BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ"

Transkript

1 BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Prof.Dr.Necdet BİLDİK CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ OCAK, 2012

2 BİLİM VE TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ 1.1. BİLİM NEDİR? Genel geçerlik ve kesinlik nitelikleri gösteren yöntemli ve dizgisel bilgi. Belli bir konuyu bilme isteğinden yola çıkan, belli bir ereğe yönelen bir süreci Evrenin ya da olayların bir bölümünü konu olarak seçen, deneysel yöntemlere ve gerçekliğe dayanarak yasalar çıkarmaya çalışan düzenli bilgi. Türlü duygusal yaşantıların mantıkça bir örnek düşünce dizgesine uydurulması için gösterilen çabalara verilen ad. Neden, merak ve amaç besleyen bir olgu olarak günümüze kadar birçok alt dala bölünmüş, insanların daha iyi yaşam koşullarına kavuşmasına, var olmayan olguları bulmasına ve yeni şeyler öğrenmesine ön ayak olan genellemedir. Sanat tarafından temelleri atılmış olan ve her aşamada sanat ve yaratıcılıkla beslenerek insanların hayat koşullarını iyileştirmek için yapılan çalışmaların bütünüdür.

3 Temelde, deney ve gözleme dayalı bilgi bütünüdür. Araştırma bulgularına dayanarak, neden-sonuç niteliğinde ilişkiler bulmaya çalışan, olay ve olguları yöntemlere dayalı olarak çözümleyip genellemelere ulaşmaya çalışan sistematik bilgiler bütünüdür. Her türlü düzenden yoksun duyu verileri ile düzenli düşünceler arasında uygunluk sağlama çabasıdır. Gözlem ve gözleme dayalı akıl yürütme yoluyla dünyaya ilişkin olguları birbirine bağlayan yasaları bulma çabasıdır TEKNOLOJİ NEDİR? Teknoloji (Latince texere fiilinden türetilmiştir; örmek, oluşturmak (construct ) anlamına gelir ). İnsanın bilimi kullanarak doğaya üstünlük kurmak için tasarladığı rasyonel bir disiplindir (Simon, 1983, s.173 ).

4 Somut ve deneysel anlamda temel olarak teknik yönden yeterli küçük bir grubun örgütlü bir hiyerarşi yardımıyla bütünün geri kalanı (insanlar, olaylar, makineler vb. ) üzerinde denetimi sağlamasıdır (McDermott, 1981, s.142 ). Bilimin uygulamalı bir sanat dalı haline dönüşmesidir. Uygulamalı sanat terimi Fransız sosyolog Jackques Ellul tarafından kullanılmış ve kısaca technique olarak isimlendirilmiştir. O, teknolojiyi bir technique uyarınca yapılmış bir makine olarak görmüş ve bu technique nin ancak küçük bir bölümünün makine tarafından ifade edilebildiğinden bahsetmiştir. Belirli bir teknik sayesinde sadece makinenin değil, bu makineye ait öğretimsel uygulamalarında gerçekleştirilebileceğinden söz etmiştir. Sonuç olarak davranış bilimi ile öğretim teknolojileri arasındaki ilişki, doğal bilimlerle mühendislik teknolojisi arasındaki ya da biyoloji ile Sağlık teknolojisi arasındaki ilişkiyle benzer hatta aynıdır (Saettler, 1968, ss. 5-6 ). Sistemler, işlemler, yönetim ve kontrol mekanizmalarıyla hem insandan hem de eşyadan kaynaklanan sorunlara, bu sorunların zorluk derecesine, teknik çözüm olasılıklarına ve ekonomik değerlerine uygun çözüm üretebilmek için bir bakış açısıdır (Finn, 1960, s.10 ).

5 Bilim ve Teknolojinin farklılığını belirtmek için ilk nükleer denizaltıyı yapan ve serbest bir eğitim eleştirmeni olan Amiral Hyman Rickover şöyle söylüyor: Bilim ve Teknoloji birbirine karıştırılmamalıdır. Bilim doğadaki görüngülerin (fenomenlerin ) gözlenerek, zaten var olan doğru ve gerçeklerin ortaya çıkarılması ve bu gözlemler sonucunda elde edilen verilerin düzenlenerek gerçeklerin ve bunlar arasındaki ilişkilerin ortaya konulduğu teorilerin oluşturulmasıdır. Teknoloji asla bilim için bir otorite olamaz. Teknoloji insan aklını ve vücudunu güçlendirmek, üstün kılmak için geliştirilecek aletler, teknikler ve yöntemler üzerinde durur. Bilimsel yöntem insan faktörünün tamamen dışlanmasını gerektirir, şöyle ki; gerçeği arayan kimse, kendinin ya da diğer insanların hoşlanacağı veya sevmeyeceği şeylerle, popülist değerlerle ve herhangi bir çıkar uğruna çalışmaz. Diğer yandan teknoloji fikir (bilim) değil de hareket olduğundan, eğer insani değerler göz ardı edilirse tamamıyla tehlikeli bir sonuca da yol açabilir (Knezevich & Eye, 1970, s.17 ).

6 İnsanlık tarihi matematiğin tarihi ile birlikte başlamıştır. Eğer matematik tarihi içerisinde gelişmemiş olsa idi bu gün muhtemelen insanlık da yerinde sayıyor olacaktı. Matematik; aklın kullanımında önemli bir araç olup hem aklı disipline etmekte önemli bir oynar hem de bütün bilimlerin yol göstericisi rolündedir. Sonuçta matematiğin gelişmesi insan aklının gelişmesine neden olmaktadır. Günümüz ileri teknolojisine ancak matematik sayesinde ulaşılabilmektedir. Örneğin uzaya ve gezegenlere gidiş, uydular aracılığı ile dünyanın her tarafı ile ses ve görüntü bağlantısı, her türlü geometrik dizaynda planları çizilen evler, gökdelenler, vb. Ancak tüm teknolojik gelişmeler genelde matematiğin önemli bir dalı olan uygulamalı matematik sahasında sürdürülebildiği gibi fizik, kimya, biyoloji, ekonomi, sosyalbilimler, tıp(psikiyatri, kardiyoloji, mühendisliğinin çeşitli dallarında (fizik, kimya, jeoloji, jeofizik, harita, bilgisayar, elektik-elektronik, endüstri, çevre, vb.) alanların yanı sıra askeri alanlarda da yer almaktadır. Diğer yandan teorik ve soyut matematik sahasında yapılan bazı çalışmaların uygulama alanları bulunmaya çalışılmakta hatta beklenmedik bir anda uygulanabileceği ortaya çıktığında ise tartışılmaktadır. Bunlara yine somut bir örnek ise Topoloji sahasında son zamanlarda oldukça önem kazanmaya başlayan digital topolojinin ortaya çıkışıdır. Bunun yanında topolojide oldukça önemli olan sabit nokta teorisi ekonomi sahasında uygulama alanı bulmaktadır. Teorik olarak yapılan çoğu araştırmalar uygulama alanı bulunmayan veya olduğu düşünülmeyen çalışmalar olarak kalmaktadır. Hangi bilim dalında olursa olsun yapılması istenen çalışmalar önce kâğıt üzerinde düşünülmekte daha sonra uygulamada yerini almaktadır.

