanın her tarafı ile ses ve görüntü bağlantısı, her türlü geometrik dizaynda planları çizilen evler, gökdelenler, vb. Ancak tüm teknolojik gelişmeler genelde matematiğin önemli bir dalı olan uygulamalı matematik sahasında sürdürülebildiği gibi fizik, kimya, biyoloji, ekonomi, sosyalbilimler, tıp(psikiyatri, kardiyoloji, mühendisliğinin çeşitli dallarında (fizik, kimya, jeoloji, jeofizik, harita, bilgisayar, elektik-elektronik, endüstri, çevre, vb.) alanların yanı sıra askeri alanlarda da yer almaktadır. Diğer yandan teorik ve soyut matematik sahasında yapılan bazı çalışmaların uygulama alanları bulunmaya çalışılmakta hatta beklenmedik bir anda uygulanabileceği ortaya çıktığında ise tartışılmaktadır. Bunlara yine somut bir örnek ise Topoloji sahasında son zamanlarda oldukça önem kazanmaya başlayan digital topolojinin ortaya çıkışıdır. Bunun yanında topolojide oldukça önemli olan sabit nokta teorisi ekonomi sahasında uygulama alanı bulmaktadır. Teorik olarak yapılan çoğu araştırmalar uygulama alanı bulunmayan veya olduğu düşünülmeyen çalışmalar olarak kalmaktadır. Hangi bilim dalında olursa olsun yapılması istenen çalışmalar önce kâğıt üzerinde düşünülmekte daha sonra uygulamada yerini almaktadır.

7 HİÇBİR ARAŞTIRMA, MATEMATİK İSPATTAN GEÇMEDİKTEN SONRA BİLİM ADINI ALMAYA LAYIK OLAMAZ. LEONARDO DA VINCI MATEMATİK NEDİR? Matematik Terimleri Sözlüğü'nde Matematik; "Biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini akıl bilim yoluyla inceleyen, sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim" olarak tanımlanmaktadır. Ancak Matematik nedir? sorusunu tek bir tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür. O halde evrensel bir dil olan Matematiği tanımını bir cümle ile ifade etmek o kadar da kolay olmasa gerek!

8 Bu düşünüş ile; Matematik bir disiplindir. Matematik bir bilgi alanıdır. Matematik, bir iletişim aracıdır. Her bir bilim dalının bir dili olduğu gibi matematiğinde kendine özgü bir dili vardır. Matematik, ardışık ve birebirine bağlı bir zincirdir. Dolayısı ile birbiri üzerine kurulur. Matematik, varlıkların kendileriyle değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenir. Matematik, birçok bilim dalının kullandığı bir araçtır. Matematik, insan yapısı ve insan beyninin yarattığı bir soyutlamadır. Matematik, bir düşünce biçimidir. Matematik, mantıksal bir sistemdir. Matematik, matematikçilerin oynadığı bir oyundur. Matematik, kapalı bir kutu olup, içine girilmeyi bekleyen bir hazinedir. Matematik, bir anahtardır. Matematik, bir değerdir. Matematik; dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklara zenginleşerek geçen sağlam, kullanışlı evrensel bir dildir. Birey için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez değerdedir. Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir sanattır. Matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır. Çağları aşarak, yeni kuşaklara da ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taptaze ve doğru kalacaktır.

