Doç. Dr. A. Kürflat ERBAfi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Doç. Dr. A. Kürflat ERBAfi"

Transkript

1 Nesibe AYDIN Doç. Dr. A. Kürflt EBAfi Bu kitp, Milli E itim Bkl, Tlim ve Terbiye Kurulu Bflkl..9 trih ve 8 sy l Kurul krr yl, - ö retim y l d itibre (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir. AYDIN YAYINCILIK VE E T M H ZMETLE Nfi. T C VE AN. A. fi. Hym Yolu. km. Krfl yk Mh. 77. k. Nu.: Gölbfl / ANKAA tlf.:. 8 belgeç: ertifik Nu.: 67

2 Bu kitb her hkk skl d r ve AYDIN YAYINCILIK ANON M fi KET NE ittir. Kitb düzei, meti, soru ve flekilleri k sme de ols hiçbir flekilde l p yy mlmz. IBN ED TÖ Betül B BEO LU POGAM GEL fit ME UZMANI Burcu A CA D L UZMANI uz Gülgü TÜK GÖEL TAAIM UZMANI Bor ENGE ÖLÇME DE ELEND ME UZMANI Hüseyi fi N EHBEL K VE P KOLOJ K DANIfiMANLIK UZMANI Hk GÜLLE BAKI YE VE YILI Akr, BAKI, C LT Özgü Mtbc l k. ve Tic. A.fi. Akr-Poltl Devlet Kryolu. km. Özgü Grup sitesi, Temelli Beldesi/Poltl -ANKAA Tel: () 6 9 (Pb) Belgeç: () II

3 T KLÂL MAfiI Korkm, sömez bu flfklrd yüze l sck; ömede yurdumu üstüde tüte e so ock. O beim milletimi y ld z d r, prlyck; O beimdir, o beim milletimidir ck. Çtm, kurb oly m, çehrei ey zl hilâl! Khrm rk m bir gül! Ne bu fliddet, bu celâl? olmz döküle klr m z sor helâl... Hkk d r, Hkk' tp, milletimi istiklâl! Be ezelde beridir hür yfld m, hür yflr m. Hgi ç lg b zicir vurckm fl? fiflr m! Kükremifl sel gibiyim, bedimi çi er, flr m. Y rtr m d lr, egilere s mm, tflr m. Grb âfâk srm fls çelik z rhl duvr, Beim im dolu gö süm gibi serhddim vr. Ulusu, korkm! Ns l böyle bir im bo r, Medeiyet! dedi i tek difli klm fl cvr? Arkdfl! Yurdum lçklr u rtm, sk. iper et gövdei, dursu bu hyâs zc k. Do ckt r s v'detti i güler Hkk'... Kim bilir, belki yr, belki yr d d yk. Bst yerleri toprk! diyerek geçme, t : Düflü lt dki bilerce kefesiz yt. e flehit o lusu, icitme, yz kt r, t : Verme, düylr ls d, bu ceet vt. Kim bu ceet vt u ru olmz ki fedâ? fiühedâ f flk rck topr s ks, flühedâ! Câ, cââ, bütü vr m ls d Hud, Etmesi tek vt md bei düyd cüdâ. uhumu sede, lâhi, fludur ck emeli: De mesi mbedimi gö süe âmhrem eli. Bu ezlr -ki flehdetleri dii temeli- Ebedî yurdumu üstüde beim ilemeli. O zm vecd ile bi secde eder -vrs- tfl m, Her cerîhmd, lâhi, bofl p kl yfl m, F flk r r ruh- mücerred gibi yerde â'fl m; O zm yükselerek rfl de er belki bfl m. Dlgl se de flfklr gibi ey fll hilâl! Olsu rt k döküle klr m hepsi helâl. Ebediye s yok, rk m yok izmihlâl: Hkk d r, hür yflm fl, byr m hürriyet; Hkk d r, Hkk' tp, milletimi istiklâl! Mehmet Âkif EOY III

4 ATATÜK'ÜN GENÇL E H TABE Ey Türk geçli i! Birici vzife, Türk istiklâlii, Türk cumhuriyetii, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudiyetii ve istikblii yegâe temeli budur. Bu temel, sei, e k ymetli hziedir. stikblde dhi, sei, bu hziede, mhrum etmek isteyecek, dhilî ve hricî, bedhhlr olckt r. Bir gü, istiklâl ve cumhuriyeti müdf mecburiyetie düflerse, vzifeye t lmk içi, içide buluc vziyeti imkâ ve fleritii düflümeyeceksi! Bu imkâ ve flerit, çok âmüsit bir mhiyette tezhür edebilir. stiklâl ve cumhuriyetie kstedecek düflmlr, bütü düyd emsli görülmemifl bir glibiyeti mümessili olbilirler. Cebre ve hile ile ziz vt, bütü kleleri zpt edilmifl, bütü terselerie girilmifl, bütü ordulr d t lm fl ve memleketi her köflesi bilfiil iflgl edilmifl olbilir. Bütü bu fleritte dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketi dhilide, iktidr ship ollr gflet ve dlâlet ve httâ h yet içide bulubilirler. Httâ bu iktidr shipleri flhsî meftlerii, müstevlileri siysî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içide hrp ve bîtp düflmüfl olbilir. Ey Türk istikblii evlâd! flte, bu hvl ve flerit içide dhi, vzife; Türk istiklâl ve cumhuriyetii kurtrmkt r! Muhtç oldu u kudret, dmrlr dki sîl kd, mevcuttur! IV

5 Mustf Keml ATATÜK V

6 Ç NDEK LE. BÖLÜM KAMAfiIK AYILA Proje KAMAfiIK AYILA Gerçek y lr Kümesii Nede Geiflletmeliyiz? l Birim ve l Birimi Kuvvetleri Krmfl k y lr Kümesi ki Krmfl k y Eflitli i Krmfl k y lr Geometrik Gösterimi Bir Krmfl k y Efllei i Krmfl k y Modülü Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri.... Krmfl k y lrd Toplm fllemii Özellikleri..... Krmfl k y lrd Çrpm fllemi Krmfl k y lrd Çrpm fllemii Özellikleri Krmfl k y lrd Bölme fllemi Eflleik ile lgili Özellikler Modül ile lgili Özellikler kici Derecede Bir Bilimeyeli Deklemleri Krmfl k y Kökleri ki Krmfl k y Ars dki Uzkl k Al flt rmlr KAMAfiIK AYILAIN KUTUPAL B Ç M Kutupsl Koorditlr Krtezye Koorditlr ile Kutupsl Koorditlr Ars dki B t lr Krmfl k y lr Kutupsl Gösterimi Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Çrpm ve Bölme fllemleri Bir Krmfl k y Oriji Etrf d Pozitif Yöde α Aç s Kdr Dödürülmesi Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lr Kuvvetii Alm Bir Krmfl k y Kökleri Bir Krmfl k y Krekökleri Bir Krmfl k y Küp Kökleri Bir Krmfl k y. Derecede Kökleri Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME BÖLÜM LOGA TMA Proje ÜTEL FONK YON VE LOGA TMA FONK YONU Üstel Foksiyo Logritm Foksiyou Üstel ve Logritmik Foksiyolr Grfikleri f : +, f() Foksiyouu Grfi i f : +, f() log Foksiyouu Grfi i Oluk Logritm Foksiyou Do l Logritm Foksiyou Logritm Foksiyouu Özellikleri Tb De ifltirme Oluk Logritmyl lgili Bz Özellikler Al flt rmlr ÜLÜ VE LOGA TMALI DENKLEMLE VE Efi T ZL KLE Üslü Deklemler Logritml Deklemler Üslü Eflitsizlikler Logritml Eflitsizlikler Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME O Tb Göre Logritm Cetveli BÖLÜM PEMÜTAYON, KOMB NAYON, OLAILIK VE TAT T K Proje PEMÜTAYON ym Yötemleri Fktöriyel Permütsyo Eleml Bir Kümei r li Permütsyolr Döel (Diresel Permütsyo) Tekrrl Permütsyo Al flt rmlr KOMB NAYON Eleml Bir Kümei r li Kombisyolr Al flt rmlr B NOM AÇILIMI Al flt rmlr OLAILIK Deey, Ç kt, Öreklem Nokt ve Öreklem Uzy.... Oly, mkâs z Oly ve Kesi Oly Ayr k Oly Ols l k Foksiyou Efl Ols l (Olumlu) Öreklem Uzy Koflullu Ols l k B ms z ve B ml Olylr Al flt rmlr VI