7 HİÇBİR ARAŞTIRMA, MATEMATİK İSPATTAN GEÇMEDİKTEN SONRA BİLİM ADINI ALMAYA LAYIK OLAMAZ. LEONARDO DA VINCI MATEMATİK NEDİR? Matematik Terimleri Sözlüğü'nde Matematik; "Biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini akıl bilim yoluyla inceleyen, sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim" olarak tanımlanmaktadır. Ancak Matematik nedir? sorusunu tek bir tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür. O halde evrensel bir dil olan Matematiği tanımını bir cümle ile ifade etmek o kadar da kolay olmasa gerek!

8 Bu düşünüş ile; Matematik bir disiplindir. Matematik bir bilgi alanıdır. Matematik, bir iletişim aracıdır. Her bir bilim dalının bir dili olduğu gibi matematiğinde kendine özgü bir dili vardır. Matematik, ardışık ve birebirine bağlı bir zincirdir. Dolayısı ile birbiri üzerine kurulur. Matematik, varlıkların kendileriyle değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenir. Matematik, birçok bilim dalının kullandığı bir araçtır. Matematik, insan yapısı ve insan beyninin yarattığı bir soyutlamadır. Matematik, bir düşünce biçimidir. Matematik, mantıksal bir sistemdir. Matematik, matematikçilerin oynadığı bir oyundur. Matematik, kapalı bir kutu olup, içine girilmeyi bekleyen bir hazinedir. Matematik, bir anahtardır. Matematik, bir değerdir. Matematik; dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklara zenginleşerek geçen sağlam, kullanışlı evrensel bir dildir. Birey için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez değerdedir. Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir sanattır. Matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır. Çağları aşarak, yeni kuşaklara da ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taptaze ve doğru kalacaktır.

9 Matematik, insanın düşünce sistemini düzenler. Matematik, insanın doğru düşünmesini, analiz ve sentez yapabilmesini sağlar. Matematik, doğruyu, gerçeği görmek, iyi düşünmek, sonuca giderek kazanmak, yani rahat bir hayat geçirmek demektir ve hayatımızda devamlı olarak mevcuttur. Kısaca Matematik bir yaşam biçimidir. MATEMATİK VE YAŞAM Öğrenciler genelde oldukça sıkıcı olduğu iddia edilen matematik hakkında "Hali hazırda öğretilen ya da öğretilmeye çalışılan bu soyut bilgiler ileride ne işime yarar? " diye düşünür. Hatta kimi zaman bazı soruları anlayarak çözme yerine, daha kolay nasıl sonuca ulaşılır tarzında pratik yollar aramaya çalışılır. Bazen problemin sonuçları arzu edildiği gibi çıkmadığında yani çözüme ulaşılamadığında ise öfkelenir, hatta sık olmasa da o problemi bir daha ele bile almayız. Ama gerçekte durum hiç de öyle olmamalıdır. Mantıksal bir zincir takip edilebilinirse problemin çözümü rahatlıkla yapılabilecektir. Buradan hareket ile matematik hayatın ta kendisidir diyebiliriz. İnsanoğlunun genlerinde, DNA ların dizilişinde bile matematiksel bir düzen vardır. Terzi elbiseyi diker iken bir model ortaya koymakta, fırıncı ekmeği yaparken tüm katkı malzemelerini belli bir ölçüde katmakta, ayakkabıcı kalıbı belli boyutta yapmakta, tornacı tüm hünerini göstererek ve geometri ve simetriyi kullanarak malzemelere şekil vererek üretmektedir. Adını sayamadığımız onlarca mesleklerin hepsinde matematik iyi bilinmek zorundadır. Tüm alışverişlerimizde ödenecek tutarlarda ve onların karşılaştırmalarında hep ölçülerle karşılaşırız. Zaman birimleri ise tamamen hayatımızın bir parçası durumuna gelmiştir. Hatta ordularımızın onluk düzeni bile başlı başına bir matematiktir.

10 Evlerimizin mimarisi, trafik akışı, köprü, kanalizasyon ve su şebekeleri, elektrik-su tesisatı bile matematiğe bağlıdır. Tıpta Sinirbilim alanında üç boyutlu uzayda fonksiyonel beyin görüntülemesi yine matematik ile gerçekleştirilmektedir. Yani matematiğin felsefesi hayatın ta kendisidir. Sonuçta matematik böyle bir bakış açısından değerlendirilerek ortaya konulmalı ve tüm öğrenicilere bu tarzda aktarılmalıdır. Bu yönde bir uygulama gerçekleştirildiği takdirde bir pek çok yanlış da kendiliğinden ortadan kalkacaktır. Bilindiği üzere uygulamalı bilim dallarının pek çoğunda, örneğin, mühendislik, fizik v.b. pek çok dalda ele alınan problemlerin matematiksel modellenmesine bir diferansiyel denklem karşılık gelir. Ayrıca, pek çok fiziksel olayda bir sistemin mevcut andaki durumu geçmiş durumuna bağlı kalınarak da ifade edilebilir. Söz konusu sistemin hareketi hakkında yorum yapabilmek için onu temsil eden diferansiyel denklem ve denklemin çözümleri hakkında bilgi sahibi olmak gerekir. Aşağıdaki denklemler gecikmeli diferansiyel denklemler için birer örnektir:

11 GENEL ÖRNEKLER x ( t) f ( t, x( t), x( t ( t)) ; ( t) 0 x ( t) f ( t, x( t ), x( t )) 1 2 ; 1, 2 0 x ( t) f ( t, x( t), x ( t), x( t ( t), x ( t ( t)) ÖRNEKLER 3 x '( t) 2 x( t ) x( t 1) 2 2 x '( t) x( t cos t) 1 t x '( t) 5 x( t) 2 x( ) 2 x ''( t) 3 x '( t 2) 7 x( t 3) 2t 5 Yukarıdaki örneklere bakıldığında gecikmeli diferansiyel denklemler, bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri (en yüksek türev hariç) ve t anından önceki anlara bağlı olarak ortaya çıkan diferansiyel denklemlerdir. Bu saha ile ilgili matematik literatürüne bakıldığında 1960 lardan bu yana gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılık ve sınırlılık durumlarını ele alan değişik çalışmalar yapılmıştır. Krasovskii(1963),Yoshizawa(1966),Hala(1977), Burton(1985), t