9 Matematik, insanın düşünce sistemini düzenler. Matematik, insanın doğru düşünmesini, analiz ve sentez yapabilmesini sağlar. Matematik, doğruyu, gerçeği görmek, iyi düşünmek, sonuca giderek kazanmak, yani rahat bir hayat geçirmek demektir ve hayatımızda devamlı olarak mevcuttur. Kısaca Matematik bir yaşam biçimidir. MATEMATİK VE YAŞAM Öğrenciler genelde oldukça sıkıcı olduğu iddia edilen matematik hakkında "Hali hazırda öğretilen ya da öğretilmeye çalışılan bu soyut bilgiler ileride ne işime yarar? " diye düşünür. Hatta kimi zaman bazı soruları anlayarak çözme yerine, daha kolay nasıl sonuca ulaşılır tarzında pratik yollar aramaya çalışılır. Bazen problemin sonuçları arzu edildiği gibi çıkmadığında yani çözüme ulaşılamadığında ise öfkelenir, hatta sık olmasa da o problemi bir daha ele bile almayız. Ama gerçekte durum hiç de öyle olmamalıdır. Mantıksal bir zincir takip edilebilinirse problemin çözümü rahatlıkla yapılabilecektir. Buradan hareket ile matematik hayatın ta kendisidir diyebiliriz. İnsanoğlunun genlerinde, DNA ların dizilişinde bile matematiksel bir düzen vardır. Terzi elbiseyi diker iken bir model ortaya koymakta, fırıncı ekmeği yaparken tüm katkı malzemelerini belli bir ölçüde katmakta, ayakkabıcı kalıbı belli boyutta yapmakta, tornacı tüm hünerini göstererek ve geometri ve simetriyi kullanarak malzemelere şekil vererek üretmektedir. Adını sayamadığımız onlarca mesleklerin hepsinde matematik iyi bilinmek zorundadır. Tüm alışverişlerimizde ödenecek tutarlarda ve onların karşılaştırmalarında hep ölçülerle karşılaşırız. Zaman birimleri ise tamamen hayatımızın bir parçası durumuna gelmiştir. Hatta ordularımızın onluk düzeni bile başlı başına bir matematiktir.

10 Evlerimizin mimarisi, trafik akışı, köprü, kanalizasyon ve su şebekeleri, elektrik-su tesisatı bile matematiğe bağlıdır. Tıpta Sinirbilim alanında üç boyutlu uzayda fonksiyonel beyin görüntülemesi yine matematik ile gerçekleştirilmektedir. Yani matematiğin felsefesi hayatın ta kendisidir. Sonuçta matematik böyle bir bakış açısından değerlendirilerek ortaya konulmalı ve tüm öğrenicilere bu tarzda aktarılmalıdır. Bu yönde bir uygulama gerçekleştirildiği takdirde bir pek çok yanlış da kendiliğinden ortadan kalkacaktır. Bilindiği üzere uygulamalı bilim dallarının pek çoğunda, örneğin, mühendislik, fizik v.b. pek çok dalda ele alınan problemlerin matematiksel modellenmesine bir diferansiyel denklem karşılık gelir. Ayrıca, pek çok fiziksel olayda bir sistemin mevcut andaki durumu geçmiş durumuna bağlı kalınarak da ifade edilebilir. Söz konusu sistemin hareketi hakkında yorum yapabilmek için onu temsil eden diferansiyel denklem ve denklemin çözümleri hakkında bilgi sahibi olmak gerekir. Aşağıdaki denklemler gecikmeli diferansiyel denklemler için birer örnektir:

11 GENEL ÖRNEKLER x ( t) f ( t, x( t), x( t ( t)) ; ( t) 0 x ( t) f ( t, x( t ), x( t )) 1 2 ; 1, 2 0 x ( t) f ( t, x( t), x ( t), x( t ( t), x ( t ( t)) ÖRNEKLER 3 x '( t) 2 x( t ) x( t 1) 2 2 x '( t) x( t cos t) 1 t x '( t) 5 x( t) 2 x( ) 2 x ''( t) 3 x '( t 2) 7 x( t 3) 2t 5 Yukarıdaki örneklere bakıldığında gecikmeli diferansiyel denklemler, bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri (en yüksek türev hariç) ve t anından önceki anlara bağlı olarak ortaya çıkan diferansiyel denklemlerdir. Bu saha ile ilgili matematik literatürüne bakıldığında 1960 lardan bu yana gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık ve sınırlılık durumlarını ele alan değişik çalışmalar yapılmıştır. Krasovskii(1963),Yoshizawa(1966),Hala(1977), Burton(1985), t