7 TAT T K erpilme Grfi i Kutu Grfi i Verileri Grfiksel Gösterimi Merkezî E ilim ve Yy l m Ölçüleri tdrt Pu Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME BÖLÜM TÜMEVAIM VE D Z LE Proje TÜMEVAIM Al flt rmlr TOPLAM VE ÇAPIM EMBOLÜ Toplm (Σ) embolü Toplm embolüü Kull m ile lgili Özellikler Çrp m (Π) embolü Çrp m embolüü Kull m ile lgili Özellikler Al flt rmlr D Z LE olu Dizi bit Dizi ki Dizii Eflitli i Dizilerde fllemler Art ve Azl Diziler Al flt rmlr A TMET K VE GEOMET K D Z LE Aritmetik Dizi Aritmetik Dizii Geel Terimii, lk Terimi ve Ortk Frk Türüde Bulm Aritmetik Dizii Özellikleri Geometrik Dizi Geometrik Dizii Geel Terimii, lk Terimi ve Ortk Çrp Türüde Bulm Geometrik Dizii Özellikleri Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME BÖLÜM MAT, DETEM NANT VE DO UAL DENKLEM TEMLE Proje MAT LE Mtris Mtris Çeflitleri ki Mtrisi Eflitli i Mtrislerde Toplm ve Ç krm fllemi Mtrislerde Toplm fllemii Özellikleri Bir Mtrisi Bir Gerçek y ile Çrp m Bir Mtrisi Bir Gerçek y ile Çrp m Özellikleri Mtrislerde Çrpm fllemi Mtrislerde Çrpm fllemii Özellikleri Kre Mtrisleri Kuvvetleri Bir Mtrisi Çrpm fllemie Göre Tersi Mtrisleri Çrpm fllemie Göre Terslerii Özellikleri Mtrislerde Devrik (Trspoz) fllemi Mtrislerde Devrik (Trspoz) fllemii Özellikleri Al flt rmlr DO UAL DENKLEM TEMLE Do rusl (Lieer) Deklem istemleri Bir Do rusl Deklem istemii Mtrisle Gösterimi Al flt rmlr DETEM NANTLA ve Türüdeki Mtrisleri Determit....6 Miör ve Kofktör Kvrmlr Türüdeki Bir Mtrisi Determit Determit Özellikleri rrus (rus) Yötemi Ek (Adjoit) Mtris Al flt rmlr DO UAL DENKLEM TEMLE Do rusl Deklem istemlerii Ters Mtris Kullrk Çözme Crmer (K rmer) Kurl Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME CEVAP ANAHTAI ÖZLÜK KAYNAKÇA Mtemtik Dersie Krfl Tutum Ölçe i Proje De erledirme Formu Öz De erledirme Formu VII

8 C Gerçek sy lr Krmfl k sy lr i l birim (i ) z z krmfl k sy s efllei i z cisα α β θ z krmfl k sy s modülü cosα + isiα Alf iflreti Bet iflreti Tet Yklfl k olrk eflit ~ Bezerlik iflreti º Yklfl kl k iflreti log l e tbl logritm foksiyou e tbl logritm foksiyou Euler (Oyl) sy s! fktöriyel P(, r) C(, r) E A i r li permütsyou i r li kombisyou E öreklem uzy tüm lt kümelerii kümesi EMBOLLE P(A B) z T A B koflullu ols l z pu T pu Aritmetik ortlm Σ Toplm sembolü Π Çrp m sembolü ( ) ( ) dizisi [ ij ] m m türüde bir mtris O m I A T, A d A [A B] m türüde s f r mtrisi. derecede birim mtris A mtrisii devri i (trspozu) A mtrisii tersi Bir do rusl deklem sistemii geiflletilmifl mtrisi A A mtrisii determit Bir mtristeki ij. elem miörü M ij A ij Ek(A) K TABIMIZI TANIYALIM Bir mtristeki ij. elem kofktörü A mtrisii ek mtrisi Ç NDEK LE. BÖLÜM Üstel Foksiyo KAMAfiIK AYILA Logritm Foksiyou Proje Üstel ve Logritmik Foksiyolr Grfikleri KAMAfiIK AYILA f : +, f() Foksiyouu Grfi i Gerçek y lr Kümesii Nede Geiflletmeliyiz? f : +, f() log Foksiyouu Grfi i l Birim ve l Birimi Kuvvetleri Oluk Logritm Foksiyou Krmfl k y lr Kümesi Do l Logritm Foksiyou ki Krmfl k y Eflitli i Logritm Foksiyouu Özellikleri Krmfl k y lr Geometrik Gösterimi Tb De ifltirme Bir Krmfl k y Efllei i Oluk Logritmyl lgili Bz Özellikler Al flt rmlr Krmfl k y Modülü ÜLÜ VE LOGA TMALI DENKLEMLE VE Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri.... Efi T ZL KLE Krmfl k y lrd Toplm fllemii Özellikleri..... Üslü Deklemler Krmfl k y lrd Çrpm fllemi Logritml Deklemler Krmfl k y lrd Çrpm fllemii Özellikleri Üslü Eflitsizlikler Krmfl k y lrd Bölme fllemi Logritml Eflitsizlikler Eflleik ile lgili Özellikler Al flt rmlr Modül ile lgili Özellikler ÇÖZÜMLÜ TET kici Derecede Bir Bilimeyeli Deklemleri DE ELEND ME Krmfl k y Kökleri DE ELEND ME ki Krmfl k y Ars dki Uzkl k O Tb Göre Logritm Cetveli Al flt rmlr KAMAfiIK AYILAIN KUTUPAL B Ç M BÖLÜM Kutupsl Koorditlr PEMÜTAYON, KOMB NAYON, OLAILIK VE Krtezye Koorditlr ile Kutupsl Koorditlr TAT T K Ars dki B t lr Proje Krmfl k y lr Kutupsl Gösterimi PEMÜTAYON Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd ym Yötemleri Toplm ve Ç krm fllemleri Fktöriyel Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Permütsyo Çrpm ve Bölme fllemleri Eleml Bir Kümei r li Permütsyolr Bir Krmfl k y Oriji Etrf d Pozitif Yöde Döel (Diresel Permütsyo) α Aç s Kdr Dödürülmesi Tekrrl Permütsyo Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lr Al flt rmlr Kuvvetii Alm KOMB NAYON Bir Krmfl k y Kökleri Eleml Bir Kümei r li Kombisyolr Bir Krmfl k y Krekökleri Al flt rmlr Bir Krmfl k y Küp Kökleri B NOM AÇILIMI Bir Krmfl k y. Derecede Kökleri Al flt rmlr Al flt rmlr OLAILIK ÇÖZÜMLÜ TET Deey, Ç kt, Öreklem Nokt ve Öreklem Uzy.... DE ELEND ME Oly, mkâs z Oly ve Kesi Oly DE ELEND ME Ayr k Oly BÖLÜM Ols l k Foksiyou LOGA TMA Efl Ols l (Olumlu) Öreklem Uzy Proje Koflullu Ols l k ÜTEL FONK YON VE LOGA TMA B ms z ve B ml Olylr FONK YONU Al flt rmlr VI Bir müzik grubuu mejeri, geçmifl koserleri gelirlerie dyrk bir koserde elde edilecek thmiî geliri, bir bileti st fl fiyt TL olmk üzere G() foksiyou ile modelleyebilece ii keflfetmifl. Bu göre;. Bir koserde elde edilecek geliri 6 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? b. Bir koserde elde edilebilecek gelir e çok kç TL olbilir? c. Bir koserde elde edilecek geliri 8 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? ç. ve c seçeekleride krfl lflt z durumlr elerdir? ki durum rs dki frk edeii ç kly z. l Birim ve l Birimi Kuvvetleri Gerçek sy lrd kökü olmy ikici derecede deklemlere örek veriiz. Bu deklemleri köklerii gerçek sy lrd ede olmd l birim (i sy s ) ç kly z. Ns l bir sy kümesi t mlm fl olsyd bu tür deklemleri kökleri l birimi kuvvetleri bulubilirdi? Aç kly z. i Afl d yp l ifllemleri iceleyiiz.. -.( - ) b. ] g ] g c. ç. ] g ve -6 sy lr içi yp z.,, Yukr dki ifllemleri bezerlerii - yerie i yzrk ilk iki d md verile sy lr i ciside yz z. Afl dki eflitlikleri s l yz ld iceleyiiz. ^ h i i. i i - -. dir. b. i i. ] g - - dir. Yukr dkie bezer flekilde i sy s fl dki kuvvetlerii hesplyrk Tblo. i dolduruuz. Tblo. i i i i i i i 6 i 7 i 8 i 9 i i i... i Tblo. de ç krd z gözlem ve souçlr ç kly z. Örek + deklemii köklerii bull m: - i diyelim i buluur. bu sy y - sy s, sl (imjier) sy birimi diyece iz ve - i fleklide ifde edece iz.. Bölüm Krmflık yılr i Bu göre z ( + i) ifdesii e büyük de eri, z okts çembere z + i C(, ) e uzu uzkl d r. z okts çembere e uzu uzkl AC oldu ud, AC AO + OC r + z buluur. Peki, çember üzerideki hgi okt z okts e yk uzkl ktd r? B Bu göre siz de z içi z ( + i) ifdesii e küçük de erii buluuz. O A. Krmfl k düzlemde z i ve z i krmfl k sy lr rs dki uzkl k kç birimdir? - -. z + iy olmk üzere fl dki kümeleri ifde ede grfikleri krmfl k düzlemde çiziiz.. {z : e(z), z C} b. {z : m(z) <, z C} c. {z : e(z) + m(z), z C} ç. {z : z, z C} d. {z : z i, z C} e. {z : z + <, z C} f. {z : z + i, z C} g. {z : z + i, z C}. {z : < z, z C}. P() poliomu veriliyor. Bu göre P( i) fl dkilerde hgisidir? A) i B) + i C) i D) E) 9. i + i + i i 8 toplm kçt r? ( pucu: i + i + i + i oldu uu gösteriiz.). Afl dki krmfl k sy lr her birii + bi fleklide yz z.. i + i i 7 + i b. i + i i c. i + i 7 + i i 6 ç. i. ( i ) + i. ( + i + i ). Üç bileflei oldu u prlel b l bir AC devreside empedslr + i ohm, + i ohm ve + i ohm ise efl de er empeds edir?. Afl dki eflitlikleri gerçekleye z krmfl k sy lr buluuz.. z + iz i b. z z + i c. i z z i 6. Afl d kökleride biri verile ikici derecede gerçek kt sy l deklemleri buluuz.. i b. + i c. i ç. + i 7. Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. kici derecede gerçek kt sy l bir deklemi kökleride biri i ise di eri... dir. b., y,, y, r içi + yi ( + y i) r eflitli i... ol bir... belirtir. c. kici derecede bir bilimeyeli bir deklem içi Δ < ise bu deklemi... kümeside kökü yokke... kümeside kökü vrd r. 8. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. + (i ) i b. + ( i) i 9. z + ise e _ z -i kçt r? ] - i g ] + i g. z z ve z ( + i) ise z krmfl k sy s buluuz. ] + ig^ + i 6h. eflitli ii s ly + sy s buluuz. - i. Afl dki kümelere krfl l k gele bölgeleri, krmfl k düzlemde gösteriiz.. {z : z i, z C} b. {z : z + i, z C} c. {z : < z <, z C} c. {z : z < ve m(z), z C} ç. {z : z < ve e(z), z C}. z+i eflitli ii s ly krmfl k sy lrd modülü e küçük ve e büyük ollr buluuz. 8. Bölüm Krmflık yılr Ortö retim Mtemtik. f Progrm hftl k stlik ve stlik dersler içi yr yr hz rlm flt r. Bu kitpt hftl k stlik progrm koulr içere bfll klr Ç NDEK LE k sm d ve üsh içideki bfll klrd rekli fo ile, syf ylr d d y rek fleritlerle belirtilmifltir. Ayr c stlik progrm koulr yl ilgili sorulr Al flt rm, Çözümlü Test ve De erledirme bölümleride de rekli fol gösterilmifltir. VIII