12 Ancak literatür tarandığında bu uygulama alanlarının çok daha geniş alana yayıldığı rahatlıkla görülebilir. Bulaşıcı hastalıkların yayılımını inceleyen modellemesiyle Kermack ve McKendrick (Hairer et al.2000), makinelerin çalışırken çıkardığı gürültülerin giderilmesi amacıyla yaptığı modellemeyle (Asl & Ulsoy, 2003), enzimlerin kinetiğini inceleyen çalışmalarıyla Okamoto ve Hayashi (Hairer et al.2000), bir virüs tipine karşı bağışıklık sisteminin gösterdiği tepkiyi modelleyen çalışmasıyla Marchuk (Hairer et al. 2000), Solow (1966) un bir şehrin ekonomik büyümesini inceleyen çalışması (Boucekkine et al. 1996), Grossman (1998) ın HIV in bulaşıcılığını modelleyen çalışması (Baker et al. 1999), Glass ve Mackey (1979) in memelilerde solunum bozukluğundan kaynaklanan rahatsızlıklar üzerindeki çalışmalarında yaptıkları modellemeleri (Kuang,1993), Caberlin (2002), biyolojik sistemlerin matematiksel modellemeleri ile ilgili çalışması gibi pek çok uygulama alanı mevcuttur.

13 UYGULAMA ALANLARI Bu kısımda gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanıldığı fiziksel ve biyolojik sistemler üzerine örnekler verilerek neden gecikmeli diferansiyel denklem teorisine ihtiyaç duyulduğu açıklanmaya çalışılacaktır. Literatürde sıkça kullanılan örnekler üzerinde durulacaktır. Gecikmeli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için pek çok yazılım gerçekleştirilmiştir. [Paul,1991, 1995,2000; Shampine &Thompson,2000a,b] KARIŞIM PROBLEMİ Gecikmeli diferansiyel denklemler üzerinde literatürde yapılacak araştırmalarda karşımıza ilk çıkacak problem, Driver(1964) ın tuzlu su karışım problemidir. İçinde B litre tuzlu su karışımı bulunan bir tank düşünelim. Tankın üstünden dakikada q litre saf su tanka boşaltılmaktadır. Karışım sürekli karıştırılıp, tankın altında bulunan bir musluktan, yine dakikada q litre olmak üzere dışarı akmaktadır.,t anında karışımdaki tuz miktarını ( ) kg olarak göstersin. Karıştırma işleminin sürekli ve tank içinde homojen bir biçimde gerçekleştiği kabul edilirse, tank içinde litre başına yt () ( kg ) B yt () oranında tuz bulunur. Dakikada q litre karışım tanktan boşaltıldığına göre, belli bir t anında tank içindeki tuz miktarının değişimini modelleyebiliriz. yt () y ( t) q, B diferansiyel denklemi ile

14 Ancak Driver ın da belirttiği üzere, gerçekte karıştırma işlemi yapılırken depo içinde her yerde tuz oranının sabit olmayacağı, yani homojen bir dağılımın asla mümkün olmayacağı açıktır. Bu durumda depoyu terk eden tuz oranı da daha önceki bir andaki olacaktır. Sistem yeniden modellendiğinde, gecikmeli denklem elde edilir. yt ( ) y () t q B ( ) t anında, orana bağlı POPÜLASYON DİNAMİĞİ İzole edilmiş bir ortamda, bir hayvan kolonisinin herhangi bir t popülasyonu yt () olarak aşağıdaki gibi belirlenir. anındaki ile gösterilirse, popülâsyonun büyümesi matematiksel y '( t) y( t), t t y( t0) y0 0 (3)

15 Bu diferansiyel denklemin çözümü, y( t) y. e t 0 şeklindedir ve popülasyonun üstel sınırsız artış sağladığı açıkça görülmektedir. Bundan dolayı, belli bir zaman sonra aşırı artan popülasyon sonucu kıtlık oluşacak ve kolonide ani ölümler görülecektir. Bu popülasyon modellemesinin sadece doğumlarla ilgili olduğu düşünülmektedir. Ancak kolonideki ölümlerin popülasyon dinamiğini etkileyeceği düşünülmelidir. Bu nedenle sistemi, yt () y '( t) 1 y( t), t t p y( t0) y0 0 (4) biçiminde modellemek daha doğru olacaktır. (4) denkleminde () 1 yt p değeri, biyolojik anlamda sistem dengesini sağlayan faktör olarak verilir. Bu başlangıç değer probleminde ve kabul edilirse çözüm aşağıdaki gibi olacaktır. p değerleri pozitif sabit olarak yt () y0( t). e y p t 0 t 1 ( e 1) (5) y0 bu çözümde 1 p ise, t 0 iken çözümün y() t y e t 0 haline dönüştüğü kolaylıkla görülebilir. Ancak y0 0 başlangıç değeri için t iken denge noktası p ye yakınsar. Şimdi topluluktaki nüfus değişiminin o andaki nüfus ile değil de, belirli bir süre ( ) önceki nüfus ile orantılı olduğunu kabul edelim. Bu durumda aşağıda verilen gecikmeli diferansiyel denklem elde edilir. yt ()

16 yt ( ) y '( t) y( t) 1, t t0 p y( t0) ( t), t0 t t0, 0 0 (6) Bu denklemi literatürde sıkça geçmektedir. Wright (1946), 1 ve p 1 için bu denklemin özel halini aşağıdaki gibi alarak incelemiştir. 0 y '( t) y( t) 1 y( t 1), t t y( t) ( t), t 0, 0 0 (7) Burada Wright (1946), nın almış olduğu özel değerler için, (7) denkleminin bir çözümünün bulunabileceğini göstermiştir. Diğer yandan 1 0, e olduğu görülür. Ayrıca için, (7) denkleminin çözümlerinin monoton 1, e 2 olduğunda bu p 1 etrafında salınım göstermektedir. Her iki durumda da t iken çözüm p ye yakınsar. Şekil 1 ve Şekil 2 bu iki durumu açıkça göstermektedir. Bunun yanında Wright (1946), nın her değeri için çözüm bulmanın da mümkün olmadığını ispatlamıştır.