12 Ancak literatür tarandığında bu uygulama alanlarının çok daha geniş alana yayıldığı rahatlıkla görülebilir. Bulaşıcı hastalıkların yayılımını inceleyen modellemesiyle Kermack ve McKendrick (Hairer et al.2000), makinelerin çalışırken çıkardığı gürültülerin giderilmesi amacıyla yaptığı modellemeyle (Asl & Ulsoy, 2003), enzimlerin kinetiğini inceleyen çalışmalarıyla Okamoto ve Hayashi (Hairer et al.2000), bir virüs tipine karşı bağışıklık sisteminin gösterdiği tepkiyi modelleyen çalışmasıyla Marchuk (Hairer et al. 2000), Solow (1966) un bir şehrin ekonomik büyümesini inceleyen çalışması (Boucekkine et al. 1996), Grossman (1998) ın HIV in bulaşıcılığını modelleyen çalışması (Baker et al. 1999), Glass ve Mackey (1979) in memelilerde solunum bozukluğundan kaynaklanan rahatsızlıklar üzerindeki çalışmalarında yaptıkları modellemeleri (Kuang,1993), Caberlin (2002), biyolojik sistemlerin matematiksel modellemeleri ile ilgili çalışması gibi pek çok uygulama alanı mevcuttur.

13 UYGULAMA ALANLARI Bu kısımda gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanıldığı fiziksel ve biyolojik sistemler üzerine örnekler verilerek neden gecikmeli diferansiyel denklem teorisine ihtiyaç duyulduğu açıklanmaya çalışılacaktır. Literatürde sıkça kullanılan örnekler üzerinde durulacaktır. Gecikmeli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için pek çok yazılım gerçekleştirilmiştir. [Paul,1991, 1995,2000; Shampine &Thompson,2000a,b] KARIŞIM PROBLEMİ Gecikmeli diferansiyel denklemler üzerinde literatürde yapılacak araştırmalarda karşımıza ilk çıkacak problem, Driver(1964) ın tuzlu su karışım problemidir. İçinde B litre tuzlu su karışımı bulunan bir tank düşünelim. Tankın üstünden dakikada q litre saf su tanka boşaltılmaktadır. Karışım sürekli karıştırılıp, tankın altında bulunan bir musluktan, yine dakikada q litre olmak üzere dışarı akmaktadır.,t anında karışımdaki tuz miktarını ( ) kg olarak göstersin. Karıştırma işleminin sürekli ve tank içinde homojen bir biçimde gerçekleştiği kabul edilirse, tank içinde litre başına yt () ( kg ) B yt () oranında tuz bulunur. Dakikada q litre karışım tanktan boşaltıldığına göre, belli bir t anında tank içindeki tuz miktarının değişimini modelleyebiliriz. yt () y ( t) q, B diferansiyel denklemi ile

14 Ancak Driver ın da belirttiği üzere, gerçekte karıştırma işlemi yapılırken depo içinde her yerde tuz oranının sabit olmayacağı, yani homojen bir dağılımın asla mümkün olmayacağı açıktır. Bu durumda depoyu terk eden tuz oranı da daha önceki bir andaki olacaktır. Sistem yeniden modellendiğinde, gecikmeli denklem elde edilir. yt ( ) y () t q B ( ) t anında, orana bağlı POPÜLASYON DİNAMİĞİ İzole edilmiş bir ortamda, bir hayvan kolonisinin herhangi bir t popülasyonu yt () olarak aşağıdaki gibi belirlenir. anındaki ile gösterilirse, popülâsyonun büyümesi matematiksel y '( t) y( t), t t y( t0) y0 0 (3)

15 Bu diferansiyel denklemin çözümü, y( t) y. e t 0 şeklindedir ve popülasyonun üstel sınırsız artış sağladığı açıkça görülmektedir. Bundan dolayı, belli bir zaman sonra aşırı artan popülasyon sonucu kıtlık oluşacak ve kolonide ani ölümler görülecektir. Bu popülasyon modellemesinin sadece doğumlarla ilgili olduğu düşünülmektedir. Ancak kolonideki ölümlerin popülasyon dinamiğini etkileyeceği düşünülmelidir. Bu nedenle sistemi, yt () y '( t) 1 y( t), t t p y( t0) y0 0 (4) biçiminde modellemek daha doğru olacaktır. (4) denkleminde () 1 yt p değeri, biyolojik anlamda sistem dengesini sağlayan faktör olarak verilir. Bu başlangıç değer probleminde ve kabul edilirse çözüm aşağıdaki gibi olacaktır. p değerleri pozitif sabit olarak yt () y0( t). e y p t 0 t 1 ( e 1) (5) y0 bu çözümde 1 p ise, t 0 iken çözümün y() t y e t 0 haline dönüştüğü kolaylıkla görülebilir. Ancak y0 0 başlangıç değeri için t iken denge noktası p ye yakınsar. Şimdi topluluktaki nüfus değişiminin o andaki nüfus ile değil de, belirli bir süre ( ) önceki nüfus ile orantılı olduğunu kabul edelim. Bu durumda aşağıda verilen gecikmeli diferansiyel denklem elde edilir. yt ()