9 lgili koud eler ö reece iizi gösterir. lgili koud kull lck sembolleri gösterir. fllee kouyl ilgili trihsel bilgileri içerir. fllee kouyl ilgili, merk z uyd rck, zm zm rflt rm ypm z gerektirecek bilgileri içerir. Birlikte çözece imiz, kouyu pekifltirecek sorulr içerir. Kou soud ö redikleriizi pekifltirmeizi s lyck sorulr içerir. Kouyl ilgili ö redikleriizi uygulybilece iiz sorulr içerir. Düşüce Kutusu fllee kouyl ilgili rkdfllr zl trt - flrk cevplm z gerektirecek düflüdürücü sorulr içerir. Kouyl ilgili ö redikleriizi pekifltirece iiz, cevpld kt sor çözümlerie bkrk kediizi de erledirebilece iiz sorulr içerir. Zm do ru kullm z, ö redikleriizi ve mtemtiksel becerileriizi s m z s lyck bölüm sou çl flmlr içerir. Kou iflleiflide dikkt çeke souçlr içerir. Verile kouyl ilgili rflt rmlr z ve çl flmlr z somutlflt rrk subilece- iiz projeleri içerir. Ypt z her projede sor,. syfdki Proje De erledirme Formu u doldurmy uutmy z. Tek bfl z vey grup hâlide çl flrk ypbilece iiz, keflferedek ö remeizi s lyck etkilikleri içerir. Kou iflleiflide sizde yp lms isteeleri gösterir. Kou iflleiflideki yei kvrm, t m, sembol ve htr bilgilerle dikkt edilmesi gereke ç klmlr içerir. flleecek kouy merk z rt rck bilgi ve sorulr içerir. Tekoloji imgeleri Kitpt, zm zm tekoloji simgeleri ile krfl lflcks z. Bu simgeleri gördü üüz yerlerde fl d belirtile tekolojik rç ve/ vey yz l mlr kullm z öerilmektedir. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir bilimsel hesp mkiesi kullm z öerilmektedir. Bilimsel hesp mkieleri, sy sl hesplr yp lms yrd m ede tfl bilir cihzlr verile geel isimdir. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir grfiksel hesp mkiesi kullm z öerilmektedir. Grfiksel hesp mkieleri, mtemtiksel foksiyolr grfiklerii çizme ve liz etme kpsitesie ship özel bilimsel hesp mkielerie verile geel isimdir. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir elektroik tblo ( hesp çizelgesi) yz l m kullm z öerilmektedir. Elektroik tblo yz l mlr, sy sl verileri st r ve sütulr hâlide ( tblo formt d) girilmesii; tblou gözelerii toplm, ç krm, çrpm, bölme ifllemleri ve di er birçok mtemtiksel formüller ve foksiyolr kull lrk iliflkiledirilmesii s lr. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir dimik geometri yz l m kullm z öerilmektedir. Dimik geometri yz l mlr, geometrik flekil ve cisimleri oluflturm y s r, litik geometri ile iliflkili koulrd d ( öre- i, foksiyolr grfiklerii çizmede) kull lmktd r.. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir Bilgisyr Cebir istemleri (BC) yz l m kullm z öerilmektedir. BC; sy sl ifllemleri y s r poliomlr çrp m, sdelefltirilmesi, deklem çözümleri gibi sembolik mtemtiksel ifllemleri ypbile yz l mlr verile geel isimdir. Not:. bölümü bfl d ve. bölümü soud, 8. syfdki Mtemtik Dersie Krfl Tutum Ölçe i i, her bölüm içi verile projeyi ypt kt sor syf 8 deki Proje De erledirme Formu u ve her bölümü soud, 9. syfdki Öz De- erledirme Formu u doldurmy uutmy z. IX