17 Şekil1 yt ( ) 0.1 ve yt ( ) 2 ve 1 0, e için (7) Denkleminin Çözümleri Şekil2 yt ( ) 0.1, yt ( ) 2 ve 1, e 2 için (7) Denkleminin Çözümleri

18 Popülâsyon dinamiğinde av-avcı problemi olarak tanımlanan modellemeler içinde gecikmeli diferansiyel denklem sistemleri kullanılır. Şimdi izole bir ortam içerisinde, belli bir bir türün popülâsyonu y () t 1 ile avcı popülasyonu da t anındaki av olarak belirlenen y () t 2 ile gösterilsin. Eğer ortamda avcı olarak belirlenen türün hiç bulunmadığı farz edilirse, av olarak belirlenen türün popülâsyonunda bir artış olacağı mutlaktır. Eğer artış oranı değişimi c11 0 olarak kabul edilirse av türünün popülasyondaki y '( t) c y ( t) ile ifade edilebilirdir. Şimdi avcı olarak belirlenen türün, besin kaynağının av olarak belirlenen tür olduğunu varsayalım. Bu durumda avcı olarak belirlenen türün popülasyondaki artışı, av olarak belirlenen türün popülasyonuyla ters orantılıdır. Bu durumda modelleme olmak üzere, c12 0 y '( t) c y ( t) c y ( t) y ( t) biçiminde yazılabilir. İzole ortamda av olarak belirlenen türün hiç olmadığı varsayılırsa, buna karşın avcı olarak belirlenen türün popülâsyonunda mutlak bir azalma olacaktır. Bu durum c21 0 olmak üzere y '( t) c y ( t) şeklinde ifade edilebilirdir. Benzer biçimde av-avcı popülâsyonu arasındaki ilişki göz önünde bulundurulduğunda ve c 22 pozitif sabitler olmak üzere c 11, c 12, c 21 y1 '( t) c11 y1 ( t) c12 y1( t) y2( t) y2 '( t) c21y2 ( t) c22 y1( t) y2( t) biçiminde gösterilir.

19 Böylece en basit haliyle av-avcı probleminin modellemesi bu diferansiyel denklem sistemi ile yapılmış olur. Bu denklemde Son olarak av-avcı türlerinin sadece belli bir t y (0) 0 1 ve y (0) 0 2 dır. anındaki popülâsyonlarını değil de, belli bir süre önceki popülâsyonları göz önüne alınırsa, daha gerçekçi bir modelleme yapılmış olur. Bu durumda denklem sistemi y1 () t y1 '( t) c11 1 y1( t) c12 y1( t) y2( t) p y2 '( t) c21y2 ( t) c22 y1( t ) y2( t ) (8) şekline dönüşür. TIP American Cancer Society e göre sadece Amerika da her yıl bir milyonun üzerinde insana kanser teşhisi konulmakta ve in üzerinde insan kanser nedeniyle hayatını kaybetmektedir. Bu nedenle tüm dünyada bilim adamlarının kanser hücrelerinin çoğalmasını ortaya koyan modelleme yapma çalışmaları hiç de şaşırtıcı değildir. Bu konuda Villasana & Radunskaya(2003) tarafından yapılan bir çalışma, kanser hücrelerinin çoğalması ve bağışıklık sistemi hücreleri ile Hy-droxy AraC ve Paclitaxel gibi özel bazı ilaçların kanser hücrelerinin çoğalması üzerindeki etkilerini inceleyen bir matematiksel modelleme sunmaktadır. Bu çalışmanın daha önceki çalışmalara göre en önemli farkı, modelleme yapılırken gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıdır.

20 KONTROL SİSTEMLERİ Geri beslemeli kontrol sistemlerinin hemen hemen tümünde gecikme zamanı bulunur. Bu nedenle kontrol sistemlerinin tasarımında gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılması çok sık rastlanılan bir durumdur. Gecikmeli diferansiyel denklem kullanılarak bir kontrol sisteminin modellenmesine ilk örneklerden biri, Minorsky nin II. Dünya Savaşı sırasında gemilerin dalgalardan dolayı sağa sola yalpalanmasını önleyebilmek için yaptığı çalışmadır. Bu modele göre,, geminin denge durumunda bulunduğu normal pozisyon ile yana yatma durumunda ki pozisyonu arasındaki açıyı göstermektedir. Ayrıca Minorsky nin yaptığı modellemeye göre; gemi, denge durumunda kalabilmek için ağırlık sağlaması amacıyla içi suyla doldurulup boşaltılabilen tanklar içermektedir. Bununla birlikte geminin yana yatmasını engelleyebilmek için suyun bir tanktan diğerine pompalanarak boşaltılmasını sağlayan bir mekanizma bulunmaktadır. Böylece dalgaların gemi üzerindeki etkisi ortadan kaldırılmaya çalışılmıştır. Doğal olarak, bu mekanizmanın çalışması belli bir t anında aniden gerçekleşen bir olay değildir. Yani suyun bir tanktan diğerine boşaltılabilmesi için belli bir süre geçmesi gerekir. Bu süre ile gösterilecek olursa, geminin dengede kalabilmesi, geminin t anındaki durumuna bağlıdır. Minorsky, tüm bunları göz önünde bulundurarak yapmış olduğu modelleme sonucu aşağıdaki denklemi elde etmiştir. m ( t) b ( t) q ( t ) k ( t) 0, t 0 ( t) ( t), t 0

21 ELEKTRODİNAMİK Aralarında belli bir mesafe bulunan iki elektronun birbiriyle etkileşimi ele alındığında elektronların ışık hızıyla () c, bir yörünge etrafında hareket ettiklerini düşünelim. Bundan dolayı elektronların hareketlerini belli bir anında gerçekleşen anlık bir olay gibi düşünmek mümkün değildir. Bu nedenle belli bir daha önceki bir t anında elektronlardan birinin diğeri üzerindeki etkisi, t anındaki etkisi tarafından üretilir. Daha kolay anlaşılabilmesi için, bu iki elektronun yörüngelerinin sadece doğrultusunda olduğunu düşünelim ve sırasıyla x () t 1 ile x () t 2 x t ekseni de bu iki elektronun t anındaki konumlarını belirtsin. Şimdi ikinci elektronun birinci elektron üzerindeki etkisini inceleyelim. Şekil de gösterildiği gibi elektronun t 21 Şekil3 İki Elektronun Birbirleri Üzerindeki Etkisi t anında, ikinci elektronun etki alanı, bu anındaki konumunun etkisiyle x () t 1 konumuna erişir. Burada 21 gecikme miktarının sabit olmadığı ve t ye bağlı olarak değiştiği açıktır. Bu durumda aşağıdaki denklem sağlanır. c. x ( t) x ( t )