16 yt ( ) y '( t) y( t) 1, t t0 p y( t0) ( t), t0 t t0, 0 0 (6) Bu denklemi literatürde sıkça geçmektedir. Wright (1946), 1 ve p 1 için bu denklemin özel halini aşağıdaki gibi alarak incelemiştir. 0 y '( t) y( t) 1 y( t 1), t t y( t) ( t), t 0, 0 0 (7) Burada Wright (1946), nın almış olduğu özel değerler için, (7) denkleminin bir çözümünün bulunabileceğini göstermiştir. Diğer yandan 1 0, e olduğu görülür. Ayrıca için, (7) denkleminin çözümlerinin monoton 1, e 2 olduğunda bu p 1 etrafında salınım göstermektedir. Her iki durumda da t iken çözüm p ye yakınsar. Şekil 1 ve Şekil 2 bu iki durumu açıkça göstermektedir. Bunun yanında Wright (1946), nın her değeri için çözüm bulmanın da mümkün olmadığını ispatlamıştır.

17 Şekil1 yt ( ) 0.1 ve yt ( ) 2 ve 1 0, e için (7) Denkleminin Çözümleri Şekil2 yt ( ) 0.1, yt ( ) 2 ve 1, e 2 için (7) Denkleminin Çözümleri

18 Popülâsyon dinamiğinde av-avcı problemi olarak tanımlanan modellemeler içinde gecikmeli diferansiyel denklem sistemleri kullanılır. Şimdi izole bir ortam içerisinde, belli bir bir türün popülâsyonu y () t 1 ile avcı popülasyonu da t anındaki av olarak belirlenen y () t 2 ile gösterilsin. Eğer ortamda avcı olarak belirlenen türün hiç bulunmadığı farz edilirse, av olarak belirlenen türün popülâsyonunda bir artış olacağı mutlaktır. Eğer artış oranı değişimi c11 0 olarak kabul edilirse av türünün popülasyondaki y '( t) c y ( t) ile ifade edilebilirdir. Şimdi avcı olarak belirlenen türün, besin kaynağının av olarak belirlenen tür olduğunu varsayalım. Bu durumda avcı olarak belirlenen türün popülasyondaki artışı, av olarak belirlenen türün popülasyonuyla ters orantılıdır. Bu durumda modelleme olmak üzere, c12 0 y '( t) c y ( t) c y ( t) y ( t) biçiminde yazılabilir. İzole ortamda av olarak belirlenen türün hiç olmadığı varsayılırsa, buna karşın avcı olarak belirlenen türün popülâsyonunda mutlak bir azalma olacaktır. Bu durum c21 0 olmak üzere y '( t) c y ( t) şeklinde ifade edilebilirdir. Benzer biçimde av-avcı popülâsyonu arasındaki ilişki göz önünde bulundurulduğunda ve c 22 pozitif sabitler olmak üzere c 11, c 12, c 21 y1 '( t) c11 y1 ( t) c12 y1( t) y2( t) y2 '( t) c21y2 ( t) c22 y1( t) y2( t) biçiminde gösterilir.