10 De erli ö reciler ve ö retmeler, Bu kitp, yei ortö retim progrm do rultusud yp ld rmc ö reme yklfl m uygu olrk hz rlm flt r. Klsik ö reme yklfl m d ö retim, ilgili mtemtiksel kvrm t m verilmesi, kvrml ilgili teoremleri suulms ve isptlms, rd d d bu teoremlerle ilgili uygulmlr yp lms ve testleri çözülmesi fleklide yp lmktyd. Ö retmei merkeze l bu yklfl m, ö recileri belli kurllr ezberleyerek bu kurllr dyl sembollerle ifllem ypmy tercih etmesie sebep olmktyd. Bu durum ise ezberci ve s k c bir ö retime ve ezberlee bilgileri kl c olmms ede olmktyd. Yp ld rmc ö reme yklfl m d ise ö reme sürecii merkezide ö reci buluur. Ö recileri ö reme sürecie ktif olrk kt lmlr bekleir. Bu yklfl md, ö reci vr ol bir problem üzerideki mtemtiksel kvrmlr keflfederek ö reir ve keflfetti i souçlr do rultusud hipotez kurup iceleme ve rflt rm flmlr soucud hipotezii do rulyrk geelleme ypr. Ard d d kz mlr mtemtikteki di er koulrl, bflk derslerle ve gülük hytl iliflkiledirir. Bu süreçte, ö reci keflfederek lg - ld bilgiyi zihide yp ld r r ve bu d ö reileleri kl c olms s lr. E itimde kull l çeflitli yötemler; lt m, soru cevp, bulufl yoluyl ö reme, gezi-gözlem-iceleme, gösterip ypt rm, örek oly iceleme, problem çözme, proje çl flms, rol oym, ifl birli ie dyl ö reme vb.dir. Kitpt, bu vb. yötem ve tekikler kull lrk ö recileri somut model ve eselerle, grup çl flmlr içide rkdfllr yl ve çevreleriyle etkileflim içide kedi fikirlerii oluflturmlr hedeflemifltir. Bu flekilde ö recileri derse krfl motivsyolr d rtc düflüülmüfltür. Bu kitpt, yp ld rmc ö reme yklfl m uygu olrk klsik ö reme yklfl m d oldu u gibi ö recileri ifllemsel becerilerii gelifltirilmeside çok mtemtiksel kvrmlr ve bulr iliflkiledirilmesii gelifltirilmesi mçlm flt r. oyut itelikli ol mtemtiksel kou ve kvrmlr ö reciler trf d lg lms kolylflt r lms içi somut hyt modelleri kull lm fl ve ö recileri soyutlm ypbilmelerie yrd mc olums mçlm flt r. Kitpt; ö recileri problem çözme, iletiflim kurm, k l yürütme ve iliflkiledirme gibi becerilerii geliflmesie yöelik etkilikler bulumktd r. Bu etkiliklerle ö recileri sdece mtemtiksel kvrm ve biliflsel dvr fllr geliflimie de il y zmd duyuflsl ve psikomotor dvr fllr geliflimie de öem verilmifltir. Bu do rultud ö recileri mtemtik dersie krfl olumlu tutum gelifltirmeleri, mtemtikte kedie yetme becerisi ve öz güvei kzmlr, mtemtik dersiyle ilgili kyg düzeylerii e z idirmeleri ve bu mçl olr yrd mc olums hedeflemifltir. Ö recileri psikomotor dvr fllr geliflimii s lmk içi ise hesp mkiesi ve bilgisyr yz l mlr kull m teflvik edilerek tekolojii etki kull lms mçlm flt r. Proje çl flmlr, ö recileri kedi ö remeleride sorumlu olmlr s lr ve olr ifl birli i içeriside çl flmy motive eder. Buu gerçeklefltirilmesi mc yl ö recileri grup hâlide çl flcklr projelere yer verilmifltir. Ölçme ve de erledirme; e itim sürecii yr lmz ve tmmly c bir prçs d r. Bu kitpt kulld m z ölçme rçlr, klsik ö reme yklfl m d ö recii dh çok ifllem becerisii öe ç kr ölçme rçlr d oldukç frkl d r. Bu mçl kitpt kolyd zor, bsitte krmfl, biliede bilimeyee ve somutt soyut ilkeleriyle hz rlm fl efllefltirme, boflluk doldurm, do ru-yl fl, çokt seçmeli, ç k uçlu sorulr gibi frkl ölçme rçlr yer verilmifltir. Bu ölçme rçlr de erledirilmesii de yie klsik de erledirme yötemleride frkl olrk Proje De erledirme Formu ve Öz De erledirme Formu gibi formlrl yp lms öerilmektedir. Bu kitb, ö recilerimizi özverileriyle, ö retmelerimizi de bilgi, deeyim ve düflüceleriyle birleflerek ülkemiz içi çok öemli bir e itim rc ve ky olc düflücesideyiz. YAZALA X

11 8 li y llrd Hitli mtemtikçi Mhvir; egtif bir sy, herhgi bir sy kresi olmd ve bu edele de kreköküü olmyc söylemifltir. izce Mhvir hkl m yd? Nede? Krmfl k sy lr e tür sy lr olbilir? - ifdesii i ile gösterirsek egtif sy lr krekökleri bulubilir mi? Ns l? Krmfl k sy lr tekik llrd pek çok prtik uygulms vrd r: Fizikte elektromyetik llr kousud yp l çl flmlrd krmfl k sy lr kull l r. Bir elektromyetik ld, elektrik ve myetik bilefleler vrd r. Bu yüzde biri elektrik l yo ulu u, di eri ise myetik l yo ulu u olmk üzere iki yr ölçüm gerekir. Krmfl k sy lr, l yo ulu uu t mlmk içi kull l r. Elektrik mühedisleri, elektrik k m ölçmek ve elektrik devrelerii dvr fllr ç klmk içi krmfl k sy lr kull rlr. Mkie mühedisleri, bilrdki ve köprülerdeki kiriflleri üzerie bie gerilimleri ölçmek içi krmfl k sy lr kull rlr. Vektör mtemti iyle birlefltirildi ide kuvvet ve hreketi modellemek içi de krmfl k sy - lr kull l r. Güefl, y ve y ld zlr gibi uzydki cisimleri hreketlerii ç klmk y d thmi etmek; su vey hv gibi k flklr, hreket ede bir cismi üzerideki (öre i, uç kd dki) k fl liz etmek içi krmfl k sy lr kull l r. Kutum meki ide geifl bir kull m l ship ol ols l k gelikleri ise sl d krmfl k sy lrd bflk bir fley de ildir. Yukr d belirtile mesleklerdeki kiflilerle röportj yp z. Bu kiflileri meslekleride krmfl k sy lr erelerde ve s l kulld klr ç kly bir rpor hz rly z. Hz rld z rporu rkdfllr z suuuz.. Bölüm

12 Projei Adı: Frktllr ve Krmfl k y lr Projei Amçlrı. Frktl kvrm ç klmk. Mdelbrot (Mdelb root) ve Juli (Yuly) Kümeleri gibi frktllrd krmfl k sy lr s l kull ld klr icelemek Projei Aşmlrı Projei Hzırlık üreci. Frktl kvrm rflt r z.. tersyou ( tekrrlm) e oldu uu rflt r z.. Beoit Mdelbrot (Beu Mdelb root) u hyt ve elerle u rflt rflt r z.. teret ortm d ücretsiz eriflebilece iiz iterktif uygulmlr bulrk Mdelbrot ve Juli Kümeleri Frktllr ve bulr de iflik özelliklerii rflt r z.. Doudy (Dudi) i Tvfl Frktl, Mrco (e Mrko) Frktl, Detrit (Detrit) Frktl ve iegel (Ziyg l) Disk Frktl gibi özel frktllr ve bulr özelliklerii rflt r z. Projei İçeriği. Frktl e oldu uu t mly z. Frktllr erelerde ve s l kull ld öreklerle ç kly z.. tersyo ile frktllr s l elde edildi ii öreklerle ç kly - z.. Mdelbrot ve Juli Kümeleri Frktllr oluflturmk içi krmfl k sy lr ve itersyou s l kull ld ve bu frktllr özelliklerii ç kly z.. Doudy i Tvfl Frktl, Mrco Frktl, Detrit Frktl ve iegel Disk Frktl hgi özel durumlrd elde edildi ii ç kly z. Projei uum üreci. Arflt rmlr z souçlr, ilgili resim ve cld rmlrl zegilefltirip bir bilgisyr suumu hz rly z.. Arflt rmlr z soud topld z bilgilerle bir poster suumu hz rly z.. Bölüm Proje

13 Gerçek y lr Kümesii Nede Geiflletmeliyiz? Gerçek sy lr kümesii geiflletmei gereklili i m/s. h zl yerde hvy dikey olrk f rlt l bir cismi t siye sor yerde yüksekli ii [h(metre)] bulmk içi h(t) t + t foksiyouu kullbiliriz. Bu foksiyod h(t) yerie yzc z hgi gerçek sy lr içi t olur? Yukr d t mld m z h(t) t + t foksiyouu grfi i yd verilmifltir. h(t) t + t foksiyoud h(t) yzrk elde etti iiz deklemi diskrimit ve vrs köklerii buluuz. h(t) t + t foksiyoud h(t) yzrk elde etti iiz deklemi diskrimit ve vrs köklerii buluuz. Üstteki ilk iki d md elde etti iiz deklemlerde gerçek sy lrd çözüm kümesi olmy belirleyiiz. Yol (m) Grfi i iceleyerek cismi ç kbilece i mksimum yüksekli i söyleyiiz. Bu göre, m/s. h zl yerde hvy dikey olrk f rlt l bir cismi metre yüksekli e ç k p ç kmyc trt fl z. Bezer flekilde cisim metre yüksekli e ç kbilir mi, edeleriyle trt fl z. Gerçek sy lr kümesii geiflleterek, gerçek sy lr kümeside çözümü olmy deklemleri köklerii oldu u yei bir sy kümesi t mlmk mümkü müdür? Aç kly z. y Örek y Afl dki ifdeleri iceleyelim: + biçimideki bir deklemi çözmek içi do l sy lr kümesii ( N) geiflleterek tm sy lr kümesii ( Z) t mlm flt k. biçimideki bir deklemi çözmek içi tm sy lr kümesi yetersiz kl c rsyoel sy lr kümesii ( Q) t mlm flt k. deklemii rsyoel sy lrd çözümüü olmd Pisgor (MÖ 8-) göstermifltir. Ydki grfikle de gösterildi i gibi irrsyoel sy lr t mlms yl bu deklemi köklerii ve - oldu u bulumufltur. Böylece, biçimideki deklemleri çözmek içi rsyoel sy lr kümesi ile irrsyoel sy lr kümesii birlefltirerek gerçek sy lr kümesii ( ) t mlm flt k. y Ydki grfikte de görüldü ü gibi + deklemii gerçek sy lr kümesideki çözüm kümesi dir. Bu bölümde bu tür deklemleri çözüm kümesii bulmk içi krmfl k sy lr d verece imiz yei bir sy kümesi t mlyc z. h(t) t + t Zm (s.) y + Krmflık yılr. Bölüm