22 Aynı şekilde birinci elektronun ikinci elektron üzerindeki etkisi göz önüne alındığında benzer bir denklem üretilir. Bu durumda 12, birinci elektronun ikinci elektron üzerindeki etkisini üreten gecikme miktarı ve 21 de ikinci elektronun birinci elektron üzerindeki etkisini üreten gecikme miktarı ise bu takdirde modelleme aşağıdaki gibidir. c. 21( t) x1 ( t) x2( t 21) c. 12( t) x2( t) x1 ( t 12) TOPOLOJİ NEDİR, BİLİM VE TEKNOLOJİYE NASIL UYGULANIR? Topoloji matematiğin tümünde en aktif alanlardan biridir. Geleneksel olarak, topoloji, cebir ve analizin yanı sıra teorik matematiğin üç önemli alanından biri olarak kabul edilmektedir. Topoloji kısa bir süre önce uygulamalı matematiğin önemli bileşenlerinden biri haline gelmiş ve pek çok matematikçi ve bilim adamı gerçek dünyadaki yapıları ve fenomenleri modellendirmek ve anlamak için topoloji kavramlarından faydalanmaya başlamışlardır. Topoloji kelimesi Yunanca bir yer anlamındaki (topus) kelimesinden türetilmiştir. Matematik teki topoloji eskiden yer çalışması olarak tanımlanırdı; diğer adı da analysus situstu. Kelime anlamıyla topoloji pozisyonun veya lokasyonun incelenmesi anlamındadır. Topoloji şekilleri ve bu şekillerin özelliklerini, bunlara uygulanan deformasyonları, bunların arasındaki eşlemeleri ve bunlardan oluşan kompozisyonları inceler. ó

23 Başlangıçta topoloji, Geometrinin branşı olarak kabul edilmiş ve ilerlemesini de bu dalda gerçekleştirilmeye çalışmıştır. Geometride katı cisimler üzerinde çalışılırken topolojide esneyebilen köşesi kesin olmayan şekiller üzerinde yoğunlaşmıştır. Geometride mukayese yapmak için önce iki cismin büyüklüğü göz önüne alınır. Geometride iki cisim eğer yer değiştirme sonucunda aynı kalıyorsa iki cismin denk olduğunu söylenir. Bir cisim; yırtmadan, kesip çıkarma yapmadan eğerek bükerek esneterek veya büzerek bir şekilden diğer şekle dönüştürülüyorsa bu takdirde topolojik olarak bunların denk olduğu ifade edilir. Böylece günümüzden bir örnek verecek olursak evlerimizde kullanılan çamaşır makineleri ve fırınlarda yapılan ekmekler birer topolojik yapılardır. Topoloji genellikle lastik-levha geometrisi olarak tanımlanır. Geleneksel geometride çemberler, üçgenler, düzlemler ve polihedralar gibi nesnelerin sert olduğu ve noktaların arasında iyi tanımlanmış mesafeler ve kenarları veya yüzeyleri arasında iyi tanımlanmış açılar olduğu kabul edilir. Ancak topolojide mesafelerin ve açıların konuyla ilgisi yoktur. Topolojide nesneler deforme olabilen lastikten yapılmış gibi kabul edilir. Nesnelerin eğrilmesine, bükülmesine, esnetilmesine, küçültülmesine veya bir şekilde deforme olmasına müsaade edilir ancak nesnelerin parçalanmasına müsaade edilmez. Şekil1.1 de geometrik açıdan birbirinden çok farklı dört şekilde görülmektedir, ancak topolojide bu dört şekil de birbirine eşdeğer kabul edilir. Lastikten yapılmış olursa bu dört şekilden herhangi biri deformasyonla diğeri haline gelebilir. Şekil4 Bir topolog açısından bu dört nesne denktir

24 Şekil 5 de topolojik açıdan farklı iki nesne (halka ve küre) yer almaktadır. Müsaade edilen topolojik bir şekilde bir küreyi bir halka haline getiremeyiz bu yüzden bu iki nesne topolojik açıdan birbirinin eşdeğeri değildir. Şekil5 Halka ve küre topolojik açıdan denk değildir. Genellikle bir topoloğun bir simit ile bir kahve fincanını birbirinden ayırt edemediği söylenir. Burada söylenmek istenen, topolojide bir kahve fincanının bir simidin şeklinde deforme edilebileceğidir (Bkz. Şekil 6). Bu nesneler topolojik açıdan denktir. Şekil6 Bir kahve fincanı ve bir simit topolojik açıdan denktir.

25 Bu lastik-levha geometrisinin gerçek dünya uygulamalarında nasıl bir işe yarayabileceğini merak edilebilir bir konudur. Buradaki fikir son derece basittir. Genellikle, belli bir durumda, önemli olan özellikler, bir nesneyi sert kabul ettiğimizde muhafaza olan özelliklerin aksine bir nesneyi deforme edilebilir bir nesne olarak kabul ettiğimizde muhafaza edilen özelliklerdir. Bir topolog bir simit ile bir kahve fincanını birbirinden ayırt edemez ancak bir topolog bu şekillerin ortak olan özelliklerini tespit edebilir ve kullanabilir. Şimdi kısaca topolojideki birkaç konuya ve bu konuların bu metinde sunulan uygulamaların bazılarında nasıl bir rol oynadığına bakalım. Topolojik Uzaylar ve Fenotip Uzaylar: Topolojide incelenen nesneler topolojik uzaylar olarak adlandırılır. Bu uzaylar, açık cümleler ile noktalar arasındaki yakınlık kavramının ele alındığı noktalar kümeleridir. Doğru, çember, düzlem, küre, halka ve Mobius şeridi topolojik uzayların örnekleridir (Bkz. Şekil 7). Şekil7 Farklı topolojik uzaylar.

26 Evrimsel biyolojide genotip ve fenotip kavramları önemli kavramlardır. Her canlı organizma, içeriden kodlanmış, kalıtsal bilgilerin (genotip) fiziksel gerçekleşmesidir (fenotip). Bir fenotipten diğerine evrimsel değişim, karşı gelen genotiplerde meydana gelen ve mutasyon adını alan değişikliklerle ortaya çıkar. Bir fenotipin diğerine ne kadar yakın olduğunu ve bir genotip mutasyonunun bir fenotipi bir başka fenotipe dönüştürmesi ihtimalinin ne olduğu sıkça ele alınan problemlerdir. Bir Coğrafi Bilgi Sistemindeki İç Sınır ve Bölge İlişkiler: Bir topoloji uzayında verilen bir küme ile bağlantı kurulan iki önemli küme, o kümenin içi ve sınırıdır. X uzayında bir A kümesi varsa A kümesinin içini A daki yakın noktaların çevrelediği noktalar olarak düşünürüz, A nın sınırını ise hem A nın içindeki noktaları hem de A nın dışındaki noktalar cümlesini düşünürüz. (Bkz. Şekil 1.5). Şekil8 A kümesinin içi ve sınırı