19 Böylece en basit haliyle av-avcı probleminin modellemesi bu diferansiyel denklem sistemi ile yapılmış olur. Bu denklemde Son olarak av-avcı türlerinin sadece belli bir t y (0) 0 1 ve y (0) 0 2 dır. anındaki popülâsyonlarını değil de, belli bir süre önceki popülâsyonları göz önüne alınırsa, daha gerçekçi bir modelleme yapılmış olur. Bu durumda denklem sistemi y1 () t y1 '( t) c11 1 y1( t) c12 y1( t) y2( t) p y2 '( t) c21y2 ( t) c22 y1( t ) y2( t ) (8) şekline dönüşür. TIP American Cancer Society e göre sadece Amerika da her yıl bir milyonun üzerinde insana kanser teşhisi konulmakta ve in üzerinde insan kanser nedeniyle hayatını kaybetmektedir. Bu nedenle tüm dünyada bilim adamlarının kanser hücrelerinin çoğalmasını ortaya koyan modelleme yapma çalışmaları hiç de şaşırtıcı değildir. Bu konuda Villasana & Radunskaya(2003) tarafından yapılan bir çalışma, kanser hücrelerinin çoğalması ve bağışıklık sistemi hücreleri ile Hy-droxy AraC ve Paclitaxel gibi özel bazı ilaçların kanser hücrelerinin çoğalması üzerindeki etkilerini inceleyen bir matematiksel modelleme sunmaktadır. Bu çalışmanın daha önceki çalışmalara göre en önemli farkı, modelleme yapılırken gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıdır.

20 KONTROL SİSTEMLERİ Geri beslemeli kontrol sistemlerinin hemen hemen tümünde gecikme zamanı bulunur. Bu nedenle kontrol sistemlerinin tasarımında gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılması çok sık rastlanılan bir durumdur. Gecikmeli diferansiyel denklem kullanılarak bir kontrol sisteminin modellenmesine ilk örneklerden biri, Minorsky nin II. Dünya Savaşı sırasında gemilerin dalgalardan dolayı sağa sola yalpalanmasını önleyebilmek için yaptığı çalışmadır. Bu modele göre,, geminin denge durumunda bulunduğu normal pozisyon ile yana yatma durumunda ki pozisyonu arasındaki açıyı göstermektedir. Ayrıca Minorsky nin yaptığı modellemeye göre; gemi, denge durumunda kalabilmek için ağırlık sağlaması amacıyla içi suyla doldurulup boşaltılabilen tanklar içermektedir. Bununla birlikte geminin yana yatmasını engelleyebilmek için suyun bir tanktan diğerine pompalanarak boşaltılmasını sağlayan bir mekanizma bulunmaktadır. Böylece dalgaların gemi üzerindeki etkisi ortadan kaldırılmaya çalışılmıştır. Doğal olarak, bu mekanizmanın çalışması belli bir t anında aniden gerçekleşen bir olay değildir. Yani suyun bir tanktan diğerine boşaltılabilmesi için belli bir süre geçmesi gerekir. Bu süre ile gösterilecek olursa, geminin dengede kalabilmesi, geminin t anındaki durumuna bağlıdır. Minorsky, tüm bunları göz önünde bulundurarak yapmış olduğu modelleme sonucu aşağıdaki denklemi elde etmiştir. m ( t) b ( t) q ( t ) k ( t) 0, t 0 ( t) ( t), t 0

21 ELEKTRODİNAMİK Aralarında belli bir mesafe bulunan iki elektronun birbiriyle etkileşimi ele alındığında elektronların ışık hızıyla () c, bir yörünge etrafında hareket ettiklerini düşünelim. Bundan dolayı elektronların hareketlerini belli bir anında gerçekleşen anlık bir olay gibi düşünmek mümkün değildir. Bu nedenle belli bir daha önceki bir t anında elektronlardan birinin diğeri üzerindeki etkisi, t anındaki etkisi tarafından üretilir. Daha kolay anlaşılabilmesi için, bu iki elektronun yörüngelerinin sadece doğrultusunda olduğunu düşünelim ve sırasıyla x () t 1 ile x () t 2 x t ekseni de bu iki elektronun t anındaki konumlarını belirtsin. Şimdi ikinci elektronun birinci elektron üzerindeki etkisini inceleyelim. Şekil de gösterildiği gibi elektronun t 21 Şekil3 İki Elektronun Birbirleri Üzerindeki Etkisi t anında, ikinci elektronun etki alanı, bu anındaki konumunun etkisiyle x () t 1 konumuna erişir. Burada 21 gecikme miktarının sabit olmadığı ve t ye bağlı olarak değiştiği açıktır. Bu durumda aşağıdaki denklem sağlanır. c. x ( t) x ( t )