14 Bir müzik grubuu mejeri, geçmifl koserleri gelirlerie dyrk bir koserde elde edilecek thmiî geliri, bir bileti st fl fiyt TL olmk üzere G() foksiyou ile modelleyebilece ii keflfetmifl. Bu göre;. Bir koserde elde edilecek geliri 6 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? b. Bir koserde elde edilebilecek gelir e çok kç TL olbilir? c. Bir koserde elde edilecek geliri 8 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? ç. ve c seçeekleride krfl lflt z durumlr elerdir? ki durum rs dki frk edeii ç kly z. l Birim ve l Birimi Kuvvetleri l birim (i sy s ) l birimi kuvvetleri Gerçek sy lrd kökü olmy ikici derecede deklemlere örek veriiz. Bu deklemleri köklerii gerçek sy lrd ede olmd ç kly z. Ns l bir sy kümesi t mlm fl olsyd bu tür deklemleri kökleri bulubilirdi? Aç kly z. i Afl d yp l ifllemleri iceleyiiz.. -.( - ) b. c. -. ]- g. - ç. -. ]- g ]- g. - - Yukr dki ifllemleri bezerlerii -8, -9, - ve -6 sy lr içi yp z. - yerie i yzrk ilk iki d md verile sy lr i ciside yz z. Afl dki eflitlikleri s l yz ld iceleyiiz.. i ^ - h - dir. b. i i. i i. ]- g -i dir. Yukr dkie bezer flekilde i sy s fl dki kuvvetlerii hesplyrk Tblo. i dolduruuz. Tblo. i i i i i i i 6 i 7 i 8 i 9 i i i... i Tblo. de ç krd z gözlem ve souçlr ç kly z. Örek + deklemii köklerii bull m: - i diyelim i buluur. - sy s, sl (imjier) sy birimi diyece iz ve bu sy y i - fleklide ifde edece iz.. Bölüm Krmflık yılr

15 Afl dki sy lr sl sy birimiyle s l yz ld iceleyelim:. -.]- g. - 6 i b ( - ) i dir. Düşüce Kutusu 77 y l d ülü mtemtikçi Euler (Oyl r), - - ifllemii soucuu 6 oldu uu svuuyordu. Euler i bu iddis do ru olup olmd s ftki rkdfllr zl trt flrk krr veriiz. Elektrikte i sembolü geellikle k m lm d kull ld içi elektrik mühedisli ide krmfl k sy lrdki i yerie j kull l r. N olmk üzere, i i i 8... i i i i 9... i + i i i 6 i... i + i i 7 i... i + i vey N içi i {i,, i, } oldu u dikkt ediiz.. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. i i.6+ (i ) 6.i 6. buluur. b. i i.+ i i buluur. c. i i.6+ i i buluur. Z ], k ] ] i, k + i k [ ] -, k + ] -i, k + \ dir. kez Leohrd Euler (Liohrt Oyl r) (77 78) Euler, 78 y l d ilk - yerie i hrfii kullm flt r. * i 76 + i. ifdesii e sde biçimde yzl m: 7 68 i + i i i + i + i i i + i + i ^i h. i + ^ i h. i i + i - + i -- ] i + g - i. i i ^ h + ^ h i + - i + - i olur.. Afl dki sy lr sl birimi kullrk yz z.. - b. - c. -8 ç. - d. -. Afl dki sl birimi kuvvetlerii e sde biçimde yz z.. i 9 b. i c. i ç. i d. i e. i 99. i - ve Z + olmk üzere fl dki ifdeleri e sde biçimde yz z. i + i + i + i + i 6. b. c. (i 7 ) 7 ç. [(i 9 ) ] i 8 i Krmflık yılr. Bölüm

16 Krmfl k y lr Kümesi Krmfl k sy lr Krmfl k sy lr stdrt gösterimi Bir krmfl k sy gerçek ve sl k sm ki krmfl k sy eflitli i C + bi + 7i ifdeside ve 7i s l sy lrd r? Bu terimler bezer terimler midir? Bu terimleri toplm tek bir terim fleklide yzmk mümkü müdür? Nede? A #, -, -, B # -, - -9, -- olmk üzere A ve B kümelerii elemlr rs dki frk ç kly z. A ve B kümeleride birer elem seçip bu elemlr rs + sembolüü koyrk elde etti iiz ifdeyi yz z. Yukr dki d m befl kez tekrrlyrk befl frkl ifde elde ediiz. Elde etti iiz ifdeleri her biride - yerie i yzrk bu ifdeleri, b olmk üzere + bi fleklide yz z. + bi ifdeside sl birim içere terim edir? + bi ifdeside sl birim içermeye terim edir? ve b + olmk üzere + -b ifdesii i ciside s l yz lbilece ii ç kly z. Örek + i ifdesii terimlerii iceleyelim: + i ifdesii terimleri ve i dir. Bu terimlerde sl birim içermez; di eri içerir., b ve i - olmk üzere + bi biçimideki sy lr krmfl k sy lr, tüm krmfl k sy - lr oluflturdu u kümeye de krmfl k sy lr kümesi diyece iz. Krmfl k sy lr kümesii C ile gösterece iz. C { + bi :, b } z C ve z + bi olmk üzere, z krmfl k sy s gerçek k sm ol y e(z), sl (imjier) k sm ol b yi m(z) b fleklide gösterece iz. z + bi gösterimie bu krmfl k sy stdrt biçimi diyece iz. Crl Friedrich Guss (Kâl Fridr ks Gus) Afl d bz krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr s l buludu uu iceleyelim:. z + i e(z) ve m(z) tir. b. z - i e( z) ve m(z) - tür. c. z i z + i oldu ud e(z) ve m(z) tür. ç. z z + i oldu ud e(z) ve m(z) d r. (777 88) Crl Gus, 8 y l d krmfl k sy lr ilk kez + bi fleklide göstermifltir. * Ktz Victor J., A History of Mthemtics: A Itroductio, Hrper Collig College Publishers, New York, Bölüm Krmflık yılr

17 eé Descrtes ( e Dekrt) ki Krmfl k y Eflitli i (96 6) eé Descrtes 67 y l d egtif bir sy kreköküü, imjier (sl) olrk dld rm flt r. O zmd beri krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlrd olufltu u söyleegelmifltir. * Tblo. (, y) z + + y i z + + ( y + ) i (, ) z + +. i + i (, ) (, ) (, ) z. + + (. + ) i + i z + + yi ve z + + (y + )i olmk üzere ve y i frkl de erleri içi Tblo. yi örekteki gibi dolduruuz. Tblou her st r d elde etti iiz z ve z krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr krfl - lflt r z. ve y i hgi de eri içi z ve z krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr s rs yl birbirie eflit olur? Aç kly z. Gerçek ve sl k s mlr s rs yl birbirie eflit ol krmfl k sy lr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z., b, c ve d gerçek sy lr, z + bi ve z c + di olmk üzere, + bi c + di c ve b d vey z z e(z ) e(z ) ve m(z ) m(z ) dir. z + yi, z + + yi + 6i ve z z oldu u göre ve y de erlerii bull m: z z e(z ) e(z ) ve m(z ) m(z ) dir. e(z ), m(z ) y ve e(z ) +, m(z ) y + 6 olur. e(z ) e(z ) + 6 olur. m(z ) m(z ) y y + 6 y 6 buluur.. Afl dki krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr buluuz z b. z - - c. z i ç. z - + i d. z 7. Afl d verile eflitlikleri s ly (, b) ikililerii buluuz (, b ). + b - b b. bi + b + i b. ( i) + b bi + 6 c. + i - - i Krmflık yılr. Bölüm 7