27 Bir coğrafi bilgi sistemi (GIS)(Geographic Information System), coğrafi verileri saklayan ve manipüle eden bir bilgisayar sistemidir. Bir GIS, Planlanan Coltonian Deponisi Alexandria koruma alanı ile çalışmakta mıdır? gibi soruları yanıtlayabilmelidir. Bir GIS in böyle bir soruya yanıt verebilmesi içinde GIS in arazi bölgeleri arasındaki ilişkiler spektrumunu ayırt edebilmesi ve belli bir bölge çiftinin yerine getirdiği belli bir ilişkiyi tespit edecek araçlara sahip olması gereklidir. Örneğin A ve kümelerinin yalnızca sınırları kesişiyorsa bu takdirde A ve B nin birbirine temas ettiğini söyleriz. Şekil 8 de bu ilişki açıkça gösterilmektedir. B AB, den ayrıdır. AB ye, temas eder. AB, ye eşittir. AB, nin içindedir. AB, yi içerir. A ile B çakışır. Şekil9 A ve B kümeleri arasındaki muhtemel ilişkiler

28 MANİFOLDLAR VE KOZMOLOJİ Bir n boyutlu manifold yerel olarak n boyutlu Öklid uzayına benzeyen bir topolojik uzaydır. Örneğin, 1 boyutlu manifold yerel olarak bir doğruyu, 2 boyutlu manifold yerel olarak bir düzlemi ve 3 boyutlu manifold ise yerel olarak 3 boyutlu uzayı andırır ve bu şekilde devam eder. 2 boyutlu manifolda yüzey de denir. Küre ve halka yüzeye örnek olarak verilebilirdir. Bir yüzeydeki her bir nokta topolojik olarak düzlemdeki bir açık kümeye eşdeğer olan bir açık kümenin içindedir (Bkz.Şekil 10). Şekil10 Yerel olarak bir yüzey ve bir düzlem aynı görünürler. Yüzeylerde yaşayanlar, aslında bir düzlemde yaşadıklarını düşünebilirler. Çünkü yerel olarak onların gördükleri düzlemde olmasına rağmen yüzeyde de bulunmalarıdır. (Bu durum, Edwin Abbot un eğlenceli On Dokuzuncu Yüzyıl kitabı Flatland: A Romance of Many Dimension da incelenmiştir). Bununla birlikte, yüzeyde yaşayanlar, dünyalarının özelliklerini incelemiş olsalardı genel şeklini anlayabilir ve bu yüzden bir yüzeyin düzlemden farkını düşünebilirlerdi. Aynı şekilde, yaşadığımız evreni üç boyutlu Öklid uzayı olarak hissetmemiz doğaldır. Çünkü bu evreni yerel olarak bu şekilde algılarız. Kozmologlar, evrenin genel yapısının görünümünün tüm özelliklerini inceleyerek tam şeklini tespit etmeye çalışırlar.

29 DNA Deoksiribonükleik asit (DNA), milyonlarca atomdan meydana gelmiş uzun, ince bir moleküldür. Bu uzun dizi hücrenin çekirdeğinin içine doldurulur ve bu durum 200 kilometrelik dolaşmış bir misinanın bir basket topunun içine doldurulmasına benzer. Temel yaşam süreçlerinin işlemesi için hücrenin biyolojik mekanizmasının DNA molekülüne erişmekte ve bu molekülü manipüle etmekte serbest olması gereklidir. Bu nedenle, hücrenin DNA yı etkin bir şekilde çözme kabiliyeti beka açısından elzemdir. Hücrenin çekirdeğinin içinde enzim adı verilen ve biyolojik araç görevini gören moleküller vardır. Bu enzimlerden bazıları DNA içinde geçiş değişiklikleri yaparak çözülmesine imkân tanırlar. Bir enzim, DNA dizisini kendi üzerinden geçtiği bir yerde keser ve sonra tekrar kendisine bağlar ve bu şekilde karşı türden bir geçiş olur. Son dönemde bulunan ve enzimlerin hareket etmesini engelleyen yeni kemoterapi (kimyasal tedavi) maddeleri kanserli DNA ların kendilerini yeniden yaratmalarını önlemektedir.

30 SABİT NOKTALAR VE EKONOMİ Uzayda kendisine fonksiyon ile eşleştirilmiş belli bir nokta varsa bir topolojik uzayı kendisine eşleştiren bir fonksiyonun sabit bir noktası vardır. Örneğin, Şekil 1.10 daki fonksiyonunun sabit noktasıdır. p noktası, aynı şekilde yer alan f Şekil11 Bir f fonksiyonunun p sabit noktası vardır. Sabit nokta teorisi, topolojinin önemli bir alanıdır ve Bir topolojik uzayı kendisine eşleştiren hangi fonksiyonların sabit bir noktası vardır? ve Hangi topolojik uzaylarda, uzayı kendisine eşleştiren her sürekli fonksiyonun sabit bir noktası vardır? gibi sorulara yanıt arar. Bu alanda en iyi bilinen sonuç Brouwer Sabit Nokta Teoremidir. Bu teorem kapalı bir n boyutlu topun üzerindeki her sürekli fonksiyonun sabit bir noktası olduğunu ileri sürer. Örneğin, birinci boyutta kapalı bir aralıktan kendisine giden her fonksiyonun sabit bir noktası olduğunu, ikinci boyutta bir diskten kendisine giden her sürekli fonksiyonda sabit bir nokta olduğunu söyler ( bkz. Şekil 12).

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ: STATİK. Bölüm 1 Temel Kavramlar ve İlkeler

MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ: STATİK. Bölüm 1 Temel Kavramlar ve İlkeler MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ: STATİK Bölüm 1 Temel Kavramlar ve İlkeler Mekanik Mekanik Rijit-Cisim Mekaniği Şekil değiştiren Cismin Mekaniği Statik Dinamik Dengedeki Cisimler Hareketsiz veya durgun

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga Teorisi Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-2 Dalga Denkleminin Çözümü Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Enine Elektromanyetik Dalgalar Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düzlem Dalgaların Polarizasyonu Dalga Denkleminin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

T.Pappas'ın "Yaşayan Matematik" isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: "Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer.

T.Pappas'ın Yaşayan Matematik isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Matematik ve Müzik T.Pappas'ın "Yaşayan Matematik" isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: "Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık

Detaylı

2018 YGS Konuları. Türkçe Konuları

2018 YGS Konuları. Türkçe Konuları 2018 YGS Konuları Türkçe Konuları 1. Sözcük Anlamı 2. Söz Yorumu 3. Deyim ve Atasözü 4. Cümle Anlamı 5. Cümle Yorumu 6. Paragrafta Anlatım Teknikleri 7. Paragrafta Konu-Ana Düşünce 8. Paragrafta Yapı 9.