22 Aynı şekilde birinci elektronun ikinci elektron üzerindeki etkisi göz önüne alındığında benzer bir denklem üretilir. Bu durumda 12, birinci elektronun ikinci elektron üzerindeki etkisini üreten gecikme miktarı ve 21 de ikinci elektronun birinci elektron üzerindeki etkisini üreten gecikme miktarı ise bu takdirde modelleme aşağıdaki gibidir. c. 21( t) x1 ( t) x2( t 21) c. 12( t) x2( t) x1 ( t 12) TOPOLOJİ NEDİR, BİLİM VE TEKNOLOJİYE NASIL UYGULANIR? Topoloji matematiğin tümünde en aktif alanlardan biridir. Geleneksel olarak, topoloji, cebir ve analizin yanı sıra teorik matematiğin üç önemli alanından biri olarak kabul edilmektedir. Topoloji kısa bir süre önce uygulamalı matematiğin önemli bileşenlerinden biri haline gelmiş ve pek çok matematikçi ve bilim adamı gerçek dünyadaki yapıları ve fenomenleri modellendirmek ve anlamak için topoloji kavramlarından faydalanmaya başlamışlardır. Topoloji kelimesi Yunanca bir yer anlamındaki (topus) kelimesinden türetilmiştir. Matematik teki topoloji eskiden yer çalışması olarak tanımlanırdı; diğer adı da analysus situstu. Kelime anlamıyla topoloji pozisyonun veya lokasyonun incelenmesi anlamındadır. Topoloji şekilleri ve bu şekillerin özelliklerini, bunlara uygulanan deformasyonları, bunların arasındaki eşlemeleri ve bunlardan oluşan kompozisyonları inceler. ó

23 Başlangıçta topoloji, Geometrinin branşı olarak kabul edilmiş ve ilerlemesini de bu dalda gerçekleştirilmeye çalışmıştır. Geometride katı cisimler üzerinde çalışılırken topolojide esneyebilen köşesi kesin olmayan şekiller üzerinde yoğunlaşmıştır. Geometride mukayese yapmak için önce iki cismin büyüklüğü göz önüne alınır. Geometride iki cisim eğer yer değiştirme sonucunda aynı kalıyorsa iki cismin denk olduğunu söylenir. Bir cisim; yırtmadan, kesip çıkarma yapmadan eğerek bükerek esneterek veya büzerek bir şekilden diğer şekle dönüştürülüyorsa bu takdirde topolojik olarak bunların denk olduğu ifade edilir. Böylece günümüzden bir örnek verecek olursak evlerimizde kullanılan çamaşır makineleri ve fırınlarda yapılan ekmekler birer topolojik yapılardır. Topoloji genellikle lastik-levha geometrisi olarak tanımlanır. Geleneksel geometride çemberler, üçgenler, düzlemler ve polihedralar gibi nesnelerin sert olduğu ve noktaların arasında iyi tanımlanmış mesafeler ve kenarları veya yüzeyleri arasında iyi tanımlanmış açılar olduğu kabul edilir. Ancak topolojide mesafelerin ve açıların konuyla ilgisi yoktur. Topolojide nesneler deforme olabilen lastikten yapılmış gibi kabul edilir. Nesnelerin eğrilmesine, bükülmesine, esnetilmesine, küçültülmesine veya bir şekilde deforme olmasına müsaade edilir ancak nesnelerin parçalanmasına müsaade edilmez. Şekil1.1 de geometrik açıdan birbirinden çok farklı dört şekilde görülmektedir, ancak topolojide bu dört şekil de birbirine eşdeğer kabul edilir. Lastikten yapılmış olursa bu dört şekilden herhangi biri deformasyonla diğeri haline gelebilir. Şekil4 Bir topolog açısından bu dört nesne denktir

24 Şekil 5 de topolojik açıdan farklı iki nesne (halka ve küre) yer almaktadır. Müsaade edilen topolojik bir şekilde bir küreyi bir halka haline getiremeyiz bu yüzden bu iki nesne topolojik açıdan birbirinin eşdeğeri değildir. Şekil5 Halka ve küre topolojik açıdan denk değildir. Genellikle bir topoloğun bir simit ile bir kahve fincanını birbirinden ayırt edemediği söylenir. Burada söylenmek istenen, topolojide bir kahve fincanının bir simidin şeklinde deforme edilebileceğidir (Bkz. Şekil 6). Bu nesneler topolojik açıdan denktir. Şekil6 Bir kahve fincanı ve bir simit topolojik açıdan denktir.