18 Krmfl k y lr Geometrik Gösterimi sviçreli bir muhsebeci ol Je obert Argd [ J b rt Argt (768-8)], 86 y l d krmfl k sy lr litik düzleme bezer bir yp yl göste- Krmfl k düzlem Verile bir krmfl k sy krmfl k rilebilece ii öe sürmüfltür. Ydki flekli iceleyiiz. izce düzlemde gösterilmesi krmfl k sy lr litik düzlemde s l gösterilebilir? DEUTCHE BUNDEPOT II (-+6i) - + III (- 7 -i) +y -y (+i) (7-πi) CALE GAU I IV (, ), (,), (, ) oktlr ydki litik düzlemde gösteriiz. Bu litik düzlemi ekseii gerçek ekse, y ekseii de sl ekse olrk düflüüüz. Bu durumd bu düzleme e d verebilirsiiz? Gerçek k s mlr (, ), (, ), (, ) oktlr psisleri, sl k - s mlr d bu oktlr orditlr ol krmfl k sy lr yz z. Yzd z krmfl k sy lr ile litik düzlemde gösterdi iiz oktlr efllefltiriiz. Alitik düzlemde ekseii gerçek ekse, y ekseii de sl ekse olrk kbul edersek krmfl k sy lr litik düzlemde s l gösterilebilece ii ç kly z. y Örek Afl d yp llr iceleyelim: > ve y > olmk üzere z + yi krmfl k sy s krfl l k gele okt (, y) dir. O hâlde z + yi krmfl k sy s krmfl k düzlemde ydki gibi gösterilir. y y O(, ) + y i Krmfl k sy lr ile litik düzlemi oktlr rs d bire bir ve örte bir eflleme yp lbilir. Bu efllemede z + ib krmfl k sy s (, b) okts krfl l k gelir. Bu flekilde bir eflleme ile oluflturul düzleme krmfl k düzlem deir. Krmfl k düzlemde; ekseie gerçek ekse, y ekseie de sl ekse d verilir. Afl dki krmfl k sy lr, krmfl k düzlemde gösterelim:. z + i b. z + i c. z i ç. z i d. z e. z 6 i Yukr d verile krmfl k sy lrl, bu sy lr krfl l k gele oktlr fl d efllefltirilmifltir. celeyiiz. z + i (,) z + i (,) z i (, ) z i (, ) z (,) z 6 i (, ) Bu oktlr ydki krmfl k düzlemde s l gösterildiklerii ç kly z. z + i y z + i z z i z 6 z i Lord illim Hmilto (Lord Vily m Hem lt ) (8 86) Lord illim Hmilto, krmfl k sy lr geometrik gösterimie ltertif olrk 8 y l d + yi fleklideki bir krmfl k sy soyut gösterimi ol (, y) yi öermifltir. * 8. Bölüm Krmflık yılr

19 y Afl d isteeleri yp z. i. Ydki krmfl k düzlemde verile oktlr + b i fleklide yz z. ii. Afl dki krmfl k sy lr, ydki krmfl k düzlemde gösteriiz.. b. i c. ç. + i d. i e. i f. i g. + i z z 7 z z 8 z 6 z z z Bir Krmfl k y Efllei i Alitik düzlemde, (, ) ve (, ) oktlr rs dki iliflkiyi ç kly z. Bezer bir iliflki z + i ve z i krmfl k sy lr rs d vr m d r? Ns l? Bir krmfl k sy efllei i Bir krmfl k sy modülü Örek z z Tblo. ü iceleyerek tblou ilk üç st r d verile krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr krfl lflt r z. Elde etti iiz souc göre tblou so üç st - r dki oktl yerleri dolduruuz. Tblo. Afl d yp llr iceleyelim: z + i ve z i krmfl k sy lr krfl l k gele oktlr, ydki krmfl k düzlemde gösterilmifltir. Bu oktlr gerçek eksee göre simetrik oldu u dikkt ediiz. + i i i + i i i + i... i... i... Tblou her bir st r d verile krmfl k sy çiftlerii krmfl k düzlemde göstererek görütülerii krfl lflt r z., b olmk üzere z + bi ve z bi krmfl k sy lr ve bu sy lr krmfl k düzlemdeki görütüleri rs dki iliflkiyi ç kly z. + bi ve bi krmfl k sy lr d birie di erii efllei i diyece iz ve z krmfl k sy s efllei ii z ile gösterece iz. z + bi + ]- bgi -bi i O z + i z i Afl dki krmfl k sy lr eflleiklerii bulup krmfl k düzlemde gösterelim: i. z + i b. z i c. z ç. z i. z + i i efllei i z + i i dir. b. z i i efllei i z i- - + i i dir. c. z ü efllei i z + i i tür. ç. z i i efllei i z i + i i i dir. z z z z z z O z z Bir krmfl k sy ( z) krmfl k düzlemdeki görütüsü ile efllei ii ( z ) krmfl k düzlemdeki görütüsü gerçek eksee göre simetriktir. Krmflık yılr. Bölüm 9

20 Krmfl k y Modülü Herhgi bir z + bi krmfl k sy s lrk (öre i, z + i) krmfl k düzlemde gösteriiz. Ald z krmfl k sy y krfl l k gele okty, krmfl k düzlem üzeride iflretleyiiz. Bu okt litik düzlemde bfllg ç okts ol uzkl buluuz., b olmk üzere krmfl k düzlemde bir z + bi krmfl k sy s krfl l k gele okt bfllg ç okts (oriji) ol uzkl s l bulubilir? Aç kly z. Örek z 6 8i krmfl k sy s krfl l k gele okty belirtelim ve bu okt orijie ol uzkl bull m: z 6 8i sy s krfl l k gele okt (6, 8) dir. Pisgor B t s yrd m yl, (6, 8) okts orijie ol uzkl z 6 + ]- 8g 6+ 6 olrk buluur. i Krmfl k düzlemde, bir z krmfl k sy s krfl l k gele okt bfllg ç okts ol uzkl bu krmfl k sy modülü diyece iz ve z krmfl k sy - b z + bi b s modülüü z ile gösterece iz. z + bi z + bi + b dir. O Bir gerçek sy mutlk de eri, sy bfllg ç okts ( orijie) ol uzkl - gösterdi i gibi; bir krmfl k sy modülü de o krmfl k sy orijie ol uzkl belirtir. z Afl dki krmfl k sy lr ve eflleiklerii modüllerii bulup krmfl k düzlemde gösterelim:. z + i b. z i c. z i. z b. z i + i z + tür. z - i - i z + ]- g tür. c. z -- i z ]- g + ]- g tir. + i z + tir. z - + i z ]- g + z - i z + ]- g tir. i tir. z z z z z z O z z z z z z Bir krmfl k sy ile efllei ii modülleri birbirie eflittir. Yi z z dir.. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri y dki kutulr D, yl fls Y yz z bi+ bi- d r b. ] i+ g ]--ig dir. 98 c. b < içi + bi -bi dir. ç. ^i+ i + i i h i+ dir... Tblo. teki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. b. Tblodki krmfl k sy lr, bu sy lr eflleiklerii ve modüllerii krmfl k düzlemde gösteriiz. Tblo. Krmfl k y (z) i i cos +isi... Gerçek K sm (e(z)) l K sm ( m(z)) Modülü ( z ) Efllei i ( z) Bölüm Krmflık yılr

21 Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri Krmfl k sy lrd toplm ve ç krm ifllemleri ve bu ifllemleri geometrik yorumlr Krmfl k sy lrd toplm ifllemii özellikleri Bir ltertif k m (AC) devreside bobi, kodstör, direç gibi elemlr çeflitli flekillerde b lms soucud ltertif k m krfl gösterile efl de er direce empeds d verilir. eri b l bir AC devreside toplm empeds bulmk içi her bir bileflei empeds topl r. z z z toplm z + z Yd verile Tblo. seri b l bir AC devresideki iki bileflii empedslr ile toplm empeds dir verileri içermektedir. Bu göre tblod? iflretli hücrelere yz lms gereke de erler eler olml d r? Tblo.. Bileflei Empeds (ohm) 7 + i. Bileflei Empeds (ohm) Toplm Empeds 8 + i? + i? 7 + i Afl dki toplm ve ç krm ifllemlerii yp z.. ( ) + ( + )... b. ( ) ( + )... Bir öceki d md ypt z bezer flekilde fl d verile iki krmfl k sy toplm ve frk buluuz.. ( i) + ( + i)... b. ( i) ( + i)... Bu göre iki krmfl k sy toplm ve frk s l buluuyor olbilir? Aç kly z. Herhgi iki krmfl k sy seçerek bu krmfl k sy lr krmfl k düzlemde gösteriiz. Yukr d seçti iiz bu krmfl k sy lr toplm ve frk buluuz. Buldu uuz toplm ve frk y krmfl k düzlemde gösteriiz. Yukr d seçti iiz krmfl k sy lr orijie ol uzkl ile toplm ve frklr orijie ol uzkl klr krfl lflt r z. Örek z i ve z + i olsu. z + z ve z z krmfl k sy lr bull m: z + z ( i) + ( + i) ( + ) + ( + )i i dir. z z ( i) ( + i) ( ) + ( )i i dir. z + bi ve z c + di olmk üzere bu krmfl k sy lr toplm, z + z ( + c) + (b + d)i ve frk z z ( c) + (b d)i olur. z + i ve z i olmk üzere fl dki ifllemleri iceleyelim:. z + z + i + i + + ( )i i olur. b. z z + i ( i) + ( + )i 7+i olur. c. z z i ( + i) + + ( )i 7 i olur. Krmflık yılr. Bölüm