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

M.Ö lü yıllarda Mısırlı bir katip yazdığı kitabelerde standart dışı hiyeroglif işaretleri kullandı.

M.Ö lü yıllarda Mısırlı bir katip yazdığı kitabelerde standart dışı hiyeroglif işaretleri kullandı. Kriptoloji, Matematik ve Siber Güvenlik M.Ö. 1900 lü yıllarda Mısırlı bir katip yazdığı kitabelerde standart dışı hiyeroglif işaretleri kullandı. MÖ.60-50 Julius Caesar (MÖ 100-44 ) normal alfabedeki harflerin

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Analitik yollardan çözemediğimiz birçok matematiksel problemi sayısal yöntemlerle bilgisayarlar aracılığı ile çözmeye çalışırız. Bu şekilde Sayısal yöntemler kullanarak

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu. 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar

MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu. 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR

BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR Birbirinden R sabit mesafede bulunan iki parçacığın dönmesini düşünelim. Bu iki parçacık, bir elektron ve proton (bu durumda bir hidrojen atomunu ele alıyoruz) veya iki çekirdek (bu

Detaylı

DENEME SINAVLARI KONU DAĞILIMI MATEMATİK. TURAN GÜNEŞ BUL. NO: 23 ÇANKAYA - ANKARA

DENEME SINAVLARI KONU DAĞILIMI MATEMATİK. TURAN GÜNEŞ BUL. NO: 23 ÇANKAYA - ANKARA MATEMATİK DERSİN ADI : MATEMATİK--9.SINIF 1 Mantık 12 1 2 Kümelerde Temel Kavramlar 10 2 2 3 Kümelerde İşlemler 6 1 1 1 4 Kartezyen Çarpım 4 2 1 1 5 Bağıntı 3 1 6 Fonksiyonlar 6 2 1 1 7 İşlem 3 1 1 1 8

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

GPS Nedir? Nasıl Çalışır?

GPS Nedir? Nasıl Çalışır? GPS Nedir? Nasıl Çalışır? Atalarımız kaybolmamak için çok ekstrem ölçümler kullanmak zorunda kalmışlardır. Anıtlar dikerek yerler işaretlenmiş, zahmetli haritalar çizilmiş ve gökyüzündeki yıldızların yerlerine

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

S. N ala l n n T OP OP A B Ğ Fatih i h A BL B AK K

S. N ala l n n T OP OP A B Ğ Fatih i h A BL B AK K DİJİTAL GÜVENLİK SİSTEMLERİ VE PGP S. Nalan TOPBAĞ nalan@turksis.com Fatih ABLAK fatih@turksis.com ŞİFRELEME VE ALGORİTMALARI Şifreleme : Bir bilginin içeriğini başkalarının anlayamayacağı hale getirilmesidir.

Detaylı

MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK

MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK MATEMATİĞİ SEVİYORUM OKUL ÖNCESİNDE MATEMATİK Matematik,adını duymamış olsalar bile, herkesin yaşamlarına sızmıştır. Yaşamın herhangi bir kesitini alın, matematiğe mutlaka rastlarsınız.ben matematikten

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1. Her gezegen, odak noktalarından birinde Güneş in bulunduğu eliptik yörüngelerde dolanır.

1. Her gezegen, odak noktalarından birinde Güneş in bulunduğu eliptik yörüngelerde dolanır. Kepler Yasaları Kepler, gezegenlerin hareketlerini açıklayan 3 yasayı açıklayarak bir devrim yarattı. Bu yasalar oldukça basit temellere dayanıyordu. Yüzyıllardır süregelen inanışların dayatmalarıyla uydurulmaya

Detaylı

Laboratuvara Giriş. Adnan Menderes Üniversitesi Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü TBT 109 Muavviz Ayvaz (Yrd. Doç. Dr.) 3. Hafta (03.10.

Laboratuvara Giriş. Adnan Menderes Üniversitesi Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü TBT 109 Muavviz Ayvaz (Yrd. Doç. Dr.) 3. Hafta (03.10. ADÜ Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü Laboratuvara Giriş Adnan Menderes Üniversitesi Tarımsal Biyoteknoloji Bölümü TBT 109 Muavviz Ayvaz (Yrd. Doç. Dr.) 3. Hafta (03.10.2013) Derslik B301 1 BİLGİ EDİNME İHTİYACI:

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

17. yy. Dehalar Yüzyılı

17. yy. Dehalar Yüzyılı 17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde

Detaylı

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik I Dersi Final Sınavı

Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik I Dersi Final Sınavı Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Fizik Bölümü Fizik I Dersi Final Sınavı 13 Ocak 2011 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 13:00 Bitiş Saati: 14:20 Toplam Süre: 80 Dakika Lütfen adınızı ve

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler

İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler Buraya dek sınırsız ortamlarda tek başına bulunan antenlerin ışıma alanları incelendi. Anten yakınında bulunan başka bir ışınlayıcı ya da bir yansıtıcı,

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

2. Konum. Bir cismin başlangıç kabul edilen sabit bir noktaya olan uzaklığına konum denir.

2. Konum. Bir cismin başlangıç kabul edilen sabit bir noktaya olan uzaklığına konum denir. HAREKET Bir cismin zamanla çevresindeki diğer cisimlere göre yer değiştirmesine hareket denir. Hareket konumuzu daha iyi anlamamız için öğrenmemiz gereken diğer kavramlar: 1. Yörünge 2. Konum 3. Yer değiştirme

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

TÜRKİYE NİN NÜFUSU. Prof.Dr.rer.nat. D.Ali Ercan ADD Bilim Kurulu Başkanı Nükler Fizik Uzmanı. dn (t) / dt = c. n (t)

TÜRKİYE NİN NÜFUSU. Prof.Dr.rer.nat. D.Ali Ercan ADD Bilim Kurulu Başkanı Nükler Fizik Uzmanı. dn (t) / dt = c. n (t) TÜRKİYE NİN NÜFUSU Prof.Dr.rer.nat. D.Ali Ercan ADD Bilim Kurulu Başkanı Nükler Fizik Uzmanı Nüfus sayımının yapılmadığı son on yıldan bu yana nüfus ve buna bağlı demografik verilerde çelişkili rakamların

Detaylı

Çarpanlar ve Katlar

Çarpanlar ve Katlar 8.1.1. Çarpanlar ve Katlar 8.1.2. Üslü İfadeler 8.1.3. Kareköklü İfadeler 8.2.1. Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler 8.1.1.1 Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 1 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 1 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 1 Çözümler 15 Şubat 2002 Problem 1.1 Kütleçekim ve Elektrostatik kuvvetlerin bağıl şiddetleri. Toz parçacıkları 50 µm çapında ve böylece yarıçapları

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler 22 Şubat 2002 Problem 2.1 İçi boş bir metalik küre içerisindeki bir noktasal yükün elektrik alanı - Gauss Yasası İş Başında Bu problemi

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Açık Anahtarlı Kriptografi ve Uygulamalar

Açık Anahtarlı Kriptografi ve Uygulamalar Uygulamalı Matematik Enstitüsü Kriptografi Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi SEM Seminerleri 29 Ocak 2013 Temel Kavramlar Temel Amaçlar Gizlilik Bilgi istenmeyen kişiler tarafından anlaşılamamalıdır.