25 Bu lastik-levha geometrisinin gerçek dünya uygulamalarında nasıl bir işe yarayabileceğini merak edilebilir bir konudur. Buradaki fikir son derece basittir. Genellikle, belli bir durumda, önemli olan özellikler, bir nesneyi sert kabul ettiğimizde muhafaza olan özelliklerin aksine bir nesneyi deforme edilebilir bir nesne olarak kabul ettiğimizde muhafaza edilen özelliklerdir. Bir topolog bir simit ile bir kahve fincanını birbirinden ayırt edemez ancak bir topolog bu şekillerin ortak olan özelliklerini tespit edebilir ve kullanabilir. Şimdi kısaca topolojideki birkaç konuya ve bu konuların bu metinde sunulan uygulamaların bazılarında nasıl bir rol oynadığına bakalım. Topolojik Uzaylar ve Fenotip Uzaylar: Topolojide incelenen nesneler topolojik uzaylar olarak adlandırılır. Bu uzaylar, açık cümleler ile noktalar arasındaki yakınlık kavramının ele alındığı noktalar kümeleridir. Doğru, çember, düzlem, küre, halka ve Mobius şeridi topolojik uzayların örnekleridir (Bkz. Şekil 7). Şekil7 Farklı topolojik uzaylar.

26 Evrimsel biyolojide genotip ve fenotip kavramları önemli kavramlardır. Her canlı organizma, içeriden kodlanmış, kalıtsal bilgilerin (genotip) fiziksel gerçekleşmesidir (fenotip). Bir fenotipten diğerine evrimsel değişim, karşı gelen genotiplerde meydana gelen ve mutasyon adını alan değişikliklerle ortaya çıkar. Bir fenotipin diğerine ne kadar yakın olduğunu ve bir genotip mutasyonunun bir fenotipi bir başka fenotipe dönüştürmesi ihtimalinin ne olduğu sıkça ele alınan problemlerdir. Bir Coğrafi Bilgi Sistemindeki İç Sınır ve Bölge İlişkiler: Bir topoloji uzayında verilen bir küme ile bağlantı kurulan iki önemli küme, o kümenin içi ve sınırıdır. X uzayında bir A kümesi varsa A kümesinin içini A daki yakın noktaların çevrelediği noktalar olarak düşünürüz, A nın sınırını ise hem A nın içindeki noktaları hem de A nın dışındaki noktalar cümlesini düşünürüz. (Bkz. Şekil 1.5). Şekil8 A kümesinin içi ve sınırı

27 Bir coğrafi bilgi sistemi (GIS)(Geographic Information System), coğrafi verileri saklayan ve manipüle eden bir bilgisayar sistemidir. Bir GIS, Planlanan Coltonian Deponisi Alexandria koruma alanı ile çalışmakta mıdır? gibi soruları yanıtlayabilmelidir. Bir GIS in böyle bir soruya yanıt verebilmesi içinde GIS in arazi bölgeleri arasındaki ilişkiler spektrumunu ayırt edebilmesi ve belli bir bölge çiftinin yerine getirdiği belli bir ilişkiyi tespit edecek araçlara sahip olması gereklidir. Örneğin A ve kümelerinin yalnızca sınırları kesişiyorsa bu takdirde A ve B nin birbirine temas ettiğini söyleriz. Şekil 8 de bu ilişki açıkça gösterilmektedir. B AB, den ayrıdır. AB ye, temas eder. AB, ye eşittir. AB, nin içindedir. AB, yi içerir. A ile B çakışır. Şekil9 A ve B kümeleri arasındaki muhtemel ilişkiler