22 Toplm fllemii Geometrik Yorumu Afl dki ifllemleri iceleyerek iki krmfl k sy toplm - geometrik olrk s l ifde edildi ii trt fl z. z + bi ve z c + di krmfl k sy lr krmfl k düzlemdeki görütülerie s rs yl A ve B diyelim. AOBC prlelker çizelim. & & OEB ADC oldu ud BE CD d ve OE AD c dir. Bu durumd C okts koorditlr ( + c, b + d) olur. C okts koorditlr ile z + z ( + c) + (b + d)i sy s krmfl k düzlemde krfl l k gele okt koorditlr rs d s l bir iliflki vrd r? i b+d L d B z b A z D b E F K O c +c c C(+c, b+d) z +z d z + z krmfl k sy s görütüsü, AOBC prlelker dördücü köflesi ol C okts d r. Ç krm fllemii Geometrik Yorumu Afl dki ifllemleri iceleyerek iki krmfl k sy frk geometrik olrk s l ifde edildi ii trt fl z. z + bi, z c + di ve z c di krmfl k sy lr krmfl k düzlemdeki görütülerie s rs yl A, B ve D diyelim. AODC prlelker çizelim. & & OED AFC oldu ud OE AF c ve ED CF d dir. Bu durumd C okts koorditlr ( c, b d) olur. i B d z b F A z c O E c C( c, b d) z z D d z C okts koorditlr ile z z ( c) + (b d)i sy s krmfl k düzlemde krfl l k gele okt koorditlr rs d s l bir iliflki vrd r? z z krmfl k sy s görütüsü, AODC prlelker dördücü köflesi ol C okts d r. z + i, z + i olmk üzere z + z ve z z krmfl k sy lr bulup y krmfl k düzlemde gösterelim: z + z ( + i) + ( + i) ( + ) + ( + )i 6 + i buluur. z z ( + i) ( + i) ( ) + ( )i i buluur. z + i, z + i ve z i krmfl k sy lr ydki krmfl k düzlemde görüyorsuuz. fiekildeki C okts z + z krmfl k sy s, E okts ise z z krmfl k sy s görütüsüdür. i z z O 6 z E z z C z + z. Bölüm Krmflık yılr

23 Krmfl k y lrd Toplm fllemii Özellikleri z + i, z + i ve z i krmfl k sy lr içi; z + z yi buluuz. ouç yie bir krmfl k sy m d r? Bu durumu seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk herhgi iki krmfl k sy toplm her zm krmfl k sy lr kümesii bir elem olup olmyc trt fl z. (z + z ) + z ve z + (z + z ) ifllemlerii yprk buldu uuz souçlr krfl lflt r z. Bu iflleme seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk krmfl k sy lr kümesii toplm ifllemii birleflme özelli ii olup olmd trt fl z. z + z ve z + z ifllemlerii yprk buldu uuz souçlr krfl lflt r z. Bu iflleme seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk krmfl k sy lr kümesii toplm ifllemie göre de iflme özelli ii olup olmd trt fl z. z + z z + z z, z + z z + z z ve z + z z + z z koflullr s ly bir z krmfl k sy s buluuz. Bu göre krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemie göre etkisiz (birim) elem e oldu uu trt fl z. z + ( z ), ( z ) + z ve z + ( z ) ifllemlerii yprk buldu uuz souçlr krfl lflt r z. Bu ifllemi seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk krmfl k sy lr kümeside herhgi bir krmfl k sy toplm ifllemie göre tersii e oldu uu trt fl z. Krmfl k sy lrd toplm ifllemii özelliklerii gösterelim. Örek z i ve z + i krmfl k sy lr toplyl m: z ( i) + ( + i) ( ) + ( + )i i olup souç bir krmfl k sy d r. Kpl l k Özelli i z, z C olmk üzere z + bi, z c + di içi z + z ( + bi) + (c + di) ( + c) + (b + d)i olur., b, c, d ise ( + c) ve (b + d) oldu ud z + z ( + c) + (b + d) i C olur. Örek z, z C içi (z + z ) C oldu ud krmfl k sy lr kümesi toplm ifllemie göre kpl d r. z + i ve z i krmfl k sy lr içi z + z ile z + z toplmlr rs dki iliflkiyi bull m: z + z ( + i) + ( i) + i... ( I) ve z + z ( i) + ( + i) + i... ( II ) olur. I ve II eflit oldu ud z + z ile z + z birbirie eflittir. De iflme Özelli i z, z C ve z + bi, z c + di olsu. z + z ( + bi) + (c + di) ( + c) + (b + d)i... ( I) dir. z + z (c + di) + ( + bi) (c + ) + (d + b)i... ( II ) dir. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. z, z C içi z + z z + z oldu ud krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemii de iflme özelli i vrd r. Örek z i, z + i ve z i içi (z + z ) + z ve z + (z + z ) toplmlr bull m: (z + z ) + z [( i) + ( + i)] + ( i) + ( i) i... ( I) dir. z + (z + z ) ( i) + [( + i) + ( i)] ( i) + [ i] i... ( II ) dir. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. Krmflık yılr. Bölüm

24 Birleflme Özelli i z, z, z C ve z + bi, z c + di, z e + fi olsu. (z +z )+z [(+bi) + (c + di)] + (e + fi) [( + c) + (b + d)i] + (e + fi) +c+e+[b+d+f]i... ( I) dir. z +(z + z ) (+bi)+(c+di)+(e+fi)] (+bi) + [(c + e) + (d + f)i] + c + e + [b + d + f]i... ( II ) dir. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. z, z, z C içi (z +z ) + z z + (z + z ) oldu ud krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemii birleflme özelli i vrd r. Örek z i ve z + bi krmfl k sy lr içi z + z z z + z z deklemlerii s ly z sy s bull m: z + z z ( i) + ( + bi) i ( + ) + ( + b)i i + Bezer flekilde z + z z O hâlde z + bi + i d r. Etkisiz ( Birim) Elem Özelli i z C, C ve z + bi, + i olsu. + b b d r. ve deklemi çözülürse ve b buluur. z + ( + bi) + ( + i) ( + ) + (b + )i + bi z dir. + z ( + i) + ( + bi) ( + ) + ( + b)i + bi z dir. z C içi z + ( + i) ( + i) + z z oldu ud + i sy s, krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemie göre etkisiz ( birim) elemd r. Örek z i ve z + bi içi z +z ve z +z deklemlerii s ly z z + z ( i) + ( + bi) + i ( + ) + ( + b)i + i + + b b dir. Bezer flekilde z + z deklemi çözülürse ve b buluur. O hâlde z + bi + i z Ters Elem Özelli i dir. z C ve z + bi ise z bi olsu. z + ( z) ( + bi) + ( bi) ( ) + (b b)i + i d r. z + z ( bi) + ( + bi) ( + ) + (b b)i + i d r. fel Bombelli ( f el Bombelli) (6 7) Krmfl k düzlemi orty t lms d iki yüz y l kdr öce, fel Bombelli 7 y l d L Algebr (Cebir) dl eseride krmfl k sy lr toplm ve çrp m sembolik olrk göstermifltir. * sy s bull m: z C içi z + ( z) z + z oldu ud krmfl k sy lr kümeside, toplm ifllemie göre her elem tersi vrd r. z + bi sy s toplm ifllemie göre tersi z bi dir. Tblo.6 z z z + z z z z z. Tblo.6 dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. + i 6 8i i + 6 bi 8 + mi + i i i i 6 i.... Bölüm Krmflık yılr