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

BİREYSELLEŞMİŞ EĞİTİM PROGRAMI (BEP) FORMU

BİREYSELLEŞMİŞ EĞİTİM PROGRAMI (BEP) FORMU BİREYSELLEŞMİŞ EĞİTİM PROGRAMI (BEP) FORMU ÖĞRENCİNİN ADI-SOYADI: BEP HAZIRLAMA :07.10.2011 BEP Birimi Üyeleri: - ÖĞRENCİNİN ŞU ANKİ PERFORMANS DÜZEYİ:.. öz bakım becerilerini yerine getirir... okuma yazmayı

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK Hazırlayan: Sunan: Muhammed ERKUŞ Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK 20047095 20043193 FİBONACCİ SAYILARI ve ALTIN ORAN Fibonacci Kimdir? Leonardo Fibonacci (1175-1250) Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın

Detaylı

SINIF DERS KONU SORU SAYISI

SINIF DERS KONU SORU SAYISI TÜRKÇE 9. SINIF TEMEL MATEMATİK TOPLAM 0 Tarih Bilimine Giriş 6 İlkçağ Uygarlıkları 8 İslamiyet Öncesi Türk Tarihi 9 Doğa ve İnsan 1 Harita Bilgisi 2 Yerkürenin Şekli ve Hareketleri 3 İklim Bilgisi 3 Yerin

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

Newton un II. yasası. Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un II. yasası. Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Newton un II. yasası Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Bir cisme F A, F B ve F C gibi çok sayıda kuvvet etkiyorsa, net kuvvet bunların

Detaylı

4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise;

4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise; Deney No : M3 Deneyin Adı : EYLEMSİZLİK MOMENTİ VE AÇISAL İVMELENME Deneyin Amacı : Dönme hareketinde eylemsizlik momentinin ne demek olduğunu ve nelere bağlı olduğunu deneysel olarak gözlemlemek. Teorik

Detaylı

Matematiksel Modelleme Etkinlikleri. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr

Matematiksel Modelleme Etkinlikleri. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr Matematiksel Modelleme Etkinlikleri Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr THE BLIND MEN AND THE ELEPHANT John Godfrey Saxe's (1816-1887) Kafdağında Altı adam

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Daha komplike uygulamalar elektronik ticaret, elektronik kimlik belgeleme, güvenli e-posta,

Daha komplike uygulamalar elektronik ticaret, elektronik kimlik belgeleme, güvenli e-posta, Çift Anahtarlı (Asimetrik Şifreleme) Bilgi Güvenliği: Elektronik iletişim, günümüzde kağıt üzerinde yazı yazarak yapılan her türlü iletişimin yerine geçmeye adaydır. Çok uzak olmayan bir gelecekte kişi/kuruluş/toplumların,

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

İnsanlar, tarihin her döneminde olduğu gibi bundan sonra da varlıklarını sürdürmek, haberleşmek, paylaşmak, etkilemek, yönlendirmek, mutlu olmak gibi

İnsanlar, tarihin her döneminde olduğu gibi bundan sonra da varlıklarını sürdürmek, haberleşmek, paylaşmak, etkilemek, yönlendirmek, mutlu olmak gibi İLETİŞİMLETİŞİİŞİM İnsanlar, tarihin her döneminde olduğu gibi bundan sonra da varlıklarını sürdürmek, haberleşmek, paylaşmak, etkilemek, yönlendirmek, mutlu olmak gibi amaçlarla iletişim kurmaya devam

Detaylı

9. SINIF ÜNİTE DEĞERLENDİRME SINAVLARI LİSTESİ / DİL VE ANLATIM

9. SINIF ÜNİTE DEĞERLENDİRME SINAVLARI LİSTESİ / DİL VE ANLATIM SINAVLARI LİSTESİ / DİL VE ANLATIM İletişim Dil - Kültür İlişkisi İnsan, İletişim ve Dil Dillerin Sınıflandırılması Türk Dilinin Tarihi Gelişimi ve Türkiye Türkçesi Türkçenin Ses Özellikleri Telaffuz (Söyleyiş)

Detaylı

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ 10.12.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 03) KONU DAĞILIMLARI

9. SINIF. NET ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME MERKEZİ 10.12.2009 TARİHLİ GENEL DEĞERLENDİRME SINAVI - 03 (GDS - 03) KONU DAĞILIMLARI Paragraf 4 Sözcükte Anlam 3 Edebi Türler 1 Noktalama 2 Dillerin Sınıflandırılması 1 Şiir Bilgisi 9 İletişim 1 Dilin İşlevleri 2 Ses Olayları 1 Dil Dışı Göstergeler 1 TÜRKÇE Yazım Kuralları 2 Dil ve Kültür

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

MEKATRONİĞİN TEMELLERİ HAREKET

MEKATRONİĞİN TEMELLERİ HAREKET MEKATRONİĞİN TEMELLERİ HAREKET Bir Doğru Boyunca Hareket Konum ve Yer-değiştirme Ortalama Hız Ortalama Sürat Anlık Hız Ortalama ve Anlık İvme Bir Doğru Boyunca Hareket Kinematik, cisimlerin hareketini

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

Fizik 101: Ders 23 Gündem

Fizik 101: Ders 23 Gündem Fizik 101: Ders 3 Gündem Basit Harmonik Hereket Yatay yay ve kütle Sinus ve cosinus lerin anlamı Düşey yay ve kütle Enerji yaklaşımı Basit sarkaç Çubuk sarkaç Basit Harmonik Hareket (BHH) Ucunda bir kütle

Detaylı

Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı

Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı Elastik malzemelerde gerilim, gerilimin deformasyon hızı ile bağlantılı olduğu ağdalı (viskoz) malzemelerin aksine, deformasyonla çizgisel olarak bağlantılıdır.

Detaylı