KONU 13: GENEL UYGULAMA

Transkript

1 KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı için saat boama ve kg parlatıcıa gereksinim vardır. Bir fincan üretimi için ise,.5 saat boama, 0.5 saat soğutma ve kg parlatıcı kullanılmaktadır. Şirketin alık elverişli kanakları 750 saat boama zamanı, 200 saat soğutma kapasitesi ve 600 kg parlatıcıdır. Bir cezve satışından şirketin karı L ve bir fincan sağlanan kar ise, 4 L dir. Yönetici karını en büükleecek biçimde alık üreteceği cezve ve fincan saısını belirlemek istemektedir. Buna göre, a. anımlanan problemin d.p.p. biçiminde matematiksel modelini oluşturunuz. b. Problemin en ii çözümünü grafiksel öntem ile elde ediniz. c. Simpleks tablodan ararlanarak problem için optimal çözüm değerini belirleiniz. d. Oluşturduğunuz primal modelin dualini alınız e. Dual modelin en ii çözüm değerini simpleks tablo ile elde ediniz. Dual değişkenlerin sizce ekonomik orumu ne olur? f. Primal modelin en ii çözüm değeri ile dual modelin en ii çözüm değeri arasındaki ilişkii açıklaınız. g. Primal modeldeki ikinci kısıtın marjinal değeri nedir? h. erilen d.p.p. için MALAB programını kullanarak primal ve dual modellerin en ii çözüm değerlerini elde ediniz. Çözüm: a. X : Alık üretilecek cezve saısı (adet) X 2 : Alık üretilecek fincan saısı (adet) P : max Z X 4X X.5X XX2 600 X, X 0

2 b. P : max Z X4X2 X.5X () (2) XX () X, X 0 Kısıt : Kısıt 2: Kısıt : X X.5X 750 X 0.5X 200 X 400 X 2 2 X X 600 X 0, X , X 0 0, X , X 0 u.ç.a. ablo. Primal problemin uç nokta ve çözüm değerleri Uç nokta Değişken vektörü değeri Amaç fonksion değeri A (0,0) 0 B (600,0) 800 C (00,00) 200 D (50,400) 2050 E (0, 400) 600 Grafik. Primal problemin ugun çözüm alanı (u.ç.a.) Grafiksel öntem ile elde edilen sonuçlara göre, verilen primal d.p.p. nin optimal çözüm vektörü Grafik deki C noktası olup, X ve amaç fonksion değeri Z = 200 dür. Buna göre, kahve üretimi apan şirketin 200 L lik kar ile alık üreteceği cezve ve fincan saıları 00 er adettir. c. erilen primal problem standart hale getirilir. 2

3 P : max Z X 4X 0X 0X 0X X.5X2 X 750 X4 200 X X2 X5 600 X, X ; A , 750 b ablo-i X X X Z olmalı ablo-ii X X X Z olmalı ablo-iii X X X Z olmalı ablo-i X X X Z sağlandı Optimal çözüm değerleri X ve amaç fonksion değeri Z = 200 dür.

4 d. e. D : min Z ,, 0 D : min Z , i,2,...,5 i A , b 4 Dual modelin standartlaştırılması ile elde edilen standart haldeki dual modelde A katsaılar matrisinde B temeli için birim matris olmadığından, Charnes in M öntemi kullanılarak birim matris oluşturacak biçimde dual modelin kısıt fonksionlarına apa değişkenler eklenir. D: min Z Mq Mq 4 q q2 4 i 0, i,2,...,5 q, q A ablo-i M M q M X B q q M q Z 7M 2.5M M-200 2M-600 -M -M olmalı ablo-ii M q M X B q / 0 -/ / -/ 750 8/ / 2/ 0-2/ 0 ZM/ M/+50 M/-00 -M 2M/ olmalı 4

5 ablo-iii Z sağlandı ablo III e göre primal ugunluk ve dual ugunluk sağlandı. Buna göre, dual değişken değerleri ve dual amaç fonksion değeri sırasıla 2 0 ve Z 200 olarak elde edilir. 2. kısıtın sağ an değerinde apılacak bir birimlik değişim amaç fonksionunu 2 birim etkiler. ( b deki birimlik artış, Z değerini 2 birim artırır. b deki birimlik azalma, Z değerini 2 birim azaltır.) P : max Z X 4X X.5X XX2 600 X, X X 02, Z 202 P : max Z X 4X X.5X XX2 600 X, X 0 02 X 298, Z kısıtın sağ an değerinde apılacak bir birimlik değişim amaç fonksionunu etkilemez.. kısıtın sağ an değerinde apılacak bir birimlik değişim amaç fonksionunu birim etkiler. Arıca, dual modelin en ii çözümü dual simpleks öntem ile de elde edilebilir. Bunun için, (d) seçeneğinde tanımlı dual model 5

6 D : min Z ,, 0 biçiminde tanımlanır. Dual modelin standartlaştırılması ile D : min Z , i,2,...,5 i modeline ulaşılır. 0 0 A , b 4 ablo-i Z sağlandı ablo-i Z sağlandı ablo-iii Z sağlandı Optimal tablo C B Z sağlandı 6

7 f. Primal modelin optimal simpleks tablosunda, modeli standart hale getirmek için kullanılan değişkenlerin Zj cj değerleri, dual modelin temel değişkenlerinin optimal çözüm değeridir. Dual modelin optimal simpleks tablosunda, modeli standart hale getirmek için kullanılan değişkenlerin Zj cj değerlerinin ters işaretli değerleri, primal modelin temel değişkenlerinin optimal çözüm değeridir. Amaç fonksionun optimal değerleri primal ve dual modeller için anı olup, Z 200 dür. Primal modelin optimal simpleks tablosu X B X X X Z sağlandı Dual modelin optimal simpleks tablosu X B z sağlandı g. Primal modeldeki 2. kısıtın marjinal değeri, ikinci kısıtın sağ an değerinin bir birim artırılması ile elde edilen modelde amaç fonksionunun eni bulunan değeri ile orijinal problemdeki optimal değeri arasındaki fark olarak tanımlanır. İkinci kısıtın sağ an değeri b2 200 erine 20 olduğunda, Grafik de gösterilen D ve E uç noktalarının eni değerlerini belirlemek için () ve (2) numaralı kısıtların kesişim noktasının değerinin bulunması gerekir. Buna göre, D noktasının eni değeri D = (47, 402) olup, Z D = 2049 olarak bulunur. Buradan, ikinci kısıtın marjinal değeri Z D - Z D = = - olur. Buna göre, ikinci kısıtın sağ an değeri birim artırılırsa, amaç fonksion değeri birim azalır. 7

8 h. P : max Z X 4X X.5X XX2 600 X, X 0 Burada, fval (amaç fonksion değeri) negatif işaretli olarak bulunmuştur. Çünkü, MALAB da verilen bir d.p.p. minimizason problemi biçiminde çözümlendiğinden, optimizasonda max F = min (-F) ilişkisi gereği amaç fonksionu katsaıları primal problem maksimum türünde olduğu için f vektöründe eksi işaretli olarak X ve tanımlanmıştır. Buna göre, elde edilen hesaplama sonuçlarından Z = 200 değerlerine ulaşıldığı görülür. Benzer olarak dual model için de D : min Z ,, ve Z 200 olur. sonuçlarına ulaşılır. Buna göre, 8