25 . z b- i+, z - + i ve z -bi ise fl d istee krmfl k sy lr buluuz.. z + z + z b. z + z c. z + z. z z i ve z z i ise m(z + z ) kçt r?. z + i ve z i krmfl k sy lr içi fl d ilk st rd verile ifllemleri souçlr ikici st rdkiler rs d bulrk efllefltiriiz. z + z z z z z z + iz + 6i 8 + i 7 + i 7 + i Krmfl k y lrd Çrpm fllemi Krmfl k sy lrd çrpm ve bölme ifllemleri Krmfl k sy lrd çrpm ifllemii özellikleri Bir ltertif k m ( AC) devreside gerilim (V), k m (I) ve empeds (Z) rs dki iliflki V I.Z fleklidedir. Bu göre k m + i mper ve empeds + i ohm oldu- u bir devredeki gerilimi de eri s l bulubilir? Çok terimli iki ifde içere fl dki çrpm ifllemii yp z. ( + ). ( )... z Bir öceki d md ypt z bezer flekilde fl d verile iki krmfl k sy y çrp z. Elde etti iiz souçt i li bir terim vrs i yerie yz z. ( + i). ( i)... Bu göre gerçek sy lrd çok terimli ifdeleri çrp m ile krmfl k sy lr çrp m rs dki bezerlik ve frkl l klr elerdir? Aç kly z. Örek ( + i). ( + i) ifllemii ypl m: ( + i) ( + i). +.i + i. + i.i + i + 6i + 8i + i 8 + i olur. z, z C, z + bi ve z c + di olmk üzere bu krmfl k sy lr çrp m, z.z ( + bi).(c + di) (c + di) + bi(c + di) c + di + bci + bdi dir. i yzrsk z.z (c bd) + (d + bc)i olur.. z + i ve z + i içi fl dki ifllemleri ypl m:..z b. i.z c. z.z ç. z Afl dki ifllemleri iceleyiiz. Her d md yp l ifllemleri ç kly z...z.( + i) 6 + 9i dir. b. i.z i.( + i) i i i.( ) i dir. c. z.z ( + i).( + i) + i + i + 6i + 7i + 6.( ) + 7i dir. ç. z ( + i) + i + 9i + i + 9.( ) + i buluur. Krmflık yılr. Bölüm

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-1

Çözüm Kitapçığı Deneme-1 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 5-7 KASIM 6 Çözüm Kitpçğ Deeme- Bu testleri her hkk skldr. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmm vey bir ksm Merkezimizi

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,

Detaylı

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz. 4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor. .BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c

Detaylı

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel

Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] =

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK ÜÇRENK SORU BANKASI

11. SINIF MATEMATİK ÜÇRENK SORU BANKASI . INIF MATEMATİK ÜÇRENK ORU BANKAI Mil lî E i tim Ba ka l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Ba ka l.8. ta rih ve sa y l ka ra r ile ka bul edi le ve - Ö re tim Y l da iti ba re uy gu la a cak ola prog ra ma

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersi Adı SINIFI: KONU: Diziler Dersi Kousu. Aşğıdkilerde kç tesi bir dizii geel terimi olbilir? I. II. log III. IV. V. 7 7 9 9 t 4 4 E). Aşğıdkilerde hgisi bir dizii geel

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

Veri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4

Veri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4 Test / 0 soru soru Bir zr t ld nd üste gelen sy n n tek oldu u ilindi ine göre, sy n n sl sy olm Bir çift zr t ld nd üste gelen sy lr n toplm n n 0 oldu u ilindi ine göre, zrlrdn irinin olm soru soru Bir

Detaylı

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka) PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV

Detaylı

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 : SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 24 Mart 2013. Matematik Sorularının Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 24 Mart 2013. Matematik Sorularının Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sıvı (Ygs) / 4 Mrt 0 Mtemtik Sorulrıı Çözümleri. 4 m? m ( ) 4 m m 4 4 4m 4 4. 4 4m 4m 4. m m elde edilir. ..(0,) (0,4)? 4. 0 0 0 4 0. 4 4 0 0 4 4 0 6 64 000 80 000 8 00 0,08 . 5? 5

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2 VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.

Detaylı

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir. GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)... ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0. Tnıtım Bhçe Mh. Soğuksu Cd. No:73 MERSİN www.srtnitim.com info@srtnitim.com Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.532 592 60 05 çık hvdki prestijiniz 1 Tnıtım ,Büfe Durk Rket 118 x 178 cm Gintbord

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (

Detaylı

A) EÐRÝ ALTINDAKÝ ALAN

A) EÐRÝ ALTINDAKÝ ALAN Belirli Ýtegrli Ugulmlrý A) EÐRÝ ALTINDAKÝ ALAN. f:[, ] R e týmlý ve sürekli olmk þrtýl = f() eðrisi = ve = doðrulrý ve o eksei rsýd kl düzlemsel ölgei lý A = f() d itegrli ile uluur. i) [, ] rlýðýd f()

Detaylı

6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI

6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI 6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI Y i β + β X i + β X i + + β k X ki + i (i,,, gibi çok çıklyıcı değişkee ship bir model, şğıdki gibi bir eşlı deklem modelii göstermektedir. Y β + β X + β

Detaylı

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known? 1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

ADE. Elektronik Bebek Tartısı İTHALATÇI. ve SERVİS FİRMA

ADE. Elektronik Bebek Tartısı İTHALATÇI. ve SERVİS FİRMA ADE Elektroik Bebek Trts M112600 M114400 M106600 M105600 -M114600 M107600 Modeller içi KULLANIM KILAVUZU İTHALATÇI ve SERVİS FİRMA TARTI DIŞ TİCARET VE PAZARLAMA LTD.ŞTİ. Dikilitş mh. Krfil sok. Krtl Apt.

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar. 259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK

Detaylı

Kontak İbreli Termometreler

Kontak İbreli Termometreler E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

ÜN TE III L NEER CEB R

ÜN TE III L NEER CEB R ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji

Detaylı

OKS DENEME SINAVI II

OKS DENEME SINAVI II OKS DENEME SINVI II TÜRKÇE TEST 1. Bu bölümde cevplyc n z soru sy s 25'tir. 2. Cevplr n z cevp kâ d n z n Türkçe için yr ln k sm n iflretleyiniz. 1. 1. S n ftki olylr hrfi hrfine bbs n nltt. 2. Sözlerimi

Detaylı

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Gzi Üniv Müh Mim Fk Der J Fc Eng Arch Gzi Univ Cilt 20, No 1, 95-106, 2005 Vol 20, No 1, 95-106, 2005 İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Ergün ERASLAN

Detaylı

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BERNSTEIN POLİNOMLARI VE LİNEER POZİTİF FONKSİYONELLER. Gamze ANDAÇ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BERNSTEIN POLİNOMLARI VE LİNEER POZİTİF FONKSİYONELLER. Gamze ANDAÇ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BERNSTEIN POLİNOMLARI VE LİNEER POZİTİF FONKSİYONELLER Gmze ANDAÇ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2015 Her hkkı sklıdır TEZ ONAYI Gmze ANDAÇ

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

Hiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri)

Hiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri) Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1

Detaylı

Bölüm- Parametrik Hesap

Bölüm- Parametrik Hesap MAK 0: İNAMİK r. Ahmet Tşkese Fil hzırlık ölüm- Prmetrik Hesp 1 ölüm-rijit Cisim Sbit merk. Etr. döme * θ = 6 devir dödüğüde 4(6=3θ C θ C = 8 devir 8(5=4.5(θ A θ A = 8.889 devir α A =rd/s ω A = t + 5 rd/s

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYILAR Kümeler 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Bir kümeyi modelleri ile belirler, farkl temsil biçimleri ile gösterir. Belirli bir kümeyi temsil ederken afla da belirtilen bafll

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya DİĞER KONULAR

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya DİĞER KONULAR Oomik Korol Ulusl Toplısı, TOK, 6-8 Eylül, Mly DİĞER KONULAR 9 Oomik Korol Ulusl Toplısı, TOK, 6-8 Eylül, Mly Kesirli Türev içi Ypıl Tımlmlrı Eksiklikleri ve Yei Yklşım Ali KARCI Bilgisyr Müedisliği Bölümü

Detaylı

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu. //00 Ölçme Hataları, Hata Hesapları Ölçme Hataları, Hata Hesapları Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.tr Suu, Doç. Dr. Hade Demirel i ders otlarıda ve Ölçme Bilgisi kitabıda düzelemiştir. Ölçme...

Detaylı

DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ

DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ DENKLEM KURM İ SYI KESİR İ Örnek... : H a n g i s a yın ın d ö r t t e b i r i n i n 4 e k s i ğ i n i n 2 k a t ı 5 6 d ır? i r p r o b l e m i ç ö ze r k e n, s o r u d a ye r a l a n v e r i l e r i,

Detaylı