28 MANİFOLDLAR VE KOZMOLOJİ Bir n boyutlu manifold yerel olarak n boyutlu Öklid uzayına benzeyen bir topolojik uzaydır. Örneğin, 1 boyutlu manifold yerel olarak bir doğruyu, 2 boyutlu manifold yerel olarak bir düzlemi ve 3 boyutlu manifold ise yerel olarak 3 boyutlu uzayı andırır ve bu şekilde devam eder. 2 boyutlu manifolda yüzey de denir. Küre ve halka yüzeye örnek olarak verilebilirdir. Bir yüzeydeki her bir nokta topolojik olarak düzlemdeki bir açık kümeye eşdeğer olan bir açık kümenin içindedir (Bkz.Şekil 10). Şekil10 Yerel olarak bir yüzey ve bir düzlem aynı görünürler. Yüzeylerde yaşayanlar, aslında bir düzlemde yaşadıklarını düşünebilirler. Çünkü yerel olarak onların gördükleri düzlemde olmasına rağmen yüzeyde de bulunmalarıdır. (Bu durum, Edwin Abbot un eğlenceli On Dokuzuncu Yüzyıl kitabı Flatland: A Romance of Many Dimension da incelenmiştir). Bununla birlikte, yüzeyde yaşayanlar, dünyalarının özelliklerini incelemiş olsalardı genel şeklini anlayabilir ve bu yüzden bir yüzeyin düzlemden farkını düşünebilirlerdi. Aynı şekilde, yaşadığımız evreni üç boyutlu Öklid uzayı olarak hissetmemiz doğaldır. Çünkü bu evreni yerel olarak bu şekilde algılarız. Kozmologlar, evrenin genel yapısının görünümünün tüm özelliklerini inceleyerek tam şeklini tespit etmeye çalışırlar.

29 DNA Deoksiribonükleik asit (DNA), milyonlarca atomdan meydana gelmiş uzun, ince bir moleküldür. Bu uzun dizi hücrenin çekirdeğinin içine doldurulur ve bu durum 200 kilometrelik dolaşmış bir misinanın bir basket topunun içine doldurulmasına benzer. Temel yaşam süreçlerinin işlemesi için hücrenin biyolojik mekanizmasının DNA molekülüne erişmekte ve bu molekülü manipüle etmekte serbest olması gereklidir. Bu nedenle, hücrenin DNA yı etkin bir şekilde çözme kabiliyeti beka açısından elzemdir. Hücrenin çekirdeğinin içinde enzim adı verilen ve biyolojik araç görevini gören moleküller vardır. Bu enzimlerden bazıları DNA içinde geçiş değişiklikleri yaparak çözülmesine imkân tanırlar. Bir enzim, DNA dizisini kendi üzerinden geçtiği bir yerde keser ve sonra tekrar kendisine bağlar ve bu şekilde karşı türden bir geçiş olur. Son dönemde bulunan ve enzimlerin hareket etmesini engelleyen yeni kemoterapi (kimyasal tedavi) maddeleri kanserli DNA ların kendilerini yeniden yaratmalarını önlemektedir.

30 SABİT NOKTALAR VE EKONOMİ Uzayda kendisine fonksiyon ile eşleştirilmiş belli bir nokta varsa bir topolojik uzayı kendisine eşleştiren bir fonksiyonun sabit bir noktası vardır. Örneğin, Şekil 1.10 daki fonksiyonunun sabit noktasıdır. p noktası, aynı şekilde yer alan f Şekil11 Bir f fonksiyonunun p sabit noktası vardır. Sabit nokta teorisi, topolojinin önemli bir alanıdır ve Bir topolojik uzayı kendisine eşleştiren hangi fonksiyonların sabit bir noktası vardır? ve Hangi topolojik uzaylarda, uzayı kendisine eşleştiren her sürekli fonksiyonun sabit bir noktası vardır? gibi sorulara yanıt arar. Bu alanda en iyi bilinen sonuç Brouwer Sabit Nokta Teoremidir. Bu teorem kapalı bir n boyutlu topun üzerindeki her sürekli fonksiyonun sabit bir noktası olduğunu ileri sürer. Örneğin, birinci boyutta kapalı bir aralıktan kendisine giden her fonksiyonun sabit bir noktası olduğunu, ikinci boyutta bir diskten kendisine giden her sürekli fonksiyonda sabit bir nokta olduğunu söyler ( bkz. Şekil 12).